-
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Reakció-diffúziós egyenletek megoldhatósága
SzakdolgozatMatematikus MSc
Mihálka Éva Zsuzsanna
Témavezető: Karátson János, egyetemi tanárAlkalmazott
Anaĺızis és Számı́tásmatematikai Tanszék
Budapest, 2016
-
Köszönetnyilváńıtás
Köszönettel tartozom témavezetőmnek, Karátson Jánosnak a
dolgozat elkésźıtése soránnyújtott seǵıtségéért.
Iránymutatásával és türelmével hozzájárult ahhoz, hogy ez a
dol-gozat elkészülhessen. Hálásan köszönöm a konzultációk
során kapott hasznos tanácsokatés ötleteket, a kérdéseimre
adott készséges válaszokat, valamint a dolgozat nagyon
alaposáttekintését.
-
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés 3
1.1. Kémiai modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 3
2. Elméleti összefoglaló 7
2.1. Lp(Ω) és Szoboljev-terek . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 7
2.2. Alapfogalmak, alaptulajdonságok . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 7
2.3. Megoldhatósági tételek . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 9
3. Stacionárius reakció-diffúziós egyenletek 11
3.1. Egy komponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 11
3.1.1. A p ≥ 2 eset Dirichlet-peremfeltétellel . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 12
3.1.2. Az 1 < p < 2 eset Dirichlet-peremfeltétellel . . .
. . . . . . . . . . . . 22
3.1.3. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 26
3.1.4. Neumann-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 27
3.2. Rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1. A p ≥ 2 eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 31
3.2.2. Az 1 < p < 2 eset . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 35
4. Időfüggő egyenletek 39
4.1. Parabolikus feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 39
4.2. Lineáris feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Nemlineáris feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1. Lipschitzes nemlineáris tag . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 42
1
-
Tartalomjegyzék
4.3.2. Operátorfélcsoportok és lokálisan Lipschitzes
nemlineáris tag . . . . . 46
Irodalomjegyzék 58
2
-
1. Bevezetés
A parciális differenciálegyenleteknek számtalan t́ıpusát
különböztetjük meg. Ezek közül areakció-diffúziós
egyenletek szemilineáris másodrendű egyenletek, melyek
többféle modellbenis előfordulnak. Ilyenek a kémiai reakciót
és diffúziót egyszerre léıró modellek, de például
aSchrödinger-egyenlet (mind az időfüggő és az időfüggetlen)
is ilyen t́ıpusú egyenlet. Ezen felülpopulációdinamikai
modellekben is ilyen feladatok fordulnak elő. Az alapvető
különbséget afeladatt́ıpusok között a nemlineáris rész
adja.
A kémiai reakciók során az abban részt vevő anyagok
koncentrációja változik, a változásmértéke pedig a
pillanatnyi koncentráció függvénye. Koncentrációváltozást
azonban nemcsak a kémiai reakció okoz, hanem a diffúzió és a
konvekció is. A diffúzió a kon-centrációgradiens hatására
bekövetkező anyagtranszport. A legegyszerűbb modellekben
nemfoglalkoznak sem a diffúzióval, sem a konvekcióval. Azonban
számos esetben ez nem tehetőmeg, sőt, éppen a diffúzió okozza
a különleges viselkedést (oszcilláció, mintázatok
megje-lenése). Ezért érdekes és fontos az ilyen t́ıpusú
differenciálegyenletek vizsgálata. A dolgo-zatban az egyértelmű
megoldás esetéről lesz szó, ami determinisztikus modellt
jelent.
Az első fejezetben röviden összefoglalom a feladatok
értelmezéséhez szükséges kémiaihátteret. A második
fejezetben a felhasznált alapfogalmak és megoldhatósági
tételek szere-pelnek. A harmadik fejezet témája a stacionárius
feladat megoldása Dirichlet-, Neumann-és vegyes peremfeltételek
esetében. Az egzisztenciát egy komponens és rendszer esetében
isvizsgáljuk. A negyedik fejezet az időfüggő feladatokkal
foglalkozik. Ebben az általánosabbalakú nemlineáris részt
tartalmazó egyenletek megoldhatóságát az
operátorfélcsoportokelméletére támaszkodva igazoljuk.
1.1. Kémiai modellek
A fizikai kémiai jelenségekről tartalmas összefoglalót ad
az [1] könyv. A kémiai reakciót léırósztöchiometriai egyenlet
általános alakja
N∑i=1
νiAi = 0,
ahol Ai az i-edik anyag kémiai képlete, νi pedig a hozzá
tartozó sztöchiometriai együttható.A kiindulási anyagokra ν
< 0, mı́g a termékekre ν > 0. A reakciósebesség
defińıció szerint
v =1
V
dξ
dt,
3
-
1.1. Kémiai modellek
ahol V jelöli a térfogatot, ξ pedig a reakciókoordináta,
mely a reakció előrehaladását méri.Tetszőleges i esetén νidξ
= dni, ahol ni az i-edik speciesz anyagmennyiségét jelöli.
Áttérvekoncentrációra: [Ai] = ni/V , és ı́gy a
reakciósebesség
v =1
νi
d[Ai]
dt. (1.1)
Általában egy kémiai reakció összetett, és több ún.
elemi reakcióból tevődik össze. Gyakori,hogy a
reakciósebesség arányos a kiindulási anyagok koncentrációinak
megfelelő hatványonvett szorzatával, ez a tömeghatás
törvénye. Az arányossági tényező a reakciósebességi
együtt-ható, mely adott hőmérsékleten állandó. Vagyis
egy
M∑j=1
νjAj =N−M∑k=1
µkBk
reakció esetén, ahol a bal oldalon szerepelnek a kiindulási
anyagok, a jobb oldalon a termékek(és most νj, µk > 0), a
reakciósebesség gyakran a következő formában ı́rható fel:
v = kM∏j=1
[Aj]αj .
Az αj kitevő a reakció rendűsége az i-edik anyagra nézve. A
rend csupán tapasztalatimennyiség, nem vezethető le más
tulajdonságokból. Bizonyos reakciók esetében megegyezika
megfelelő sztöchiometriai együtthatóval. Összetett reakciók
esetében az is lehetséges, hogya termék koncentrációja is
megjelenik a sebességi egyenletben, valamint a
reakciósebességsem adható meg mindig a fenti formulával.
Például az elemi hidrogén és bróm gázfázisú reakciója
([1]):
H2(g) + Br2(g) −→ 2HBr(g)
Az ehhez tartozó sebességi egyenlet pedig:
v = k[H2][Br2]
3/2
[Br2] + k′[HBr].
Az ilyen t́ıpusú sebességi egyenlet mindig összetett
mechanizmusra utal.
Az (1.1) egyenlet alapján az i-edik anyag koncentrációjának
megváltozása:
d[Ai]
dt= νiv = νik
M∏j=1
[Aj]αj , (j = 1, . . . ,M)
4
-
1.1. Kémiai modellek
vagyis az [Ai] koncentrációkra egy (általában nemlineáris)
differenciálegyenletet kapunk.Mindez olyan körülmények között
teljesül, amikor a reakcióelegyet homogénnek tekintjük.Ha
figyelembe vesszük a diffúziót, sőt akár a konvekciót is,
akkor a fenti sebességi egyenletet adiffúziós egyenlettel (Fick
II. törvénye, ld. [1]) kombinálva jutunk el az ún.
reakció-diffúziósegyenlethez, melynek általános alakja
∂tu = div(a∇u)− b∇u− q(x, u) + g. (1.2)
A fenti egyenletben u jelöli a koncentrációt, a jobb oldalon
az első tag a diffúziót, a másodika konvekciót, a harmadik
pedig a reakciót ı́rja le. Ha a sebességi egyenletben több
anyagkoncentrációja is szerepel, akkor parciális
differenciálegyenlet-rendszert kapunk.
Ilyen t́ıpusú egyenletek nemcsak kémiai reakcióknál
fordulnak elő, hanem például po-pulációdinamikai modellek
esetében is. Ezek megoldhatóságáról, illetve a
megoldásegyértelműségéről lesz a továbbiakban szó.
5
-
1.1. Kémiai modellek
6
-
2. Elméleti összefoglaló
A dolgozat nagy részben az Lp(Ω), H10 (Ω) és H1(Ω)
függvényterek néhány alapvető tulaj-
donságára, illetve a közöttük lévő kapcsolatra éṕıt
([7]).
2.1. Lp(Ω) és Szoboljev-terek
Legyen Ω ⊂ Rn korlátos tartomány.
2.1.1. Tétel. (Szoboljev-féle beágyazási tétel) Ha n > 2
és 2 ≤ p ≤ 2nn−2 , vagy ha
n = 2 és 2 ≤ p < ∞, akkor H10 (Ω) ⊂ Lp(Ω), H1(Ω) ⊂ Lp(Ω),
és létezik olyan Kp állandó,hogy tetszőleges f ∈ H10 (Ω)-ra
||f ||Lp(Ω) ≤ Kp||f ||H10 (Ω), valamint tetszőleges g ∈ H
1(Ω)-ra||g||Lp(Ω) ≤ Kp||g||H1(Ω).
2.1.2. Álĺıtás. Ha 1 ≤ p ≤ s, akkor Ls(Ω) ⊂ Lp(Ω), és
létezik KΩ,p,s állandó, hogy mindenf ∈ Ls(Ω)-ra ||f ||Lp(Ω) ≤
KΩ,p,s||f ||Ls(Ω).
Bizonýıtás. Legyen f ∈ Ls(Ω), vagyis∫Ω
|f |s = ||f ||sLs(Ω) < ∞. Ekkorsp≥ 1, és ı́gy a
Hölder-egyenlőtlenség alapján
∫Ω
|f |p =∫Ω
1 · |f |p ≤
∫Ω
1
s−ps
·
∫Ω
(|f |p)sp
ps
= cΩ,p,s · ||f ||pLs(Ω) 2 és 1 ≤ p ≤ 2nn−2 , vagy n = 2 és 1 ≤
p < ∞, akkor Ω korlátossága
miatt H10 (Ω) ⊂ Lp(Ω), ill. H1(Ω) ⊂ Lp(Ω), és létezik olyan
cΩ,p állandó, hogy tetszőleges f ∈H10 (Ω) esetén ||f ||Lp(Ω) ≤
cΩ,p||f ||H10 (Ω), valamint tetszőleges g ∈ H
1(Ω) esetén ||g||Lp(Ω) ≤cΩ,p||g||H1(Ω). Ugyanis p ≥ 2 esetén a
Szoboljev-féle beágyazási tétel éppen ezt mondja ki, hap <
2, akkor pedig az 2.1.2. álĺıtás alapján H10 (Ω), H
1(Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ Lp(Ω), és tetszőlegesf ∈ H10 (Ω)-ra és g ∈
H1(Ω)-ra ||f ||Lp(Ω) ≤ cΩ,p||f ||H10 (Ω), ill. ||g||Lp(Ω) ≤
cΩ,p||g||H1(Ω).
2.2. Alapfogalmak, alaptulajdonságok
A vizsgált differenciálegyenleteket, illetve a
peremérték-feladatokat általában átalaḱıtjukgyenge alakra,
és ı́gy absztrakt terekben értelmezett operátoregyenletekhez
jutunk. Ezekvizsgálatához szükség lesz néhány új
defińıcióra. Az itt szereplő fogalmak és az álĺıtások
7
-
2.2. Alapfogalmak, alaptulajdonságok
bizonýıtása a [4] könyvben megtalálhatók. A továbbiakban
minden itt szereplő normált térvalós.
2.2.1. Defińıció. Legyenek X, Y normált terek, és F : X → Y
nem feltétlenül lineárisoperátor. Azt mondjuk, hogy F
Gâteaux-deriválható az u ∈ X pontban, ha
i) tetszőleges v ∈ X esetén létezik a következő, ∂vF
(u)-val jelölt határérték:
limt→0
F (u+ tv)− F (u)t
,
ii) az X → Y , v 7→ ∂vF (u) leképezés folytonos és
lineáris.
Ha F minden u ∈ X esetén Gâteaux-deriváható u-ban, akkor a
második pontban szereplőoperátort F ′(u)-val jelölve egyrészt
F ′(u) ∈ B(X, Y ), másrészt egy F ′ : X → B(X, Y )leképezéshez
jutunk.
2.2.2. Példa. Ha F ∈ B(X, Y ), azaz F korlátos lineáris
operátor, akkor F (u+tv)−F (u)t
=F (v), ı́gy ∂vF (u) = F (v), és ez nyilván folytonos és
lineáris v-ben. Ezért F minden u ∈ Xpontban
Gâteaux-deriváható, és F ′(u) = F .
2.2.3. Defińıció. Legyenek X, Y, Z normált terek, A : X →
B(Y, Z) operátor. Aztmondjuk, hogy A bihemifolytonos, ha
tetszőleges rögźıtett u, v, w ∈ X és z ∈ Y esetén azR2 3 (t,
s) 7→ A(u+ tv + sw)z, R2-ből Z-be vezető leképezés
folytonos.
Ha pl. φ : X → R funkcionál, X = Y és Z = R, akkor B(Y, Z) =
X∗, és ı́gy értelmezhető aφ′ : X → X∗ Gâteaux-derivált
bihemifolytonossága.2.2.4. Defińıció. Legyen X Banach-tér, φ :
X → R funkcionál. u, v ∈ X és t ∈ [0, 1]esetén legyen φu,v(t) =
φ(u+ t(v−u)). Azt mondjuk, hogy φ (szigorúan) konvex, ha mindenu,
v ∈ X esetén φu,v (szigorúan) konvex.2.2.5. Álĺıtás. Ha φ : X
→ R konvex funkcionál Gâteaux-deriválható, akkor mindenu, v ∈ X
esetén φ(u)− φ(v) ≥ 〈φ′(v), u− v〉.2.2.6. Defińıció. Egy F : X →
X∗ operátor monoton, ha ∀u, v ∈ X esetén
〈F (u)− F (v), u− v〉 ≥ 0.Az operátor szigorúan monoton, ha a
fenti kifejezésben pontosan akkor áll fenn egyenlőség,ha u = v.
Végül az operátor egyenletesen monoton, ha létezik m > 0,
hogy minden u, v ∈ Xesetén 〈F (u)− F (v), u− v〉 ≥ m||u−
v||2.2.2.7. Álĺıtás. Legyen φ : x→ R Gâteaux-deriválható
funkcionál. Ekkor ekvivalensek:
i) φ konvex,
ii) φ′ : X → X∗ monoton operátor.2.2.8. Defińıció. Legyen X
Banach-tér, A : X → X∗ operátor. Azt mondjuk, hogy
Apotenciáloperátor, ha létezik J : X → R Gâteaux-deriválható
funkcionál, melyre J ′ = A.Ekkor J-t az A potenciáljának
nevezzük.
Ha a potenciál létezik, akkor az addit́ıv konstans erejéig
egyértelmű.
8
-
2.3. Megoldhatósági tételek
2.3. Megoldhatósági tételek
A gyenge alakból kapott operátoregyenletekben szereplő
operátorok az előzőekben defi-niált tulajdonságokkal
rendelkezhetnek. Bizonyos monotonitási, korecitivitási illetve
dif-ferenciálhatósági feltételek teljesülése esetén az
egyenletek megoldhatóságára, valamint amegoldás
egyértelműségére több tétel is vonatkozik. Ezek közül azok
szerepelnek csak itt,amelyeket közvetlenül fel is használunk.
További megoldhatósági tételek és az alább
szereplőálĺıtások bizonýıtása megtalálható a [4]
könyvben.
2.3.1. Tétel. Legyen H valós Hilbert-tér, és tegyük fel,
hogy az F : H → H operátorra akövetkezők teljesülnek:
i) létezik m > 0, hogy 〈F (u) − F (v), u − v〉 ≥ m||u − v||2
(u, v ∈ H10 (Ω)), azaz Fegyenletesen monoton,
ii) létezik olyan M : R+ → R+ monoton növő függvény,
hogy
||F (u)− F (v)|| ≤M(r)||u− v|| (∀u, v ∈ H, ||u|| ≤ r, ||v|| ≤
r),
azaz F lokálisan Lipschitzes.
Ekkor bármely b ∈ H esetén az F (u) = b operátoregyenletnek
egyértelműen létezik megoldása,azaz u∗ ∈ H, melyre F (u∗) =
b.
2.3.2. Tétel. Legyen H valós Hilbert-tér. Ha az F : H → H
operátorra fennáll, hogy
i) F Gâteaux-deriválható, F ′ bihemifolytonos,
ii) minden u ∈ H esetén F ′(u) ∈ B(H) önadjungált,
iii) létezik m > 0, hogy minden u, h ∈ H esetén 〈F ′(u)h,
h〉 ≥ m||h||2,
akkor tetszőleges b ∈ H esetén az F (u) = b
operátoregyenletnek egyértelműen létezik u∗ ∈ Hmegoldása.
2.3.3. Tétel. Legyen X reflex́ıv Banach-tér, és F : X → X∗
szigorúan monoton po-tenciáloperátor. Jelölje egy
potenciálját J . Ha lim
||u||→+∞
J(u)||u|| = +∞, akkor az F (u) = b
∗
operátoregyenletnek minden b∗ ∈ X∗-ra egyértelműen létezik
u∗ ∈ H megoldása.
9
-
2.3. Megoldhatósági tételek
10
-
3. Stacionárius reakció-diffúziós egyenletek
Ebben a fejezetben a dolgozat elején definiált
reakció-diffúziós egyenlet (illetve -rendszer)stacionárius
megoldásait vizsgáljuk különböző peremfeltételek mellett.
Belátjuk, hogy ha anemlineáris tag eleget tesz bizonyos
folytonossági, növekedési és monotonitási feltételeknek,akkor
a stacionárius megoldás egyértelműen létezik.
Ha a
∂u
∂t= div(a∇u)− b∇u− q(x, u) + g
reakció-diffúziós egyenlet időben állandó, azaz
stacionárius megoldásait keressük, akkor azegyenlet jobb
oldalát nullával egyenlővé téve elliptikus parciális
differenciálegyenlethez (vagytöbb ismeretlen esetében
-rendszerhez) jutunk.
3.1. Egy komponens
Legyen Ω ⊂ Rn korlátos tartomány. Ebben a szakaszban azzal az
esettel foglalkozunk,amikor egyetlen komponensre vonatkozik az
egyenlet.
Tekintsük a következő szemilineáris feladatot:
{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,u|∂Ω = ϕ.
(3.1)
A peremfeltétel tehát Dirichlet-peremfeltétel. Később más
t́ıpusú peremfeltételekkel is fog-lalkozunk. A fenti egyenletben
az első két tag lineáris, mı́g a harmadik többnyire nem az,
ésa q-ra vonatkozó növekedési feltétel általában az |u|-nak
a p−1-edik hatványát tartalmazza,ahol p > 1 valós szám. Ezen
p értékétől függően két osztályba sorolhatjuk a
feladatokat, ésa megoldás létezését is eszerint
vizsgálhatjuk.
Mivel kémiai reakciók esetében a keresett u megoldás
koncentrációt jelöl, a megoldásnak csakakkor van értelme, ha
az nemnegat́ıv. A q(x, ξ) függvényről feltesszük, hogy ξ-ben
monotonnövő. Ekkor a (3.1) feladat ekvivalens alakja
{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x,u)−q(x,0)
uu = g − q(x, 0),
u|∂Ω = 0.(3.2)
Ha u∗ a fenti egyenlet megoldása, akkor megoldása az alábbi
lineáris egyenletnek is:
11
-
3.1. Egy komponens
{−div(a∇u) + b · ∇u+ h(x)u = g̃,u|∂Ω = 0,
(3.3)
ahol h(x) :=q(x, u∗)− q(x, 0)
u∗≥ 0, mivel q(x, ξ) a második változójában monoton növő,
és
g̃(x) := g(x) − q(x, 0). Ha ϕ ≥ 0 és g̃ ≥ 0, akkor a (3.3)
lineáris Dirichlet-feladat bármelymegoldása, ezáltal u∗ is
nemnegat́ıv (ez a maximum-elv, ld. [3]).
Tekintsük most a homogén peremfeltételt, azaz legyen ϕ = 0. A
(3.1) feladatban sze-replő egyenletet v ∈ C10(Ω) függvénnyel
szorozzuk, majd Ω-n integrálunk. A Gauss-Osztrogradszkij-tétel
és a peremfeltétel felhasználásával azt kapjuk, hogy minden v
∈ C10(Ω)esetén
∫Ω
(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) =∫Ω
gv.
Mivel C10(Ω) ⊂ H10 (Ω) sűrű, ı́gy a (3.1) feladat gyenge
alakja a következő: olyan u ∈ H10 (Ω)függvényt keresünk, hogy
tetszőleges v ∈ H10 (Ω) esetén
∫Ω
(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) dx =∫Ω
gv dx. (3.4)
3.1.1. A p ≥ 2 eset Dirichlet-peremfeltétellel
Legyen Ω ⊂ Rn korlátos tartomány. Tegyük fel, hogy a (3.1)
feladatban szereplő függvényeka következő tulajdonságokkal
rendelkeznek:
3.1.1. Feltételek.
1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),
2. b ∈ C1(Ω,Rn
), div(b) = 0,
3. q : Ω × R → R függvény, rögźıtett x ∈ Ω mellett q(x, ξ)
ξ-ben monoton növő, ésléteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2n
n−2 , ha n > 2, ill. 2 ≤ p
-
3.1. Egy komponens
Bizonýıtás.
Egyrészt div(bu2) = u2div(b)+2(b ·∇u)u = 2(b ·∇u)u. Másrészt
a Gauss-Osztrogradszkij-tételből:
∫Ω
(b · ∇u)u = 12
∫Ω
div(bu2) =1
2
∫∂Ω
(bu2) · ν ds = 0,
mivel u|∂Ω = 0 nyom-értelemben.
3.1.3. Álĺıtás. A 3.1.1.-beli feltételek teljesülése
esetén a (3.1) feladatnak minden g ∈L2(Ω) esetén egyértelműen
létzik gyenge megoldása.
Bizonýıtás. A 3. tulajdonságból következik, hogy léteznek
olyan α, β ≥ 0 konstansok,mellyel |q(x, ξ)| ≤ α + β|ξ|p−1.
Az egyenlet jobb oldalából kapható v 7→∫Ω
gv leképezés nyilván lineáris, és korlátos is:
|∫Ω
gv| ≤ ||g||L2(Ω)||v||L2(Ω) ≤ cΩ||g||L2(Ω)||v||H10 (Ω). Így
minden g ∈ L2(Ω) függvényhez
egyértelműen létezik b ∈ H10 (Ω), hogy∫Ω
gv = 〈b, v〉H10 .
Továbbá a v 7→∫Ω
(a∇u∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) leképezés rögźıtett u mellett
v-ben
lineáris, és ez a funkcionál korlátos (azaz folytonos).
Ugyanis tagonként becsülve:
∫Ω
|a∇u∇v| ≤ ca∣∣∣∣∣∣|∇u|∣∣∣∣∣∣
L2(Ω)+∣∣∣∣∣∣|∇v|∣∣∣∣∣∣
L2(Ω)= ca||u||H10 ||v||H10 , (3.5)
ahol |a| ≤ ca, kihasználva a korlátosságát. Továbbá |b ·
∇u| ≤ |b| · |∇u| ≤ cb|∇u|, hiszen bis korlátos. Ezáltal
∫Ω
|(b · ∇u)v| ≤ cb∣∣∣∣∣∣|∇u|∣∣∣∣∣∣
L2(Ω)||v||L2(Ω) ≤ cbcΩ||u||H10 ||v||H10 .
Végül a Hölder-egyenlőtlenség alapján (q az 1p
+ 1q
= 1 összefüggésben szereplő q, és ezért
p/q = p− 1):
∫Ω
|q(x, u)v| dx ≤∫Ω
(α|v|+ β|u|p−1|v|)| ≤ α||v||L1(Ω) + β
∫Ω
|u|(p−1)q1/q ·
∫Ω
|v|p1/p
= α · ||v||L1(Ω) + β||u||p/qLp(Ω) · ||v||Lp(Ω) ≤ (αcΩ,1 +
cp−1Ω,p ||u||
p−1H10
)||v||H10 .(3.6)
13
-
3.1. Egy komponens
A Riesz-féle reprezentációs tétel szerint tehát
egyértelműen létezik olyan F (u) ∈ H10 (Ω),hogy
∫Ω
(a∇u∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) = 〈F (u), v〉H10 (Ω) minden v ∈
H10 (Ω)-ra. Ezáltal a
feladat gyenge alakja 〈F (u), v〉H10 = 〈b, v〉H10 alakra hozható.
Mivel ez az egyenlet mindenv ∈ H10 (Ω) esetén fennáll, ı́gy
eljutunk a következő operátoregyenlethez:
F (u) = b
Elegendő azt belátni, hogy az F : H10 (Ω) → H10 (Ω)
operátorra teljesülnek a 2.3.1. tételfeltételei.
Az egyenletes monotonitás igazolásához bontsuk fel az F
operátort három részre: F =A+B +N , ahol 〈A(u), v〉 =
∫Ω
a∇u · ∇v, 〈B(u), v〉 =∫Ω
(b∇u)v, és 〈N(u), v〉 =∫Ω
q(x, u)v.
A és B lineáris operátorok, ı́gy áttérve a h = u−v
jelölésre 〈A(u)−A(v), u−v〉 = 〈A(h), h〉 =∫Ω
a|∇h|2 ≥ m||h||2H10 (Ω)
= m||u− v||2H10 (Ω)
, felhasználva az a-ra szabott feltételt.
A második tag esetében a 3.1.2. álĺıtás alapján azt
kapjuk, hogy 〈B(u) − B(v), u − v〉 =〈B(h), h〉 =
∫Ω
(b · ∇h)h = 0. Végül 〈N(u)−N(v), u− v〉 =∫Ω
(q(x, u)− q(x, v))(u− v) ≥ 0,
mivel q(x, ξ) ξ-ben monoton nő, ı́gy az integrandus
nemnegat́ıv.
Tehát 〈F (u)− F (v), u− v〉H10 ≥ m||u− v||2H10
, vagyis F egyenletesen monoton.
A 2.3.1. tételben szereplő második feltétel, hogy az F
operátor lokálisan Lipschitzes. Ennekigazolásh́oz érdemes
ismét tagonként vizsgálódni. Egyrészt tetszőleges z ∈ H10 (Ω)
esetén||z||H10 = sup||v||
H10=1
〈z, v〉H10 . Másrészt 〈A(u) − A(v), h〉 = 〈A(u − v), h〉 =∫Ω
a(∇u −∇v)∇h ≤
ca||u− v||H10 · ||h||H10 , emiatt ||A(u)− A(v)|| ≤
sup||h||H10
=1
ca||u− v||H10 · ||h||H10 = ca||u− v||H10 .
Hasonlóan, 〈B(u)−B(v), h〉 = 〈B(u− v), h〉 =∫Ω
(b · (∇u−∇v))h ≤ cbcΩ||u− v||H10 · ||h||H10 ,
ahonnan ||B(u)−B(v)|| ≤ sup||h||
H10=1
cbcΩ||u− v||H10 ||h||H10 = cbcΩ||u− v||H10 .
Végül a nemlineáris tagra azt kapjuk, hogy
〈N(u)−N(v), h〉 =∫Ω
(q(x, u)− q(x, v))h ≤∫Ω
(α1 + β1(|u|+ |v|)p−2)|u− v||h|
≤ α1||u− v||L2(Ω)||h||L2(Ω) + β1|||u|+ |v|||p−2Lp(Ω) · ||u−
v||Lp(Ω)||h||Lp(Ω)≤ c2Ωα1||u− v||H10 ||h||H10 + β1c
pΩ,p(||u||H10 + ||v||H10 )
p−2||u− v||H10 ||h||H10 .
Ezt alkalmazva pedig
14
-
3.1. Egy komponens
||N(u)−N(v)|| ≤ sup||h||
H10=1
(c2Ωα1||u− v||H10 + β1cpΩ,p(||u||H10 + ||v||H10 )
p−2||u− v||H10 )||h||H10
= (c2Ωα1 + β1cpΩ,p(||u||H10 + ||v||H10 )
p−2)||u− v||H10 .
Össześıtve ||F (u) − F (v)|| ≤ M(r)||u − v||, ha ||u|| ≤ r,
||v|| ≤ r, ahol M(r) = ca +cbcΩ + c
2Ωα1 + β1c
pΩ,p(2r)
p−2 monoton növő függvény. Ezzel beláttuk, hogy a (3.1)
gyengealakból kapható F (u) = b operátoregyenletben szereplő F
operátor egyenletesen monotonés lokálisan Lipschitzes, vagyis a
2.3.1. tétel értelmében minden b ∈ H10 (Ω)-ra
egyértelműenlétezik megoldása.
Szigorúbb feltételeket szabva a (3.1) egyenletben szereplő
függvényekre, az előző gondolat-menetet követve ismét
operátoregyenlethez jutunk. Megfelelő feltételek mellett az ı́gy
kapottF egy megfelelő tulajdonságokkal rendelkező
potenciáloperátor, ı́gy a megoldás létezését a2.3.2. tétel
seǵıtségével is igazolhatjuk. Ekkor az elsőrendű tag
nyilvánvalóan nem szerepel-het az egyenletben, hiszen annak nem
lehet potenciálja (antiszimmetrikus).
Vagyis a feladat alakja egyszerűsödik:
{−div(a∇u) + q(x, u) = g,u|∂Ω = 0.
(3.7)
A (3.7) feladat gyenge alakja ı́gy a következő: olyan u ∈ H10
(Ω) gyenge megoldást keresünk,melyre teljesül, hogy
∫Ω
(a∇u · ∇v + q(x, u)v) =∫Ω
gv (∀v ∈ H10 (Ω)). (3.8)
Az a és q függvényekre vonatkozó feltételek is szigorúbbak
lesznek:
3.1.4. Feltételek.
1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),
2. q ∈ C1(Ω× R
), és léteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2n
n−2 , ha n > 2 ill. 2 ≤ p < ∞, ha n = 2, ésα1, β1 ≥ 0
állandók, hogy 0 ≤ ∂q(x,ξ)∂ξ ≤ α1 + β1|ξ|
p−2 (∀x ∈ Ω, ξ ∈ R).
A 2. feltételből a Lagrange-középértéktétel
felhasználásával könnyen igazolható, hogy|q(x, ξ)| ≤ α+
β|ξ|p−1, alkalmas α, β konstansokkal. (Ennél a becslésnél
kihasználtuk, hogyp ≥ 2.)
3.1.5. Álĺıtás. A 3.1.4.-beli feltételek teljesülése
esetén a (3.7) feladatnak bármely g ∈L2(Ω) esetén egyértelműen
létezik u∗ ∈ H10 (Ω) gyenge megoldása.
15
-
3.1. Egy komponens
Bizonýıtás. A 3.1.3. álĺıtás gondolatmenetét
követhetjük. A (3.8) gyenge alak jobb oldaláta 3.1.3. álĺıtás
bizonýıtása alapján ismét
∫Ω
gv = 〈b, v〉H10 alakban ı́rhatjuk.
A v 7→∫Ω
(a∇u∇v+ q(x, u)v) leképezés rögźıtett u mellett v-ben
lineáris, és korlátos. Ennek
igazolásához elegendő a (3.5) és (3.6) egyenlőtlenségekre
hivatkozni, hiszen ezek most isteljesülnek. Ezért a megfelelő
Riesz-reprezentánst F (u)-val jelölhetjük, és ı́gy a jobb
oldalból∫Ω
(a∇u∇v+q(x, u)v) = 〈F (u), v〉H10 alakot, illetve egy F : H10
(Ω)→ H10 (Ω) operátort kapunk.
Megint egy F (u) = b operátoregyenlethez jutunk. Azt fogjuk
belátni, hogy erre az F -re az2.3.2. tételben szereplő
tulajdonságok mind teljesülnek, és ı́gy a gyenge megoldás
egyértelműlétezését is igazoljuk.
Válasszuk az F operátort két részre: F = A+N , ahol az első
tag lineáris, N pedig nem az.F -ről azt kell igazolni, hogy
Gâteaux-deriválható, F ′ bihemifolytonos, minden u-ra F
′(u)önadjungált, és hogy F ′(u) egyenletesen monoton operátor,
minden u-ra közös konstanssal.Ezeket tagonként bizonýıtjuk. Az
A lineáris operátort a következő módon adhatjuk meg:
〈Au, v〉 =∫Ω
(a∇u · ∇v).
Az ı́gy kapott A korlátos és lineáris operátor. Ezekről
tudjuk, hogy Gâteaux-deriválhatók,továbbá 〈A′(u)v, h〉 = 〈Av,
h〉 =
∫Ω
(a∇v · ∇h).
A nemlineáris tagra 〈N(u), v〉 =∫Ω
q(x, u)v. Tetszőleges, de rögźıtett u, v, h ∈ H10 (Ω)
esetén
1
t(〈N(u+ tv), h〉 − 〈N(u), h〉) =
∫Ω
q(x, u+ tv)− q(x, u)t
h.
Ha t → 0, az integrandus m.m. pontonként tart ∂q∂ξ
(x, u)v-hez, ezért definiáljuk adott u
és v esetén a D(u, v) ∈ H10 (Ω) elemet ı́gy: 〈D(u, v), h〉
:=∫Ω
∂q∂ξ
(x, u)vh. Ez utóbbi h-
nak lineáris, korlátos funkcionálja, és ı́gy van értelme a
megfelelő D(u, v) Riesz-féle repre-zentánsról beszélni.
Hiszen
16
-
3.1. Egy komponens
∣∣∣∣∣∣∫Ω
∂q
∂ξ(x, u)vh
∣∣∣∣∣∣ ≤∫Ω
∣∣∣∣∂q∂ξ (x, u)vh∣∣∣∣ ≤ ∫
Ω
(α + β|u|p−2)|v||h|
1
≤ αc2Ω||v||H10 ||h||H10 + β
∫Ω
|u|(p−2)pp−2
(p−2)/p ·∫
Ω
|vh|p2
2/p
2
≤ αc2Ω||v||H10 ||h||H10 + β||u||p−2Lp(Ω)
∫Ω
|v|p1/p ·
∫Ω
|h|p1/p
≤ (αc2Ω + βcpΩ,p||u||
p−2H10
)||v||H10 ||h||H10
(3.9)
Itt az 1 becslésnél a Hölder-egyenlőtlenséget használjuk
p′ = pp−2 és q
′ = p2-vel, mı́g a
2 becslés egyszerűen a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenségből
kapható. Ezek alapján D(u, v)valóban értelmes, és a fenti
becslés alapján rögźıtett u mellett
||D(u, v)|| = sup||h||
H10=1
〈D(u, v), h〉 = sup||h||
H10=1
∫Ω
∂q
∂ξ(x, u)vh
≤ sup||h||
H10=1
(αc2Ω + βcpΩ,p||u||
p−2H10
)||v||H10 ||h||H10 = (αc2Ω + βc
pΩ,p||u||
p−2H10
)||v||H10 ,
azaz a v 7→ D(u, v) lineáris leképezés korlátos, és ı́gy
folytonos. Azt kell ellenőrizni, hogyéppen ez lesz a
Gâteaux-derivált, azaz hogy lim
t→0||1t(N(u + tv) − N(u)) − D(u, v)|| = 0. A
Lagrange-féle középértéktétel szerint létezik olyan θ(x)
∈ [0, t], hogy q(x, u+ tv)− q(x, u)t
=
∂q
∂ξ(x, u+ θv)v. Eszerint 1
t〈N(u+ tv)−N(u), h〉 =
∫Ω
∂q∂ξ
(x, u+ θv)vh. Mivel t→ 0, ı́gy elég
kicsi t esetén θ(x) < 1, ezt kihasználva
||1t(N(u+ tv)−N(u))−D(u, v)|| = sup
||h||H10
=1
〈1t(N(u+ tv)−N(u))−D(u, v), h〉
= sup||h||
H10=1
∫Ω
((∂q∂ξ
(x, u+ θv)− ∂q∂ξ
(x, u))vh)
≤ sup||h||
H10=1
(∫Ω
∣∣∣∂q∂ξ (x, u+ θv)− ∂q∂ξ (x, u)∣∣∣p/(p−2))(p−2)/p · (∫Ω
|v|p/2|h|p/2)2/p
≤(∫
Ω
∣∣∣∂q∂ξ (x, u+ θv)− ∂q∂ξ (x, u)∣∣∣p/(p−2))(p−2)/p ||v||Lp(Ω)
sup||h||
H10=1
||h||Lp(Ω)
≤ c2Ω,p||v||H10
(∫Ω
∣∣∣∂q∂ξ (x, u+ θv)− ∂q∂ξ (x, u)∣∣∣p/(p−2))(p−2)/p
(3.10)
17
-
3.1. Egy komponens
A (3.10) kifejezés végén szereplő integrálban az
integrandus m.m. pontonként 0-hoz tart,hiszen q deriváltja
folytonos. Másrészt van integrálható majoránsa, méghozzá
(2α1+β1((|u|+|v|)p−2 + |u|p−2))p/(p−2).
Ugyanis |∂q∂ξ
(x, u+θv)− ∂q∂ξ
(x, u)| ≤ 2α1 +β1(|u+θv|p−2 + |u|p−2) ≤ 2α1 +β1((|u|+ |θv|)p−2
+|u|p−2) ≤ α1 + β1((|u|+ |v|)p−2 + |u|p−2), ha t (és ı́gy θ) elég
kicsi.
Ha u, v ∈ Lp(Ω), akkor (|u|+|v|)p−2, |u|p−2 ∈ Lpp−2 (Ω), és
ı́gy (2α1+β1((|u|+|v|)p−2+|u|p−2) ∈
Lpp−2 (Ω), ezáltal (2α1 +β1((|u|+ |v|)p−2 + |u|p−2))p/(p−2) ∈
L1(Ω), vagyis tényleg integrálható
majoránst kaptunk.
Mindezek alapján tehát N Gâteaux-deriválható, és
〈N ′(u)v, h〉 =∫Ω
∂q
∂ξ(x, u)vh.
Össześıtve 〈F ′(u)v, h〉 =∫Ω
(a∇v · ∇h+ ∂q∂ξ
(x, u)vh).
Az F bihemifolytonosságához az
R2 3 (s, t) 7→ F ′(u+ sv + tw)z
leképezés folytonosságát kell igazolni (u, v, w, z ∈ H10 (Ω)
rögźıtett elemek). Elegendő a(0, 0)-beli folytonosságot
ellenőrizni, hiszen az (s, t)-beli folytonosság a v és w
alkalmasválasztásával éppen a (0, 0)-beli folytonosságot
jelenti. Ezt is tagonként fogjuk ellenőrizni.
A lineáris tag esetében A′(u)z = Az, másrészt
lim(s,t)→(0,0)
||A′(u+ sv + tw)z − A′(u)z|| = lim(s,t)→(0,0)
||A(z)− A(z)|| = 0,
azaz a vizsgált leképezés valóban folytonos a (0, 0)-ban. N
′ bihemifolytonosságát is elegendőa (0, 0)-ban ellenőrizni:
lim(s,t)→(0,0)
sup||h||=1
〈N ′(u+ sv + tw)z, h〉 = lim(s,t)→(0,0)
sup||h||=1
∫Ω
((∂q
∂ξ(x, u+ sv + tw)− ∂q
∂ξ(x, u))zh)
(3.11)
A (3.11) egyenletbeli mennyiség becslése teljesen hasonlóan
történik, mint a (3.10) becslés,és azt kapjuk, hogy a keresett
limesz 0, azaz N ′ is bihemifolytonos.
F ′ önadjungáltsága is tagonként megkapható. A′(u)
önadjungált, mert valós Hilbert-térbenvagyunk: 〈A′(u)h, v〉 =
〈Ah, v〉 =
∫Ω
(a∇h∇v) = 〈Av, h〉 = 〈h,Av〉 = 〈h,A′(u)v〉.
18
-
3.1. Egy komponens
Adott u ∈ H10 (Ω) esetén N ′(u) nyilván lineáris és a (3.9)
becslés alapján ||N ′(u)v||H10 ≤(αc2Ω + βc
pΩ||u||
p−2H10
)||v||H10 . Ezek szerint N′(u) korlátos operátor.
Önadjungáltsága pedig
könnyen látható:
〈N ′(u)v, h〉 =∫Ω
∂q
∂ξ(x, u)vh =
∫Ω
∂q
∂ξ(x, u)hv = 〈N ′(u)h, v〉
Végül be kell látnunk, hogy F ′ = A′ +N ′ egyenletesen
monoton. Itt
〈A′(u)h, h〉 = 〈A(h), h〉 =∫Ω
a|∇h|2 ≥ m||h||2H10 (Ω)
〈N ′(u)h, h〉 =∫Ω
∂q
∂ξ(x, u)h2 ≥ 0,
mivel∂q(x, ξ)
∂ξ≥ 0. Azaz
〈F ′(u)h, h〉 ≥ m||h||2H10 (Ω) (∀u, h ∈ H10 (Ω)).
Összefoglalva: beláttuk, hogy teljesülnek a 2.3.2. tétel
feltételei a gyenge alakból kapott Foperátorra, azaz a gyenge
megoldás egyértelműen létezik.
Az eddig megfogalmazott feladatokban mindig homogén
Dirichlet-peremfeltételt adtunkmeg. A feladat természetesen
inhomogén peremfeltétellel is megfogalmazható:
{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,u|∂Ω = h.
(3.12)
Ha az egyenletet v ∈ C∞0 (Ω) függvénnyel szorozzuk, majd Ω-n
integrálunk, akkor∫Ω
(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) =∫Ω
gv.
Mivel C10(Ω) ⊂ H10 (Ω) sűrű, ı́gy a 3.12. feladat gyenge
alakja a következő: olyan u ∈ H1(Ω)függvényt keresünk, hogy
tetszőleges v ∈ H10 (Ω) esetén
∫Ω
(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) dx =∫Ω
gv dx,
u|∂Ω = h nyom-értelemben.
(3.13)
19
-
3.1. Egy komponens
Az inhomogén feladat visszavezethető a homogén esetre, ı́gy a
megoldás létezését könnyenigazolhatjuk. Tegyük fel, hogy a
(3.12) feladatban szereplő függvényekre teljesülnek
azalábbiak:
3.1.6. Feltételek.
1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),
2. b ∈ C1(Ω,Rn
), div(b) = 0,
3. q : Ω × R → R függvény, rögźıtett x ∈ Ω mellett q(x, ξ)
ξ-ben monoton növő, ésléteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2n
n−2 , ha n > 2, ill. 2 ≤ p
-
3.1. Egy komponens
A (3.15) feladat gyenge alakja ı́gy a következő: olyan u ∈
H1(Ω) gyenge megoldást keresünk,melyre teljesül, hogy
∫Ω
(a∇u · ∇v + q(x, u)v) =∫Ω
gv (∀v ∈ H10 (Ω)),
u|∂Ω = h.
(3.16)
A homogén álĺıtás mintájára az a és q függvényekre
vonatkozó feltételeket kapunk.
3.1.8. Feltételek.
1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),
2. q ∈ C1(Ω× R
), és léteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2n
n−2 , ha n > 2 ill. 2 ≤ p < ∞, ha n = 2, ésα1, β1 ≥ 0
állandók, hogy 0 ≤ ∂q(x,ξ)∂ξ ≤ α1 + β1|ξ|
p−2 (∀x ∈ Ω, ξ ∈ R).
3. létezik h̃ ∈ H1(Ω) ∩ L∞(Ω), melyre h̃|∂Ω = h.
3.1.9. Álĺıtás. A 3.1.8.-beli feltételek teljesülése
esetén a (3.15) feladatnak bármely g ∈L2(Ω) esetén
egyértelműen létezik u∗ ∈ H1(Ω) gyenge megoldása.
Bizonýıtás. Az előző bizonýıtáshoz hasonlóan áttérünk
a homogén egyenletre, melynek ũ =u−h̃ ∈ H10 (Ω) pontosan akkor
megoldása, ha u ∈ H1(Ω) megoldása az inhomogén feladatnak.A
kapott egyenlet éppen a (3.14), a b = 0 választással. Elég
belátni, hogy a q̃(x, ξ) =q(x, ξ + h̃(x)) függvényre igaz a
3.1.4.-beli 3. feltétel, hiszen ekkor hivatkozhatunk a
3.1.5.álĺıtásra.
Egyrészt 0 ≤ ∂q(x,ξ+h̃(x))∂ξ
= ∂q̃(x,ξ)∂ξ≤ α1 + β1|ξ + h̃(x)|p−2.
Másrészt |ξ+h̃(x)| ≤ 2 max(|ξ|, |h̃(x)|), ahonnan |ξ+h̃(x)|p−2
≤ 2p−2 max(|ξ|p−2, |h̃(x)|p−2) ≤2p−2(|ξ|p−2 + |h̃(x)|p−2) ≤ c +
c′|ξ|p−2, mivel h̃ ∈ L∞(Ω). Ezek alapján ∂q̃(x,ξ)
∂ξ≤ α1 + β1|ξ +
h̃(x)|p−2 ≤ c2 + c3|ξ|p−2. Tehát valóban teljesülnek a 3.1.4.
feltételek, ı́gy a megoldásegyértelműen létezik.
3.1.10. Példa. Tekintsük a következő kémiai reakciót
([1]):
H2O2(aq)k−→ H2O(l) + O2(g)
A vegyületek után szereplő zárójel a fázisra (ill.
halmazállapotra) utal: g - gázfázis, l -folyadék fázis, aq -
vźben oldott, hidratált állapot. A fenti reakció v́ızben oldott
hidrogén-peroxid bomlása folyékony v́ızzé és gáz
halmazállapotú oxigénné. Ismeretes, hogy a reakcióelsőrendű,
azaz a sebességi egyenlet d[H2O2]
dt= −k[H2O2], ahol k > 0 a reakciósebességi
együttható, [H2O2] pedig a hidrogén-peroxid
koncentrációját jelöli.
Ha az ennek megfelelő reakció-diffúziós egyenletet ı́rjuk
fel, akkor az a következő alakot ölti(jelölje a
hidrogén-peroxid koncentrációját u, a konvekciótól
eltekintünk):
21
-
3.1. Egy komponens
∂u
∂t= D∆u− ku,
ahol D a hidrogén-peroxid diffúziós együtthatója, melyről
feltehető, hogy állandó. Az egyen-let stacionárius változata:
D∆u − ku = 0, azaz −D∆u + ku = 0. Ebben az egyenletben akorábbi
jelöléseket alkalmazva a = D, és q(x, ξ) = q(ξ) = kξ. Ilyen
választással a-ra és q-raaz m = D, α1 = k, β1 = 0 és p = 2
konstansokkal teljesülnek a 3.1.4. feltételek. Azaz azegyenletnek
a 3.1.5. álĺıtás alapján egyértelműen létezik a gyenge
megoldása.
3.1.11. Példa. A hipoklorit-ionok folyadékfázisú bomlása
([1])
2ClO−k−→ 2Cl− + O2
másodrendű kinetika szerint zajlik, azaz d[ClO−]
dt= −k[ClO−]2, ahonnan a következő staci-
onárius reakció-diffúziós egyenletet kapjuk:
−D∆u+ ku2 = g,
ahol u jelöli a ClO−-koncentrációt, D a hipoklorit-ion
diffúziós együtthatója, melyet kons-tansnak tekintünk.
Ekkor a = D, q(x, ξ) = k|ξ|ξ, és a p = 3, m = D, α1 = 0, β1 =
2k konstansokkal teljesülneka 3.1.4. feltételek, ezért a 3.1.5.
álĺıtás szerint a gyenge megoldás egyértelműen létezik.
3.1.2. Az 1 < p < 2 eset Dirichlet-peremfeltétellel
Az 1 < p < 2 esetben a nempotenciálos gondolatmenet nem
működik, mivel az Foperátor ilyen feltételek mellett nem lesz
lokálisan Lipschitzes. Sőt, a potenciálos esetben ismódośıtani
kell a q-ra vonatkozó feltételeket. Láttuk, hogy a q(x, ξ)
fügvényt a |ξ| p−1-edikhatványával lehetett becsülni.
Ha a |q(x, ξ)| ≤ α1 + β1|ξ|p−1 tulajdonságot továbbra is
megtartjuk, akkor q nem lesz diffe-renciálható 0-ban, illetve a p
≥ 2 eset lépéseit és jelöléseit követve a D(u, v) funkcionál
nemfeltétlenül lesz korlátos, ı́gy N Gâteaux-deriválhatósága
sem feltétlenül teljesül. (A (3.10)becslés során ugyanis
kihasználtuk, hogy p
p−2 ≥ 1, mely p < 2 esetén nyilvánvalóan nemigaz.)
Így a potenciálos megoldhatósági tételek közül egy
másikat, a 2.3.3. tételt kell alkalmaznunk.Továbbra is a (3.7)
feladat gyenge megoldását keressük, azonban az a és q
függvényekre másfeltételeket szabunk.
3.1.12. Feltételek.
1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),
22
-
3.1. Egy komponens
2. q ∈ C(Ω× R
), rögźıtett x ∈ Ω mellett q(x, ξ) ξ-ben monoton növő, és
léteznek olyan
1 < p < 2, α, β ≥ 0 állandók, hogy|q(x, ξ)| ≤ α +
β|ξ|p−1 (∀ξ ∈ R).
3.1.13. Álĺıtás. A 3.1.12. feltételek teljesülése esetén
a (3.7) feladatnak minden g ∈ L2(Ω)esetén egyértelműen létezik
u∗ ∈ H10 (Ω) gyenge megoldása.
Bizonýıtás.
A p ≥ 2 esethez hasonlóan a (3.8) gyenge feladatból
operátoregyenletet ı́runk fel, és aztlátjuk be, hogy az abban
szereplő operátorra teljesülnek a 2.3.3. tétel feltételei.
A gyenge alak jobb oldala ismét 〈b, v〉H10 alakban adható
meg.
A v 7→∫Ω
(a∇u∇v + q(x, u)v) dx leképezés rögźıtett u mellett v-ben
lineáris, és korlátos
is. Ez könnyen látható a (3.5) és a (3.6) egyenlőtlenségek
alapján, mivel ezek ebben azesetben is teljesülnek. Ugyanis a
Hölder-egyenlőtlenség alkalmazásának a feltétele, hogyp ≥ 1
legyen, ami most is teljesül, az Lp(Ω)-norma becslése a H10
(Ω)-beli normával a korábbimeggondolások alapján szintén 1 ≤ p
esetén használható. Tehát |
∫Ω
(a∇u∇v + q(x, u)v)| ≤
(ca||u||H10 + αcΩ,1 + cp−1Ω,p ||u||
p−1H10
)||v||H10 .
Ezért a Riesz-féle reprezentációs tétel szerint a (3.8)
gyenge alak bal oldala 〈F (u), v〉H10formában ı́rható, és ı́gy a
gyenge feladat a 〈F (u), v〉H10 = 〈b, v〉H10 egyenletnek felel
meg.Azaz megint eljutottunk az F (u) = b operátoregyenlethez, ahol
tehát
〈F (u), v〉H10 =∫Ω
(a∇u∇v + q(x, u)v).
A 2.3.3.-beli feltételek fennállásának bizonýıtásához
ismét két részre választjuk F -et: F =A+N , ahol 〈A(u), v〉
=
∫Ω
(a∇u ·∇v) lineáris tag, mı́g 〈N(u), v〉 =∫Ω
q(x, u)v nem az. Először
azt látjuk be, hogy F potenciáloperátor, méghozzá úgy,
hogy meg is adjuk egy potenciálját.
Lineáris operátornak mindig van potenciálja, egy addit́ıv
konstans erejéig
JA(u) =1
2〈A(u), u〉 = 1
2
∫Ω
(a|∇u|2).
Mivel q ∈ C(Ω× R
), ı́gy létezik olyan Q ∈ C0,1
(Ω× R
)(azaz olyan Q függvény, amely
x-ben folytonos, ξ-ben folytonosan differenciálható),
hogy∂Q(x, ξ)
∂ξ= q(x, ξ).
Legyen JN(u) :=∫Ω
Q(x, u) dx. Ez értelmes, hiszen Q folytonos x-ben és |q(x, ξ)|
≤
α + β|ξ|p−1. Megmutatjuk, hogy a JN : H10 (Ω) → R funkcionál
Gâteaux-deriválható, és〈J ′N(u), v〉 = 〈N(u), v〉 minden u, v ∈
H10 (Ω)-ra, azaz J ′N = N .
23
-
3.1. Egy komponens
Ennek bizonýıtásához először tekintsük az alábbi
határértéket (t ∈ R, u, v ∈ H10 (Ω)):
limt→0
JN(u+ tv)− JN(u)t
= limt→0
∫Ω
Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t
dx
Azt kell igazolni, hogy limt→0
∫Ω
Q(x,u+tv)−Q(x,u)t
dx =∫Ω
q(x, u)v dx, melyhez elegendő belátni,
hogy
limt→0
∣∣∣∣∣∣∫Ω
Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t
− q(x, u)v dx
∣∣∣∣∣∣ = 0Nyilván |
∫Ω
Q(x,u+tv)−Q(x,u)t
−q(x, u)v dx| ≤∫Ω
|Q(x,u+tv)−Q(x,u)t
−q(x, u)v| dx, és a Lagrange-féle
középértéktétel szerint létezik olyan θ(x) ∈ [0, t], hogy
Q(x,u+tv)−Q(x,u)t
= ∂Q∂ξ
(x, u + θv)v =
q(x, u+ θv)v, ı́gy
∫Ω
∣∣∣∣Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t − q(x, u)v∣∣∣∣ dx = ∫
Ω
|q(x, u+ θv)− q(x, u)| · |v| dx.
Ha θ ∈ [0, t] és t → 0, akkor feltehető, hogy θ ≤ 1. Az
integrandus m.m. pontonként tart0-hoz, ha t→ 0, hiszen ekkor θ →
0, és q folytonos. Másrészt van integrálható majoránsa:
|q(x, u+ θv)− q(x, u)| · |v| ≤ (2α + β(|u+ θv|p−1 + |u|p−1))|v|≤
(2α + β((|u|+ θ|v|)p−1 + |u|p−1))|v| ≤ (2α + β((|u|+ |v|)p−1 +
|u|p−1))|v|.
Ha u, v ∈ H10 (Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ Lp(Ω), akkor (|u|+|v|) ∈ Lp(Ω), és
ezáltal |u|p−1, (|u|+|v|)p−1 ∈L
pp−1 (Ω), kihasználva, hogy p− 1 > 0. Ekkor (2α + β(|u|p−1 +
(|u| + |v|)p−1)) ∈ L
pp−1 (Ω) =
Lq(Ω). És mivel v ∈ H10 (Ω) ⊂ Lp(Ω), ezért a szorzatuk, (2α+
β((|u|+ |v|)p−1 + |u|p−1))|v| ∈L1(Ω), azaz tényleg integrálható
majoránst kaptunk.
Így a Lebesgue-tétel szerint
limt→0
∫Ω
∣∣∣∣Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t − q(x, u)∣∣∣∣ = 0
Vagyis JN valóban Gâteaux-deriválható, és J′N = N .
Az F operátor szigorú monotonitását is tagonként érdemes
megvizsgálni. Mivel A lineáris,ı́gy az u− v = h
helyetteśıtéssel 〈A(h), h〉 =
∫Ω
a|∇h|2 ≥ m||h||2H10
> 0, ha h 6= 0, azaz u 6= v.
24
-
3.1. Egy komponens
A nemlineáris rész esetén 〈N(u) − N(v), u − v〉 =∫Ω
(q(x, u) − q(x, v))(u − v) ≥ 0, mert az
integrandus q(x, ξ) ξ-beli monotonitása miatt nemnegat́ıv.
Össześıtve tehát 〈F (u)− F (v), u− v〉 ≥ m||u− v||2H10
> 0, ha u 6= v.
Végül azt is igazolnunk kell, hogy lim||u||→∞
J(u)||u|| = +∞. Mivel N = J
′N monoton operátor, ı́gy
JN konvex funkcionál. Ekkor tetszőleges u, v vektorra JN(u) −
JN(v) ≥ 〈J ′N(v), u − v〉 =〈N(v), u− v〉, ebbe v = 0-t
helyetteśıtve
JN(u) ≥ JN(0) + 〈N(0), u〉 = c+∫Ω
q(x, 0)u ≥ c− c3||u||H10 ,
hiszen q folytonos az Ω korlátos tartományon, vagyis∫Ω
q(x, 0)2 dx < ∞, másrészt∫Ω
q(x, 0)u ≥ −(∫Ω
q(x, 0)2 dx)1/2(∫Ω
|u|2)1/2 ≥ −c3||u||H10 .
Ha J = JA + JN , akkor J(u) =12
∫Ω
a|∇u|2 +∫Ω
Q(x, u) ≥ m2||u||2
H10+ c− c3||u||H10 , és ı́gy
lim||u||→∞
J(u)
||u||≥ lim||u||→∞
m2||u||2 + c− c3||u||
||u||= +∞.
Inhomogén Dirichlet-peremfeltétellel a gyenge alak a
következő: olyan u ∈ H1(Ω) függvénytkeresünk melyre
tetszőleges v ∈ H10 (Ω) esetén∫
Ω
(a∇u∇v + q(x, u)v) =∫Ω
gv
u|∂Ω = h nyom-értelemben.
(3.17)
Ilyenkor a p ≥ 2 esethez hasonlóan homogenizálhatjuk a
feladatot: ha h̃ olyan, hogy h̃|∂Ω = h,akkor legyen q̃(x, ξ) = q(x,
ξ+ h̃(x)), és legyen g′ = g+div(a∇h̃). Ezzel a jelöléssel u =
ũ+ h̃pontosan akkor megoldása a (3.17) feladatnak, ha ũ
megoldása a megfelelő, g′ jobboldalúhomogén feladatnak.
3.1.14. Feltételek.
1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),
2. q ∈ C(Ω× R
), rögźıtett x ∈ Ω mellett q(x, ξ) ξ-ben monoton növő, és
léteznek olyan
1 < p < 2, α, β ≥ 0 állandók, hogy|q(x, ξ)| ≤ α +
β|ξ|p−1 (∀ξ ∈ R).
3. létezik h̃ ∈ H1(Ω) ∩ L∞(Ω), melyre h̃|∂Ω = h.
25
-
3.1. Egy komponens
3.1.15. Álĺıtás. Ha a 3.1.14. feltételek teljesülnek, akkor
a (3.17) feladatnak egyértelműenlétezik a megoldása.
Bizonýıtás. Az előző gondolatmenet alapján már csak azt
kell belátnunk, hogy a fenti módondefiniált q̃ függvényre is
teljesülnek a 3.1.12.-beli 2. tulajdonságok. Nyilván q̃ monoton
növőξ-ben, hiszen q is az volt, és a két függvény
különbsége csak x-től függ. A növekedési feltételugyanúgy
látható be, mint a 3.1.9. tétel esetében, p− 2 helyett p− 1-et
ı́rva.
3.1.16. Példa. Vizsgáljuk a kloroform (CHCl3) és az elemi
klór (Cl2) gázfázisú reakcióját,melynek terméke
szén-tetraklorid (CCl4) és hidrogén-klorid (HCl). A reakciót
léıró bruttóegyenlet:
CHCl3(g) + Cl2(g) −→ CCl4(g) + HCl(g)
A zárójelben lévő g a gázfázisra utal. A reakció
mechanizmusa összetett, több lépésből áll, dea megfelelő
kémiai meggondolások a d[Cl2]
dt= −k[CHCl3][Cl2]1/2 sebességi egyenletre vezetnek
([9]).
Ha a kloroform koncentrációja lényegesen (pl.
nagyságrendekkel) nagyobb a klór kon-centrációjánál, akkor
előbbi koncentrációja az utóbbiéhoz képest állandónak
tekinthető, ésı́gy a sebességi egyenlet d[Cl2]
dt= −k′[Cl2]1/2 alakra egyszerűsödik (k′ = k[CHCl3]).
Az ı́gy kapható stacionárius reakció-diffúziós egyenlet (u
jelöli a klórkoncentrációt, a kon-vekciót ismét
elhanyagoljuk):
−D∆u+ k′u1/2 = g
Itt D a klórgáz diffúziós együtthatója, melyet
állandónak tekinthetünk, ı́gy a = D, q(x, ξ) =k′|ξ|−1/2ξ
választással olyan függvényeket kapunk, melyek az m = D, α = 0,
β = k′ és p = 3
2
konstansokkal kieléǵıtik a 3.1.4. feltételeket. Azaz a gyenge
megoldás tetszőleges g eseténegyértelműen létezik.
3.1.3. Vegyes feladatok
A homogén vegyes feladatban ∂Ω = ΓD ∪ ΓN :
{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,u|ΓD = 0, ∂νu|ΓN = 0.
(3.18)
(Amennyiben a potenciálos feladatokról van szó, akkor vegyük
b-t 0-nak.) A gyenge feladatotúgy kapjuk, hogy v-vel szorzunk, és
az integrálás során a kétféle peremfeltételt
használjukki.
26
-
3.1. Egy komponens
∫Ω
(a∇u∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v =∫Ω
gv, (3.19)
Ekkor a megoldást a H1D(Ω) = {u ∈ H1(Ω) : uΓD = 0} térben
keressük. u, v ∈ H1D(Ω)esetén 〈u, v〉 :=
∫Ω
∇u∇v most is skalárszorzatot definiál, ezért a homogén
Dirichlet-feladat
esetében kimondott minden tétel átvihető erre az esetre.
Az inhomogén vegyes feladat alakja:
{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,u|ΓD = h, ∂νu|ΓN = γ.
(3.20)
Ekkor két lépéssel visszajuthatunk a homogén feladathoz.
Először legyen h̃ ∈ H1(Ω) olyan,hogy h̃|ΓD = h, és tegyük fel,
hogy ∂ν h̃|ΓN = γ̃. Definiáljuk ismét a q̃(x, ξ) = q(x, ξ +
h̃(x))
függvényt. Megint azt látjuk, hogy u = ũ+ h̃ pontosan akkor
megoldása a (3.20) feladatnak,ha ũ megoldása a
{−div(a∇u) + b · ∇u+ q̃(x, u) = g + div(a∇h̃)− b∇h̃ = g′,u|ΓD =
0, ∂νu|ΓN = γ − γ̃.
(3.21)
feladatnak. Második lépésként ezt v-vel szorozva és x
szerint integrálva azt kapjuk, hogy
∫Ω
(a∇u∇v + (b · ∇u)v + q̃(x, u)v) =∫Ω
g′v +
∫ΓN
(γ − γ̃)v. (3.22)
Az ı́gy kapott alak bal oldala megfelel a homogén feladat
(3.19) bal oldalának, mivel a q̃függvényre minden olyan
feltétel teljesül, amely a korábbi feladatok során q-ra
teljesült. A(3.22) jobb oldala pedig ugyanúgy v-nek egy korlátos
lineáris funkcionálját adja, tehát azinhomogén vegyes
feladatot lényegében visszavezettük a homogén esetre. Ezáltal
mindenolyan egzisztencia-tétel érvényes, ami a homogén, és
ı́gy a Dirichlet-feladat esetén teljesült.
3.1.4. Neumann-peremfeltétel
Neumann-t́ıpusú peremfeltétel esetén nem a H10 (Ω), hanem a
H1(Ω) Szoboljev-térben ke-
ressük a megoldást.
{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,∂νu|∂Ω = 0.
(3.23)
27
-
3.1. Egy komponens
Ennek a feladatnak a gyenge alakját úgy kapjuk, hogy v ∈ C∞(Ω)
függvénnyel szorzunk,Ω-n integrálunk, és kihasználjuk a ∂νu|∂Ω
= 0 peremfeltételt. A gyenge feladatban olyanu ∈ H1(Ω) függvényt
keresünk, hogy minden v ∈ H1(Ω) esetén
∫Ω
(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) dx =∫Ω
gv dx. (3.24)
3.1.17. Tétel. (Poincaré-egyenlőtlenség) Legyen Ω ⊂ Rn
korlátos, nýılt, összefüggőhalmaz, melynek határa elég sima.
Ekkor létezik olyan c konstans, hogy minden u ∈ H1(Ω)-ra
||u||2L2(Ω) ≤ c(|∫
Ωu|2 + ||∇u||2L2(Ω)
)A H1(Ω) térben a norma ||u||H1(Ω) = ||u||L2(Ω) + ||∇u||L2(Ω),
de a Poincaré-egyenlőtlenségalapján ezzel ekvivalens normát
kapunk, ha az ||u||H1(Ω) = ||u||L1(Ω)+||∇u||L2(Ω)-t
választjuk.
Az egzisztenciáról szóló tételek bizonýıtásakor
valamilyen módon alkalmaztuk, hogy a ka-pott operátoregyenletben
szereplő F operátor egyenletesen monoton, vagy hogy az
operátorpotenciálja ||u||-nál gyorsabban nő. Ezek azért
teljesültek, mert a H10 (Ω) térben ||∇u||L2(Ω)norma. A H1(Ω)
térben ez nem teljesül, és az emĺıtett alsó becslésekhez
ezért nem lesz-nek elégségesek az eddig megadott növekedési
feltételek. Ezért célszerű q-ra nem csak felső,hanem
valamilyen értelemben alsó korlátot is adni.
3.1.18. Feltételek.
1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),
2. q ∈ C(Ω× R
), léteznek olyan 1 < p, α, β ≥ 0 állandók, hogy minden ξ
∈ R esetén
|q(x, ξ)| ≤ α + β|ξ|p−1,
3. léteznek r > 1 és c1 > 0 állandók, hogy ∀ξ1, ξ2 ∈
R: (q(x, ξ1) − q(x, ξ2))(ξ1 − ξ2) ≥c1|ξ1 − ξ2|r,
3.1.19. Álĺıtás. Tegyük fel, hogy a 3.1.18. feltételek
teljesülnek. Ekkor minden g ∈ L2(Ω)mellett a (3.24) feladatnak
egyértelműen létezik u∗ ∈ H1(Ω) gyenge megoldása.
Bizonýıtás. A 3.1.13. álĺıtás bizonýıtásának
megfelelően járunk el, hiszen a 3.1.12.-beli 1.és 2. feltétel
most is teljesül (q monoton ξ-ben, ez az itteni 3. feltételből
látszik), és akkorp-ről csak azt használtuk ki, hogy 1-nél
nagyobb. Továbbá minden felső becslés is
teljesül||.||H1(Ω)-val is: ahol ||∇u||L2(Ω) szerepel a felső
becslésben, ott nyilván ||u||H1(Ω) is jó felsőbecslésnek. Ahol
pedig ||u||Lp(Ω) szerepel a felső becslésben, a Szoboljev-féle
beágyazási tételseǵıtségével az ||u||Lp(Ω) ≤ Kp||u||H1(Ω)
egyenlőtlenség használható.
Tehát a gyenge alakból operátoregyenletre jutunk, ahol F = A
+ N , 〈Au, v〉 =∫Ω
a∇u∇v,
〈N(u), v〉 =∫Ω
q(x, u)v, teljesül, hogy F potenciáloperátor: J(u) = 12
∫Ω
a|∇u|2+∫Ω
Q(x, u) egy
potenciálja, ahol ∂Q(x,ξ)∂ξ
= q(x, ξ). Mivel q ξ-ben monoton növő, ı́gy (q(x, u)−q(x,
v))(u−v) =|(q(x, u)− q(x, v))(u− v)| ≥ |u− v|r. Ez alapján az F
szigorú monotonitása:
28
-
3.1. Egy komponens
〈F (u)− F (v), u− v〉 ≥ m||∇(u− v)||2L2(Ω) +∫Ω
(q(x, u)− q(x, v))(u− v)
≥ m||∇(u− v)||2L2(Ω) +∫Ω
c1||u− v||r = m||∇(u− v)||2L2(Ω) + c1||u− v||rLr(Ω)
≥ m||∇(u− v)||2L2(Ω) +K−rΩ,1,rc1||u− v||rL1(Ω) > 0,
ha u 6= v H1(Ω)-ban. Láttuk, hogy 12
∫Ω
a|∇u|2 ≥ m2||∇u||2L2(Ω). A 3. feltétel alapján
ha ξ ≥ 0, akkor q(x, ξ) ≥ q(x, 0) + c1ξ|ξ|r−2 ≥ c2 + c1ξ|ξ|r−2,
ha pedig ξ ≤ 0, akkorq(x, ξ) ≤ q(x, 0) + c1ξ|ξ|r−2 ≤ c3 +
c1ξ|ξ|r−2. Vagyis ha ξ ≥ 0, akkor
Q(x, ξ) = Q(x, 0) +
ξ∫0
q(x, η)dη ≥ Q(x, 0) +ξ∫
0
(c2 + c1η|η|r−2)dη
= Q(x, 0) +c1r|ξ|r + c2ξ
Ha pedig ξ ≤ 0, akkor
Q(x, ξ) = Q(x, 0) +
ξ∫0
q(x, η)dη = Q(x, 0) +
0∫ξ
(−q(x, η))dη
≥ Q(x, 0) +0∫ξ
(−c3 − c1η|η|r−2)dη = Q(x, 0) + c3ξ +c1r|ξ|r
Vagyis léteznek olyan c4 > 0 és c5, c6 konstansok, hogy
Q(x, ξ) ≥ c4|ξ|r + c5ξ + c6. Ezért
∫Ω
Q(x, u) ≥∫Ω
(c4|u|r+c5u+c6) ≥∫Ω
c6+c4||u||rLr(Ω)−c′5||u||L1(Ω) =
c7+c4||u||rLr(Ω)−c′5||u||L1(Ω),
ahol c′5 = |c5| és c7 =∫Ω
c2. Mindezeket össześıtve és felhasználva, hogy r > 1,
létezik olyan
c8 > 0 szám, hogy
J(u) ≥ c8(||∇u||2L2(Ω) + ||u||rL1(Ω)) + c7 − c′5||u||L1(Ω).
Azt kell még ellenőrizni, hogy lim||u||H1→∞
J(u)||u||H1
=∞. Tudjuk, hogy
29
-
3.2. Rendszer
J(u)
||u||H1≥c8(||∇u||2L2(Ω) + ||u||rL1(Ω)) + c7 − c′5||u||L1(Ω)
||∇u||L2(Ω) + ||u||L1(Ω)≥ c9 + c8
||∇u||2L2(Ω) + ||u||rL1(Ω)||∇u||L2(Ω) + ||u||L1(Ω)
,
ha ||∇u||L2(Ω) + ||u||L1(Ω) elég nagy. Legyen a = ||∇||L2(Ω)
és b = ||u||L1(Ω). Azt kell belátni,hogy létezik ε > 0, hogy
ha R = a + b elég nagy, akkor a
2+br
a+b≥ (a + b)ε. ε := 1
r−1 jóválasztás lesz, ugyanis egy feltételes
szélsőérték-számı́tási feladatról van szó: mennyi a2 +
bs
minimuma, ha R = a+ b?
Ennek megoldása Lagrange-féle multiplikátor módszerrel: 2a−
λ = 0, rbr−1 − λ = 0. Ekkora+ b = r
2br−1 + b = R. Ha R elég nagy, akkor b ≥ 1, és ezért br−1 ≥
b, ahonnan br−1 ≥ c ·R,
vagyis a2 + br ≥ br ≥ c′ ·R1+1/(r−1).
Tehát a 2.3.3. tétel alapján a megoldás egyértelműen
létezik.
3.2. Rendszer
Legyen továbbra is Ω ⊂ Rn korlátos tartomány. A továbbiakban
áttérünk az egyenletrend-szer esetére.
Jelölés. Legyen k ∈ N, k ≥ 2. Ekkor a ξ = (ξ1, . . . , ξk) ∈
Rk vektor (euklideszi) normája|ξ| =
√ξ21 + · · ·+ ξ2k, és lévén, hogy véges dimenzióban
vagyunk, ezzel ekvivalens a p-norma
(1 ≤ p): |ξ|p = (ξp1 + · · ·+ ξpk)
1/p.
3.2.1. Defińıció. Legyen k ∈ N, k ≥ 2. Jelölje H := H10 (Ω)×
· · · ×H10 (Ω)︸ ︷︷ ︸k
, és u =
(u1, . . . , uk) ∈ H, v = (v1, . . . , vk) ∈ H esetén legyen
〈u, v〉H :=k∑i=1
〈ui, vi〉H10 (Ω).
Így 〈., .〉H nyilvánvalóan skalárszorzat H-n, továbbá (H,
〈., .〉H) Hilbert-tér, mely a direkt-szorzat végességének
automatikus következménye.
A skalárszorzatból származtatható norma: ||u||H = 〈u, u〉1/2H
=(
k∑i=1
||ui||2H10 (Ω)
)1/2. H-n
definiálhatunk egy másik normát is (1 ≤ p): ||u||H,p =(
k∑i=1
||ui||pH10 (Ω)
)1/p. Kihasználva az
Rk-beli normák ekvivalenciáját, léteznek olyan Kp, K ′p >
0 állandók, hogy minden u ∈ H-ra
K ′p||u||H ≤ ||u||H,p ≤ Kp||u||H ,
azaz a H-n értelmezett két norma ekvivalens.
30
-
3.2. Rendszer
3.2.1. A p ≥ 2 eset
Ha több komponensű rendszerünk van, akkor azok mindegyikére
vonatkozik egy-egy diffe-renciálegyenlet, melyek általában
csatolt egyenletek. Így k komponens esetén egy
differen-ciálegyenlet-rendszert kapunk, mely a következő alakot
ölti:
∀1 ≤ i ≤ k :
{−div(ai∇ui) + bi · ∇ui + qi(x, u1, u2, . . . , uk) = gi,ui|∂Ω =
0,
(3.25)
Ekkor is megfogalmazható a feladat gyenge alakja: az i-edik
egyenletet vi ∈ C10(Ω)függvénnyel szorozzuk, majd Ω-n
integrálunk.
∀1 ≤ i ≤ k :∫Ω
(ai∇ui∇vi + (bi · ∇ui)vi + qi(x, u1, u2, . . . , uk)vi) =∫Ω
givi (3.26)
Ismét C10(Ω) ⊂ H10 (Ω) sűrűsége alapján a (3.25) feladat
gyenge alakja ı́gy adható meg:olyan u = (u1, . . . , uk) ∈ H
függvényt keresünk, hogy tetszőleges v = (v1, . . . , vk) ∈ H
eseténfennáll (3.26). Ezzel ekvivalens feladatot kapunk, ha a k
darab egyenletet összeadjuk: agyenge megoldás olyan u = (u1, . .
. , uk) ∈ H, hogy minden v = (v1, . . . , vk) ∈ H esetén
k∑i=1
∫Ω
(ai∇ui∇vi + (bi∇ui)vi + qi(x, u1, . . . , uk)vi) =k∑i=1
∫Ω
givi (3.27)
3.2.2. Feltételek.
1. ai ∈ L∞(Ω), és létezik mi, hogy ai(x) ≥ mi > 0 (m.m. x ∈
Ω),
2. bi ∈ C1(Ω,Rn
), div(bi) = 0,
3. qi : Ω × Rk → R, léteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2nn−2 , ha n > 2,
ill. 2 ≤ p < ∞, ha n = 2, ésαi, βi ≥ 0 állandók, hogy ∀ξ, η ∈
Rk-ra
|qi(x, ξ)− qi(x, η)| ≤ (α1 + βi(|ξ|+ |η|)p−2) · |ξ − η|,
4. minden ξ, η ∈ Rk és m.m. x ∈ Ω eseténk∑i=1
(qi(x, ξ)− qi(x, η))(ξi − ηi) ≥ 0 .
A qi-re vonatkozó feltételből következik, hogy minden 1 ≤ i
≤ k esetén létezik olyan α′iállandó, hogy |qi(x, ξ)| ≤ α′i +
βi|ξ|p−1.
3.2.3. Álĺıtás. Ha a 3.2.2.-beli feltételek teljesülnek,
akkor bármely g = (g1, . . . , gk) ∈L2(Ω) × · · · × L2(Ω) esetén
a (3.25) feladatnak egyértelműen létezik az u∗ ∈ H
gyengemegoldása.
31
-
3.2. Rendszer
Bizonýıtás. A gyenge feladat megint operátoregyenlethez
vezet, és azt fogjuk megmutatni,hogy az ebben szereplő
operátorra teljesülnek az 2.3.1. tétel feltételei. A (3.27)
jobb oldalaadott g ∈ L2(Ω)× · · · × L2(Ω) mellett v ∈ H-nak
lineáris és korlátos funkcionálja:
∣∣∣∣∣∣k∑i=1
∫Ω
givi
∣∣∣∣∣∣ ≤k∑i=1
∫Ω
|givi| ≤k∑i=1
||gi||L2(Ω)||vi||L2(Ω) ≤ cΩk∑i=1
||gi||L2(Ω)||vi||H10 .
Legyen ||g||L2(Ω)k =(
k∑i=1
||gi||2L2(Ω)
)1/2. A vektorokra érvényes Cauchy-Schwarz-
egyenlőtlenség alapján
cΩ
k∑i=1
||gi||L2(Ω)||vi||H10 ≤ cΩ
(k∑i=1
||gi||2L2(Ω)
)1/2( k∑i=1
||vi||2H10
)1/2= cΩ||g||L2(Ω)k ||v||H
Tehát a Riesz-tétel értelmében minden g ∈ (L2(Ω))k-hoz
egyértelműen létezik g1∈ (L2(Ω))k,
hogyk∑i=1
∫Ω
givi = 〈g1, v〉H , minden v ∈ H esetén. Mivel ai korlátos, bi
folytonos az Ω korlátos
halmazon, ezért léteznek Ai, Bi ≥ 0 állandók, hogy |ai| ≤
Ai, és |bi| ≤ Bi.
A gyenge alak bal oldala is v ∈ H-nak egy lineáris és
korlátos funkcionálját kapjuk. Előbbitulajdonság
nyilvánvaló, utóbbi igazolásához a (3.27) bal oldalát három
tagra szétválasztva,a becslést tagonként vǵezhetjük el. A
korábbiakhoz hasonló lépésekre van szükség, ill. isméta
Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenségre hivatkozhatunk:
k∑i=1
∫Ω
|ai∇ui∇vi| ≤k∑i=1
Ai||ui||H10 ||vi||H10 ≤ A||u||H ||v||H , ahol A = max1≤i≤kAi
(3.28)
k∑i=1
∫Ω
|(bi∇ui)vi| ≤ cΩk∑i=1
Bi||ui||H10 ||vi||H10 ≤ cΩB||u||H ||v||H , ahol B = max1≤i≤kBi
(3.29)
k∑i=1
∫Ω
|qi(x, u)vi| ≤k∑i=1
∫Ω
(α′i + βi|u|p−1)|vi| ≤ αk∑i=1
||vi||L1(Ω) + βk∑i=1
∫Ω
|u|p−1|vi|, (3.30)
ahol α = max1≤i≤k
α′i, és β = max1≤i≤k
βi. A (3.30)-ben a két tagot külön-külön vizsgálva
kapjuk,
hogy
32
-
3.2. Rendszer
αk∑i=1
||vi||L1(Ω) ≤ αcΩ,1k∑i=1
||vi||H10 ≤ αcΩ,1√k
(k∑i=1
||vi||2H10
)1/2= αcΩ,1
√k||v||H ,
valamint ha 1p
+ 1q
= 1, akkor q(p− 1) = p, és ı́gy
∫Ω
|u|p−1|vi| ≤(∫
Ω
|u|q(p−1))1/q (∫
Ω
|vi|p)1/p
≤ cppcΩ,p(∫
Ω
k∑i=1
|ui|p)1/q||vi||H10
= cppcΩ,p||u||p−1H,p ||vi||H10 ≤ c
ppcΩ,pK
p−1p ||u||
p/qH ||vi||H10 .
Ez alapján
βk∑i=1
∫Ω
|u|p−1|vi| ≤ Kβ||u||p−1Hk∑i=1
||vi||H10 ≤ K√k||u||p−1H ||v||H , (3.31)
ahol K = cppcΩ,pKp−1p . Mindezt össześıtve
∣∣∣∣∣∣k∑i=1
∫Ω
(ai∇ui∇vi + (bi · ∇ui)vi + qi(x, u1, u2, . . . , uk)vi)
∣∣∣∣∣∣ ≤ (c2||u||H + c3||u||p−1H ) ||v||H ,azaz a funkcionál
tényleg korlátos, és ı́gy folytonos. Ezért egyértelműen
létezik F (u) ∈ H,
hogy 〈F (u), v〉H =k∑i=1
∫Ω
(ai∇ui∇vi + (bi · ∇ui)vi + qi(x, u1, u2, . . . , uk)vi) minden v
∈ H-ra,
és ı́gy az F (u) = g1
operátoregyenlet megoldásait keressük. A gyenge megoldás
egyértelműlétezéséhez belátjuk, hogy a 2.3.1. tétel
feltételeit F teljeśıti.
Az F : H → H operátort F = A + N formában lineáris és
nemlineáris részre bonthatjuk.Az egyenletes monotonitás A
esetén egyszerűen igazolható, hiszen u− v helyett h-t ı́rva
〈Ah, h〉H =k∑i=1
∫Ω
(ai|∇hi|2 + (bi∇hi)hi) ≥k∑i=1
(mi||hi||2H10 + 0) ≥ m||h||2H ,
ahol m = min1≤i≤k
mi. A nemlineáris tag is könnyen becsülhető, hiszen
〈N(u)−N(v), u− v〉H =k∑i=1
∫Ω
(qi(x, u)− qi(x, v))(ui − vi) ≥ 0,
33
-
3.2. Rendszer
ugyanis az integrandus a 3.2.2.-beli 3. feltétel szerint
nemnegat́ıv. Vagyis 〈F (u)−F (v), u−v〉 ≥ m||u− v||2H .
A 2.3.1. tételben szereplő másik feltétel, hogy F lokálisan
Lipschitzes. A lineáris tag eseténh = u− v helyetteśıtéssel
||Au− Av||H = ||Ah||H = sup
||z||H=1〈Ah, z〉, melyre a (3.28) és (3.29)
alapján fennáll, hogy
sup||z||H=1
〈Ah, z〉 ≤ sup||z||H=1
(A+B)||h||H ||z||H = (A+B)||h||H .
A ||N(u)−N(v)||H kiszámı́tása előtt vizsgáljuk meg az∫Ω
(|u|+ |v|)p−2|u− v| · |zi| integrált!
Tudjuk, hogy a vektornormák ekvivalenciája miatt |u|p ≤ cpp
·k∑i=1
|ui|p, ı́gy mivel ui ∈ H10 (Ω) ⊂
Lp(Ω), ezért |u| ∈ Lp(Ω), és ı́gy (|u|+ |v|) ∈ Lp(Ω).
Továbbá∣∣∣∣∣∣|u|∣∣∣∣∣∣Lp(Ω)
≤ cp(
k∑i=1
||ui||pLp(Ω)
)1/p≤ cpKΩ,p
(k∑i=1
||ui||pH10
)1/p≤ cpKΩ,pKp||u||H
Ezek ismeretében
∫Ω
(|u|+ |v|)p−2|u− v| · |zi| ≤(∫
Ω
(|u|+ |v|)(p−2)pp−2
)(p−2)/p(∫Ω
|u− v|p/2|zi|p/2)2/p
≤∣∣∣∣∣∣|u|+ |v|∣∣∣∣∣∣p−2
Lp(Ω)
∣∣∣∣∣∣|u− v|∣∣∣∣∣∣Lp(Ω)||zi||Lp(Ω)
≤(∣∣∣∣∣∣|u|∣∣∣∣∣∣
Lp(Ω)+∣∣∣∣∣∣|v|∣∣∣∣∣∣
Lp(Ω)
)p−2cpKΩ,pKp||u− v||HcΩ||zi||H10
≤ (cpKΩ,pKp)p−1cΩ (||u||H + ||v||H)p−2 ||u− v||H ||zi||H10 .
(3.32)
Így már könnyen igazolható a Lipschitzesség:
||N(u)−N(v)||H = sup||z||H=1
〈N(u)−N(v), z〉H = sup||z||H=1
k∑i=1
∫Ω
(qi(x, u)− qi(x, v))zi
≤ sup||z||H=1
k∑i=1
∫Ω
(αi + βi(|u|+ |v|)p−2)|u− v| · |zi|
≤ sup||z||H=1
k∑i=1
(c4 (||u||H + ||v||H)p−2 + c5)||u− v||H ||zi||H10
≤ (c6 (||u||H + ||v||H)p−2 + c7)||u− v||H .
Itt c4 = cΩ(cpKΩ,pKp)p−1β, mı́g c5 = c
2Ω max
1≤i≤kαi, c6 = c4
√k, és c7 = c5
√k. Az 2.3.1. tételben
34
-
3.2. Rendszer
szereplő M(r) függvény ezért a következő lehet: M(r) :=
A+B+ c6(2r)p−2 + c7, ez valóban
monoton növő, és ezzel a választással ||F (u) − F (v)||H ≤
M(r)||u − v||H , ha ||u||H ≤ r és||v||H ≤ r.
Tehát a (3.27) gyenge alakból kapott F (u) = g1
operátoregyenletben szereplő F -re tel-
jesülnek a 2.3.1. tétel feltételei, azaz minden g ∈ (L2(Ω))k
esetén a (3.25) feladatnakegyértelműen létezik gyenge
megoldása.
3.2.2. Az 1 < p < 2 eset
Ha rendszerünk van, a nempotenciálos tételek ugyanolyan
okokból nem használhatóak az1 < p < 2 esetben, amiért nem
használhatók egy komponens esetében sem. Így ahogykorábban is,
az elsőrendű tagokat elhagyva egyszerűbb egyenletrendszerhez
jutunk, és afüggvényekre vonatkozó feltételek is
módosulnak.
∀1 ≤ i ≤ k :
{−div(ai∇ui) + qi(x, u1, u2, . . . , uk) = gi,ui|∂Ω = 0,
(3.33)
A megfelelő gyenge alak: keressük azt az u ∈ H függvényt,
melyre
k∑i=1
∫Ω
(ai∇ui∇vi + qi(x, u)vi) =k∑i=1
∫Ω
givi (∀ v ∈ H). (3.34)
3.2.4. Feltételek. Tegyük fel, hogy a (3.33) feladatbeli
függvények az alábbi tulaj-donságokkal rendelkeznek:
1. ai ∈ L∞(Ω), és létezik mi, hogy ai(x) ≥ mi > 0 (m.m. x ∈
Ω),
2. qi ∈ C(Ω× Rk,R
), léteznek olyan 1 < p < 2, αi, βi ≥ 0 állandók, hogy
∀ξ ∈ Rk-ra
|qi(x, ξ)| ≤ αi + βi|ξ|p−1,
3. a (q1, . . . , qk) rendszer potenciálos, azaz létezik olyan
Q ∈ C0,1(Ω× Rk,R
)függvény,
hogy ∂Q∂ξi
= qi minden 1 ≤ i ≤ k esetén,
4. tetszőleges ξ, η ∈ Rk eseténk∑i=1
(qi(x, ξ)− qi(x, η))(ξi − ηi) ≥ 0.
3.2.5. Álĺıtás. Ha a 3.2.4. feltételek teljesülnek, akkor
tetszőleges (g1, . . . , gk) ∈ L2(Ω) ×· · · × L2(Ω) esetén a
(3.33) feladatnak egyértelműen létezik u∗ ∈ H gyenge
megoldása.
Bizonýıtás. A (3.34) egyenlet jobb oldalát a 2 ≤ p esettel
megegyező módon egy 〈g1, v〉H
skalárszorzatnak tekinthetjük. A bal oldalból feĺırható v
7→k∑i=1
∫Ω
(a∇ui∇vi + q(x, u)vi)
35
-
3.2. Rendszer
lineáris leképezés korlátossága a (3.28) és (3.30) illetve
(3.31) alapján látható. Ezek abecslések itt is igazak, hiszen
csak azt használjuk ki, hogy p > 1.
A gyenge feladat tehát az F (u) = g1
operátoregyenlethez vezet. Azt fogjuk megmutatni,hogy erre az F
: H → H operátorra teljesülnek a 2.3.3. tételben szereplő
feltételek.
Az F operátor lineáris része A, melyre 〈Au, v〉H =k∑i=1
∫Ω
ai∇ui∇vi. Ennek mindig van po-
tenciálja, méghozzá JA(u) =12〈Au, u〉H = 12
k∑i=1
∫Ω
ai|∇ui|2.
A nemlineáris rész 〈N(u), v〉H =k∑i=1
∫Ω
qi(x, u)vi. Mivel (q1, . . . , qk) potenciálos, ı́gy u ∈ H
esetén legyen JN(u) :=∫Ω
Q(x, u) dx. Igazoljuk, hogy ezzel JN Gâteaux-deriválható
funkci-
onál, és J ′N = N . Ugyanis
limt→0
JN(u+ tv)− JN(u)t
= limt→0
∫Ω
Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t
dx
Azt kell belátni, hogy limt→0
∫Ω
Q(x,u+tv)−Q(x,u)t
dx =∫Ω
k∑i=1
qi(x, u)vi dx, melyhez elegendő igazolni,
hogy
limt→0
∣∣∣∣∣∣∫Ω
(Q(x, u+ tv)−Q(x, u)
t−
k∑i=1
qi(x, u)vi
)dx
∣∣∣∣∣∣ = 0
Nyilván |∫Ω
(Q(x,u+tv)−Q(x,u)t
−k∑i=1
qi(x, u)vi) dx| ≤∫Ω
|Q(x,u+tv)−Q(x,u)t
−k∑i=1
qi(x, u)vi| dx, és a
Lagrange-féle középértéktétel szerint létezik olyan θ(x)
∈ [0, t], hogy Q(x,u+tv)−Q(x,u)t
=k∑i=1
∂Q∂ξi
(x, u+ θv)vi =k∑i=1
qi(x, u+ θv)vi, ı́gy
∫Ω
∣∣∣∣Q(x,u+tv)−Q(x,u)t − k∑i=1
qi(x, u)vi
∣∣∣∣ = ∫Ω
|k∑i=1
(qi(x, u+ θv)− qi(x, u)| · |vi| ≤
∫Ω
k∑i=1
|qi(x, u+ θv)− qi(x, u)| · |vi|
Ha θ ∈ [0, t] és t → 0, akkor feltehető, hogy θ ≤ 1. Az
integrandus m.m. pontonkénttart 0-hoz, ha t → 0, hiszen ekkor θ →
0, és a qi függvények folytonosak. Másrészt vanintegrálható
majoránsa:
36
-
3.2. Rendszer
k∑i=1
|qi(x, u+ θv)− qi(x, u)| · |vi| ≤k∑i=1
(2αi + βi(|u+ θv|p−1 + |u|p−1))|vi|
≤k∑i=1
(2αi + βi((|u|+ θ|v|)p−1 + |u|p−1))|vi| ≤k∑i=1
(2αi + βi((|u|+ |v|)p−1 + |u|p−1))|vi|
Korábban beláttuk, hogy ha u, v ∈ H, akkor |u|, |v| ∈ Lp(Ω),
és ı́gy (|u| + |v|) ∈Lp(Ω), ezáltal |u|p−1, (|u| + |v|)p−1 ∈
L
pp−1 (Ω), kihasználva, hogy p − 1 > 0. Ekkor
(2αi+β(|u|p−1 +(|u|+ |v|)p−1)) ∈ Lpp−1 (Ω). És mivel vi ∈ H10
(Ω) ⊂ Lp(Ω), ezért a szorzatuk,
(2αi + βi((|u|+ |v|)p−1 + |u|p−1))|vi| ∈ L1(Ω). Vagyisk∑i=1
(2αi + βi((|u|+ |v|)p−1 + |u|p−1))|vi|
tényleg integrálható majoráns.
Így a Lebesgue-tétel szerint
limt→0
∫Ω
∣∣∣∣∣Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t −k∑i=1
qi(x, u)
∣∣∣∣∣ = 0.Ezzel beláttuk, hogy J = JA + JN
Gâteaux-deriválható funkcionál, és J
′ = F , azaz Fpotenciáloperátor.
A lineáris tag szigorúan monoton, hiszen 〈Ah, h〉H =k∑i=1
∫Ω
ai|∇hi|2 ≥k∑i=1
mi||hi||2H10 ≥
m||h||2H , ahol m = min1≤i≤k
mi.
Hasonlóan, a nemlineáris rész 〈N(u) − N(v), u − v〉H
=k∑i=1
∫Ω
(qi(x, u) − qi(x, v))(ui − vi) =∫Ω
k∑i=1
(qi(x, u)− qi(x, v))(ui− vi) ≥ 0, mivel az integrandus a
3.2.4.-beli 2. feltétel értelmében
nemnegat́ıv. Mindezt össześıtve tehát 〈F (u) − F (v), u − v〉H
≥ m||u − v||2H , azaz F egyen-letesen monoton
potenciáloperátor.
Végül mivel a JN funkcionál Gâteaux-deriválható, és N =
J′N monoton operátor, ezért a
JN funkcionál konvex. Ekkor tudjuk, hogy bármely u, v ∈ H
esetén JN(u) − JN(v) ≥〈J ′N(v), u− v〉H = 〈N(v), u− v〉H . A v = 0
helyetteśıtéssel minden u ∈ H-ra
JN(u) ≥ JN(0) + 〈N(0), u〉H = JN(0) +k∑i=1
∫Ω
qi(x, 0)ui.
Ebből következik, hogy JN(u) ≥ c6− c7||u||H , mı́g JA(u) =
12k∑i=1
∫Ω
ai|∇ui|2 ≥ m||u||2H , és ı́gy
ha J = JA + JN az F egy potenciálja, akkor lim||u||→∞
J(u)||u|| ≥ lim||u||→∞
m2||u||2+c6−c7||u||
||u|| =∞.
37
-
3.2. Rendszer
Összefoglalva: a (3.34) feladat gyenge alakjából kapott F
operátorra fennálnak a 2.3.3.tételbeli feltételek, ezért a
(3.33) feladatnak egyértelműen létezik a gyenge megoldása.
38
-
4. Időfüggő egyenletek
Ha nem csak a stacionárius megoldást keressük, akkor a
reakció-diffúziós egyenletek para-bolikus feladatot
jelentenek.
4.1. Parabolikus feladatok
Az ebben a szakaszban szereplő defińıciók, álĺıtások és a
használt jelölésrendszer forrása a[6] jegyzet.
4.1.1. Defińıció. Legyen V Banach-tér, 1 < p < ∞.
Jelölje Lp(0, T ;V ) az olyan f :
(0, t) → V mérhető függvények öszességét,
amelyekreT∫0
||f(t)||p dt < ∞. ||f ||Lp(0,T ;V ) =(T∫0
||f(t)||p dt)1/p
.
4.1.2. Álĺıtás. A fenti normával Lp(0, T ;V ) Banach-tér.
Ha V szeparábilis, akkorLp(0, T ;V ) is az.
4.1.3. Tétel. (Hölder-egyenlőtlenség) Legyen 1 < p
-
4.2. Lineáris feladatok
4.1.6. Defińıció. Legyen V ⊂ H ⊂ V ∗ evolúciós hármas. Azt
mondjuk, hogy a w ∈Lq(0, T ;V ∗) függvény az u ∈ Lp(0, T ;V )
függvény általánośıtott deriváltja, ha minden ϕ ∈C∞0 (0, T )
tesztfüggvényre
+∞∫−∞
ϕ(t)w(t) dt = −+∞∫−∞
ϕ′(t)u(t).
Ekkor w-re az u′ jelölést használjuk.
A fenti egyenlet bal oldalán az integrandus V ∗-beli, mı́g a
jobb oldalon V -beli, de V ⊂H ⊂ V ∗ miatt az egyenlet értelmes.
Továbbá ha az általánośıtott derivált létezik, akkor
azegyértelmű.
4.1.7. Tétel. Legyen V ⊂ H ⊂ V ∗ egy evolúciós hármas, 1
< p < ∞, 1p
+ 1q
= 1,0 < T
-
4.3. Nemlineáris feladatok
∂tu+ Lu = f QT -ben,
u|ΓT = 0,
u(0, x) = h(x) x ∈ Ω.(4.2)
Itt QT = (0, T )× Ω, ΓT = [0, T )× ∂Ω, f : QT → R, h : Ω→ R
adott függvények, és ennekkeressük az u : QT → R megoldását.
L pedig egy másodrendű, idő szerinti deriváltat nemtartalmazó
parciális differenciáloperátor:
Lu = −n∑
i,j=1
∂j(aij(t, x)∂iu) +n∑i=1
bi(t, x)∂iu+ c(t, x)u
4.2.1. Defińıció. Azt mondjuk, hogy a ∂∂t
+L operátor egyenletesen parabolikus, ha létezikθ > 0
állandó, hogy
n∑i,j=1
aij(t, x)ξiξj ≥ θ|ξ|2
minden (t, x) ∈ QT -re és ξ ∈ Rn-re.
Azaz minden rögźıtett 0 ≤ t ≤ T esetén L egyenletesen
elliptikus x-ben.
4.2.2. Tétel. Legyen V = H10 (Ω), H = L2(Ω). Ekkor V ⊂ H ⊂ V ∗
evolúciós hármas,
X = L2(0, T ;V ). Továbbá legyen F ∈ X∗, ahol
[F, v] =
∫ T0
〈F (t), v(t)〉 dt
A (4.2) feladat gyenge alakja: olyan u ∈ W 12 (0, T ;V,H)
függvényt keresünk, melyre
u′ + A(u) = F
u(0) = u0,(4.3)
ahol 〈[A(u)](t), v(t)〉 =∫Ω
[n∑
i,j=1
a(t, x)ij∂iu∂jv+n∑i=1
bi(t, x)(∂iu)v+c(t, x)uv]. Ha∂∂t
+L egyen-
letesen parabolikus, akkor a (4.2) feladatnak egyértelműen
létezik a gyenge megoldása.
4.3. Nemlineáris feladatok
Legyen Ω ⊂ Rn korlátos tartomány, melynek határa elég sima,
R 3 T > 0. Jelölje QT =(0, T )×Ω, és ΓT = [0, T )×∂Ω. A
parabolikus feladat Dirichlet-peremfeltétellel és a
megfelelőkezdeti feltétellel:
41
-
4.3. Nemlineáris feladatok
∂tu− div(a(t, x)∇u) + q(t, x, u) = f QT -ben,u|ΓT = g,
u(0, x) = h(x) x ∈ Ω.(4.4)
Homogén peremfeltétel mellett (g ≡ 0) a (4.4) feladat gyenge
alakját úgy kapjuk meg, hogyv ∈ C10(Ω) függvénnyel szorozzuk a
(4.4) első egyenletét, majd Ω-n integrálunk. A
Gauss-Osztrogradszkij-tétel alapján ekkor
∫Ω
((∂tu)v + a(t, x)(∇u · ∇v) + q(t, x, u,∇u)v) dx =∫Ω
fv dx. (4.5)
Ha az a, q illetve f függvények bizonyos növekedési
feltételeknek eleget tesznek, akkor afenti egyenlet nem csak v ∈
C10(Ω) tesztfüggvényekre fog teljesülni, hanem minden v ∈
Vfüggvényre, ahol V alkalmasan választott Banach-tér. Továbbá
az egyenlet mindkét oldalav-nek folytonos és lineáris
funkcionálja lesz. Ezért lesznek értelmesek a következő
fogalmak(a [6]) jelöléseit használva): X = {U : [0, T ]→ V }, Y
= {U : [0, T ]→ V ∗}; t ∈ [0, T ] eseténjelölje U(t) az x 7→ u(t,
x) ∈ V függvényt (ekkor U ∈ X), valamint legyen
F (t) ∈ V ∗, F (t)v =∫Ω
fv dx
Ã(t) : V → V ∗, 〈[Ã(t)][U(t)], v〉 =∫Ω
(a(t, x)(∇u · ∇v) + q(t, x, u,∇u)v) dx
A : X → Y, [A(U)](t) = [Ã(t)][U(t)]
(4.6)
Ha a dUdt
(t) = U ′(t) deriváltnak is értelmet tudunk adni, és a
kezdeti feltételt is értelmeznitudjuk, akkor a (4.5) egyenlet
tulajdonképpen egy közönséges differenciálegyenletté
egy-szerűsödik:
U ′(t) + [A(U)](t) = F (t) t ∈ (0, T )U(0) = h
(4.7)
4.3.1. Lipschitzes nemlineáris tag
A nemlineáris egyenleteknek egy speciális t́ıpusa, ha a
nemlineaŕis tag Lipschitzes. LegyenV ⊂ H ⊂ V ∗ evolúciós
hármas, 1 < p < ∞, 0 < T < ∞, és a (4.6)-beli
jelölésekkelX = Lp(0, T ;V ), Y = X∗ = Lq(0, T ;V ∗), valamint t
∈ (0, T ) esetén Ã(t) : V → V ∗, éslegyen A : X → X∗, [A(u)](t)
= [Ã(t)][u(t)], F ∈ X∗, ahol v ∈ X esetén
42
-
4.3. Nemlineáris feladatok
[F, v] =
∫ T0
〈F (t), v(t)〉 dt,
ha [., .] jelöli az X∗ és X közti, 〈., .〉 pedig a V ∗ és V
közti dualitást. Legyen u0 ∈ H. Ekkorolyan u ∈ W 1p (0, T ;V,H)
függvényt keresünk, mely teljeśıti a
u′ + A(u) = F
u(0) = u0(4.8)
feladatot. Az u(0) = u0 kezdeti feltétel a 4.1.7. tétel
alapján értelmes.
4.3.1. Feltételek.
1. a : [0, T ] × Rn olyan, hogy adott t mellett a(t, x) ∈ L∞(Ω),
és a korlát t-től nem függ,és van olyan m > 0 konstans,
hogy a(t, x) ≥ m m.m. t ∈ [0, T ] és m.m. x ∈ Ω-ra
2. q : Ω×R→ R második változójában Lipschitz-folytonos,
úgy, hogy a Lipschitz-konstansnem függ x-től.
Tekintsük a
∂tu− div(a∇u) + q(u) = f QT -benu|ΓT = 0
u(0, x) = h(x)
(4.9)
egyenletet. A megoldásait keresve jó választás lesz a p = 2,
V = H10 (Ω) és H = L2(Ω).
Ekkor X = L2(0, T ;V ), X∗ = L2(0, T ;V ∗).
Az 〈[Ã(t)][u(t)], v〉 =∫Ω
(a(x, t)∇u∇v) dx = 〈[A(u)](t), v〉, és 〈[Q(u)](t), v〉 =∫Ω
q(x, u)v dx
defińıcióval A(u), Q(u) ∈ L2(0, T ;V ∗) is teljesül.
Ehhez azt kell látni, hogy adott t esetén [A(u)](t) ∈ V ∗,
illetve hogy∫ T
0||[A(u)](t)||2V dt 0 konstans, hogy |q(x, ξ)| ≤ L(1 + |ξ|). Ez
alapján
〈[Q(u)](t), v〉 =∫Ω
q(x, u)v dx ≤∫Ω
L(1 + |u|)v dx
≤ L||v||L1(Ω) + L||u||L2(Ω)||v||L2(Ω) ≤ C(1 + ||u||H10
(Ω))||v||H10 (Ω)
43
-
4.3. Nemlineáris feladatok
Ezért Q(u) ∈ L2(0, T ;V ∗), és ||[Q(u)](t)||V ∗ ≤ C(1+||u||H10
(Ω)). Hasonlóan azt is megkapjuk,hogy
||[Q(u1)](t)− [Q(u2)](t)||V ∗ ≤ C||u1 − u2||V ,
és ezért elmondható, hogy
||Q(u1)−Q(u2)||2X∗ =∫ T
0
||[Q(u1)](t)− [Q(u2)](t)||2V ∗ dt ≤∫ T
0
C ′||u1 − u2||2V dt. (4.10)
Legyen f olyan, hogy adott t mellett f(t, x) ∈ L2(Ω). Ekkor
értelmezhető F ∈ X∗, aholv ∈ X esetén [F, v] =
∫ T0〈F (t), v(t)〉 dt, mı́g 〈F (t), v(t)〉 =
∫Ω
f(t, x)v(t, x) dx.
Tehát a (4.9) feladat átfogalmazható: olyan u ∈ W 12 (0, T
;H10 , L2(Ω)) függvényt keresünk,melyre
u′ + A(u) +Q(u) = F
u|ΓT=0
u(0, x) = h(x)
(4.11)
4.3.2. Álĺıtás. ([2]) A 4.3.1. feltételek teljesülése
esetén a (4.11) feladatnak minden, afenti tulajdonságokkal
rendelkező f esetén egyértelműen létezik a megoldása.
Bizonýıtás.
A bizonýıtás során a [2]-beli lépéseket követjük.
Rögźıtett u ∈ W 12 (0, T ;H10 (Ω), L2(Ω)) eseténlegyen G = F
−Q(u). Tudjuk, hogy ekkor u-ra úgy tekinthetünk, mint u ∈ C(0, T
;L2(Ω)).Legyen a továbbiakban H = L2(Ω), és V = H10 (Ω). Vegyük
a következő lineáris feladatot:
v′ + A(v) = G QT -ben
v|ΓT = 0
v(0) = u0.
(4.12)
Ennek a 4.2.2. tétel alapján létezik az egyértelmű w ∈ C(0,
T ;H) megoldása. Eztu függvényében kaptuk, ezért eljutunk egy
B operátorhoz, melyre B : C(0, T ;H) →C(0, T ;H), B(u) = w.
Belátjuk, hogy ha T elég kicsi, akkor ez a B kontrakció.
Legyen u1, u2 ∈ C(0, T ;H), és w1 = B(u1), w2 = B(u2). A (4.1)
egyenletbe v = u = w1−w2-t helyetteśıtve kapjuk, hogy
||w1(t)− w2(t)||2H − ||w1(0)− w2(0)||2H = 2∫ t
0
〈w′1(τ)− w′2(τ), w1(τ)− w2(τ)〉dτ
44
-
4.3. Nemlineáris feladatok
Mivel w1 és w2 is kieléǵıti a (4.12)-beli
kezdetiérték-feltételt, ezért ||w1(0) − w2(0)||2H = 0.Továbbá
w′i(τ) = −[Awi](τ) + F −Q(ui) (i = 1, 2), ahonnan
〈w′1(τ)− w′2(τ), w1(τ)− w2(τ)〉 = −〈[A(w1 − w2)](τ), w1 − w2〉+
〈Q(u2)−Q(u1), w1 − w2〉.
Ahhoz, hogy belássuk, hogy B kontrakció, a ||w1 − w2||H
normát kell megbecsülni.
||w1(t)− w2(t)||2H + 2∫ t
0
〈[A(w1 − w2)](τ), w1 − w2〉 = −2∫ t
0
〈Q(u2)−Q(u1), w1 − w2〉dτ
||w1(t)− w2(t)||2H + 2m∫ t
0
||w1 − w2||2V dτ ≤ 2∫ t
0
〈Q(u1)−Q(u2), w1 − w2〉d,
kihasználva, hogy 〈[A(w1 −w2)](τ), w1 −w2〉 =∫Ω
a|∇(w1 −w2)|2 ≥ m||w1 −w2||2V . A 4.1.3.
Hölder-egyenlőtlenség alapján
||w1(t)− w2(t)||2H + 2m||w1 − w2||2L2(0,t;V ) ≤
2||Q(u1)−Q(u2)||L2(0,t;V ∗)||w1 − w2||L2(0,t;V )
≤ 1ε||Q(u1)−Q(u2)||2L2(0,t;V ∗) + ε||w1 − w2||2L2(0,t;V ),
ahol az utolsó becslés lényegében a számtani és mértani
közepek közti egyenlőtlenségbőlkapható. ε-t elég kicsinek
választva azt kapjuk, hogy
||w1(t)− w2(t)||2H ≤ C1
ε||Q(u1)−Q(u2)||2L2(0,t;V ∗) ≤ C
1
ε||Q(u1)−Q(u2)||2L2(0,T ;V )
≤∫ T
0
C ′||u1 − u2||2V dt ≤ C ′T ||u1 − u2||2C(0,T ;H).(4.13)
A bal oldalon t szerint szuprémumot véve adódik, hogy
||B(u1)−B(u2)||C(0,T ;H) ≤√C ′T ||u1 − u2||C(0,T ;H),
vagyis ha T olyan kicsi, hogy√C ′T < 1, akkor B kontrakció.
A Banach-fixponttétel szerint
ezért egyértelműen létezik B-nek fixpontja, azaz olyan ũ ∈
C(0, T ;H) függvény, melyreB(ũ) = ũ. Mivel B(u)-t úgy
definiáltuk, hogy az a (4.12) feladat egyértelmű megoldásaG = F
−Q(u)-ra, ezért ez éppen azt jelenti, hogy ũ megoldása a (4.11)
feladatnak.
Adott T esetén legyen tehát T1 > 0 olyan, hogy√C ′T1 <
1. Ekkor a fenti gondolatmenet
szerint a (4.11) egyenletnek egyértelműen létezik a [0, T1]
intervallumon az ũ ∈ L2(0, T1;V )
45
-
4.3. Nemlineáris feladatok
megoldása, továbbá ũ(T1) ∈ V = H10 (Ω). Ezért a (4.11)
feladatot most u(0) = ũ(T1) kezdetiértékkel megfogalmazva ismét
találunk egyértelmű megoldást a [T1, 2T1] intervallumon.
Ezt véges sok lépésben megismételve (hiszen T < ∞ és T1
> 0) eljutunk egy [0, T ]-nértelmezett u ∈ L2(0, T ;V )
megoldáshoz.
Az egyértelműség bizonýıtásához tegyük fel, hogy u1 és
u2 is gyenge megoldások [0, T ]-n.Ekkor a (4.13)
egyenlőtlenségben w1 = u1 illetve w2 = u2, ahonnan
||u1(t)− u2(t)||2H ≤ C ′∫ t
0
||u1(τ)− u2(τ)||2Hdτ
A Gronwall-egyenlőtlenség alapján ezért u1 = u2.
4.3.2. Operátorfélcsoportok és lokálisan Lipschitzes
nemlineáris tag
Leggyakrabban a kémiai példákban előforduló függvények,
melyek az egyenlet nemline-aritását okozzák, nem Lipschitzesek.
Ebben az esetben a megoldhatóság vizsgálatakor újeszközökre,
az operátorfélcsoportok elméletére lesz szükség. A számunkra
legfontosabb de-fińıciók és tételek a következők (az itt nem
szereplő bizonýıtások az [5] könyvben találhatók):
4.3.3. Defińıció. Legyen X Banach-tér. Ha T : [0,∞)→ B(X)
leképezés, és
i) T (0) = I, (I az identitás X-en),
ii) T (t+ s) = T (t)T (s) minden t, s ≥ 0
(félcsoport-tulajdonság),
akkor a {T (t)}t≥0 családot korlátos lineáris operátorok
félcsoportjának nevezzük.
Legyen A lineáris operátor a következő módon
definiálva: