ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS EN EL ESPACIO APM Página 1 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS EN EL ESPACIO 1. Área y volumen del ortoedro y del cubo . 1.1. Área y volumen del ortoedro. 1.2. Cálculo de la diagonal del ortoedro. 1.3. Área y volumen del cubo. 2. Área y volumen del prisma. Principio de Cavalieri . 3. Área y volumen del cilindro . 4. Área y volumen de pirámides regulares y conos . 4.1. Área y volumen de la pirámide regular. 4.2. Área y volumen del cono. 5. Área y volumen de troncos y esferas . 5.1. Área y volumen del tronco de pirámide. 5.2. Área y volumen del tronco de cono. 5.3. Área y volumen de la esfera. 6. Área y volumen de poliedros regulares . 7. Resumiendo: tabla de fórmulas . Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del Bloque de Geometría de 2º ESO citados en el Decreto 69/2007, de 29-05-2007, por el que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM 01-06-2007) Poliedros y cuerpos de revolución. Desarrollos planos y elementos característicos. Clasificación atendiendo a distintos criterios. Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. Volúmenes de cuerpos geométricos. Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes. Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros. Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos.
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ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS EN EL ESPACIOrea y volumen del cilindro. 4. Área y volumen de pirámides regulares y conos. 4.1. Área y volumen de la pirámide regular. 4.2. Área
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1. Área y volumen del ortoedro y del cubo.
1.1. Área y volumen del ortoedro.
1.2. Cálculo de la diagonal del ortoedro.
1.3. Área y volumen del cubo.
2. Área y volumen del prisma. Principio de Cavalieri.
3. Área y volumen del cilindro.
4. Área y volumen de pirámides regulares y conos.
4.1. Área y volumen de la pirámide regular.
4.2. Área y volumen del cono.
5. Área y volumen de troncos y esferas.
5.1. Área y volumen del tronco de pirámide.
5.2. Área y volumen del tronco de cono.
5.3. Área y volumen de la esfera.
6. Área y volumen de poliedros regulares.
7. Resumiendo: tabla de fórmulas.
Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del
Bloque de Geometría de 2º ESO citados en el Decreto 69/2007, de 29-05-2007, por el
que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad
Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM 01-06-2007)
Poliedros y cuerpos de revolución. Desarrollos planos y elementos
característicos. Clasificación atendiendo a distintos criterios. Utilización de
propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo
físico.
Volúmenes de cuerpos geométricos. Resolución de problemas que impliquen
la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes.
Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición,
intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de
poliedros para analizarlos u obtener otros.
Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar
relaciones entre elementos geométricos.
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1. ÁREA Y VOLUMEN DEL ORTOEDRO Y DEL CUBO.
1.1. ÁREA Y VOLUMEN DEL ORTOEDRO.
Como ya sabemos, un ortoedro es un paralelepípedo en el que la totalidad de sus
caras son rectángulos.
Para conocer el área del ortoedro, es necesario conocer primero su desarrollo.
Observemos el siguiente ortoedro:
Si lo desarrollamos:
Podemos observar que se trata de seis rectángulos iguales dos a dos.
El área de la base (rectángulo verde) es a∙b.
El área lateral es: Perímetro de la base x altura = (2a+ 2b) x c
Luego, el área del ortoedro es: área bases + área lateral =2ab + 2ac + 2bc.
Por tanto, si tenemos un ortoedro con dimensiones a, b y c, el área será:
Área del ortoedro = 2∙(ab + ac + bc)
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Pasemos a calcular el volumen del ortoedro.
Observa la siguiente caja, que es un ortoedro.
¿Cuántos cubitos unidad hay en la figura?
Rellenamos el fondo con cubos, formando una capa de 6 ∙2 = 12 cubitos.
Para rellenar la caja hay que poner tres capas. Por tanto: (6 ∙2) ∙3 = 36 cubitos.
Como el producto a∙b es el área de la base, el volumen del ortoedro es igual al
área de la base por la altura.
Por tanto, si tenemos un ortoedro con dimensiones a, b y c, el volumen será:
Volumen del ortoedro = área base x altura = a∙b∙c
Veamos un ejemplo de cálculo: Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y
1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.
a) ¿Cuánto costará pintarla?
b) ¿Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla?
Vamos a hacer un dibujo representativo.
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CUIDADO: Ten en cuenta que la piscina no tiene tapa. Luego la base no hay que