Rappresentazione e valutazione del resto nelle formule di integrazione numerica generalizzate

R A P P R E S E N T A Z I O N E E V A L U T A Z I O N E DEL RESTO

NELLE FORMULE DI I N T E G R A Z I O N E N U M E R I C A G E N E R A L I Z Z A T E (1)

G. ALLASIA - C. GIORDANO (2)

ABSTRACT - In previous articles we proved that the truncation error E (]) of a quadrature formula over the interval [a, b] is always expressible in the form

E (I) = ),l J(m+X) (:i) - - 22 f(m+l) (if2) with JeC m+: [a, b],,~,l,~. 2 known positive constants, ~:,~ze]a, b[ generally unknown, m precision degree. Further we gave a similar representation, obviously more complicated, for the truncation error of integration formulas over multidimensional intervals. Developing logically the above mentioned researches, here we consider composite integration rules; as a matter of fact it is possible, not only to extend the preceding results, but also to find characteristic asymptotic properties of the truncation error representation, deeply related to the subdivision of the integration interval. Some numerical evaluations point out the applicability of the obtained estimations.

1. Introduzione.

In una nota precedente [1] ~ stato dimostrato che:

TEOREMA. I1 resto E (/) di una formula di quadra tura del tipo

b

f (1.1) w (x) / (x) dx = Z Aj / (xi) + E (1), �9 j = l

r

Ricevuto 28 Maggio 1979�9 (1) Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo Nazionale per la Informatica Matema-

tica del Consiglio Nazionale delle Ricerche. (2) Istituto di Calcoli numerici dell'Universit~ di Torino.

258 G . ALLASIA - C. G10RDAN0: Rappresentazione e valutazione

dove / ~ una funzione di classe C ~+1 [a, b], ~ sempre esprimibile nella forma

(1.2) E (]) = 21 j(,,+l) (~1) - 12 l(,,+l) (~2),

con 21,~.zeR +, ~1,~2e]a, b[ ed m grado di precisione. Le quantith ~ , ~ sono generalmente incognite, mentre 2~ e t2 sono date daUe formule

(1.3)

b

, [ : r 1 21= ( m + 1)~ w (x) (x--a) m+l dx- - F, Aip (xip--a) "+1 , 10=1

1 ~ A/q(Xi _a)m+l, 22= ( m + 1)! ~=~

avendo indicato con A:j, e A:q(p--1 . . . . . r; q = l . . . . . s; r + s = n ) rispettiva-

mente i pesi negativi e quelli positivi della (1.1). Si h anche visto [2] come in alcuni importanti tipi di formule di quadratura

la (1.2) diventa pifi semplicemente

(1.4) E (]) = (21-- ~.2) 10~+1) (~),

con ~e]a, b[, mentre nel caso di formule convergenti e con pesi positivi la (1.4) vale asintoticamente; infine si ~ rivelata interessante dal punto di vista numerico la valutazione empirica

] E (/)I -- 121--22] Mm+l (1.5) c o n :

(1.6) Mm+l= sup {I/('~+I) (x)l: xe[a , b] }.

E da notate c h e l a (1.5) tende a diventare una minorazione del resto [8] se applicata a funzioni per cui la diseguaglianza attenuata

b

I~ (/)1 <-Mm+l f IC (s)l ds,

dove G (s) b il nucleo di Peano, diventa un'uguaglianza o q~,asi [6 ] ; infatti si ha [1]

b

11--12= f G (S) ds.

del resto helle /ormule di integrazione numerica generalizzate 259

Analoghe considerazioni sono state svolte anche per le formule di inte- grazione numerica multidimensionale [3].

Un logico sviluppo delle ricerche suddette consiste nel prendere in consi- derazione il resto di formule di integrazione generalizzate; risulta infatti pos- sibile, non solo estendere le rappresentazioni del resto delle quali si ~ detto sopra, ma anche scoprire peculiari proprieth asintotiche delle nuove rappresentazioni, proprieth intimamente collegate alla suddivisione in parti dell'intervallo d'inte- grazione. Nel seguito tratteremo dapprima il problema per le formule di qua- dratura generalizzate per passare poi a parlare delle formule di cubatura gene- ralizzate.

2. Rappresentazione del resto per le formule di quadratura generalizzate.

E noto che per calcolare l'integrale

b

I = f: (x, a

con funzione peso w (x )= l , pub essere vantaggioso suddividere l'intervallo [a, b] in N parti uguali mediante i punti ao=a, a~, a2 . . . . . aN=b; ed osservare che

a i

(2.1) I = / (x) d x = X l~.

a i - - 1

Tramite la sostituzione

(2 2) b - c /

x = a i - l + 7 ( t+ 1)

si pub ricondurre ognuno degli intervalli [ai_l, ai] all'intervallo [--1, 1], ot- tenendo

4-I

b af,[a.1 b-a 1>],, I~=-~- +-~-ff- (t+ --1

Se poi si applica una generica formula di quadratura su [ - 1 , 1 ], con n nodi t:e [ - 1 , 1], ( j= 1 . . . . . n), pesi A/ e grado di precisione m, si ha

260 G. ALLASIA - C. GIORDANO: Rappresentazione e valutazione

(2.3) k - b - a fi__ Ai ][ ~ ] 2N ai_~+ (ti+ 1) .

Sommando membro a membro nella (2.3) rispetto al1'indice i e ricordando la (2.1), troviamo

b--el (2.4) I - -

2N ~v ~ Aif [ai_lq_b_ a ] ~=, j=l - ~ - (ti+ 1) .

II resto E* (D nella (2.4) b evidentemente la somma degli N resti E~(D delle (2.3)

N

(2.5) E* (i) = z Ei (I). i = 1

Si assume per Ei (]) la rappresentazione (1.2) relativamente all'intervallo [ - - 1, 1 ], tenendo conto dell'effetto della trasformazione (2.2),

(2.6) .,. /b--aV"+2 / ( , , z+ l ) - - •2(i) f(m+l)

con ff(~ ai[; mentre per le costanti si ha dalle (1.3)

I

2.7, [fi, +1 r I, ( r e + l ) ! ( t+ dt- X Aj~, ( t i p + l ) m+l - - I

22(o = 1 ~Z1 1)"~+1" ( m + 1)-------~ = Ai~ (tiq q-

Poich6 in realta nelle (2.7) non vi b dipendenza dall'indice i, si pu6 porte pig comodamente

(2.8) vl,1 (i~ = 21", 22 (o = 2z*.

Sostituendo le (2.6) nella (2.5) e tenendo presenti le (2.8), si ha

(2.9) E* (/) -- \ - f f~- ] [,t1" N fro+l) (fl(,)l__2z. X f(,,+l) (.fz(o)] i = i i= I

da cui, mediante un noto lemma [1], si trae

deI resto nelle ]ormuIe di integrazione numerica generalizzate 261

(2.1o) ( b - a ) m+z 1(,,,+1) 1(.,+1) E* (1)-- 2,.+2Nm+ ~ [21" (ffl)--2z* (~z)]

con 5, ~2e ]a, b [. Se accade che E~ (]), invece che della forma (1.2), sia pifl semplicemente

della forma (1.4), allora, ripetendo passo passo il ragionamento precedente, si perviene, in luogo della (2.10), alla

(2.11) (b --a) m+2

E* (J)= 2~+2 Nm+l (~,1"--22*)/(re+l) (~).

Questo risultato pu6 essere espresso dicendo che se una formula di quadratura di tipo << definito >>, cio~ ha resto delia forma (1.4), allora anche la corrispon-

dente formula generalizzata 5 di tipo definito [6] .

3. Rappresentazione asintotica del resto per le formule di quadratura generalizzate.

Dalla (2.10) si ha la limitazione

(b - a ) m+2 IE* (/)1 ~ 2m+eNm+l (21"+22") Mm+b

con Mm+l dato dalla (1.6), ossia per N---> + oo

(3.1) E* ( / ) = O (N-m-l).

La (3.1) suggerisce la possibilith di procedere ad una valutazione indiretta del resto mediante il metodo di Richardson [4] , eliminando la difficolth di calcolare la derivata ( m + 1)-esima della funzione integranda.

Pifl significative della (5.1) sono per6 due formule asintotiche che ora ricaveremo. Osserviamo allo scopo che ~, con k = 1, 2,

b N f lira b--a Z /(re+l) (,~k(i))_~ f(m+l) (x) d x = ] ('~ ( b ) - I (') (a).

y~+oo N i=1

Pertanto se passiamo al limite per N--~ + oo nella ~2.9), dopo aver moltipli- cato ambo i membri per N re+l, si ottiene

262 G. ALLASIA - C. GIORDANO: Rappresentazione e valutazione

( b - a ) m+l (3.2) lim [N m+l E* (1)]-- 2m+2

~ q-co ( ) .1"- - ) .2*)" [ / ( m ) ( b ) _ _ l ( m ) ( a ) ] ,

che estende un analogo risultato relativo alle formule generalizzate dedotte da formule definite [6]. Dalla (3.2) si trae immediatamente

(3.3) lim [N m+l E* (1)] = ( ) .1" - - ) .2" ) / ( re+l ) (~), ~r-. -I- oo

con ~e]a,b[. Se confrontiamo la (3.3), valida per una qualunque formula gene- ralizzata, con la (2.11), relativa solo a quelle dedotte da formule definite, si osserva che una qualunque formula generalizzata tende al crescere di N a com- portarsi come se fosse dedotta da una formula definita.

La (3.3) afferma che vale l'uguaglianza asintotica

Nm+l ().1" - - ) ' 2 " ) (~)

da cui si trae la valutazione appprossimata

(3.4) IE* (/)l-" 1 N,n+l [21"--).2"1Mm+l

con M,~+I dato dalla (1.6). Se d'altra parte supponiamo che nella (2.10) le due derivate siano di poco differenti e valutiamo di conseguenza E* (]), si ha una formula empirica coincidente con la (3.4). fl bene notare che il secondo membro della (3.4) rappresenta di solito una maggiorazione del resto E* (l), avendo sostituito 1(,,+1)(~) con Mm+1, ma non si pub escludere che per particolari fun- zioni sia addirittura una minorazione.

Sia la (3.2) che l a (3.3) permettono di individuare la cosidetta e parte prin- cipale del resto ~ [5] che torna utile in alcune considerazioni.

4. Applieazione a formule di quadratura di Ralston.

I risultati sopra esposti si applicano con significativi vantaggi ad una inte- ressante famiglia di forrnule di quadratura studiate da Ralston [7]. Ci limite- rerno a considerare le prime due formule, rispettivarnente a 3 e 4 nodi con grado di precisione 2 e 4. La formula a 3 nodi h:

h

(4.1) f t (x) dx = - - - o

2 ~[ / (h ) - - f (O)]4-h] 14- ~ 4-Eb

del resto helle /ormute di integrazione numerica generalizzate 263

dove l'errore:

E h 3 h 1 \] ]/3)

con ~, ~2e]O, h[, viene valutato mediante la disuguaglianza:

IEli <

1___ h4 1 i/_ ~_ ]

+

72 M3 = 0.2190764263 ( - 01) h 4 M3

essendo Ma dato dalla (1.6) con [a, b ] = [ 0 , h]. La formula generalizzata cor- rispondente alla (4.1) per N intervalli consecutivi di ampiezza h

zYh

(4.2) (x) dx= --2-)=-~ [J (Nh) - ] (0)] +h,=0Z ] 1 +ih +E,,N 0

dove

(4.3) [E,.N] < 7~2 Ma

con M3 dato dalla (1.6) per [a, b] = [0, Nh]. La formula a 4 punti ~ invece

~h

(4.4) / f (x) dx = - h ___ 3 !2 [)' (2h) - - / (0 ) ] 4- 0

1 1 /

1 T Ih I + T dove

(4.5) E2= 1125 ~s-- 1 + h f(5)(,~4 )

con ~s,.~4e]0, 2h[ ~ maggiorato come segue

264 G. ALLASIA - C. GIORDAN0: Rappresentazione e vaIutazione

IE~! < - ( 2 + I / ~ h 6

1125 M5 = 0.3034856500 ( -- 02) h 6 Ms,

con M5 dato dalla (1.6) per [a, b] = [0, 2h]. La formula generalizzata corrispon- dente alia (4.4) per un numero N di intervalli consecutivi

2hN

(4.6) f J (x) dx = h -~-i /~ [/ (2hN)-/ (o)1 + o

1 1(~-~_ r +2i

1 h 1 W/z( 1 -- - ~ --~ ,

dove

(4.7) IE2,~I < (2 + I 2) h 6 N Ms

1125

con M5 dato dalla (1.6) per [a, b] = [0, 2hN]. Proponiamoci ora di valutare i resti delle (4.2) e (4.5) rnediante la (1.2)

e successivamente del!e (4.4) e (4.6) mediante la (2.10). Le costanti ~1 e 22 per la (4.2) sono

1 ' 2~=2-T 3 t/3 ]

per cui del resto E1 si pub dare la valutazione

1 (4.8) [ E l i - 72~3- - - - - h 4 M3~" 0.8018753739 (--02) h 4 M3.

Analogamente troviamo per le costanti 21 e 22 relative alia (4.5) i valori

i h6 )-1=45- ( 1 +1/-2- ]

z ~ = ~ ~ + T 1+- 3 - I ~ - ~ \

del resto helle /ormuIe di integrazione numerica generaIizzate 265

+ i--g- l+-g-(f2+ lh e per E2 la valutazione

(4.9) [E2[ --0.1257078722 (--02) h 6 Ms.

Dalle (4.8) e (4.9), ricordando le (4.3) e (4.7), si ha immediatamente

[E1,N[ --0.8018753739 ( - - 0 2 ) h 4 N M3,

(4.10)

[E2.NI --0.1257078722 (--02) h 6 N Ms.

Le valutazioni (4.10) sono pifi aderenti delle (4.3) e (4.7), ma hanno il difetto di non essere sicuramente delle maggiorazioni per qualunque valore di N.

E interessante stabilire un confronto numerico su alcuni integrali di prova, proposti dal!o stesso Ralston [7]; precisamente si trova che l'errore (4.10) ~ da 2 a 3 volte pi~t piccolo dell'errore (4.3).

5. Estensione alle formule di cubatura generalizzate.

Per calcolare l'integrale doppio

(5.1) b d ,=J

a c

pub essere conveniente suddividere il rettangolo [a, b] • [c, d] in N . M ret- tangoli del tipo [a~_~, az] • [ci_~, ci], operando su [a, b] e [c, d] rispettivamente le suddivisioni in parti uguali a o = a < a ~ < . . . < a N = b e c o = c < c ~ < . . . < c M = d . Con le sostituzioni

(5.2) x = a ~ _ ~ + b ~ f l - ( t + 1), y = c j - l + ~ s (z+ 1),

si trasforma il rettangolo [a~_~, a~] • [ci-1, ci] nel quadrato [ - 1, 1] X [ - - 1, 1]; di conseguenza la (5.1) si pub mettere nella forma

ai ej

d - c a I = Z J (x, y) dy=

�9 = j=~ 2M a i - - 1 c j - - 1

266 O. ALLASIA - C. GIORDANO: Rappresentazione e valutazione

1 + l

�9 2; Z a~_1+ ( t + l ) , /=1 ~=l --1 --I

c~_1 +

-~M S( ] ~ + z + 1) dt dz-- Z Z lid. i~l j-----1

Applicando a ciascuno degli integrali Ii,i una formula di cubatura con n nodi (tl, z t ) e [ - -1 , 1 ] • [ - 1 , 1], grado di precisione m, pesi Az, si ottiene

(5.3) Ii, i - - b - - a d - -c ~ Z Al. 2N 2M ~ ~=1

d - c (zl+ 1)[ �9 , I a i - l + ~ N a---- ( t t+l) ,c i - l+-~-M--

da cui segue, sommando rispetto agli indici i e ],

N M (5.4) I - b - a d - c 2 Z 'Z Al"

2N 2M i=~ :=1 ,=l

d - c �9 ][Cl i - l '~-~( t l -~l ) ,c]- l '~- -~-- (ZI-~-I)].

I1 resto E* (/) nella (5.4) ~ la somma degli M . N resti Ei,i (/) delle (5.3). Per rappresentare l'errore Ei.: (]) si fa uso della seguente formula [31i, che tiene conto dell'effetto delle trasformazioni (5.2),

m4-1(b_a'th+l (d--C~'m'--h+ 2 E~,i (/)= h=oS \~-~--) \-~]

12~..,, ~§ (P~"") a~+'- / #:'")I axa aym-h+l ax a Oy~-h+1 l

dove 2h (i'i), [~h (i'i), che in realt~ non dipendono da i e da i ma solamente da h, sono espresse dalle

1 1

f.+ t~h(i'i)~h*--(m-~-l)! { f 1)h --1 --I

--q=l ~ Atq (hq+l)n 1,

del resto nelIe formule di integrazione numerica generaIizzate 267

1 ( m ~ l \ ~ j A "t - - l ~ h ( z l p + l ) re+l-h, [.Lh (i,i) -~- ~h * - - - - -~l l p k I p "1- ) (m+ 1)! / v=l

i punti Ph (i'i) e p~(i,i), per h=O, 1 . . . . . m, hanno ascisse note ai-1 ed ordinate

incognite appartenenti all'intervaI1o ]ci-~,cj[, mentre P(i'i)m+l, ff(i'i)rn+l hanno ascisse ed ordinate incognite appartenenti rispettivamente agli intervalli ]a~_~, a~[ e ]cj-l, ci[.

L'errore complessivo E* (1) ha dunque l'espressione seguente

N" M m + l

(5.5) E* ( / )= 2; 2; 2;

�9 [~ , a m+l I (Ph (i'j)) , Om+l / (Ph(i'i)) /

da cui, applicando un noto lemma [3], si trae l'espressione definitiva

,,+, (b_a)h+t ( d _ r m-h+z E* (f) = 2; 2m+3 Nh Mm_h+l h=o

"~h * / (Ph) I (Ph) OX ~ Oym_h+ 1 - - [ lh * OX h Oym_h+ 1 ,

con Ph, t ~ e ]a, b[ • ]c, d[. Osserviamo che la (5.5) pub anche scriversi nella forma

(5.6) m+1 (b_a)h (d_c)m-h+1

E* (1) = 2; 2m+Z Nh Mm_h+t h=o

N �9 Z b - a

"= j= l N M Ox n Oy m-h+1

--/za* X Z i=t j=l N M Ox h Oy m-h+l ]

Le doppie sommatorie nelle parentesi quadre tendono per N, M ~ + ~ al limite finito

b d

ffo.+l, x,, Ox h aym_h+ I dx dy, e

268 G. ALLASIA - C. G[OmaANO: Rappresen taz ione e valu taz ione

sicch4 dalla (5.6) si trae la valutazione asintotica per N, M--~ +

.... +1 (b_a)1~ (d_c)m-h+l (5.7) E* (1) ," Z 2m~3 Na M,,,_a+ 1

h=0

b d f f0m+l,, y, �9 (2h*--/zh*) axhaym_h+ 1 dxdy fl, a

od anche

(5.8)

con P*e]a, b[X ]c, d[.

~+1 (b_a)h+l (d_c)m-h+2 E * (f) ,~, 2J 2m+3 g h Mm_h+l

h=O

a m+l t (P*) �9 (,th * - ~h* ) o~- y - , - ' c ~ - a ' - 2 : ~

Invece della (5.8) pu6 in certi casi essere preferibile dedurre dalla (5.7) la rappresentazione seguente

ra+l (b_a)h (d--c)"-h+* (5.9) E* (/),-, Z

h=o 2 m+a N a M m-h+l

[Om-' J (b, d) a m-' l (b, c) am-I l (a, d) am-' ] (a, c) ] �9 (,'].h*--/Zh*) [ ~ 2 f ~ - - g OXh_ 1 aym_ h aXh_ 1 aym_ h -F axe_ 1 aym_ h �9

La (5.8) assume una forma particolarmente semplice prendendo - [ c , d] e N = M

lim IN ''+1 E* (J)] ( b - a ) "+3 ...4-1 a.z+l r ( p , ) ~_+oo = 2 m+~ ,,=0z ( ; t ~ * - ~ * ) ~V-~im_~C.y

[a, b] =

Osserviamo infine che dalla (5.8) si trae la valutazione approssimata

(5.1o) 1 ,~+I (b_a)h+l (d_c)m-h+z

IE* (DI -" N hMm_h+, Z 2m+3 h~0

I am+ z(e) It �9 I z ~ * - # h * l sup ax,,---0ya~_,l); p e [a, b] X [c, d ] .

La (5.10) pub essere ad esempio appticata ad una classe di formule di inte- grazione multidimensionale, studiate, da Thacher [9] sulla scia del lavoro gig citato di Ralston. L'applicazione sembra rivestire tanto pi~ interesse in quanta le formule di Thacher hanna una espressione del testa poco maneggevole.

del resto nelle ]ormule di integrazione numerica generalizzate 269

B I B L I O G R A F I A

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