Rangkaian Logika Optimal: Peta Karnaugh dan Strategi ... · mencari rangkaian SOP minimum (dan POS) Mencari minterm yang berbeda di satu variabel Menggabungkan minterm sesuai hukum

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 1 / 42

Rangkaian Logika Optimal: Peta Karnaugh dan Strategi Minimisasi

Eko Didik Widianto ([email protected])

Sistem Komputer - Universitas Diponegoro

Review Kuliah


• Sebelumnya dibahas sintesis rangkaian logika dari deskripsi kebutuhanfungsinya berupa tabel kebenaran, diagram pewaktuan

◦ Implementasi dengan gerbang AND-OR (SOP) dan NAND-NAND

◦ Implementasi dengan gerbang OR-AND (POS) dan NOR-NOR

◦ Penyederhanaan ekspresi logika hasil sintesis (SOP/POS) menggunakanprinsip-prinsip aljabar

• Selanjutnya adalah penyederhanaan menggunakan peta Karnaugh besertastrategi minimalisasi SOP/POS. Dikenalkan fungsi dengan don’t care dan jugarangkaian dengan keluaran rangkap

http://didik.blog.undip.ac.id/

Bahasan


Peta KarnaughRecall:PenyederhanaanPeta KarnaughGrouping K-MapK-Map 3 VariabelTips GroupingK-Map 4 VariabelK-Map 5 Variabel?Strategi - TerminologiPrime Implicant

Minimisasi POSMinimisasi Ekspresi POS

Fungsi Tidak LengkapFungsi Tidak Lengkap

Rangkaian Multi-KeluaranRangkaian Multi-Keluaran

Peta Karnaugh

Peta Karnaugh

• Recall:Penyederhanaan

• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map

• K-Map 3 Variabel

• Tips Grouping


• K-Map 5 Variabel?

• Strategi - Terminologi

• Prime Implicant

Minimisasi POS

Fungsi Tidak Lengkap

Rangkaian Multi-Keluaran


Recall: Menyederhanakan Ekspresi

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi

◦ SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x)

◦ POS: menggunakan hukum 14b ((x + y) ·

(

x + y

)

= x)

• Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 14a atau14b jika berbeda hanya di satu variabel saja

f (x1, x2, x3) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

m1 dan m5 berbeda di x1, dan m4 dan m6 berbeda di x2

f = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

=

(

x1 + x1

)

x2x3 + x1(x2 + x2)x3

= x2x3 + x1x3

f

(

x, x, x

)

=

(

x + x + x

)(

x + x + x

)(

x + x + x

)(

x + x + x

)

M0 dan M2 berbeda di x2, dan M4 dan M7 berbeda di x1

f =

(

(x1 + x3) + x2x2

)(

x1x1 +

(

x2 + x3

))

= (x1 + x3)

(

x2 + x3

)

Peta Karnaugh

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Peta Karnaugh (K-map) menyediakan cara sistematik dan grafis untukmencari rangkaian SOP minimum (dan POS)

◦ Mencari minterm yang berbeda di satu variabel

◦ Menggabungkan minterm sesuai hukum 14a untuk SOP dan 14buntuk POS

• K-map juga merupakan alternatif untuk menyatakan suatu fungsi logikaselain tabel kebenaran

◦ K-map disusun atas sel-sel. Satu sel, satu minterm

Grouping K-Map

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Minterm-minterm yang berdekatan dapat dikombinasikan karena merekahanya berbeda di satu variabel saja –> Grouping

• Grouping dilakukan dengan melingkari nilai ’1’ yang berdekatan

• Melingkari dua nilai ’1’ bersama, berarti mengeliminasi satu term dansatu variabel dari ekspresi output

◦ Variabel yang dieliminasi adalah yang mempunyai perbedaan nilai digroup, vertikal/horizontal

◦ Group merah: x1 dieliminasi, Grup biru: x2 dieliminasi

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Sederhanakan: f =∑

m(0, 3) dan f =∑

m(1, 2)


Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(0, 3) dan f =∑

m(1, 2)

• f =∑

m(0, 3) = x1x2 + x1x2–> fungsi SOP tidak dapatdisederhanakan

• f =∑

m(1, 2) = x1x2 + x1x2–> fungsi SOP tidak dapatdisederhanakan


Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(0, 1) dan f =∑

m(1, 3)


Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(0, 1) dan f =∑

m(1, 3)

• f =∑

m(0, 1) = x1x2 + x1x2 = x1, x2dieliminisi

• f =∑

m(1, 3) = x1x2 + x1x2 = x2, x1dieliminasi


Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(0, 1, 2) dan f =∑

m(1, 2, 3)


Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(0, 1, 2) dan f =∑

m(1, 2, 3)

• f =∑

m(0, 1, 2) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2

• f =∑

m(1, 2, 3) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2

K-Map 3 Variabel

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• K-map disusun sehingga minterm yang berdekatan hanyamempunyai perbedaan 1 variabel

x1 x2 x3 minterm mj

0 0 0 m0 = x1x2x3

0 0 1 m1 = x1x2x3

0 1 0 m2 = x1x2x3

0 1 1 m3 = x1x2x3

1 0 0 m4 = x1x2x3

1 0 1 m5 = x1x2x3

1 1 0 m6 = x1x2x3

1 1 1 m7 = x1x2x3

Ketentuan dan Tips Grouping

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Hanya dapat mengkombinasikan nilai 1 yang berdekatan

• Hanya dapat menggabungkan 2n minterm (1,2,4,8,16, dst)

• Bentuk group sebesar mungkin

• Group yang sudah dicover oleh group lain tidak perlu digabungkanlagi

Contoh K-Map 3 Variabel

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Sederhanakan f =∑

m(0, 1, 2, 5)

f =∑

m(0, 1, 2, 5)

= x1x3 + x2x3


Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(1, 3, 5, 7), f =∑

m(0, 2, 3, 6, 7)


Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(1, 3, 5, 7), f =∑

m(0, 2, 3, 6, 7)

f =∑

m(1, 3, 5, 7)

= x3

f =∑

m(0, 2, 3, 6, 7)

= x2 + x1x3


Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(0, 1, 3, 4, 5, 7) dan f =∑

m(0, 1, 3, 4, 5, 6)


Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(0, 1, 3, 4, 5, 7) dan f =∑

m(0, 1, 3, 4, 5, 6)

f =∑

m(0, 1, 3, 4, 5, 7)

= x2 + x3

f =∑

m(0, 1, 3, 4, 5, 6)

= x2 + x1x3 + x1x3

K-Map 4 Variabel

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




Bentuk K-map 4 variabel:

Contoh Grouping K-Map 4 Variabel

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(2, 3, 8− 11, 13)

Contoh Grouping K-Map 4 Variabel

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS





m(2, 3, 8− 11, 13)

f =∑

m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)

= x1x2 + x2x3 + x1x3x4

Latihan Grouping K-Map 4 Variabel

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




Sederhanakan fungsi 4 variabel:

• f =∑

m(3− 7, 9, 11, 12− 15)

• f =∑

m(0− 4, 6, 9, 11, 12, 14)

• f =∑

m(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15)

K-Map 5 Variabel?

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• K-Map 6 Variabel? Tidak berguna dari sudut pandang praktis –>butuh perangkat CAD

Strategi Minimalisasi: Terminologi

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Literal : variabel di suatu term

◦ Contoh: x1x2x3x4(term dg 4 literal), x2x3(term dg 2 literal)

• Implicant : sebarang term bernilai ’1’ atau grup term bernilai ’1’ yangdapat digabungkan di K-map

◦ minterm adalah implicant dasar. Untuk fungsi n-variabel, mintermadalah implicant dengan n literal

• Prime Implicant : implicant yang tidak bisa digabungkan denganimplicant lain untuk menghilangkan sebuah variabel

◦ Literal dalam prime implicant tidak dapat dihapus untuk mendapatkanimplicant valid

• Cover : suatu koleksi implicant yang menghasilkan nilai fungsi ’1’

• Cost : jumlah gerbang ditambah jumlah total masukan ke semuagerbang dalam rangkaian logika

Contoh Terminologi

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Terdapat 10 implicant valid

◦ 7 buah minterm

◦ 1 term 3-literal (grup 2 minterm)

◦ 2 term 2-literal (grup 4 minterm)

• Terdapat 3 prime implicant

◦ x1x2, x2x3, x1x3x4

◦ Untuk x1x2, jika sebuah literal dihapusmenyisakan x1 atau x2

• x1bukan implicant valid karena

{1,1,0,0} menghasilkan f = 0

Contoh Terminologi: Cover dan Cost

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Cover untuk f =∑

m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)

1. Persamaan dengan semua minterm

2. f = x1x2 + x1x2x3 + x1x3x4 merupakan cover valid

3. f = x1x2 + x2x3 + x1x3x4 merupakan cover valid yang berisiprime implicant

• Cost untuk setiap cover: (asumsi input utama baik terinvers atau tidakmempunyai cost 0)

1. jumlah gerbang=7+1, jumlah input semua gerbang=7*4+7*1,total=8+28+7=43

2. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=8+3,total=4+11=15

3. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=7+3,total=4+10=14

• Cover yang berisi prime implicant cenderung menghasilkan implementasidengan cost terendah

Prime Implicant: Esensial dan Non-Esensial

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




SOP minimum hanya mengandung prime implicant (namun tidaksemua prime implicant)

• Essential: diperlukan untuk membentuk SOP minimum

• Nonessensial: tidak diperlukan untuk SOP minimum (dapat dihilangkan)

• Prime implicant: x1x2, x2x3, x1x3x4

dan x2x3x4

• Esensial: x1x2, x2x3, dan x2x3x4

• non-esensial: x1x3x4

• fmin = x1x2 + x2x3 + x2x3x4 ,

x1x3x4 dihilangkan

Contoh Prime Implicant

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Prime implicant: x1x2, x2x3, x1x2x3,x1x2x4 dan x1x3x4

• Esensial: x1x2, x2x3, dan x1x2x3

• non-esensial: x1x2x4 , x1x3x4 (harus dipilihsalah satu)

• fmin =

x1x2 + x2x3 + x1x2x3 +

{

x1x2x4

x1x3x4

}

Ringkasan

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• SOP minimum berisi semua prime implicant esensial dan beberapa primeimplicant non-esensial

• Langkah menemukan rangkaian dengan cost minimum:

1. Cari semua prime implicant dari f

2. Cari set prime implicant esensial

3. Jika set tersebut telah meng-cover semua valuation dimana f = 1,maka set ini adalah cover dari f yang diinginkan. Jika tidak, tentukanprime implicant non-esensial yang harus ditambahkan agar minimum

• Menentukan prime implicant non-esensial? heuristik (mencoba semuakemungkinan untuk mendapatkan cover dengan cost minimum)

Latihan di Rumah

Peta Karnaugh


• Peta Karnaugh

• Grouping K-Map


• Tips Grouping




• Prime Implicant

Minimisasi POS




• Cari semua prime implicant dari f

• Cari set prime implicant esensial

• Cari cover dengan cost terendah darisemua kombinasi prime implicantnon-esensial

Minimisasi POS

Peta Karnaugh

Minimisasi POS

• Minimisasi Ekspresi POS




Minimisasi Ekspresi POS

Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• Menggunakan prinsip dualitas

• K-map dapat langsung dibentuk baik dari ekspresi∑

m maupun∏

M

• Shortcut:

◦ Maxterm mempunyai valuasi fungsi ’0’

◦ Grouping Maxterm sebesar mungkin

◦ Bentuk persamaan POS dari set Maxterm minimum

• Prinsip prime implicant esensial berlaku? bisa, denganpengertian implicant adalah Maxterm atau group Maxterm

POS Minimal dari∑

m atau∏

M

Peta Karnaugh

Minimisasi POS





Diberikan: f =∑

m(0, 1, 2, 5)

f =∑

m(0, 1, 2, 5)

= (x1 + x3) (x2 + x3) ; POS

= x1x3 + x2x3; SOP

=∏

M(3, 4, 6, 7)

Diberikan: f =∏

M(1, 4, 5)

f =∏

M(1, 4, 5)

= (x1 + x2) (x2 + x3) ; POS

= x2 + x1x3; SOP

=∑

m(0, 2, 3, 6, 7)

POS 4-Variabel Minimal

Peta Karnaugh

Minimisasi POS





f =∑

m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)

=∏

M(0, 1, 4, 5, 6, 7, 12, 14, 15)

• Prime implicant: x1 + x3, x2 + x3, x2 + x4

dan x1 + x2

• Esensial: x1 + x3, x2 + x3, dan x2 + x4

• non-esensial: x1 + x2 (biru)

• fmin = (x1 + x3) (x2 + x3) (x2 + x4)

Latihan di Rumah

Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• Persamaan POS

• Cari semua prime implicant dari f

• Cari set prime implicant esensial

• Cari cover dengan cost terendah darisemua kombinasi prime implicantnon-esensial


Peta Karnaugh

Minimisasi POS


• Fungsi Tidak Lengkap




Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• Dalam sistem digital, sering terjadi beberapa kondisi input yang tidakakan pernah terjadi

• Kombinasi input seperti itu disebut kondisi don’t care

• Dalam desain rangkaian, kondisi don’t care dapat diabaikan(keluaran untuk kondisi tersebut dapat diberikan 0 atau 1 di tabelkebenaran)

• Fungsi yang mengandung kondisi don’t care disebut fungsi yangdispesifikasikan tidak lengkap (incompletely specified )

Contoh Don’t Care

Peta Karnaugh

Minimisasi POS





x1 x2 x3 f

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 d

0 1 1 d

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

• Asumsi fungsi 3 variabel. Kombinasimasukan x1x2 = 01 tidak pernah terjadi,selebihnya f =

∑

m(1, 4, 5, 6)

f =∑

m(1, 4, 5, 6) +D(2, 3); atauf =

∏

M(0, 7) ·D(2, 3)

Contoh Don’t Care 4 variabel

Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• SOP: f =∑

m(2, 4, 5, 6, 10) +D(12, 13, 14, 15)

• POS: f =∏

M(0, 1, 3, 7, 8, 9, 11) ·D(12, 13, 14, 15)

• SOP: fmin = x2x3 + x3x4, POS: fmin = (x2 + x3) (x3 + x4)

• Jika don’t care tidak disertakan: misalnya menganggap nilainya selalu 0

◦ SOP: f = x1x2x3 + x1x3x4 + x2x3x4

◦ POS: f = (x2 + x3) (x3 + x4) (x1 + x2)

◦ Cost mungkin lebih tinggi


Peta Karnaugh

Minimisasi POS



• Rangkaian Multi-Keluaran


Rangkaian dengan Banyak Keluaran

Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• Sebelumnya dibahas fungsi dengan keluaran tunggal berikut denganimplementasi rangkaiannya

• Dalam prakteknya, beberapa fungsi tunggal tersebut merupakanbagian dari rangkaian logika yang lebih besar

• Rangkaian-rangkaian dari fungsi tersebut mungkin dapatdikombinasikan ke dalam rangkaian tunggal dengan cost lebihmurah dengan keluaran multiple

◦ Pemakaian bersama blok gerbang oleh beberapa rangkaianfungsi tunggal

Contoh Rangkaian Multi-Keluaran

Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• f1 = x1x3 + x1x3 + x2x3x4, Cost=4 gerbang + 10 input(=14)

• f2 = x1x3 + x1x3 + x2x3x4, Cost=4 gerbang + 10 input (=14)

• Cost total jika kedua fungsi diimplementasikan terpisah: 8 gerbang + 20input (=28)


Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• Mengkombinasikan (prime) implicant yang sama dari dua/lebih fungsimungkin bisa mengurangi cost

• Rangkaian multi-keluaran:

{

f1f2

}

= x1x3 + x1x3 +

{

x2x3x4

x2x3x4

}

• Cost=6 gerbang + 16 input (=22)


Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• Di contoh sebelumnya, terdapat prime implicant yang shared. Kalau tidakada yang shared?

• f1 = x1x4 + x2x4 + x1x2x3, Cost=4 gerbang + 10 input(=14)

• f2 = x1x4 + x2x4 + x1x2x3x4, Cost=4 gerbang + 11 input (=15)

• Tidak ada gerbang prime implicant yang dapat dishared, sehingga cost totaldari kombinasi 2 rangkaian adalah 8 gerbang + 21 input (=29)


Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• Tapi ada alternatif realisasi lainnya: menggunakan implicant bersamaantara 2 fungsi

• f1 = x1x2x4 + x1x2x3x4 + x1x4

• f2 = x1x2x4 + x1x2x3x4 + x2x4

• Rangkaian multikeluaran:{

f1f2

}

= x1x2x4 + x1x2x3x4 +

{

x1x4

x2x4

}

Latihan di Rumah

Peta Karnaugh

Minimisasi POS





• Cari cost terendah untuk POS dari soal sebelumnya!

Rangkaian Logika Optimal: Peta Karnaugh dan Strategi ... · mencari rangkaian SOP minimum (dan POS) Mencari minterm yang berbeda di satu variabel Menggabungkan minterm sesuai hukum

Documents