Recursividad en la naturaleza

02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 1

RECURSIVIDAD EN LA

NATURALEZA

ALEJANDRO DOMÍNGUEZ

Febrero de 1999


El concepto de similaridad


La geometría es medir

• Geometría significa medir la tierra

• La geometría Euclideana mide la Tierra usando

ángulos y longitudes y la describe en términos de

puntos, líneas rectas, círculos, rectángulos,

triángulos, cubos, y esferas

• Esta descripción Euclideana no concuerda con la

realidad

– una carretera contiene curvas que no son descritas por

las figuras geométricas antes mencionadas


La forma en que medimos

• Si una regla se superpone n veces al

contorno de un objeto, la longitud L(l) de

este perímetro será L(l)=nl

• Si se disminuye la longitud de la regla,

entonces el numero de superposiciones se

incrementa

– lo que resulta en un incremento en L(l)

– esto es debido a que entre mas pequeña sea la

longitud de la regla que se utilice, entonces

existe mas distancia a medir debido a las

irregularidades del terreno

¿Cuáles mi

perímetro?


La geometría fractal

• Del lo anterior se puede concluir que

– las distancias entre dos puntos es relativa a la

escala y al detalle de la observación

– existe una diferencia fundamental entre una

curva como un circulo y una curva como el

perímetro de un objeto terrenal

• Esta diferencia separa los objetos de la

geometría Euclideana de los objetos de una

geometría mas compleja: la geometría

fractal y cuyos elementos se les conoce

como fractales


Los fractales

• De esta forma con el fin de apreciar

a cierto nivel de detalle el mundo

real, las ideas de medida y distancia

de la geometría Euclideana se deben

desechar

• Si la longitud estimada de una curva

crece arbitrariamente cuando la

unidad de medida es cada vez mas

pequeña, entonces la curva se llama

curva fractal o simplemente fractal


La palabra fractal

• Benoit Mandelbrot es el padre de los fractales

• Fractal proviene del latín fractus y del verbo

correspondiente frangere que significa romper


El concepto de dimensión

Euclideana

D=1, N=2, r=1/2, Nr=1

D=2, N=4, r=1/2, Nr2=1

,3,2,1;1 Dr

N D


Otros objetos “raros”: la Isla de

Koch

Aquí N=4 y r=1/3Entonces la dimensión es

261859.13ln

4ln

1ln

ln

r

ND

La isla de Koch es una curva que esta aproximadamente

"a un cuarto de distancia entre una línea y un plano".


Dimensión fractal (1)

• Al numero D se le conoce como

dimensión fractal

• La dimensión fractal de un objeto, se

puede interpretar como una medida

del grado de irregularidad del

fractal a cualquier nivel de escala

– y, por supuesto, puede ser una cantidad

fraccionaria mayor que la dimensión

clásica o Euclideana de un objeto


• Para objetos inmersos en espacios

Euclidianos (líneas, curvas, etc.), las

dimensión del objeto y su dimensión fractal

son exactamente las mismas

• En conclusión

– la dimensión fractal indica el grado de detalle en

el objeto y que tanto ocupa de espacio entre las

dimensiones Euclidianas

– un fractal es un objeto que tiene una dimensión

fractal que es mayor que su dimensión

Euclideana

Dimensión fractal (2)


El modelo matemático recursivo

de los fractales

Número Cambiante + Número Fijo = Resultado

Esta formula hace que las figuras que se producen sean

exactamente autosimilares a diferentes escalas


Algunos tipos de fractales

Sistema Cardiovascular

Dimensión fractal = 2.7El conjunto de Mandelbrot


Fractales en la naturaleza (1)


Fractales en la naturaleza (2)

Recursividad en la naturaleza

Technology