Rede Recíproca em 1D a Espaço real ou direto – rede de bravais Onda Plana e iKx onde K=2/Para alguns valores de K, a onda plana terá a mesma periodicidade da rede de bravais e iK(x+a) = e iKx ou e iKa =1 (K=2/a) O conjunto de vetores de onda K que produzem ondas planas com a mesma periodicidade de uma dada rede de Bravais é conhecido como rede recíproca. Espaço recíproco – rede de Bravais 2/a
Espaço real ou direto – rede de bravais. a. Onda Plana e iKx onde K=2 /. e iK(x+a) = e iKx ou e iKa = 1 (K=2 /a). Para alguns valores de K, a onda plana terá a mesma periodicidade da rede de bravais. Espaço recíproco – rede de Bravais. 2 /a. Rede Recíproca em 1D. - PowerPoint PPT Presentation
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Rede Recíproca em 1D
a
Espaço real ou direto – rede de bravais
Onda Plana eiKx onde K=2/
Para alguns valores de K, a onda plana terá a mesma periodicidade da rede de bravais
eiK(x+a) = eiKx
ou eiKa=1 (K=2/a)
O conjunto de vetores de onda K que produzem ondas planas com a mesma periodicidade de uma dada rede de Bravais é conhecido como rede recíproca.
Espaço recíproco – rede de Bravais
2/a
Rede Recíproca em 3D e 2D
Conjunto de vetores K com a mesma periodicidade:
A rede recíproca também é uma rede de Bravais:
Observemos primeiramente que: bi aj = 2ij
Podemos escrever K como uma combinação linear dos vetores b1, b2, b3 e R como combinação linear dos vetores a1, a2, a3
K=k1b1 + k2b2 + k3b3, R=n1a1 + n2a2 + n3a3
KR = 2(k1n1 + k2n2 + k3n3)= 2 inteiro
k1, k2, k3 são inteiros
21
1 2
2
a n
ga a
12
1 2
2
n a
ga a 3 0g n
3D:
2D:
Célula de Wigner-Seizt
Escolha um ponto da rede e trace linhas que conecte este ponto aos vizinhos mais próximos
Desenhe bissetrizes cortando, perpendicularmente, as linhas traçadas anteriormente.
A menor área definida por estas linhas é a célula de Wigner-Seizt (em laranja)
Espaço direto
Célula de Wigner-Seizt de uma BCC
Célula de Wigner-Seizt de uma FCC
Espaço recíproco
Zona de Brillouin BCC
Zona de Brillouin FCC
Estrutura de Bandas para a Ag
Rede recíproca em 3D: composta de pontos distribuídos no espaçoRede recíproca em 2D: composta de linhas distribuídas no planoRede recíproca de um cristal real: superposição das duas redes
Nomeclatura de superfícies
Notação de Wood:S(hkl)(mn)R-A
Notação Matricial:
b1 = s11a1 + s12a2
b2 = s21a1 + s22a2
s11 s12
s21 s22S=
Superfícies de Metais
• Relaxações em superfícies limpas;
• Reconstruções em superfícies limpas;
• Reconstruções devido a presença de contaminantes.
fcc(100) fcc(110) fcc(111)
bcc(100) bcc(111)bcc(110)
Relaxações em Metais
Por que relaxação?
Reconstruções em Metais
fcc(110)(1x2):Missing-row
• Iridium• Platina• Ouro
fcc(100)(1x5):
• Iridium• Platina• Ouro
bcc(100)c(2x2):
• Tungstênio
Reconstruções em Metais devido à presença de contaminantes