Rectas, distancias y lugares geom´ etricos con Mathematica Mariano Gonz´alez Ulloa [email protected]Pontificia Universidad Cat´ olica del Per´ u Departamento de Ciencias 18 de agosto de 2013 Resumen En esta presentaci´ on se desarrolla procedimientos para construir e identificar lu- gares geom´ etricos que involucran la distancia de un punto a una recta y la distancia entre dos rectas. Especialmente se trata de identificar el lugar geom´ etrico de los pun- tos que equidistan de dos rectas alabeadas, el cual resulta ser una superficie. Para ello se trabajar´ a con una representaci´ on vectorial de las rectas y se usar´ a el software Mathematica para obtener una parametrizaci´ on de la superficie y a la vez construir las gr´ aficas correspondientes. 1. Introducci´ on Si bien es cierto que los lugares geom´ etricos (LG) en el plano, generalmente, son f´ aciles de visualizar, eso no ocurre cuando se trata de lugares geom´ etricos en el espacio tridimensional. Por ello, discusiones como la que se presenta en esta publicaci´ on son de interes, ya que con la ayuda del software Mathematica es posible conjeturar las posibles soluciones y luego visualizar los lugares geom´ etricos bajo las condiciones del problema planteado. En esta presentaci´ on se propone la construcci´ on e identificaci´ on del lugar geom´ etri- co de los puntos que equidistan de dos rectas abaleadas. El procedimiento seguido consiste en identificar el punto, de cada una de las rectas, que proporciona la m´ ınima distancia entre un punto fijo y cada recta, luego se igualan estas dos distancias para obtener la ecuaci´ on cartesiana del LG que resulta ser una superficie. Luego, usando bases de Gr¨ obner de un ideal en el anillo de polinomios R[x, y, z, s, t], se obtiene una representaci´ on param´ etrica para dicha superficie 2. Nociones preliminares 2.1. Lugar geom´ etrico Definici´ on 2.1. Un lugar geom´ etrico (LG) es el conjunto de puntos que satisfacen cierta o ciertas propiedades. 1
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Rectas, distancias y lugares geometricos con Mathematica
En esta presentacion se desarrolla procedimientos para construir e identificar lu-gares geometricos que involucran la distancia de un punto a una recta y la distanciaentre dos rectas. Especialmente se trata de identificar el lugar geometrico de los pun-tos que equidistan de dos rectas alabeadas, el cual resulta ser una superficie. Paraello se trabajara con una representacion vectorial de las rectas y se usara el softwareMathematica para obtener una parametrizacion de la superficie y a la vez construirlas graficas correspondientes.
1. Introduccion
Si bien es cierto que los lugares geometricos (LG) en el plano, generalmente, sonfaciles de visualizar, eso no ocurre cuando se trata de lugares geometricos en el espaciotridimensional. Por ello, discusiones como la que se presenta en esta publicacion sonde interes, ya que con la ayuda del software Mathematica es posible conjeturar lasposibles soluciones y luego visualizar los lugares geometricos bajo las condiciones delproblema planteado.
En esta presentacion se propone la construccion e identificacion del lugar geometri-co de los puntos que equidistan de dos rectas abaleadas. El procedimiento seguidoconsiste en identificar el punto, de cada una de las rectas, que proporciona la mınimadistancia entre un punto fijo y cada recta, luego se igualan estas dos distancias paraobtener la ecuacion cartesiana del LG que resulta ser una superficie. Luego, usandobases de Grobner de un ideal en el anillo de polinomios R[x, y, z, s, t], se obtiene unarepresentacion parametrica para dicha superficie
2. Nociones preliminares
2.1. Lugar geometrico
Definicion 2.1. Un lugar geometrico (LG) es el conjunto de puntos que satisfacencierta o ciertas propiedades.
1
Si el lugar geometrico es definido por la propiedad P, entonces:
Todo punto de LG satisface la propiedad P.
Todo punto que satisface la propiedad P pertenece al LG.
Por ejemplo, una esfera con centro en el punto O ∈ R3 y radio r > 0 es el lugargeometrico de todos los puntos P ∈ R3 cuya distancia al punto O es igual a r. Elpunto O es el centro de la esfera y r su radio. Tambien, dado un punto fijo P0 ∈ R3
y un vector fijo→v∈ R3, la recta que pasa por P0 y es paralela al vector
→v es el lugar
geometrico de todos los puntos P ∈ R3 tales que el vector P −P0 es paralelo al vector→v , es decir
P = P0 + t→v , t ∈ R
2.2. Distancia de un punto a una recta
Previamente describiremos la manera como hallar la distancia de un punto a una
recta. Para ello consideremos una recta L generada por una funcion vectorial→α (t) =
P0 + t→v , t ∈ R, donde P0 ∈ R3 es un punto fijo y
→v∈ R3 es el vector direccion de L,
y un punto P ∈ R3, la distancia de P a L esta dada por
d(P,L) =‖ →v ×(P − Po)‖‖ →v ‖
(1)
expresion que solamente vale en R3 debido a que depende del producto vectorial dedos vectores.
De manera equivalente, para hallar la distancia del punto P a la recta L bas-tara encontrar el pie de la recta perpendicular a L trazada por el punto P (punto Q,ver figura 1) y luego, simplemente, calcular la distancia entre los puntos P y Q. Elpunto Q se obtiene mediante
Q = P0 +
→v ·(P − P0)
‖v‖2→v (2)
En consecuencia, la distancia del punto P a la recta L esta dada por (figura 1)
d(P,L) = d(P,Q) (3)
La funcionDistaPuntoRecta[P , P0 , V ]
definida en el programa 1, permite obtener la distancia de un punto P a la recta quepasa por el punto Po y tiene la direccion del vector V .
DistaPuntoRecta@P_, Po_, V_D := FullSimplifyBNormBP - Po -
V . HP - PoL
Norm@VD2VFF
Programa 1
2
P
L
Q
Po
X
Y
Z
Figura 1: Distancia de un punto a una recta
Por ejemplo, para hallar la distancia del punto P = (1, 1, 1) a la recta L que pasa
por el punto P0 = (0, 0, 0) y tiene la direccion del vector→v= (1, 0, 0), ingrese la funcion
DistaPuntoRecta[{1, 1, 1}, {0, 0, 0}, {1, 0, 0}]
que al ejecutarla tendra
√2
Observacion 2.1. Los parametros en la funcion DistaPuntoRecta pueden ser vec-tores de dos o tres componentes. Esta es una caracterıstica de Mathematica, la defini-cion de una funcion no esta ligada, necesariamente, a la dimension del espacio quecontiene a su dominio.
En el programa 2, usando la expresion (3), se define la funcion
DistaPuntoRectaGraf[P , Po , V , a , b ]
para calcular la distancia de un punto a una recta en R3 y construir las graficascorrespondientes. Los parametros de esta funcion son: P el punto desde donde se cal-culara la distancia, Po el punto de paso de la recta, V el vector direccion de la recta;y a y b los extremos del intervalo donde toma valores la variable para construir la recta.
Po - 2 V + 8.6, .6, .8<D, Text@"Q", Q + 80.6, .6, -.2<D, Text@"Po", Po + 80.6, .6, .2<D>F;
Print@"distanciaH", P, ",", Q, "L=", DistanciaPL, "=", N@DistanciaPLDD;
Show@GRecta, GPuntosPQ, TextoDF
Programa 2
Con la finalidad de verificar la buena definicion de la funcion DistaPuntoRectaGraf,considere el punto P0(−1; 2; 3), el vector direccion V = (2;−1;−1) y el punto P (6; 1; 5).Ingrese
al ejecutarla obtendra el resultado que se muestra en la figura 2:
v®
P
L
Q
Po
-5
0
5
X
-2
0
2
4
6
Y
0
2
4
6
Z
distanciaH86, 1, 5<,:10
3, -
1
6,
5
6>L=
155
6=5.08265
Figura 2: Distancia de P (6, 1, 5) a L :→α (t) = (−1, 2, 3) + t(2,−1,−1)
4
2.3. Distancia entre dos rectas
Si las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de cualquierpunto de una de ellas a la otra recta. De manera que se puede asumir que las rectasson no paralelas y tampoco se intersecan.
Definicion 2.2. Dos rectas en R3 que no son paralelas ni se intersecan se denominanrectas alabeadas.
Sean L1 y L2 rectas alabeadas generadas por las funciones→α (s) = P1+s
→u, s ∈ R
y→β (t) = P2 + t
→v , t ∈ R, respectivamente.
Los puntos P1, P1+→u, y P1+
→v no son colineales ya que los vectores
→u y
→v
son no paralelos, en consecuencia dichos puntos determinan el plano π1 que contiene
a la recta L1. De la misma manera, los puntos P2, P2+→u, y P2+
→v determinan el
plano π2 que contiene a la recta L2. Ademas los planos π1 y π2 son paralelos puesto
que tienen el mismo vector normal,→u × →
v . De aquı se concluye que existen dos unicosplanos paralelos, π1 y π2, que contienen a las rectas alabeadas L1 y L2, respectivamente(figura 3). El argumento desarrollado prueba la siguiente proposicion.
Figura 3: Planos que contienen a las rectas alabeadas
Proposicion 2.1. Dadas dos rectas alabeadas L1 y L2 existen dos unicos planosparalelos π1 y π2 que contienen a L1 y a L2, respectivamente.
Proposicion 2.2. La distancia entre dos rectas alabeadas L1 y L2 esta dada por
d(L1, L2) =|(P2 − P1)· →u × →
v ||| →u × →
v ||(4)
Prueba. La expresion 4 se obtiene observando que el volumen del paralelepıpedo P(figura 4) determinado por los vectores
→u ,
→v y P2 − P1 es
vol(P) = |(P2 − P1)· →u × →v | (5)
que tambien es igual al producto del area de su base, ‖ →u × →
v ‖, por su altura, h, esdecir que
vol(P) = h‖ →u × →
v ‖ (6)
5
Figura 4: Distancia entre dos rectas alabeadas L1 y L2
en consecuencia, de (5) y (6) resulta que
h =|(P2 − P1)· →u × →
v |‖ →u × →
v ‖= d(L1, L2).
La funcion
DistaRectaRecta[P1 , U , P2 , V ]
definida en el programa 3, devuelve la distancia entre dos rectas en R3.
Los parametros de esta funcion son P1, U (punto de paso y vector direccion de larecta L1) y P2, V (punto de paso y vector direccion de la recta L2).
Para verificar la buena definicion de la funcion DistaRectaRecta, considere L1 :(0, 0, 0) + t(1, 3, 4), t ∈ R y L2 : (1, 1, 1) + s(3, 4, 6), s ∈ R e ingrese
En esta seccion se describe un procedimiento para construir e identificar el lugargeometrico de los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto y deuna recta y tambien el LG de los puntos que equidistan de dos rectas.
3.1. LG de los puntos que equidistan de un punto y de unarecta
Consideremos una recta L :→α (t) = P0 + t
→v , t ∈ R y un punto fijo F . Sea P un
punto que equidista de L y F . La recta perpendicular a L que pasa por P interseca aL en el punto
Q = P0 +
→v ·(P − P0)
‖v‖2→v ,
luego, la ecuacion del LG de los puntos que equidistan de L y F esta dada por
d(P,Q) = d(P, F )
La funcion
LGDistaPuntoRecta[Paso , V ector , Foco , a , b ]
definida en el programa 4, permite obtener la ecuacion cartesiana del LG de los puntosque estan a la misma distancia de un punto fijo F y de una recta fija L.
Los parametros de esta funcion son: el punto de paso de la recta (Paso), el vectordireccion de la recta (Vector), el punto fijo (Foco) y los extremos del intervalo de lavariable para construir la recta (a y b, respectivamente).
3.2. LG de los puntos que equidistan de dos rectas
Si las rectas son paralelas, el conjunto de puntos que equidistan de ambas rectases un plano que se denomina plano mediador. Si las rectas se intersecan, los puntosque equidistan de ambas rectas constituyen los planos bisectores de los angulos queforman dichas rectas. En consecuencia podemos suponer que las rectas son alabeadas.
Consideremos las rectas
L1 :→α (s) = P1 + s
→u, s ∈ R y L2 :
→β (t) = P2 + t
→v , t ∈ R, (7)
y P (x, y, z) un punto generico del conjunto de puntos que equidistan de L1 y L2. SeanQ1 ∈ L1 y Q2 ∈ L2 los puntos mas proximos a P . Por (2) dichos puntos son de laforma
Q1 = P1 +
→u ·(P − P1)
‖ →u ‖2
→u, Q2 = P2 +
→v ·(P − P2)
‖ →v ‖2
→v , (8)
8
Figura 5: LG de los puntos que equidistan de un punto y una recta
respectivamente. Luego la ecuacion cartesiana del LG de los puntos que equidistan deL1 y L2 esta dada por
d(P,Q1) = d(P,Q2) (9)
A partir de la ecuacion (9) podemos encontrar una representacion parametrica deesta superficie, teniendo como parametros las variables que se usan para describir lasrectas.
De (7) y (8) se tiene las ecuaciones
(P − P1).→u= s ‖ →
u ‖2 y (P − P2).→v= t ‖ →
v ‖2
que junto con la ecuacion (9) se obtiene el sistema de tres ecuaciones polinomiales enlas variables x, y, z, s y t (P − P1).
→u= s ‖ →
u ‖2
(P − P2).→v= t ‖ →
v ‖2(d(P,Q1))2 = (d(P,Q2))2
(10)
La solucion del sistema (10), para las variables x, y, z en terminos de s y t, x = x(s, t)y = y(s, t), s, t,∈ Rz = z(s, t)
(11)
constituye una representacion parametrica del LG.
9
El sistema (11) se obtiene construyendo la base de Grobner del ideal generado porlos polinomios
(P − P1).→u −s ‖ →
u ‖2, (P − P2).→v −t ‖ →
v ‖2, (d(P,Q1))2 − (d(P,Q2))2
en el anillo de polinomios R[x, y, z, s, t]. Para ello usamos la funcion de MathematicaGroebnerBasis.
Usaremos la ecuacion (9) para definir la funcion
LGDistaRectaRectaParametriza[Paso1 , V ector1 , Paso2 , V ector2 , a , b ]
(ver programa 5) con la finalidad de obtener la ecuacion cartesiana, una representacionparametrica y la grafica del LG. Los parametros de esta funcion son: el punto de pasoy el vector direccion de la recta L1 (Paso1, Vector1), el punto de paso y el vectordireccion de la recta L2 (Paso2, Vector2) y los extremos del intervalo de la variablepara construir la recta (a y b, respectivamente).
Para verificar la buena definicion de la funcion LGDistaRectaRectaParametriza