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CAPITULO
APENDICE 19REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
SINCRONICAS
Introduccin / Resultados de inters
CLCULO DE LAS REACTANCIAS, RESISTENCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO
DE LAS MQUINAS SINCRNICAS
Generalidades / Reactancias sincrnicas / Regmenes accidentales /
Funcionamientos monofsicos / Reactancia homopolar x0 / Influencia
del estado de saturacin de la mquina. / Reactancias transitorias y
subtransitorias axiales. / Mquinas sincrnicas fuera de sincronismo.
/ Circuito inductor cerrado / Aplicacin numrica / Circuito de
inductor abierto [a]
CLCULOS DE LAS REACTANCIAS / Reactancias trifsicas /
Caractersticas del alternador estudiado en los ejemplos numricos /
Reactancia de fuga de inducido xs / Reactancias de entrehierro segn
el eje directo (o longitudinal) xad / Reactancia de entrehierro
segn el eje transversal xat / Ejemplo numrico / Reactancia
sincrnica segn el eje directo xd / Reactancia sincrnica segn el eje
transversal xt /Reactancia debida al flujo de fugas de los
inductores xr / Reactancia de los amortiguadores segn el eje
directo / Reactancia de amortiguadores segn el eje transversal /
Reactancia transitoria segn el eje directo xd / Reactancia
transitoria segn el eje transversal xt / Reactancia subtransitoria
segn el eje directo xd / Reactancia subtransitoria segn el eje
transversal xt / Reactancia homopolar x0 / Reactancia inversa xi es
la media entre xd y xt / Reactancias monofsicas / Monofsico lnea a
lnea segn el eje directo / Monofsico entre lnea y punto neutro segn
el eje directo / Monofsica entre lnea y punto neutro segn el eje
transversal [b]CLCULO DE LAS RESISTENCIAS / Resistencia de inducido
rs / Resistencia de los inductores rr / Resistencia de los
amortiguadores segn el eje directo / Resistencia del amortiguador
segn el eje transversal
CLCULO DE LAS CONSTANTES DE TIEMPO / Definicin / Constante de
tiempo subtransitoria Td / Constante de tiempo transitoria Td /
Constante de tiempo de los inductores el alternador se encuentra en
vaco Td / Constante de tiempo de inducido (inductor abierto) T0s /
Constante de tiempo segn el eje transversal de amortiguador, el
inducido est puesto en cortocircuito (Tt) / Constante de tiempo
segn el eje transversal del arrollamiento amortiguador (estando el
inducido en circuito abierto) / Constante de tiempo segn el eje
directo del arrollamiento amortiguador (el inducido se encuentra en
circuito abierto) Td0 / Medicin de reactancias / Reactancia
sincrnica transversal / Reactancia transitoria segn el eje directo
xd / Reactancia
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CAPITULO
subtransitoria segn el eje directo Xd y segn el eje transversal
/ Reactancia inversa xi / Reactancia homopolar / Mtodo directo
[c]
MEDICIN DE LAS PRINCIPALES CONSTANTES DE TIEMPO / Constantes de
tiempo de inducido, bajo un cortocircuito brusco Ts / Constante de
tiempo subtransitoria Td / Constante de tiempo transitoria Td /
Constante de tiempo de inductores el alternador est en vaco Td0 /
Constante de tiempo subtransitoria a circuito abierto segn el eje
directo / Funcionamiento asincrnico de un motor sincrnico monofsico
/ Indice bibliogrfico [d]
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REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
SINCRONICAS
APENDICE 19REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
SINCRONICAS
Introduccin
En el clculo de las mquinas elctricas los temas de reactancias
funcionales de rgimen permanente estn resueltos en la bibliografa
clsica con varias modalidades, obtenindose resultados
razonablemente acertados.
Es ms, frecuentemente hay mquinas sincrnicas con una jaula
amortiguadora, intuitivamente esta mquina fuera de sincronismo
tiene un comportamiento que puede asimilarse al de un motor
asincrnico.
Se observan muchos temas, de los que surgen muchas preguntas que
merecen respuesta.
Buscando respuestas en la bibliografa, en varias ocasiones nos
hemos topado con respuestas que orientan pero no ayudan al clculo
de los parmetros de inters.
Finalmente un artculo de 1958 nos resolvi el problema en
detalle, y nos permiti profundizar an ms los temas que siguen.
Resultados de inters
Quien estudia el funcionamiento de las mquinas sincrnicas en
regmenes cualesquiera identifica:
m Reactancia sincrnica
m Reactancia transitoria
m Reactancia subtransitoria
Tambin se trata de determinar constantes de tiempo
m Constante de tiempo transitoria
m Constante de tiempo subtransitoria
El inters en identificar estos valores, seala caminos
experimentales, que pueden ser recorridos con independencia del
conocimiento de la intimidad de la mquina.
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REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
SINCRONICAS
El profundizar estos temas muestra que en general los parmetros
tienen distinto valores segn se los identifique sobre el eje
directo o en cuadratura (transversal).
Deseamos ahora observar estos temas desde el punto de vista del
constructor veamos el artculo bibliogrfico.
"Calcul des ractances, rsistences et constantes de temps des
machines syncrhones"
por: Ren DAGUET
(Traducido por Ing. Jorge N. L. Sacchi y Ing. Alfredo Rifaldi
marzo 1998)
Clculo de las reactancias, resistencias y constantes de tiempo
de las mquinas sincrnicas
Generalidades
Definiciones
Las reactancias, resistencias y constantes de tiempo de mquinas
sincrnicas constituyen elementos esenciales que permiten estudiar
los diferentes regmenes de funcionamiento de las mquinas.
Es as que gracias a su conocimiento, se pueden determinar las
condiciones de funcionamiento no slo en rgimen permanente, sino an
bajo fenmenos accidentales rpidos como: cortocircuito brusco,
desconexin de la red, perdida la excitacin, etc. Asimismo nos
proponemos estudiar las condiciones de funcionamiento en paralelo
(ver D 520), evaluar las corrientes de falla y estudiar los
regmenes desequilibrados.
Tiene lugar considerar dos categoras de reactancias: las
reactancias que se observan segn el eje directo (figura 2 -
Reactancias segn el eje directo) y aquellas que se observan segn el
eje transversal (dicho igualmente en cuadratura) (figura 3 -
Reactancias segn el eje transversal). Nosotros distinguiremos dos
familias de reactancias con la ayuda de los ndices d (directo) y t
(transversal) (figura 1- Reactancias de las mquinas
sincrnicas).
Segn el eje directo nosotros encontramos (figura 2 - Reactancias
segn el eje directo) xs reactancia de fuga de inducido; y adems el
paralelo de:
xad reactancia de entrehierro
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REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
SINCRONICAS
xr reactancia de fuga de inductores
xkd reactancia del circuito amortiguador
Segn el eje transversal ahora no encontramos ms el arrollamiento
inductor, slo encontramos (figura 3 - Reactancias segn el eje
transversal):
xs reactancia de fuga del inducido
xat reactancia de entrehierro
xkt reactancia del circuito amortiguador
Reactancias sincrnicas
En rgimen permanente, slo las reactancias xs y xad deben
considerarse segn el eje directo ellas estn en serie su suma define
una reactancia llamada sincrnica xd:
Por analoga segn el eje transversal se podr definir xt
reactancia sincrnica transversal, que es:
(ver D 482 pginas 16, 17 y 18)
Regmenes accidentales
El rgimen accidental ms frecuente es el cortocircuito en bornes
en la proximidad de la mquina, de manera que se pueda considerar la
impedancia de carga (externa) sobre la cual entrega esta mquina
como prcticamente nula.
Recordemos que en todo circuito elctrico cerrado de resistencia
hmica nula o despreciable, el nmero de lneas de fuerza que circulan
entre inducido e inductor tiende a mantenerse constante. Si e es la
fuerza electromotriz de inducido, r su resistencia y L su
inductancia se tiene:
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REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
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Si se cierra el circuito inducido bruscamente sobre una
resistencia exterior nula se tiene
y considerando despreciable r resulta
de donde Li = cte
Como L= /i por definicin, es el flujo que atraviesa el inducido,
e i es la corriente se tiene
= Li = cte
Diciendo esto en otra forma, al momento del cortocircuito el
flujo bruscamente cesa de variar; su eje queda fijo, no gira ms
junto con los inductores, e induce en estos ltimos, como tambin en
el circuito amortiguador si existe, corrientes que son determinadas
y se refieren a los diagramas equivalentes de las figuras 4 y
figura 5 (Diagramas equivalentes de cortocircuito) con la ayuda de
impedancias xr y xkd en el eje directo y xkt en el eje transversal;
estas corrientes decrecen siguiendo una ley exponencial dependiente
de las constantes de tiempo de los circuitos considerados, las que
estn condicionadas por las resistencias rr, rkd y rkt.
Funcionamientos monofsicos
Se sabe, del teorema de Leblanc, que en el caso de
funcionamiento monofsico, el campo que es fijo, puede ser
considerado como suma geomtrica de dos campos rotantes en sentidos
inversos, de amplitudes mitad del campo fijo, una sobre el eje que
gira en sincronismo con el inductor la otra en sentido inverso,
atravesando continuamente los circuitos de inductor (arrollamientos
de excitacin y amortiguadores). Nosotros volveremos ms adelante
sobre este funcionamiento, pero, desde ahora reconocemos que el
campo que gira en sentido inverso que el de la mquina provoca la
aparicin en el inducido de una reactancia suplementaria llamada
reactancia inversa y que designaremos xi.
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Reactancia homopolar x0
Cuando el arrollamiento inducido posee un borne neutro se puede
definir la reactancia homopolar x0 que es igual al cociente del
trmino fundamental de una componente homopolar de tensin aplicada
entre las fases y el punto neutro por el trmino fundamental de
corriente homopolar que ella determina (i0).
La reactancia homopolar est muy influenciada por el acortamiento
del paso del devanado. Para un acortamiento = 0.666 las corrientes
que circulan en las dos secciones de conductor que implica la
ranura son iguales en fase pero en oposicin. Se concluye que las
fugas en las ranuras en esas condiciones resultan muy pequeas.
El conocimiento de esta reactancia homopolar es til en
particular para la determinacin de las protecciones que se basan
sobre el valor de la corriente de falla que circula hacia el
neutro.
Influencia del estado de saturacin de la mquina.
La reactancia opuesta por una mquina a una variacin de la tensin
en bornes es funcin del estado de saturacin de su circuito magntico
que puede variar, pero sobre todo en el curso del fenmeno estudiado
si la variacin de tensin es importante.
Salvo convencin en contra, las reactancias de una mquina se
suponen referidas al estado no saturado. Este es el caso donde las
reactancias axiales y transversales de la mquina son
independientes.
Reactancias transitorias y subtransitorias axiales.
Sin embargo se deroga esta regla general para definir la
reactancia subtransitoria axial xd y la reactancia transitoria
axial xd las cuales se emplean frecuente en la determinacin de las
corrientes de cortocircuito bajo tensin normal.
La reactancia transitoria xd es igual al cociente de la tensin
nominal por el valor inicial de la componente simtrica de la
corriente de cortocircuito brusca bajo esa tensin, valor de
corriente disminuido en el trmino del decremento muy rpido
subtransitorio y vectorialmente de la corriente preexistente.
La reactancia subtransitoria xd es igual al cociente de la
tensin nominal por el valor inicial de la componente simtrica de la
corriente de cortocircuito brusco bajo esta tensin, deduccin hecha
vectorialmente de la corriente preexistente. La mquina est
inicialmente en vaco o en rgimen nominal, siguiendo una convencin
definida en cada caso.
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La saturacin del circuito magntico puede entonces ser apreciada
y tiene lugar aplicar un factor de correccin (ver D 480).
Mquinas sincrnicas fuera de sincronismo.
El funcionamiento fuera de sincronismo puede ser debido a un mal
acoplamiento (paralelo), una sobrecarga, una baja tensin (o de las
dos causas ltimas simultneas) provocando una desconexin. En el
funcionamiento fuera de sincronismo, dos casos pueden ser
observados:
m El circuito de los inductores queda cerrado
m El circuito de los inductores est abierto
Se puede igualmente hacer funcionar momentneamente una mquina
sincrnica en rgimen asincrnico, cuando por ejemplo se desea
arrancar sobre una jaula amortiguadora un motor sincrnico o un
compensador sincrnico o asimismo si se quiere usar un alternador,
por este procedimiento, y prximo al sincronismo se efecta la
sincronizacin al final del arranque (ver D 510 pg. 5).
Circuito inductor cerrado
En el caso ms frecuente el circuito de inductor queda cerrado,
se tiene el diagrama equivalente de la figura 6 (Diagrama
equivalente, fuera de sincronismo, con el circuito inductor
cerrado) y es usado para buscar para distintos resbalamientos el
valor de la reactancia total.
Las resistencias se hacen muy importantes con deslizamientos
pequeos porque se debe dividir su valor por el deslizamiento,
entonces aquellas pueden ser despreciadas cuando se presenta un
cortocircuito instantneo, como en ese momento el deslizamiento a
continuacin de la inmovilizacin brusca del flujo de estator, es
prximo a 1.
Para obtener la impedancia total, sumaremos a la impedancia
estatrica definida por rs y xs
las tres impedancias en paralelo xad ; ;
Como estas impedancias estn en paralelo nosotros pasamos por
intermedio de las admitancias, para las cuales los trminos reales e
imaginarios se suman aritmticamente. Nosotros tenemos:
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admitancia de entrehierro
admitancia de la jaula
admitancia de los inductores
La suma de estas tres admitancias Yrd se obtiene de la
forma:
Yrd = Yad + Ykd + Yr = a j b
donde:
a suma de partes reales de Yad , Ykd, Yr
b suma de partes imaginarias de las mismas cantidades.
Retornando a las impedancias tenemos:
Sumando Zs a Zrd obtenemos la impedancia total de la mquina que
ser de la forma Zd = c + jd donde la magnitud del mdulo ser
Se deducir la corriente absorbida por el estator is = 1 / Zd
y el par correspondiente al deslizamiento g considerado
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Aplicacin numrica
Tenemos una mquina de 570 kW 3000 V corriente nominal 110 A, la
reactancia de referencia de la mquina es igual a:
Nosotros vamos a ver luego de los clculos los diferentes
parmetros en valor unitario. Por ejemplo, la reactancia por fase
estatrica que es 2.65 ser en valor unitario
xs = 2.65 / 15.8 = 0.168.
Nosotros hemos por ahora calculado
rs = 0.0314
xad = 0.865
rkd = 0.137
xkd = 0.23
xr = 0.268
rr = 0.0418
Calcularemos el punto correspondiente a un resbalamiento de
g = 0.4
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REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
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corriente absorbida por el estator:
El par en valor unitario ahora tiene el valor
El par en valor unitario referido al par nominal ser
entonces:
donde CN est dado en kgm nosotros obtenemos naturalmente C en
kgm.
Se puede rehacer este clculo segn el eje transversal a fin de
verificar que la corriente absorbida, y el par obtenido son
diferentes de aquellos calculados segn el eje directo.
Circuito de inductor abierto
En este caso el inductor se comporta exactamente como el rotor
de jaula de un motor asincrnico.
Si un alternador se desconecta y si las protecciones interrumpen
el inductor, nosotros nos encontraremos en el caso del circuito
equivalente (figura 7 - Diagrama equivalente fuera de sincronismo,
con el circuito inductor abierto).
El deslizamiento se encuentra entonces muy prximo a 0 al inicio
del fenmeno, pues aumenta con la disminucin de velocidad de la
mquina y se puede tratar el problema
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como para el circuito de inductor cerrado haciendo simplemente
abstraccin de la rama rr xr.
Desde que se rompe el sincronismo se ve que el eje del inductor
se desplaza en relacin al eje del flujo estatrico y se debe, para
ser riguroso, considerar los diagramas equivalentes sucesivamente
segn el eje directo y segn el eje transversal. Si las impedancias
resultantes correspondientes a estas dos posiciones son
sensiblemente diferentes, constataremos una pulsacin en la
corriente que atraviesa la mquina en los dos casos arriba
vistos.
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APENDICE 19REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
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Clculos de las reactancias
Reactancias trifsicas
En la exposicin completa nosotros trataremos siempre las
impedancias referidas a una fase del sistema trifsico y evaluaremos
sus valores unitarios. Nosotros recordamos que por convencin, se
denomina reactancia de referencia (base) de una mquina sincrnica el
valor determinado por el cociente de la tensin por fase y la
corriente nominal de la mquina: por ejemplo para una mquina
trifsica la reactancia base es Zapp = U / I 3, siendo U la tensin
en bornes de la mquina U / 3 expresa la tensin de fase, y Zapp est
expresada en ohm por fase.
Si por otra parte, nosotros hemos calculado cierta reactancia de
la mquina xs por ejemplo (reactancia expresada ella tambin en ohm
por fase) el valor unitario xs estar dado por el cociente xs /
Zapp.
Caractersticas del alternador estudiado en los ejemplos
numricos
Para facilitar la comprensin de las distintas frmulas nosotros
hemos dado a ttulo de ejemplo numrico, el clculo de las reactancias
de un alternador que tiene las siguientes caractersticas:
Potencia 70 MVA
Tensin nominal 15 kV
Corriente nominal 2700 A
Frecuencia 50 Hz
Amper vueltas de entrehierro AT 15700
Reaccin de inducido R 9250
Dimetro D 710 cm
Longitud del paquete de hierro estatrico La 210 cm
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Conductores en serie por fase N2 128
Nmero total de ranuras Ns 384
Paso del arrollamiento 5/6
Nmero total de barras amortiguadores Nb 320
Factor de arrollamiento debido al nmero de
ranuras por polo y por fase K1 0,955
Factor de arrollamiento debido al
acortamiento del paso K2 0.9667
Nmero de polos P 40
Ancho de la ranura de estator d 2.35 cm
Altura total ocupada por los conductores h4 12.26 cm
Altura del istmo h5 1.46 cm
(Para estas tres ltimas caractersticas ver figura 11 en D 480
7)
Reactancia base Zapp Zapp = 15000 / 2700 3 = 3.21
Flujo = 66 106 maxwells
Reactancia de fuga de inducido xs
La determinacin del flujo de fuga del arrollamiento inducido
comprende el clculo del flujo de fuga de las ranuras y del flujo de
fuga de las conexiones (ver D 480 14)
Se puede igualmente utilizar la frmula de Alger que es la
siguiente:
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El primer trmino entre corchetes es relativo a las fugas debidas
a las ranuras, el segundo a las fugas debidas a los desarrollos
(cabezas de bobinas).
El trmino
expresa las fugas en zigzag.
Ejemplo: xs = 0.0964
Reactancias de entrehierro segn el eje directo (o longitudinal)
xad
Est dada por la frmula:
Ejemplo: xad = 0.59
Reactancia de entrehierro segn el eje transversal xat
Esto se puede obtener con la ayuda de un trazado de campo
magntico segn el eje transversal (mtodo de Lehman D 420) de lo que
se extrae el trmino fundamental.
Este mtodo es laborioso, esto es debido a que se establecen las
curvas que resumen este modo de clculo en funcin de diferentes
parmetros del alternador (entrehierro mximo, mnimo, paso polar,
arco polar, etc.).
Se puede as evaluar rpidamente xat con la ayuda de la frmula
siguiente:
Ejemplo numrico
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Para la mquina que nos sirve de ejemplo se tiene:
entrehierro mnimo 21.5 mm
paso polar 558 mm
arco polar 365 mm
entrehierro mximo 30 mm
nmero de canales de ventilacin 35
ancho del diente 34.5 mm
Nosotros calcularemos ahora las siguientes relaciones:
entrehierro mnimo/paso polar = 0.036
arco polar/paso polar = 0.665
entrehierro mximo/entrehierro mnimo = 1.4
longitud total/nmero de canales + 1 = 2100/36 = 58.5
ancho ranura/ancho diente = 0.68
ancho ranura/entrehierro mnimo = 1.09
At1 y Ad1 estn dados por las curvas de las figuras 8/a, figuras
8/b y figuras 8/c (Curvas para calcular la reactancia de
entrehierro segn el eje directo Fundamental Ad1) y figuras 9/a,
figuras 9/b y figuras 9/c (Curvas para calcular la reactancia de
entrehierro segn el eje transversal Fundamental At1).
Cs es un coeficiente que tiene en cuenta el ancho de los
dientes, de las ranuras y del entrehierro mnimo. Esta dado por la
curva de la figuras 10 (Curvas para calular la reactancia de
entrehierro segn el eje transversal Coeficiente Cs).
Cd es el coeficiente de influencia de los canales de ventilacin
estatricos. El est dado por la curva de la figuras 11 (Curvas para
calcular la reactancia de entrehierro segn el eje transversal
Coficiente Cd).
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Se encuentra:
At1 = 0.35 1.37 = 0.48
Ad1 = 1.08 0.82 = 0.885
Cs = 1.075
Cd = 1.01
xat = 0.344
Reactancia sincrnica segn el eje directo xd
Refirindola al diagrama equivalente del alternador en rgimen
permanente se ve que:
xd = xs + xad
Ejemplo: xd = 0.09648 + 0.59 = 0.68648
Reactancia sincrnica segn el eje transversal xt
Ejemplo: xt = 0.09648 + 0.334 = 0.43048
Reactancia debida al flujo de fugas de los inductores xr
r es el flujo de fuga de los inductores. Este flujo se obtiene
por un trazado de Lehman dando el nmero de tubos de permeancia
unitaria que se escapan lateralmente de un polo a otro. Sea n este
nmero de tubos por unidad de longitud (ver D 420), l la longitud
afectada por las fugas. Se toma ordinariamente
l = La + /2
es el paso polar
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Se tiene finalmente:
donde l en cm R en AT, en maxwells.
Ejemplo:
n = 3.2
l = 237.9
0.4pi .n.l. = 960
xr = 0.134
Reactancia de los amortiguadores segn el eje directo
ella est dada por la frmula
b es el nmero de barras amortiguadores por polo.
Ejemplo:
b = 8
xkd = 0.0465
Reactancia de amortiguadores segn el eje transversal
se toma:
xkt = 0.75 xkd
Ejemplo: xkt = 0.0348
Reactancia transitoria segn el eje directo xd
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En el momento del fenmeno transitorio, el subtransitorio ya pas,
la reactancia de fuga de los inductores xr se encuentra, sobre el
diagrama equivalente en paralelo con xad
Nosotros tenemos:
Ejemplo: xd 0.2058
Reactancia transitoria segn el eje transversal xt
Siguiendo este eje la reactancia xr no aparece, en consecuencia
xt = xt
Reactancia subtransitoria segn el eje directo xd
En el momento del fenmeno subtransitorio la reactancia xr est en
paralelo con xad y xkd reactancia de los amortiguadores segn el eje
directo, nosotros tenemos:
Ejemplo:
xs = 0.0965
xkd = 0.0465
xad = 0.59
xr = 0.137
xd = 0.1294
Reactancia subtransitoria segn el eje transversal xt
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Ejemplo: xt = 0.1278
Reactancia homopolar x0
Se puede emplear la frmula siguiente debida a Alger (ver
bibliografa)
El factor K0 es para considerar cuando la mquina est munida de
amortiguadores. Se toma igual a 0,5 como en el ejemplo aqu
arriba
Ejemplo: x0 = 0.0645
Reactancia inversa xi es la media entre xd y xt
Ejemplo:
Reactancias monofsicas
Se evalan partiendo de las reactancias calculadas
precedentemente en caso de funcionamiento trifsico. Se debe
introducir en las frmulas el valor de la reaccin de inducido
trifsica. En el caso del monofsico, con dos terceras partes de
ranuras bobinadas (monofsicas de lnea a lnea), la reaccin de
inducido para una mquina determinada es 3 veces ms pequea que la
trifsica (ver D 480).
Se tiene en efecto
Para el monofsico no se utiliza ms que una rama del trifsico, o
sea 1/3 de las ranuras (entre lnea y punto neutro), la reaccin de
inducido es 3 veces ms pequea que la
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trifsica. La reactancia de fugas estatrica ser entonces en
monofsico, de lnea a lnea.
y para monofsico entre lnea y punto neutro
A partir del funcionamiento trifsico, se puede llegar cuando una
fase est cortada, al funcionamiento monofsico denominado de lnea a
lnea. Cuando el alternador funciona sobre una sola rama, se emplea
la expresin entre lnea y punto neutro.
Monofsico lnea a lnea segn el eje directo
Reactancia sincrnica:
Ejemplo: xdM = 0.47
Reactancia sincrnica transitoria:
Ejemplo: xdM = 0.194
Reactancia subtransitoria sincrnica:
Ejemplo: xdM = 0.149
Monofsico entre lnea y punto neutro segn el eje directo
Reactancia sincrnica:
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Ejemplo: xdN = 0.293
Reactancia sincrnica transitoria:
Ejemplo: xdN = 0.133
Reactancia sincrnica, monofsica subtransitoria:
Ejemplo: xdN = 0.1075
Monofsica entre lnea y punto neutro segn el eje transversal
Para estas reactancia es suficiente en las expresiones
precedentes reemplazar respectivamente xd, xd, xd por xt, xt,
xt
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APENDICE 19REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
SINCRONICAS
Clculo de las resistencias
Resistencia de inducido rs
rs = prdidas Jole del estator + prdidas suplementarias / kVA
nominales
Prdidas suplementarias ver artculo alternadores en D 482 7
Ejemplo:
prdidas por efecto Joule = 220 kW
prdidas suplementarias = 120 kW
potencia nominal = 70000 kVA
Resistencia de los inductores rr
La resistencia en ohms r se transforma en valor unitario
Ejemplo:
R = 9250
nr = 21.5
VAnom = 70000 103 VA
r = 0.187
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rr = 0.0005
R amper vueltas de reaccin de inducido
nr nmero de espiras por un polo del inductor
Resistencia de los amortiguadores segn el eje directo
Cb coeficiente que tiene en cuenta la resistividad de las barras
(tomar 1 para el cobre, 4 para el latn)
Ca coeficiente que tiene en cuenta la resistividad del anillo
amortiguador (tomar 1 para el cobre, 4 para el latn)
D dimetro en cm
P nmero de polos
Lb longitud de las barras en cm
Sb seccin de las barras en cm2
Sa seccin del anillo en cm2
flujo en megamaxwels
B nmero de barras
Ejemplo:
D = 710 mm Sb = 2.25 cm2 Ca = Cb = 1
P = 40 cm Sa = 8 cm2
Lb = 210 cm = 66 M Maxwells B = 8
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Resistencia del amortiguador segn el eje transversal
Ejemplo:
Nota: las constantes 2,4 y 0,8 se hacen respectivamente 7,3 y
0,2 para los amortiguadores sin ligazn de polo a polo.
Clculo de las constantes de tiempo
Definicin
La constante de tiempo de un circuito determinado de una mquina
sincrnica se obtiene dividiendo la reactancia del circuito (lo que
incluye su propia reactancia, y la de los circuitos derivados que
figuran en el diagrama equivalente) por el producto 2pi veces la
frecuencia por la resistencia del circuito considerado.
Constante de tiempo de inducido bajo cortocircuito brusco (las
inductancias estn cerradas) s: en este momento, el flujo de
inducido est inmovilizado (los polos de inducido formados por los
sucesivos dientes polarizados, estn momentneamente fijos) como los
polos inductores continan su rotacin; la reactancia que interviene
es la llamada reactancia inversa xi; as la situacin relativa
inductor inducido es la misma que cuando los polos estn fijos y
acompaados por el campo rotante estatrico.
La resistencia de inducido se designa con rs y se tiene
Para el alternador segn el ejemplo se obtiene:
rs = 0.00485 p.u. s = 0.0845 s
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CAPITULO
Constante de tiempo subtransitoria t d
Es la constante de tiempo de los amortiguadores, el alternador
ha sido puesto en cortocircuito. La reactancia vista es la de los
amortiguadores xkd con en paralelo xad, xr y xs (fig. 12 -
Constante de tiempo subtransitoria, alternador en
cortocircuito)
La resistencia que interviene es la de los amortiguadores
rkd
Se tiene entonces:
recordando que xd = xs + xad
Ejemplo: rkd = 0.0114 d = 0.0275 s
Constante de tiempo transitoria t d
Esta es la constante de tiempo de los inductores, el inducido
est puesto en cortocircuito. Esta constante caracteriza el fenmeno
de cortocircuito una vez desaparecido el perodo subtransitorio, es
decir cuando la corriente que atraviesa los amortiguadores ha
desaparecido (esto se traduce, por la desaparicin de xkd, en el
diagrama equivalente de la fig. 13 Constante de tiempo transitoria,
inducido en cortocircuito).
La resistencia a considerar rr es la resistencia de los
inductores
Ejemplo: rr = 0.0005 d = 1.38 s
Constante de tiempo de los inductores el alternador se encuentra
en vaco t d0
El diagrama equivalente est dado por la figura 14 (Constante de
tiempo del inductor, alternador en vaco)
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CAPITULO
y se puede tambin escribir
Ejemplo: d0 = 4.6 s
Constante de tiempo de inducido (inductor abierto) t 0s
El alternador separado de la red, con su excitacin cortada
generalmente por las protecciones. 0s es la constante de tiempo que
condiciona la desaparicin de la tensin de inducido. El alternador,
no est ms en sincronismo, pasa sucesivamente de la posicin directa
a la posicin transversal y la reactancia que entra en juego es una
media entre xd y xt.
Los diagramas equivalentes estn dados por las figuras 15 y 15
bis (Constante de tiempo de inducido, inductor abierto)
Ejemplo: 0s = 0.346 s
Constante de tiempo segn el eje transversal de amortiguador, el
inducido est puesto en cortocircuito (t t)
El diagrama equivalente est dado por la figura 16 (Constante de
tiempo segn el eje transversal del amortiguador, inducido en
cortocircuito)
Ejemplo: t = 0.0385 s
Constante de tiempo segn el eje transversal del arrollamiento
amortiguador (estando el
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CAPITULO
inducido en circuito abierto)
ver figura 17 (Constante de tiempo segn el eje transversal del
amortiguador, inucido abierto)
Ejemplo: t0 = 0.129 s
Constante de tiempo segn el eje directo del arrollamiento
amortiguador (el inducido se encuentra en circuito abierto) t
d0
Con lo que muestra el diagrama equivalente (fig. 18 - Constante
de tiempo segn el eje directo del amortiguador, inducido abierto)
se encuentra d0
Ejemplo: d0 = 0.0437 s
Nota: si comparamos las expresiones de d0 y de d nosotros vemos
en todos los
clculos hechos que
Asimismo si nosotros comparamos t0 y t nosotros vemos que
puesto que xt = xt
Medicin de reactancias
Para xad, xd, xat, xs ver D 482
Reactancia sincrnica transversal
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CAPITULO
Un primer mtodo se indica en D 482 - 17 otro mtodo consiste en
impulsar la mquina como motor sincrnico sin carga en su eje y con
una tensin constante aplicada a sus bornes. La tensin de excitacin
se reduce progresivamente a cero despus se aumenta en sentido
negativo, provocando as, despus del momento en que la tensin es
nula, un aumento de la corriente de inducido.
Aumentando progresivamente y gradualmente la corriente de
excitacin negativa, se puede encontrar la corriente mxima Imax que
permite an la estabilidad y correspondiente a la excitacin mxima
negativa estable.
Entonces el eje de los polos inductores se encuentra coincidente
con el eje transversal. Donde
E tensin aplicada expresada en valor unitario
Imax corriente estatrica mxima, en valor unitario
para la excitacin negativa mxima que asegura todava la
estabilidad (vase fig. 28 en D 510 - 12) sobre esta figura se ve
que la corriente de inducido DB correspondiente al lmite de
estabilidad permite obtener xt = U / DB
Si U y DB se expresan en valores unitarios se obtendr igualmente
xt en valor unitario.
Es preferible hacer este ensayo a tensin reducida a fin de
disminuir todava las prdidas que entonces son muy pequeas.
Reactancia transitoria segn el eje directo xd
Esta reactancia se deduce de un ensayo en cortocircuito brusco
efectuado en vaco a la velocidad normal. Se extrapola el valor de
corriente hasta el instante t = 0 de aplicacin brusca y se
desprecian las primeras alternancias influenciadas por el
subtransitorio (vase fig. 80 en D 482 19 se aclara que d es la
abscisa de E).
Reactancia subtransitoria segn el eje directo Xd y segn el eje
transversal
1er. mtodo referirse a D 482 - 17
Al ejecutar el primer mtodo se notar que, en este ensayo, las
corrientes rotricas estn a
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la frecuencia de sincronismo en lugar de tener un decremento
aperidico relativamente lento, como en un ensayo de cortocircuito
brusco que es la base de la definicin de las reactancias
subtransitorias.
Esto resulta, sobre todo cuando los polos implican piezas
macizas, una reparticin diferente de las corrientes en la
profundidad del metal, que puede por tanto afectar, en una
proporcin no despreciable, los valores observados de
reactancias.
El empleo del mtodo no es entonces recomendable en el caso de
mquinas de polos macizos y particularmente en los
turboalternadores; se admitir, para estos ltimos, que la reactancia
subtransitoria transversal es igual a la reactancia subtransitoria
axial deducida del ensayo en cortocircuito brusco con el mtodo de
la tensin de restablecimiento.
Para las mquinas de polos salientes se tendr en cuenta la
influencia de la saturacin multiplicando los valores deducidos del
ensayo, a la parada por los mismos coeficientes correctivos que en
el caso de la medicin por puesta en cortocircuito brusco.
2do. mtodo
Otro mtodo, que puede ser empleado cuando se est seguro que,
bajo cortocircuito brusco las tres fases se ponen en cortocircuito
al mismo tiempo, o al menos con una diferencia que no pase de 10
grados elctricos, y el est basado sobre la componente asimtrica
mxima representada por la lnea media (fig. 19 - Medida de la
reactancia subtransitoria. Oscilograma tomado en cortocircuito en
una de las fases compuestas) sobre el oscilograma tomado en
cortocircuito sobre una de las fases componentes.
Tracemos las tres componentes asimtricas en escala
semilogartmica, las corrientes han sido llevadas en escala
logartmica. Extrapolando las curvas justo para el tiempo cero, y se
obtienen as los tres valores iniciales.
Designmolos por a, b, c (ver fig. 20 - Medida de la reactancia
subtransitoria. Diagrama de componentes simtricas de la corriente
de cortocircuito). Se llevan las tres componentes segn tres
direcciones decaladas 60 y que parten del punto O, el mayor de los
tres valores se lleva sobre la lnea media. Se trazan las
perpendiculares a cada extremidad de los tres vectores. Su punto de
encuentro determina el punto M.
En el caso de que las perpendiculares no se encontraran en un
slo punto sino formaran un pequeo tringulo, se tomar como M el
centro del tringulo OM representa la mayor componente asimtrica
posible en la misma escala que las tres componentes radiales.
Se tiene xd = e / OM siendo e la tensin en vaco de la mquina
existente inmediatamente antes del cortocircuito, expresado en
valor unitario.
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CAPITULO
La corriente representada por OM ser expresada igualmente en
valor unitario, la corriente normal de la mquina ser tomada como
unidad.
3er. mtodo (mtodo esttico)
Una tensin monofsica E se aplica sobre dos ramas del
arrollamiento trifsico (a 120 grados elctricos) con el inductor en
cortocircuito. El rotor est ubicado en una posicin angular tal que
la corriente inducida en los inductores i sea mxima.
En este momento, la mquina se encuentra en la posicin axial para
lo cual los inductores abrazan el flujo mximo que sale del
estator.
Se tiene Xd = E / 2 Id (fig. 21 - Medida de la reactancia
subtransitoria. Mtodo esttico) siendo Id la corriente en el
inducido.
Si se ubica el rotor en la posicin de corriente mnima para los
inductores, se encuentra entonces en posicin transversal, la
corriente I de inducido ser It y entonces la reactancia
subtransitoria transversal Xt = E / 2 It
Reactancia inversa xi
1er. mtodo
La mquina conectada en estrella es mantenida a la velocidad
normal con dos bornes puestos en cortocircuito permanentemente
(fig. 22 - Medida de la reactancia inversa).
Se mide la corriente de cortocircuito y la tensin entre las dos
fases cortocircuitadas y el extremo de la fase abierta. Se obtiene
para esta impedancia
Zi = E / I 3
Si E est expresada en valor unitario as como I, Zi es asimismo
obtenida en valor unitario.
Se tendr Xi = Zi sen siendo el ngulo de decalaje medido con
ayuda del wattmetro.
Nota:
La presencia de armnicas puede influir en los resultados dados
por este ensayo. En el ensayo de mquinas sin amortiguadores es
bueno registrar oscilogramas adems de la lectura del wattmetro. En
este ensayo, si se debe hacer en turboalternadores el hecho de
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vigilar el rotor para controlar el calentamiento exagerado puede
ser necesario operar con una corriente pequea.
2do. mtodo (dicho de Fallou)
Utiliza dos caractersticas en cortocircuito a) trifsica b)
monofsica entre dos ramas.
a. trifsica si se ha designado con U la tensin estrella normal
(medida sobre la recta de la caracterstica de entrehierro) e Icct
la corriente de cortocircuito en conexin trifsica Icct = U / xd
b. en monofsico (dos ramas)
Se encuentra finalmente que
Este mtodo es impreciso ya que los dos trminos que deben
restarse son muy prximos el uno del otro (comprese con el ejemplo
numrico en D 482 18)
3er. mtodo
Nosotros hemos visto que
y determinamos xdM por un ensayo de cortocircuito brusco entre
dos fases. Si IdM es la corriente de cortocircuito simtrica
obtenida y U la tensin sobre la fase en vaco antes de la puesta en
cortocircuito brusco, nosotros tenemos:
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CAPITULO
Reactancia homopolar
Mtodo de las tres caractersticas en cortocircuito
Recordemos que la reactancia sincrnica monofsica (segn el eje
directo) y de lnea a lnea xdM resulta
La reactancia sincrnica monofsica, entre lnea y neutro segn el
eje directo xdN resulta
Si designamos con U la fuerza electromotriz en vaco que, para
una misma corriente de excitacin, dando en cortocircuito las
corrientes IccM e IccN se tendr
De estos clculos
La corriente IccN contiene siempre una armnica 3 muy importante,
y es indispensable determinar la amplitud del trmino fundamental de
la corriente, para introducirla en la frmula que da x0.
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Mtodo de cortocircuito doble entre fase y neutro
Se determina la tensin Ea existente en bornes de la fase libre y
se lee IN corriente que fluye entre los extremos B y C en
cortocircuito que se dirige hacia el punto neutro (fig. 23 - Medida
de la reactancia homopolar. Mtodo de cortocircuito doble entre fase
y neutro).
Por el mtodo dicho de componentes simtricas se puede demostrar
que con tal esquema la tensin sobre la fase abierta Ea resulta
y la corriente que se dirige hacia el neutro es
IN = 3 i0
Siendo e la tensin (lnea neutro) generada en la fase cuando la
mquina no est cortocircuitada entre B, C y O, la corriente de
excitacin es la misma que se tiene despus del cortocircuito, i0 es
la corriente homopolar (comprese D 480 24 y D 120) x0, xd, xi las
reactancias de la mquina definidas precedentemente. Resulta
finalmente
El mtodo es muy simple porque se reduce a leer una tensin y una
corriente.
Se hace notar que algunos calentamientos locales exagerados
pueden producirse si las corrientes son demasiado elevadas o si no
se conduce el ensayo con rapidez.
Mtodo directo
La mquina es mantenida a velocidad nominal con los inductores en
cortocircuito.
Todas las fases estn conectadas en serie (fig. 24 - Medida de la
reactancia homopolar. Mtodo directo) y una tensin monofsica es
aplicada en las extremidades libres. Se lee la tensin y la
corriente a fin de obtener una caracterstica E = f(I) que se
extrapola hasta la corriente nominal, y ms all (si E e I son
valores unitarios se tendr x0 igualmente en valor unitario).
Es a la vez ms indicado acoplar las fases en paralelo. La tensin
es entonces un tercio de
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CAPITULO
la requerida con la conexin serie precedente, y la corriente el
triple. Las conexiones en cada caso deben ser tales que en todo
momento las corrientes circulen en la misma direccin, despus de los
bornes de lnea. Prcticamente los resultados son los mismos con el
rotor detenido o asimismo sin rotor en toda la mquina.
Nota:
Por las reactancias xdM, xdM, xdM, xdN, xdN, xdN los mismos
mtodos operatorios que en trifsica se emplean en cortocircuito
brusco, se efectan tanto en monofsico entre dos bornes, como en
monofsico entre un borne y el neutro.
Para xr, xkd, xkt no existe mtodo normalizado y se acepta
generalmente adoptar los valores calculados.
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APENDICE 19REACTANCIAS Y CONSTANTES DE TIEMPO DE LAS MAQUINAS
SINCRONICAS
Medicin de las principales constantes de tiempo
Constantes de tiempo de inducido, bajo un cortocircuito brusco t
s
Es el tiempo (en segundos) necesario para que la componente
asimtrica de la corriente inducida provocada por un cortocircuito
brusco (la mquina girando a su velocidad normal) decrece a 0.368
veces su valor inicial (la ley de decremento de la corriente sigue
una ley exponencial y 0.368 = 1 / e siendo e la base de logaritmos
neperianos); s se deduce del ensayo de cortocircuito brusco cuando
se presenta una componente asimtrica (comprese fig. 79 en D
482).
La lnea media de las ondas oscilogrficas se lleva en papel
semilogartmico.
Se dice que esta constante de tiempo se refiere a la componente
continua, mientras dura este fenmeno, la onda de corriente, no es
simtrica en relacin a la lnea de abscisas.
Constante de tiempo subtransitoria t d
Es el tiempo en segundos, necesario para que la componente del
decremento rpido (subtransitorio) de la corriente de inducido
durante los primeros ciclos siguiendo el eje directo despus de un
cortocircuito brusco trifsico (la mquina gira a su velocidad
nominal) cae a 0.368 veces el valor inicial (0.368 = 1/e siendo e
la base de logaritmos neperianos).
Se deduce d del ensayo de cortocircuito (comprese D 482 19).
Se debe subrayar que el clculo de esta constante de tiempo que
hace intervenir los circuitos amortiguadores, es frecuentemente muy
delicada debido a la naturaleza compleja de ellos. Por otra parte
el amortiguamiento por piezas de hierro macizas (caso del
turboalternador) no conduce a exponenciales puras, y no permite
definir con precisin las constantes de tiempo.
En general para los turboalternadores, no se dan garantas ms que
sobre constantes de tiempo transitorias.
Constante de tiempo transitoria t d
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CAPITULO
Este es el tiempo en segundos requerido para que el valor eficaz
de la componente de corriente inducida, que decrece lentamente
(transitorio) en caso de cortocircuito brusco trifsico decrece a
0.368 veces su valor inicial (la mquina gira a su velocidad
nominal).
Se deduce d del ensayo de cortocircuito franco (comprese D 482
19)
Nota:
Para obtener los valores habitualmente especificados de las
constantes de tiempo d y d que corresponden a un cortocircuito
brusco corriente ejecutado a partir del funcionamiento a tensin
nominal, los valores deducidos del ensayo a tensin reducida (se
adopta generalmente la semitensin) deben ser afectados de
coeficientes correctivos para tener en cuenta el grado de
saturacin.
Constante de tiempo de inductores el alternador est en vaco t
d0
Esta constante de tiempo d0 es el tiempo necesario en segundos
para que el valor eficaz de la componente de la tensin de inducido
que decrece lentamente (transitorio) a circuito abierto caiga a
0.368 veces el valor inicial cuando el arrollamiento inductor es
bruscamente cerrado en cortocircuito (la mquina rota a velocidad
nominal).
Se toma un oscilograma de la tensin de inducido y adems la
corriente y tensin de inductor. La tensin residual es sustrada del
valor dado por el oscilograma, y el resultado llevado en funcin del
tiempo utilizando, para la tensin, una escala logartmica.
Los puntos caen sensiblemente sobre una recta y los primeros
puntos a decremento rpido se desprecian. El intervalo de tiempo
representado por el segmento comprendido entre el punto de
interseccin de la recta con el eje (t=0) y el punto en el cual
sobre esta recta se presenta 0.368 veces la tensin inicial, da la
constante de tiempo requerida.
Constante de tiempo subtransitoria a circuito abierto segn el
eje directo
Esta constante de tiempo es deducida del ensayo precedente y no
considera ms que trminos de decremento rpido (subtransitorio)
obtenidos descontando punto por punto al valor de la tensin, la
parte transitoria de esta.
Funcionamiento asincrnico de un motor sincrnico monofsico
Segn el eje longitudinal
En caso de funcionamiento asincrnico el diagrama equivalente,
(fig. 25 - Funcionamiento
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como asincrnico de un motor sincrnico monofsico. Diagrama segn
el eje longitudinal) se compone de dos partes I y II. La primera
parte se refiere al sentido normal del campo rotante con
deslizamiento g y la segunda parte II se refiere al campo inverso
de deslizamiento (2-g).
En el diagrama equivalente, segn el eje transversal nosotros
hallamos igualmente dos partes, una corresponde al campo directo y
otra al campo inverso.
Nosotros podemos entonces formar sucesivamente las admitancias
Yrd e Yrdi por una parte e Yrt e Yrti por otra parte.
Para la parte I segn el eje directo tenemos:
La suma de estas admitancias nos da
Yrd = E jF
siendo E la suma de trminos reales y F la suma de trminos
imaginarios. Tendremos entonces pasando a las impedancias:
siendo G la suma de parte reales de Zrd y de Zs y H suma de las
partes imaginarias de las mismas cantidades de donde
Para la parte II nosotros operamos igualmente y tendremos
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CAPITULO
La suma de estas admitancias nos da
siendo K la suma de los trminos reales y L la suma de los
trminos imaginarios. Nosotros tendremos entonces
siendo M la suma de partes reales de Zrdi y de Zs y N la suma de
las partes imaginarias de las mismas cantidades.
La impedancia total correspondiente al diagrama equivalente segn
el eje directo ser la suma de Zd y de Zdi.
Si nosotros queremos calcular la corriente tomada por el motor
tendremos
en valor unitario. Nosotros calcularemos el par correspondiente
al deslizamiento g con la frmula
El par debido al campo inverso se resta aritmticamente de el par
debido al campo directo.
Segn el eje transversal
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El diagrama equivalente (fig. 26 - Funcionamiento como
asincrnico de un motor sincrnico monofsico. Diagrama segn el eje
transversal) se compone igualmente de dos partes III y IV y podemos
escribir para III siguiendo el mismo camino precedente
siendo P la suma de las partes reales de Ykt y de Yat, y Q la
suma de las partes imaginarias de las mismas cantidades.
siendo R la suma de las partes reales y S la suma de las partes
imaginarias
Para la parte IV tenemos:
siendo T la suma de las partes reales de Ykti y de Yat y U la
suma de las partes imaginarias de las mismas cantidades.
Pasando a las impedancias:
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siendo V la suma de las partes reales de Zrti y de Zs y W la
suma de las partes imaginarias de las mismas cantidades.
donde
La corriente absorbida por el motor ser en valor unitario
y el par correspondiente:
Indice bibliogrfico
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CAPITULO
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