7/21/2019 RDM Exercice.pdf http://slidepdf.com/reader/full/rdm-exercicepdf 1/102 2 iem SEMESTRE MODULE F213 : SOLLICITATIONS SIMPLES –FLEXION - TORSION PROBLÈMES-CORRIGES Bienvenue à vousau laboratoire de :Dimensinnemen! Des S!"#$!#"es du Département : G%nie M%$&ni'#e e! P"(#$!i'#e Ce livre électronique est destiné à compléter le cours enseigné durant la première année du module F213, et relati au deu!ième "emestre# $l reprend le plan suivi en amp%it%é&tre avec d'avantages de détails, d(illustrations ainsi que des corrigés des )roblèmes du ascicule *ravau! Dirigés qui, nous l'espérons, vous permettront de mieu! comprendre cette matière qui n'est pas si terrible qu'elle peut laisser para+tre# présent, c%oisisse- sur votre gauc%e dans l'onglet signet un c%apitre du programme que vous désire- voir ou revoir # B./ *0$B./ C.4056 )*BLANC+OT-G*)ESSIERE
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Ce livre électronique est destiné à compléter le cours enseigné durant la premièreannée du module F213, et relati au deu!ième "emestre#$l reprend le plan suivi en amp%it%é&tre avec d'avantages de détails, d(illustrationsainsi que des corrigés des )roblèmes du ascicule *ravau! Dirigés qui, nous l'espérons,
vous permettront de mieu! comprendre cette matière qui n'est pas si terrible qu'ellepeut laisser para+tre# présent, c%oisisse- sur votre gauc%e dans l'onglet signet un c%apitre du programmeque vous désire- voir ou revoir #
178 (aire de la surace cicontre vaut 129 cm# "esmoments d(inertie par rapport au! a!es ; et ;(valent respectivement 3< =>? cm= et <= 92? cm=# adistance d2 vaut <#> cm# Calcule- la distance d1, lemoment d(inertie de la surace par rapport à l(a!ecentral @, et le moment statique de la surace parrapport à l(a!e ;(#278 (aire de la surace ombrée cicontre vautmaintenant 9>#<A cm# "on moment d(inertie par
rapport à l(a!e ;( vaut 1> >? cm=# es distances d1
et d2 valent respectivement <#> cm et #1 cm#Calcule- le moment d(inertie de la surace par
rapport à l(a!e ;
RÈPONSES N1
18 *%éorème d'u@g%ens :
( )( ) ( )
++=
+=
2
12
2
2
1''
21
Ad d I I
Ad I I
yy
yy
α α
αα ( )( ) ( )
++=
+=
21296,774920
1129374602
1
21
d I
d I
yy
yy
( ) ( ) ( )1296,76,723746012 2
1 +×=⇒− d (1.1/03 $m
6n reportant la valeur de d1 dans l'équation 18 : I. 2404 $m
Calcule- pour la surace cicontre:178 es moments et le produitd(inertie par rapport au! a!escentrau! @ et -#278 a position des a!es centrau!principau! et les moments d(inertieprincipau!#378 es moments et le produitd(inertie par rapport à deu!nouveau! a!es centrau! obtenus parune rotation positive de 3?7 des
a!es @ et -#
RÈPONSES N3
178
Décomposons la surace initiale " en trois suraces "1, "2 et "3 : 321 S
3784tilisons les ormules de rotation e!primées dans les a!es principau! :
−=
+
−+
+=
−+
+=
ψ
π ψ
ψ
2sin2
22cos
22
2cos22
Z Y ht
Z Y Z Y tt
Z Y Z Y hh
I I I
I I I I I
I I I I I
avec hY r
,ˆ =ψ
( )33342cos2
97,2287,227
2
97,2287,227 o−−
++
=hh I
I@@.1420 $m I!!.<<01 $m I@!.-8/03 $m
/ous pouvons vériier que : I@@I!! . I I . IG . 2/90< $m
PROBLÈME N
Calcule-, pour la surace cicontre les cotessont en cm8:178 a position du centre de gravité dans lerepère !,@#278 es moments et le produit d(inertie parrapport au! a!es centrau! parallèles à !,@#378 a position des a!es centrau! principau!et les moments d(inertie principau!#
Considérons les trois suraces cicontre#178 Calcule- pour c%aque surace la valeur de! de telle aMon que le moment d(inertiecentral ma!imum vale = cm=#278 Calcule- alors l(aire de c%aque surace eten déduire la surace la plus rationnelle#
RÈPONSES N/es trois sections "1, "2, "3 possèdent 2 a!es de s@métries qui sont donc les a!es principau!d'inertie# e moment d'inertie ma!imum est celui relati à l'a!e L#
178 Nontre- que pour un carré de cOté a tousles a!es centrau! sont principau! et que tousles moments d(inertie centrau! valent a= K12calculer $%% et $%t8#278 Calcule- les moments et le produitd(inertie du carré dans les a!es u,v#
18 = a!es de s@métrie : *ous les a!es centrau! sont donc principau!
012
4
=⇒====ht tt hh Z Y
I a
I I I I
28
12
4
''''
a I I
vvuu == 0'' =
vu I
2
24
2
''4
2
12a
aa A x I I
Gvuuuu
−+=+= IJJ ./&2
2
''4
2
4
20 a
aa A x x I I
GG vuvuuv
−+=+= I#J .-&<
PROBLÈME N
300
G3
G2
G1
380
1 2 0
5 9 0
1 8
Y
X
a section droite de la partie poutre de la contre lèc%e d(une grue à tour est représentéecicontre# a section droite se compose d(un proilé 6 >??, d(un plat 3A?1A mm, et d(unecornière à ailes inégales 12?A? série 2#178 Calcule- les coordonnées du centre de gravité de la section droite dans le repère 51,!@#278 Détermine- les éléments principau! des inerties#
CARACTRISTI5UES GOMETRI5UESDES SECTIONS DROITES DES POUTRES
1* Mmen!s s!&!i'#es* Cen!"e (e ,"&Ji!%:
"oient deu! a!es α et β , et ) un point de la
section droite auquel on associe un élément desurace ininiment petit ∆" d(aire ∆#
)ar déinition, les quantités déiniespar:
A xdA x A xQ
A xdA x A xQ
G
G
S S
S S
α α α β
β β β α
==∆=
==∆=
∫∫∑
∫∫∑
sont les moments statiques de la section droite par rapport au! a!es α et β #
Uni!% (e mes#"e: l(unité "$ de moment statique est le m 3 # .n utilise plus généralement le
cm 3 #
N*B * : les moments statiques peuvent Htre positis, négatis ou nuls#
es moments statiques sont donc nuls si les a!es α et β sont centrau! s(ils passent par lecentre de gravité 5 de la section droite8# .n note @ et - de tels a!es dans ce qui suit#
2* Mmen!s e! >"(#i! (ine"!ie:
2*1* Mmen!s (ine"!ie $en!"&#; >&" "&>>"! &#; &;es (#n "e>"e si!#% (&ns e >&n (e &se$!in ("i!e:
"oient deu! a!es centrau! @ et -, et )un point de la section droite auquel onassocie un élément de suraceininiment petit ∆" d(aire ∆#
)ar déinition, les quantités strictement positives déinies par:
∫∫∑
∫∫∑
=∆=
=∆=
S S
zz
S S
yy
dA y A y I
dA z A z I
22
22
sont les moments d(inertie centrau! la section droite par rapport au! a!es @ et -#Uni!% (e mes#"e: l(unité "$ de moment d(inertie est le m = # .n utilise plus généralement le
4n c@lindre est soumis à un couple de torsion C E 2#R/m# e module de C.4.NB du matériau vaut <A 5)a#Calcule-:a8 la contrainte tangentielle ma!imum dans le c@lindre#b8 la distorsion des génératrices en rd et en 7#c8 l'angle de rotation des sections e!trHmes en 7#
RÈPONSES N<
a8 e moment de torsion N! est constant tout le long de la barre# C M x =
Considérons une section quelconque 5 : R I
C
G
i =maxτ avec32
4 D
I Gπ
=
4
6
max50
322510.5,2×
××=π
τ i τm&;.1910<4 MP&
b8 ppliquons la loi de ooRe en torsion : τ G=
310.78
86,101==
G
τ γ γ.1039/*19-3 "( . 909<
c8 ' angle de rotation des sections e!trHmes nous est donné par la relation :G
a8 Calcule- le couple C qui provoque une rotation dessections e!trHmes du tube de 27 sac%ant que 5 E 2< 5)a# 6n
déduire la contrainte tangentielle ma!imum#b8 Calcule-, pour d(un c@lindre de mHme poids que le tube etqui supporte le mHme couple, l(angle de rotation des sectionse!trHmes et la contrainte tangentielle ma!imum#
PROBLÈME N114n arbre de torsion tubulaire de diamètre e!térieur D, de diamètre intérieur d, de longueur12??mm, est sollicité par un couple de 2??? m/# "ous l'action de ce couple, l'angle de torsion
total de l'une des e!trémités par rapport à l'autre doit Htre de 2?7T?#7# a contraintema!imum admissible en torsion est de =?? N)a# e module de C.4.NB du matériau vaut A?5)a#
18 Calculer la distorsion angulaire ma!imum en radians en appliquant la loi de ..U6#28 6n déduire le diamètre e!térieur D en mm arrondir le résultat au mm8#38 Vuel est alors le diamètre intérieur d en mm arrondir le résultat au mm8#=8 vec les valeurs trouvées en 28 et 38 calculer la contrainte ma!imum de torsion en
N)a8 et l(angle de torsion des sections e!trHmes en 78#
e diamètre e!térieur vaut 2? mm, le diamètreintérieur 1> mm# a barre B est encastrée en etB# Calcule- les moments d(encastrement en et B#
RÈPONSES N12
)roblème spatial : Ei>nE> car> inconnues en , > inconnues en B #Compte tenue du c%argement, nous pouvonsréduire le degré d'%@perstaticité à 1 :2inconnues e!ternes, un moment en et un en B
a contrainte tangentielle ma!imum dans lesarbres B et CD vaut N)a# Calcule-:a8 la valeur du couple Co# b8 le diamètre d#c8 la rotation de la section droite en 78par rapport à la section droite D sac%antque 5E A? 5)a#
PROBLÈME N1.n considère l'assemblage de la igure cicontre, constitué de deu! arbres élastiques B etCD reliés par deu! engrenages# es arbres B et CD sont constitués du mHme acier demodule de Coulomb : A?5)a, et ont mHme diamètre d# 'arbre B a une longueur de =??mm etl'arbre CD une longueur de >??mm# 4n couple C? E 1???/m est appliqué à l'e!trémité D de
l'arbre CD# 'e!trémité de l'arbre B est encastrée#18 e point de contact des dentures des engrenages est situé sur une circonérencede ra@on rB E1??mm pour l'engrenage B et dera@on rC E =?mm pour l'engrenage C#Calculer le moment de torsion auquel estsoumis l'arbre B#
28 "ac%ant que la rotation D par rapport à nepeut e!céder une valeur de 1,7 et que lacontrainte tangentielle ma!imum admissibledans les deu! arbres ne peut e!céder >?N)a, calculer le diamètre d des arbres B et
Deu! barres réalisées en un mHme matériau ont mHme longueur et mHme poids# (une a une
section circulaire 18, l(autre carrée 28# Détermine- pour une mHme contrainte tangentiellema!imum:a8 le rapport des couples de torsion transmis#b8 le rapport des angles de rotation des sections e!trHmes#
RÈPONSES N14
D'après l'anne!e = :Se$!in $&""%e
hek
M xi 2
2
max =τ GJ
M x x =
'
θ hek J 3
1=
208,0
141,01
2
1
=
=⇒=
k
k
e
h
Se$!in $i"$#&i"e
2
1max
d
I
M
G
x
i =τ
G
x x
GI
M ='θ
2
4r
I Gπ
=
NHme longueur, et mHme poids impliquent que les aires sont identiques :π π r aar =⇒= 22
&K R&>>"! (es $#>es (e !"sin !"&nsmis* carré
i
cercle
i maxmax τ τ =
356,12208,0
1
208,0
2
34 ==⇒= π π π π carré
cerclecarré cercle
C
C
r
C
r r
C
C
C
V.103/4
=K R&>>"! (es &n,es (e "!&!in (es se$!ins e;!"mes*
1* D%Hini!in :"i, pour une poutre droite à section constante, le torseur de section se réduit à N!, quel
que soit la section droite, la poutre est soumise à de la torsion# .n distingue suivant laorme de la section droite:
❑ a torsion de COULOMB pour les sections droites circulaires ou tubulaire#❑ a torsion de SAINT-)ENANT pour les sections droites non circulaires#
2* T"sin (e COULOMB:
2*1* Cn!"&in!es en #n >in! P &>>&"!en&n! W #ne se$!in ("i!e :
près application du couple C
r
onconstate que:❑a longueur et le diamètre du
c@lindre n(ont pas variés#*outes les sections droites
subissent une rotation θ!proportionnelle à !#
a seule déormation est unedistorsion γ des génératrices, toutà ait comparable à celle qu(onobserve dans le cisaillement simple#.n peut donc écrire, quel que soitle point de la section droite:
0=σ γ =τ G d(après la loi de
..U6
Ytant donnée la s@métrie de révolution autour del(a!e de torsion, la contrainte tangentielle τ est:178 tangente au! cercles de ra@on polaire ρ#278 la mHme en des points situés sur un cercle dera@on polaire ρ#
.n constate que dans la section la plus aible et au voisinage du raccordement, la contraintetangentielle réelle ma!imum de torsion subit une orte maJoration par rapport à la valeurnominale ournie par la t%éorie des poutres#
a contrainte ma!imum réelle imaxτ de torsion se calcule à partir de la contrainte nominale
ma!imum 2
d
I
C
G ournie par la t%éorie des poutres par la relation:
2max
d
I
C K
G
i =τ
U est le acteur deconcentration decontraintes#
2*3* Ess&i (e !"sin:Cet essai n(est pas normalisé# .n soumet une éprouvette, à section circulaire, à un couplecroissant lentement Jusqu(à la rupture de l'éprouvette#.n enregistre le diagramme couple CKrotation zθ de deu! sections#, que l(on rend
intrinsèque en divisant le couple par16
3 Dπ et la rotation par
R
L#
e diagramme estgénéralement composé
d(une partie . linéaireet réversible: la -oneélastique, et d(une partiecourbe BC: la -oneplastique oW l(éprouvettesubit des déormationsirréversibles# a ruptureintervenant au point C#.n constate qu(il @ a deu!comportements trèsdiérents suivant que le
matériau est (#$!ie ouH"&,ie#Dans la -one élastique la
loi de proportionnalité entre la contrainte tangentielle ma!imum de torsion R I
C
G
i =maxτ et
la distorsion γ ma!i des génératrices de l(éprouvette est la loi de +OOE en torsion#Comme pour le cisaillement simple elle s(écrit:
ii G maxmax γ τ =
oW 5 est le module d(élasticité transversale ou module de C.4.NB du matériau#a contrainte tangentielle ma!imum de torsion à la in de la -one élastique est la limite
élastique au cisaillement du matériau# 6lle se note τeou 0g# N.B.
❏ (essai de torsion est le seul qui permette une détermination correcte du module deC.4.NB 5 et de la limite élastique au cisaillement τe du matériau#❏ .n montre que le module de L.4/5 6, le module de C.4.NB 5, et le coeicient de).$""./ ν sont, lorsque le matériau est isotrope, liés par la relation:
)1(2 ν +=
E G
❏ .n constate que pour un matériau ragile les limites élastiques en traction et cisaillementsont sensiblement les mHmes tandis que pour un matériau ductile:
2
ee
σ τ ≈
2*** R!&!ins (es se$!ins ("i!es:
6!pression de la rotation d(une section droite d(abscisse -# De la relation G
'
x IGC θ= ontire à abscisse !:
xGI
M
G
x x =θ
6!pression de la rotation ma!imum celle de la section d(abscisse 8:
G
xi
x
GI
L M =maxθ
2*/* CeHHi$ien! (e s%$#"i!%:$l se calcule par la relation:
i
e
maxτ
τ α =
N*B# .n impose quelqueois une condition de rigidité pour les arbres de transmission:m x / 25.0
3* T"sin (e SAINT-)ENANT se$!ins ("i!es nn $i"$#&i"esK:.n constate e!périmentalement que les sections droites ne restent pas planes aprèsapplication du couple de torsion# 6lles subissent un ,&#$@issemen! a!ial qui peut entra+ner,si celuici est empHc%é, l(apparition de contraintes normales dans la section droite#
(%@pot%èse de /$60B60/.4$ n(est donc plus vériié, le principe de l(indépendancedes eets des orces non plus, seule la t%éorie de l(élasticité peut résoudre le problème#
T"sin (es Se$!ins Re$!&n,#&i"es :
a igure cicontre permet de visualiser larépartition des contraintes tangentielles detorsion dans une barre à section rectangulaire#
.n montre alors, en élasticité, que:
178 a relation entre le moment de torsionet l(angle unitaire de torsion est:
GJ
M x x ='θ
oW Z est le mmen! (ine"!ie (e !"sin de lasection rectangulaire# $l se calcule par la relationsuivante:
hek J 3
1=
oW k1 est une onction du rapport %Ke donné dans le tableau suivant:
Considérons la poutre cicontre soumiseà un moment de le!ion N# a sectiondroite de la poutre est un tuberectangulaire en aluminium d(épaisseur Amm# Calculer la valeur du moment N quepeut supporter la poutre, sac%ant queσ σe e
'MPa= = 200 et que le coeicient
de sécurité vaut 1#2# Calculer le ra@onde courbure de la ligne mo@enne sac%antque 6E<? 5)a et la lèc%e ma!imum sac%ant que la longueur de la poutre est de 1# m#
RÈPONSES N1
e moment de le!ion N@EGN est constant tout au long de la poutre 5?51# *outes les sectionssont donc équidangereuses#
Considérons une section quelconque 5# les a!es ,L et Q sont principau! d'inertie pour lasection tubulaire 5 a!es de s@métrie8# e moment de le!ion NLEGN est porté par l'a!eprincipal L : /ous sommes donc en présence de le!ion pure plane# 'a!e neutre ∆ est donc
confondu avec celui qui porte le moment fléchissant Y. L’ensemble des points P’ et P’’ qui sont lesplus éloignés de l’axe neutre (vmaxi) sont les points les plus contraints. Les points P’ sontcomprimés et P’’ tendus.
( )α
σ σ '
33
'' 60
12
104.64
12
120.80eP
Y
Y P
xx
M Z
I
M ≤−
−
== X
α
σ σ eP
Y
Y P
xx
M Z
I
M ≤
−
== 60
12
104.64
12
120.80 33
''''
D'oW :25,1
20060
12
104.64
12
120.80 33 ≤
−
M MY10 Nm
'équation de la déormée est donnée par : M EI w EI
M
EI
M w Y
Y Y
Y −=⇒−=−= ''''
$n tégrons 2ois : M EI wY −=''
1C Mx EI w Y +−=′
21
2
2C xC
MxwEI Y ++
−=
Conditions limites pour calculer les constantes d'intégration : en
178 a section droite de la poutreest un rectangle bE3? mm et%E9? mm8# a longueur de lapoutre est de 1 m# e module deL.4/5 vaut 2?? 5)a# acontrainte normale ma!imum nepeut dépasser 12? N)a# Calculer:
a8 le moment léc%issantma!imum quand θ E ?7, 3?7, 9?7#
b8 les lèc%es quand onapplique ces moments de le!ion à c%aque e!trémité#278 a section droite est un 4)# e moment de le!ion appliqué vaut N E ??? /m#Déterminer les dimensions du 4) qui convient dans c%acun des trois cas θE?7, 3?7, 9?7 8 sila contrainte normale ma!imale vaut 12? N)a#
RÈPONSES N1<
1K Mmen! M
e s@stème est autoéquilibré, les réactions en et B sont nulles# Dans la section 5 le *orseurde "ection se réduit a une seule composante du moment suivant l'a!e - : N-EN# *outes lessections 5 sont donc équidangereuses# /ous sommes donc en présence de Fle!ion )ure#)lacons nous à une section quelconque 5# a section étant rectangulaire, nous savons que les@stème d'a!e! principau! est constitué par les deu! a!es de s@métrie# .rientons l'a!eprincipal L comme étant celui qui enregistre le moment d'inertie ma!imum, et déduisons l'a!eQ par une rotation de G[K2#
&K .39a poutre est maintenant incliné de 3?7#e moment de le!ion N n'étant pas porté par l'a!e principal L ni par l'a!e principal Q lale!ion est dite déviée#
in de trouver les points les plus contraints, il nous aut rec%erc%er l'a!e neutre ∆#
'a!e neutre qui est l'a!e de rotation représente le lieu des points de la section oW lacontrainte normale \ !!E?#Dans les a!es principau! son équation est :
Y I
I
M
M Z
Z
Y
Y
Z =
es composantes du moment sur les a!es principau! sont :30cos M M Y = 30sin M M Z −=
D'oW :
Y Y b
hY
hb
bh
M
M Z
22
3
3
30
9030tan30tan
12
1230cos
30sin
−=
−=
−=
6quation de l'a!e neutre : Y Z 196,5−=
( ) 179,ˆ °−=∆= rrY ψ Deu! points les plus contraints )', )''#
e
P
Y
Y P
Z
Z P
xx Z
I
M Y
I
M σ σ ≤
++−= '''
e
h
bh
M b
hb
M σ ≤
++
−−
2
12
30cos
2
12
30sin33
+
≤
2230cos30sin6
bhhb
M eσ
×+
×
≤
22 903030cos
309030sin6
120 M
M.209/ Nm
C'est une valeur comprise entre les deu! e!tremes des cas précédents#
4n arbre de diamètre ? mm est soumis à un momentde le!ion dont les composantes dans 5,$,$$ sont :NLE 1A?#3< /mNQE A?<#3 /m
Calculer :178 la position de l(a!e neutre de le!ion#278 es contraintes normales e!trHmes#
RÈPONSES N18
e moment résultant N est porté par un a!e principal d'inertie )our une section circulaire,tout diamètre étant a!e de s@métrie est principal d'inertie8# a le!ion est donc plane# aposition de l'a!e neutre est donné par l'angle ; :
mm et l(épaisseur de 9 mm estentaillée comme indiquée sur laigure ci contre# 6lle est soumise àun moment de le!ion de 1A? /m#Calculer le ra@on r pour que lacontrainte normale ma!imum ne
dépasse pas 1? N)a#
RÈPONSES N29
$l @ a concentration de contraintes compte tenu du c%angement brusque de la section#
/ous devons c%erc%er le acteur de concentration U à l'aide des abaques ournis en anne!e#
a contrainte normale ma!i dans la section la plus aible, nous est donnée par :
4ne barre est soumise à deu! couples de le!ion N à ses e!trémités#
178 6tude de la section droite# Déterminer:a8 a position du centre de gravité de la section droite#b8 es moments et produit d(inertie de la section dans le repère 5,@,-8#c8 es moments d(inertie principau! et la position des a!es principau! de la section#
278 6tude de la le!ion*a8 Déterminer la position angulaire de l(a!e neutre#b8 Nettre en place sur la igure le point ) le plus tendu et le point )( le plus compriméet donner leurs coordonnées dans le repère 5,L,Q8#
c8 Calculer la valeur du moment N que l(on peut appliquer sans que les contraintesma!imum ne dépassent G< N)a en traction au point )8 et 9? N)a en compression aupoint )(8#
Donc, pour qu'en traction la contrainte ne dépasse pas < N)a , il aut que :M.198 Nmm
e point )' est le plus comprimé :
'
'''
e
P
Y
Y P
Z
Z P
xx Z I
M Y
I
M σ σ ≤
++−= ( ) 9007,7
756
45sin≤−
−−
M
Donc, pour qu'en compression la contrainte ne dépasse pas 9? N)a , il aut que :
M.13419 NmmConclusion :
e moment ma!imum que l'on peut appliquer est le moment le plus petit M.190/ Nm car ilrespecte les conditions limites en traction et en compression alors que si on avait prisNE13,>? R/m, la condition en traction n'aurait pas été respectée#
in de déterminer les constantes d'intégrations, écrivons les conditions au! limites en pour la -one C et la continuité des lèc%es et des pentes en C pour les 2 -ones#
6n : =⇒=′→=
=⇒=→=000000
1
2
C v xC v x 6n C :
=⇒′=′→=
−=⇒=→=
82
482 2
3
3
4
PLC vv
L x
PLC vv
L x
zoneCB zoneAC
zoneCB zoneAC
es équations de la déormée sont donc : ne AC :
+−=
46
123
PLxPx
EI v
z
une cubique
ne CB :
−=
488
132
PL xPL
EI v
z
une droite#
a lèc%e ma!i a lieu en B sur la -one CB pour !E : z
/ous sommes en présence d'un cas %@perstatique e!terne de degré 1, car le problème étantplan , nous disposons de 3 équations de statique et avons à déterminer = inconnues, 2réactions en ainsi qu'moment et une réaction en B#
D%!e"min&!in (e 7@>e"s!&!i$i!% :• $nconnues : =
3 réactions F, F et FB 1 inconnue moment N
E i3n E = ^ 3 E 1 E_ +>e"s!&!i'#e (e (e,"% 1
)our lever l'indétermination provoquée par l'%@perstaticité, nous allons considérer un s@tèmeéquivalent isostatique#C%oissisons comme inconnue %@perstatique la réaction en B et construisons un s@stèmeisostatique sans l'appui en B# )laMons en B une orce verticale F#es 2 6tats $sostatique et @perstatique sont équivalents si le déplacement vertical de la
C&$# (# (%>&$emen! Je"!i$& (e B (&ns 7%!&! iss!&!i'#e E97 :
6n appliquant le principe de superposition, l'état 6?' peut etre décomposé en l'état 6) et 6F#
a lèc%e dans l'état 6?' est la superposition des lèc%es dans les états 6) et 6F :F
vB
P
vBvB δ δ δ +='0
a lèc%e dans l'état 6? en B est la lèc%e nulle dans l' état 6?': 0'00 == vBvB δ δ équation dedéplacement qui nous donne la valeur de F qui s'identiie avec la réaction en B#
PROBLÈME N2.n se propose ici d'étudier un plongeoir de piscine enle!ion voir p%oto cicontre8#
C&"&$!%"is!i'#es >&n$@e (e >n,ei" :
Natériau : "ection creuse :
Composite verreépo!@
• 6 E 21??? N)a• 0e E 2?? N)a
M(%is&!in (# >n,ei" :
P&"!ie I : "%sis!&n$e1# Déterminer les réactions des appuis du plongeoir au sol en onction de )#2# 6!primer littéralement le ou les torseurs de section puis trace- les diagrammes de
sollicitation#3# 6n déduire la section la plus sollicitée#=# )our cette section, déterminer l'e!pression de la contrainte normale ma!i \ ma! en
onction de la c%arge )## "oit ) E 1? ??? /# Faire l'application numérique de \ ma!# Vuel est alors le coeicient
de sécurité de tenue de la structure PP&"!ie II : (%H"m&!in
1# *racer l'allure appro!imative de la déormée de la planc%e sous l'application de )2# "oit le moment de le!ion entre C et D : M . & ; = oW a et b sont 2 constantes#
Donner littéralement l'e!pression de la déormée entre C et D sans résoudre lesconstantes d'intégration#3# 4ne étude e!périmentale a permis de déterminer au point C un angle d'inclinaison de la
planc%e par rapport à sa position initiale à l'%ori-ontal de -/*22
Déterminer alors les constantes d'intégration#=# Vue vaut alors la lèc%e ma!i de la planc%e#
"i, pour une poutre droite à section constante, le torseur de section se réduit à NL, ou NQ,ou les deu! quel que soit la section droite, la poutre est soumise à de la le!ion pure#
1*1* Cn!"&in!es en #n >in! P &>>&"!en&n! W #ne se$!in ("i!e:
Considérons une poutre soumise à de la le!ion pure# a igure cidessous la représente avant et aprèsdéormation# .n constate e!périmentalement que les ibres situées au dessus de la ibre mo@ennes'allongent, alors que les ibres situées sous la ibre mo@enne se raccourcissent# a ibre mo@enne nec%ange pas de longueur : on l'appelle aussi ibre neutre# *outes les sections droites subissent unerotation xθ
e vecteur contrainte en un point ) quelconque d'une section droite " doit satisaire ces > équationsoir cours module F1128
( ) ∫∫=S
xxdAσ 01 ( ) ∫∫ −=S
xy xz dA z y )(04 σ σ
( ) ∫∫=S
xydAσ 02 ( ) ∫∫=S
xx y dA z M σ 5
( ) ∫∫=S
xzdAσ 03 ( ) ∫∫−=S
xx z dA y M σ 6
Des constats précédents nous amènent à conclure que les ibres s'allongeant ou se raccourcissant, ne
sont donc soumises qu'à des contraintes normales dont la variation doit Htre linéairecbzay xx ++=σ et que les contraintes tangentielles sont nulles :
Considérons la poutre cidessous soumise à un moment léc%issant NL#
près application des couples M r
au! e!trémités on constate que:❏ *outes les sections droites subissent une rotation Y θ autour de l(a!e @ parallèle à l(a!eprincipal d(inertie L portant le moment léc%issant et une lèc%e verticale #
❏ *outes les ibres contenues dans le plan !@ contenant la ligne mo@enne8 ne subissentaucune déormation, tandis que les ibres situées audessus du plan !@ subissent unraccourcissement proportionnel à la distance par rapport à ce plan# De mHme les ibressituées audessous du plan !@ subissent un allongement#proportionnel à la distance parrapport à ce plan#
2*2* A;e ne#!"e :e lieu des points oW \E? dans la section droite, est l(a!e neutre ∆# $l est conondu avecl(a!e qui porte le moment léc%issant dans le cas de la le!ion plane# C(est l(a!e de rotationautour duquel tournent les sections droites#
"ous l'eet du moment NQ la ligne mo@enne de la poutre se déorme# "on équation après
déormation vE!8 est aussi appelée déormée et la valeur de la déormée en un pointd'abscisse ! est appelée la lèc%e v#'e!pression du ra@on de courbure 0 d'une équation d'une courbe en coordonnées
cartésiennes est donnée par :( )
v
v
v
R′′≈
′+
′′=
2
3
1
1 compte tenu de nos %@pot%èses petites
déormations et du développement du binOme de /eton ( ) 11 2
3
≈′+ v #
6n considérant un tronMon de poutre 55' de longueur d! lacontrainte normale en un point ) d'ordonnée @ est donnée
par Y I
M
Z
Z P
xx −=σ et vaut d'après la loi de ooRe en
traction( ) ( )
R
EY
dx
Yd E
dx
dx E E
P
xx
P
xx −==∆
== θ
ε σ #
6n identiiant les deu! e!pressions l'équationdiérentielle de la déormée est donnée par :
Z
Z EI
M v =
''
près deu! intégrations on obtient l'équation de la déormée en onction de !, puis lalèc%e ma!imum#
Le ie# (es >in!s _ σ σσ σ . 9 (&ns & se$!in ("i!e0 es! &;e ne#!"e ∆# $l est cononduavec l(a!e qui porte le moment léc%issant dans le cas de la le!ion plane# C(est l(a!e derotation autour duquel tournent les sections droites#
De la relation donnant l'e!pression de la contrainte, on en déduit l(équation de l(a!e neutredans des a!es quelconques :
Comme l(a!e neutre est dévié par rapport au moment de le!ion résultant contrairement àla le!ion plane oW l(a!e neutre et le moment de le!ion sont conondus8, la le!ion est ditedéviée#
3*3* E;>"essin (e & $n!"&in!e (e He;in (&ns #n "e>"e '#i $n!ien! &;e ne#!"e:
"oit v un a!e perpendiculaire à l(a!e neutre ∆ , tel que le repère ∆ ,v,` soit direct#.n montre que dans ce repère la contrainte de le!ion se calcule par:
v x I
M
∆∆
∆=σ
avec: ∆∆∆−++= ψ 2cos22
Z Y Z Y I I I I I
Les >in!s es >#s si$i!%s sn! $e#; '#i sn! es >#s %i,n%s (e &;e ne#!"e ∆*
3** E'#&!in (e & (%H"m%e :.n applique le principe de superposition# Compte tenu des e!pressions de v et obtenu auparagrap%e 1?#2#=# a lèc%e résultante à l'abscisse ! s'obtient par :
22wv f +=
3*/* CeHHi$ien! (e s%$#"i!%:$l aut tout d(abord rec%erc%er l(a!e neutre ∆ , ain de déterminer la position des pointssoumis au! contraintes ma!imum de traction et de compression# a démarc%e est ensuite lamHme que pour la le!ion plane#
"i, pour une poutre droite à section constante, le torseur de section se réduit à * L, ou * Q et NL, ou NQ, ou les deu!8 quel que soit la section droite, la poutre est soumise à de lale!ion simple#
1*1* Re&!in en!"e 7eHH"! !"&n$@&n! e! e mmen! H%$@iss&n!:Considérons le tronMon de poutre 55', etsupposons que les seules actions e!térieuresqui s'e!ercent sur ce tronMon sont une c%argelinéique uniorme q )our simpliier ladémonstration considérons uniquement lacomposante suivant @ : q @8#
∧−∧+=
−=
qdxgG RGG M M
dxq R R
GGG
GG
'''
'
−−=+
+=+
2
2dx
qdxT M dM M
dxqT dT T
y y z z z
y y y y
6n négligeant les termes du second ordre : dxdM T
dxdT q z
y
y
y −==
6n considérant la composante - : q- : dx
dM T
dx
dT q
y
z z
z ==
Cn!"&in!es en #n >in! P &>>&"!en&n! W #ne se$!in ("i!e:
.n constate e!périmentalement comme dans la le!ion pure que les ibres situées au dessus de la ibremo@enne s'allongent, alors que les ibres situées sous la ibre mo@enne se raccourcissent
a relation P
yz zz yy
zz y yz zP
yz zz yy
yy z yz yP
xx z
I I I
I M I M y
I I I
I M I M 22 −
++
−
+−=σ reste valable car l'eort tranc%ant pertube
peu les contraintes normales, de mHme pour la courbure#
6ntre c%aque ibre, on enregistre des variations delongueur qui impliquent l'e!istence de contraintestangentielles longitudinales τ dans le plan -!, et comptetenu de la réciprocité des contraintes tangentielles
transversales τ* dans le plan !@#
$solons le bout de poutre délimité par 'B'C'BC :
6crivons l'équilibre statique de ce tronMon, en considérantla composante suivant l'a!e ! :
( ) 0'''''
=+++− ∫∫ ∫∫∫∫ ABC AB B A
L xx xx
C B A
xx dldxdAd dA τ σ σ σ
0=+∫∫ ∫∫ ABC AB
L xx dldA
dx
d τ
σ
a contrainte normale vaut :
P
yz zz yy
zz y yz zP
yz zz yy
yy z yz yP
xx z
I I I
I M I M y
I I I
I M I M 22
−
++
−
+−=σ
Donc :P
yz zz yy
zz z yz yP
yz zz yy
yy y yz zP
xx z I I I
I T I T y
I I I
I T I T
dx
d 22 −
+−+
−
−−=
σ compte tenu que
dx
dM T z
y −= et
dx
dM T
y
z =
∫∫∫∫∫∫∫∫ −
+−+
−
−−=
−
+−+
−
−−=
ABC
P
yz zz yy
zz z yz y
ABC
P
yz zz yy
yy y yz z
ABC
P
yz zz yy
zz z yz yP
yz zz yy
yy y yz z
AB
L dA z I I I
I T I T dA y
I I I
I T I T dA z
I I I
I T I T y
I I I
I T I T dl
2222τ
vec les déinitions des moments statiques : ABC
z
ABC
PQdA y =∫∫ et
ABC
y
ABC
PQdA z =∫∫
−
+−+
−
−−= ABC
y
yz zz yy
zz z yz y ABC
z
yz zz yy
yy y yz z
AB
L Q I I I
I T I T Q
I I I
I T I T
L22
1τ
"i le s@stème d'a!e @- est principal d'inertie le produit d'inertie étant nul8 :
Considérons la barre de la igure cidessus# 6lle est soumise à deu! orces égales et opposéesde 31=1,> /# a section droite est circulaire de diamètre 1? mm#
178 Déterminer les éléments de réduction du torseur de section au centre de gravité 5 de lasection droite nn#278 Déterminer l(e!pression de la contrainte normale ma!imum _? 8 dans la section droite nnla mettre sous la orme a G b% oW a et b sont des constantes réelles8#378 a contrainte ma!imum ne pouvant e!céder 232 N)a, en déduire la valeur de %#=78 Déterminer alors la position de l(a!e neutre#
4n arbre c@lindrique de diamètre d, de longueur E1m, est sollicité par un eort FE 19>3 /,
et un couple C longitudinau! comme indiqué sur la igure cicontre#$l est constitué d'un matériau a@ant comme Nodule de Loung : 2?? 5)a# Coeicient de )oisson : 1K3#
Des mesures e!périmentales ont permis d'enregistrerl'allongement longitudinal du c@lindre ?,2 mm, ainsi quela rotation des sections e!trHmes 1,27 #Calculer :
18 e diamètre d du c@lindre en mm#28 e rétrécissement du diamètre d en mm
38 a contrainte normale ma!imale en N)a#=8 e module de Coulomb du matériau#8 e couple C appliqué en m/#>8 a contrainte tangentielle ma!imum en N)a#
4ne poutre à section rectangulaire 3?1?8 , est encastrée à son e!trémité , et soumise àl'autre e!trémité B à une orce de 3? R/ appliquée en C comme indiqué sur la igure cicontre#
18 Déterminer les composantes du torseur de section au centre de gravité 5 de lasection droite "#
28
Calculer les contraintes normales au! points ) et )' de la section droite "#38 *racer le diagramme représentant les variations de la contrainte normale dans lasection droite "#
=8 Désirant un coeicient de sécurité de 2, quelle est la limite élastique du matériauqu'il aut c%oisir#
4ne poutre de section en orme de Q ?A??8 d'épaisseur > mm, a été entaillé commel'indique la igure cidessous# 6lle est soumise à deu! eorts de traction F E 1? R/ à sese!trémités et B# a ligne d'action des orces F est NB
a section droite " de la poutre est représentée sur la igure cicontre à %$@ee 1# escotes sont en mm#Le $en!"e (e ,"&Ji!% es! n!% G e! es &;es $en!"&#; e! sn! (nn%s s#" & Hi,#"e&insi '#e es* moments d(inerties et produit d'inertie par rapport à ces a!es
178 Détermine- les coordonnées de 5 dans le repère OaX0K* 278 Détermine-, dans le repère G0;00K, les composantes du torseur de section au centre degravité 5 de la section droite " les orces en /, les moments en mm/8#
378 Détermine- léquation de l(a!e neutre global de la section " dans le repère G00K en lamettant sous la orme -Ea@Gb et représente- cet a!e sur la igure#
=78 Nette- en place sur la igure le point ) le plus tendu#
78 Calcule- la valeur de la contrainte normale globale au point ) en N)a#
)our que ce s@stème admette des solutions autres que la solution banale tout égal à -éro,écrivons que le déterminant des coeicients des inconnues est nul#
0
0cossin
10
10
2
2
=−=∆
L L
EI
EI
L
Z
Z
ω ω
ω ω
ω
6n développant le déterminant, nous obtenons :
L L ω ω =tan
6quation transcendante dont la résolution ne peut Htre que grap%ique ou numérique#
pproc%ons la solution grap%iquement# *raMons la onction @1E et @2Etan # es pointsd'intersection nous donnent les solutions# /ous retenons la plus petite racine non nulle :
section droite rectangulaire estencastrée à l(e!trémité C et supporteune orce centrée de compression ) àl(autre e!trémité D# Deu! plaques en vésont i!ées à l(e!trémité D permettant àla barre de lamber dans le plan -! e!&#ssi dans le plan -@#178 Déterminer le rapport bK% pour queles contraintes critiques d(6460 soientégales dans les deu! cas#
278 "ac%ant que: E >?? mm6 E 21? 5)a) E >? R/
déterminer les dimensions b et % de lasection droite pour avoir un coeicientde sécurité de 2# en appliquant lat%éorie d(6460# ériier que pour cesdimensions on peut eectivement
appliquer la t%éorie d(6460 sac%antque la limite élastique en compression du matériau vaut 2=? N)a#378 Calculer le coeicient de sécurité en appliquant la t%éorie de D4*6$#
RÈPONSES N32 1K
NHme contrainte critique d'6uler \ c implique mHme élancement #
.n veut vériier au lambement la barre BC cicontre de diamètre d et de longueur 8# a liaison en est un encastrement, la liaison en B un contactponctuel sans rottement#
) E 11? R/ dE 3? mm E ?#> m#
.n utilise un acier de limite élastique \ e E 2=? N)a et de module de L.4/5 6 E 21? 5)a#
a c%arge critique d(6460 vaut: PEI
LCE =
54152
. # .n utilise la t%éorie de D4*6$#
178 Calcule-:a8 µ on rappelle que, quelles que soient les liaisons, la c%arge critique d(6uler peut se
mettre sous la orme: PEI
LCE =
π
µ
2
2( )8#
b8 le ra@on de giration ρ de la section en mm8#c8 l(élancement λ de la barre#
278 a barre lambetelleP Zustiie- votre réponse8#
a8 "i non, calcule- le coeicient de sécurité#
b8 "i oui, calcule- le diamètre d en mm8 à donner à la barre les diamètres varient de 2mm en 2mm8#
a barre rigide BCD est supportée par deu!colonnes B6 et CF susceptibles de lambervoir igure cicontre8# es liaisons ponctuellesen et D empHc%ent les déplacementslatérau! des points B et C# es liaisons en B, Cet F sont des verrous, la liaison en 6 est unencastrement# es deu! colonnes B6 et CF ontune section droite carrée de 1> mm de cOté#e module de L.4/5 du matériau vaut 21?5)a, ses limites élastiques en traction et
compression sont identiques et valent 2=?N)a#
178 Nontrer que l(on peut appliquer la t%éorie d(6460 pour calculer les c%argescritiques qui ont lamber les colonnes B6 et CF# Calculer alors ces c%arges critiques en R/8,en appliquant la t%éorie d(6460#
278 4ne orce verticale V agit sur la barre rigide BCD à une distance ! de la colonneB6#a8 a distance ! vaut ?#= m#Calculer en R/8 la valeur critique de la c%arge V qui ait lamber l(une des deu! colonnes, enprécisant la colonne concernée#b8 a distance ! peut varier de ? à 1 m#)our quelle valeur de ! en mm8 la valeur critique de V estelle ma!imumP 6n déduire en R/8la valeur critique ma!imum de V#
Considérons la structure représentée sur laigure cidessous# e poteau B de longueur 9m,dont la section droite est un proilé 6 22? estsoumis à un eort de compression )# $l estencastré à son e!trémité , la liaison en B estconsidérée comme une articulation dans le plan!- rotation possible autour de @ soit fE?,< 8 etcomme un encastrement dans le plan @- rotationempHc%ée autour de ! soit fE?, 8#e matériau est un acier 62=? dont les
caractéristiques élastiques sont : \ eE\ e'E2=?N)aet 6E21?5)a#
18 Calculer les moments d'inertieprincipau! $L et $Q de la section droitede la poutrelle en cm=8#
28
Déterminer le plan dans lequel lepoteau risque de lamber, en calculant les élancements dans les deu! plans#38 6n appliquant la t%éorie
d'6uler, calculer la c%argema!imale en R/8 decompression admissible pouravoir un coeicient desécurité de 2#
6ectuons un essai de compression sur une éprouvette longue, de mHme ordre de grandeurque celle utilisée en traction# /ous constatons qu(elle léc%it avant d(atteindre la limited(élasticité en compression #a lèc%e augmente considérablement a la suite d'uneinstabilité, entrainant la ruine de la structure# Ce p%énomène est le lambage# a valeurma!imum de la contrainte de compression est la contrainte critique de lambage# C(est leseul cas oW la contrainte de compression est prise positive par convention# 6lle est donnéepar :
0 A
Pcc =σ
Ce p%énomène de lambement est très diicile à prévoir car les imperections géométriques de lapoutre, de sa section, du matériau et des conditions d'applications des sollicitations et des liaisonsrentrent pour une grande part dans le lambement#
)our étudier le lambement, il aut abandonner une des %@pot%èses ondamentales du cours sur lat%éorie des poutres# ors du lambement les déplacements ne sont plus petits, nous ne pouvons plus lesnégliger et la t%éorie du premier ordre ne convient pas à e!pliquer le p%énomène# /ous devonsconsiderer une t%éorie au deu!ième ordre, ou les conigurations initiales et inales des poutres neconcident plus# /ous allons considérer la poutre dans son état déormée pour calculer le *orseur de
Considérons une barre de longueur , articulée à ses deu! e!trémités, soumise à un eortde compression# es articulations sont paraites, c(est à dire dans toutes les directions# apoutre lambe, c(est à dire léc%it dans le plan perpendiculaire à l(inertie minimum voir hsur les inerties8#
AJ&n! D%H"m&!in :
⇒∧=
−=
⇒=
0
0
0
r
BG
x
BG
F GB M
P N
F R
A>"s D%H"m&!in :
−=
⇒∧=
−=
⇒=
vP M
F GB M
P N
F R
c Z
BG
x
BG
0
0
0
0
ppliquons l'équation de la déormée vue au c%apitre le!ion : Z
Z
EI
M v ='' #
e moment léc%issant en 5 : vP M c Z −= d'oW : 0=+′′ vPv EI c Z )osons Z
6quation diérentielle du second ordre à coeicient constant et sans second membre# a solutiongénérale s'écrit :
( ) ( ) x B x Av ω ω sincos +=
es conditions au! limites au! appuis nous permettent de calculer les constantes d'intégration et B#
( )
( ) ( )π ω ω
ω k L L
B L Bv B Appui
Av A Appui
LC L
=⇒=
≠=⇒=
=⇒=
0sin
00sin0:
00:
..
0
'équation de la déormée s'écrit : ( )
= x
L
k Bv x
π sin et comptetenu de
Z
c
EI
P=2ω
2
22
L
EI k P Z
c
π =
a première c%arge critique est donnée pour RE1 :
2
2
L
EI P Z
c
π =
et la déormée s'écrit :
( )
= x
L Bv x
π sin
a déormée est donc sinusodale, mais cette t%éorie énoncée par 6uler ne permet pas de résoudretotalement le problème# 6n eet la c%arge critique )c est indépendante de la lèc%e, et la lèc%e ne aitpas intervenir le matériau ce qui parait surprenant# Cette t%éorie n'est qu'une première approc%e#
.n peut de la mHme manière calculer les autres valeurs de c%arges critiques pour { }...4,3,2∈k # es
déormées associées à ces diérentes c%arges critiques sont appelées modes de lambement#
2*2 inH#en$e (es i&isns*6n se rapportant au cas de base, dans tous les cas, la c%arge critique peut se mettre sous laorme :
2
2
F
vvc
L EI P π =
.W $vv est l(inertie minimum , F est la longueur ictive de lambage , avec L LF µ =
et µ uncoeicient qui tient compte de l'inluence des liaisons#
3 Cn!"&in!e $"i!i'#e (EULER
a contrainte critique d(6460 est donnée par :
( )0
2
2
0 A L
EI
A
P
F
vvcr
E c
π σ ==
"ac%ant que :0 A
I vvv = ρ
est le ra@on de giration par rapport à l(a!e v# et quev
F L
ρ λ =
est
l(élancement de la poutre, nous avons : ( )
2
2
λ
π σ
E E c =
/ous pouvons tracer la courbe de lambage d(6460 en onction des élancements pour unmatériau donné# a courbe d(6460 doit Htre limitée par la limite d(élasticité de
compression, ce qui nous impose un élancement limite 'lim
"i limλ λ ⟩ , nous aisons une vériication à la condition de non lambage par :( )
E c A
Pσ σ ⟨=
0
"i limλ λ ⟨ , nous aisons une vériication à la compression pure par : '
0
eS
Pσ σ ⟨=
a courbe d(6460 est composée de deu! courbes d(équations diérentes, ce qui n(estpas satisaisant# De plus, pour de aibles élancements, les points e!périmentau! sont situésau dessous de la courbe# a t%éorie d'6uler a ses limitations, et ne permet de décrire que lemoment ou la poutre lambe#