41 Cap.4.Proiectarea regulatoarelor în spaţiul stărilor În acest subcapitol ne vom referi în principal la sisteme de reglare unde vom considera performanţele de regim tranzitoriu determinate în principal de locaţia polilor. Cerinţa de proiectare se va traduce în mutarea polilor sistemului (în circuit deschis >>polii părţii fixe) în locaţiile dorite (corespunzătoare sistemului în circuit închis) prin folosirea reacţiei negative. Practic, vom folosi metode specifice spaţiului stărilor ce permit plasarea polilor în locaţiile dorite în circuit închis. 4.1.Reacţia după stare În abordarea în spaţiul stărilor a problemei reglării se presupune într -o primă instanţă că toate componentele vectorului de stare sunt accesibile prin măsurare. În aceste condiţii, intrarea în elementul de comparaţie(de pe reacţie) se consideră proporţională cu vectorul de stare: x k u . În acest caz se ridică câteva întrebări: ->Cum şi de ce se pretează acest tip de reglare? ->Se poate aplica acest tip de reacţ ie pentru toate tipurile de sisteme şi dacă nu, care sunt condiţiile de aplicare? Datorită faptului că starea se defineşte ca fiind cantitatea minimă de informaţie necesară pentru descrierea completă a sistemului, reacţia după stare este deosebit de eficientă. Valabilitatea acestui lucru derivă din faptul că sistemul foloseşte toată cantitatea de informaţie de care dispune pentru reglare, în comparaţie cu compensarea clasică, în care numai ieşirea(de obicei ultima variabilă de stare) este întoarsă prin reacţie negativă la intrarea sistemului de reglare. Mai mult decât aceasta, cum reacţia după stare se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuaţii, soluţiile nu sunt întotdeauna unice şi deci putem folosi şi criterii optimale pentru alegerea unei soluţii unice. Considerăm în cazul general un sistem liniar, descris prin ecuaţiile de stare: t Du t x C t y t Bu t Ax t x T şi funcţia de transfer: D B A sI C s H T F 1 . Se spune că sistemul este controlabil dacă, prin aplicarea unor anumite secvenţe de intrare, stările se pot muta oriunde în spaţiul stărilor. Acest fapt este echivalent cu posibilitatea de a muta polii sistemului oriunde în planul complex. Controlabilitatea este determinată de perechea ) , ( B A şi se verifică cu ajutorul matricii P de controlabilitate: perechea ) , ( B A este controlabilă dacă şi numai dacă rangul matricii de controlabilitate P este n (unde n este ordinul sistemului, dimensiunea matricei A )
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
41
Cap.4.Proiectarea regulatoarelor în spaţiul stărilor
În acest subcapitol ne vom referi în principal la sisteme de reglare unde vom
considera performanţele de regim tranzitoriu determinate în principal de locaţia
polilor. Cerinţa de proiectare se va traduce în mutarea polilor sistemului (în circuit
deschis >>polii părţii fixe) în locaţiile dorite (corespunzătoare sistemului în circuit
închis) prin folosirea reacţiei negative. Practic, vom folosi metode specifice spaţiului
stărilor ce permit plasarea polilor în locaţiile dorite în circuit închis.
4.1.Reacţia după stare
În abordarea în spaţiul stărilor a problemei reglării se presupune într-o primă
instanţă că toate componentele vectorului de stare sunt accesibile prin măsurare. În
aceste condiţii, intrarea în elementul de comparaţie(de pe reacţie) se consideră
proporţională cu vectorul de stare:
xku .
În acest caz se ridică câteva întrebări:
->Cum şi de ce se pretează acest tip de reglare?
->Se poate aplica acest tip de reacţie pentru toate tipurile de sisteme şi dacă nu,
care sunt condiţiile de aplicare?
Datorită faptului că starea se defineşte ca fiind cantitatea minimă de informaţie
necesară pentru descrierea completă a sistemului, reacţia după stare este deosebit de
eficientă. Valabilitatea acestui lucru derivă din faptul că sistemul foloseşte toată
cantitatea de informaţie de care dispune pentru reglare, în comparaţie cu compensarea
clasică, în care numai ieşirea(de obicei ultima variabilă de stare) este întoarsă prin
reacţie negativă la intrarea sistemului de reglare. Mai mult decât aceasta, cum reacţia
după stare se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuaţii, soluţiile nu sunt
întotdeauna unice şi deci putem folosi şi criterii optimale pentru alegerea unei
soluţii unice.
Considerăm în cazul general un sistem liniar, descris prin ecuaţiile de stare:
tDutxCty
tButAxtx
T
şi funcţia de transfer:
DBAsICsH T
F 1 .
Se spune că sistemul este controlabil dacă, prin aplicarea unor anumite secvenţe
de intrare, stările se pot muta oriunde în spaţiul stărilor. Acest fapt este echivalent cu
posibilitatea de a muta polii sistemului oriunde în planul complex.
Controlabilitatea este determinată de perechea ),( BA şi se verifică cu ajutorul
matricii P de controlabilitate: perechea ),( BA este controlabilă dacă şi numai dacă
rangul matricii de controlabilitate P este n (unde n este ordinul sistemului,
dimensiunea matricei A )
42
BAB ........B AB AP n-12
Dacă sistemul este controlabil, atunci se poate folosi reacţia după stare pentru a
plasa polii sistemului în circuit închis oriunde în semiplanul complex. (Presupunem
că toate stările sunt măsurabile).
Din practică rezultă însă că o noţiune mai slabă decât cea de controlabilitate
este suficientă pentru majoritatea scopurilor. Această noţiune se numeşte
„stabilizabilitate” şi se referă la posibilitatea de a putea deplasa numai modurile
instabile ale sistemului. Se poate spune că un sistem este stabilizabil dacă modurile
instabile sunt controlabile, sau, echivalent, dacă modurile necontrolabile sunt stabile
(prin moduri întelegem rădăcinile polinomului caracteristic al sistemului).
Se mai poate sublinia faptul că în cazul sistemelor monovariabile, lipsa
controlabilităţii duce la simplificări poli-zerouri în funcţia de transfer a sistemului. Reciproca nu este valabila: simplificări poli-zerouri în funcţia de transfer nu duc
neeapărat la necontrolabilitate.
Există mai multe formule pentru calculul matricei k de reacţie după stare. Formula
lui Ackermann este un exemplu pentru sistemele monovariabile. În primul rând
trebuie reţinut faptul că reacţia după stare nu duce la mărirea ordinului sistemului în
circuit închis faţă de cel în circuit deschis. Dacă ordinul sistemului este n , atunci
putem alege n valori, ce pot fi reale sau complexe, pentru polii funcţiei de transfer în
circuit închis.
Acestea vor duce la ecuaţia caracteristică „dorită” pentru sistemul în circuit închis
de forma:
nnn
d sss ........11
Atunci formula lui Ackermann ne oferă k sub forma:
APk d 11,0,........,0,0 unde IAAA n
nn
d ........1
1
Formula de mai sus nu se pretează întotdeauna pentru implementarea numerică,
dar există numeroşi alţi algoritmi mai siguri din punct de vedere al preciziei de calcul.
Obs.:
&&-În Matlab avem funcţia „acker” care calculează matricea de reacţie după stare k
prin plasarea polilor în locaţiile dorite.
>>help acker
ACKER Pole placement gain selection using Ackermann's formula.
K = ACKER(A,B,P) calculates the feedback gain matrix K such that the single
input system.
x = Ax + Bu
with a feedback law of u = -Kx has closed loop poles at the
values specified in vector P, i.e., P = eig(A-B*K).
Note: This algorithm uses Ackermann's formula. This method is NOT numerically
reliable and starts to break down rapidly for problems of order greater than 10, or
for weakly controllable systems. A warning message is printed if the nonzero
closed-loop poles are greater than 10% from the desired locations specified in P.
43
&&-Funcţia Matlab „place” implementează un algoritm înbunătăţit, care, la fel,
calculează matricea de reacţie după stare k , prin plasarea polilor sistemului în circuit
închis în locaţiile dorite.
>> help place
PLACE Pole placement technique
K = PLACE(A,B,P) computes a state-feedback matrix K such that
the eigenvalues of A-B*K are those specified in vector P.
No eigenvalue should have a multiplicity greater than the
number of inputs.
[K,PREC,MESSAGE] = PLACE(A,B,P) returns PREC, an estimate of how
closely the eigenvalues of A-B*K match the specified locations P
(PREC measures the number of accurate decimal digits in the actual
closed-loop poles). If some nonzero closed-loop pole is more than
10% off from the desired location, MESSAGE contains a warning
message.
OBS: Aceasta functie se poate aplica si pentru calculul matricei de reactie dupa stare
pentru sistemele multivariabile
În principiu, prin proiectarea folosind metoda locului rădăcinilor se consideră o
funcţie de transfer în circuit închis cu 2 poli complex conjugaţi care poate duce la
răspunsul tranzitoriu dorit. Se poate aplica şi în cazul reacţiei după stare o variantă a
acestei metode, adică se selectează în planul complex o pereche de poli care să
satisfacă specificaţiile răspunsului tranzitoriu, şi restul de (n-2) poli se aleg reali în
semiplanul complex stâng şi depărtaţi de originea planului complex, astfel încât
influenţa lor în răspunsul tranzitoriu să fie neglijabilă. Locului rădăcinilor este o metodă destul de folosită de analiză şi sinteză a SRA liniare fără
timp mort. Prin modificarea poziţiei rădăcinilor polinomului caracteristic(în circuit închis) în planul
complex se pot obţine performanţele dorite pentru o structură dată de sistem de reglare automată
(SRA). Practic, prin modificarea valorilor unor parametrii ai sistemului de reglare, se asigură diferite
poziţionări ale rădăcinilor polinomului caracteristic şi deci se ajustează performanţele. Astfel,
metoda locului rădăcinilor oferă un procedeu simplu de stabilire a rezultatului modificării unui
anumit parametru al SRA liniar asupra spectrului polinomului său caracteristic, conducând la câte
un loc geometric pentru fiecare rădăcină. Pentru a construi locul rădăcinilor, considerăm un SRA-
liniar şi continuu al cărei funcţie de transfer pe calea directă este de forma:
)(
)()(
2
1
sP
sPKsH dd (3.57)
Funcţia de transfer în circuit închis corespunzătoare unei structuri cu reacţie negativă unitară este:
)()(
)(
)(
)(1
)(
)(
)(1
)()(
12
1
2
1
2
1
0sPKsP
sPK
sP
sPK
sP
sPK
sH
sHsH
d
d
d
d
d
d
(3.58)
Polinomul caracteristic al sistemului în circuit închis devine:
44
)()()( 12 sPKsPsP d (3.59)
În această abordare polii sistemului în circuit închis sunt rădăcinile următoarei ecuaţii caracteristice,
ceea ce arată că amplificarea Kd de pe calea directă, afectează rădăcinile polinomului caracteristic:
0)()( 12 PKP d (3.60)
Prin definiţie, locul rădăcinilor reprezintă ansamblul locurilor geometrice descrise în planul
variabilei complexe(frecvenţa complexă) “s” de rădăcinile ecuaţiei caracteristice din relaţia (3.60),
atunci când factorul de amplificare pe calea directă Kd, în raport cu care se face analiza sau sinteza
SRA, variază, luând valori într-un domeniu specificat. Pentru Kd=0, rădăcinile ecuaţiei (3.60) sunt
rădăcinile polinomului )(2 P , care sunt aceleaşi cu polii sistemului în circuit deschis. Dacă
amplificarea Kd este foarte mare )( dK , rădăcinile ecuaţiei caracteristice coincid cu zerourile
sistemului în circuit deschis(zerourile funcţiei de transfer Hd(s)). Astfel, atunci când Kd este crescut
de la 0 la , locul rădăcinilor este iniţiat de polii pj ai sistemului în circuit deschis şi se termină în
zerourile zi ale sistemului în circuit deschis.
Locul rădăcinilor permite analiza stabilităţii SRA, aprecierea informativă a calităţii SRA, şi
determinarea aproximativă a răspunsului la diverse semnale de intrare. Stabilitatea unui SRA liniar
poate fi analizată prin poziţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în raport cu frontiera domeniului de
stabilitate(axa imaginară). Dacă pentru o valoare dată a parametrului Kd rădăcinile polinomului
caracteristic sunt în semiplanul complex stâng C , spunem că sistemul este asimptotic stabil.
Ţinând seama de incertitudinile ce caracterizează modelul procesului şi în consecinţă şi valorile
parametrilor de acord ai regulatorului, se consideră o frontieră de stabilitate modificată cu
dreapta d paralelă cu axa imaginară ca în Fig.3.15
Valoarea a este stabilită de proiectant în funcţie de aplicaţia concretă, în funcţie de gradul
de adecvanţă al modelului matematic al procesului la realitate. Pornind de la definiţia locului
rădăcinilor şi ţinând seama de importanţa informaţiei de factură calitativă asupra regimurilor libere
ale SRA oferite în faza de analiză, locul rădăcinilor poate fi utilizat pentru rezolvarea unor probleme
de proiectare formulate astfel:
Dându-se modelul matematic al obiectului condus şi indicatorii de calitate impuşi SRA, se
cere determinarea structurii SRA şi a parametrilor algoritmului de reglare(regulatorului) care
asigură cerinţele impuse.
În cele mai multe aplicaţii, locul rădăcinilor oferă informaţii dacă rădăcinile polinomului
caracteristic pot fi plasate într-un domeniu al planului complex numit „domeniu admisibil”. În cazul
sistemelor continue, domeniul admisibil rezultă din intersecţia a 3 domenii, ca în Fig.3.17.
Considerând un sistem de ordinul doi: 22
2
2)(
nn
n
sssH
cu factorul de amortizare 1,0 ,
rădăcinile ecuaţiei caracteristice şi evident polii sistemului sunt:
jω
σ
C-
C+
Fig.3.15.Domeniul admisibil
de plasare a polilor sistemului
d
a
45
dnn jjp 2
2,1 1 (3.61)
unde d , sunt partea reală, respectiv partea imaginară a celor 2 poli complex conjugaţi.
Semnificaţia fizică a parametrilor d ,,, se poate pune în evidenţă folosind răspunsul indicial al
sistemului de ordinul II, sub forma:
)sin(1)(
tety d
t
d
n unde )cos( şi 21)sin( (3.62)
Ţinând cont de relaţia (3.62) se poate considera că frecvenţa de oscilaţie a răspunsului este dată de
partea imaginară a polilor d , prin termenul )sin( td . Anvelopa oscilaţiilor este dată de partea
reală a polilor , prin termenul te .
Considerând ca parametrii de performanţă pentru răspunsul indicial suprareglajul, timpul de
răspuns, numărul maxim de oscilaţii până se stabilizează răspunsul, se poate stabili un „domeniu
admisibil” pentru plasarea rădăcinilor polinomului caracteristic al sistemului.
Astfel, pentru .ct şi n variabil, locul rădăcinilor este format din 2 semidrepte situate
în C şi care pornesc din origine(notate d şi 'd în Fig.3.17) simetrice cu axa reală. Considerând
relaţia pentru calculul suprareglajului în cazul răspunsului indicial 21
ejsupraregla , se obţine în
cazul limitării valorii suprareglajului la maxim %5 , o valoare minimă a factorului de amortizare
7.0 . În condiţiile acestea, cele 2 drepte d şi 'd din Fig.3.17 sunt dreptele pentru 7.0 .
Timpul de răspuns al sistemului de ordinul II este dat în cazul răspunsului indicial de relaţia
n
rt
4 , ceea ce înseamnă că pentru impusrr tt _ , avem că partea reală a polilor an unde
impusr
at _
4 şi este reprezentat de dreapta d din Fig.3.15. Dacă considerăm acceptabil un timp
maxim de răspuns pentru sistemul “Ball on Beam” de valoarea 10_ impusrt secunde, vom
avea 4.010
4a .
Numărul de oscilaţii până când se stabilizează răspunsul sistemului este dat de frecvenţa d
din relaţia (3.62). Dacă impunem ca răspunsul să se stabilizeze într-un număr n-maxim de oscilaţii,
Im(p)
Re(p)
C-
C+
Fig.3.16.Poziţionarea polilor complex conjugaţi ai sistemului de ordinul II
ωn
-ωn
n
d
0
1
1
46
vom avea valabilă relaţia d
oscimpusr nTnt
2_ , de unde obţinem o valoare maximă pentru
frecvenţa de oscilaţie M
impusr
impusddt
n
_
_
2, obţinându-se 2 semidrepte paralele cu axa
reală situate în C (notate d şi 'd în Fig.3.17). Dacă considerăm ca acceptabil un număr de
maxim 10n oscilaţii şi 10_ impusrt secunde, vom avea
28.610
210
2
_
_
M
impusr
impusddt
n
În această abordare, domeniul admisibil poate fi definit astfel:
-semiplanul situat în stânga dreptei d care este definită de parametrul a ce reprezintă
“abscisa de amortizare absolută”
-punctele de pe laturile şi interiorul unghiului format de semidreptele d şi 'd definite de
valoarea minimă admisibilă a factorului de amortizare .
-fâşia din semiplanul Re(s)<0, delimitată de semidreptele d şi 'd împreună cu punctele de
pe acestea asociate cu pulsaţia M , care asigură limitarea superioară a frecvenţei de oscilaţie a
componentelor sinusoidale ale răspunsului indicial.
Prin delimitarea acestui domeniu se asigură satisfacerea unor cerinţe de performanţă cum ar
fi suprareglajul, gradul de amortizare, şi durata regimului tranzitoriu.
Revenim la ideea că, prin proiectarea folosind metoda locului rădăcinilor, se consideră o
funcţie de transfer în circuit închis cu 2 poli complex conjugaţi care poate duce la răspunsul
tranzitoriu dorit. Aceasta se poate aplica şi în cazul reacţiei după stare, adică se selectează în planul
complex o pereche de poli care să satisfacă specificaţiile răspunsului tranzitoriu, şi restul de (n-2)
poli se aleg reali în semiplanul complex stâng şi depărtaţi de originea planului complex, astfel încât
influenţa lor în răspunsul tranzitoriu să fie neglijabilă.
jω
σ
σa
C-
C+
Fig.3.17.Domeniul admisibil pentru plasarea rădăcinilor polinomului caracteristic
jωM
-jωM
dξ
dξ’
dω
dω’
dσ
47
Structura unui sistem cu reacţie după variabilele de stare este prezentată în Fig.4.1:
Pentru a reliefa modalitatea de funcţionare a structurii de reglare cu reacţie după
variabilele de stare din Fig.4.1., se poate face o echivalare cu o structură simplă de
reglare monocontur(schema clasică de reglare) ca în Fig.4.2, punând condiţia ca să
aibă acelaşi răspuns.
Funcţia de transfer în circuit închis pentru structura din Fig.4.2. este:
sHsH
sHsH
sH
sHsH
FR
FR
d
dSRA
1)(1
)()(0 (4.1)
Considerăm că sHF - partea fixă a procesului ce este descrisă în spaţiul stărilor de
ecuaţiile:
sUsHsUBsCsYtxCty
sBUssXtButAxtx
F
TT
Laplace formataprin trans
unde 1 AsIs este matricea de tranziţie a stărilor
Schema bloc a structurii sistemului cu reacţie după variabilele de stare considerând
partea fixă un sistem strict propriu )0( D , este prezentată în Fig.4.3.
HR(s)
HF(s) R(s) +
-
U(s) Y(s)
Fig.4.2. Sistem de reglare automată(SRA) monocontur
E(s)
A,B,C,D
U(t)=-kx(t) y(t)
Fig.4.1. Structură de reglare cu reacţie după variabilele de stare
k1
k2
k3
kn
x1
x2
x3
y(t)
xn
0)( tR +
Y0= R(t) State Feed-back
- -
- - +
+
48
skXsRsusRsU k )()(
Funcţia de transfer a sistemului cu reacţie după după variabilele stare conform
schemei-bloc din Fig4.3, se obţine: Bsk
BsCsH T
k
1)(0 (4.2)
Prin echivalarea funcţiilor de transfer din relaţia (4.1) şi (4.2) pentru cele 2 structuri
de reglare, impunând să aibă acelaşi răspuns, vom avea:
Bsk
BsC
BsCsH
BsCsH
Bsk
BsC
sHsH
sHsHsHsH
T
T
R
T
RT
FR
FRkSRA
1111)()( 00
1)(1
1
1
1
1
BsCksHBsk
BsCsH
T
RT
R
(4.3)
Astfel, dacă vom construi funcţia )(sHR conform relaţiei (4.3), atunci structura
sistemului clasic şi structura sistemului cu reacţie după stare vor avea acelaşi răspuns
tranzitoriu. Folosind această relaţie se poate realiza o corespondenţă între funcţia de
transfer a compensatorului )(sHR -echivalent, obţinut în conformitate cu vectorul de
reacţie după stare k folosit la plasarea polilor sistemului în locaţiile dorite. În
principiu, la un SRA nu este suficientă numai amplificarea de pe calea directă pentru
plasarea polilor în locaţiile dorite, şi astfel este nevoie de a introduce poli şi zerouri
suplimentare. Prin echivalarea răspunsului celor două structuri se obţine
compensatorul complet )(sHR ce conţine şi poli şi zerouri plasate corespunzător prin
reacţia după stare astfel încât să se realizeze plasarea polilor în locaţii din domeniul
admisibil. Considerăm în continuare sistemul cu reacţie după mărimile de stare unde
avem comanda de forma:
trtkxtu (4.4)
vom avea ecuaţiile de stare ale sistemului în circuit închis:
tBrtxBkAtx (4.5)
Prin aplicarea transformatei Laplace în condiţii iniţiale nule, obţinem:
sBRBkAsIsX1
sBRBkAsICsXCsY TT 1)(
)(
)(1
0sR
sYBBkAsICsH T
k (4.6)
B
s
CT
-k
+
+
U(s)
Fig.4.3. Structura sistemului cu reacţie după variabilele de stare
X(s) Y(s)
)(suk
R(s)
49
Revenind la relaţia (4.3) vom avea:
1)(
11
1T
R
T
RCk
BA
sHbsCk
sH (4.7)
Factorizarea realizată la formula anterioară este de fapt o scriere compactă a
următorului rezultat:
Dacă avem: DBAsICsH T 1)()( , putem scrie forma compactă
DC
BAsH
T)( .
Se poate demonstra că
11
11
1 )(DCD
BDCBDAsH (4.8)
Conform relatiilor (4.8), vom avea:
1)(
)()(
1)()(
1T
T
RT
R Ck
BCkBAsH
Ck
BA
sH (4.9)
În concluzie, dacă vom construi sHR după formula de mai sus, atunci sistemul
proiectat clasic şi cel cu reacţie după stare vor avea acelaşi răspuns tranzitoriu.
Funcţia de transfer a sistemului cu reacţie după stare se obţine conform schemei
din Fig.4.4, unde constanta N se poate calcula ca şi un factor de scalare pentru a
obţine o eroare staţionară nulă a răspunsului sistemului în circuit închis.
tBNrtxBkAtx
tBNrtkBxtAxtButAxtxdar
tNrtkxtu
)()()()()( (ec. de stare in circuit inchis)
Prin aplicarea transformatei Laplace, obţinem:
sBNRBkAsIsX1
sBNRBkAsICsY T 1
sBNRBkAsICsH T 1
0
N
B
s
-k
R(s) +
+
U(s) X(s)
Fig.4.4
uk(s)
50
Studiu de caz: Sistemul “Ball on Beam”
Considerăm ecuaţiile de stare liniarizate în jurul unui punct staţionar de funcţionare pentru
sistemul „Ball on Beam”:
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
1000
0
0
0100
0
0001
0
x
x
x
x
yl
u
bdab
af
bdab
bf
x
x
x
x
bdab
ac
bdab
cd
bdab
ae
bdab
bc
bdab
cb
bdab
be
x
x
x
x
l
lx
(3.40)
unde 0;1000;
0
0;
0100
0
0001
0
DC
bdab
af
bdab
bf
B
bdab
ac
bdab
cd
bdab
ae
bdab
bc
bdab
cb
bdab
be
A T
Folosind funcţiile Matlab ”ctrb()”, “rank()”, vom avea pentru sistemul din relaţia (3.40):