Raquel Rodrigues Santos Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Ciências Atuariais do Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC- Rio. Orientadora: Fernanda Chaves Pereira Rio de Janeiro, agosto de 2007
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Raquel Rodrigues Santos
Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Ciências Atuariais do Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC-Rio.
Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Ciências Atuariais do Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC-Rio.
Prof.ª Fernanda Chaves Pereira Orientadora e Presidente
Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuarias - PUC-Rio
Prof. Cristiano A. C. Fernandes Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuarias e Departamento de
Engenharia Elétrica - PUC-Rio
Prof. Renato Martins Assunção Coordenador do Curso de Ciências Atuariais da Universidade Federal de
Santos, Raquel Rodrigues. Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais. Rio de Janeiro, 2007. 70p. Dissertação de Mestrado – Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Melhorias da mortalidade vêm sendo observadas em praticamente todo o
mundo desde o início do século XX e impactam diretamente o resultado dos
cálculos atuariais. A incorporação das tendências futuras da mortalidade no
cálculo atuarial é possível através do uso de tábuas de mortalidade geracionais,
que fornecem probabilidades de morte baseadas não só na idade x do indivíduo,
como também no tempo t. O estudo aborda técnicas para projeção da mortalidade
e consequente determinação dos fatores de improvement, utilizados para tornar
uma tábua de mortalidade na forma geracional. As metodologias Lee-Carter e
modelos lineares genralizados são utilizadas para construir previsões de
mortalidade com base na experiência de mortalidade da população da Inglaterra e
País de Gales da última metado do século passado.
Palavras-chave
tábuas geracionais; improvement; previsão; projeção da mortalidade; Lee-
Carter; modelos lineares generalizados.
Abstract
Santos, Raquel Rodrigues. Modeling the improvement of mortality rates on life tables’ construction. Rio de Janeiro, 2007. 70p. MsC Thesis - Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC-Rio, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
By the beginning of the 20th century, improvement of mortality started
rising around the Globe which is directly impacting the results of actuarial
calculus. The trend of mortality can be incorporated to actuarial calculus through
the use of generation mortality tables, that consider not only the age x of the
individual but also the time t. This study shows techniques to project the mortality
and the improvement factors used to turn a mortality table into a generational one.
The methodologies Lee-Carter and generalized linear models were used to
forecast mortality by using the England and Wales mortality experience of the
considerada a melhoria da mortalidade nos cálculos, o prêmio pago pelo segurado
deveria ser menor do que o efetivamente cobrado caso a redução da mortalidade
não fosse considerada na época da formulação do seguro. Na contramão, há as
entidades de previdência que muitas vezes garantem pagamento de anuidades
vitalícias enquanto o participante sobreviver após a data de aposentadoria e, nesse
caso, a subestimação da sobrevivência dos participantes afeta diretamente a saúde
financeira das entidades.
O impacto do risco de longevidade1 será maior quando incidir sobre planos
de benefício definido (BD). As melhorias na mortalidade passam a representar
uma surpresa cruel, pois os planejamentos das entidades de previdência para
pagamento de benefício têm sido feitos com base em expectativas de vida mais
modestas. No Brasil, a histórica taxa de juros alta minimiza os efeitos da
subestimação da sobrevivência, pois o retorno dos investimentos acima do
esperado supera a perda conseqüente da adoção de uma hipótese de mortalidade
superestimada. No entanto, o atual cenário de queda da taxa de juros na economia
agrava o impacto do aumento da sobrevida em um plano de previdência. Em
entrevista (Antolín, 2006), o economista Pablo Antolín afirmou que cálculos
mostram que um aumento não previsto de um ano na expectativa de vida no
decorrer de uma década pode elevar o Valor Atual Líquido das despesas anuais
com benefícios em até 10%. O cálculo atuarial visa ao longo prazo: escolhas mal
feitas hoje podem gerar conseqüências desastrosas amanhã. Ao reconhecer que há
tendências de melhoria da mortalidade, é importante tentar antecipar-se a elas para
minimizar a discrepância dos cálculos atuariais no médio/longo prazo. Mas, como
incluir a tendência de melhoria da mortalidade no cálculo atuarial?
____________________________________________________________ 1 A longevidade é definida como o alcance da vida humana, a duração. O risco de longevidade é caracterizado pelo não reconhecimento do aumento da longevidade nos cálculos atuariais. Para maiores detalhes, ver Willets et.al. (2004).
Introdução e Motivação 12
As inclusões das tendências da mortalidade no cálculo atuarial são feitas
através do uso das tábuas de mortalidade desenvolvidas para tal fim. As tábuas,
quando não incluem alterações das probabilidades de morte ao longo do tempo,
são denominadas tábuas estáticas. Ainda que os sistemas de seguridade brasileiros
procurem utilizar tábuas estáticas construídas com base em períodos mais recentes
de observação, estas não consideram as tendências de mudança da mortalidade no
tempo, criando o risco de subestimação da probabilidade de sobrevivência e
conseqüente determinação de contribuições/reservas inadequadas. Para afrontar
esse risco de subscrição, faz-se necessária a construção de tábuas de mortalidade
que incluam as tendências de melhoria da mortalidade no tempo, que são
denominadas tábuas geracionais, dinâmicas ou bidimensionais. A idéia é que além
da idade x, a época t futura em que se assume a morte ou sobrevivência do
participante também passe a ser considerada nas tábuas de mortalidade então
denominadas geracionais, que são construídas com base em projeções. Uma breve
descrição das tábuas de mortalidade é feita na Seção 2.3.
Há diversas metodologias sendo estudadas que possibilitam a avaliação do
improvement nas tábuas de mortalidade. O termo improvement vem do inglês,
signficando melhoria, e no que se refere à mortalidade o termo é utilizado
internacionalmente para fazer referência à melhoria da mortalidade. Nesse estudo,
objetiva-se disseminar o conceito de tábuas geracionais e utilização de fatores de
improvement na literatura atuarial brasileira, onde tais conceitos são ainda
incipientes. Através da experiência de mortalidade da Inglaterra e País de Gales da
última metade do século XX, verifica-se como as aproximações pelo método Lee-
Carter e por modelos lineares generalizados podem ser utilizadas para a projeção
da mortalidade e conseqüente construção de tábuas geracionais. No método Lee-
Carter, parte-se de um modelo demográfico para modelagem das taxas de
mortalidade e depois são feitas previsões futuras dessas taxas através da análise de
séries temporais. Na utilização dos modelos lineares generalizados, as taxas de
mortalidade são projetadas por modelos de regressão de poisson. Estima-se então
fatores de improvement, que são aplicados às taxas de mortalidade de um período-
base, projetando-as e possibilitando a construção das tábuas geracionais. Os
fatores de improvement indicam o quanto se deve reduzir a probabilidade de
Introdução e Motivação 13
morte prevista na tábua de mortalidade a cada ano para que a nova probabilidade
obtida seja coerente com aquela esperada para o período avaliado.
O presente trabalho está estruturado na seguinte forma: no capítulo 2,
buscou-se relatar um pouco da tendência do comportamento da mortalidade no
Brasil e no mundo; as metodologias de projeção da mortalidade, incluindo Lee-
Carter e modelos lineares generalizados, estão descritas no capítulo 3; o
detalhamento dos dados da Inglaterra e País de Gales utilizados para a aplicação
das metodologias é feito no capítulo 4; no capítulo 5, encontram-se os resultados
da aplicação das metodologias propostas e, por fim, são apresentadas as
conclusões do estudo no capítulo 6 e as referências bibliográficas no capítulo 7.
Tendências da mortalidade 14
2 Tendências da mortalidade
2.1. Noções básicas de matemática atuarial
Nesta seção, define-se alguns conceitos importantes dentro da matemática
atuarial e que serão abordados no presente trabalho. Para as notações, buscou-se
atender as convenções determinadas pelo International Actuarial Association’s
Permanent Committee on Notation.
Função de sobrevivência
A função de sobrevivência é denotada por s(x) e representa a probabilidade
de um recém-nascido sobreviver até a idade x. O símbolo (x) é utilizado para
denotar uma vida à idade x.
Considerando que a idade de morte X de uma pessoa recém-nascida é uma
variável aleatória contínua e sendo Fx(x) a função de distribuição de X:
)xXPr()x(Fx , x ≥ 0.
A função de sobrevivência é definida como:
)xXPr()x(F1)x(s x , x ≥ 0.
Por convenção, Fx(0) = 0, o que implica em s(0) = 1.
Probabilidade de morte
O tempo futuro de vida de (x), X – x, é denotado por T(x). A probabilidade
de tempo futuro de vida T(x) se relaciona da forma:
)n)x(TPr(qxn ,
)n)x(TPr(q1p xnxn , n ≥ 0.
O símbolo nqx representa a probabilidade de (x) morrer dentro de n anos.
Por outro lado, npx é a probabilidade de (x) chegar vivo à idade x+n. Quando n=1,
convencionalmente é omitido o prefixo na simbologia, denotando-se
simplesmente qx e px.
Tendências da mortalidade 15
A probabilidade de morte relaciona-se à função de sobrevivência através da
igualdade:
xnxn q1)x(s
)nx(sp
Força de mortalidade
A força de mortalidade, denotada por x, mede a intensidade da morte
instantânea. Ela expressa a probabilidade condicional de (0) morrer entre as
idades x e z, dado que ela já sobreviveu até a idade x e assumindo que o intervalo
(z – x) tende a zero. Algebricamente, tem-se:
)x(s)x('s
)x(F1)x(F)z(F
limx
xx
xzx
A força de mortalidade também é denominada “taxa de falha” em análises
de sobrevivência e confiabilidade. Formas de equivalência das equações expostas
acima podem ser obtidas através das seguintes fórmulas:
dspq sx
t
0xtxt
)dsexp(p sx
t
0txt
Taxas centrais de mortalidade
Para calcular as taxas brutas centrais de mortalidade no período de 1 ano,
precisa-se do número de mortes no ano e da quantidade central de expostos ao
risco de morte no meio do ano (Neves, 2005). A taxa central de mortalidade à
idade x é então definida pela razão:
x
xx L
dm ,
onde mx é a taxa central de mortalidade à idade x, dx é o número de mortes
observadas de pessoas com idade x e Lx é aproximadamente a quantidade de
pessoas expostas ao risco de morte no meio do ano. A função Lx é derivada da
função básica lx das tábuas de mortalidade. Tem-se que: 2ll
L 1xxx
, onde lx é a
quantidade esperada de sobreviventes à idade x e lx+1 é a quantidade esperada de
Tendências da mortalidade 16
sobreviventes à idade x+1, dado que se iniciou a coorte hipotética com l0
indivíduos com zero ano.
As taxas de mortalidade mx são caracterizadas como uma forma discreta da
força de mortalidade x. As duas funções se relacionam da forma:
1
0xn
1
0nxxn
x
dnp
dnp
m
Se a força de mortalidade x assume valor constante no tempo, temos:
nxxn1
0xn
1
0xnnx
xn m
dnp
dnp
m
As taxas centrais de mortalidade também possuem relação com as
probabilidades de morte. Partindo-se do pressuposto que mx varia linearmente no
intervalo (x, x+n), concluímos que as mortes possuem uma distribuição uniforme
entre x e x+n. Temos:
xn
nxxxn L
llm
)p1(nq2
n2/)ll(llm
xn
xn
nxx
nxxxn
Isolando nqx na equação, temos:
xn
xnxn mn2
mn2q
Expectativa de vida
A expectativa de vida à idade x, denotada por ex, indica o tempo futuro de
vida esperado de (x), X – x. Através das funções de uma tábua de mortalidade, ex
é obtida pela relação:
x
xo
lTe ,
Tendências da mortalidade 17
onde Tx representa a função “anos-pessoas”, indicando o total de anos
vividos pela coorte lx entre as idades x e a última idade prevista na tábua de
mortalidade.
2.2. Panorama da mortalidade
O Brasil tem apresentado expectativa de vida acima da média mundial,
mas tem estado em uma situação um tanto desconfortável quando comparado aos
países latino-americanos e caribenhos. Segundo o estudo do IBGE em parceria
com a ONU, vários países possuíam, em 2005, expectativas de vida superiores às
do Brasil, estimada em 72,05 anos, na época. De acordo com as estimativas
apresentadas pela ONU para o período 2000-2005, o Brasil ocupou a 82ª posição
no ranking de 192 países ou áreas no que diz respeito à expectativa de vida. A
Fig.2 exibe um comparativo entre as expectativas de vida de alguns países latino-
americanos e caribenhos, e também do Japão e dos Estados Unidos. O Japão foi
incluído no gráfico por representar a primeira colocação no ranking mundial de
expectativa de vida em 2005, e a inclusão dos Estados Unidos justifica-se pelo
fato da maioria dos Atuários brasileiros adotarem tábuas de mortalidade baseadas
em experiências de mortalidade norte-americanas. A diferença na expectativa de
vida entre os países mais e menos desenvolvidos vem diminuindo. Essa queda é
naturalmente inevitável dada a tendência de envelhecimento global, pois as
expectativas de vida dos países com população mais idosa crescem menos.
Tendências da mortalidade 18
81,9
78,1
77,2
75,374,9
74,3
72,872,2 71,9
77,677,9
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
Japão Costa Rica Chile EstadosUnidos
Cuba Uruguai México Argentina Venezuela Colômbia Brasil
Figura 2 – Expectativa de vida por países (2005)
Fonte: IBGE
Seguindo a tendência mundial, no Brasil vem sendo verificado o aumento
da sobrevida das pessoas com idades mais avançadas, bem como o aumento do
número de pessoas que atingem tais idades, caracterizando dois fenômenos que
vêm ocorrendo concomitantemente, denominados, respectivamente, por
“expansão” e “retangularização” da função de sobrevivência. A Fig. 3 representa
as funções de sobrevivência s(x) afetadas pelos dois fenômenos. A
“retangularização” da curva de sobrevivência refere-se ao fato de estar ocorrendo
uma grande concentração de mortes em torno de uma idade média de morte
(ponto Lexis), a partir da qual a linha começa a se curvar. Até chegar nesse ponto
médio, as probabilidades de sobrevivência também vêm aumentando. Um maior
volume de pessoas atingem as idades mais avançadas. A “expansão” da função de
sobrevivência é caracterizada pela elevação da idade limite que a população
alcança. O envelhecimento populacional vem sendo evidenciado pela atuação
desses dois fatores. Enquanto o indivíduo envelhece à medida em que a sua idade
aumenta, e este é um processo irreversível, a população, como coletivo, envelhece
à medida em que aumenta a idade média das pessoas que a compõem. O
sustentado aumento da idade média que caracteriza o envelhecimento
Tendências da mortalidade 19
populacional ocorre ao aumentar o peso relativo dos idosos no total da população
(Wong & Moreira, 2000).
1
ExpansãoRetangularização
1
0 0ω ω ω'Idade
Sx
Figura 3 – Mudanças na curva da função de sobrevivência
A evolução da sobrevida brasileira para a população aos 60 anos no
período 1991-2030 é demonstrada na Fig. 4. Observa-se claramente o aumento da
expectativa de sobrevida da população “idosa” e a diferença entre os valores
2 O Human Mortality Database (HMD) foi criado para fornecer informações detalhadas de dados de mortalidade e população aos pesquisadores, estudantes, jornalistas e outros interessados na longevidade humana. Dois centros de pesquisa foram responsáveis pela criação da base de dados: o Departamento de Demografia da Universidade da California, Berkeley (UCB), e o Laboratório de Dados do Instituto Max Planck para Pesquisas Demográficas (MPIDR), situado na Alemanha.
Dados 42
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Ano
Taxa
s cr
uas
182838485868788898
Figura 8 – Evolução das taxas cruas de mortalidade femininas
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Ano
Taxa
s cr
uas
182838485868788898
Figura 9 – Evolução das taxas cruas de mortalidade masculinas
Os gráficos exibem a tendência geral de queda da taxa de mortalidade em
todas as faixas de idades e evidenciam comportamentos diferentes com relação à
alteração da mortalidade em cada uma dessas faixas. Conforme esperado, são
observados valores maiores para as taxas de mortalidade masculinas em relação às
femininas em todas as idades ilustradas.
Resultados 43
5 Resultados
5.1. Lee-Carter
O modelo demográfico LC foi ajustado aos dados da Inglaterra e País de
Gales de 1950 a 2003. A modelagem foi feita segregada por sexo, para preservar a
diferença de mortalidade entre homens e mulheres. Primeiramente, foi feito o
ajuste do modelo demográfico previsto na eq.(1), com a estimação dos parâmetros
x, x e t. O passo seguinte foi a projeção de t para 25 anos subsequentes à
última observação. Por fim, foi obtida a previsão das taxas de mortalidade para 25
anos.
Os parâmetros x
^ obtidos com base na eq.(3) estão ilustrados na Fig. 10.
No período 1950-2003, a curva masculina encontra-se acima da feminina para
todas as idades, refletindo o fato esperado da mortalidade ter sido maior, em
média, na população masculina. Um ponto interessante a ser observado é o fato da
curva possuir um crescimento mais brando na faixa etária dos 20 aos 30 anos
(maior destaque na população masculina). Uma justificativa seria o aumento
geralmente existente da mortalidade nessas idades devido a acidentes e violência.
Resultados 44
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
018 28 38 48 58 68 78 88 98
Idades
Coe
ficie
ntes
αx e
stim
ados
FemininoMasculino
Figura 10 – Coeficientes x estimados por sexo (1950-2003)
Com base nos valores x
^ , foram obtidas as primeiras estimações de t a
partir da eq. (4). A tendência de queda do nível de mortalidade com o tempo é
constatada para os dois sexos na Fig.11. Os parâmetros estimados x
^ conforme
eq.(5), que avaliam a sensibilidade da variação nas taxas de morte quando o
parâmetro t varia, estão demonstrados na Fig. 12. Se x é pequeno, conclui-se
que as taxas de morte variam pouco quando o nível geral de mortalidade se altera,
o que é o caso da mortalidade nas idades mais avançadas. Para as idades acima de
75 anos aproximadamente, os coeficientes feminino e masculino apresentaram um
comportamento similar, uma tendência decrescente. A curva observada para a
população feminina, que mostra que quanto menor a idade, maior é a
sensibilidade à variação no parâmetro t, tem a mesma tendência da curva
apontada por Lee (2000) ao aplicar a metodologia LC aos dados dos Estados
Unidos e do Chile. Já a curva masculina apresentou valores menores para x
^
quando estes eram maiores na população feminina e vice-versa.
Resultados 45
-40,0
-20,0
0,0
20,0
40,0
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Ano
κ t e
stim
ados
Feminino Masculino
Figura 11 – Coeficientes t estimados por sexo (1950-2003)
0,003
0,008
0,013
0,018
18 28 38 48 58 68 78 88 98
Idades
Coe
ficie
ntes
βx e
stim
ados
Feminino
Masculino
Figura 12 – Coeficientes x estimados, por sexo (1950-2003)
Resultados 46
Para garantir que as taxas de morte ajustadas gerariam o número de mortes
observado quando aplicadas à população analisada, foi realizada a reestimação do
parâmetro t segundo a eq.(6). Os parâmetros reestimados para a população
feminina e masculina, bem como os estimados inicialmente, estão ilustrados nas
Fig. 13. Os valores estimados para os parâmetros , e constam no Apêndice I
deste trabalho.
-40.0
-20.0
0.0
20.0
40.0
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Ano
κ t e
stim
ados
e re
estim
ados
K est. Fem K est. Masc K reest. Fem K reest. Masc Figura 13 – Coeficientes t reestimados (1950-2003)
Feita a reestimação do parâmetro t, podemos escrever o modelo
demográfico proposto na eq.(1). Uma vez que os parâmetros x e x foram
estimados e não dependem da variável tempo, a previsão das taxas de mortalidade
futuras passam a depender exclusivamente da projeção dos valores t futuros.
Para tal projeção, as séries t reestimadas feminina e masculina são modeladas
como um processo de séries temporais. A Fig. 13 mostra um declínio dos valores
de t aproximadamente linear, maior para as mulheres do que para os homens, no
período 1950-2003. A lineariedade aproximada de t, bem como a variação
relativamente constante das séries no período são grandes vantagens para a
construção de modelos de previsão. Os dados disponibilizados referem-se ao
período de 1950 a 2003. No entanto, os 5 últimos anos disponíveis não foram
Resultados 47
modelados, a fim de possibilitar uma comparação entre a previsibilidade dos
modelos nos próximos 5 anos e o comportamento observado no período.
Uma simples inspeção nas séries mostra que as mesmas aparentam não-
estacionariedade e apresentam uma tendência negativa sustentada. Os
correlogramas ilustrados nas Fig. 14 e 15 também apresentam indícios de não-
estacionariedade das séries, visto que observa-se um amortecimento lento da
função de autorocorrelação parcial (ACF). A não-estacionariedade das séries foi
superada modelando-as em primeira diferença ou com ajuste de tendência, como
será mostrado.
Figura 14 – Correlograma da série t feminina
Resultados 48
Figura 15 – Correlograma da série t masculina
Devido à tendência decrescente das séries, foi considerada a presença de
uma constante quando da estimação dos modelos. Em relação à série feminina,
doravante denominada femt, dois modelos testados apresentaram bons ajustes e
uma análise de resíduos satisfatória. O primeiro modelo é um processo ARIMA,
onde a série é modelada em primeira diferença, uma vez que já foi verificado que
ela não é estacionária em nível. Os parâmetros dos modelos foram estimados
através do pacote estatístico EViews, utilizando o método de Mínimos Quadrados,
e estão apontados na Tabela 3. O índice femt modelado como um processo
ARIMA(0,1,1,) é representado algebricamente na forma:
t1t1t cfem ,
),0(N~ 2t ,
onde Δ representa o operador de diferença. Assumindo os valores estimados
para os parâmetros, a equação proposta se torna:
t1tt 778194,0101191,1fem ;
),0(N~ 2t
Resultados 49
Tabela 3 – Estimação dos parâmetros - processo ARIMA(0,1,1), série femt
____________________________________________________________ 3 A previsão ex-post utiliza o modelo estimado no in-sample e extrapola o modelo no período out-of-sample, comparando o previsto com o realmente observado (Fernandes, 2006)
Resultados 53
Série feminina
-35
-25
-151999 2000 2001 2002 2003
Real Previsão Lim.inferior Lim.Superior
Figura 18 – Previsão out-of-sample da série femt
Série masculina
-35
-25
-151999 2000 2001 2002 2003
Real Previsão Lim.inferior Lim.Superior Figura 19 – Previsão out-of-sample da série masct
Após certificação da capacidade preditiva do modelo, as observações
referentes ao período 1999-2003 foram incluídas no modelo para a obtenção da
extrapolação das séries t a partir da última observação disponível. Os novos
Resultados 54
parâmetros estimados para os modelos preditivos finais encontram-se na Tabela 9.
As Fig. 20 e 21 ilustram as previsões das séries femt e masct para os 25 anos
subsequentes à última observação (2004 – 2028). É válido notar que o método LC
foi utilizado para calcular os intervalos de previsão concentrados somente na
variabilidade de t. Em Keilegom et al. (2005), mostra-se a possibilidade de
inclusão de outras fontes de variação através de método de bootstrap.
Tabela 9 – Coeficientes estimados para os modelos preditivos finais
Série feminina Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 29.42971 0.959687 30.66593 0.0000 @TREND -1.110437 0.030504 -36.40280 0.0000
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1
Null deviance: 28880125 on 4034 degrees of freedomResidual deviance: 33033 on 4024 degrees of freedomAIC: 70141
Resultados 63
Calculamos um intervalo de confiança de 95% para a média das
observações da nossa amostra de 10% dos dados. Para cada observação,
verificamos se o valor observado estava dentro do intervalo gerado. O índice de
acerto de predição foi de aproximadamente 85%, o que consideramos um bom
ajuste. Estando os parâmetros estimados e os modelos validados, é possível a
estimação dos valores projetados das taxas centrais de mortalidade para os anos
futuros. Da mesma forma que no modelo LC, podemos estimar qx,t e
consequentemente gerar uma tábua de mortalidade geracional.
Conclusão 64
6 Conclusão
Mostramos um pouco da tendência da mortalidade nos últimos tempos. A
mortalidade em movimento, que impacta diretamente os resultados dos cálculos
atuariais principalmente na fase adulta, foi a motivação para o presente trabalho.
Demonstrou-se que as tendências de mudança da mortalidade podem e devem ser
reconhecidas antecipadamente nos cálculos atuariais quando da adoção de tábuas
de mortalidade geracionais, incluindo a variável tempo além da idade do
indivíduo. O uso e estudo de tábuas geracionais já é uma constante em países
desenvolvidos, e espera-se que esse conceito esteja difundido no Brasil dentro de
pouco tempo.
As metodologias Lee-Carter e GLM apresentadas para projeção da
mortalidade capturam e extrapolam as tendências históricas dos dados brutos de
mortalidade, sob a hipótese crucial de que essas tendências permanecerão no
futuro. No entanto, sabe-se que previsão é fonte de incerteza. Há incerteza no
modelo a ser adotado, nos parâmetros estimados, na medida de erro, no fato da
experiência passada não ser um bom indicativo para o comportamento futuro.
Enfim, ainda há muitos desafios no que diz respeito à estudos de projeção da
mortalidade. Outras fontes de informações, sejam opiniões médicas ou de experts
p.ex, podem ajudar a “prever” quando essas tendências provavelmente mudarão
para um futuro, apesar de ser difícil a implementação de tais informações. Um
grande número de extensões às metodologias ora apresentadas vêm sendo
divulgados buscando-se uma maior aproximação das projeções da mortalidade
com a realidade observada.
Referências Bibliográficas 65
7 Referências Bibliográficas
ANTOLÍN, PABLO. Risco de Longevidade – cuidado com ele. Fundos de Pensão, 318, jul. 2006. Entrevista.
FIUZA, R. O ponta-de-lança. Veja, São Paulo, n. 1124, 04 abr. 1990. P. 9-13. Entrevista
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