7/23/2019 RDM Chapitre 1 v1 http://slidepdf.com/reader/full/rdm-chapitre-1-v1 1/50 Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres M. ARFAOUI 3 Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres Objectifs : à la fin de ce chapitre, l’étudiant doit être capable de : 1. reconnaitre et définir une poutre 2. passer de la modélisation par la MMC3D à la MMC1D de la géométrie d’une poutre et des actions 3. comprendre l’utilité du torseur des actions internes 4. comprendre le principe de Saint-Venant 5. comprendre savoir ce que dit et comment/quand appliquer le PFD et le PFS 6. déterminer les inconnues des actions de liaison
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Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
M. ARFAOUI 4
1.1. Introduction
Le point de départ de toute théorie mécanique est la description géométrique du
système que l’on souhaite étudier. Pour un même solide réel, on connait au moinsdeux descriptions géométriques possibles : la mécanique des solides rigides (MSR) et
la mécanique des milieux continus tridimensionnels (MMC3D).
L’objectif poursuivi dans ce chapitre est la construction d’une description
géométrique et d’une modélisation des actions associées aux poutres qui, tenant
compte du caractère élancé de l’objet d’étude, se focalise sur les changements de
géométrie « longitudinaux ».
Cependant, pour déterminer les actions des liaisons reliant les différentes poutres
d’une structure, il est nécessaire de connaitre le comportement dynamique de la
structure complète. Pour ce type d’étude, le détail des déformations internes à chacun
des éléments de la structure de poutres est négligé, pour se limiter à l’étude des
mouvements relatifs entre ces éléments. Pour cela, une partie du chapitre sera
consacrée à la description de la cinématique dans le cadre de la mécanique des solides
indéformables. Puis les principes fondamentaux seront exprimés en utilisant le
formalisme associé à ce schéma cinématique. Une fois que les outils permettant de
mettre les problèmes en équations auront été présentés, des méthodes de résolution
des systèmes d’équations obtenus seront présentées, dans le cadre des petits
mouvements autour d’une position connue (initiale).
1.2.
Passage de la modélisation géométrique par la MMC3D
d’une poutre à celle de la MMC1D
1.2.1.
Introduction
Définition 1.1. Comment reconnait-on une poutre ou un milieu curviligne ?
Une poutre ou un milieu curviligne est un solide élancé dans une direction où une
dimension dans une direction est plus importante que dans les deux autres.
Remarque 1.1. On peut donc assimiler un tel milieu à une courbe matérielle d’où
Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
M. ARFAOUI 6
Remarque 1.2.
Si le rayon de courbure C R est faible ou que la section varie brutalement, on parlera
plutôt de structure de poutres ou de poutre définie par morceaux et il faudra
considérer les concentrations de contrainte (voir chapitre 3).
Définition 1.3.
Une poutre est droite, plane ou gauche, suivant que la ligne moyenne est rectiligne,
située dans un plan ou quelconque. Une poutre est dite à section variable ou
constante, suivant que la section droite d S varie ou non le long de la poutre.
Définition 1.4.
On appelle « fibre longitudinale » un volume généré par une petite portion dS de la
section droite d S suivant une courbe parallèle à la ligne moyenne. On appelle « fibre
neutre » la fibre générée par la ligne moyenne elle-même. On appelle tube toute
poutre creuse. Si l’épaisseur du tube e est faible devant le diamètre d de la section
droite, figure (1.2.).
Proposition 1.1.
La philosophie de l’approximation de la modélisation géométrique par la mécaniquedes milieux continus unidimensionnels « MMC1D » d’une poutre consiste donc à
assimiler la modélisation géométrique par la mécanique des milieux continus
tridimensionnels « MMC3D » (la poutre tridimensionnelle) à un milieu continu
unidimensionnel et à concentrer ou réduire (localement) chaque section droite en un
point, figure (1.3.).
Remarque 1.3.
En adoptant la démarche de la proposition (1.1), on perdra bien évidement de
l’information – c’est là que réside la modélisation – mais on y gagnera deux
dimensions et les équations aux dérivées partielles (trois variables) de la mécanique
des milieux continus tridimensionnels « MMC3D » deviendront des équations
différentielles ordinaires (une seule variable) que l’on pourra résoudre à la main.
Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
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Suivant le cas, ces données peuvent être réelles (poids d’un plafond reposant sur une
poutre) ou réglementaires (poids de la neige ou action du vent sur un bâtiment,
convoi type pour un pont). Suivant le cas, ces actions peuvent être réparties avec un
torseur linéique (poids propre d’une structure, entrainement dû à une rotation) ouconcentrées en un certain nombre de points avec des torseurs ponctuels. Enfin, ce
sont des actions permanentes (poids, action concentrée statique) ou actions
temporaires (action d’entrainement due à la rotation). De toute façon, pour
l’ingénieur, elles font partie du cahier des charges, et nous les supposerons connues.
Les actions appliquées seront donc caractérisées par :
- un certain nombre d’actions concentrées aux points K , ces actions étant données
par leurs torseurs( )
( )
K ext / K , K
F .
- une densité linéique de charge donnée par son torseur( ) ( )
( )
0 1
G
ext / G G , Gµ
1.3.2.2
Actions inconnues de liaison
Une poutre est reliée au monde extérieur par un certain nombre de liaisons. Le
monde extérieur est considéré comme Galiléen et un repère Galiléen g R lui est
associé. Une liaison introduit un certain nombre de conditions cinématiques de
liaison. Pour maintenir ces liaisons, il faut exercer des actions de liaison qui sont des
inconnues du problème.
Définition 1.10.
Une liaison au point A, entre deux solides 1S et 2S , est définie par son torseur
cinématique( )
( ) ( )
( )
2 1
2 1 A
S / S , A
A 2 1 A
S / S V
V S / S
Ω ⎧⎪= ⎨
⎪⎩
associé au champ de vitesses et relatif au
mouvement du solide 2S par rapport au solide 1S et défini dans le repère relatif
d’origine le point A lié au solide 1S . ( )2 1S / S Ω et ( ) A 2 1V S / S sont, respectivement, la
vitesse de rotation et la vitesse relatives du solide 2S par rapport au solide 1S .
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Torseur
cinématique
Torseur
statique
Schématisation
Encastrement x y z
u u 0ω = = =
x R , y R , z M
qcq
Glissière x zu 0ω = =
yu qcq libre
x z R ,M qcq,
y R 0=
Articulation x yu u 0= =
zω qcq libre
x R et y R
qcq, z M 0=
Appui simple yu 0=
xu et z
ω qcq
libre
y R qcq,
x z R M 0= =
Ressort
hélicoïdal
yu relié à y R
xu et zω qcq
libre
y y R k.u= −
qcq,
x z R M 0= =
Ressort spiral zω relié à z M
xu et yu qcq
libre
z z M C.ω = −
qcq,
x y R R 0= =
Tableau 1.1. Liaisons planes
1.3.3.
Modélisation des actions intérieures
Définition 1.13.
Soit une poutre définie par sa ligne moyenne 0 1G G , orientée positivement (+) de 0G
vers 1G , et sa section droite d S Les actions internes sont les actions exercées sur une
partie (la partie (-)) de la poutre par la partie complémentaire (la partie (+)). Nousintroduisons une coupure en un point quelconque G qui rend extérieur les actions
internes, et nous caractérisons les actions intérieures par les actions exercées sur la
partie (-) par la partie (+). Le torseur des actions internes est le torseur résultant de
l’action de contact du vecteur contraint .nσ en tout point P de la section droite
Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
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1.3.3.1
Liaisons internes parfaites
Définition 1.14.
Une structure est un assemblage de poutres. Les liaisons entre les éléments d’une
même structure sont dites internes. Ces liaisons, schématisées ponctuelles, sont ditesparfaites si le travail des actions de liaison interne est nul pour tout mouvement
compatible avec la liaison. Soit deux éléments (+) et (-) en contact au point I . en
distinguant I + et I − selon que le point est considéré comme appartenant à la poutre
(+) ou (-), on note :( )u +
et( )u −
les translations des points I + et I − ( )
ω +
et( )
ω −
les rotations des points I + et I −
/ R+ − et / R− + les résultantes des torseurs des actions de contact en I .
/ C + − et / C − + les résultantes des torseurs des actions de contact en I .
Le travail des actions de liaison interne s’écrit en vertu du théorème de l’action et de
la réaction :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) / / / / / / W R .u C . R .u C . R . u u C . 0ω ω ω ω + + − − + − + −
+ − − + + −+ − − + + −= + + + = − + − =
Remarque 1.14.
La liaison externe d’une structure de poutre avec l’extérieur, définie dans la section
(1.3.2.2.), est un cas particulier de la liaison interne. En effet, une liaison externe
d’une structure de poutre avec l’extérieur est réalisée avec un bâti immobile et il
suffit de définir le bâti comme la partie (+) ou (-). Le torseur cinématique U + ou U −
devient nul dans l’expression du travail de la liaison interne de la section (1.3.2.2.) et
on retrouve l’expression du travail d’une liaison externe.
Exemples 1.4.
Encastrement mutuel.C’est le cas de deux poutres soudées. La liaison assure la continuité des déplacement
et des rotations :
u u+ −
= et ω ω + −
=
Le travail W est nul pour tout mouvement compatible avec l’encastrement mutuel et
les actions de liaisons internes / R+ − et / C + − sont quelconques et peuvent être nuls ou
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On définit le torseur résultant des actions dynamiques( ) ( ) ( )g D / ', O O
F D '/ RΞ
Σ = − . On
parle, dans ce cas, du principe fondamental de l’équilibre dynamique (PFED).
Remarque 1.15.
La deuxième forme est souvent utilisée si le torseur dynamique ( ) ( )gO D '/ RΣ est unedonnée du problème. Le torseur résultant des actions dynamiques
( ) ( ) ( )g D / ', O OF D '/ R
Ξ Σ = − sera considéré comme un torseur d’actions extérieures
supplémentaires.
Remarque 1.16. Remarques sur le PFD
• Le PFD n’est concerné que par les actions extérieures et dynamiques sur un sous
système matériel ' Σ . Il est donc nécessaire d’isoler un sous système matériel avant
d’appliquer le PFD. Le choix du sous système matériel ' Σ nous est laissé libre.
Néanmoins, il est plus judicieux de choisir un sous système rendant les actions de
liaison extérieures. La démarche consiste donc à : (1) choisir un sous système matériel
' Σ , (2) faire l’inventaire des actions extérieures et exprimer leurs torseurs au même
point, (3) calculer le torseur dynamique( ) ( )gO
D '/ RΣ , (4) appliquer le PFD.
• Le torseur statique des actions extérieures caractérise l’aptitude de ces actions à
imprimer un mouvement global à ' Σ . La résultante tend à imprimer un mouvement
de translation alors que le moment tend à imprimer un mouvement de rotation.
• Un torseur associé à une action ne caractérise que faiblement cette action. Il n’est
pas possible de remonter à partir de la donnée d’un torseur associé à une action, à
l’action précise qu’il représente. Le torseur des actions est une résultante : il y aune
infinité de distributions d’actions extérieures donnant lieu à la même résultante.
• Du fait que le PFD se contente d’une caractérisation torsorielle des actions
extérieures, le principe fondamental de la dynamique PFD ne distingue pas deux
systèmes d’actions extérieures s’ils sont représentés par le même torseur. On dit alorsque les deux systèmes d’actions sont torsoriellement équivalents.
• Le PFD ne dépend ni de la géométrie du système matériel, ni de la température, …
• Le PFD est écrit dans la configuration actuelle ; en effet, les actions extérieures et
dynamiques sont à caractériser dans la configuration actuelle inconnue. Dans le cadre
de l’hypothèse du HPP, les deux configurations initiale (naturelle) et actuelle peuvent
être confondues et le PFD peut s’écrire sur la configuration initiale. Cette hypothèse
du HPP simplifie l’application du PFD en caractérisant les actions extérieures et
Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
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Définition 1.19.
Soit une structure de poutres, composée par p N poutres, assemblées par des liaisons
internes entre elles et externes avec l’extérieur. Le nombre des inconnues statiques
externes et internes est s N . L’application du PFS ou le PFD donne lieu à larésolution d’un système matricielle linéaire de éq p N 6.N = ( éq p N 3.N = dans le cas plan)
équations indépendantes :
[ ] A . X b= avec [ ] éq s A N N ⎡ ⎤= ×⎣ ⎦ , s X N = et éqb N =
On appelle sr le rang de la matrice [ ] A , c'est-à-dire l’ordre le plus élevé de la sous
matrice carré [ ] A' de [ ] A ayant un déterminant non nul. On a évidemment s éqr N ≤ .
On définit la mobilité de la structure de poutres par éq sm N r 0= − ≥ et l’hyperstacité
par s sh N r 0= − ≥ . Si m>0 la structure de poutres est dite mobile, autrement elle est
non-mobile. Si h>0 la structure de poutre est dite hyperstatique, autrement elle est
isostatique.
Proposition 1.8. La démarche
Analyse de la mobilité : si le système de poutres est simple, on utilise la définition
(1.18). Dans le cas où le système de poutres est complexe, on utilise la définition
mathématique (1.19.). L’écriture du PFS, c'est-à-dire le système matriciel
[ ] A . X b= , permet d’analyser la mobilité. Si le système est mobile, le PFD est
appliqué. Si le système de poutres est non-mobile, le PFS est appliqué.
Analyse de l’isostacité : l’écriture du système matriciel [ ] A . X b= et l’exploitation
de la définition (1.19.) permet d’analyser l’isostacité du système de poutres. Si le
système de poutres est isostatique, les inconnues statiques sont déterminées par
l’exploitation du PFD ou PFS. Si le système de poutres est hyperstatique, les
inconnues statiques ne sont pas entièrement déterminées.
Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
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Il est possible de déterminer le torseur des actions internes par la méthode de la
coupure. De même que l’exemple précédent, cette poutre est isostatique (h=0 ) et ne
présente pas de mobilité (m=0 ).
Exemple 1.7. Poutre mobile ou non mobile et isostatique ou hyperstatique
L’exemple précédent est repris avec différentes conditions d’appuis.
Figure 1.14. Poutre mobile ou non mobile et isostatique ou hyperstatique
Cas -1. le PFS permet de trouver 3 équations scalaire
( )
( )( ) A
C
A
A B
Bmom/ A
i , X 0
j , Y Y F
k , l.Y .l.F α
=⎧⎪⎪
+ =⎨⎪
+ =⎪⎩
,
p
s
éq p
N 1
N 4
N 3.N 3
=
=
= =
, ⇒ sr 3= , éq sm N r 0= − = , s sh N r 1= − =
Ce système de 3 équations comporte 4 inconnues statiques ( ) A A A BC ,X ,Y ,Y . Le système
n’est pas mobile (m=0 ). On ne peut déduire toutes ces inconnues par la seuleapplication du PFS (h=1). On remarquera que A X est ici statiquement déterminée,
mais que l’indétermination porte sur ( ) A A BC ,Y ,Y . Le torseur des actions internes reste
aussi indéterminé. La poutre est « trop » appuyée. La poutre est dite hyperstatique
et ne présente pas de mobilité.
Cas-2. Le PFS permet d’obtenir 3 équations scalaires.
Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
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( )
( )( )
0
A B
Bmom/ A
i , 0
j , Y Y F
k , l.Y .l.F α
=⎧⎪⎪
+ =⎨⎪
=⎪⎩
,
p
s
éq p
N 1
N 2
N 3.N 3
=
=
= =
, ⇒ sr 2= , éq sm N r 1= − = , s sh N r 0= − =
D’un point de vue mathématique, les équations d’équilibre sont vérifiées et lesinconnues statiques peuvent être déterminées, et aussi le torseur des actions internes.
Néanmoins, il s’agit bien d’une poutre insuffisamment appuyé, le mouvement de
translation horizontale est possible (0=0 ). Toutefois, la force F , parce que verticale,
ne sollicite pas la structure. Cette structure sera quand même considérée mobile parce
que, pratiquement, la force F ne saurait être parfaitement verticale (la moindre
composante horizontale solliciterait la mobilité de la structure). Cette poutre est donc
isostatique, mais mobile (insuffisamment appuyée). Il faut exploiter le PFD !
Cas-3
Le PFS appliqué à la poutre du cas-3 permet de déduire les équations du problème :
( )
( )( )
A
A
mom/ A
i , X 0
j , Y F
k , 0 .l.F α
=⎧⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎩
,
p
s
éq p
N 1
N 2
N 3.N 3
=
=
= =
, ⇒ sr 2= , éq sm N r 1= − = , s sh N r 0= − =
Les équations d’équilibre ne peuvent être vérifiées en raison de la troisième équation.
Il n’y a pas de solution aux équations d’équilibre. Il faut exploiter le PFD !
Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
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L’écriture du PFS sur la structure de poutres (AB ) et la poutre (CB ),
respectivement, au point A et C donne le système d’équations suivant :
( )
( )( )
en
A
A B
A B
PFS / AB A
i X 0
j Y Y F
k C 5.a.Y 4.a.F
⎧⎪ =⎪⎨
+ =⎪⎪ + =⎩
,( )
( )( )
en
2.a
C
C B
B
PFS / CB C
i X 0
j Y Y F
k .Y a.F
⎧⎪ =⎪⎨
+ =⎪⎪ =⎩
,
L’écriture du PFS sur la poutre (AC ) est remplacée par celle de la structure de
poutres (AB ). L’analyse de ces équations permet de déduire la mobilité et
l’isostaticité de la structure de poutres :
p s éq p N 2, N 6 , N 3.N 6 = = = = , ⇒ sr 6 = , éq sm N r 0= − = , s sh N r 0= − =
La structure de poutres est non-mobile et isostatique. La détermination de toutes les
inconnues externes et internes est possible. L’analyse des équations de la statique ne
permet de déterminer aucune inconnues statiques.
Remarque 1.20. Commentaires sur l’exemple 1.10.
Si on ne souhaite pas calculer les actions de liaison interne ( )c c X ,Y , le PFS sur la
structure de poutres (AB ) donne un système matriciel de 3 équations et 4 inconnues.Afin de compléter le système d’équations par une quatrième équation, on exploite
seulement l’équation du moment de l’application PFS sur (AB ) exprimée au point C .
Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
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( ) ( )
( )
B
B
ext / AB , A B
A B A
F Q.iF
C C AB F 0
⎧ =⎪= ⎨
= + ∧ =⎪⎩
Le torseur dynamique s’écrit dans le repère galiléen :
( )
( )
( )( ) ( )
g
G
A g A g
A g G g
R A
m. C
d AB / R D AB / Rm.V A / R V C / R
dt
γ
σ δ
⎧⎪⎪
= ⎨= + ∧⎪
⎪⎩
Or le point A est fixe, ( )gV A / R 0= . Le vecteur accélération se calcule à partir de la
dérivée du vecteur position du centre de gravité G G AC AC .i= . En toute rigueur, ladistance G AC n’est pas fixe car l’arbre est déformable et il est nécessaire de
distinguer les positions initiale ( ) ( )0
GC t 0,a,0,0= et actuelle ( ) ( )t
GC t ,a ,0 ,0 du centre de
gravité. Cependant, l’hypothèse de petites perturbations (HPP) permet de confondre
les configurations initiale et actuelle. Le centre de gravité actuel ( ) ( )t
GC t ,a ,0,0 a des
petits mouvements autour de la position initiale. De même, l’hypothèse de non
vibration permet de prendre ( )GC 0γ = , si la vitesse de rotation Ω n’est pas très
grand. Le torseur dynamique prend la forme suivante :
( ) [ ] ( ) ( )
g
g A g A g A
R A
0
d AB / R D AB / R J AB / R .
¨dt
Ω δ
⎧⎪⎪
= ⎨ =⎪⎪⎩
Où [ ] ( )g A J AB / R est l’opérateur d’inertie de l’arbre par rapport au repère galiléen
défini au point A. Cet opérateur diagonal se déduit à partir de l’opérateur d’inertie
défini au centre de gravite GC [ ] ( )gG J AB / R via le théorème de Huygens.
La projection des équations vectorielles de la résultante et du moment dans le repère