RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear a. Interpolasi Polinomial Lagrange Suatu fungsi dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi polynomial Lagrange Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ () = () = ∑ () =0 Di mana = , ()= ∏ (− ) ( − ) =0 ≠ untuk = 0, 1, 2, . . . , Suatu polinomial P(t) derajat n-1 yang unik dapat dikonstruksi yang melalui n titik t yang berbeda. Interpolasi Polinomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik 1 ( 1 , 1 ), 2 ( 2 , 2 ), 3 ( 3 , 3 ), . . . , ( , ) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1; = 0 + 1 + 2 2 +⋯+ −1 −1 Interpolasi dari dua buah titik ( 0 , 0 )dan ( 1 , 1 ) akan menghasilkan polynomial berderajat 1 (interpolasi linear), yaitu: 1 () = ( − 1 ) ( 0 − 1 ) 0 + ( − 0 ) ( 1 − 0 ) 1 = ( 1 − ) 0 + ( − 0 ) 1 ( 1 − 0 ) Contoh : Dari fungsi = (), diberikan tiga buah titik data dalam bentuk tabel: x 1 4 6 Y 1.5709 1.5727 1.5751 Tentukan (3,5) dengan polinom Lagrange derajat 2. Gunakan lima angka bena. Penyelesaian: Polinom derajat 2 n = 2 (perlu tiga buah titik) 2 () = 0 () 0 + 1 () 1 + 2 () 2 0 () = (−4)(−6) (1−4)(1−6) 0 (3.5) = (3.5−4)(3.5−6) (1−4)(1−6) = 0.083333 1 () = (−1)(−6) (4−1)(4−6) 1 (3.5) = (3.5−1)(3.5−6) (4−1)(4−6) = 1.0417 2 () = (−1)(−4) (6−1)(6−4) 2 (3.5) = (3.5−1)(3.5−4) (6−1)(6−4) = −0.12500 Jadi, 2 (3.5) = (0.083333)(1.5709)+(1.0417)(1.5727)+(−0.12500)(1.5751) = 1.5723 b. Interpolasi Polinomial Newton Diketahui n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn); (yi = f(xi), i=1,2,…,n) akan ditentukan pn(x) = a0 + a1x + a2x 2 + … + anx n yang melewati n titik tersebut. pn(x) = a0 + a1(x- x0) + a2(x- x0)(x- x1) + … + an(x- x0)(x- x1)…(x- xn-1) Interpolasi polinom Newton dapat ditulis: () = ∑ ∏( − ) −1 =0 =0 Koefisien an dikonstruksi menggunakan beda bagi:
19
Embed
RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI … · RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. ... • Dari metode Polinomial Newton diperoleh
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK
INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK
1. Interpolasi linear
a. Interpolasi Polinomial Lagrange
Suatu fungsi 𝑓 dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi polynomial Lagrange
Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ 𝑛
𝑓(𝑥) = 𝑝𝑛(𝑥) = ∑𝑎𝑖𝑙𝑖(𝑥)
𝑛
𝑖=0
Di mana 𝑎𝑖 = 𝑦𝑖 , 𝑙𝑖(𝑥) = ∏(𝑥−𝑥𝑗)
(𝑥𝑖−𝑥𝑗)
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
untuk 𝑖 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛
Suatu polinomial P(t) derajat n-1 yang unik dapat dikonstruksi yang melalui n titik t yang berbeda.
Interpolasi Polinomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik
Jika nilai hampiran 𝑆44 tidak cukup akurat maka titik lain 𝑥5 dapat ditambahkan ke dalam tabel
𝑥5, 𝑆50, 𝑆51, 𝑆52, 𝑆53, 𝑆54, 𝑆55.
Dengan demikian semakin tinggi derajat yang digunakan, maka nilai hampiran yan diperoleh akan
semakin akurat.
2. Galat Interpolasi
3. Turunan Numerik
4. Ekstrapolasi Richardson
Galat Interpolasi
Teorema Galat Interpolasi
Teorema I
Jika p adalah polinomial berderajat tertinggi n yang menginterpolasi f pada n+1 titik yaitu
x0, x1, … , xnϵ[a, b] dan jika f (n+1) kontinu,maka ∀xϵ[a, b],
f(x) − pn(x) =1
(n + 1)!f (n+1)(c)∏(x − xi)
n
i=0
Galat Rata-rata Interpolasi
Karena nilai c tidak diketahui, maka hampiri dengan c = xt =x0+xn
2 sehingga rumus menjadi
f(x) − pn(x) =1
(n + 1)!f (n+1)(xt)∏(x − xi)
n
i=0
Lemma
Lemma I
Definisikan xi = a + ih untuk i=0, 1, …, n, maka untuk suatu xϵ[a, b],
∏|x − xi| ≤1
4hn+1n!
n
i=0
dengan h=(b-a)/n adalah jarak antar titik.
Teorema II
Misalkan f fungsi yang memenuhi f (n+1) kontinu pada [a,b] dan |f (n+1)(x)| ≤ M.
Misalkan p adalah polinomial berderajat ≤n yang menginterpolasi f pada n+1 titik di [a, b] termasuk titik akhirnya ,maka di [a, b],
|f(x) − pn(x)| ≤1
4(n + 1)Mh(n+1)
dengan h=(b-a)/n adalah jarak antartitik.
Keterangan : M = maxx0≤c≤xn
|f (n+1)(c)|
Contoh Soal :
Diberikan empat buah titik berikut, hampiri nilai cos(1.5) dengan metode Lagrange dan
Newton sampai derajat 3 serta identifikasi galatnya.
• Nilai sejati cos(1.5)=0.071339183
• Dari metode Lagrange diperoleh cos(1.5)≈ 0.069211999
• Dari metode Polinomial Newton diperoleh cos(1.5)≈ 0.069212000
• Batas atas kesalahan yaitu
|E3(x)| ≤1
24. 14. 1 = 0.0416667
• Galat absolut Lagrange = 0.002127184199 < |E3(x)| • Galat absolut Newton = 0.002127183199 < |E3(x)| • Sehingga polinomial derajat 3 sudah cukup teliti untuk menghampiri nilai cos(1.5)
Teorema III
Jika p adalah polinomial berderajat n yang menginterpolasi f pada titik x0, x1, … , xnϵ[a, b] maka untuk suatu x bukan titik interpolasi,
f(x) − pn(x) = f[x0, x1, … , xn, x]∏(x − xi)
n
i=0
Dengan f[x0, x1, … , xn, x] disebut selisih terbagi yang digunakan dalam interpolasi polinom
Newton, sehingga teorema III dapat digunakan untuk mencari galat polinom Newton
Teorema IV
Jika f (n) kontinu pada [a,b] dan x0, x1, … , xn adalah n+1 titik yang berada di interval [a,b],
maka untuk c di (a,b),
f[x0, x1, … , xn] =1
n!f (n)(c)
Corollary I (Selisih Terbagi)
Jika f adalah polinomial berderajat n, maka semua selisih terbagi f[x0, x1, … , xi] adalah nol
untuk i ≥ n + 1
Contoh soal
Polinom derajat berapa yang paling dekat hampirannya dari fungsi yang diketahui titik-
titiknya sbb (gunakan metode interpolasi polinom Newton)
Penyelesaian :
Diperoleh tabel selisih terbagi ,
Karena pada orde ke empat selisih terbagi menghasilkan semua nilai nol (corollary I), maka
data tersebut dapat direpresentasikan oleh polinomial derajat tiga.
Galat Lain dalam Interpolasi Polinomial
Fungsi Runge
f(x) = (1 + x2)−1 pada interval [-5,5]
Misalkan pn polinomial yang menginterpolasi fungsi ini pada n+1 titik pada interval [-5,5]
maka,
limn→∞
max−5≤x≤5
|f(x) −pn(x) | = ∞
Akibatnya, semakin banyak titik interpolasi maka semakin besar galatnya.
Pilihan lain yang lebih baik yaitu dengan menggunakan titik Chebyshev dengan interval
standar [-1,1],
xi = cos [(2i + 1
2n + 2)π] (0 ≤ i ≤ n)
Untuk titik yang berada di suatu interval [a,b], menjadi
xi =1
2(a + b) +
1
2(b − a) cos [(
2i + 1
2n + 2)π] (0 ≤ i ≤ n)
Interpolasi polinomial dengan titik Chebyshev menghampiri fungsi Runge lebih baik
dibanding dengan interpolasi polinomial dengan titik data.
Turunan Numerik
1. Proses mencari hampiran nilai numerik suatu turunan dari fungsi yang diberikan
pada suatu titik.
2. Biasanya digunakan ketika :
Fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit, hanya diketahui data
empirisnya saja, yaitu
{(xi, yi); i = 0, 1, 2, … , n},
Fungsi f(x) diketahui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit.
PENDEKATAN TURUNAN NUMERIK
Hampiran selisih maju (beda maju)
Hampiran selisih mundur (beda mundur)
Hampiran selisih pusat (beda pusat)
Rumus untuk ketiga hampiran diatas diperoleh dari ekspansi deret Taylor di sekitar x = x0:
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)
2!(x − x0)
2 + ⋯
Hampiran Selisih Maju
Misalkan x = x0 + h, maka didapatkan :
f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h +f ′′(x0)
2!h2 + ⋯
Rumus selisih maju untuk turunan pertama :
f ′(x0) =f(x0 + h) − f(x0)
h−
f ′′(x0)
2!h − ⋯
≈ f(x0 + h) − f(x0)
h
Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.
Rumus selisih maju untuk turunan kedua :
f ′′(x0) ≈f ′(x0 + h) − f ′(x0)
h
≈
f(x0 + 2h) − f(x0 + h)h
−f(x0 + h) − f(x0)
hh
≈ f(x0 + 2h) − 2f(x0 + h) + f(x0)
h2
Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.
Hampiran Selisih Mundur
Misalkan x = x0 − h, maka didapatkan :
f(x0 − h) = f(x0) − f ′(x0)h +f ′′(x0)
2!h2 − ⋯
Rumus selisih mundur untuk turunan pertama :
f ′(x0) =f(x0) − f(x0 − h)
h+
f ′′(x0)
2!h − ⋯
≈ f(x0) − f(x0 − h)
h
Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.
y = f(x)h
yy0
xx0
Rumus selisih mundur untuk turunan kedua :
f ′′(x0) ≈f ′(x0) − f ′(x0 − h)
h
≈
f(x0) − f(x0 − h)h
−f(x0 − h) − f(x0 − 2h)
hh
≈f(x0) − 2f(x0 − h) + f(x0 − 2h)
h2
Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.
Hampiran Selisih Pusat
Bila kedua persamaan berikut saling dikurangkan :
f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h +f ′′(x0)
2!h2 + ⋯
f(x0 − h) = f(x0) − f ′(x0)h +f ′′(x0)
2!h2 − ⋯
Diperoleh rumus selisih pusat untuk turunan pertama:
f ′(x0) =f(x0 + h) − f(x0 − h)
2h−
f ′′′(x0)
3!h2 − ⋯
≈f(x0 + h) − f(x0 − h)
2h
Dengan O(h2) adalah galat dari hampiran fungsi.
y = f(x)
h
y-1
y0
x-1 x0
f x( ) = x2 + 5∙x 2
Bila kedua persamaan berikut saling ditambahkan :
f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h +f ′′(x0)
2!h2 + ⋯
f(x0 − h) = f(x0) − f ′(x0)h +f ′′(x0)
2!h2 − ⋯
Diperoleh rumus selisih pusat untuk turunan kedua :
f ′′(x0) = f(x0 + h) − 2f(x0) + f(x0 − h)
h2−
f (4)(x0)
12h2 − ⋯
≈f(x0 + h) − 2f(x0) + f(x0 − h)
h2
Dengan O(h2) adalah galat dari hampiran fungsi.
Contoh Soal :
1. Diketahui fungsi f(x) = √x. Tentukan hampiran f ′(1) dan f ′′(1) untuk h = 0.1 dan
h = 0.05 dengan menggunakan hampiran selisih maju, selisih mundur, selisih pusat,
dan hitung galatnya.
Jawaban :
f(x) = √x → f ′(x) =1
2√x→ f ′′(x) = −
1
4x32
Ekstrapolasi Richardson
Metode untuk memperoleh rumus hampiran turunan dengan orde yang lebih tinggi dari
hampiran dengan orde yang lebih rendah disebut dengan ekstrapolasi
y = f(x)
2h
x0
y0
y-1
y1
x-1 x1
f x( ) = x2 + 5∙x 2
Metode tersebut dikembangkan oleh Lewis Fry Richardson di awal abad 20, sehingga metode
tersebut kemudian dikenal dengan ekstrapolasi Richardson
Diterapkan pada turunan numerik untuk memperoleh solusi yang lebih teliti.
Hampiran turunan beda pusat dengan orde 𝐎(𝐡𝟐)
Untuk selang h adalah
D(h) =1
2h(f1 − f−1) + O(h2)
= f01 + Ch2 + ⋯.
Untuk selang 2h adalah
D(2h) =1
2(2h)h(f2 − f−2) + O((2h)2)
= f01 + C(2h)2 + ⋯.
= f01 + 4Ch2 + ⋯.
D(h) − D(2h) = −3Ch2
C =D(h) − D(2h)
−3h2
Subsitusi
h h
𝑥−1 𝑥0 𝑥1
2h 2h
𝑥−1 𝑥0 𝑥1 𝑥−2
𝑥1
D(h) = f0′ −
[D(h) − D(2h)]h2
3h2
D(h) = f0′ −
[D(h) − D(2h)]
3
f0′ = D(h) +
[D(h) − D(2h)]
3
f0′ = D(h) +
[D(h) − D(2h)]
2n − 1
n adalah orde galat yang dipakai
Setiap perluasan ekstrapolasi Richardson akan menaikan orde galat dari O(hn) menjadi
O(hn+2)
Contoh Soal:
Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut :
x f(x)
2.0 0.42298
2.1 0.40051
2.2 0.37507
2.3 0.34718
2.4 0.31729
2.5 0.28587
2.6 0.25337
2.7 0.25337
2.8 0.18649
2.9 0.15290
3.0 0.11963
Tentukan f′(2.5) dengan ekstrapolasi Richardson bila D(h) dan D(2h) dihitung dengan
rumus hampiran selisih-pusat orde O(h2) sampai 5 angka bena
Penyelesaian
D(h) Selang titik yang dipakai : [2.4, 2.6] dan h=0.1
x−1 = 2.4, x0 = 2.5, x1 = 2.6
D(h) = f1−f−1
2h=
(0.25337−0.31729)
2(0.1)= −0.31960
D(2h) Selang titik yang dipakai : [2.3, 2.7] dan h=0.2
x−2 = 2.3, x0 = 2.5, x2 = 2.7
D(2h) =f1−f−1
2h=
(0.22008−0.34718)
2(0.2)= −0.3775
D(4h) Selang titik yang dipakai : [2.1, 2.9] dan h=0.4
x−4 = 2.1, x0 = 2.5, x4 = 2.9
D(4h) =f1−f−1
2h=
(0.40051−0.15290)
2(0.4)= −0.30951
D(h) = −0.31960 dan D(2h) = −0.31775 keduanya dihitung dengan rumus orde O(h2)
maka n=2, sehingga
f ′(2.5) = f0′ = D(h) +
1
22 − 1[D(h) − D(2h)]
= −0.31960 + 1/3 (−0.31960 + 0.31775)
= −0.32022 → mempunyai galat orde O(h4) = D(2,2)
D(2h) = −0.31775 dan D(4h) = −0.30951 keduanya dihitung dengan rumus orde O(h2)
maka n=2, sehingga
f ′(2.5) = f0′ = D(h) +
1
22 − 1[D(2h) − D(4h)]
= −0.31775 + 1/3 (−0.31775 + 0.30951)
= −0.32050 → mempunyai galat orde O(h4) = D(3,2)
D(2h) = −0.32022 dan D(4h) = −0.32050 keduanya dihitung dengan rumus orde O(h4)
maka n=4, sehingga
𝑓′(2.5) = 𝑓0′ = 𝐷(2ℎ) +
1
24 − 1[𝐷(2ℎ) − 𝐷(4ℎ)]
= −0.32022 + 1/3 (−0.32022 + 0.32050)
= −0.32020 → mempunyai galat orde 𝑂(ℎ6) = 𝐷(3,3)
h 𝑂(ℎ2) 𝑂(ℎ4) 𝑂(ℎ6)
0.1 -0.31960
0.2 -0.31775 -0.32022
0.3 -0.30951 -0.32050 -0.32020
Kesimpulan
• Terdapat dua metode numerik yang dapat digunakan untuk mmemperkirakan suatu
fungsi, yaitu Interpolasi dan Aproksimasi.
• Interpolasi adalah memfit data yang diketahui harus tepat sama dan hanya digunakan
untuk suatu range data.
• Aproksimasi adalah memfit data yang diketahui tidak harus sama dan dapat
digunakan untuk sembarang range data.
Interpolasi Polinomial Lagrange
Karakteristik Polinomial Karakteristik:
Mudah dicari
Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk suatu kali interpolasi adalah besar
Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak
dapat digunakan
Interpolasi Polinomial Newton
Dengan memanfaatkan sifat rekursif, pembentukan polinom dengan derajat yang lebih
tinggi menjadi efisien dan dapat digunakan untuk menentukan tercapainya titik
berhenti.
Tabel selisih dapat dipakai berulang-ulang untuk memperkirakan nilai fungsi pada
nilai x yang berlainan.
Turunan Numerik
Turunan numerik adalah proses mencari nilai numerik suatu turunan dari fungsi yang
diberikan pada suatu titik.
Hampiran selisih pusat lebih baik dari 2 metode hampiran sebelumnya (hampiran
selisih maju dan hampiran selisih mundur). Karena orde galat selisih pusat O(ℎ2)
sedangkan galat hampiran-hampiran sebelumnya adalah 𝑂(ℎ)