Page 1
1
S T A B I L I T Á S E L M É L E T
A M É R N Ö K I GY A K O R L A T B A N
RÚDSZERKEZETEK SÍKBELI KIHAJLÁSA
kihajlás/ P x
elágazás P = Pkr 2
Pkr f
szomszédhelyzet, y = y(x)
a kihajlott alak
lo= νl = l alaphelyzet, a (helyettesítő) az egyenes alak kihajlási hossz,
y ν =1
y
: :elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út
stabilis labilis
Dr. habil Jankó László egyetemi magántanár
BUDAPEST
2009
1
1
Page 2
2
TARTALOM
ELŐSZÓ, BEVEZETÉS 4
I R O D A L O M 6
1. RUDAK ÁLTALÁNOS STABILITÁSELMÉLETE (röviden) 8
1.1. Alapfeltevések, alapösszefüggések 8
1.2. A másodrendű (II. rendű) elmélet 9
1.3. Energiatételek 11
1.4. Az egyensúlyi állapotok típusai 13
1.5. A különböző egyensúlyi állapotok kritériumai 15
1.6. Az egyensúlyi utak és a kritikus pontok szemléltetése 17
2. AZ EGYENSÚLYI MÓDSZER 22
2.1. Elméleti összefoglaló 22
2.2. Gyakorlati alkalmazások: kétcsuklós rúd,
vegyes peremfeltételű, egymezős rudak,
középen rugóval is megtámasztott kétcsuklós rúd,
folytonosan rugalmasan ágyazott kétcsuklós rúd
kihajlása elágazással 24
3. AZ ENERGIAMÓDSZER 34
3.1. Elméleti összefoglaló 34
3.2. Gyakorlati alkalmazások 37
3.2.1. Szimmetrikus stabilis elágazás. A rugalmasan befogott konzol
egyensúlyi útjai 37
3.2.2. Szimmetrikus labilis elágazás. Eltolódás ellen rugalmasan megtá-
masztott rúd egyensúlyi útjai 41
3.2.3. Aszimmetrikus elágazás. Eltolódás ellen ferdén rugalmasan
megtámasztott rúd egyensúlyi útjai 45
3.2.4. Határpontos stabilitásvesztés.
A háromcsuklós tartó egyensúlyi útja
(geometriailag tökéletes) 49
Page 3
3
4. ELÁGAZÁSI ÖSSZEGEZÉSI TÉTELEK
(Southwell, Dunkerley, Föppl−Papkovics) 52
5. TERVEZÉSI SEGÉDLETEK 53
ÁBRÁK
Page 4
4
ELŐSZÓ, BEVEZETÉS
Miért is kell a tervező mérnöknek stabilitási kérdésekkel foglalkoznia?
A stabilitási kérdések a mérnöki statika legfontosabb kérdései közé tartoznak. Alapvető
követelmény, hogy a szerkezetek bármely terhelő erőre vagy hatásra egyensúlyban
maradjanak. A legtöbb szerkezeti katasztrófát a stabilitás megszűnése idézte elő (különösen
acélszerkezeteknél). Az okok általában összetettek: az elmélet nem kellő mélységig kidolgozott
volta, tervezői gondatlanság, illetve tájékozatlanság, építési hibák, pontatlanságok stb.
A gazdaságos építkezésre való törekvés, a munkaigényesség csökkentése mellett, az építési
anyaggal való takarékosságra is vezet. Ez az igény a tartók keresztmetszeti, vastagsági
méreteinek csökkentését kívánja. Mégpedig ugyanakkor, amikor a szerkezetek támaszközei,
fő méretei mindinkább növekszenek, a tér jobb kihasználása érdekében. Ezen folyamatok
eredményeképpen, a szerkezetek karcsúságának növekedése egyre jobban előtérbe állítja a
stabilitási kérdések fontosságát.
Az építőmérnöki tudományok talán legnehezebb ága, a mérnöki stabilitáselmélet az utóbbi
évtizedekben rengeteget fejlődött. Ezt a körülményt a gyakorlati mérnökképzésnek is
figyelembe kell venni. Ebben a tankönyvben –az anyag nagy terjedelme miatt− csak
áttekintést szerettünk volna adni azokról az eredményekről, melyeket a leggyakrabban
használhatnak a tervezőmérnöki gyakorlatban.
A számítógépes módszerek rohamos elterjedése hozzásegíti a mérnököket az erőjáték egyre
pontosabb numerikus vizsgálatához. A mérnöki szemlélet azonban a numerikus módszerek
korában is elengedhetetlen.
Könyvünkben törekedtünk arra, hogy szemléletessé tegyük az elvont elméleti problémákat is,
és hogy megmutassuk a stabilitástan eredményeinek gyakorlati felhasználását is. Ez utóbbi
cél érdekében az anyag viszonylag nagyszámú konkrét tervezési segédletet is tartalmaz
(ábrák).
Page 5
5
Célunk volt, hogy segítséget nyújtsunk az egyetemi hallgatóknak ahhoz, hogy célszerű,
gazdaságos, műszakilag helyes, biztonságos és szép építőmérnöki szerkezeteket
alkothassanak. Túlságosan a számításokra koncentrálva nem lehet kifogástalan szerkezeteket
létrehozni, de az ellenkező véglet sem helyes: nem elegendő elsősorban csak a tapasztalatokra
és a szerkezeti ismeretekre támaszkodni. A két különböző szemlélet közötti megfelelő arány
megtalálása esetenként nem is olyan egyszerű dolog.
Ebben a tankönyvben egyelőre csak a rudak viszonylag egyszerű, a gyakorlatban
leginkább előforduló stabilitási kérdéseivel foglalkozunk.
Budapest, 2009. október Dr. habil Jankó László
Page 6
6
STABILITÁSELMÉLETI IRODALOM
[1] Bölcskei, E. – Statikusok könyve.
–Dulácska, E.: Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974
[2] Column Research Handbook of structural stability.
Committee of Japan: Corona Company, Tokyo, 1971
[3] Csellár, Ö. – Vékonyfalú acélszerkezetek.
–Halász, O. –Réti, V: Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1965
[4] Dulácska, E.: A rugalmas vasbetonrúd kihajlása.
Építés – Építészettudomány,
1978/1–2, 45-65.o.
[5] Dulácska, E.: Statikai kisokos.
Bertelsmann Springer, Budapest, 2001, 2004
[6] Gáspár, Zs.: A katasztrófaelmélet alkalmazása a
szerkezetek stabilitásvizsgálatában.
Kollár L. szerk.: A mérnöki stabilitáselmélet
különleges problémái. 145–256.o.
Akadémiai Kiadó, Budapest, 1991
[7] Jankó, L.: „VB 86/2002” Komplex vasbeton tervezési
programcsomag. Budapest, 1986, 2002
[8] Jankó, L. – Az eltolódási rugómerevség hatása a rúd
–Nagy, Z.: kritikus terhére.
Építés–Építészettudomány,
1989/1–2, 109–123.o.
[9] Jankó, L.: Rugalmasan ágyazott rudak kihajlása.
Építés–Építészettudomány,
1991/1–2, 33–56.o.
[10] Jankó, L.: Vasbeton hídszerkezetek.
Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1998
[11] Jankó, L.: Stabilitáselmélet a mérnöki gyakorlatban.
Rúdszerkezetek. Budapest, 2006
Page 7
7
[12] Kollár, L.: Keretszerkezetek és oszloprendszerek
stabilitása. BVTV Műszaki Osztály, 1972
[13] Kollár, L.– Héjak horpadása.
–Dulácska, E.: Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975
[14] Kollár, L. A mérnöki stabilitáselmélet különleges
szerkesztésében: problémái.
Akadémiai Kiadó, Budapest, 1991
[15] Kollár, L.– Stabilitási kérdések.
–Halász, O. – Palotás, L. szerkesztésében:
–Iványi, M.: Mérnöki kézikönyv, 2. kötet, 281.–323.o.
Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984
[16] Korányi, I.: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban.
Kihajlás a síkban.
Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965
[17] Massányi, T. – Statikusok könyve.
–Dulácska,E.: Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1989
[18] Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen.
Vieweg u. Sohn, Braunschweig–Wiesbaden,
1982
[19] Pflüger, A.: Stabilitätsprobleme der Elastostatik.
Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg–
–New York, 1975
[20] Thompson, J.M.T. – A general theory of elastic stability.
–Hunt, G.W.: J. Whiley, London–New York–Toronto,
1973
[21] Timoshenko, S.P. – Theory of elastic stability.
–Gere,J.M.: McGraw–Hill, New York–Toronto–London,
1961
[22] Wlassow, W.S.: Dünnwandige elastische Stäbe.
VEB Verlag, Berlin, 1964
Page 8
8
1. RUDAK ÁLTALÁNOS STABILITÁSELMÉLETE (röviden)
1.1. Alapfeltevések, alapösszefüggések
Tekintsünk egy olyan síkbeli rudat, mely
•homogén (azonos fizikai tulajdonságok minden pontban),
•izotrop (minden irányban azonos fizikai tulajdonságok),
•lineárisan rugalmas anyagú (Hooke-törvény),
•állandó keresztmetszetű,
•geometriailag tökéletes (egyenes).
Feltételezzük, hogy a rudak anyaga korlátlanul lineárisan rugalmas, továbbá korlátlanul
szilárd és nyúlóképes: 1.1. ábra, Hooke-törvény. Ilyen anyag a valóságban nincs, de
feltételezhetjük, hogy a vizsgált jelenség olyan határok között játszódik le, hogy a létrejövő
alakváltozások során az ezekből az anyagtani feltételezésekből származó hiba
elhanyagolhatóan kicsi. Acélszerkezetek esetében az arányossági határ alatt az anyag jó
közelítéssel így viselkedik.
A vasbeton tulajdonságokkal (berepedés, képlékenység, kúszás) a [10]-ben foglalkoztunk.
A geometriai tökéletlenségek, más kifejezéssel kezdeti külpontosságok hatását is
figyelembe vesszük a későbbiekben.
Az alkalmazott geometriai közelítések csak a viszonylag kis alakváltozások tartományában
kielégítően pontosak. L. az 1.2. pontot.
Feltételezzük továbbá, hogy a rúdra ható külső erők konzervatívak, vagyis potenciálosak,
ami azt jelenti, hogy létezik egy olyan Π függvény, amelyre vonatkozóan
∂Π/∂Pi = −ui és ∂Π/∂ui = −Pi , (Ia,b)
ahol ui a Pi erő támadáspontjának Pi irányú eltolódása.
A potenciális energia állandó értékűségének tétele − l. 1.3. pont − csakis konzervatív erők
esetében érvényes. A nehézségi erő potenciálos, tehát konzervatív. A mérnöki
gyakorlatban ritkán fordul elő olyan erő, amelyik nem konzervatív. Nem konzervatív az
erő, ha működése közben megváltoztatja az irányát. Mi csak konzervatív erőkkel
foglalkozunk.
Az 1.2. ábrán feltüntettük az elemi rugalmasságtan legfontosabb alapösszefüggéseit. A
továbbiak során ezek ismeretét feltételezzük.
L. még a 2.1. pontbeli közelítéseket.
Page 9
9
1.2. A másodrendű (II. rendű) elmélet
Statikai vizsgálatainkat az elsőrendű (I.), a másodrendű (II.), vagy a harmadrendű (III.)
elmélet szerint végezhetjük. A tartók statikája tárgy keretében elsőrendű (I. rendű)
elméletet alkalmazunk, melynek jellemzője, hogy az erőjáték meghatározása során a
szilárd testet merevnek tekintjük: a megmerevítés elve.
A deformálatlan, változatlan tartóalakra írunk fel minden összefüggést, nevezetesen az
egyensúlyi és az összeférhetőségi (geometriai) egyenleteket, melyek ezen elméletnél
lineárisak, vagyis az y elmozdulásnak, illetve deriváltjainak csak az 1. hatványait
tartalmazzák. A linearitás miatt érvényes a szuperpozíció (egymásrahalmozás), azaz a
különböző hatásokból származó igénybevételek és alakváltozások
egymásrahalmozhatóságának az elve. Ennek megfelelően íly módon csak a nagyon kis
elmozdulások tartományában kaphatunk jó eredményeket.
Az elsőrendű elmélet keretében érvényes Kirchhoff tétele: „Az egyensúlyi problémáknak
csak egy megoldásuk van.”. Ez azt jelenti, hogy a testre ható egyensúlyi erőrendszernek
egyetlenegy, meghatározott egyensúlyi helyzet (tartóalak) felel meg. Stabilitási
jelenségeknél ez nem így van, stabilitási vizsgálatokat ezért elsőrendű elmélettel nem
végezhetünk.
A nagyobb alakváltozások tartományában, az előzőtől alapvetően eltérő módon, a
másodrendű (II. rendű) elmélet keretében az alakváltozásokkal módosított megváltozott
tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi (geometriai) egyenleteket.
Az alkalmazott
sinΘ ≈ Θ, cosΘ ≈ 1,
≈ ± y'' (IIa-c)
geometriai közelítések miatt a geometriai egyenletek lineárisak. Az R görbületi sugarat és az
y lehajlást/eltolódást és deriváltjait l. még az 1.2. ábrán. Ezek a közelítések csak a
viszonylag kis alakváltozások tartományában kielégítően pontosak. Az elmélet attól
másodrendű, hogy az egyensúlyi egyenletek tartalmazzák az alakváltozásokat is, így a
végeredményként kapott összefüggések nemlineárisak lesznek.
A teher – elmozdulás függvényt, azaz a P – y függvényt, egyensúlyi útnak (1.6. –
1.11. ábra) nevezzük. Másodrendű elmélettel jó közelítéssel le lehet írni a másodlagos vagy
posztkritikus egyensúlyi út kezdeti szakaszát.
A kezdeti posztkritikus szakasz kiindulópontja a Pkr,l ún. lineáris kritikus terhet ábrázoló
pont. Azért nevezzük lineárisnak(l) ezt a fajta kritikus terhet, mert a feladat egyensúlyi
módszerrel történő megoldása során az y kihajlási alaknak és a deriváltjainak csak az
1. hatványát vesszük figyelembe. Pl. a 2.2.1. pontban szereplő (1) differenciálegyenlet olyan
egyensúlyi egyenlet, mely magában foglalja az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet is. Az
(1) egyenlet a mondottak értelmében lineáris.
Page 10
10
A differenciálegyenlet általános megoldása után (melyben ismeretlen állandók szerepelnek), a
sajátfüggvények általános alakjának ismeretében, a számunkra szükséges legkisebb kritikus
terhet, azaz a legkisebb sajátértéket a kerületi feltételek felírása révén kapott mátrix
szingularitásának feltétele szolgáltatja (a kihajlási determináns zérusértékűsége). L. később a 2.
pontban.
Ezt a terhet elágazási kritikus tehernek is nevezzük, mert az egyensúly ebben a pontban
elágazik: a kritikus pontban egyensúly lehetséges az eredeti (egyenes) alakon kívül egy
szomszédos, kihajlott (kigörbült) alakban is. A későbbiekben szemléltetni fogjuk a
lineáris/elágazási kritikus terhet számító eljárásokat.
Az 1.6. ábra 2 -vel jelzett másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi útjait
harmadrendű (III. rendű) elmélettel lehet előállítani. A teljes egyensúlyi utat pontosan
csak a szabatos harmadrendű elmélettel lehet leírni. Ez esetben semmilyen geometriai
közelítést nem alkalmazunk, így ezzel az elmélettel a tetszőlegesen nagy alakváltozások
tartományára érvényes eljárásokat lehet kidolgozni.
Ezeknél mind az összeférhetőségi (geometriai), mind az egyensúlyi egyenletek
nemlineárisak. Régebben ez súlyos matematikai nehézségekkel járt, ma a modern
numerikus módszerekkel dolgozó gépi számítási eljárások segítségével az ilyen jellegű
feladatok is megoldhatók.
Megjegyezzük, hogy a harmadrendű elméletet szokás nemlineáris elméletnek is nevezni,
illetve a korlátozottan nagy alakváltozások tartományában érvényes másodrendű
elméletet is hívják nemlineárisnak. Ezen elméletek az y kihajlási alak deriváltjai
hatványsoraiból bizonyos számú nemlineáris (2. fokú, 3. fokú, stb.) tagot vonnak be a
számításba. A közelítés annál pontosabb, minél több nemlineáris tagot veszünk
figyelembe.
Az ábrán bemutatott viszonylag egyszerű esetekben a megoldás analitikus módszerekkel,
zárt alakban megkapható.
Page 11
11
1.3. Energiatételek
A tartó alakja megváltozásának másodrendű (II. rendű) hatását figyelembe véve érvényét
veszti az elsőrendű (I. rendű) elmélet keretében érvényes szuperpozíció (egymásra
halmozás) elve, mert az lineáris összefüggéseken alapszik.
A szuperpozíció elvével együtt érvényét veszti Betti tétele (
), Maxwell [ f12, 𝛈(fK) ] tétele, Kossalka tétele [𝛈(MK)], Castigliano tételei stb. A kihajlás megindulásakor
helytelenné válik a külső saját munkára felírt Clapeyron-féle képlet is:
Lk =
Pu,
mert ez feltételezte a P erő és az u eltolódás közti lineáris összefüggést (ezért van az 1/2
szorzó, mely az ún. idegen munkánál nincs). Érvényben marad azonban természetesen a
képlet lényege, mely szerint az Lk külső munka egyenlő az erővektornak és az erő
támadáspontja eltolódásvektorának a skaláris szorzatával. Tehát
u
Lk =∫ Pdu. (III)
0
Ugyanakkor az elsőrendű (I. rendű) elmélet szerinti statikában alkalmazott tételek közül
érvényben marad az energiatétel és a virtuális munka tétele.
1.3.1. Az energiatétel
Az energiatétel tulajdonképpen az energia megmaradása elvének alkalmazása statikai és
szilárdságtani problémákra, s lényegében azonos az elsőrendű (I. rendű) statikából ismert
Clapeyron-féle munkaegyenlettel, mely szerint a külső erők Lk saját munkája egyenlő a
belső erők Lb saját munkájával (Lk = Lb ).
A rendszer teljes potenciális energiája:
Π = Πb + Πk (IV) ahol
Πb = Lb és Πk = −Lk . Az energiatétel szerint
dΠb = dLk . (V)
Az energiatétel kimondja, hogy a rendszer (tartó) Πb belső potenciális energiájának
változása (d) egyenlő a külső erők Lk munkájának a változásával (d).
Ez lényegében a Clapeyron-féle munkatételnek más alakban való kifejezése.
Page 12
12
1.3.2. A virtuális elmozdulások tétele
A latin virtuális szó jelentései: 1. látszólagos, elképzelt, nem valódi 2. lehetséges,
lehetőségként létező. A tétel a 2. értelmét használja.
Virtuális elmozdulások alatt a támaszfeltételekkel/kerületi feltételekkel (kényszerekkel) és
a folytonossági feltételekkel összeférő, de egyébként tetszőleges és végtelenül kicsiny
elmozdulásokat értünk. A virtuális elmozdulás útján létrehozott új tartóalaknak nem is kell
egyeznie a tartóra ható erőrendszerből származó alakkal, csak geometriailag
lehetséges (virtuális) legyen, vagyis elégítse ki a támaszfeltételeket, az ún. kerületi
feltételeket, mégpedig úgy, hogy a test folytonos összefüggése mindenütt megmaradjon.
A virtuális elmozdulások tétele ( Bernoulli 1717 és Lagrange 1788):
Az erők egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele az, hogy az erők virtuális
munkájának összege, tetszőleges virtuális elmozdulás esetében zérus legyen.
Megjegyezzük, hogy ezt a tételt szokás a virtuális munka tételének is nevezni. Virtuális
munka alatt mindig valóságos erő és virtuális eltolódás szorzatát értjük.
Tételezzük fel, hogy a P erőkkel terhelt tartó alakváltozása már lezajlott s így az
egyensúlyi alakja/helyzete adott: 1.3. ábra. A tartónak ezt az alakját alaphelyzetnek
nevezzük. A központosan nyomott rúdnak lehetséges egyensúlyi alakja az egyenes. Ezután
vigyük a tartóalakot virtuális elmozdulással egy végtelen közeli ún. szomszédhelyzetbe. A
szomszédhelyzet tulajdonképpen a kihajlott alak.
A variációszámítás alapfogalmait és elnevezéseit alkalmazva ezt a műveletet a
tartóalak variálásának nevezzük. Ezért alkalmazzuk a virtuális elmozdulások és
alakváltozások jelölésére a variáció δ jelét. A tartóalak variációi geometriai szemlélettel
egy görbe-sereget jelentenek, melyet a kihajlott alak egyensúlyát kifejező
differenciálegyenlet (l. később) ad meg.
Kritikus (indifferens=közömbös, 1.4. pont) az egyensúly annak az erőnek a hatására,
amelyik mellett az egyenes alakon kívül van kihajlott egyensúlyi alak is.
Megköveteljük, hogy a virtuális elmozdulások (u) olyan kicsinyek legyenek, hogy
négyzetük elhanyagolható legyen (1 mellett), s így helyettesíthetők legyenek hatványsoruk
első tagjával, az ún. első variációval (δu). A hatványsor második tagja az állandó szorzó
elhagyásával a második variáció (δ2u). A variációkkal 1 változó esetében úgy
dolgozhatunk, mint differenciálokkal (v.ö. 1.5. ábra).
Page 13
13
1.3.3. A potenciális energia állandó értékűségének tétele
Ez a tétel az egyensúly szükséges és elégséges feltételének energetikai megfogalmazása.
A rendszer Π teljes potenciális energiája a belső(b) és a külső(k) potenciális energia
összege (l. (IV) ):
Π = Πb + Πk.
Ennek első variációja a tétel szerint zérus:
δΠ = δΠb + δΠk = 0. (VI)
Ez azt jelenti, hogy a virtuális elmozdulás közben a Π potenciális energia értéke
változatlan.
A potenciális energia állandó értékűségének tétele:
Egyensúlyban lévő erők hatására kialakult tartóalak variálása közben a teljes
potenciális energia értéke állandó (stacioner).
Ez úgy is megfogalmazható, hogy egyensúly esetén a Π függvénynek szélsőértéke van.
Ha ez a szélsőérték minimum, akkor az egyensúlyi helyzet stabilis, ha a szélsőérték
maximum, akkor az egyensúlyi helyzet labilis. L. az 1.4. pontot.
Stabilis egyensúlyi állapot esetén a potenciális energia minimumának tételéről
beszélünk.
1.4. Az egyensúlyi állapotok típusai
Amennyiben a test a rá ható erőrendszer hatására nyugalomban marad, akkor azt mondjuk,
hogy a test egyensúlyban van. Többféle egyensúlyi állapot lehetséges, ezeket a
nyugalomban lévő G súlyú golyó különböző állapotával/helyzetével lehet a legjobban
szemléltetni: 1.4. ábra.
Nézzük először azt az a) – c) esetet, amikor a golyót tartó felület görbülete minden
irányban azonos értelmű. A golyó egyensúlyi állapotának/helyzetének 3 fajtája van:
a) stabilis (biztos). Ekkor a golyó a felülről homorú (konkáv) felület legmélyebb pontján
helyezkedik el. Ha innen kimozdítjuk, akkor a G nehézségi erő hatására visszatér oda.
Ennek az az oka, hogy a legmélyebb pontban a legkisebb a golyó Π potenciális
energiája. Megjegyezzük, hogy a potenciális energiát potenciálnak is szoktuk nevezni.
A potenciál az a függvény, melynek parciális differenciálhányadosai a ható erő x,y és z
irányú összetevőit adják (v.ö. Ia,b).
Page 14
14
b) kritikus (indifferens = közömbös). Ez esetben a golyó vízszintes síkon nyugszik. A G
nehézségi erő hatására eredeti helyzetének közelében a síkon bárhol nyugalomban marad,
mert a vizsgált kis környezetben állandó a golyó Π potenciális energiája.
c) labilis (bizonytalan, ingatag, dőlékeny). Ekkor a golyó a felülről domború (konvex) felület
legmagasabb pontján helyezkedik el. Ha innen kimozdítjuk, akkor nem tér vissza az eredeti
helyzetébe, hanem a G nehézségi erő hatására legurul. Ennek az az oka, hogy a
legmagasabb pontban a legnagyobb a golyó Π potenciális energiája.
A Π potenciális energiának az 1.4.a)–c) ábrán jelzett értéktípusai (minimum, állandó,
maximum) nem jelentik egyben a megfelelő egyensúlyi helyzet szükséges és elégséges
feltételét. További vizsgálatok szükségesek.
Az 1.4.d)−g) ábrán a golyót tartó felület görbülete irányonként eltérő értelmű. A
d) ábrán a golyó vízszintes alkotójú hengerfelületen nyugszik. Az egyensúlyi helyzet x
irányban kritikus (indifferens = közömbös), y irányban labilis. Ezért ez végeredményben
labilis egyensúlyi helyzet. Az e) ábrán látható golyó helyzete x irányban stabilis, az y
irányban labilis. Ez is labilis egyensúlyi helyzet, bár a potenciális energia nem maximum.
Az f) ábrán a potenciális energia maximum ugyan, de minthogy a maximum környékén
van egy kis állandó potenciális energiájú szakasz, az egyensúlyi helyzet ezen szakasz
belsejében kritikus (indifferens = közömbös). A szakasz szélétől kezdve az egyensúlyi
helyzet labilis.
Látható tehát, hogy a stabilis egyensúlyi helyzetnek a potenciális energia minimum volta
szükséges, de nem elégséges feltétele. Ugyanakkor a labilis egyensúlyi helyzetnek a
potenciális energia maximum volta sem nem szükséges feltétele (az e) ábrán nincs
maximum, az egyensúly mégis labilis), sem nem elégséges feltétele (az f) ábrán maximum
van, de az egyensúly mégsem labilis a szakasz belsejében).
A g) ábrán a golyó egyensúlyi helyzete kritikus (indifferens = közömbös), mert az x
irányban kritikus, annak ellenére, hogy az y irányban stabilis. Itt a kritikus egyensúlyi
helyzet létezéséhez tehát elegendő volt egy olyan irány (x), amely mentén az egyensúly
helyzet kritikus, mert a többi irány egyikében sincs labilis egyensúly.
Ezzel szemben a d) ábrán a golyó egyensúlyi helyzete labilis.
A kritikus (indifferens = közömbös) egyensúlyi állapotnak szükséges és elégséges feltétele
az, hogy létezzen legalább egy olyan irány, amelynek mentén a golyó az alaphelyzet
szomszédságában is nyugalomban marad, és egyensúlya egyetlen irányban sem labilis.
Page 15
15
A fenti golyó analógia alapján megfogalmazhatjuk a mérnöki szerkezetek egyensúlyának
alapvető típusait:
a) Stabilisnak (biztosnak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű
zavarással (elmozdulással ) kimozdítva a szerkezet visszatér az eredeti állapotába,
mert az eredeti helyzetben a legkisebb a rendszer potenciális energiája. A
tervezőmérnökök számára nyilvánvalóan a stabilis egyensúlyi helyzet a
legfontosabb, mert csak stabilis egyensúlyi állapotban tudjuk a szerkezeteket
használni.
b) Kritikusnak (indifferensnek = közömbösnek) nevezzük az egyensúlyi helyzetet,
ha a kismértékű zavarás után az eredeti egyensúlyi helyzet szomszédságában ismét
nyugalmi helyzet áll elő, azaz –változatlan tehernagyság mellett is– létezik egy
második egyensúlyi helyzet is. Az egyensúlyi helyzet kis környezetében a
rendszer potenciális energiája állandó. A b) eset tulajdonképpen az a) és a c) eset
közti átmeneti állapotot jellemzi. Megjegyezzük, hogy a régebbi szakirodalom az
indifferens szót használta, a modern stabilitáselméletben a kritikus szót használják.
c) Labilisnak (bizonytalannak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha a kismértékű
zavarás hatására a szerkezet nem tér vissza az eredeti állapotába, mert az eredeti
helyzetben a legnagyobb a rendszer potenciális energiája.
1.5. A különböző egyensúlyi állapotok kritériumai
Az 1.3.3. pontban megadtuk, hogy általában mi az egyensúly szükséges és elégséges
feltétele (δΠ = 0 = (VI)). Kérdés, hogy ez az egyensúly milyen típusú: stabilis,
kritikus (indifferens) vagy labilis?
Jelölje az alaphelyzetet o index, a szomszédhelyzetet I index. Az alaphelyzetből a
szomszédhelyzetbe való átmenet során kialakuló potenciális energia−változás felírható
Taylor-sorba fejtéssel (egyváltozós potenciál):
ΠI − Πo = ΔΠo = δΠo + 1/2!δ2Πo +1/3!δ
3Πo +… (VII)
Abból indulunk ki, hogy az alaphelyzetben egyensúly van, tehát δΠo = 0. Ennek alapján a
növekmény így írható fel, ha az igen kicsiny 3. variációt (és a magasabb variációkat)
elhanyagoljuk:
ΔΠo ≈ 1/2δ2Πo. (VIII)
Azt kaptuk tehát, hogy az egyensúlyi állapot jellegét a Πo potenciális energia δ2Πo
2. variációja szabja meg.
Page 16
16
Egyváltozós potenciálú erők esetén tehát a különböző típusú egyensúlyok szükséges és
elégséges feltételei:
Ha δ2Πo > 0 (Lk< Lb), akkor Πo minimum: stabilis az egyensúlyi
állapot/helyzet.
Ha δ2Πo = 0 (Lk = Lb), akkor Πo állandó: kritikus (indifferens) az
egyensúlyi állapot/helyzet.
Ha δ2Πo < 0 (Lk>Lb), akkor Πo maximum: labilis az egyensúlyi
állapot/helyzet.
Emlékeztetünk az 1.4.e) ábrára, amely szerint a golyó labilis egyensúlyi
állapotának/helyzetének kialakulásához elég, ha egyetlen olyan irány van, amely mentén az
egyensúlyi állapot/helyzet labilis.
Az 1.4.g) ábra szerint a golyó kritikus (indifferens) egyensúlyi állapotának/helyzetének
kialakulásához elég, ha egyetlen olyan irány van, melynek mentén az egyensúly
kritikus (indifferens), és egyensúlya egyetlen irányban sem labilis.
Tartóalakra áttérve megfogalmazhatjuk a kritikus (indifferens) állapot szükséges és elégséges
feltételét általában (többváltozós potenciál esetére):
Az egyensúlyi állapot kritikus (indifferens=közömbös), ha az egyensúlyban lévő erők
hatására létrejött alaphelyzetbeli tartóalaknak lehetséges legalább egy olyan
variációja/szomszédhelyzete, amelynek végrehajtása után az egyensúly, a rendszer
terhelő erőinek megváltoztatása nélkül megmarad, és nem lehetséges egyetlen olyan
variációja sem, amelynek végrehajtása után a tartó labilis állapotba jut.
Az alaphelyzet (o) egyensúlya a δΠo = 0 egyenlettel fogalmazható meg, míg a
szomszédhelyzet (I) egyensúlyát a δΠI = 0 egyenlet írja le. Felírható tehát, hogy a
szomszédhelyzet potenciális energiáját az alábbi Taylor-sor adja meg:
ΠI = Πo + δΠo + 1/2! δ2Πo +1/3! δ
3Πo +…= Πo +1/2!δ
2Πo +1/3!δ
3Πo
+… Továbbá
δΠI = δΠo + δ(1/2!δ2Πo) + δ(1/3!δ
3Πo ) +… = 0,
δ ΠI ≈ δ(1/2!δ2Πo) = 0,
és
δ(δ2Πo') = 0. (IX)
A (IX) egyenlet azt fejezi ki, hogy kritikus (indifferens=közömbös) az egyensúly, ha van a
potenciális energiának legalább egy olyan különleges ( ' ) 2. variációja, melynek minden
(első) variációja 0, tehát a δ2Πo' = 0 variáció egyúttal minimum is.
Page 17
17
Könyvünkben főleg síkbeli stabilitási kérdésekkel foglalkozunk, ezért ekkor a
kritikus (indifferens=közömbös) egyensúlyi állapot feltételeként elegendő a
δ2Πo = 0 (X)
követelményt felállítani.
Stabilis egyensúlyi helyzet esetén a potenciális energia minden 2. variációja pozitív, tehát
δ2Πo > 0 .
Labilis az egyensúlyi helyzet, ha van a potenciális energiának legalább egy ( ' ) negatív
2. variációja, tehát
δ2Πo' < 0 .
Megállapítható tehát, hogy a kritikus (indifferens=közömbös) egyensúly kritériumát
kifejezhetjük a szomszédhelyzet egyensúlyára vagy a potenciális energia 2. variációjára
vonatkozó követelménnyel. Ennek megfelelően a stabilitási kérdések megoldására két fő
módszer alakult ki:
■ az egyensúlyi módszer (2. FEJEZET), és
■ az energiamódszer (3. FEJEZET).
Egyensúlyi módszerrel a szerkezetek Pkr,l elágazási kritikus terheit fogjuk meghatározni.
Energiamódszerrel ezeken kívül a teljes egyensúlyi utat is leírjuk.
1.6. Az egyensúlyi utak és a kritikus pontok szemléltetése
A stabilitási kérdések a mérnöki statika legfontosabb kérdései közé tartoznak. Alapvető
követelmény, hogy a szerkezetek bármely terhelő erőre vagy hatásra egyensúlyban
maradjanak. Nem elegendő azt megállapítani, hogy a szerkezet egyensúlyban van, hanem azt
is ki kell mutatni, hogy az egyensúly típusa milyen.
Egyváltozós (Θ) potenciálú rendszerekre készítettük az 1.5. ábrát, amely összefoglalja az
egyensúly típusának meghatározását a Π potenciális energia segítségével. Amint az
1.3.2. pontban már említettük, a variációkkal úgy dolgozhatunk, mint differenciálokkal, ezért
ezen az ábrán közönséges differenciálhányadosokkal dolgozunk. A differenciálhányadosokra
egyszerűbb jelölést használunk, pl. δΠ→dΠ/dΘ = ΠΘ. A δΠ→ΠΘ és a δ2Π→ΠΘΘ
mennyiséget az eddigiekben részletesen elemeztük.
A kritikus (indifferens=közömbös) állapot ΠΘΘ = 0 feltétele az ábrán 3 alesetre bomlik:
szimmetrikus elágazás, aszimmetrikus elágazás és elágazás nélküli ún. határpontos
stabilitásvesztés. Ezeket az 1.6.−1.11. ábrákon szemléltettük. Az, hogy
kritikus (indifferens=közömbös) állapotban melyik aleset jön létre, a magasabbrendű ΠΘΘΘ és
ΠΘΘΘΘ differenciálhányadosok felhasználásával dönthető el. A későbbiekben példákat
mutatunk be erre.
Page 18
18
Az 1.6./I. és az 1.6./II. ábrán jellegzetes egyensúlyi utakat és kritikus pontokat
mutatunk be. A teher – elmozdulás függvényt, azaz a P – y függvényt, a modern
stabilitáselméletben egyensúlyi útnak nevezzük. Az előzőekben tárgyaltuk az elágazási
stabilitásvesztésnél létrejövő kritikus (indifferens=közömbös) pontokat.
Figyelem! Az 1.6. d) ábrán olyan kritikus pontot mutatunk be, amelyik nem elágazás
révén jön létre: ez az ún. határpont (Pkr,h). L. itt később.
A kritikus egyensúlyi helyzetben az egyensúly elágazik, és az egyensúlyi utat is két
csatlakozó görbe ábrázolja: az 1 jelű elsődleges, és a Pkr,l kritikus pontban hozzá
csatlakozó 2 jelű másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út. Az egyensúly elágazása azt
jelenti, hogy a kritikus pontban egyensúly lehetséges az eredeti egyenes alakon kívül egy
szomszédos, kihajlott (kigörbült) alakban is. Az egyenes alaphelyzetből (1.3. ábra) való
elágazás feltétele az, hogy az egyensúlyban lévő erők hatására létrejött alaphelyzetbeli
egyenes tartóalaknak legyen legalább egy olyan szomszédhelyzete, variációja (kismértékű
megváltoztatása: a meggörbült, kihajlott tartóalak), melynek végrehajtása után az egyensúly a
rendszer erőinek megváltoztatása nélkül megmarad és nem lehetséges egyetlen olyan
variációja sem, melynek végrehajtása után a tartó labilis állapotba jut.
Az 1.6./I. és az 1.6./II. ábrán szemléltetjük, hogy az egyensúlyi helyzet elágazása lehet
szimmetrikus és aszimmetrikus. A szimmetrikus elágazás stabilis vagy labilis. A
Pkr,l −lel jelölt kritikus pontokat szimmetrikus stabilis, szimmetrikus labilis és
aszimmetrikus elágazási pontoknak hívjuk.
Az 1.6./I.a) ábrán láthatjuk a szimmetrikus stabilis elágazást.
A szimmetrikus stabilis típusú elágazással bíró szerkezetek a legkedvezőbbek a mérnöki
alkalmazás szempontjából, hiszen kihajlás után a teherbírásuk növekszik. Ugyanakkor
gondolni kell arra, hogy ez olyan nagymértékű alakváltozások árán jöhet létre, amely a
teherbírás-növekmény kihasználását korlátozza. Pl. hídszerkezeteknél sem engedhetjük meg,
hogy a szerkezet nagy alakváltozásos posztkritikus állapotba kerüljön. Azt azonban a
biztonság szintjének helyes megítélése érdekében mindenképpen tudnunk kell, hogy milyen
a posztkritikus diagram jellege, tehát, hogy eső-e, vagy emelkedő. A vasbetonnak megfelelő
reális anyagtulajdonságokat (berepedés, képlékenység, kúszás) is figyelembevevő vizsgálatokra
a [11] −ben tértünk ki.
Vizsgáljuk meg kissé részletesebben az 1.6./I.a) ábrán vázolt, geometriailag tökéletesnek,
azaz yk kezdeti alakhibáktól, görbeségektől, külpontosságoktól mentesnek tekintett ( yk = 0)
kétcsuklós rúd 1 – 2 egyensúlyi útját. A P < Pkr,l tartományban a teher fokozatos
növelésével a stabilisen viselkedő rúd alakja egyenes marad. A P = Pkr,l tehernél az
alaphelyzetbeli egyenes tartóalak végtelenül kis elmozdulások révén az ábra szerinti kihajlott
alakba megy át: szimmetrikus stabilis elágazás. A kihajlott alakban az y(z)
kihajlásfüggvény y amplitudója tetszőlegesen kicsiny, határozatlan mennyiség. A
2 posztkritikus teherbírás emelkedő jellegű.
A P > Pkr,l tartományban egyenes alakkal csak labilis lehet az egyensúly (ezt a függőleges
tengelyen a vastag szaggatott vonal ábrázolja). A kihajlott (kigörbült) rúdalak stabilis egyensúlyi
alak: a 2 jelű másodlagos (posztkritikus) görbe. Az 1 – 2 egyensúlyi útról mondottak
Page 19
19
kizárólag geometriailag tökéletes, azaz mindenféle kezdeti alakhibától, hullámosságtól vagy
külpontosságtól mentes ( yk = 0) ideális esetekre érvényesek.
A gyakorlatban azonban a szerkezeteknek yk geometriai tökéletlenségeik vannak, ami azt
eredményezi, hogy a tárgyalt ábra diagramjainak a jellege megváltozik. Elágazás nem jön
létre, a vékony vonallal jelzett görbék – melyek a geometriailag tökéletlen szerkezet egyensúlyi
útjai – a geometriailag tökéletes szerkezet egyensúlyi útjaihoz aszimptotikusan közelednek.
Az 1 – 2 diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak stabilisek.
Az egyensúlyi utak Pm minimum pontjait az yk kezdeti külpontosságok (amplitudók)
függvényében ábrázolva kapnánk a tökéletlenség-érzékenységi diagramot. Jelen szimmetrikus
stabilis elágazásnál ez a diagram nem létezik, az ilyen szerkezetek kevéssé érzékenyek a
tökéletlenségekre.
Az 1.7. ábrán a szimmetrikus stabilis elágazásról mondottakat tovább szemléltetjük. A
jellegzetes elmozdulás itt a Θ támaszponti szögelfordulás (y = Θl ). Érdekességként
feltüntettük az egyensúlyi utat abban az esetben is, ha a független változó a P erőnek az f
eltolódása. Tulajdonképpen egy térgörbe két síkbeli vetületét ábrázoltuk.
Az 1.10.a) ábrán a szimmetrikus stabilis elágazást energetikailag szemléltetjük.
Emlékeztetünk az 1.5. pontra és az 1.5. ábrára, melyek szerint stabilis egyensúlyi helyzet
esetén ΠΘΘ > 0, labilis egyensúlyi helyzetnél ΠΘΘ < 0, és kritikus/indifferens egyensúlyi
helyzetnél ΠΘΘ = 0 ( l. a (X) összefüggésnél írtakat). Az ábrán feltüntettük az ún. stacionárius
pontokat is, tehát amelyeknél vízszintes az érintő: minimum pont (stabilis), maximum
pont (labilis), állandó érték (kritikus). A 3 különböző Π görbe a P teher 3 különböző
szintjéhez tartozik, nevezetesen: Ps < Pkr,l < Pl.
Térjünk át az 1.6./I.b) ábrára, melyen a szimmetrikus labilis elágazás jellegzetes eseteit
láthatjuk. Az 1.6./I.a) ábrával szemben itt a 2 másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi útág
pontjai labilis egyensúlyi helyzeteket ábrázolnak, azaz a görbe eső jellegű. Az 1 – 2
diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak egyik részén stabilis, a
másik részén labilis az egyensúly.
A geometriailag tökéletlen szerkezet Pm maximális egyensúlyozható terheit a megfelelő yk
tökéletlenségi amplitudó függvényében ábrázolva olyan jellegű Pm − yk tökéletlenség-
érzékenységi diagramot kapunk, amelyik világosan mutatja, hogy a szerkezet érzékeny
geometriai tökéletlenségekre, azaz viszonylag kis alakhibák jelentősen lecsökkenthetik a
stabilitási teherbírást. Az ilyen szerkezetek mérnöki alkalmazásánál kellő óvatossággal kell
eljárni, megfelelő mértékű biztonsági tényezőt kell alkalmazni.
Az 1.8. ábrán a szimmetrikus labilis elágazásról mondottakat tovább szemléltetjük. A
jellegzetes elmozdulás itt is a Θ támaszponti szögelfordulás (y = Θl ). Érdekességként
feltüntettük az egyensúlyi utat abban az esetben is, ha a független változó a P erőnek az f
eltolódása. Tulajdonképpen egy térgörbe két síkbeli vetületét ábrázoltuk.
Az 1.10.b) ábrán a szimmetrikus labilis elágazást energetikailag szemléltetjük.
Emlékeztetünk az 1.5. pontra és az 1.5. ábrára, melyek szerint stabilis egyensúlyi helyzet
esetén ΠΘΘ > 0, labilis egyensúlyi helyzetnél ΠΘΘ < 0, és kritikus/indifferens egyensúlyi
helyzetnél ΠΘΘ = 0 ( l. a (X) összefüggésnél írtakat). Az ábrán feltüntettük az ún. stacionárius
pontokat is, tehát amelyeknél vízszintes az érintő: minimum pont (stabilis), maximum
Page 20
20
pont (labilis), állandó érték (kritikus). A 3 különböző Π görbe a P teher 3 különböző
szintjéhez tartozik, nevezetesen: Ps < Pkr,l < Pl.
Az 1.6./II.c) ábrának az az érdekessége, hogy az elágazás aszimmetrikus jellegű.
A ferde rugóval megtámasztott rúd esetében, ha a rúd az ábrán vázolt irányban mozdul el,
akkor csökken a teherbírás, tehát ez az ág labilis. Ellenkező esetben pedig növekszik, vagyis
az az ág stabilis.
Az 1 – 2 diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak egyik részén
stabilis, illetve labilis az egyensúly. A másik részen stabilis az egyensúly.
A Pm − yk tökéletlenség-érzékenységi diagram rohamosan eső jellege jól mutatja az ilyen
típusú szerkezetek igen nagy érzékenységét a kezdeti görbeségek, tökéletlenségek iránt. Az
ilyen szerkezetek mérnöki alkalmazásánál kellő óvatossággal kell eljárni, megfelelő mértékű
biztonsági tényezőt kell alkalmazni.
Az 1.9.ábrán az aszimmetrikus elágazást tovább részletezzük. A jellegzetes elmozdulás itt is
a Θ támaszponti szögelfordulás (y = Θl ). Érdekességként feltüntettük az egyensúlyi utat
abban az esetben is, ha a független változó a P erőnek az f eltolódása. Tulajdonképpen egy
térgörbe két síkbeli vetületét ábrázoltuk.
Az 1.10.c) ábrán az aszimmetrikus elágazást energetikailag szemléltetjük. Emlékeztetünk
az 1.5. pontra és az 1.5. ábrára, melyek szerint stabilis egyensúlyi helyzet esetén ΠΘΘ > 0,
labilis egyensúlyi helyzetnél ΠΘΘ < 0, és kritikus/indifferens egyensúlyi helyzetnél ΠΘΘ = 0
( l. a (X) összefüggésnél írtakat). Az ábrán feltüntettük az ún. stacionárius pontokat is, tehát
amelyeknél vízszintes az érintő: minimum pont (stabilis), maximum pont
(labilis), állandó érték (kritikus). A 3 különböző Π görbe a P teher 3 különböző szintjéhez
tartozik, nevezetesen: Ps < Pkr,l < Pl.
Az 1.6./II.d) ábrán az előzőektől alapvetően eltérő, ún. határpontos stabilitásvesztést
mutatjuk be (stabilitásvesztés határponttal; átpattanás). A Pkr,h átpattanási (vagy felső) kritikus
tehernek megfelelő határpont (h) szintén stabilis és labilis ágakat választ szét, de ez nem
elágazási jelenség, nem sajátértékfeladat. A folyamat fizikai lényege az, hogy a szerkezet
belső ellenállása lassabban nő a külső igénybevételeknél. Ezt szokás az egyensúly
divergenciájának nevezni. Az ilyenfajta teherhordó viselkedést az jellemzi, hogy az
alakváltozások növekedésével elérve a Pkr,h átpattanási kritikus tehernek megfelelő
határpontot, a lapos szerkezet az A-ból az Á-vel jelölt alulról domború helyzetbe átpattan,
majd ettől kezdve egyre nagyobb terheket képes hordani, igen nagymértékű alakváltozások
kíséretében. Az is előfordulhat, hogy a már bizonyos mértékig
összenyomódott (deformálódott) ív a tetőpont elérése előtt a Pkr,l lineáris kritikus tehernél,
nem az eredeti alakjából (mint az a)−c) ábrákon), hanem a már deformálódott alakjából,
alaphelyzetéből elágazással megy át az alacsonyabb potenciálú E pontba. Megjegyezzük,
hogy ilyen lapos ívekkel pl. a hidászatban igen ritkán találkozunk. A [11]−ben a gyakorlatban
alkalmazott meredek ívek kihajlásával is foglalkozunk.
Page 21
21
Az 1.11. ábrán összefoglalóan mutatjuk be a lineárisan rugalmas és végtelen
nyúlóképességű anyagra ( I jelű) és a vasbeton tulajdonságokat reálisan közelítő ideálisan
rugalmas-képlékeny, korlátozott nyúlóképességű anyagra ( III jelű) vonatkozó egyensúlyi
utakat.
Az 1 – 2 egyensúlyi út az 1.6.I.a) ábrának felel meg. A vékonyan húzott 2a posztkritikus
egyenes úgy adódik, hogy ha nem harmadrendű, hanem csak másodrendű elméletet
használunk.
Ez esetben a klasszikus Southwell-féle megoldás értelmében a szinusz alakú, yk amplitudójú
kezdeti görbeséggel bíró rúd közepének y eltolódása az alábbi módon írható fel:
y = ψyk. (XI)
Hasonlóképpen a kezdeti Mk = Pyk nyomaték
M = ψMk (XII)
nagyságúra növekszik meg a másodrendű hatások következtében.
A fenti kifejezésekben szereplő Southwell-féle nyomatéknövelő vagy külpontosságnövelő
tényező így számítható:
(XIII)
Ezen megoldás szerint jár el az acélszerkezeti és a faszerkezeti szabvány (a ψ-vel számolt
szélső szálfeszültségek ne haladják meg a méretezési feszültségeket).
Ha a II jelű anyagmodellel dolgozunk, amelyet a II. feszültségi állapotban lévő vasbeton
anyag modellezésére szokás használni, akkor a II jelű görbét kapjuk. Ennek szembetűnő
jellegzetessége az I jelűhöz képest az, hogy van maximum pontja, mely stabilis és labilis
görbeágakat választ el. A görbe alakja hasonló az 1.6./I.b)-1.6./II.d) ábrákon láthatókhoz. A
tönkremenetel stabilitási jellegű, mert az anyag szilárdsága csak a maximumpont utáni
labilis ágon merülne ki (de a rúd azt megelőzően a maximumpontnál tönkremegy).
A III jelű görbe az, amit a vasbetonnak megfelelő ideálisan rugalmas képlékeny, korlátozott
nyúlóképességű anyagmodellel kapunk. A tönkremenetel szilárdsági törés, mely a vázolt
esetben a húzott betonacélok megfolyásával (F) kezdődik. Az F,T pontokról és a vasbeton
tulajdonságok hatásáról l. a [11]−et.
Az 1.12. ábrán mutatjuk be a a vasbeton tulajdonságokat reálisan közelítő ideálisan
rugalmas-képlékeny, korlátozott nyúlóképességű anyagra ( III jelű) vonatkozó Δeo, Δet
külpontosságnövekmények, továbbá az eM mértékadó külpontosság szabványos képletét.
ψ=
Page 22
22
2. AZ EGYENSÚLYI MÓDSZER
Egyensúlyi módszerrel a szerkezetek Pkr,l elágazási kritikus terheit fogjuk meghatározni.
2.1. Elméleti összefoglaló
Az 1.5. pontban megállapítottuk, hogy a kritikus (indifferens) egyensúly kritériumát
kifejezhetjük a szomszédhelyzet egyensúlyára vagy a potenciális energia 2. variációjára
vonatkozó követelménnyel. Ennek megfelelően a stabilitási kérdések megoldására két fő
módszer alakult ki:
■ az egyensúlyi módszer, és
■ az energiamódszer (3. FEJEZET).
A nagyobb alakváltozások tartományában, a másodrendű (II. rendű) elmélet keretében az
alakváltozásokkal módosított megváltozott tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az
összeférhetőségi (geometriai) egyenleteket.
Az alkalmazott
sinΘ ≈ Θ, cosΘ ≈ 1,
≈ ± y'' (IIa-c)
geometriai közelítések miatt a geometriai egyenletek lineárisak.
Az R görbületi sugarat és az y lehajlást/eltolódást és deriváltjait l. még az 1.2. ábrán. Ezek a
közelítések csak a viszonylag kis alakváltozások tartományában kielégítően pontosak. Az
elmélet attól másodrendű, hogy az egyensúlyi egyenletek tartalmazzák az alakváltozásokat is,
így a végeredményként kapott összefüggések nemlineárisak lesznek.
A teher – elmozdulás függvényt, azaz a P – y függvényt, egyensúlyi útnak (1.6. –
1.11. ábra) nevezzük. Másodrendű elmélettel jó közelítéssel le lehet írni a 2 másodlagos
(posztkritikus) egyensúlyi út kezdeti szakaszát.
A kezdeti posztkritikus szakasz kiindulópontja a Pkr,l ún. lineáris kritikus terhet ábrázoló
pont. Azért nevezzük lineárisnak(l) ezt a fajta kritikus terhet, mert a feladat egyensúlyi
módszerrel történő megoldása során az y kihajlási alaknak és a deriváltjainak csak az 1.
hatványát vesszük figyelembe.
Pl. a 2.2.1. pontban szereplő (1) differenciálegyenlet olyan egyensúlyi egyenlet, mely
magában foglalja az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet is. Az (1) egyenlet a mondottak
értelmében lineáris.
Page 23
23
A differenciálegyenlet általános megoldása után (melyben ismeretlen állandók szerepelnek), a
sajátfüggvények általános alakjának ismeretében, a számunkra szükséges legkisebb kritikus
terhet, azaz a legkisebb sajátértéket a kerületi feltételek felírása révén kapott mátrix
szingularitásának feltétele szolgáltatja (a kihajlási determináns zérusértékűsége).
A feladat tehát a vizsgált nyomott rúd kihajlásakor létrejövő tartóalak egyensúlyát kifejező
differenciálegyenlet legkisebb sajátértékének a meghatározása. Ezt a folyamatot a
továbbiakban példákon keresztül mutatjuk be.
Az 1.1. pontban tárgyalt alapfeltevéseken felül még az alábbi közelítésekkel élünk:
■ a kritikus erő felléptéig, tehát az alaphelyzetben keletkező
megrövidülést elhanyagoljuk (εo ≈ 0);
■ elhanyagoljuk a kihajláskor fellépő nyíróerő okozta nyírási
alakváltozásokat (osztott szelvényű rudaknál ezt figyelembe kell
venni; l. az Acélszerkezetek c. tárgy keretében).
Page 24
24
2.2. Gyakorlati alkalmazások
2.2.1. A kétcsuklós rúd kihajlása elágazással
Tekintsünk egy olyan síkbeli rudat, mely
•homogén (azonos fizikai tulajdonságok minden pontban),
•izotrop (minden irányban azonos fizikai tulajdonságok),
•lineárisan rugalmas anyagú (Hooke-törvény),
•állandó keresztmetszetű,
•geometriailag tökéletes (egyenes).
A másodrendű (II. rendű) elmélet keretében az alakváltozásokkal módosított megváltozott
tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi (geometriai) egyenleteket. Az
alkalmazott
sinΘ ≈ Θ, cosΘ ≈ 1,
≈ ± y'' (IIa-c)
geometriai közelítések miatt a geometriai egyenletek lineárisak. A közelítések csak a
viszonylag kis alakváltozások tartományában kielégítően pontosak. Íly módon a Pkr,l ún.
lineáris kritikus terhet kaphatjuk meg. Ezt a terhet elágazási kritikus tehernek is nevezzük,
mert az egyensúly ebben a pontban elágazik: a kritikus pontban egyensúly lehetséges az
eredeti (egyenes) alakon kívül egy szomszédos, kihajlott (kigörbült) alakban is: 2.1. ábra.
Esetünkben az M = −EIy '' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra) is magában foglaló
egyensúlyi egyenlet az alábbi:
EIy'' + Py = 0. (1)
A sajátérték feladatot leíró fenti (1) differenciálegyenlet általános megoldása:
y = y(x) = Acoskx + Bsinkx, (2) ahol
k2 =
. (3)
Az A és a B állandót az alábbi kerületi feltételekből kapjuk:
y(x=0) = 0, (4a)
y(x=l) = 0. (4b)
A (4a) kerületi feltételből A = 0 adódik. A (4b) kerületi feltétel alapján
y(x=l) = Bsinkl = 0. (5)
Page 25
25
Ez az egyenlet az eredeti egyenes alakhoz tartozó B=0 triviális megoldáson (alaphelyzetbeli
egyenes tartóalak: nincs kihajlás) kívül akkor is kielégül, ha
kl = nπ, (6)
ahol n = 1,2,3,…
Ez az összefüggés tehát a k paraméter értékeit meghatározza, megköti. Az (1)
differenciálegyenletnek csak a k paraméter különleges, a (6) összefüggéssel definiált diszkrét
értékei mellett van megoldása (ezért hívjuk k-t sajátértéknek).
A k paraméter ezen értékeit a differenciálegyenlet sajátértékeinek nevezzük. Nekünk a k
sajátértékekkel a (3) szerint összefüggő P erők értékeire van szükségünk, ezért a P erők
értékeit is sajátértékeknek nevezzük. A (3) összefüggés felhasználásával a P erők értékei:
P = n2
. (7)
A rúdnak tehát elágazásnál végtelenül sok (n = 1,2,3,…) egyensúlyi alakja van (2.1. ábra).
A differenciálegyenlet megoldásfüggvényeit sajátfüggvényeknek nevezzük. Ezen
sajátfüggvények alakja a (2) egyenlet szerint:
y = Bsin
x. (8)
A hullámvonal legnagyobb amplitudója n = 1 esetén az x=l/2 helyen lép fel. Nagysága:
ym = B. (9)
A B amplitudó az alkalmazott másodrendű elmélet keretében nem határozható meg, mert az
elmélet csak a kis alakváltozások tartományában érvényes.
A mérnököt csak a legkisebb sajátérték érdekli, ez n = 1-hez tartozik:
Pkr,l = Pkr =
= PE.
(10)
Ezt hívjuk lineáris (l) kritikus erőnek/tehernek. Első meghatározója Euler német tudós volt
a 18. században. Tiszteletére PE−nek is jelöljük. A továbbiakban a Pkr,l jelölésből általában
elhagyjuk a linearitásra utaló l indexet.
Page 26
26
A tervezési gyakorlatban a kritikus erő mellett gyakran az lo ún. (helyettesítő) kihajlási hossz
vagy kihajlási félhullámhossz (az inflexióspontok közötti távolság) értékét használjuk. Ezt az
alábbi egyenlet definiálja:
Pkr =
.
(11)
Itt
lo = νl, (12)
ahol l a rúd tényleges hossza és ν a (helyettesítő) kihajlási hossz paramétere.
Esetünkben lo = l, tehát ν = 1.
Tekintsük még egyszer a 2.1. ábrát (alul):
Amíg P < Pkr,l addig az egyedül lehetséges egyensúlyi alak az egyenes alak, és a rúd stabilis
egyensúlyi állapotban van. Ha P = Pkr,l , akkor az egyensúly kritikussá/indifferensé válik, a
rúd kissé kihajlott szomszédhelyzetben is egyensúlyban lehet. Ha P > Pkr,l , akkor kétféle
egyensúlyi alak lehetséges: 1 a labilis egyenes alak és a 2 stabilis kihajlott alak.
Bármilyen kis zavarás (inhomogenitás, tökéletlenségek stb.) hatására a rúd az 1 labilis alakból
átmegy a 2 stabilis alakba. A Pkr,l kritikus erőnél tehát az egyensúlyi alak több ágra bomlik.
A vizsgált jelenséget ezért hívjuk elágazási jelenségnek.
L. még az 1.6., 1.7., 1.10. ábrát.
Page 27
27
2.2.2. Vegyes peremfeltételű, egymezős rudak kihajlása elágazással
2.2.2.a) Konzol lineáris kritikus terhe
L. a 2.2. ábrát.
2.2.2.b) Az egyik végén befogott, a másik végén
csuklós rúd lineáris kritikus terhe.
L. a 2.3. ábrát.
2.2.2.c) Mindkét végén befogott rúd lineáris
kritikus terhe.
L. a 2.4. ábrát.
2.2.2.d) Mindkét végén befogott, kilendülő
rúd lineáris kritikus terhe.
L. a 2.5. ábrát.
2.2.3. Középen rugóval is megtámasztott
kétcsuklós rúd kihajlása elágazással
A 2.6. ábrán az A-B pontok közötti nyomott rúd a C ponton rugalmasan meg van támasztva
y irányú (vízszintes) eltolódás ellen. A Hooke törvénynek megfelelően felírhatjuk, hogy a C
reakcióerő a c [kNm-1] rugóállandóval arányos a C pontbeli yC eltolódással:
C = cyC. (1)
A Pkr = Pkr,l elágazási kritikus erőt keressük. Az eddigiek alapján tudjuk, hogy a
kritikus (indifferens) egyensúly esetén az alaphelyzetbeli egyenes alakon kívül egy
szomszédhelyzet kihajlott alakja is lehetséges. Szemlélet alapján belátható, hogy a kihajlott
alak kétféle lehet: antimetrikus (I) és szimmetrikus (II).
Page 28
28
Kritikus (indifferens) egyensúly esetében a kihajlott szomszédhelyzetben is megmarad az
egyensúly, amit a reakcióerőkre így írhatunk fel:
A+B+C = 0. (2) A C jelű pontra felírt nyomatéki egyensúly:
Al1−Bl2 = 0. (3)
A (2) és a (3) egyenletből ez adódik:
A = −
és B = −
. (4)
Az A−C nyílásban az egyensúlyi egyenlet a következő:
Py1 + EIy1'' –
= 0. (5a)
Hasonlóképpen a B−C nyílás egyensúlyi egyenlete:
Py2 + EIy2'' −
= 0. (5b)
Ezek általános megoldása:
y1 = A1sinkx1 + B1coskx1 +
, (6a)
y2 = A2sinkx2 + B2coskx2 +
, (6b)
ahol
k2 =
. (7)
A kerületi feltételek az A és B pontbeli eltolódás zérus voltát, továbbá a C pontbeli közös
eltolódás és érintő (1. derivált) feltételét fejezik ki:
y1(x1=0) = 0, (8a)
y2(x2=0) = 0, (8b)
y1(x1= l1) =
, (8c)
y2(x2= l2) =
, (8d)
y1'(x1= l1) = −y2'(x2= l2), (8e)
A (8a) és a (8b) feltétel alapján
B1 = B2 = 0 . (9)
Page 29
29
A (8c) – (8e) feltételekből ezt az egyenletrendszert kapjuk:
A1sinkl1 +
(
–
) = 0, (10a)
+A2sinkl2 +
(
–
) = 0, (10b)
A1kcoskl1 + A2kcoskl2 +
= 0. (10c)
Legyen a továbbiakban az egyszerűség és áttekinthetőség kedvéért
l1 = l2= l =
. (11)
Ez esetben a (10a-c) egyenletrendszer így módosul (P-vel beszorozva):
A1sinkl + C(
–
) = 0, (12a)
+A2sinkl + C(
–
) = 0, (12b)
A1kcoskl +A2kcoskl + C = 0. (12c)
A kihajlás pillanatában az egyenletrendszer mátrixa szinguláris, tehát a mátrix determinánsa
0 értékű:
DET = sin2 kl − (
–
)ksink2l = 0. (13)
A (13) egyenlet ebben az alakban is felírható:
sinkl{sinkl − 2k(
–
)coskl} = 0. (14)
Page 30
30
Elemezzük a lehetséges megoldásokat.
I. megoldás : antimetrikus kihajlás
Nézzük azt az esetet, ha a { } zárójelen kívüli függvény értéke 0:
sinkl = 0. (15) Ez a jól ismert Euler-féle kétcsuklós rúd esete: 2.2.1. pont. Ekkor
Pkr = PE =
. (16)
A (12a) egyenletből megállapítható, hogy, ha a (15) fennáll, akkor C = 0 kell legyen. A
C = 0-ból a (12c) alapján az következik, hogy A1 = −A2 (a szemléletünkkel összhangban). Tehát
a teljes kihajlott rúd alakja antimetrikus, úgy ahogy azt a 2.6. ábrán feltüntettük.
II. megoldás: szimmetrikus kihajlás
Ha a { } zárójelen belüli függvény értéke 0, akkor az alábbi transzcendens egyenlet
szolgáltatja a P = Pkr kritikus erőket:
sinkl − 2k(
–
)coskl = 0. (17a)
Más alakban ugyanez:
tgkl − kl(1 –
) = 0. (17b)
Ez a transzcendens egyenlet c = 0 esetén coskl = 0 –ra vezet, amiből kl = nπ/2 következik.
Ebből n = 1 felvételével a (7) egyenlet segítségével azt kapjuk, hogy
Pkr =
( ) .
(18)
Tehát azt a tényt, hogy amikor a rúd középen nincs megtámasztva, úgy hajlik ki, mint egy
2l hosszúságú rúd, ez a számítás is igazolja.
Ha a c→∞ esetet vizsgáljuk, akkor tgkl = kl, amit a 2.2.2.b) pontban már megoldottunk:
Pkr = 2,046
. (19)
Ekkor tehát a rúd úgy hajlik ki, mintha a C pontban be lenne fogva. A 2.6. ábrán
feltüntettük, hogy a szimmetrikus kihajlás (II) függvénye ehhez a határértékhez
aszimptotikusan közelít.
Page 31
31
Az antimetrikus (I) és a szimmetrikus (II) eset közül az érvényesül, amelyik kisebb Pkr-t
szolgáltat. Ezt az ábrán vastag folytonos vonallal ábrázoltuk, mégpedig a (16) és a (17b)
összefüggés alapján.
Érdemes megfigyelni, hogy a rugó c merevségét egy bizonyos cH határértéken felül nem
érdemes növelni, mert e fölött mindenképpen antimetrikus kihajlás jön létre. A cH határérték
nagysága:
cH =
=
. (20)
Itt PE = (16).
Page 32
32
2.2.4. Folytonosan rugalmasan ágyazott kétcsuklós
rúdkihajlása elágazással
Tekintsünk egy két végén csuklósan megtámasztott rudat, amely egész hosszában folytonosan
rugalmasan alá van támasztva (2.2. ábra).
A keresztirányú (függőleges) y(x) eltolódással szemben azzal arányos megoszló reakcióerő lép
fel, melynek nagysága:
q = q(x) = cy(x). (1)
Itt c [kNm-2
] a rugóállandó, az a megoszló erő, amely a rugalmas támaszon egységnyi
összenyomódást idéz elő. Az (1) összefüggés a Winkler-féle rugalmas ágyazási törvény.
Megjegyezzük, hogy a talaj csak nyomást tud felvenni, ezért az eljárás húzófeszültségek
kialakulása esetén közelítő (a most vizsgált esetben nincsenek húzófeszültségek).
A dx hosszúságú rúdelem alábbi egyensúlyi egyenletei az 1.2. ábrán látható egyenletek
módosításai, mégpedig –p = q(x) és a P nyomóerő figyelembevételével:
qdx – dT = 0,
Tdx – dM + Pdy = 0. (2a-b)
A differenciálhányados szokásos d( )/dx = ( )' rövidítésével, és az (1) bevezetésével, a
fentiekből ezeket kapjuk: q = T' = cy,
T – M' + Py' = 0. (2c-d)
A (2d) egyenletet differenciálva és az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra)
behelyettesítve adódik a kihajlott rúdtengely differenciálegyenlete:
EIy'''' + Py'' + cy = 0. (3)
Bevezetve a
k2 =
, (4)
α2 =
(5)
rövidítéseket, a differenciálegyenlet ezt az alakot ölti:
y'''' + k2y'' + α
2y = 0. (6)
A differenciálegyenlet általános megoldása:
y = y(x) = C1sinAx + C2sinBx + C3cosAx + C4cosBx . (7)
Page 33
33
A C1, C2, C3, C4 állandók meghatározására egy 4-ismeretlenes egyenletrendszert lehet felírni
a kerületi feltételek alapján.
A kerületi feltételek:
y(x=o) = 0,
y(x=l) = 0,
y''(x=o) = 0, (8a-d)
y''(x=l) = 0.
A kihajlás pillanatában az egyenletrendszer mátrixa szinguláris, tehát a mátrix determinánsa
0 értékű. A kihajlási egyenletrendszert, annak bonyolultsága miatt, már nem írjuk fel.
A megoldás:
Pkr = PE [ n2
+
], (9)
ahol
PE =
,
(10)
u2
=
. (11)
Ebben a képletben n azt jelenti, hogy a rúd kihajlási alakjában hány félhullám van. A
2.7. ábrán feltüntettük azt az ún. csipkegörbét, amely n = 1,2,3,… felvételével számítható.
Igazolható, hogy a csipkegörbe alsó burkolója az alábbi, az egyeneshez igen közel álló
görbe:
Pkr≈ 2√ . (12)
Megjegyzés: ha a rúd mindkét vége teljesen szabad (csukló sincs ott, mint az előbb), akkor
használhatjuk az alábbi közelítő összefüggést:
Pkr≈ √ . (13)
Page 34
34
3. AZ ENERGIAMÓDSZER
Az egyensúlyi módszerrel egyes szerkezetek Pkr,l elágazási kritikus terheit határoztuk meg
(2. FEJEZET). Energiamódszerrel ezeken kívül a teljes egyensúlyi utat is leírjuk.
3.1. Elméleti összefoglaló
Az 1.5. pontban megállapítottuk, hogy a kritikus (indifferens) egyensúly kritériumát
kifejezhetjük a szomszédhelyzet egyensúlyára vagy a potenciális energia 2. variációjára
vonatkozó követelménnyel. Ennek megfelelően a stabilitási kérdések megoldására két fő
módszer alakult ki:
■ az egyensúlyi módszer (2. FEJEZET), és
■ az energiamódszer.
3.1.1. Modern energetikai eljárás
Az alkalmazott modern energiamódszer lényegét az 1.5. ábrán összefoglalt eljárás jelenti.
Ennek a részleteit a 3.2. pontban tárgyaljuk.
3.1.2. Klasszikus módszerek
A klasszikus energiamódszerek keretében két gyakran alkalmazott eljárást ismertetünk
röviden.
3.1.2.a) A Ritz-Timoshenko-féle módszer
Az eljáráshoz először is a kihajlási alakot megadó, de egyelőre ismeretlen y = y(x)
függvényt egy η(x) függvénysorral közelítjük meg:
y ≈ η(x) = a1η1(x) + a2η2(x) + a3η3(x) +…+ anηn(x). (3.1.)
Ebben a függvénysorban az η1(x), η2(x), η3(x),…,ηn(x) lineárisan független
függvényeknek ki kell elégíteniük a geometriai kerületi feltételeket, tehát amelyek a tartó
alakjára vonatkoznak (pl. y=0 vagy/és y' = 0 a tartóvégen).
Page 35
35
Az a1, a2, a3, … an tényezőket úgy kell megállapítani, hogy az η(x) függvény a legkisebb
hibával elégítse ki a δ2Πo = 0 feltételt. L. a (X) egyenletet az 1.5. pontban.
Ez a feltétel azt jelenti, hogy az alábbi minimum-feladatot kell megoldani:
∂( δ2Πo )/∂a1 = 0,
∂( δ2Πo )/∂a2 = 0,
… (3.2.)
∂( δ2Πo )/∂an = 0.
Ezek a feltételek n db homogén, lineáris egyenletet adnak az ismeretlen a1, a2, a3, … an
együtthatókra. Az egyenletrendszer determinánsát zérussá téve kaphatjuk meg a keresett
P sajátértékeket ( n db P erő). Ezek közül a legkisebb a Pkr = Pkr,l lineáris kritikus erő.
Megjegyezzük, hogy az energiamódszer felső korlátot szolgáltat. Tehát felülről közelíti a
pontos kritikus erőt, a valóságos kritikus erő az így kapottnál kisebb. Minél több tagot
veszünk fel annál jobb a közelítés, de annál több természetesen a munka.
3.1.2.b) A Galerkin-féle módszer
Ez a módszer esetenként egyszerűbb, mint a Ritz-Timoshenko-féle eljárás. Főleg azért,
mert ehhez nincs szükség a potenciális energia 2. variációjának ismeretére, elég a kihajlási
alak egyensúlyi differenciálegyenletének az ismerete.
Az eljáráshoz ez esetben is először a kihajlási alakot megadó, de egyelőre ismeretlen
y = y(x) függvényt egy η(x) függvénysorral közelítjük meg:
y ≈ η(x) = a1η1(x) + a2η2(x) + a3η3(x) +…+ anηn(x). (3.3.)
Ebben a függvénysorban az η1(x), η2(x),η3(x),…,ηn(x) lineárisan független
függvényeknek ki kell elégíteniük nemcsak a geometriai kerületi feltételeket (pl. y=0
vagy/és y' = 0 a tartóvégen), hanem a fizikai/statikai kerületi feltételeket (pl. M = 0, azaz y''
= 0 a tartóvégen) is.
Az egyszerű tárgyalás érdekében vegyük a 2.2.1. pont (1) egyensúlyi egyenletét:
EIy'' + Py = 0. (3.4.)
Page 36
36
Mivel az η(x) függvény közelítő, a fenti egyensúlyi egyenlet y(x) ≈ η(x)-re csak egy
bizonyos X hibával teljesül:
EIη'' + Pη = X. (3.5.)
A Galerkin-féle módszer definiáló egyenlete az alábbi:
l
∫ Xηi(x)dx = 0. (3.6.)
0
i = 1,2,…,n
Ha az X hibafüggvényt az η(x) függvény lineárisan független ηi(x) komponensei szerint
sorbafejtve képzeljük el, akkor az ortogonalitás miatt a (3.6.) egyenlet az X hibafüggvény
zérushoz tartását fejezi ki (ortogonalitás: az ηi (x)függvények szorzatintegrálja zérus). Az X
hibafüggvény tehát ortogonális az η(x) függvény minden egyes ηi(x) komponensére.
A (3.6.) összefüggés n db homogén, lineáris egyenletet ad az ismeretlen a1, a2, a3, … an
tényezőre. Az egyenletrendszer determinánsát zérussá téve kaphatjuk meg a keresett P
sajátértékeket ( n db P erő). Ezek közül a legkisebb a Pkr = Pkr,l lineáris kritikus erő.
Megjegyezzük, hogy ez az eljárás is, mint minden energetikai eljárás felső korlátot
szolgáltat. Tehát felülről közelíti a pontos kritikus erőt, a valóságos kritikus erő az így
kapottnál kisebb. Minél több tagot veszünk fel annál jobb a közelítés, de annál több
természetesen a munka.
Page 37
37
3.2. Gyakorlati alkalmazások
3.2.1. Szimmetrikus stabilis elágazás.
A rugalmasan befogott konzol egyensúlyi útjai
Az 1.6. pontbeli elméleti fejtegetéseket most egy gyakorlati példán keresztül szemléltetjük.
Tekintsük a 3.1. ábrán vázolt, cα [kNm] rugóállandójú elfordulási rugóval megtámasztott,
tetején P koncentrált erővel terhelt, végtelenül merevnek tekintett konzolt. Ezt a feladatot
először Marguerre (1950), majd a következőkben ismertetett alakban, III. rendű elmélettel
Augusti (1961) oldotta meg.
A Θk geometriai tökéletlenséggel bíró rúd tetőpontbeli A jelű pontja függőlegesen wA
mértékben süllyed:
wA = l(cosΘk – cosΘ). (1) A rugóban fellépő nyomaték:
M = cα(Θ – Θk). (2)
Emlékeztetünk az 1.3. pontra, ahol megállapítottuk, hogy a külső munka/pot. energia
képzésekor elmarad az 1/2 szorzó ( és Πk = –Lk ). Ennek megfelelően a külső (k) és a
belső (b) potenciális energia, valamint ezek összege a Π teljes potenciális energia a
következő:
Πk = – Lk = – PwA ,
Πb = Lb =
M(Θ–Θk) , (3a-c)
Π = Πb + Πk =
cα(Θ–Θk)
2– Pl(cosΘk–cosΘ).
Egyváltozós (Θ) potenciálú rendszerekre készítettük az 1.5. ábrát, amely összefoglalja az
egyensúly típusának meghatározását a potenciális energia segítségével. Amint az 1.3.2.
pontban már említettük, a variációkkal úgy dolgozhatunk, mint differenciálokkal, ezért ezen
az ábrán közönséges differenciálhányadosokkal dolgozunk. A differenciálhányadosokra
egyszerűbb jelölést használunk, pl. δΠ→dΠ/dΘ = ΠΘ. A δΠ→ΠΘ és a δ2Π→ΠΘΘ
mennyiséget az eddigiekben részletesen elemeztük.
Az 1.3.3. pontban megfogalmaztuk, hogy az egyensúly szükséges és elégséges feltétele
energetikailag a Π potenciális energia állandó értékűségét jelenti, tehát:
ΠΘ = 0. (4) Az 1.5. ábrán ebből indultunk ki.
Page 38
38
Esetünkben ez a Θ szerinti közönséges deriválás feltétele az alábbi eredményt szolgáltatja a
Π potenciális energia ΠΘ 1. variációjára:
ΠΘ = cα(Θ– Θk) – PlsinΘ = 0. (5)
Ez tehát a konzol egyensúlyi útjának egyenlete.
Vizsgáljuk meg ezt először a geometriailag tökéletes szerkezet esetére:
I. Geometriailag tökéletes szerkezet: Θk = 0
Ekkor tehát az (5) alapján ez érvényes:
cαΘ – PlsinΘ = 0. (6) Ezt az összefüggést átalakítva azt kapjuk, hogy:
sinΘ(
– Pl) = 0. (7)
Az elsődleges egyensúlyi utat a
sinΘ = 0 Θ = 0 (8) feltétel írja le, mert ez a kihajlás előtti egyenes alak egyenlete.
A kihajlott alaknak megfelelő másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út egyenlete:
– Pl = 0, (9)
amiből ez az egyensúlyi út következik:
P =
. (10)
A Pkr,l = Pkr elágazási (lineáris) kritikus erőt a (8) és a (10) görbe metszéspontja szolgáltatja,
tehát:
limP =
.
Θ 0
Ebből adódik az elágazási (lineáris) kritikus erő képlete:
Pkr,l = Pkr =
. (11)
Page 39
39
Az 1.5. ábrának megfelelően vizsgáljuk meg most a Π potenciális energia 2., 3. és 4.
variációját annak érdekében, hogy meg tudjuk állapítani az elágazás típusát.
A ΠΘΘ 2. variáció az (5) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással adódik:
ΠΘΘ = cα – PlcosΘ , (12)
ami
ΠΘΘ = cα[1–
cosΘ]. (13)
alakra hozható. Ebből a (10) és a (11) behelyettesítésével az alábbi összefüggés következik:
ΠΘΘ = cα[1–
]. (14)
Az elsődleges egyensúlyi út esetén Θ = 0, ezért ha P < Pkr, akkor a (13) összefüggés
szerint ΠΘΘ > 0, azaz az egyensúlyi út stabilis. Ha P > Pkr, akkor ΠΘΘ < 0, tehát labilis
az egyensúlyi út. L. a 3.1. ábra P tengelyét.
A másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi úthoz tartozó (14) egyenletből szintén ΠΘΘ > 0 következik, tehát a másodlagos egyensúlyi út is stabilis.
Nézzük most meg az 1.5. ábra alapján, hogy szimmetrikus-e az elágazás?
A ΠΘΘΘ 3. variáció a (12) egyenletből Θ szerinti deriválással kapható:
ΠΘΘΘ = PlsinΘ. (15)
Mivel a Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban)
ΠΘΘΘ = 0, (16) az elágazás szimmetrikus.
Vizsgáljuk most meg az 1.5. ábra alapján azt, hogy stabilis-e az elágazás?
A ΠΘΘΘΘ 4. variáció a (15) egyenletből Θ szerinti deriválással adódik:
ΠΘΘΘΘ = PlcosΘ. (17)
Ez a Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban) pozitív, azaz
ΠΘΘΘΘ > 0, (18) tehát az elágazás stabilis.
Megállapítottuk tehát, hogy az elágazás szimmetrikus stabilis.
Page 40
40
II. Geometriailag tökéletlen szerkezet: Θk ≠ 0
Az egyensúly (5) feltétele írja le az egyensúlyi utat:
ΠΘ = cα(Θ – Θk) – PlsinΘ = 0, (19)
azaz
P = cα
–
= Pkr
–
. (20)
A ΠΘΘ 2. variáció a (19) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással származtatható:
ΠΘΘ = cα – PlcosΘ = cα[1–
cosΘ]. (21)
Ide behelyettesítve a (20)-at, az alábbi összefüggés adódik:
ΠΘΘ = cα[1–
]. (22)
Elemezve a (22) összefüggést megállapítható, hogy ΠΘΘ > 0, azaz az egyensúly stabilis. A
3.1. ábrán a vékony folytonos vonallal megrajzolt szimmetrikus görbék a (20) egyenlettel
rajzolhatók fel. Ezek az 1.6. pontban említett ún. természetes egyensúlyi utak.
Elágazás nem jön létre, a vékony vonallal jelzett görbék – melyek a geometriailag tökéletlen
szerkezet egyensúlyi útjai – a geometriailag tökéletes szerkezet egyensúlyi útjához
aszimptotikusan közelednek. Az 1 – 2 diagram alatti görbék, azaz a természetes
egyensúlyi utak minden pontjában stabilis az egyensúly.
Jelen szimmetrikus stabilis elágazásnál a tökéletlenség-érzékenységi diagram fiktív, nem
létezik. Az ilyen szerkezetek kevéssé érzékenyek a tökéletlenségekre.
Page 41
41
3.2.2. Szimmetrikus labilis elágazás.
Eltolódás ellen rugalmasan megtámasztott rúd egyensúlyi útjai
Az 1.6. pontbeli elméleti fejtegetéseket most egy további gyakorlati példán keresztül
szemléltetjük.
Adott a 3.2. ábrán vázolt, c [kNm-1] rugóállandójú eltolódási rugóval megtámasztott, tetején
P koncentrált erővel terhelt, végtelenül merevnek tekintett, alul csuklós rúd. Ezt a feladatot
Koiter (1962), majd Augusti (1964) oldotta meg a következőkben ismertetett alakban,
III. rendű elmélettel.
A Θk geometriai tökéletlenséggel bíró rúd tetőpontbeli A jelű pontja függőlegesen wA
mértékben, vízszintesen uA mértékben tolódik el:
wA = l(cosΘk – cosΘ), (1a)
uA = l(sinΘ – sinΘk ). (1b)
A rugóban fellépő erő:
H = cuA . (2) Emlékeztetünk az 1.3. pontra, ahol megállapítottuk, hogy a külső munka/pot. energia
képzésekor elmarad az 1/2 szorzó ( és Πk = –Lk ). Ennek megfelelően a külső(k) és a belső(b)
potenciális energia, valamint ezek összege a Π teljes potenciális energia, a következő:
Πk = – Lk = – P wA ,
Πb = Lb =
HuA , (3a-c)
Π = Πb + Πk =
cl
2(sinΘ – sinΘk)
2– Pl(cosΘk – cosΘ).
Egyváltozós (Θ) potenciálú rendszerekre készítettük az 1.5. ábrát, amely összefoglalja az
egyensúly típusának meghatározását a potenciális energia segítségével. Amint az 1.3.2.
pontban már említettük, a variációkkal úgy dolgozhatunk, mint differenciálokkal, ezért ezen
az ábrán közönséges differenciálhányadosokkal dolgozunk. A differenciálhányadosokra
egyszerűbb jelölést használunk, pl. δΠ→dΠ/dΘ = ΠΘ. A δΠ→ΠΘ és a δ2Π→ΠΘΘ
mennyiséget az eddigiekben részletesen elemeztük.
Az 1.3.3. pontban megfogalmaztuk, hogy az egyensúly szükséges és elégséges feltétele
energetikailag a Π potenciális energia állandó értékűségét jelenti, tehát:
ΠΘ = 0. (4) Az 1.5. ábrán ebből indultunk ki.
Esetünkben ez a Θ szerinti közönséges deriválás feltétele az alábbi eredményt szolgáltatja a
Π potenciális energia ΠΘ 1. variációjára:
ΠΘ = cl2(sinΘ – sinΘk)cosΘ – PlsinΘ = 0. (5)
Ez tehát a rúd egyensúlyi útjának egyenlete.
Page 42
42
Vizsgáljuk meg ezt először a geometriailag tökéletes szerkezet esetére:
I. Geometriailag tökéletes szerkezet: Θk = 0
Ekkor tehát az (5) alapján ez érvényes:
cl2sinΘcosΘ – PlsinΘ = 0. (6)
Ezt az összefüggést átalakítva azt kapjuk, hogy:
sinΘ(clcosΘ – P) = 0. (7)
Az elsődleges egyensúlyi utat a
sinΘ = 0 Θ = 0 (8) feltétel írja le, mert ez a kihajlás előtti egyenes alak egyenlete .
A kihajlott alaknak megfelelő másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út egyenlete:
clcosΘ – P = 0, (9)
amiből ez az egyensúlyi út következik:
P = clcosΘ. (10)
A Pkr,l = Pkr elágazási kritikus erőt a (8) és a (10) görbe metszéspontja szolgáltatja, tehát:
limP = cl.
Θ 0
Ez az elágazási (lineáris) kritikus erő képlete:
Pkr,l = Pkr = cl. (11)
Az 1.5. ábrának megfelelően vizsgáljuk meg most a Π potenciális energia 2., 3. és 4.
variációját annak érdekében, hogy meg tudjuk állapítani az elágazás típusát.
A ΠΘΘ 2. variáció az (5) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással kapható:
ΠΘΘ = cl2(cos
2Θ – sin
2Θ) – PlcosΘ, (12)
ami
ΠΘΘ = cl2[cos2Θ –
cosΘ]. (13)
alakra hozható.
Page 43
43
Az elsődleges egyensúlyi út esetén Θ = 0, ezért ha P < Pkr, akkor a (13) összefüggés
szerint ΠΘΘ > 0, azaz az egyensúlyi út stabilis. Ha P > Pkr, akkor ΠΘΘ < 0, tehát labilis
az egyensúlyi út. L. a 3.2. ábra P tengelyét.
A (13)-ból a (10) és a (11) behelyettesítésével az alábbi összefüggés következik:
ΠΘΘ = – cl2sin
2Θ . (14)
A másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi úthoz tartozó (14) egyenletből ΠΘΘ < 0 következik, tehát a másodlagos egyensúlyi út labilis.
Nézzük most meg az 1.5. ábra alapján, hogy szimmetrikus-e az elágazás?
A ΠΘΘΘ 3. variáció a (13) egyenletből Θ szerinti deriválással adódik:
ΠΘΘΘ = – cl2[2sin2Θ –
sinΘ] . (15)
Mivel a Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban)
ΠΘΘΘ = 0, (16) az elágazás szimmetrikus.
Vizsgáljuk most meg az 1.5. ábra alapján azt, hogy stabilis-e az elágazás?
A ΠΘΘΘΘ 4. variáció a (15) egyenletből Θ szerinti deriválással kapható:
ΠΘΘΘΘ = – cl2[4cos2Θ –
cosΘ]. (17)
Ez a Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban) negatív, azaz
ΠΘΘΘΘ = – 3cl2 < 0, (18)
tehát az elágazás labilis.
Megállapítottuk tehát, hogy az elágazás szimmetrikus labilis.
Page 44
44
II. Geometriailag tökéletlen szerkezet: Θk ≠ 0
Az egyensúly (5) feltétele írja le az egyensúlyi utat:
ΠΘ = cl2{(sinΘ – sinΘk)cosΘ –
sinΘ} = 0. (19)
azaz
=
= cosΘ(1 –
) . (20)
A ΠΘΘ 2. variáció a (19) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással származtatható:
ΠΘΘ = cl2{(cos
2Θ – sin
2Θ + sinΘsinΘk) –
cosΘ} . (21)
Ez az összefüggés a (20) felhasználásával az alábbi alakra hozható:
ΠΘΘ = cl2{– sin
2Θ +
}. (22)
A 3.2. ábrán a vékony folytonos és szaggatott vonallal megrajzolt szimmetrikus görbék a
(20) egyenlettel rajzolhatók fel. Ezek az 1.6. pontban említett természetes egyensúlyi utak.
Elágazás nem jön létre, ezek a görbék –melyek a geometriailag tökéletlen szerkezet
egyensúlyi útjai– a geometriailag tökéletes szerkezet egyensúlyi útjához aszimptotikusan
közelednek. Az 1 – 2 diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak
egyik ága stabilis, a másik ága labilis. Ezeket az ágakat a Pm maximális egyensúlyozható
teher választja el.
A geometriailag tökéletlen szerkezet Pm maximális egyensúlyozható terheit a megfelelő yk
tökéletlenségi amplitudó függvényében ábrázolva olyan jellegű tökéletlenség-érzékenységi
diagramot kapunk, amelyik világosan mutatja, hogy a szerkezet érzékeny geometriai
tökéletlenségekre, azaz viszonylag kis alakhibák jelentősen lecsökkenthetik a stabilitási
teherbírást. L. az 1.6./I.b) ábrát. Az ilyen szerkezetek mérnöki alkalmazásánál kellő
óvatossággal kell eljárni, megfelelő mértékű biztonsági tényezőt kell alkalmazni.
Most meghatározzuk ezen görbék Pm maximum pontjait is. A maximum pontokban
kritikus az egyensúly (de nincs elágazás), tehát ΠΘΘ = 0, ezért a (22) alapján ez írható fel:
sin3Θm = sinΘk, (23)
ahol Θm a Pm –hez tartozó Θ elfordulás.
Ebből a (20) alapján a maximum pontok képlete:
P = Pm = Pkrcos3Θm . (24)
Page 45
45
3.2.3. Aszimmetrikus elágazás.
Eltolódás ellen ferdén rugalmasan megtámasztott rúd egyensúlyi
útjai
Az 1.6. pontbeli elméleti fejtegetéseket most egy további gyakorlati példán keresztül
szemléltetjük.
Adott a 3.3. ábrán vázolt, c [kNm-1] rugóállandójú eltolódási rugóval ferdén megtámasztott,
tetején P koncentrált erővel terhelt, végtelenül merevnek tekintett, alul csuklós rúd. Ezt a
feladatot Zanaboni (1962), majd Augusti (1964) oldotta meg a következőkben ismertetett
alakban, III. rendű elmélettel.
A Θk geometriai tökéletlenséggel bíró rúd tetőpontbeli A jelű pontja függőlegesen wA
mértékben, míg rugóirányban vA mértékben tolódik el:
wA = l(cosΘk–cosΘ), (1a)
vA = l[sin(α–Θk) – sin(α–Θ)]. (1b)
A rugóban fellépő erő:
H = cvA . (2) Emlékeztetünk az 1.3. pontra, ahol megállapítottuk, hogy a külső munka/pot. energia
képzésekor elmarad az 1/2 szorzó ( és Πk = –Lk ). Ennek megfelelően a külső(k) és a
belső(b) potenciális energia, valamint ezek összege a Π teljes potenciális energia, a
következő:
Πk = – Lk = – P wA ,
Πb = Lb =
HvA , (3a-c)
Π = Πb + Πk =
cl
2[sin(α–Θk)–sin(α–Θ)]
2– Pl(cosΘk–cosΘ).
Egyváltozós (Θ) potenciálú rendszerekre készítettük az 1.5. ábrát, amely összefoglalja az
egyensúly típusának meghatározását a potenciális energia segítségével. Amint az 1.3.2.
pontban már említettük, a variációkkal úgy dolgozhatunk, mint differenciálokkal, ezért ezen
az ábrán közönséges differenciálhányadosokkal dolgozunk. A differenciálhányadosokra
egyszerűbb jelölést használunk, pl. δΠ→dΠ/dΘ = ΠΘ. A δΠ→ΠΘ és a δ2Π→ΠΘΘ
mennyiséget az eddigiekben részletesen elemeztük.
Az 1.3.3. pontban megfogalmaztuk, hogy az egyensúly szükséges és elégséges feltétele
energetikailag a Π potenciális energia állandó értékűségét jelenti, tehát:
ΠΘ = 0. (4) Az 1.5. ábrán ebből indultunk ki.
Esetünkben ez a Θ szerinti közönséges deriválás feltétele az alábbi eredményt szolgáltatja a
Π potenciális energia ΠΘ 1. variációjára:
ΠΘ = cl2[ sin(α–Θk)–sin(α–Θ)]cos(α–Θ)–Pl sinΘ = 0. (5)
Ez tehát a rúd egyensúlyi útjának egyenlete.
Page 46
46
Vizsgáljuk meg ezt először a geometriailag tökéletes szerkezet esetére:
I. Geometriailag tökéletes szerkezet: Θk = 0
Ekkor tehát az (5) alapján ez érvényes:
cl2[ sinα–sin(α–Θ)]cos(α–Θ)–Pl sinΘ) = 0. (6)
Ezt az összefüggést átalakítva azt kapjuk, hogy (sinΘ = 2sin
cos
):
sinΘ{cl
– P} = 0, (7)
ahol
A = [cos(α –
)]cos(α–Θ),
B = cos
. (7a,b)
Az elsődleges egyensúlyi utat a
sinΘ = 0 Θ = 0 (8) feltétel írja le, mert ez a kihajlás előtti egyenes alak egyenlete .
A kihajlott alaknak megfelelő másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út egyenlete:
cl
– P = 0, (9)
amiből ez az egyensúlyi út következik (A, B a (7a,b) szerint):
P = cl
. (10)
A Pkr,l = Pkr elágazási kritikus erőt a (8) és a (10) görbe metszéspontja szolgáltatja, tehát:
limP = cl.
Θ 0
A kritikus erőre ezt az összefüggést kapjuk:
Pkr,l = Pkr = clcos2α . (11)
Látható, hogy az α = 0-hoz tartozó Pkr = cl eredményt a (11) magában foglalja.
Page 47
47
Az 1.5. ábrának megfelelően vizsgáljuk meg most a Π potenciális energia 2., és 3. variációját
annak érdekében, hogy meg tudjuk állapítani az elágazás típusát.
A ΠΘΘ 2. variáció az (5) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással kapható:
ΠΘΘ = cl2[cos2(α–Θ)+sinαsin(α– Θ) –
cos
2αcosΘ]. (12)
Az elsődleges egyensúlyi út esetén Θ = 0, ezért ha P < Pkr, akkor a (12) összefüggés
szerint ΠΘΘ > 0, azaz az egyensúlyi út stabilis. Ha P > Pkr, akkor ΠΘΘ < 0, tehát labilis
az egyensúlyi út. L. a 3.3. ábra P tengelyét.
A másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi úthoz tartozó (12) egyenletből Θ > 0 esetén
ΠΘΘ > 0 következik, tehát a másodlagos egyensúlyi útnak ez az ága stabilis. Ha Θ < 0,
akkor ΠΘΘ < 0, azaz a másodlagos egyensúlyi útnak ez az ága labilis.
Nézzük most meg az 1.5. ábra alapján, hogy szimmetrikus-e az elágazás?
A ΠΘΘΘ 3. variáció a (12) egyenletből Θ szerinti deriválással adódik:
ΠΘΘΘ = cl2[2sin2(α–Θ)–sinαcos(α–Θ) +
cos
2αsinΘ]. (13)
A Θ = 0 esetben (tehát a Pkr elágazási kritikus pontban), ha α ≠ 0, akkor
ΠΘΘΘ ≠ 0, (14) tehát az elágazás aszimmetrikus.
Könnyen kimutatható, hogy ekkor
ΠΘΘΘ > 0. (15) Ezért az elágazás +Θ-val stabilis, azaz +Θ-val növekvő a teherbírás. L. a 3.3. ábrán.
Megállapítottuk tehát, hogy az elágazás a 3.3. ábra szerint aszimmetrikus.
Page 48
48
II. Geometriailag tökéletlen szerkezet: Θk ≠ 0
Az egyensúly (5) feltétele írja le az egyensúlyi utat:
ΠΘ = cl2[sin(α– Θk)–sin(α–Θ)]cos(α–Θ) – Pl sinΘ = 0. (16)
A 2. tagot cos2α/cos
2α-val bővítve és felhasználva a (11)-et adódik a
függvény:
=
cos(α–Θ), (17)
ahol
C = sin(α–Θk)–sin(α–Θ),
D = cos2αsinΘ . (17a-b)
A potenciális energia ΠΘΘ 2. variációja a (16) egyenlet alapján Θ szerinti deriválással
származtatható:
ΠΘΘ = cl2[ E –
cos
2αcosΘ] = 0, (18)
ahol
E = cos2(α–Θ) + sin(α–Θk)sin(α–Θ) . (18a)
A 3.3. ábrán a vékony folytonos és szaggatott vonallal megrajzolt görbék a (17) egyenlettel
rajzolhatók fel. Az 1 – 2 egyensúlyi út alatt ezek az 1.6. pontban említett természetes
egyensúlyi utak.
Elágazás nem jön létre, ezek a görbék –melyek a geometriailag tökéletlen szerkezet egyensúlyi
útjai– a geometriailag tökéletes szerkezet egyensúlyi útjához aszimptotikusan közelednek.
Az 1 – 2 diagram alatti vékony görbék, az ún. természetes egyensúlyi utak egyik ága
stabilis, a másik ága labilis. Ezeket az ágakat a Pm maximális egyensúlyozható teher
választja el. A stabilis 2 diagram alatti diagram szintén stabilis.
A geometriailag tökéletlen szerkezet Pm maximális egyensúlyozható terheit a megfelelő yk
tökéletlenségi amplitudó függvényében ábrázolva olyan jellegű tökéletlenség-érzékenységi
diagramot kapunk, amelyik világosan mutatja, hogy a szerkezet érzékeny geometriai
tökéletlenségekre, azaz viszonylag kis alakhibák jelentősen lecsökkenthetik a stabilitási
teherbírást. L. az 1.6./II.c) ábrát. Az ilyen szerkezetek mérnöki alkalmazásánál kellő
óvatossággal kell eljárni, megfelelő mértékű biztonsági tényezőt kell alkalmazni.
Most meghatározzuk ezen görbék Pm maximum pontjait is. A maximum pontokban kritikus
az egyensúly (de nincs elágazás), tehát ΠΘΘ = 0, ezért a (18) alapján ez írható fel [E = (18a)]:
=
. (19)
Page 49
49
3.2.4. Határpontos stabilitásvesztés.
A háromcsuklós tartó egyensúlyi útja (geom. tökéletes)
Az 1.6./II.d) ábrán az előzőektől alapvetően eltérő, ún. határpontos stabilitásvesztést
mutattunk be (stabilitásvesztés határponttal; átpattanás). A Pkr,h átpattanási (vagy felső) kritikus
tehernek megfelelő határpont (h) szintén stabilis és labilis ágakat választ szét, de ez nem
elágazási jelenség, nem sajátértékfeladat. A folyamat fizikai lényege az, hogy a szerkezet
belső ellenállása lassabban nő a külső igénybevételeknél. Ezt szokás az egyensúly
divergenciájának nevezni.
Az ilyenfajta teherhordó viselkedést az jellemzi, hogy az alakváltozások növekedésével
elérve a Pkr,h átpattanási kritikus tehernek megfelelő A jelű határpontot, a lapos szerkezet
az Á-val jelölt alulról domború helyzetbe átpattan, majd ettől kezdve egyre nagyobb terheket
képes hordani, igen nagymértékű alakváltozások kíséretében. Az is előfordulhat, hogy a már
bizonyos mértékig összenyomódott (deformálódott) ív a tetőpont elérése előtt a Pkr,l lineáris
kritikus tehernél, nem az eredeti alakjából [mint az 1.6./I.a)−b) és az 1.6./II.c) ábrán], hanem a
már deformálódott alakjából, alaphelyzetéből elágazással megy át az alacsonyabb
potenciálú E pontba.
Gyakorlati alkalmazásként tekintsük most a 3.4. ábrán vázolt lapos háromcsuklós tartót. A
tartó nyúlási merevsége: EA. Geometriai tökéletlenségekkel ennél a szerkezetnél nem
foglalkozunk. Ezt a feladatot elsőként von Mises oldotta meg.
Először felírjuk a rúdhosszakra vonatkozó alapvető geometriai összefüggéseket, mégpedig a
laposság figyelembevételével (ho/l <<1, h/l <<1):
so = [l2
+ ho2]0.5
≈ l[1 + 0,5(ho /l)2], (1a)
s = [l2
+ h2]0.5
≈ l[1 + 0,5(h /l)2].
(1b)
Ezek segítségével a rúd ε fajlagos összenyomódása az alábbi:
ε ≈ –
=
–
. (2)
Emlékeztetünk az 1.3. pontra, ahol megállapítottuk, hogy a külső munka/pot. energia
képzésekor elmarad az 1/2 szorzó ( és Πk = –Lk ). Ennek megfelelően a külső(k) és a
belső(b) potenciális energia, valamint ezek összege a Π teljes potenciális energia, a
következő:
Πk = – Lk = – Py = – P(ho – h),
Πb = Lb =
∫ ε2
EAds ≈
2EAl{
}2
, (3a-c)
Π = Πb + Πk = EAl{
}2
– P(ho – h).
Page 50
50
Vezessük be a c rugóállandót:
c =
. (4)
A laposság miatt érvényesek az alábbi összefüggések:
α =
, (5a)
Θ = α –
=
. (5b)
Behelyettesítve a (4) – (5a,b) összefüggéseket a (3c)-be, a Π potenciális energia így írható
fel:
Π = cl2[
– αΘ
3 + α
2Θ
2 –
] . (6)
Egyváltozós (Θ) potenciálú rendszerekre készítettük az 1.5. ábrát, amely összefoglalja az
egyensúly típusának meghatározását a potenciális energia segítségével. Amint az 1.3.2.
pontban már említettük, a variációkkal úgy dolgozhatunk, mint differenciálokkal, ezért ezen
az ábrán közönséges differenciálhányadosokkal dolgozunk. A differenciálhányadosokra
egyszerűbb jelölést használunk, pl. δΠ→dΠ/dΘ = ΠΘ. A δΠ→ΠΘ és a δ2Π→ΠΘΘ
mennyiséget az eddigiekben részletesen elemeztük.
Az 1.3.3. pontban megfogalmaztuk, hogy az egyensúly szükséges és elégséges feltétele
energetikailag a Π potenciális energia állandó értékűségét jelenti, tehát:
ΠΘ = 0. (7) Az 1.5. ábrán ebből indultunk ki.
Esetünkben ez a Θ szerinti közönséges deriválás feltétele az alábbi eredményt szolgáltatja a
Π potenciális energia ΠΘ 1. variációjára:
ΠΘ = cl2[Θ
3–3αΘ
2 + 2α
2Θ
–
] = 0. (8)
Ez tehát a rúd egyensúlyi útjának egyenlete.
Ezt az összefüggést átalakítva azt kapjuk, hogy:
P = cl[Θ(α–Θ)(2α–Θ)] =
(
–h2)h. (9)
Page 51
51
A Π potenciális energia ΠΘΘ 2. variációja a (8)-ból Θ szerinti deriválással
származtatható:
ΠΘΘ = cl2[3Θ
2 – 6αΘ
+ 2α
2] . (10)
Az 1.5. ábra alapján a kritikus erő ott van, ahol ΠΘΘ = 0. Ennek megfelelően a maximum
és a minimum ponthoz tartozó Θm érték az alábbi:
Θm = α(1±√
) = α(1±0,57735) . (11)
Ezt behelyettesítve a (9)-be adódik a Pkr,h átpattanási (vagy felső) kritikus erő képlete:
Pkr,h = ±0.385clα3 = ±0.385EA
. (12)
A 3.4. ábrán szemléltettük, hogy az A határpontbeli kritikus egyensúlyi helyzetből a
szerkezet átpattan a vázolt fordított, felülről homorú alakzatba (Á).
Érdemes megfigyelni az egyes jellegzetes P tehernagyságokhoz tartozó azon geometriai
alakzatokat, amelyek mellett az adott P-nél egyensúly lehetséges.
Az A jelű helyzettől kezdve a csukló csökkenő erő mellett is más és más helyzetben van
nyugalomban.
Amikor a B jelű helyzetet elérjük, akkor y = ho , azaz h = 0, tehát Θ/α = 1, s így a két rúd
egy egyenesbe kerül, aminek következményeként P = 0 az egyensúlyozható erő nagysága. Ha a B pontot elhagyva megváltoztatjuk az erő értelmét, akkor a csukló a növekvő felfelé
ható erő ellenére is tovább tolódik lefelé, labilis egyensúlyi helyzeteken át, míg az A jelű
helyzet C tükörképeként újra kritikus (indifferens) állapot nem áll be.
A C ponttól kezdve stabilis egyensúlyi helyzeteken át, csökkenő felfelé ható erő mellett nő az
eltolódás lefelé. Ha Θ/α = 2, akkor h = −ho , azaz ez a 0 kiindulási helyzet D jelű tükörképe,
és P = 0. Ezután növekvő lefelé ható erő, és növekvő lefelé működő eltolódás mellett érünk el
az átpattanási Á jelű pontba.
A stabilis és labilis görbeágakat energetikailag is szemléltettük. A felvett P1 erőhöz 3
egyensúlyi helyzet tartozik. A P1 erőhöz tartozó Π energiafüggvénynek 1 - 1
maximumpontja van a stabilis ágakon, itt ΠΘΘ > 0. A labilis ági 1 minimum pontnál
ΠΘΘ < 0.
Page 52
52
4. ELÁGAZÁSI ÖSSZEGEZÉSI TÉTELEK
(Southwell, Dunkerley, Föppl–Papkovics)
Bonyolult elágazási kihajlási eset megoldását bizonyos részfeladatok megoldásának
ismeretében, a biztonság javára szolgáló közelítéssel, alsó korlátként megkaphatjuk a
következő összegezési tételek felhasználásával. A közelítés annál pontosabb, minél jobban
hasonlítanak egymáshoz a részfeladatok kihajlási alakjai (sajátfüggvényei).
4.1. A Southwell-tétel
Ha egy rugalmas szerkezet EI(z) merevségét több részmerevségre felbontjuk,
akkor a szerkezet legkisebb kritikus terhe nem kisebb, mint az egyes EIi, i = 0,1,2,… részmerevségekhez tartozó legkisebb kritikus terhek összege. A
4.1.a) ábrán egy változó merevségű konzol példáján szemléltettük a tétel
alkalmazását.
4.2. A Dunkerley-tétel
Egy P, q, … összetett teherrendszerrel terhelt rugalmas szerkezet legkisebb
kritikus terhének reciproka nem nagyobb, mint a teherrészek legkisebb
Pkr, qkr ,… kritikus terheinek reciprok összege. A tétel alkalmazására a
4.1.a) ábrán mutatunk példát. A bekeretezett képlet határesete ( = 1 ) a
Dunkerley-egyenessel ábrázolható. A szerkezet megfelel kihajlásra, ha az
ábrázoló pont az egyenes és a koordinátatengelyek által határolt háromszögből
nem lép ki.
4.3. A Föppl-Papkovics-tétel
Ha egy rugalmas szerkezet egyes részeit képzeletben megmerevítjük, akkor a
szerkezet Pkr legkisebb kritikus terhének reciproka nem nagyobb, mint a
részfeladatok legkisebb Pkr,i i=1,2,… kritikus terheinek reciprok összege. A
tételt a 4.1.b). ábrán szemléltetjük.
Page 53
53
5. TERVEZÉSI SEGÉDLETEK
Ebben a pontban olyan tervezési segédleteket mellékelünk, melyeknek témái szorosan
kapcsolódnak az eddig leírtakhoz.
Page 54
54
σ
A Hooke-törvény:
σ = Eε.
α tgα = E: a rugalmassági tényező
ε
Idealizálások:
■korlátlanul lineárisan rugalmas (σ = Eε) anyag
■korlátlanul szilárd (σ) és korlátlanul nyúlóképes (ε)
anyag
A vasbeton tulajdonságok figyelembevétele
(berepedés, képlékenység): 1.11. ábra.
1.1. ábra
Lineárisan rugalmas anyagmodell
Page 55
55
A görbület pontos elmélete szerint (s: az ívhossz)
=
= ±
( )
.
Közelítő megoldást használunk (kis elmozdulások elmélete):
≈
= θ' = ±y''.
ξ x θ': a keresztmetszet Rövidítések:
relatív elfordulása d(…)/dx = (…)', d2(…)/dx
2 = (…)'',
ε d3(…)/dx
3 = (…)''', d
4(…)/dx
4 = (…)''''
Elemi szilárdságtan:
ε = θ'ξ = −y''ξ; σ = εE = −y''ξE;
M =∫ σξdξdz = – y''E[∫ ξ2dξdz] = – y''EI
θ: a keresztmetszet abszolút elfordulása (+ órairányban)
R>0
R<0
+M θ<0 +M +M θ>0 +M
+θ +θ
x▲ ▲ ▲ ▲ x
α α A kis elmozdulások keretében: A kis elmozdulások keretében:
α = tgα = y' α = tgα = y'
α = −θ y y α = θ
= θ'= −α'= −y'' =
>0
= θ'= α'= y'' = −
<0
p p
T+dT T M+dM
M M
M+dM
dx T dx T+dT
T' = p T' = −p
M' = −T M' = T
M''= −p M''= −p
y'' = −
y'' = −
y''' =
y''' = −
y'''' =
y'''' =
1.2. ábra
Rugalmasságtani alapösszefüggések. Előjelszabályok
Page 56
56
x
P
f
l szomszédhelyzet,
alaphelyzet, a kihajlott (kigörbült)
az egyenes alak alak,
variált alak
y
1.3. ábra
A tartóalak variálása
Page 57
57
Π: a rendszer potenciális energiája
δ2Π>0 δ
2Π=0 δ
2Π<0
a potenc. energia a potenc. energia a potenc. energia
minimum állandó maximum
a – c : a felület
görbülete
minden
irányban
azonos G G G
értelmű a stabilis b kritikus c labilis (indifferens=
közömbös)
x x stabilis
kritikus
d – g : a felület
görbülete
irányonként
eltérő y f kritikus
értelmű y labilis
d labilis e labilis
x
y
stabilis
g kritikus
A Π potenciális energiának az a – c ábrákon jelzett értéktípusai (minimum, állandó,
maximum) nem jelentik egyben a megfelelő egyensúlyi helyzet szükséges és elégséges
feltételét (további vizsgálatok szükségesek).
A kritikus (indifferens=közömbös) egyensúlyi állapotnak szükséges és elégséges
feltétele az, hogy van legalább egy olyan irány, amelynek mentén a golyó az
alaphelyzet szomszédságában is nyugalomban marad, és egyensúlya egyetlen
irányban sem labilis.
1.4. ábra
A különböző egyensúlyi állapotok szemléltetése
golyó analógiával
Page 58
58
Π: a rendszer potenciális energiája
Egyváltozós (Θ) rendszert vizsgálunk.
A jellegzetes elmozdulás: Θ.
Jelölések: δΠ→ dΠ/dΘ = ΠΘ 1. variáció
δ2Π→d2Π/dΘ
2 = ΠΘΘ 2. variáció
δ3Π→d3Π/dΘ
3 = ΠΘΘΘ 3. variáció
δ4Π→d4Π/dΘ
4 = ΠΘΘΘΘ 4. variáció
Π
ΠΘ = 0
egyensúly
1.5. ábra
Az egyensúly típusának meghatározása a
potenciális energia segítségével
ΠΘΘ > 0
stabilis
ΠΘΘ = 0
kritikus
s
ΠΘΘ < 0
labilis
ΠΘΘΘ = 0 szimmetrikus
elágazás
ΠΘΘΘ ≠ 0 határpont
P Pkr,h
Θ
ΠΘΘΘ ≠ 0 aszimmetrikus
elágazás
ΠΘΘΘΘ > 0 stabilis
P
Pkr,l
Θ
Θ
ΠΘΘΘΘ < 0 labilis
P Pkr,l
Θ
Θ Θ
Θ
ΠΘΘΘ < 0 labilis
P
Pkr,l
Θ
Θ
ΠΘΘΘ > 0 stabilis
Pkr,l P
Θ
Θ
Page 59
59
a szimmetrikus stabilis elágazás
geometriailag tökéletes alak
P Pm kihajlás /elágazás
P P 2
Pkr,l
1
elfor- dulási nem
rugó: létezik
cα geometriai tökéletlenség
yk yk (alakhiba)
y y yk1 yk2 y yk
b szimmetrikus labilis elágazás
eltolódási P Pm
rugó: rugalmas ágyazás kihajlás /elágazás
cy P P cy Pkr,l Pkr,l
Pm 2
1 Pm
geometriai
tökéletlenség
(alakhiba)
yk yk
y y
geometriailag tökéletes alak yk1 yk2 y yk1
1 : elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út
stabilis labilis
1.6./I. ábra
Jellegzetes egyensúlyi utak és kritikus pontok
Page 60
60
c aszimmetrikus elágazás
geometriailag tökéletes alak
2 P Pm kihajlás /elágazás
P Pkr,l
Pkr,l
v 1
eltoló- Pm Pm dási
rugó:
cv geometriai tökéletlenség
yk (alakhiba)
y yk1 yk2 y yk1
d stabilitásvesztés határponttal
ho x P Pm
eltolódási rugó: cx
határpont
Pkr,h A átpattanás Á
Pkr,h
geometr. Pkr,l Pm Pm tökéletlenség
P A (alakhiba) E
B
B Á yk y yk
kihajlás/elágazás
yk
y geometriailag tökéletes alak C
1 : elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út
stabilis labilis
1.6./II. ábra
Jellegzetes egyensúlyi utak és kritikus pontok
Page 61
61
P P
kihajlás /elágazás
2
Pkr,l Pkr,l
1
θ<0 θ>0
θk<0 θk>0
θk,yk θ,y f z
yk = Θkl
P
f wA z
geometriailag θ A
tökéletes geometriai alak tökéletlenség
(alakhiba) l
θk elfor- dulási rugó:
cα
yk uA
y
1 : elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út
stabilis labilis
1.7. ábra
Szimmetrikus stabilis elágazás. A geometriai
tökéletlenségek (yk = Θkl) hatása
Page 62
62
P P
kihajlás /elágazás
Pkr,l Pkr,l 2
θ<0 1 θ>0
Pm
θk<0 θk>0
θk,yk θ,y f z
yk = Θkl
eltolódási rugó
cy P
wA f z
geometriailag A
tökéletes θ geometriai alak tökéletlenség
(alakhiba) l
θk
yk uA
yA
1 : elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út
stabilis labilis
1.8. ábra
Szimmetrikus labilis elágazás. A geometriai
tökéletlenségek (yk = Θkl) hatása
Page 63
63
P P
2
kihajlás/elágazás
Pkr,l Pkr,l
1
θ<0
Pm
θ>0
θk<0 θk>0
v θk,yk θ,y f z
α
yk = Θkl
eltolódási rugó: cv P
wA f z
geometriailag vA A
tökéletes θ geometriai alak tökéletlenség
(alakhiba) l
θk
yk uA
yA
1 : elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út
stabilis labilis
1.9. ábra
Aszimmetrikus elágazás. A geometriai
tökéletlenségek (yk = Θkl) hatása
Page 64
64
P
a Szimmetrikus Πθθ<0 potenciális
stabilis elágazás/ energia kihajlás a Π-nek 3 stacio-
Pl nárius pontja van
Πθθ>0 Πθθ>0
θ>0 P Π
a Π-nek 1 stacio-
Π Πθθ=0 Pkr,l kihajlás nárius pontja van
a Π-nek 1 stacio-
Π Πθθ>0 Ps nárius pontja van
y
b Szimmetrikus y,Θ
labilis elágazás/ P Πθθ<0 kihajlás Π a Π-nek 1 stacio-
Π Pl nárius pontja van
P Π kihajlás
a Π-nek 1 stacio-
θ> 0 Πθθ=0 Pkr,l nárius pontja van
Πθθ<0 Ps
a Π-nek 3 stacio-
Πθθ<0 nárius pontja van
Π Πθθ>0
y
c Aszimmetrikus y,Θ
elágazás/kihajlás Π P Πθθ<0 a Π-nek 2 stacio-
P Pl nárius pontja van
Πθθ>0
Πθθ=0
Π a Π-nek 1 stacio-
θ>0 Pkr,l kihajlás nárius pontja van;
Πθθ<0 a Π inflexiója
Ps Π a Π-nek 2 stacio-
y Πθθ>0 nárius pontja van
stacionárius pont: ahol vízszintes az érintő y,Θ stabilis
(minimum pont, maximum pont, kritikus pont) labilis
1.10. ábra Energetikai szemléltetés
Page 65
65
P
2 2a
Pkr = az I aszimptotája
= Pkr,l
I
acél, fa
Southwell 1
Az anyag kihasználása nélkül. x
F és T a labilis ágon. yk
P
II
vasbeton
Pkr,vb
III
F folyás lo
T törés
törés T σ F folyás P
σbH σsH
y
beton εbH εsF εsH ε
összemorzsolódás σsH
yk: geometriai tökéletlenség; kezdeti külpontosság y
stabilis egyensúlyi helyzet 1 elsődleges egyensúlyi út
labilis egyensúlyi helyzet 2 másodlagos (posztkritikus)
egyensúlyi út
1.11. ábra
A Southwell-féle ψ külpontosságnövelő tényező.
Egyensúlyi utak különböző anyagmodellekkel
a szimmetrikus
stabilis elágazás/kihajlás
y = ψyk
ψ=
stabilitási törés
vb. II. f. á.
szilárdsági törés
vb. III. f. á.
Page 66
66
B Q C
Mo
NM x
A rúd modellje: eo
M eo =
NM
A D alapkülpontosság A CD rúd legjobban igénybevett
C jelű keresztmetszetében az ábra
szerint kell meghatározni az eM mér-
tékadó külpontosságot.
lo terhelt alak
terv szerinti alak
véletlen eltérés
Az ek kezdeti külpontosság a szokásos statikai
számításból kiadódó eo alapkülpontosságból,
továbbá a Δeo véletlen jellegű geometriai külpontos- NM
ságnövekményből így adható meg: ΔetΔeoeo
Δet ek
eM
ahol h a keresztmetszet dolgozó magassága, és lo a
(helyettesítő) kihajlási hossz.
Az eM mértékadó külpontosság az ek kezdeti külpontosság és a Δet
törési külpontosságnövekmény összege:
törés T σ F folyás
σbH σsH
beton εbH εsF εsH ε
összemorzsolódás σsH
1.12. ábra
A Δeo és a Δet külpontosságnövekmény továbbá az eM
mértékadó külpontosság szabványos képlete
𝛈 =
,
Δeo = (0.06 + 𝛈
)h,
ek = eo + Δeo,
eM = ek + Δet , ahol
Δet = (0.04𝛈 2)h.
Δ
e
t
=
(
0
.
0
4
Page 67
67
P Az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet a kihajlott alak (1.2. ábra) is magában foglaló egyensúlyi egyenlet az alábbi:
rúdhossz: l y hajlítási merevség
M = −EIy'' > 0 Py = M = −EIy''
A sajátérték feladatot leíró fenti (1) x
differenciálegyenlet általános megoldása: y
y = y(x) = Acoskx + Bsinkx, ahol (2)
k2 =
. (3)
Az A és a B állandót az alábbi kerületi feltételekből kapjuk:
y(x=0) = 0, y(x=l) = 0. (4a,b)
A (4a,b)-ből ezeket kapjuk: A = 0 és Bsinkl = 0. (5) Ez az utóbbi egyenlet az eredeti egyenes alakhoz tartozó B=0 triviális
megoldáson (alaphelyzetbeli egyenes tartóalak: nincs kihajlás) kívül akkor is kielégül, ha
kl = nπ, és n = 1,2,3,… (6) Az (1) differenciálegyenletnek csak a k paraméter különleges, a (6) összefüggéssel definiált
diszkrét értékei mellett van megoldása: ezek a sajátértékek. A P erők értékeit is
sajátértékeknek nevezzük. A rúdnak elágazásnál végtelenül sok (n = 1,2,3,…) egyensúlyi alakja van. A
differenciálegyenlet megoldásfüggvényeit sajátfüggvényeknek, kihajlási alakoknak
nevezzük. A mérnököt csak a legkisebb sajátérték, a legkisebb kritikus erő érdekli. Ez
n = 1-hez tartozik (l: lineáris; E: L. Euler[1707-1783]):
Pkr,l = Pkr =
= PE . (7-10)
x
kihajlás/ P P = Pkr
elágazás 2
Pkr = Pkr,l f n=1 n=2 n=3
szomszédhelyzet,
a kihajlott alak y = y(x)
1 lo= νl = l alaphelyzet, a (helyettesítő) az egyenes alak kihajlási hossz,
EI: hajlítási merevség [kNm2] y y ν=1
1 : elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út stabilis labilis
2.1. ábra
Kétcsuklós rúd kihajlása elágazással (Pkr:lineáris kritikus teher/erő)
EIy'' + Py = 0. (1)
Page 68
68
ymax
x P P a kihajlott alak
y ymax−y
ymax rúdhossz: l hajlítási merevség
lo = νl = 2l x −M = EIy'' > 0
a (helyettesítő) P(ymax−y) = −M = EIy'' kihajlási hossz
y ν=2 y Esetünkben az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra) is magában foglaló
egyensúlyi egyenlet az alábbi:
EIy'' + P(y-ymax) = 0. (1)
A sajátérték feladatot leíró fenti (1) differenciálegyenlet általános megoldása:
y = y(x) = Acoskx + Bsinkx + ymax , (2) ahol
k2 =
. (3)
Az A és a B állandót az alábbi kerületi feltételekből kapjuk:
y(x=0) = 0, (4a)
y'(x=0) = 0, (4b)
y(x=l) = ymax. (4c) A (4b) kerületi feltételből B = 0 adódik. A (4a) kerületi feltétel alapján
A = −ymax. (5)
Ezek szerint tehát a sajátfüggvények alakjai, azaz a kihajlási alakok:
y = ymax(1–coskx) . (6)
A (4c) kerületi feltételből az alábbiak adódnak:
ymax(1–coskl) = ymax és ymaxcoskl = 0. (7)
A második egyenlet az eredeti egyenes alakhoz tartozó ymax = 0 triviális
megoldáson (alaphelyzetbeli egyenes tartóalak: nincs kihajlás) kívül akkor is kielégül, ha
kl = (2n–1)π/2, (8)
n = 1,2,3,… A mérnököt csak a legkisebb sajátérték, a legkisebb kritikus erő érdekli. Ennél n = 1:
Pkr =
. (9)
Az lo (helyettesítő) kihajlási hossz: lo = νl = 2l, (10)
ahol l a rúd tényleges hossza és ν=2 a (helyettesítő) kihajlási hossz paramétere.
2.2. ábra
Konzol kihajlása elágazással (Pkr:lineáris kritikus teher/erő)
Page 69
69
x
P Mb −Mb
P Mb
a kihajlott alak
y
rúdhossz: l hajlítási merevség
lo M = −EIy'' > 0
x Py −
=
= M = −EIy''
y
y
lo = νl = 0,7l a (helyettesítő) kihajlási hossz; ν ≈ 0,7.
Esetünkben az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra) is magában foglaló
egyensúlyi egyenlet az alábbi:
EIy'' + Py −
= 0. (1)
A sajátérték feladatot leíró fenti (1) differenciálegyenlet általános megoldása:
y = y(x) = Asinkx + Bcoskx +
, (2)
ahol
k2 =
. (3)
Az állandókat az alábbi kerületi feltételekből kapjuk:
y(x=0) = 0, (4a)
y(x=l) = 0, (4b)
y'(x=l) = 0. (4c)
A (4a) kerületi feltételből B = 0 adódik. A (4c) kerületi feltétel alapján
A = −
. (5)
Ennek segítségével a kihajlási alak:
y =
(x –
) . (6)
2.3./I. ábra
Az egyik végén befogott, a másik végén csuklós rúd kihajlása
elágazással (Pkr:lineáris kritikus teher/erő)
Page 70
70
A (4b) kerületi feltételből ez a transzcendens egyenlet adódik:
tgkl = kl. (7)
A mérnököt csak a legkisebb sajátérték érdekli. Ez a következő:
kl = 4,49. (8)
A (3) segítségével kapjuk a legkisebb kritikus erőt:
Pkr = 2,046
=
( ) . (9)
Az lo ún. (helyettesítő) kihajlási hossz:
lo = νl = 0,699l, (10)
ahol l a rúd tényleges hossza és ν a (helyettesítő) kihajlási hossz paramétere.
Esetünkben tehát ν = 0,699 ≈ 0,7.
2.3./II. ábra
Az egyik végén befogott, a másik végén csuklós rúd kihajlása
elágazással (Pkr:lineáris kritikus teher/erő)
Page 71
71
x
P Mb −Mb
P Mb
a kihajlott alak
lo rúdhossz: l y hajlítási merevség
M = −EIy'' > 0
Py−Mb =
x = M = −EIy''
Mb y −Mb
y
lo = νl = 0,5l a (helyettesítő) kihajlási hossz; ν = 0,5.
Esetünkben az M = −EIy'' összeférhetőségi egyenletet (1.2. ábra) is magában foglaló
egyensúlyi egyenlet az alábbi:
EIy'' + Py −Mb = 0. (1)
A sajátérték feladatot leíró fenti (1) differenciálegyenlet általános megoldása:
y = y(x) = Asinkx + Bcoskx +
, (2)
ahol
k2 =
. (3)
Az állandókat az alábbi kerületi feltételekből kapjuk:
y(x=0) = 0, (4a)
y'(x=0) = 0, (4b)
y(x=l) = 0, (4c)
y'(x=l) = 0. (4d)
A (4b) kerületi feltételből A = 0 adódik. A (4a) kerületi feltétel alapján
B = −
. (5)
2.4./I. ábra
Mindkét végén befogott rúd kihajlása elágazással (Pkr:lineáris
kritikus teher/erő)
Page 72
72
Ennek segítségével a kihajlási alak:
y =
(1 – coskx). (6)
A (4c) kerületi feltételből ez a transzcendens egyenlet adódik:
coskl = 1. (7)
A mérnököt csak a legkisebb sajátérték érdekli. Ez a következő:
kl = 2π. (8)
A (3) segítségével kapjuk a legkisebb kritikus erőt:
Pkr = 4
=
( ) .
(9)
Az lo ún. (helyettesítő) kihajlási hossz:
lo = νl = 0,5l, (10)
ahol l a rúd tényleges hossza és ν a (helyettesítő) kihajlási hossz paramétere.
Esetünkben tehát ν = 0,5.
2.4./II. ábra
Mindkét végén befogott rúd kihajlása elágazással (Pkr:lineáris
kritikus teher/erő)
Page 73
73
C1: inflexióspont
P
lo a kihajlott alak (kilendülés)
R
rúdhossz: l C: inflexióspont
lo −R
y
P
Ezt a feladatot –az előzőek ismeretében– elegendő szemlélettel megoldani. Az l rúdhossz C középpontja ellenkező görbületi értelmű kihajlási tartományokat választ
el (R,−R). Ez a pont az ún. inflexióspont. A kihajlási alak erre a pontra nézve
antimetrikus. Így tehát a C ponttól felfelé vagy lefelé a 2.1. ábrán megismert
Euler–féle kétcsuklós rúddal helyettesíthetjük a valóságos rudat.
Ennek megfelelően számíthatjuk a Pkr kritikus erőt:
Pkr =
. (1)
Az lo ún. (helyettesítő) kihajlási hossz:
lo = νl = l, (2)
ahol l a rúd tényleges hossza és ν a (helyettesítő) kihajlási hossz paramétere.
Esetünkben lo = l, tehát ν = 1.
Megjegyzés: a rudak lo (helyettesítő) kihajlási hossza/hullámhossza az
inflexióspontok közötti távolság. Természetesen az előzőekben tárgyalt esetekben is.
2.5. ábra
Mindkét végén befogott, kilendülő rúd kihajlása
elágazással (Pkr:lineáris kritikus teher/erő)
Page 74
74
P Kétféle kihajlott alak lehetséges: az I és a II.
BI = 0 BII
B y2
x2
EI: hajlítási
merevség [kNm2] l2
C = cyC = A+B yC CII = AII +BII
yC=0
CI = 0
C L
c[kNm-1
] rugóállandó
I: II:
l1 anti- szimmet-
x1 metrikus rikus
P A y1 AI =0 AII A+B+C = 0
Al1−Bl2 = 0
A = −
, B = −
PE
l1 = l2 = l
PE
2.3./II. ábra, lo ≈ 0,7l
2,046
l1 = l2 = l
II: szimmetrikus I: antimetrikus
1,000
l1 = l2 = l
0,250 lo = 2l
0 4 =
8 12
2.6. ábra
Középen rugóval is megtámasztott kétcsuklós rúd
kihajlása elágazással
2.1. ábra PE =
Page 75
75
l
P EI: hajlítási merevség [kNm2] P
c[kNm-2
] rugóállandó
y(x): kihajlott alak, n=2 Winkler-féle ágyazás: q = cy
P q(x): talpfeszültség P
x talajnál csak nyomás!
y
I: tehetetlenségi nyomaték
c = bocv cv[kNm-3
] ágyazási tényező
q 5.I. táblázat
bo
2.1. ábra λ = 2
n: a rúd kihajlási
30 alakjában n = 4 n db félhullám van Ha a rúd 2 végén
25 n=4 nincsenek csuklók,
akkor λ = 1.
20 n = 3
A burkoló egyenes
15 jó közelítés.
10 n = 2
5 n = 1
1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 u =√
2.7. ábra
Folytonosan rugalmasan ágyazott kétcsuklós
rúd kihajlása elágazással
Pkr ≈ λ√
Page 76
76
P P kihajlás /elágazás
2
Pkr=Pkr,l =
Pkr
θ<0 θ>0
1
θk<0 θk>0
θk,yk θ,y f z
yk = Θkl
P
f wA z
geometriailag θ A
tökéletes geometriai alak tökéletlenség
(alakhiba) l
θk elfor- dulási rugó:
cα[kNm]
yk uA
yA
1 : elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út
stabilis labilis
3.1. ábra
Szimmetrikus stabilis elágazás. A geometriai
tökéletlenségek (yk = Θkl) hatása
Page 77
77
P P kihajlás /elágazás
Pkr=Pkr,l = cl Pkr 2
θ<0 1 θ>0
Pm
θk<0 θk>0
θk,yk θ,y f z
yk = Θkl
eltolódási rugó
c = cy[kNm-1
] P
wA f z
geometriailag A
tökéletes θ geometriai alak tökéletlenség
(alakhiba) l
θk
yk uA
yA
1 : elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út
stabilis labilis
3.2. ábra
Szimmetrikus labilis elágazás. A geometriai
tökéletlenségek (yk = Θkl) hatása
Page 78
78
P P
kihajlás/elágazás 2
Pkr=Pkr,l =clcos2α Pkr
1
θ<0
Pm
θ>0
θk<0 θk>0
v θk,yk θ,y f z
α
yk = Θkl
eltolódási rugó: c = cv P
[kNm-1
] wA f z
geometriailag vA A
tökéletes θ geometriai alak tökéletlenség
(alakhiba) l
θk
yk uA
yA
1 : elsődleges egyensúlyi út
2 : másodlagos (posztkritikus) egyensúlyi út
stabilis labilis
3.3. ábra
Aszimmetrikus elágazás. A geometriai
tökéletlenségek (yk = Θkl) hatása
Page 79
79
von Mises-modell
geometriailag tökéletes P
kezdeti alak 2 nyúlási merevség
so EA [kN] y
2' +h ho
Θ = α –
α
1 s 3
az alakváltozott tartó –h
l l
P
határpont átpattanás
Pkr,h Á
A ΠΘΘ=0
ΠΘΘ<0
Π=Π(P1) P= Pkr,h
P1
inflexióspont inflexióspont
ΠΘΘ>0 ΠΘΘ>0
P=0 B P=0 y=
h=0, y=ho h=−ho =2ho
h=ho, y=0 P=0 D
0 0,5 1 1,5 2
P=Pkr,h
= 1–
ho y
y
C
-Pkr,h ΠΘΘ=0 P=−Pkr,h
stabilis egyensúlyi helyzet
labilis egyensúlyi helyzet
3.4. ábra
Háromcsuklós tartó határpontos stabilitásvesztése
Geometriai
tökéletlenségek
nincsenek (yk = 0).
Page 80
80
1) A Southwell-tétel szemléltetése
Az I(z) tehetetlenségi nyomaték részei: n=0 n=1 n=2
z
qkr=? I(z) = + +
l
Io I1 I2
A qkr kritikus megoszló teher alsó korlátja:
qkr ≥ qkr,o+qkr,1+qkr,2 = 7,84
+ 5,78
+ 3,67
2) A Dunkerley-tétel szemléltetése
Összetett teherrendszer (P és q):
P Pkr= π2
q
l EI qkr= 7,84
1 pontos megoldás
Dunkerley-egyenes
alsó korlát, megfelel
1
S. Timoshenko részmegoldásai (qkro, qkr1, qkr2, Pkr, qkr)
4.1.a) ábra
Elágazási (kihajlási) összegezési tételek
qkr ≥ qkr,o + qkr,1 + qkr,2 S)
+
≤ 1 D)
Page 81
81
3) A Föppl-Papkovics-tétel szemléltetése
A szerkezet egyes részeit képzeletben megmerevítjük ( ∞).
A Pkr koncentrált kritikus teher alsó korlátja:
Pkr =? Pkr1 =
Pkr2 = π
2
α u=αl
l EI
EI ∞
cα [kNm]
A cα ∞
elfordulási rugó Pkr1u = MA = cαα Pkr1
A qkr megoszló kritikus teher alsó korlátja:
u=0,5αl
α
l EI qkr =? qkr1= 2
qkr2=
cα EI ∞ = 7,84
A cα ∞
elfordulási rugó (qkr1l )u = MA = cαα qkr1
pontos megoldás
1 S.Timoshenko
részmegoldásai
(Pkr1, Pkr2, qkr1, qkr2)
alsó korlát, megfelel
1
,
4.1.b) ábra
Elágazási (kihajlási) összegezési tételek
≤
+
F-P)
≤
+
F-P)
Page 82
82
Δy
αk
P inflexióspont
Mki =
y k
x cy Hki
lo = ?
l inflexióspont
z
i
Mik = Hik = Hki = H
P
αi
5. TERVEZÉSI SEGÉDLETEK
Page 83
83
P EA ∞
k
lik l1 l2 lj ln
EI1 EI2 EIj EIn
EIik
i a kihajlásra vizsgált oszlop/rúd
τ1=3 τ2=0 τj=3 τn=12
Pkr=? j=1 j=2 j j=n
k y
lik cy =? [kNm-1
]
i
P Pkr = ?
k
αi
EIik lik
cαi =? Mik = cαiαi
i
alaptest rugalmas ágyazás/befogás
B c [kNm-3
] ágyazási tényező, 5.I. táblázat
P Mik=Iacαi
[kNm]
z Figyelem! Ha nem az egész alapfelület
nyomott, akkor az Ia-t pontosabban
L σt = cz [kNm-2
] kell meghatározni!
B
5.1. ábra
Példa cy eltolódási rugóállandó és cα elfordulási
rugóállandó meghatározására
∑
Ia =
Page 84
84
l1k l2k k3k =
oszlop
I3k,k3k l3k j = 1,2 gerenda:
I1k,k1k I2k,k2k kjk = 𝛈
k
Iik,kik lik
I1i,k1i i I2i,k2i
j = 1,2 gerenda:
I3i,k3i l3i kji = 𝛈
,
k3i =
oszlop
l1i l2i
k
𝛈 = 0,75 𝛈 = 1 𝛈 = 0,87
a j. gerenda a j. gerenda a j. gerenda
másik vége csuklós másik vége befogott másik vége
i rug. befogott
k
𝛈 = 0,50 𝛈 = 1,5 u
a j. gerenda a j. gerenda
szimmetrikusan antimetrikusan
i alakváltozik (fix) alakváltozik (kilendülő)
A számításokhoz általában közvetlenül ritkán használjuk a
elfordulási rugóállandók alábbi valódi (nem nagyított)
értékeit:
=
, Mik = , Mki = .
5.2. ábra
Keretoszlop ρi, ρk nagyított elfordulási rugóállandóinak
meghatározása
= 4
= 4
= 4
4
kik =
Page 85
85
Δy
αk
P inflexióspont
Mki =
y k
x cy Hki
lo
l inflexióspont
z
i
Mik = Hik = Hki = H
P
αi
=
, =
Alkalmazás:
1.) A tényleges cy[kNm-1
] eltolódási rugóállandó és a tényleges
cαi[kNm], cαk[kNm] elfordulási rugóállandók ismeretében a fenti bekeretezett
összefüggésekkel a és a dimenziótlan nagyított rugóállandókat
kell képezni.
2.) Az 5.2. ábra szerinti keretoszlop esetén a dimenziótlan nagyított
rugóállandókat az ott látható módon kell meghatározni. A –t a fenti
összefüggés adja a cy[kNm-1
] ismeretében.
3.) Ezek segítségével az lo (helyettesítő) kihajlási hossz ν tényezőjének
értékét az 5.3.b) ábra szerint kaphatjuk meg.
5.3.a) ábra
Eltolódási (cy) és elfordulási (cαi, cαk) rugókkal megtámasztott
rúd lo (helyettesítő) kihajlási hosszának ν paramétere (síkbeli
kihajlás). Alapadatok
=
Page 86
86
6 6
5 5
4 4
3,27
3 3
2,41
ρi=ρk=0, 0.1, 0.5, 1,0 Ez a görbe
2 2 akkor érvé- 1,83 nyes, ha nincs
1,59 fix csukló alul 1,38 sem. Ha csak rugó
1,20 van alul-felül.
1 1 0,98 F
ρi=ρk=∞, 10, 5, 3, 2 0,59 I
0,50 X
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
=
5.3.b) ábra
Eltolódási (cy) és elfordulási (cαi, cαk) rugókkal megtámasztott
rúd lo (helyettesítő) kihajlási hosszának ν paramétere (síkbeli
kihajlás). Az alapadatok az 5.3.a) ábrán
Page 87
87
Δy
αk
P inflexióspont
Mki =
y k
x cy Hki
lo
l inflexióspont
z
i
Mik = Hik = Hki = H
P
αi
=
, =
inflexióspontok
lo
1 2 3a 3b 4 5 6 P P P P P P
lo p
lo
l lo lo
lo
ν=2 ν=1 ν=0,7 ν=0,7 ν=0,5 ν=1 ν=1,12
5.4. ábra
A síkbeli rúdkihajlás alapesetei. Az lo
(helyettesítő) kihajlási hosszak ν tényezői
lo = νl
Page 88
88
P c1 [kNm-1
]
H=c1y1
y
1,0
l EI eltolódási rugók Euler-rúd
1 Pkr = crl, egyenes rúd 0
cr =
cr
P c2 H=c2y2
P c [kNm-1
]
H= cy 2,0
y aszimptota: 2,046 eltolódási rugó 1,5
l EI 2 1,0 0,5
H 0,25
M 0
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
ca =
P aszimptota
y
l EI 3 0,25 elfordulási 0,20 rugó 0,15
cα [kNm] 0,10 0,05
0
0 1 2 3 4 5 6
cb =
5.5. ábra
Néhány gyakran előforduló rúd Pkr kritikus terhe és az
lo (helyettesítő) kihajlási hosszak ν tényezői
=
=
=
= 𝜐 =
√
Page 89
89
P
2,0
l 4 1,5
EI l1
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
P
EI P 5
l
l/2
P Pkr = qkrl
EI P 6 q 7
l l
𝜐
l/2
5.6. ábra
Néhány gyakran előforduló rúd Pkr kritikus terhe és az
lo (helyettesítő) kihajlási hosszak ν tényezői
=
=
ν =
= 1,56.
ν =
= 1,213. ν =
= 0,729.
Page 90
90
P P
Ig
Io Io
antimetrikus Ao ∞ h = l kihajlási alak
lg
5 5
4,46
Végtelenül
4 4 lágy geren- da esetén az
3,37 oszlop kriti-
3 3 kus ereje
zérus.
2,33
2 2
aszimptota
1 1
0,699 szimmetrikus kihajlási alak (nem mértékadó)
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.7. ábra
Kétcsuklós keret oszlopa lo (helyettesítő) kihajlási
hosszának ν tényezője (szimmetrikus keret)
Page 91
91
P P
Ig
Io Io
antimetrikus Ao ∞ h = l kihajlási alak
lg
2,5 2,5
aszimptota
2 2
1,5 1,67 1,5
1 1 aszimptota
0,7 0,7
0,5 0,5 szimmetrikus kihajlási alak (nem mértékadó)
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.8. ábra
Befogott keret oszlopa lo (helyettesítő) kihajlási hosszának
ν tényezője (szimmetrikus keret)
Page 92
92
saru hsγs = us 1 H fajlagos szögtorzulás
As=asbs hs
γs as bs
Gs ≈ 0,8−2,0 MNm-2
Gs: nyírási rugalmassági tényező
u = ua+uo+us = H/ku A ku eltolódási merevségi
us uo ua = αaht tényező (u=1, ku= H)
hs 1' 1 H komponensei:
EoIo
ho
( )
ht Io= IiII (berepedt)
EaIha ∞ Ma = Hht
us=hsγs ku[kNm-1
]
ha végtelenül merev alaptest
αa=
c [kNm-3
] ágyazási tényező, 5.I. táblázat
L Ia =
H
B
hajlékonysági tényező (H=1, fu= u) H = kuu
u = fuH fu [mkN-1
] u
5.9. ábra
Konzolszerű oszlop erő–eltolódás (H–u) összefüggése
fu =
=
+
=
=
τ = 3
=
ku =
Page 93
93
khv
Vh=Gh γppf
terheletlen állandó
híd:h(p=0) Hh
saruel-
lenállás
(g,Δt,zs,φ)
kEv t.víz
ξ=0,5−2/3
Hf khh Eav δ=ξφ2
Eah a: aktív v: függőleges h: vízszintes
kf Gf f: fal
súlytámfal
A1 kEh
1,0 II II
ka a: alaptest
Ep t Ga
I φ2
A I
ψ φ1
va B
Vsinψ
V Vcosψ
H
ψ
Hcosψ
Hsinψ
e
B/2 B/2
5.10. ábra
Helyzeti állékonysági vizsgálatok közúti híd esetén
a kibillenés az A
[és az A1 ]
pont körül
Q−
= ∑
=∑γjPjkj
Q−
= γhGhkhv+ γfGfkf +
+γaGaka + γtγEEavkEv
Q+
= γh1Hhkhh+γtγEEahkEh
kb =
≥ 1
b elcsúszás az I − I
[és a II – II]
sík mentén
Q−
= ∑γjHj
V =
γhGh+ γfGf + γaGa+
+ γtγEEav
H =
γh1Hh + γtγEEah−
− γtγEpEp
Q−
= [Vcosψ + Hsinψ]f
Q+
= −Vsinψ + Hcosψ
0,75 a II-II sík mentén
f
(0,8tanφ1 és tanφ1cs)min
az I-I sík mentén
γh = γf = γa= 0,9 állandó γt= 1,1 (0,9) talaj
γh1 = 1,1
γp = 1,3 esetleges
γE = 1,5 aktív γEp = 0,5 passzív
kcs=
≥ 1
Page 94
94
térszín
ív, keret
κ = ψ
Rg 90o
ψ
Rg: eredő erő az állandó terhekből
térszín
ív, keret κ = ψ
Rg 90o
≥ 20 cm
ψ
Rg: eredő erő az állandó terhekből
térszín
B
ív, keret víz
m≥ B/2
B/2 e
szádfal
RM: a teljes eredő erő (g+p)
5.11. ábra
Az elcsúszás elleni védekezés szerkezeti megoldásai
a alapsík ferdítés
b alapsík fogazás
c szádfalazás
κ
RM
Page 95
95
térszín
γ [kNm-3
]: száraz térfogatsúly,
γ' [kNm-3
]: vízalatti térfogatsúly, ch ch
φ [ o
]: belső súrlódási szög,
ck [kNm-2
]: kohézió,
c = cv [kNm-3
]: függőleges (v) ágyazási tényező,
c = ch [kNm-3
]: vízszintes (h) ágyazási tényező (a mélység közepe
táján értelmezve; a mélységgel növekszik, felül nulla),
szemcsés talajok
γ
[kNm-3
]
γ'
[kNm-3
]
φ
[ o
] ck
[kNm-2
]
cv [kNm
-3]
függőleges
ch [kNm
-3]
vízszintes
1. kavics
18-20 11-12 35-40 − 140 000 60 000
2. homokos
kavics
19-21 12-14 32-38 − 100 000 40 000
3. homok
16-20 10-12 28-35 − 70 000 30 000
4. homok-
liszt
15-19 9-12 23-27 − 30 000 10 000
kötött talajok
γ
[kNm-3
]
γ'
[kNm-3
]
φ
[ o
] ck
[kNm-2
]
cv [kNm
-3]
függőleges
ch [kNm
-3]
vízszintes
1. sovány
agyag
14-22 8-12 9-24 100−200 60 000 30 000
2. közepes
agyag
13-22 7-12 7-22 125−250 50 000 20 000
3. kövér
agyag 13-23 7-13 5-19 150−300 30 000 10 000
4. iszap 16-22 8-12 12-27 75−150 15 000 5 000
5.I. táblázat
Tájékoztató talajfizikai jellemzők