Randall-Sundrum シナリオのブラックホール解について · σ = 3 S ab = −σγ ab + T ab 4πG 5# K ... Karasik, Sahabandu, Suranyi and Wijewardhana, PRD70, 064007 (2004).

Randall-Sundrum シナリオのブラックホール解について

アルバータ大学吉野裕高

大阪市立大学セミナー：2009年4月8日

?

brane

BH

JHEP 0901, 268 (2009) [arXiv:0812.0465]

目次

導入

問題設定コード

結果

まとめと議論

目次

導入


結果

まとめと議論

Randall-Sundrum シナリオ

RS I シナリオ RS II シナリオ

(宇宙の新しい描像)

negative tension brane

bulk

positive tension brane

!!"

bulk


!!"

RS II シナリオでのBH？

brane

BH

重力崩壊の最終状態？

LHC での BH 形成？

AdS/CFT 対応

Randall-Sundrum II シナリオ

bulk


!!"

　　対称性を課す。ブレーン上の接続条件は

物質場がないとき、AdS 時空を２つ用意して張り合わせたもの。

ブレーンは張力　　　　　　　を持つ。

物質場はブレーン上に束縛。

ds2 = dy2 + e!2|y|/!(!dt2 + dx2)

Sab = !!"ab + Tab! =3

4"G5#

Kµ! = !4!G5

!Sµ! !

13"µ!S

"

! = !6/!2

Z2

(5)Gab = !!gab + 8!G5Sab"(y)

y

bulk


!!"

bulk!!"

Randall-Sundrum II シナリオ

摂動の方程式

ブレーン上の点粒子のつくる重力ポテンシャル

ブレーン上では、４次元重力が再現される。

グリーン関数

Garriga and Tanaka, PRL84, 2778 (2000).

非線形でどうなるかはまだ完全にはわかっていない。

h00 !2G4M

r

!1 +

2!2

3r2

"; hij !

2G4M

r

!1 +

!2

3r2

""ij

ds2 = dy2 + a2(y)!µ!dxµdx!

+hµ!dxµdx!

GR(x, x!) = !!

d4k

(2!)4eikµ(xµ"x!µ)

"a(y)2a(y!)2""1

k2 ! (# + i$)2+

! #

0dm

um(y)um(y!)m2 + k2 ! (# + i$)2

#.

!a!2(!!2

t +"2) + !2y ! 4"!2 + 4"!1#(y)

"hµ! = !16$G5!µ!#(y)

bulk


!!"

ブレーン世界での BH: これまでの経緯

４次元時空（２次元ブレーン）ではブレーン上の BH 解がある。

AdS/CFT対応から、大きいブラックホール解はないだろうという予想がある。

工藤氏らによって数値計算がおこなわれた。

Karasik たちによって摂動解がつくられた。

Emparan, Horowitz and Myers, JHEP01, 007 (2000).

Tanaka, Prog. Theor. Phys. Suppl. 148, 307-316 (2002).Emparan, Fabbri and Kaloper, JHEP08, 043 (2002).

Kudoh, Tanaka and Nakamura, PRD68, 024035 (2003)

Karasik, Sahabandu, Suranyi and Wijewardhana, PRD70, 064007 (2004).

ブラックストリング解は厳密解がある。Chamblin, Hawking, Reall, PRD61, 065007 (2000).

ブラックストリング解

無限遠で曲率が発散。

Gregory-Laflamme 不安定性が起こる。

ds2 =!2

(|z| + !)2

!dz2 !

"1! 2G4M

r

#dt2 +

"1! 2G4M

r

#!1

dr2 + r2d!22

$

Cµ!"#Cµ!"# ! z4/r6

brane

BS











４次元時空（２次元ブレーン）での厳密解

AdS-C メトリック

赤道面で切ると、ブレーンの接続条件を満たす。

ds2 =!2

(x! y)2

!!(y2 + 2µy3)dt2 +

dy2

y2 + 2µy3+

dx2

G(x)+ G(x)d"2

"

G(x) = 1! x2 ! 2µx3 = !(x! x0)(x! x1)(x! x2)

x = yx = x2

x = x1

y = !1/2µ

x = 0

conical singularity

Horizon

無限遠：

0 < µ <1

3!

3

質量に上限:











Emparan, Fabbri and Kaloper, JHEP08, 043 (2002).

AdS/CFT 対応による議論

AdS/CFT 対応が成立するならば、大きな BH は存在しないかもしれない。

量子場と結合した4次元 BH 5D の古典的 BH

Hawking 放射により蒸発バルクに逃げる (?)

反論もある。

例えば Fitzpatrick, Randall, Wiseman, JHEP11, 033 (2006).

Tanaka, Prog. Theor. Phys. Suppl. 148, 307-316 (2002).











工藤氏らによる数値計算

小さいBHは解けたと主張。

BH が大きくなるにつれて、収束が悪くなり、誤差が大きくなる。

このため、彼らは　　　　　　　　の解のみ示した。3 ! L ! 500L := !/"H

brane

BH

その後５年間、大きな BH を解けたいう話は出てこなかった。

1 2 3 4 5 6

1.3

1.4

1.5

1.6

ln L











Karasik らによる摂動計算

小さい BH　　　　　を考えて、マッチングで解く。 !H ! "

（地平面近傍）Schwarzschild BH の摂動

（遠方）AdS時空の摂動

（マッチング領域）

彼らは摂動解を構成することに成功した。メトリックは地平面上は C1 であることが保証されている。

しかし、メトリックの２回微分が地平面で発散する可能性が残されている。高次の摂動で特異になる可能性もある。

一致

もし発散すれば、「地平面」は実際は特異点かもしれない。

目次

導入


結果

まとめと議論

設定

brane

BH

z

r

!

"

ds2 =!2

z2

!!T 2dt2 + e2R(dr2 + dz2) + e2Cr2d!2

2

"

r = ! sin";z = ! + " cos #.

! = !H

! = "/2

解を指定するパラメーター L := !/"H

アインシュタイン方程式

Gµ! := Rµ! ! (2/3)!gµ! = 0

!2T + 2!

C,! +2!

z"" 1

"

"T,! +

2"2

!cot # + C, # +

2"

zsin#

"T," +

2!z

(sin"C,! ! cos "!C,") T +4z2

!1 +

!#2

6e2R

"T = 0;

!2R" 1" e2(R!C)

!2 sin2 "" 2

z2

!1 +

!#2

6e2R

"" 2T,!

T

!C,! +

#

z!

"" 2T,"

!2T

#cot " + C," +

!

zsin"

$

!C,!

!C,! +

4!

z"! 2

"

"! C,"

"2

!C," + 2 cot # +

4"

zsin#

"= 0;

!2C +1" e2(R!C)

!2 sin2 "+

4z2

!1 +

!#2

6e2R

"+

T,!

T

!C,! +

#

z!

"+

T,"

!2T

#cot " + C," +

!

zsin"

$

+C,!

!2C,! +

5!

z"! 1

"

"+

C,"

"2

!2C," + 4 cot # +

5"

zsin#

"= 0;

12T

!T,!" !R,"T,! ! T,"

"R,! +

1!

#$+C,!" + C,!(cot ! + C,") +

R,"

2

!1"! 2C,! !

3#

z"

"!R,!

!C," + cot ! +

3"

2zsin!

"= 0.

+2C,!! + C,!

!6 cot ! + 3C,! +

6"

zsin!

"+ "C,"

!2"R," + "C," ! 2 +

6#

z

"!R,!

!2 cot ! +

3"

zsin! + 2C,!

"

+R,!

!3!

z! 1

"+

1! e2(R!C)

sin2 "+

6#2

z2

!1 +

!!2

6e2R

"= 0.

1T

!T,!! + T,!

"2 cot ! + 2C,! !R,! +

3"

zsin!

#+ "T,"

"2"C," + "R," +

3#

z

#$

境界条件

brane

EH

z

r

!

"

Kµ! = !1!hµ!

T,!

T= R,! = C,! =

!

"(eR ! 1)

T = 1;R = C = 0

R = C

T,! = R,! = C,! = 0

T = 0

C,! +!

z"= 0;

T,!"

T,!= R,"

軸上

地平面

2C,! + R,! +3!

z"= 0

無限遠

数値計算の都合上, 有限のρで課す

目次

導入


結果

まとめと議論

２つの数値計算手法の違い

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8r

z

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

r

z

x := log ! !

! ! := "2

xout = 4, 5, 6 !out = 85

T,X, Y T,R, C

今回のコード工藤氏のコード

動径座標

角度座標

グリッド数 (誤差) 100x20 (0.001%)200x40 (0.00001%) 1000x100 (1%)

外側の境界

変数

スキーム (ほとんど) 4次精度 2次精度

X := R + CY := R! C

今回使ったグリッド

工藤氏のグリッド

数値計算の方法

SOR (successive-over-relaxation) 法を若干変更したもの

!T(I,J), !X(I,J), !Y(I,J)

差分方程式からのズレを計算。

次のステップの値を次のように決める。

T (next)(I,J) = T(I,J) + wT !T(I,J);

X(next)(I,J) = X(I,J) + wX!X(I,J);

Y (next)(I,J) = Y(I,J) + wY !Y(I,J).

wY = 0.08! cosn[(x" xout)!/2] sin".

wT = wX = 0.8;

ここで

BHが小さい極限（シュバルツシルトBH）

-7

-6

-5

-4

-3

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10!x

log10"

T0 =!2 ! 1!2 + 1

; R0 = C0 = log!

1 +1!2

"

グリッド誤差

< 10!5 for !x = 0.05

! 10!7 for !x = 0.025!

(xout = 10)

!/"! 0

-7

-6

-5

-4

-3

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10!x

log10"

T0 =!2 ! 1!2 + 1

; R0 = C0 = log!

1 +1!2

"

グリッド誤差

< 10!5 for !x = 0.05

! 10!7 for !x = 0.025!

(xout = 10)

!/"! 0

境界誤差

収束誤差


! 10!6

-7

-6

-5

-4

-3

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10!x

log10"

T0 =!2 ! 1!2 + 1

; R0 = C0 = log!

1 +1!2

"

グリッド誤差

< 10!5 for !x = 0.05

! 10!7 for !x = 0.025!

(xout = 10)

!/"! 0

境界誤差

収束誤差

体系的な誤差


! 10!6

-7

-6

-5

-4

-3

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10!x

log10"

T0 =!2 ! 1!2 + 1

; R0 = C0 = log!

1 +1!2

"

グリッド誤差

< 10!5 for !x = 0.05

! 10!7 for !x = 0.025!

(xout = 10)

!/"! 0

境界誤差

収束誤差

体系的な誤差

体系的でない誤差

! 10!6


目次

導入


結果

まとめと議論

例（L=50.0）

02

46

810

r 0

2

4

6

8

10

z0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

C

02

46

810

r0

2

4

6

8

10

z0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

R

02

46

810

r 0

2

4

6

8

10

z0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

T R C

02

46

810

r 0

2

4

6

8

10

z0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

C

02

46

810

r0

2

4

6

8

10

z0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

R

02

46

810

r 0

2

4

6

8

10

z0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

T R C

しかし問題があります

例（L=50.0）

数値計算結果（Y := R - C）

01

23

45

x

1

!

–0.02

0

0.02

0.04

0.06

Y

01

23

45

x

1

!

–0.02

0

0.02

0.04

0.06

Y

01

23

45

x

1

!

–0.02

0

0.02

0.04

0.06

Y

0

1

23

45

x

1

!

–0.02

0

0.02

0.04

0.06

Y

01

23

45

x

1

!

–0.02

0

0.02

0.04

0.06

Y

01

23

45

x

1

!

–0.02

0

0.02

0.04

0.06

Y

(1/L)=0.01 (1/L)=0.02 (1/L)=0.03

(1/L)=0.04 (1/L)=0.05 (1/L)=0.06

01

23

45

x

1

!

–0.02

0

0.02

0.04

0.06

Y

0 1 2 3 4 5

x

–0.02

0

0.02

0.04

0.06

Y

00.20.40.60.811.21.4

!

–0.02

0

0.02

0.04

0.06

Y

(1/L)=0.06

!Y := max |Y (2!")! Yep|

Y が減衰しない　　　　　と　　　　の値の間に不自然なジャンプがある。! = !! 2!!

数値計算結果（1/L=0.06）

Y の誤差（変なジャンプの大きさ）

!Y := max |Y (2!")! Yep|

外側の境界の位置　　　　を遠くに移動したときに、解が収束しない。

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

4 5 6 7 8xout

log10!Y

xout

1/L = 0.011/L = 0.02

1/L = 0.005

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

!Y := max |Y (2!")! Yep|

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

4 5 6 7 8xout

log10!Y

1/L = 0.011/L = 0.02

1/L = 0.005

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)



xout

境界誤差

!Y := max |Y (2!")! Yep|

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

4 5 6 7 8xout

log10!Y

1/L = 0.011/L = 0.02

1/L = 0.005

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)



xout

境界誤差


!Y := max |Y (2!")! Yep|

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

4 5 6 7 8xout

log10!Y

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

4 5 6 7 8

1/L = 0.011/L = 0.02

1/L = 0.005

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.025)



xout

境界誤差



-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10(1 L)

log10!Y

xout = 4

xout = 6

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

xout = 5(!x = 0.025)


では境界誤差。!out < 4L

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10(1 L)

log10!Y

xout = 4

xout = 6

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

xout = 5(!x = 0.025)


では境界誤差。!out < 4L

!out > 4L では体系的でない誤差。

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10(1 L)

log10!Y

xout = 4

xout = 6

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

xout = 5(!x = 0.025)

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10(1 L)

log10!Y

xout = 4

xout = 5

xout = 6

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

xout = 5(!x = 0.025)


では境界誤差。

(1/L) を増やすと，体系的でない誤差は非線形に増大する。! (1/L)4?

!out < 4L

!out > 4L では体系的でない誤差。

1/L = 0.01

1/L = 0.02

1/L = 0.005

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

4 5 6 7 8xout

log10!"

表面重力の誤差

!! := max["]!min["]

体系的でない誤差は、表面重力の誤差　　にもあらわれる。 !!

1/L = 0.01

1/L = 0.02

1/L = 0.005

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

4 5 6 7 8xout

log10!"

!! := max["]!min["]



1/L = 0.01

1/L = 0.02

1/L = 0.005

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

4 5 6 7 8xout

log10!"

!! := max["]!min["]



!! := max["]!min["]

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10(1 L)

log10!" xout = 4

xout = 5

xout = 6(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)


表面重力の誤差にあらわれる体系的でない誤差も非線形に増大。! (1/L)4?

!! := max["]!min["]

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10(1 L)

log10!" xout = 4

xout = 5

xout = 6(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)




!! := max["]!min["]

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

log10(1 L)

log10!" xout = 4

xout = 5

xout = 6(!x = 0.05)

(!x = 0.05)

(!x = 0.05)


Karasik et al. の摂動計算結果との比較

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

L1

! eC

xout = 5, !x = 0.05

（表面重力）×（ブレーン上の地平面半径）

誤差を無視すると，摂動計算の結果によく一致する。

Karasik et al. の摂動計算結果との比較

（バルク方向の平均的な地平面半径）/（ブレーン上の地平面半径）

誤差を無視すると，摂動計算の結果によく一致する。

0.975

0.98

0.985

0.99

0.995

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

1 L

!eff

~ !b

~

xout = 5, !x = 0.05

結果の解釈

体系的でない誤差を検出。これは(1/L)に関して非線形に増大する。誤差を無視すると、Karasik の摂動計算を再現。

結果をまとめると,

結果の解釈



3つの可能性

コードの間違い。

方程式の解はあるが、数値的には求められなかった。

方程式の解がない。

結果の解釈



3つの可能性




結果の解釈



3つの可能性




結果の解釈



3つの可能性




結果の解釈



3つの可能性




議論

高次の摂動で発散がおきる可能性が残されている。

その場合、その特異な効果は数値計算では体系的でない誤差として振る舞うはずである。

目次

導入


結果

まとめ

ブレーン上に局在する静的ブラックホール解を数値的に調べた。

まとめ

Karasik の摂動計算の結果は再現したが、除去不可能な数値誤差も検出した。

もっとも自然な解釈は、摂動は高次で特異になり、その効果が数値計算では誤差として見えているというものだろう。

これが本当だったら、Randall-Sundrum II シナリオの静的なブレーン上のブラックホール解は（厳密な意味では）存在しない。

ブラックホールは形成後、落ち着く先がないため不安定であり、その時間発展を調べるのは面白い課題。

BH が時間発展を続けるとしたら

braneBH

braneBH

brane

BH

brane

BH

brane

BH

brane

BH

brane

BH

brane

BH

地平面のピンチ？ブレーンのピンチ？

tpinch ! !H

!"

!H

"4

?

(!! "H)(!! "H)

see also Flachi and Tanaka, PRL95, 161302 (2005)

議論

方程式

解がないことを支持する数学的な議論

境界条件

brane

EH

z

r

!

"

R = C

T,! = R,! = C,! = 0

軸上

T,!

T= R,! = C,! =

!

"(eR ! 1)

ブレーン上

!2T = · · ·!2R = · · ·!2C = · · ·T,!"/2T + C,!" = · · ·T,!!/T + 2C,!! = · · ·

!2T = · · ·!2R = · · ·!C,!! + !2C,"" = · · ·

Randall-Sundrum シナリオの ブラックホール解について · σ = 3 S ab = −σγ ab + T ab 4πG 5# K ... Karasik, Sahabandu, Suranyi and Wijewardhana, PRD70, 064007 (2004).

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Randall-Sundrum シナリオのブラックホール解について · σ = 3 S ab = −σγ ab + T ab 4πG 5# K ... Karasik, Sahabandu, Suranyi and Wijewardhana, PRD70, 064007 (2004).