Ecole Doctorale Sciences et Technologies Mémoire deMASTERE Mécanique et Ingénierie N° d’ordre: 201007République Tunisienne Ministère de l’Enseignement Supérieur, De la Recherche Scientifique Université de Sfax École Nationale d’Ingénieurs de SfaxMEMOIRE Présenté à L’École Nationale d’Ingénieurs de Sfax en vue de l’obt ention du M STERE Dans la discipline Mécanique et IngénierieParMariam MILADI épouse CHAABENE Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Soutenu le 24 Avril 2010, devant le jur y co mposé de : Mr. Mohamed HADDAR (Professeur, ENIS)Président Mr. Fakher CHAARI (Maître Assistant Habilité, ENIS) examinateurMr. Tahar FAKHFAKH (Maître de Conférences, ENIS) EncadreurMr. Mohamed Slim ABBES (Maître Assistant, ENIS)Encadreur
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3.2.1. Critères basées sur les moments où les cumulants .............................................................. 16 3.2.2. Fonctions de contraste ........................................................................................................ 16 3.2.3. Déflation .............................................................................................................................. 17 3.2.4. Séparation avec un estimateur de Maximum d'Informations Mutuelles.............................. 17 3.2.5. Séparation avec un estimateur de Maximum de Vraisemblance ......................................... 18 3.2.6. Statistique du second ordre ................................................................................................. 18 3.2.7. Approche Géométrique ........................................................................................................ 19
2.1. Motivation ................................................................................................................................... 24 2.2. Définition .................................................................................................................................... 27 2.3. Ambiguïtés de l’Analyse en Composantes indépendantes ........................................................ 29 2.4. Illustration de l’Analyse en composantes indépendantes ......................................................... 29
3. Concept de l’indépendance des signaux .............................................................................. 32 3.1. Définition et propriétés fondamentales ...................................................................................... 32 3.2. Les variables décorrélatives sont seulement partiellement indépendantes ............................... 33 3.3. Pourquoi on interdit les variables gaussiennes ? ...................................................................... 33
4. Critères de l’ACI ................................................................................................................... 34 4.1. Maximisation de la non-gaussianité .......................................................................................... 35 4.2. Mesure de la non-gaussianité .................................................................................................... 36
4.3. ACI par estimation du maximum de vraisemblance ................................................................. 42 4.4. ACI basée sur la minimisation de l’information mutuelle ........................................................ 43
7. Identification des paramètres modaux par la méthode d’ACI ......................................... 47 8. Conclusion ............................................................................................................................. 50
3. Validation de la méthode ...................................................................................................... 57 3.1. système libre sans amortissement ............................................................................................ 58
2.1. Poutre encastrée-libre ................................................................................................................ 86 2.1.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 86 2.1.2. Méthode de superposition modale ....................................................................................... 87 2.1.3. Signaux observés ................................................................................................................. 91 2.1.4. Méthode d’analyse modale opérationnelle .......................................................................... 93 2.1.5. Les critères de performances ............................................................................................... 97
2.2. Poutre encastrée-encastrée ......................................................................................................... 97 2.2.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 97 2.2.2. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ........................................... 99 2.2.3. Signaux observés ............................................................................................................... 102 2.2.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ......................................... 104
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Sommaire 4
2.2.5. Les critères de performances ............................................................................................. 108 3. Structure bidimensionnelle : Plaque encastrée à ces quatre bords ................................ 108
3.1. Validation du modèle de l’élément fini ...................................................................................... 108 3.2. Méthode de superposition modale ............................................................................................. 110
3.2.1. Les fréquences propres théoriques .................................................................................... 110 3.2.2. Les déformées modales théoriques .................................................................................... 112
3.3. Signaux observés ....................................................................................................................... 114 3.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ................................................. 116
3.4.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 116 3.4.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 118 3.4.3. Les critères de performances ............................................................................................. 120
4. Structure tridimensionnelle: Systèmes double parois .................................................... 121 4.1. Description de l’exemple .......................................................................................................... 121 4.2. Equation du mouvement du système double parois ................................................................ 121
4.2.1. Formulation variationnelle du système couplé ................................................................. 121 4.2.2. Discrétisation par élément finis de la fonctionnelle d’énergie .......................................... 123 4.2.3. Energie de déformation de la plaque .............................................................................. 124 4.2.4. Energie cinétique de la plaque i ........................................................................................ 126 4.2.5. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique 0 .......................... 126 4.2.6. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique (i=1,2) ............... 128 4.2.7. Equation matricielle .......................................................................................................... 128
4.3. Validation du modèle de l’élément fini .................................................................................... 129 4.4. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ............................................... 131
4.4.1. Les fréquences propres théoriques .................................................................................... 131 4.4.2. Les déformées modales théoriques .................................................................................... 133
4.5. Signaux observés ...................................................................................................................... 135 4.6. Résultats de la séparation par l’analyse modale opérationnelle ............................................. 137
4.6.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 137 4.6.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 139 4.6.3. Les critères de performances ............................................................................................. 141
Annexe A : Dérivation du polynôme du pas optimal .............................................................. 151 Annexe B : Expressions des fréquences analytiques ............................................................... 153
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 6
Introduction générale
L’analyse modale permet la détermination, à partir de l’expérimentation, des caractéristiques
dynamiques des structures tels que : les fréquences de résonance, l’amortissement et les
déformées modales. La connaissance de ces paramètres structuraux est essentielle à la résolution
de plusieurs problèmes de vibration. La technique d’analyse modale a été développée d’abord
dans l’industrie aéronautique dans les années 1940 et est devenue très populaire dans beaucoupde domaines technologiques à partir des années 1970. L’analyse modale est très largement
appliquée à nos jours.
La réalisation d’un essai d’analyse modale classique, menée en laboratoire, nécessite
généralement la mesure de la réponse vibratoire de la structure ainsi que de la force d’excitation
en différents points permettant ainsi le calcul de la Fonction de Réponse en Fréquence (FRF).
Cependant, pour des grandes structures encombrantes, comme par exemple un pont, un avion ou
un train, il est difficile de faire un tel type d’analyse. Une autre méthode d’analyse modale dite
opérationnelle (AMO) constitue une alternative dans ce type de cas et permet des mesures en
environnement opérationnel. C’est une analyse modale où la structure est étudiée « in situ » et en
conditions de fonctionnements réelles. Ainsi, pour un pont, on pourra déterminer les modes du
pont excités par le vent et/ou par le passage de véhicules sur le tablier. L’analyse modale
opérationnelle permet alors de déterminer les paramètres modaux d’une structure à partir de sa
réponse à l’excitation à laquelle cette structure est habituellement soumise.
Ce manuscrit présente une approche numérique basée sur l’application de la procédure de
séparation aveugle de sources en analyse modale opérationnelle. La mise en œuvre d’une
méthode d’analyse en composantes indépendantes (ACI) et le développement des techniques
d’analyse modale dans le domaine temporel ont permis l’identification des paramètres
dynamiques des structure sans connaissance a priori les sources excitatrices. Dans le but de
montrer l’efficacité de la méthode développée dans ce travail de recherche l’étude est réalisée sur
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 7
trois différents types de structures : unidimensionnelle, bidimensionnelle et tridimensionnelle.
Dans une première étape, nous avons étudié le comportement dynamique de chaque type de
structure. Les réponses temporelles simulées aux différents nœuds sont ensuite utilisée pour
extraire par analyse modale opérationnelle les paramètres modaux (fréquence, amortissement et
déformée) des structures.
Ce manuscrit est donc décomposé comme suit :
Le premier chapitre est consacré à la présentation générale du problème de séparation de sources
en donnant son modèle mathématique dans le cas d’un mélange linéaire instantané et dans le cas
d’un mélange linéaire convolutif, en faisant un état de l’art sur quelques méthodes de séparation
de sources et en citant quelques exemples d’applications de la séparation de sources.Le second chapitre concerne la présentation de l’une des voies majeures de la séparation aveugle
de sources qui est l’analyse en composantes indépendantes (ACI) en montrant comment elle peut
être utiliser en analyse modale opérationnelle.
Le troisième chapitre à pour objet le développement et la mise en œuvre d’une méthode
numérique permettant d’extraire les paramètres modaux (fréquence, amortissement et déformée)
des structures en utilisant l’algorithme RobustICA comme approche numérique permettant
l’application de l’analyse en composantes indépendantes en analyse modale opérationnelle. Un
exemple de système masse ressort à trois degrés de liberté est retenu pour la validation du modèle
numérique développé.
Le dernier chapitre est consacré à l’analyse modale opérationnelle de trois différents types de
3.2.1. Critères basées sur les moments où les cumulants .............................................................. 16 3.2.2. Fonctions de contraste ........................................................................................................ 16 3.2.3. Déflation .............................................................................................................................. 17 3.2.4. Séparation avec un estimateur de Maximum d'Informations Mutuelles.............................. 17 3.2.5. Séparation avec un estimateur de Maximum de Vraisemblance ......................................... 18 3.2.6. Statistique du second ordre ................................................................................................. 18 3.2.7. Approche Géométrique ........................................................................................................ 19
3.3. Mélange convolutif ..................................................................................................................... 19 3.3.1. Statistique d'ordre élevée .................................................................................................... 19 3.3.2. Statistique du second ordre ................................................................................................. 20
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 10
1. Bref historique
La séparation de sources est un problème récent en traitement du signal. Il a été tout d’aborddéveloppé en 1984 par les travaux d’Hérault et Ans [31] et Jutten [32]. Malgré son importance et
ses nombreuses applications en traitement de signal, son origine est liée à la modélisation d'un
phénomène biologique [11,31] pour modéliser biologiquement le codage du mouvement (étudier
les réponses musculaires émises à l’issue de différentes sortes d’excitations). L'algorithme
développé en 1984 était robuste mais les explications théoriques de ses propriétés étaient
incomplètes.
Un premier formalisme du problème de séparation aveugle de sources, ainsi qu'un algorithme
permettant d'en obtenir une solution, a été proposé par C. Jutten et J. Hérault en 1991. Ensuite les
travaux de Comon en 1994 [33] ont permis la formalisation mathématique dans le cas le plus
simple d’un mélange linéaire instantané aboutissant au concept de l’analyse en composantes
indépendantes.
Depuis les années 90 et à partir de ces travaux, la recherche dans ce domaine devint très active
et des chercheurs du monde entier s'intéressent au problème de séparation de sources. C'est
maintenant, un problème très général qui se manifeste dans plusieurs domaines et dans plusieures
applications.
2. Modélisation du problème
Le problème de la séparation de sources est modélisé d’une manière générale indépendamment
du domaine d’application comme suit : des signaux (sources) émis par un nombre fini
d’émetteurs indépendants, traversant un mélange de dimension (environnement de
propagation), sont reçus par un nombre fini
de capteurs.
En se plaçant au niveau des capteurs, on a accès seulement aux signaux reçus (mélangés), les
signaux émis ainsi que le mélange sont tous inconnus. L’objectif est alors de restituer les signaux
émis en utilisant uniquement les signaux reçus. Pour se faire plusieurs hypothèses sur les sources
et le mélange sont nécessaires. Les chercheurs se basent essentiellement sur l’hypothèse de
l’indépendance mutuelle des signaux sources, c’est à dire que, la densité de probabilité des
signaux sources est égale au produit de ses densités de probabilités marginales afin de déterminer
les signaux estimés. Dans ce cas le problème est connu aussi sous le nom de l’analyse en
Figure 1-1. Structure générale de la séparation de sources
2.1. Mélange linéaire instantané
2.1.1. Modèle du mélange
Dans le cas instantané, les réponses impulsionnelles des filtres de propagation, exprimées par la
matrice sont toujours nulles sauf à l’instant d’indice 0, les signaux mélangés seront
alors instantanément établis et est une matrice de scalaires noté .
Donc, dans le cas d’un mélange instantané et pour un système avec émetteurs et capteurs, signaux sources sont émis à travers un système de mélange instantané (sans mémoire).
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 13
On peut avoir d’autres hypothèses sur les signaux sources, le bruit et/ou la matrice de mélange ce
qui permet la conception de nouveaux algorithmes.
2.1.3. Indéterminations
Dans le cas où les signaux sources et la matrice de mélange sont tous des inconnus, la séparation
peut être obtenus avec une infinité de vecteurs . On remarque que le même vecteur peut
être généré à partir d’une infinité de vecteurs . En effet, l’ordre des signaux est arbitraire car
toute permutation appliquée sur les signaux sources et sur les lignes de la matrice
correspondantes donne le même vecteur
. Donc les signaux sources ne peuvent être
récupérés qu’à une permutation près (Ambiguïté de permutation). En plus, la multiplication d'unecolonne de la matrice de mélange et la division d'un signal source par le même scalaire ne
changera pas le vecteur mélangé (Ambiguïté d'échelle). Ceci peut être montré facilement à
travers l’équation suivante :
1.3
Donc, les signaux sources sont estimés à une permutation et un facteur d’échelle près. Ceci est dû
au fait que les signaux sources et la matrice de mélange sont tous des inconnus.
2.1.4. La séparation
L'idée de séparation aveugle de sources consiste à trouver une matrice permettant d’obtenir
des signaux sources qui sont mutuellement indépendants, ou encore de calculer l’inverse de la
matrice de mélange
. Alors, on a :
1.4
avec est la matrice de séparation de dimension permettant de récupérer les signaux
sources à partir des signaux reçus qui sont mesurés par les capteurs à un facteur d’échelle et une
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 14
2.2. Mélange linéaire convolutif
2.2.1. Modèle du mélange
Dans le cas d’un mélange linéaire convolutif le signal reçu se modélise comme suit :
1.5
Avec , … , est le vecteur des observations,
, … , est le vecteur contenant les signaux sources, le vecteur bruit et , 0, . . . , , la suite des 1 matrices de dimension de la réponse impulsionnelle
(des filtres de propagation) du canal.
2.2.2. Hypothèses
Afin de réaliser la séparation, des hypothèses sur les signaux sources et le mélange sont
nécessaires. Dans le cas convolutif, en plus des hypothèses H1, H2 et H5, on considère les
hypothèses suivantes:
Hypothése6 : , c’est à dire que le nombre des capteurs est strictement supérieur au
nombre d’émetteurs.
Hypothése7 : La matrice de transfert est une matrice irréductible, c'est-à-
dire: ,
Hypothése8 : La matrice de transfert est une matrice à colonnes réduites, c’est à dire :, , … , , 2.2.3. La séparation
En considérant les hypothèses déjà citées, il existe un filtre inverse du mélange. L’objectif de la
séparation de sources est de calculer un filtre séparateur W(n) qui permet d’inverser la matrice du
mélange. La sortie du filtre séparateur s’écrit alors :
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 15
2.2.4. Indétermination
Comme dans le cas d’un mélange instantané, la séparation ne peut se faire qu’à un facteur
d’échelle et une permutation prés. En plus, la séparation ne peut être accomplie qu’à un filtrage
près. En effet, le plus souvent la séparation des mélanges convolutifs de sources est ramenée à un
ensemble de séparations instantanées. Ceci est réalisé par le passage dans le domaine fréquentiel
en utilisant la transformée de Fourier, où on obtient un modèle de mélange instantané à chaque
fréquence. Ainsi, des ambiguïtés peuvent se produire à chaque fréquence ce qui implique un
filtrage des signaux dans le temps.
1.7
3. Etat de l’art
3.1. Introduction
Selon ce que l’on trouve dans la littérature [25, 6, 7, 51, 12,26,…], le problème de séparation de
sources a été formulé initialement par Ans, Hérault [31] et Jutten [32], qui publiaient en 1985 le
premier algorithme de séparation de sources dans le cas d’un mélange linéaire instantané. Lespremiers travaux concernant le problème de séparation des mélanges convolutifs de sources ont
été initiés au début des années 90. Ainsi, le premier travail qui traite le mélange convolutif est
celui de Jutten et L. Nguyen [15,27]. On remarque que par rapport au mélange instantané, le
mélange convolutif a été moins étudié.
Dans ce qui suit, on va essayer de classer les différentes méthodes de séparation de sources pour
chaque type de mélange instantané ou convolutif suivant leur aspect le plus remarquable.
3.2. Mélange instantané
Plusieurs algorithmes basés sur différents critères existent dans la littérature par exemple :
approches basées sur le maximum de vraisemblance, approches basées sur l'information
mutuelle, approches basées sur la déflation, approches géométrique, approches basées sur le
maximum d'entropie … .
Dans ce qui suit, quelques exemples de critères sont présentés.
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 17
Cette fonction de contraste est valable pour des sources de même signe de kurtosis et nécessite
une étape de blanchiment (voir chapitre 2 : paragraphe 5.2).
Dans [42,22], Macchi et Moreau proposent une autre fonction de contraste (dans le cas où 1 , 0 ) qui ne nécessite pas une étape de blanchiment.
||
1.11
3.2.3. Déflation
Pour les signaux de même signe de kurtosis, Delfosse et Loubaton [38] proposent une méthode
de déflation (c'est-à-dire restituer un signal à chaque étape).
Après blanchiment, ils minimisent une fonction de contraste, par rapport à un vecteur
séparateur . Soit cette fonction de contraste définie par :
4 1.12
Si
correspond au minimum de
, alors le signal
est l'une des sources
estimées. Et ainsi, on sépare une source à chaque étape et on diminue le nombre des sourcesd'une unité à la fois. Pour avoir la séparation totale, il faut appliquer leur algorithme 1 fois.
C’est la seule méthode qui ne présente pas des solutions parasites et qui peut être étendue au cas
où les signes de kurtosis sont quelconques [39]. Pour cela, il suffit de remplacer la fonction K par
la fonction J définie par :
3
4 1.13
3.2.4. Séparation avec un estimateur de Maximum d'Informations Mutuelles
L’information mutuelle dépend des densités des variables aléatoires et elle est définie par :
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 20
3.3.2. Statistique du second ordre
Ces algorithmes emploient une approche du second ordre pour convertir le mélange, qui sera
séparé par une approche d’ordre supérieur.
Les algorithmes apparus pour le mélange convolutif sont généralement des méthodes de sous-
espace et supposent que le nombre de capteurs est plus grand que celui de sources .
Par exemple Delfosse et Loubaton ont montré que la séparation d’un mélange convolutif peut se
faire en trois étapes [40] : prédiction linéaire, séparation instantané et mise en œuvre de l’inverse
du filtre prédicateur en supposant que le filtre de mélange H(z) est causal et rationnel et de rang
plein
(en plus que le nombre de capteurs est supérieur à celui de sources).
3.3.3. Approches fréquentielles
La transformée de Fourier, de l’équation 1.5 (en ne tenant pas compte du bruit additif), donne :
1.18
La matrice est constante pour une fréquence donnée, ce qui permet d’obtenir un mélange
linéaire instantané dans chaque bande de fréquence considérée. En séparant les sources danschacune de ces bandes, il est alors possible de remonter aux signaux d’origine par transformée de
Fourier inverse et sommation des sorties associées à chaque bande. Ce type de problème peut
alors être résolu par les méthodes de séparation de source classiques, c-à-d applicables à des
mélanges linéaires instantanés.
Il apparait alors que le problème semble très simple : il suffit d’appliquer les méthodes utilisées
pour les mélanges instantanés et de reconstruire chaque source (mais avec une matrice de
mélange variable).
Cependant les indéterminations sur le facteur d’échelle et la permutation sont autant d’obstacles
majeurs à ces approches. En effet, à cause des permutations rien ne garantit a priori que les
contributions fréquentielles extraites sur une sortie pour les différentes bandes proviennent de la
même source. De plus l’indétermination sur l’amplitude amenée par les méthodes normalisant les
signaux de sortie va également perturber la reconstruction des différentes bandes de fréquences :
avec ce type de méthode aucune information n’est disponible sur la vraie amplitude du signal
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 22
4. Conclusion
Dans ce premier chapitre, on a donné un aperçu général sur le problème de séparation desources : modélisation du problème dans le cas d’un mélange linéaire instantané et convolutif, les
hypothèses utilisées, les ambiguïtés de la séparation, un état de l’art sur les différents critères
utilisés et quelque exemple d’applications.
On retient que la solution fournie par les méthodes de séparation aveugle n’est pas unique mais
les sources sont déterminées à une permutation et un facteur d’échelle (dans le cas instantané) et
à un filtrage prés (dans le cas convolutif).
Dans le deuxième chapitre, on va s’intéresser à l’une des méthodes les plus utilisées dans la
séparation aveugle de sources qui est l’analyse en composantes indépendantes en montrant
comment elle peut être appliquée en analyse modale opérationnelle.
2.2. Définition .................................................................................................................................... 27 2.3. Ambiguïtés de l’Analyse en Composantes indépendantes ........................................................ 29 2.4. Illustration de l’Analyse en composantes indépendantes ......................................................... 29
3. Concept de l’indépendance des signaux .............................................................................. 32 3.1. Définition et propriétés fondamentales ...................................................................................... 32 3.2. Les variables décorrélatives sont seulement partiellement indépendantes ............................... 33 3.3.
Pourquoi on interdit les variables gaussiennes ?
...................................................................... 33 4. Critères de l’ACI ................................................................................................................... 34
4.1. Maximisation de la non-gaussianité .......................................................................................... 35 4.2. Mesure de la non-gaussianité .................................................................................................... 36
4.3. ACI par estimation du maximum de vraisemblance ................................................................. 42 4.4. ACI basée sur la minimisation de l’information mutuelle ........................................................ 43
7. Identification des paramètres modaux par la méthode d’ACI ......................................... 47 8. Conclusion ............................................................................................................................. 50
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 24
1. Introduction
La connaissance des paramètres structuraux est essentielle à la résolution de plusieurs problèmesde vibration. Ceci nécessite généralement la mesure de la réponse vibratoire de la structure ainsi
que de la force d’excitation en différents points. Or dans presque toutes les structures réelles,
comme les structures de génie civil et de génie mécanique, il est parfois très difficile de connaitre
les forces d’excitation puisqu’ils sont exercés par des phénomènes naturels (le vent, les
vagues,…) où par des forces d’opération (les vibrations, les surcharges, …). C’est pourquoi
l’analyse modale opérationnelle des structures est basée sur les conditions d’opération naturelle.
Il consiste à caractériser les modes propres de structure en fonctionnement sans connaitre ni la
source d’excitation ni la structure. La méthode doit donc se baser uniquement sur la réponse de la
structure.
Dans ce chapitre, on présente l’une des méthodes les plus utilisées dans la séparation aveugle de
sources qui est l’analyse en composantes indépendantes et on montre comment elle peut être
utilisée en analyse modale opérationnelle [29, 53, 30,54].
2. Analyse en composantes indépendantes (ACI)
2.1. Motivation
Considérant une chambre où deux personnes parlent simultanément. On dispose de deux
microphones placés dans des endroits différents. Chaque microphone enregistre la superposition
des discours des deux personnes à ses alentours en fonction de temps, qu’on peut noter par
et avec et les amplitudes, et t l'indice de temps. Chacun de ces signaux enregistrés est
un mélange des discours émis par les deux personnes, qu’on note par et (figure2-1).
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 27
Une approche pour résoudre ce problème serait d'employer les informations sur les propriétés
statistiques des signaux
pour estimer les
. En fait, il suffi de supposer que
et
à
chaque instant t sont statistiquement indépendants.
La technique récemment développée de l'analyse en composantes indépendantes (ACI), peut être
employée pour estimer les en se basant sur l'information de leur indépendance, ce qui permet
la séparation des deux signaux originaux et de leurs mélanges et . La
figure 2-4 donne les deux signaux estimés par la méthode d'ACI.
Figure. 2-4. Les signaux estimés en utilisant seulement les signaux observés dans la figure 2-2
2.2. Définition
L’ACI est l’une des voies majeures de la séparation aveugle de sources (Une " source " signifie
ici un signal original, c.-à-d. composant indépendant, " aveugle " signifie qu’on ne connait riensur la matrice de mélange). Elle permet d’obtenir des signaux de sorties statistiquement
indépendants, égaux aux signaux sources aux indéterminations d’échelle et de permutation prés
dans le cas de mélanges linéaires instantanés. On va étudier le cas où le nombre des signaux
observés est égal au nombre des signaux sources .
On suppose qu’on observe mélanges linéaires , … , de composantes indépendantes.
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 28
; 1,… 2 .3
On suppose que chaque mélange aussi bien que chaque composante indépendante est une
variable aléatoire. Les valeurs observées sont alors un échantillon de cette variable
aléatoire. Sans perte de généralité, on peut supposer que les variables mélangées et les
composantes indépendantes sont centrées (leur moyenne est nulle): même si ce n'est pas vrai, les
variables observées peuvent toujours être centrées en soustrayant leur valeur moyenne.
Il est recommandé d'employer la notation matricielle. On note par le vecteur aléatoire dont les
éléments sont les mélanges
, … , et de même par
le vecteur aléatoire avec des
éléments , … , . On note par la matrice avec les éléments . En utilisant cette notation
matricielle, le modèle de mélange s’écrit :
2.4Parfois on a besoin des colonnes de la matrice ; qu’on note par . Le modèle peut être écrit
sous la forme suivante :
2.5Les composantes indépendantes sont des variables latentes, signifiant qu'elles ne peuvent pas être
directement observées. Aussi, on assume que la matrice de mélange est inconnue. Tout ce qu’on
observe est le vecteur aléatoire et nous devons estimer et en l’utilisant.
Le point de départ pour l’ACI est l’hypothèse très simple que les composantes sont
statistiquement indépendantes.
L'indépendance statistique sera rigoureusement définie dans le paragraphe 3 et on montre ensuitequ’on doit également supposer que les composantes indépendantes doivent avoir des
distributions non gaussiennes. Pour la simplicité, on suppose que la matrice de mélange est
carrée. Ensuite, après avoir estimé la matrice on peut calculer son inverse, noté et obtenir
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 32
3. Concept de l’indépendance des signaux
3.1. Définition et propriétés fondamentales
Pour définir le concept de l'indépendance, on considère deux variables aléatoires et .
Fondamentalement, les variables et seraient indépendantes si l'information sur la valeur de ne fournit aucune information sur la valeur de , et vice versa. Dans le paragraphe précédent,
on a noté que c'est le cas avec les variables et , mais pas avec les variables mélangées
et .
Techniquement, l'indépendance peut être définie par les densités de probabilité. On note par
, la fonction de densité de probabilité commune de et de et par la densitéde probabilité marginal de et par la densité de probabilité marginal de : , , 2.8
et de même pour
.
Alors et sont indépendantes si et seulement si leur densité de probabilité commune peutêtre factorisée de la manière suivante:
, 2.9
Cette définition se prolonge pour tout nombre de variables aléatoires. Dans ce cas la densité
commune est un produit de termes.
La définition peut être employée pour dériver la propriété la plus importante pour les variables
aléatoires indépendantes. En se donnant deux fonctions, et , le moment croisée d’ordre deux
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 35
Figure 2-8. Principe de la séparation par la méthode d’ACI
4.1. Maximisation de la non-gaussianité
Intuitivement parlant, la clef à estimer le modèle d'ACI est la non-gaussianité. En fait, sans non-
gaussianité l'évaluation n'est pas possible du tout, comme mentionné dans le paragraphe 3.3.
Le théorème de limite centrale, un résultat classique dans la théorie des probabilités, indique que
la somme de variable aléatoires tend vers une distribution gaussienne. On considère alors qu’une
combinaison linéaires de sources aléatoires non gaussiennes, de même distribution, est plusgaussienne que les sources elles mêmes.
On suppose dans ce paragraphe que toutes les composantes indépendantes ont des distributions
identiques.
Pour estimer une des composantes indépendantes, on considère une combinaison linéaire des tel que
∑
où
est un vecteur à déterminer. Si
était une des rangées de
l'inverse de cette combinaison linéaire égalerait réellement à l’une des composantesindépendantes. La question est maintenant: Comment peut on employer le théorème de la limite
centrale pour déterminer le vecteur de sorte qu'il soit égal à une des rangées de l'inverse de ? Dans la pratique, on ne peut pas déterminer un tel exactement, parce qu’on n’a aucun
information sur la matrice , mais on peut trouver un estimateur qui donne une bonne
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 36
Afin de voir comment ceci mène au principe de base de l'évaluation d'ACI, on va faire un
changement de variable : En définissant
, on a alors
, y
est ainsi une combinaison linéaire de avec des coefficients donnés par . Puisque la somme de deux variables aléatoires indépendantes est plus gaussienne que les
variables originales, est plus gaussien que n'importe qu’elle et devient moins gaussien
quand il égale un des . Dans ce cas, seulement un des éléments de est différent de zéro.
Par conséquent, on peut prendre comme un vecteur qui maximise la non-gaussianité de .
Un tel vecteur correspond nécessairement à un qui a seulement une composante différente de
zéro. Ceci signifie que
égale une des composantes indépendantes : La
maximisation du non-gaussianité de donne ainsi une des composantes indépendantes. Enfait, le paysage d'optimisation pour la non-gaussianité dans l'espace n-dimensionnel des vecteurs a 2 maximum locaux, deux pour chaque composante indépendante, correspondant au et (rappelant que les composantes indépendantes peuvent être estimées seulement à un signe
multiplicatif). Pour trouver plusieurs composantes indépendantes, on doit trouver tous ses
maximums locaux. Ce n'est pas difficile, parce que les différentes composantes indépendantes
sont décorrélatives : on peut toujours contraindre la recherche à l'espace qui donne des
évaluations décorrélatives avec les précédentes. Ceci correspond à l'orthogonalisation dans unespace convenablement transformé (c.-à-d. blanchi).
4.2. Mesure de la non-gaussianité
Pour employer la non-gaussianité dans l'évaluation d'ACI, on doit avoir une mesure quantitative
de la non-gaussianité d'une variable aléatoire, noté . Pour la simplification, on suppose que est
centrée (de moyenne nulle) et a une variance égale à l’unité.
4.2.1. Kurtosis
Le tout premier critère utilisé pour évaluer la non-gaussianité fut le Kurtosis ou auto-cumulant
d’ordre 4. On considère la forme simplifiée suivante :
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 39
où est une grandeur scalaire. Ces propriétés peuvent être facilement prouvées en utilisant la
définition.
Pour illustrer dans un exemple simple à quoi le paysage d'optimisation pour le kurtosis
ressemble, et comment les composantes indépendantes ont pu être trouvées par minimisation ou
maximisation de kurtosis, on prend un modèle à deux dimensions . On suppose que les
composantes indépendantes et ont des valeurs de Kurtosis notées et
respectivement, tous les deux sont différentes de zéro. On rappelle qu’on a supposé qu'elles ont
des variances égales à l'unité. On cherche une des composantes indépendantes telles que
.En effectue encore la transformation , on a alors . Maintenant, en se basant sur la propriété additive du kurtosis, on a :
D' autre part, on a la contrainte que la variance de y est égale à 1 en se basant sur la même
hypothèse concernant et . Ceci implique une contrainte sur z : .
Géométriquement, ceci signifie que le vecteur est contraint au cercle d'unité dans un plan à
deux dimensions. Le problème d'optimisation consiste à situer les maximums de lafonction || | | sur le cercle d'unité? Pour la simplicité, on
peut considérer que les valeurs du kurtosis sont du même signe, dans ce cas les opérateurs de
valeur absolue peuvent être omis. Le graphique de cette fonction est le paysage d'optimisation
pour le problème.
Les maximum sont aux points où exactement l’un des éléments du vecteur z est zéro et l'autre
différent de zéro; en raison de la contrainte de cercle d'unité, l'élément différent de zéro doit être
égal à 1 ou à -1. Mais ces points sont exactement ceux quand y est égale à l’une des composantes
indépendantes et le problème a été résolu.
Dans la pratique on commence à partir d'un certain vecteur , on calcule la direction suivant
laquelle le kurtosis se développe le plus fortement (si le kurtosis est positif) où
diminue le plus fortement (si le kurtosis est négatif) en se basant sur les échantillons disponibles 1 . . , du vecteur de mélange et en employant la méthode du gradient ou un de ces
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 42
4.3. ACI par estimation du maximum de vraisemblance
Une approche très populaire pour le modèle de l’ACI est l’estimation du maximum devraisemblance. Le but est de trouver les paramètres du mélange qui maximisent la probabilité
d’occurrence des observations. Ainsi, à partir de l’expression matricielle du mélange , on
peut exprimer la densité de probabilité du vecteur en fonction des densités de probabilité des
sources supposées indépendantes et du déterminant de l’inverse , … , de la
matrice de mélange
|det| 2.25
|det|
Cette relation peut être exprimée par rapport aux colonnes de la matrice et aux
observations :
|det| 2.26
Si on considère échantillons de , alors la vraisemblance peut être obtenue comme le
produit de cette densité évaluée à ces points et peut s’exprimer comme une fonction de :
∏ |det| ∏ 2.27
Il est souvent plus pratique de considérer le logarithme de la vraisemblance qui s’écrit :
log
|det| 2.28
Ce qui donne, en divisant par et en considérant la moyenne empirique notée . ,
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 45
2.33
La transformation de blanchiment est toujours possible. Une méthode populaire pour blanchir est
d'employer la décomposition en valeur propre de la matrice de covariance tel que : où est la matrice orthogonale des vecteurs propres de et est la matrice
diagonale de ses valeurs propres , . . . , . peut être estimée des échantillons disponibles 1, . . . , . Le blanchiment se fait
alors comme suit :
2.34
où la matrice est calculée par l’opération suivante : , . . . , .
Le blanchiment transforme la matrice de mélange à une nouvelle matrice noté . On a à partir
des équations 2.4 et 2.34:
2.35
L'utilité du blanchiment réside dans le fait que la nouvelle matrice de mélange est orthogonale.
Ceci peut être remarqué à partir de :
2.36
Ici on peut voir que le blanchiment réduit le nombre des paramètres à estimer. Au lieu d’estimer
paramètres qui sont les éléments de la matrice originale , on doit seulement estimer la
nouvelle matrice de mélange orthogonale. Une matrice orthogonale contient 1 2⁄ degrés
de liberté. Par exemple, en deux dimensions, une transformation orthogonale est déterminée par
un paramètre simple d'angle. Dans de plus grandes dimensions, une matrice orthogonale contient
seulement environ la moitié du nombre de paramètres d'une matrice arbitraire. Ainsi, on peut
indiquer que le blanchiment résout la moitié du problème d'ACI.
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 48
: Vecteur accélération .
En utilisant la méthode de superposition modale, La réponse s’écrit sous la forme matricielle
suivante :
2.38
avec : : Vecteur des grandeurs physiques mesurées (déplacement),
: Matrice modale composée des déformées modales
,
: Vecteur contenant les réponses modales. Ce dernier s’écrit sous la forme suivante :
exp sin 2.39
avec :
: Coefficients d’amortissements modaux
: Fréquences naturelles du système : Fréquences amortis du système : Angles de phase : Constantes à déterminer à partir des conditions initiales : Temps
Donc peut s’écrire :
exp sin 2.40
L’analyse modale opérationnelle consiste à déterminer la matrice des déformées modales , les
fréquences naturelles et les coefficients d’amortissements contenu dans en utilisant
seulement les signaux de sortie . D’où la similarité entre l’analyse modale et l’analyse en
2. Présentation de l’algorithme RobustICA ........................................................................... 53 2.1 Extraction d’une composante indépendante ............................................................................. 54 2.2 Déflation ..................................................................................................................................... 55
3. Validation de la méthode ...................................................................................................... 57 3.1. système libre sans amortissement ............................................................................................ 58
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 53
1. Introduction
Dans le chapitre précédent, on a discuté les méthodes fondamentales des principes statistiques del’ACI tel que la maximisation du non gaussianité en utilisant comme critère de mesure le
Kurtosis ou la néguentropie, la maximisation de la vraisemblance et la minimisation de
l’information mutuelle.
Dans ce chapitre, on propose un nouvel algorithme pour l’ACI à déflation appelée RobustICA
qui consiste à réaliser l’optimisation exacte du Kurtosis et on va l’appliquer en analyse modale
opérationnelle d’un système mécanique discret en utilisant seulement les réponses au niveau des
masses discrétisées.
Dans une première partie, on va présenter l’algorithme RobustICA. Dans la deuxième partie, on
va valider l’algorithme en l’appliquant à un système discret (masse-ressort) à trois degrés de
liberté sans et avec amortissement. L’idée consiste alors à déterminer à partir des réponses
seulement les caractéristiques modales de la structure.
2. Présentation de l’algorithme RobustICA
RobustICA est un algorithme d’analyse en composantes indépendantes basé sur le kurtosiscomme critère de maximisation du non gaussianité afin de déterminer les composantes
indépendantes. Ce dernier est défini comme le cumulant marginal normalisé d’ordre quatre
[52,53].
Κ || 2|| |||| 3.1
On peut voir que ce critère est peu sensible au facteur d’échelle c'est-à-dire :Κ Κ , 0
Puisque cette indétermination d’échelle est en général sans importance, on peut imposer, sans
perte de généralité, la normalisation 1.
Le critère de maximisation du Kurtosis basé sur l’équation 3.1 est tout à fait général parce qu'il
n'exige pas que les observations soient blanchies et peut être appliqué à des sources complexes
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 55
3.6
S5) Normaliser :
3.7
L’algorithme peut être arrêté quand
1 || 3.8
avec est une petite constante statique qui peut être définie par : / avec 1
2.2 Déflation
Pour extraire plus d'un composant indépendant, le procédé déflationniste d'orthogonalisation de
Gram-Schmidt peut être employé dans RobustICA avec blanchiment, même si le blanchiment
n'est pas obligatoire pour cette méthode. Après l'étape 4, le vecteur extrait mis à jour est contraintpour se situer dans le sous-espace orthogonal des vecteurs extraits précédemment trouvés , , … , .Dans l'approche de régression linéaire à la déflation, après la convergence de l'algorithme de
recherche, la contribution de la source estimée à l'observation est calculée par l'intermédiaire de
la solution minimum de carré moyenne d’erreur au problème de régression linéaire ̂,
donné par :
arg ̂ ̂|̂| 3.9
Les observations sont alors dégonflées avant de réinitialiser l'algorithme dans la recherche de la
prochaine source comme suit : ̂ 3.10
Si le blanchiment n'est pas exécuté, l'orthogonalisation n'est plus une option alors que la
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 57
Fonction kurt-gradient-optstep Fonction :deflation-regression
Figure 3-1. Organigramme simplifié de la méthode de séparation de sources
3. Validation de la méthode
Afin de valider le programme RobustICA. On va utiliser dans une première partie la méthode de
superposition modale pour déterminer les paramètres modaux théoriques (les fréquencesnaturelles, les facteurs d’amortissements et les déformées modales) dans le cas d’un système
discret à trois degrés de liberté. Ensuite, on va utiliser le programme de séparation de sources
RobustICA pour estimer ces paramètres et enfin on va comparer les résultats obtenus par les deux
Tableau 3-1. Comparaison des déformées modales théoriques et estimées
- Avec matrice de permutation
Après avoir estimé les signaux sources, le programme RobustICA permet l’utilisation d’une
matrice de permutation qui permet de comparer les signaux sources estimés avec ceux théoriqueset les ordonnées en résolvant l’indétermination d’échelle tel que
Dans notre cas :
0 0.5167 00.9999 0 00 0 0.3357 La figure 3-7 présente une comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées.
La figure 3-8 représente le spectre des signaux estimés.
Tableau 3-6. Comparaison entre les déformées modales théoriques et estimées
L’erreur de l’approximation des déformées modales ainsi que le critère d’assurance modale sont
présentés dans le tableau 3-7
N° du mode MAC Er
1 0.6560 0.9155
2 0.8026 0.4525
3 NaN 1.0000
Tableau 3-7. Critères de performances
Suite à ces deux cas, on remarque que les coefficients d’amortissements affectent la performance
de l’algorithme RobustICA. Plus le coefficient d’amortissement augmente plus la séparation est
incorrect. On peut donc conclure que le programme RobustICA est fiable en absence
d’amortissement où dans le cas où les coefficients d’amortissements sont très faibles.
4. Conclusion
Dans ce chapitre, un nouvel algorithme d’analyse en composantes indépendantes ‘RobustICA’est proposé pour l’analyse modale opérationnelle. Suite à son application à un système discret à
3 degrés de liberté, on a pu le valider dans le cas non amortis. Pour l’autre cas c'est-à-dire pour
des systèmes discrets amortis, le programme reste fiable pour des coefficients d’amortissement
très faible.
Dans la suite de ce rapport, on va considérer seulement des structures dynamiques déformables
de géométrie plus au moins simple sans amortissement.
2.1. Poutre encastrée-libre ................................................................................................................ 86 2.1.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 86 2.1.2. Méthode de superposition modale ....................................................................................... 87 2.1.3. Signaux observés ................................................................................................................. 91 2.1.4. Méthode d’analyse modale opérationnelle .......................................................................... 93 2.1.5. Les critères de performances ............................................................................................... 97
2.2. Poutre encastrée-encastrée ......................................................................................................... 97 2.2.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 97 2.2.2. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ........................................... 99 2.2.3. Signaux observés ............................................................................................................... 102 2.2.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ......................................... 104 2.2.5. Les critères de performances ............................................................................................. 108
3. Structure bidimensionnelle : Plaque encastrée à ces quatre bords ................................ 108 3.1. Validation du modèle de l’élément fini ...................................................................................... 108 3.2. Méthode de superposition modale ............................................................................................. 110
3.2.1. Les fréquences propres théoriques .................................................................................... 110 3.2.2. Les déformées modales théoriques .................................................................................... 112
3.3. Signaux observés ....................................................................................................................... 114 3.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ................................................. 116
3.4.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 116
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 84
3.4.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 118 3.4.3. Les critères de performances ............................................................................................. 120
4. Structure tridimensionnelle: Systèmes double parois .................................................... 121 4.1. Description de l’exemple .......................................................................................................... 121 4.2. Equation du mouvement du système double parois ................................................................ 121
4.2.1. Formulation variationnelle du système couplé ................................................................. 121 4.2.2. Discrétisation par élément finis de la fonctionnelle d’énergie .......................................... 123 4.2.3. Energie de déformation de la plaque .............................................................................. 124 4.2.4. Energie cinétique de la plaque i ........................................................................................ 126 4.2.5. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique
0 .......................... 126
4.2.6. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique (i=1,2) ............... 128 4.2.7. Equation matricielle .......................................................................................................... 128
4.3. Validation du modèle de l’élément fini .................................................................................... 129 4.4. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ............................................... 131
4.4.1. Les fréquences propres théoriques .................................................................................... 131 4.4.2. Les déformées modales théoriques .................................................................................... 133
4.5. Signaux observés ...................................................................................................................... 135 4.6. Résultats de la séparation par l’analyse modale opérationnelle ............................................. 137
4.6.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 137 4.6.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 139 4.6.3. Les critères de performances ............................................................................................. 141
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 85
1. Introduction
Ce chapitre est consacré à l’étude du comportement vibratoire de différents types de structure paranalyse modale opérationnelle en utilisant le programme RobustICA présenté dans le chapitre
précédent. Les structures étudiées sont :
- Structure unidimensionnelle : Poutre encastrée libre et poutre encastrée-encastrée,
- Structure bidimensionnelle : plaque encastrée à ces quatre bords,
- Structure tridimensionnelle : système double parois.
Pour chaque structure : D’abord, on va valider le modèle de l’élément fini. Ensuite, On va
chercher les paramètres modaux (fréquences propres et déformées modales) dans un premier
temps en appliquant la méthode de superposition modale et dans un deuxième temps en
appliquant la méthode d’analyse modale opérationnelle. Enfin, on va comparer les résultats
obtenus par les deux méthodes.
2. Structure unidimensionnelle: Poutre en flexion
On considère une poutre en acier. Ces caractéristiques sont :
On remarque que le critère d’assurance modal MAC est égal à 1 sauf pour le deuxième mode(0.9996) et que l’erreur de l’approximation des déformées modale Er n’a pas dépassé 0.08. En
plus, l’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les fréquences estimées par
l’AMO Ef varie entre 0 et 0.27%. Donc, les résultats obtenus par la méthode de superposition
modale et la méthode d’analyse modale opérationnelle sont très proches.
3. Structure bidimensionnelle : Plaque encastrée à ces quatre bords
3.1. Validation du modèle de l’élément fini
Les fréquences analytiques sont calculées, pour un mode i donné, de la manière suivante (Annexe
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 120
3.4.3. Les critères de performances
Le tableau ci-dessous présente les différents critères de performances calculés pour l’exemple dela plaque encastrée à ces quatre bords.
Tableau4-12. Les critères de performances
On remarque que le critère d’assurance modal MAC a des valeurs égales à 1 ou à peu prés égales
à 1 pour les 25 modes et que l’erreur de l’approximation des déformées modale Er n’a pas
dépassé 0.17. En plus, l’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les
fréquences estimées par l’AMO Ef n’a pas dépassé 0.3%. Donc, les résultats obtenus par laméthode de superposition modale et la méthode d’analyse modale opérationnelle sont très
On considère le système double parois schématisé par la figure suivante :
Figure. 4-23. Système double parois
Ce système est constitué de deux plaques minces reliées bords à bord par un joint viscoélastique
de rigidité linéique et d’amortissement linéique nul. L’ensemble plaques-joint est placé, à
l’aide de deux autres joints viscoélastiques de rigidité linéique comme indiqué par la figure. Lesdeux plaques sont supposées minces, d’épaisseurs constantes et en flexion pure.
4.2. Equation du mouvement du système double parois
On présente dans ce paragraphe une formulation variationnelle des deux plaques et des joints
viscoélastiques ce qui conduit à la détermination de la formulation variationnelle totale du
système couplé. Cette formulation est établie en termes de déplacement des deux plaques.
La discrétisation par éléments finis de la formulation variationnelle du système couplé conduit à
un système matriciel symétrique dont la résolution permet la détermination des déplacements
transversaux des deux plaques.
4.2.1. Formulation variationnelle du système couplé
La fonctionnelle d’énergie associée au système double parois s’écrit (la masse des joints étant
Les trois joints sont identiques (l’amortissement n’est pas pris en compte) et ont pour rigidité
linéique :
0.264 10/²
En comparant les résultats pour 3 types de maillage on va utiliser celui d’un maillage 1 6 1 6(puisque la variation des fréquences par rapport à celui de 1 0 1 0 est faible (figure 4-25).
Tableau 4-13. Fréquences propres du système double parois et de la plaque soumise par des joints
L’analyse des fréquences propres du système couplé, formé des deux plaques et des joints et
celui de la plaque seule montre qu’on retrouve toutes les fréquences de la plaque seule dans le
système couplé. Pour ces fréquences les plaques vibrent en phase. Pour les autres modes lesplaques vibrent en opposition de phase : Le joint intermédiaire pousse les deux plaques.
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 135
4.5. Signaux observés
Afin de déterminer les fréquences propres et les déformées modales par la méthode d’analysemodale opérationnelle, on utilise les 32 réponses vibratoires du système double parois 1,…32 au niveau des nœuds présentés en bleu sur la figure 4-29 (16 nœuds au niveau de chaque
plaque). Les signaux observés sont numérotés de 1 à 32. Le système double parois est en
vibration libre soumis à des conditions initiales aléatoires générées selon une loi de probabilité
uniforme de moyenne nulle et d’écart type égal à 10 au niveau de la plaque 1.
Figure.4-29. Emplacement des signaux observés au niveau du système double parois
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 142
5. Conclusion
Durant ce chapitre, on a essayé de déterminer les fréquences propres et les déformées modalespour des structures dynamiques déformables de géométries plus au moins simples (poutre,
plaque, système double parois) en utilisant la méthode d’AMO.
En calculant les critères de performance, on montre que les résultats sont très proches des
résultats théoriques calculés par la méthode de superposition modale pour les deux cas de la
poutre et de la plaque. Pour le système double parois, malgré que l’erreur de l’approximation des
déformées modale Er a augmenté pour quelques modes (3 sur 32), les résultats obtenus par
l’AMO restent acceptables et proches des résultats théoriques.
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Conclusion générale 143
Conclusion générale
Ce mémoire de mastère est focalisé sur l’analyse modale opérationnelle des systèmes
dynamiques en appliquant l’une des techniques de la séparation aveugle de sources qui est l’ACI.
L’algorithme de séparation de sources proposé est RobustICA basé sur le Kurtosis comme critère
de séparation.
Tout d’abord, on a présenté le problème de séparation de sources en donnant son modèle
mathématique dans le cas d’un mélange linéaire instantané et dans le cas d’un mélange linéaire
convolutif, en faisant un état de l’art sur quelques méthode de séparation de source et en citant
quelques exemples d’applications de la séparation de sources. Puis, on a présenté la technique de
l’analyse en composantes indépendantes en montrant comment elle peut être utilisée en analyse
modale opérationnelle. Ensuite, on a proposé l’algorithme RobustICA comme approche
numérique permettant l’application de l’analyse en composantes indépendantes en analyse
modale opérationnelle et on a pu le valider en l’appliquant pour un système discret à trois degrés
de liberté en vibration libre dans le cas non amortis où pour des coefficients d’amortissement très
faible. Enfin, on a étudié le comportement vibratoire de différents structure dynamiques
déformables de géométrie plus ou moins simple (unidimensionnelle : poutre en flexion,
bidimensionnelle : plaque encastrée à ces quatre bords, tridimensionnelle : système double
parois) en déterminant leurs fréquences propres et leurs déformées modales par la méthode
d’analyse modale opérationnelle. Pour les trois cas étudiés, on a montré que les résultats obtenus
sont proches à ceux calculés théoriquement. Donc, l’analyse en composantes indépendantes peutêtre appliquée en analyse modale opérationnelle pour déterminer les caractéristiques modales des
structures dynamiques en utilisant seulement les réponses vibratoires mesurées sur quelques
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Carac t ér isa t ion v ibra t o i re des s t ruc t ures par
Analyse Modale Opérat ionnel le
Mariam MILADI épouse CHAABENE
Résumé : L’Analyse Modale Expérimentale (AME) n’est pas toujours réalisable dans toutesles structures réelles de génie civil et de génie mécanique : taille importante, inaccessibili-
té…etc. Il faut donc faire appel à d’autres méthodes d’analyse.
Le sujet de recherche objet de ce mémoire rentre dans ce cadre. Il consiste à étudier une nou-
velle approche d’Analyse Modale appelée Analyse Modale Opérationnelle (AMO) qui est en
mesure de caractériser les modes propres de structures en fonctionnement sans connaître ni la
source ni la structure. Cette approche est basée sur l’Analyse en Composantes Indépendantes
(ACI) qui est l’une des méthodes les plus utilisées dans la Séparation Aveugle de Sources.
La technique d’AMO développée est appliquée ensuite pour la caractérisation vibratoire de
différents types de structures : structure unidimensionnelle (poutre encastrée-libre et poutre
encastrée-encastrée), structure bidimensionnelle (plaque encastrée à ces quatre bords) et struc-
ture tridimensionnelle (système double parois). Les résultats sont comparés à ceux obtenus
numériquement par la méthode de superposition modale.
Mots clés: Analyse Modale Opérationnelle (AMO), Analyse en Composantes Indépendantes
(ACI), Séparation Aveugle de sources (SAS), Méthode de superposition modale, Caractéris-
tiques modales, poutre, plaque, système double parois.
Abstract: The Experimental Modal Analysis (EMA) is not always realizable in all the real
structures of civil engineering and mechanical engineering: big dimensions, inaccessibility...
etc. It is thus necessary to call upon other methods of analysis.
It’s with this context that the present research work is presented. It consists in studying a new
approach of Modal Analysis called Operational Modal Analysis (OMA) which is able to cha-racterize eigenmodes of structures during operation without knowing neither the source nor
the structure. This approach is based on the Independent Component Analysis (ICA) which is
one of the major ways in Blind Source Separation.
The developed technique of OMA is then applied for vibratory characterization of various
types of structures: one-dimensional structure (clamped-free beam and clamped-clamped
beam), two-dimensional structure (plate clamped on these four boards) and three-dimensional
structure (double panel system). The results are compared with those numerically achieved by