Rastavljanje izraza na proste faktore

Rastavljanje izraza na proste faktore

Begzada Kišić

Prirodne brojeve dijelimo na proste i složene

Prosti prirodni brojevi su 2 3 5 7 11 13 17 19

Prosti brojevi su djeljivi samo sa sobom i sa jedinicom

Složeni brojevi su 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18

Složeni prirodni brojevi se mogu napisati u obliku proizvoda dva ili više prostih brojeva tj možemo ih rastaviti na proste faktore

4=2bull2 6=2bull3 8=2bull2bull2 9=3bull3 10=2bull5 faktori složenog broja su njegovi djelioci

I cijeli algebarski izrazi (polinomi) mogu biti prosti i složeni

Rastaviti polinom na proste faktore znači napisati ga u obliku proizvoda dva ili više prostih faktora

Rastavljanje polinoma na faktore ima važnu primjenu kod algebarskih razlomaka

Postupak rastavljanja zavisi od oblika i složenosti polinoma

Metode rastavljanja

Izvlačenje zajedničkog faktora Grupisanje članova Primjena izvedenih formula

- razlika kvadrata

- zbir i razlika kubova

- kvadrat zbira i razlike

- kub zbira i razlike

izvlačenje zajedničkog faktora

a(b+c)=ab+ac distributivni zakon

vrijedi i obrnuto ab+ac=a(b+c)

Primjer 1 6ab+4a2c

6ab+4a2c = 2a(3b+2ac)

grupisanje članova

ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

Primjer 2 14ab+10a2+15ac+21bc

14ab+10a2+15ac+21bc= =7b(2a+3c)+5a(2a+3c)= =(2a+3c)(7b+5a)

Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja

Primjer 3 2x2+5x-3 2x2+6x-x-3= =2x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2x-1) Napomena u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5 a to su 6 i -1

razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2

obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)

Primjer 4 9-4b2

9-4b2=32-(2b)2=

=(3-2b)(3+2b)

Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata

Primjer 5 x2-4x-12

x2-4x+4-4-12=

=(x-2)2-16=(x-2)2-42=

=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)

razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3

obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)

Primjer 6 27-8a3

27-8a3=33-(2a)3=

=(3-2a)(9+6a+4a2)

zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3

obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)

Primjer 7 2a3+16b3

2a3+16b3=2(a3+8b3)=

=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)

kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2

obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)

Primjer 8 16+8b+b2

16+8b+b2=42+24b+b2=

=(4+b)2

kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2

obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)

Primjer 9 4a2-4a+1

4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=

=(2a-1)2

kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3

obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3

Primjer 10 1+15a+75a2+125a3

1+15a+75a2+125a3=

=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=

=(1+5a)3

kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3

obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3

Primjer 11 8x3-12x2+6x-1

8x3-12x2+6x-1=

=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=

=(2x-1)3

Zadaci po grupama

I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore

1 4x2y+8xy2=

2 a2x+b2x-a2y-b2y=

3 16-a2=

4 b2+10b+25=

5 x3+6x2+12x+8=

6 x2+4x-21=

II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore

1 6x2y+12xy2=

2 ab2-3b2+3a-9=

3 25-a2=

4 x2-14x+49=

5 x3-6x2+12x-8=

6 x2-3x-10=

III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore

1 3a2b-6ab2=

2 xa+y2a-xb-y2b=

3 9a2-b2=

4 x2-10x+25=

5 a3+6a2b+312ab2+8b3=

6 a2-11a+24=

IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore

1 3ab-6ac=

2 x2a+y2a+x2b+y2b=

3 4a2-b2=

4 b2-6b+9=

5 x3-3x2+3x-1=

6 y2+6y+5=

V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore

1 3ab-6ac+9ad=

2 ax-bx+by-ay=

3 (a-b)2-c2=

4 x2-2x+1=

5 x3-9x2y+27xy2-27y3=

6 b2-8b+15=

VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore

1 2a2b-4a2c+6a2d=

2 ax+bx-by-ay=

3 (a-2)2-c2=

4 4x2-4x+1=

5 8+12x+6x2+x3=

6 x2-5x-14=

Rješenja

GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2

5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3

6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)

GRUPA II

1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)

2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)

3 25-a2=(5-a)(5+a)

4 x2-14x+49=(x-7)2

5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3

6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)

GRUPA III

1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)

2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)

3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)

4 x2-10x+25=(x-5)2

5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3

6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)

GRUPA IV

1 3ab-6ac=3a(b-2c)

2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)

3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)

4 b2-6b+9=(b-3)2

5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3

6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)

GRUPA V

1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)

2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)

3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)

4 x2-2x+1=(x-1)2

5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3

6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)

GRUPA VI

1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)

2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)

3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)

4 4x2-4x+1=(2x-1)2

5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3

6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)

Hvala na pažnji