Rangkuman Limit of Function

DaftarIsi6. LIMITFUNGSIANALISISREAL(SemesterITahun2011-2012)HendraGunawanDosenFMIPA-ITBE-mail: [email protected],2011HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3LimitSepihak,LimitdiTakHingga,danLimitTakHinggaHendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaBilasebelumnyakitamempelajarilimitbarisan,makapadababinikitaakanmempelajarilimitfungsi,danfungsiyangakandibahasadalahfungsiyangterdenisipadahimpunanbagiandari RatauRndengannilaidi Ratau Rn.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaRuangEuclid RnRnadalahruangvektorx = (x1, . . . , xn),denganx1, . . . , xn R,yangdilengkapidenganoperasipenjumlahandanperkaliandenganskalar:x + y := (x1 + y1, . . . , xn + yn), x := (x1, . . . , xn),sertanormadanhasilkalititik:|x| :=

x21+ + x2n, xy := x1y1 + + xnyn.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaBarisan xk)di Rndikatakankonvergenkex Rnapabilauntuksetiap > 0terdapatN Nsedemikiansehingga |xk x| < untukk N. Dalamhalinikitatuliskan limkxk= x.Proposisi 0. Barisan xk)konvergenkexjikadanhanyajikabarisan xki)konvergenkexiuntuktiapi = 1, . . . , n.Sebagaiakibatnya,teoremalimitbarisanuntukpenjumlahandanperkaliandenganskalar(sepertipadaProposisi5diBab3)berlakupulauntukbarisandi Rn.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaMisalkan > 0. Lingkungan-darisuatutitikx RnadalahbolabukaB(x, ) := y Rn: |x y| < yangberpusatdixdanberjari-jari. (Di R,B(x, )merupakanintervalbuka,sementaradiR2merupakancakramlingkaranbuka.)JikaD Rn,makaxdisebuttitikakumulasidariDapabilasetiaplingkungan-darixmemuattakterhinggabanyakanggotaD.CatatbahwatitikakumulasidariDtidakharusmerupakananggotaD,dansebaliknyaanggotaDpuntidakharusmerupakantitikakumulasidariD.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaDenisi LimitFungsi di SuatuTitikMisalkanf : D Rdanx0titikakumulasidariD. Maka,fdikatakanmempunyailimitLdix0dankitatuliskanlimxx0f (x) = L,apabilauntuksetiap > 0terdapat> 0sedemikiansehingga0 < |x x0| < danx D [f (x) L[ < .Disinix0tidakharusmerupakananggotaD,dandalamhalx0 Dnilaif dix0tidakmempengaruhinilailimitf dix0.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaProposisi 1(KetunggalanLimit)Jikaf : D Rmempunyailimitdix0,makalimitnyatunggal.Bukti. Andaikanf mempunyailimitL1danL2dix0. Maka,untuksetiap > 0,terdapat> 0sedemikiansehingga[f (x) L1[ < /2 dan [f (x) L2[ < /2untuk0 < |x x0| < danx D. Akibatnya,untukxtersebut,[L1 L2[ [L1 f (x)[ +[f (x) L2[ < .Karenainiberlakuuntuk > 0sembarang,makakitasimpulkanbahwaL1= L2.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaContoh2(a)Misalkanf : R Rdenganf (t) = 2t. Maka,untuksembarangt0 R,kitamempunyailimtt0f (t) = 2t0.Disini,untuksetiap > 0,pilih= /2.(b)Misalkanf (t) = t2, t R. Maka,untuksembarangt0 R,kitamempunyailimtt0f (t) = t20.Disini,untuksetiap > 0,pilih= min

1,

1+2|t0|

.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaContoh3Misalkanf = Qmenyatakanfungsikarakteristik Q,yangbernilai1pada Qdanbernilai0pada R Q. Maka,f tidakmempunyailimitdititikmanapun.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaContoh4(a)Misalkanf (t) = sin(1/t), t ,= 0. Maka,f tidakmempunyailimitdi0.(b)Misalkang(t) = t sin(1/t), t ,= 0. Maka,limt0g(t) = 0,karena [t sin(1/t)[ [t[untuksetiapt ,= 0.Disini,diberikan > 0,pilih= .HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaContoh5Misalkanf (x1, x2) = x1x2, (x1, x2) R2. Maka,lim(x1,x2)(0,0)f (x1, x2) = 0.Perhatikanbahwa[f (x1, x2) 0[ = [x1x2[ |x|2,denganx = (x1, x2). Jadi,diberikan > 0,pilih= .HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaContoh6Misalkanf (x1, x2) =x21x22x21+x22, (x1, x2) ,= (0, 0). Maka,f tidakmempunyailimitdi(0, 0).Sepanjanggarisx2= mx1,fungsif bernilai1m21+m2,yangbergantungpadanilaim. (Bilam = 0,makaf = 1;namunbilam = 1,makaf = 0.)HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaSoal Latihan1BuktikanProposisi0.2BuktikanbahwaxmerupakantitikakumulasidariDjikadanhanyajikasetiaplingkungan-darixmemuatsuatuanggotaDyangtidaksamadenganx.3Tentukansemuatitikakumulasidari(a) Zdan(b) Q.4DiketahuiD= 1n: n N. TentukansemuatitikakumulasidariD.5Diketahuif (t) =t, t 0. Buktikanbahwa,untuksembarangt0> 0, limtt0f (t) = t0.6Tentukanlimitdarif (x1, x2) =x1+x2x21+x22di(0, 0),bilaada.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaProposisi 7Misalf : D Rdanx0titikakumulasidariD. Maka,limxx0f (x) = Ljikadanhanyajikauntuksetiapbarisan xk)diD x0dengan limkxk= x0berlaku limkf (xk) = L.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaBukti. Misalkan limxx0f (x) = Ldan limkxk= x0,denganxk D x0untuktiapk N. Diberikan > 0,pilih> 0sedemikiansehingga [f (x) L[ < untukx Ddengan0 < |x x0| < . TerdapatpulaN Nsedemikiansehingga|xk x0| < untukk N. Akibatnya,untukk N,berlaku[f (xk) L[ < . Inimenunjukkanbahwa limkf (xk) = L.Sebaliknya,misalkan limxx0f (x) ,= L. Maka,terdapat > 0sedemikiansehinggauntuksetiapk Nterdapatxk Ddengan0 < |xk x0| 0dansuatulingkungan-darix0sedemikiansehingga [f (x)[ Muntuktiapx B(x0, ) D.Bukti. Terdapat> 0sedemikiansehingga [f (x) L[ < 1untukx Ddengan0 < |x x0| < . Selanjutnya,jikax0/ D,pilihM= [L[ + 1;danjikax0 D,pilihM= maks[f (x0)[, [L[ + 1.Catatan. Proposisi10mengatakanbahwafungsiyangmempunyailimitdisuatutitikbersifatterbatassecaralokaldisekitartitiktersebut. Fungsif dikatakanterbataspadahimpunanHapabilaf (H)merupakanhimpunanterbatas.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaProposisi 11Misalkan limxx0f (x) = L ,= 0. Maka,terdapatm > 0dansuatulingkungan-darix0sedemikiansehingga [f (x)[ muntuktiapx B(x0, ) D x0.Bukti. Terdapat> 0sedemikiansehingga [f (x) L[ < |L|2untukx Ddengan0 < |x x0| < . Untukxtersebut,berlaku[f (x)[ > |L|2.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaLimitFungsi Bernilai VektorKarenakitamempunyaidenisijarakdi Rm,makadenisilimitfungsidisuatutitikdapatdiperumumuntukfungsiyangbernilaivektordiRm.Misalkanx0adalahsuatutitikakumulasidariD Rndanf= (f1, . . . , fm) : D Rm. Makakitadenisikanlimxx0f(x) = L Rmjikadanhanyajikalimxx0|f(x) L| = 0.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaProposisi 12limxx0f(x) = Ljikadanhanyajika limxx0fi(x) = Liuntuki = 1, . . . , m.SebagaiakibatdariProposisi12,teoremalimituntukpenjumlahandanperkaliandenganskalarberlakuuntukfungsibernilaivektor(namuntidakuntukperkaliandanpembagiankarenakeduaoperasiinitidakterdenisiuntukfungsibernilaivektor).HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaProposisi 13(TeoremaLimituntukHasil Kali Titik)Jika limxx0f(x) = Ldan limxx0g(x) = M,makalimxx0f(x)g(x) = LM.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaSoal Latihan1BuktikanTeorema9bagian(iii)dan(iv)denganmenggunakanProposisi10dan11.2BuktikanProposisi12.3BuktikanProposisi13.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaDenisi LimitSepihakMisalD Rdanf= (f1, . . . , fm) : D Rm. Misalx0titikakumulasidariD (x0, )danf0adalahpembatasanf padaD (x0, ),yangdidenisikansebagaif0(x) := f(x), x D (x0, ).Maka,f dikatakanmempunyailimitkanandix0apabilaf0mempunyailimitdix0. Dalamhalinikitatuliskanlimxx+0f(x) =limxx0f0(x) = Ratauf(x) R bilax x+0.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaDengancaraserupa,limitkiridix0didenisikanbilax0merupakantitikakumulasidariD (, x0). Dalamhalinikitatuliskanlimxx0f(x) = Latauf(x) L, bilax x0.Karenalimitkanandanlimitkirimerupakankasuskhususdarilimitfungsidisuatutitik,proposisidanteoremalimituntukpenjumlahan,perkaliandenganskalar,dll,berlakupulauntuklimitsepihak.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaFungsi MonotonMisalI adalahsuatuintervaldi R. Fungsif : I Rdikatakannaik[naikmurni]padaI apabilauntukx, y I denganx< yberlakuf (x) f (y)[f (x) < f (y)]. Fungsif dikatakanturun[turunmurni]apabila f naik[naikmurni].Proposisi 14Misala < x0< bdanI = (a, b). Jikaf : I RmonotonpadaI ,makaf mempunyailimitkanandanlimitkiridix0.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaBukti. Akandibuktikanjikaf naikpadaI ,makaf mempunyailimitkanandix0. MisalR= inff (x) : x0< x, x I . Ambil > 0. Maka,terdapatx1 I , x0< x1,sedemikiansehinggaf (x1) < R + . Pilih= x1 x0. Akibatnya,jika0 < x x0< ,makaR f (x) f (x1) < R + .Inimenunjukkanbahwa limxx+0f (x) = R.Buktiuntuklimitkiriserupa. DemikianpulabuktiuntukkasusfturunpadaI .HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaLimitdi TakHinggaUntukfungsiyangterdenisipada R,kitadapatmendenisikanlimitditakhinggasebagaiberikut.Misalf= (f1, . . . , fm) : [a, ) Rm,untuksuatua R. Maka,fdikatakanmempunyailimitL Rmdi apabilauntuksetiap > 0terdapatM asedemikiansehingga|f(x) L| 0,kitadapatmemilihM asedemikiansehinggaf (M) > A . Akibatnya,untukx M,kitamempunyaiA f (x) f (M) > A .Inimenunjukkanbahwa limxf (x) = A.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaMisalD Rn,x0titikakumulasidariD,danf : D R. Kitatuliskanlimxx0f (x) = apabilauntuksetiapM Rterdapat> 0sedemikiansehinggauntuksetiapx Ddengan0 < |x x0| < berlakuf (x) M.Limitdengannilai didenisikansecaraserupa.HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaProposisi 16Misal limxx0f (x) = . Misalg: D Rterbatasdibawah. Maka,limxx0[f (x) + g(x)] = .HendraGunawan ANALISISREALDaftarIsi6. LIMITFUNGSI6.1RuangVektor Rn6.2TeoremaLimit6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak HinggaSoal Latihan1BuktikanProposisi14untuklimitkiridanuntukkasusfturun.2BuktikanProposisi15untukkasusf turun.3Misalkanf : (a, b) Rnaikdanterbatas. Buktikanbahwalimxa+f (x)dan limxbf (x)ada.4Buktikanbahwa limxx0f (x) = jikadanhanyajikauntuksetiapbarisan xk)diD x0dengan limkxk= x0berlakulimkf (xk) = .HendraGunawan ANALISISREAL