Realized volatiliy distribution in superstaticsRealized volatility 実現ボラティリティ rt VtHt...

株価実現ボラティリティ分布の解析

広島経済大学

高石哲弥

２０１０．０３．２１

物理学会

導入

ttr )(

)(2

tP

株価変動P（ｔ）のダイナミクス

幾何ブラウン運動と仮定すると収益率r(t)=ln(P(t)/P(t-1)の変動は正規分布で表される

•Volatility Clustering

•Fat-tailed Distribution

実際の市場における収益率の

ボラティリティは時間変動する

正規分布ではない

ボラティリティをRealized volatility（実現ボラティリティ） からボラティリティを見積もる。

ボラティリティはある確率分布に従う

tttr )(

日本の証券市場におけるボラティリティ分布を調べる

Realized volatility 実現ボラティリティ

tttr

収益率の変動が以下のように表されるとき、ボラティリティをどのように推定するか？

収益率 ボラティリティ

ボラティリティは直接観測できる量ではないので見積もる必要がある

モデルボラティリティ

例えば、

GARCHモデル、EGARCHモデル、QGARCHモデル、GJRモデルなど

-5

0

5

10

15

20

-5 0 5

resp

on

se

y_t

GARCH

QGARCH

,ttty )1,0(~ Nt

2

1

2

1

2

ttt y

GARCH(1,1) model Bollerslev(1986)

2

1

2

11

2

tttt yy

QGARCH modelEngle(1993)

Sentana(1995)

モデルによってボラティリティの値が違ってくる

dWtdtttdp )()()(

n

i

it rRV1

2

dsst

tt

1

22 )(

モデルによらないボラティリティの見積もりの１つ

Realized volatility

対数価格P（ｔ）が以下の過程に従っているとする

日次ボラティリティ

Integrated volatility (IV)

Realized volatility は以下で定義される

IV

(Andersen, Bollerslev 1998)

Realized volatility を測定するときの問題点

マイクロストラクチャーノイズ

)()()( ttrtr ),0(:)( 2

WNt

))()(())()((

))()((

ttVartrtrVar

trtrVar

dsstrtrVart

t )())()(( 2

22))()(( ttVar

真の値 ノイズ観測値

Δ：時間間隔

0０

有限 ここでは、５分後とに計算する

夜間と昼休みの収益率の取り扱いをどうするか

午前 午後

この間の収益率をどうするか？

Hansen、Lunde(2005)

夜間と昼休みの収益率を除いてRVを計算する

T

t

t

T

t

t

RV

RR

c

1

0

1

2)(

夜間 夜間昼休み

RVの平均が日次収益率の分散と等しくなるように修正する

0

tt cRVRV

日次ボラティリティを知りたいとき

データ東証株価 ２００６年３月１から２００８年２月２８日 （４９３日）

東証1部:8411:(株)みずほフィナンシャルグループ

東証1部:7203:トヨタ自動車(株)

東証1部:6758:ソニー(株)

東証1部:8604:野村ホールディングス(株)

東証1部:6501:(株)日立製作所

東証1部:8601:(株)大和証券グループ本社

東証1部:5401:新日本製鐵(株)

Realized volatility は５分後とのデータを利用

収益率

日立

新日鉄

tttr )(

t

t

tr

)(

収益率が以下で表されるとする

正規分布

Andersen,Bollerslev,Diebold,Ebens(2001)

日立t

t

tr

)(

新日鉄

新日鉄 トヨタ ソニー 野村 日立 大和 みずほ

分散 4.832 2.588 3.977 4.8479 2.6703 5.7558 2.192

尖度 1.6324 2.369 2.072 0.4815 1.7429 0.9704 4.809

分散 0.916 0.922 0.990 1.1355 0.9348 1.0459 1.051

尖度 -0.180 0.405 0.405 0.7408 0.2120 0.0350 0.548

７銘柄の和

尖度 0.5488

)(2

tP

tttr )(

ボラティリティの確率分布

2

2

22/12

0

2 )2

exp()2)(()( t

t

tt dr

PrP

収益率の確率分布

2

tth

/1)( th

tt ehhP

)2/()(ln 221)(

th

t

t eh

hP

th

tt ehhP/1

)(

Gamma分布

Lognormal分布

IGamma分布

Beck,Cohen,Swinney(2005)

dqtdWtdtttdp )()()()(

t

t

t

t

n

i

it sdssrRV1

2

1

2

1

2 )()(

ジャンプ過程ジャンプが存在するとき

ジャンプサイズジャンプがあるかどうか

このとき

Bi-Power Variation (Barndorff-Nielsen, Shephard 2004)

dssrrBPVt

t

n

i

iit

1

2

2

12)(||||

1

/2

ttt BPVRVJ

ジャンプの寄与

BPVもＩｎｖｅｒｓｅ Ｇａｍｍａ

まとめ

東証株価７銘柄についてRVよって日次ボラティリティを見積もった。

RVで規格化した収益率は尖度が小さくなった（正規分布に近づく）

RV及びＢＰＶ分布はIG分布によってよくフィッテイングされるようである

Gamma分布になっている例があるか？

Ｉｎｖｅｒｓｅ Ｇａｍｍａ

Ｇａｍｍａ

スチューデント分布

指数分布 Sattin,Salasnich(2002)

ボラティリティ分布がガンマ分布になる例があるか？

Matia,Pal,Salunkay,Stanley(2004)

インド

日立 新日鉄 みずほ トヨタ

Gamma 0.0201 0.019 0.028 0.017

Lognormal 0.014 0.0167 0.023 0.00997

IGamma 0.0098 00147 0.018 0.00493

標準偏差

IGamma>Lognormal>Gamma

/1)( th

tt ehhf

)2/()(ln 221)(

th

t

t eh

hf

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