Rama Ch3

Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Nieân khoùa 2003-2004

Phöông phaùp phaân tích Baøi ñoïc

Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Chöông 3: Moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn

Ramu Ramanathan 1 Thuïc Ñoan/Haøo Thi

CHÖÔNG 3

Moâ Hình Hoài Quy Tuyeán Tính Ñôn

ÔÛ chöông 1 phaùt bieåu raèng böôùc ñaàu tieân trong phaân tích kinh teá löôïng laø vieäc thieát laäp moâ hình moâ taû ñöôïc haønh vi cuûa caùc ñaïi löôïng kinh teá. Tieáp theo ñoù nhaø phaân tích kinh teá/ kinh doanh seõ thu thaäp nhöõng döõ lieäu thích hôïp vaø öôùc löôïc moâ hình nhaèm hoã trôï cho vieäc ra quyeát ñònh. Trong chöông naøy seõ giôùi thieäu moâ hình ñôn giaûn nhaát vaø phaùt trieån caùc phöông phaùp öôùc löôïng, phöông phaùp kieåm ñònh giaû thuyeát vaø phöông phaùp döï baùo. Moâ hình naøy ñeà caäp ñeán bieán ñoäc laäp (Y) vaø moät bieán phuï thuoäc (X). Ñoù chính laø moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn. Maëc duø ñaây laø moät moâ hình ñôn giaûn, vaø vì theá phi thöïc teá, nhöng vieäc hieåu bieát nhöõng vaán ñeà cô baûn trong moâ hình naøy laø neàn taûng cho vieäc tìm hieåu nhöõng moâ hình phöùc taïp hôn. Thöïc teá, moâ hình hoài quy ñôn tuyeán tính coù theå giaûi thích cho nhieàu phöông phaùp kinh teá löôïng. Trong chöông naøy chæ ñöa ra nhöõng keát luaän caên baûn veà moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn bieán. Coøn nhöõng phaàn khaùc vaø phaàn tính toaùn seõ ñöôïc giôùi thieäu ôû phaàn phuï luïc. Vì vaäy, ñoái vôùi ngöôøi ñoïc coù nhöõng kieán thöùc caên baûn veà toaùn hoïc, neáu thích, coù theå ñoïc phaàn phuï luïc ñeå hieåu roõ hôn veà nhöõng keát quaû lyù thuyeát.

3.1 Moâ Hình Cô Baûn

Chöông 1 ñaõ trình baøy ví duï veà moâ hình hoài quy ñôn ñeà caäp ñeán moái lieân heä giöõa giaù cuûa moät ngoâi nhaø vaø dieän tích söû duïng (xem Hình 1.2). Choïn tröôùc moät soá loaïi dieän tích, vaø sau ñoù lieät keâ soá löôïng nhaø coù trong toång theå töông öùng vôùi töøng dieän tích ñaõ choïn. Sau ñoù tính giaù baùn trung bình cuûa moãi loaïi nhaø vaø veõ ñoà thò (quy öôùc caùc ñieåm ñöôïc bieåu thò laø X). Giaû thuyeát cô baûn trong moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn laø caùc trò trung bình naøy seõ naèm treân moät ñöôøng thaúng (bieåu thò baèng α + βSQFT), ñaây laø haøm hoài quy cuûa toång theå vaø laø trung bình coù ñieàu kieän (kyø voïng) cuûa GIAÙ theo SQFT cho tröôùc. Coâng thöùc toång quaùt cuûa moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn döïa treân Giaû thieát 3.1 seõ laø

GIAÛ THIEÁT 3.1 (Tính Tuyeán Tính cuûa Moâ Hình)

Yt = α + βXt + ut (3.1)

trong ñoù, Xt vaø Yt laø trò quan saùt thöù t (t = 1 ñeán n) cuûa bieán ñoäc laäp vaø bieán phuï thuoäc, tieáp theo α vaø β laø caùc tham soá chöa bieát vaø seõ ñöôïc öôùc löôïng;





vaø ut laø soá haïng sai soá khoâng quan saùt ñöôïc vaø ñöôïc giaû ñònh laø bieán ngaãu nhieân vôùi moät soá ñaëc tính nhaát ñònh maø seõ ñöôïc ñeà caäp kyõ ôû phaàn sau. α vaø β ñöôïc goïi laø heä soá hoài quy. (t theå hieän thôøi ñieåm trong chuoãi thôøi gian hoaëc laø trò quan saùt trong moät chuoãi döõ lieäu cheùo.)

Thuaät ngöõ ñôn trong moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn ñöôïc söû duïng ñeå chæ

raèng chæ coù duy nhaát moät bieán giaûi thích (X) ñöôïc söû duïng trong moâ hình. Trong chöông tieáp theo khi noùi veà moâ hoài quy ña bieán seõ boå sung theâm nhieàu bieán giaûi thích khaùc. Thuaät ngöõ hoài quy xuaát phaùt töø Fraccis Galton (1886), ngöôøi ñaët ra moái lieân heä giöõa chieàu cao cuûa nam vôùi chieàu cao cuûa ngöôøi cha vaø quan saùt thöïc nghieäm cho thaáy coù moät xu höôùng giöõa chieàu cao trung bình cuûa nam vôùi chieàu cao cuûa nhöõng ngöôøi cha cuûa hoï ñeå “hoài quy” (hoaëc di chuyeån) cho chieàu cao trung bình cuûa toaøn boä toång theå. α + βXb goïi laø phaàn xaùc ñònh cuûa moâ hình vaø laø trung bình coù ñieàu kieän cuûa Y theo X, ñoù laø E(YtXt) = α + βXt. Thuaät ngöõ tuyeán tính duøng ñeå chæ raèng baûn chaát cuûa caùc thoâng soá cuûa toång theå α vaø β laø tuyeán tính (baäc nhaát) chöù khoâng phaûi laø Xt

tuyeán tính. Do ñoù, moâ hình ttt uXY ++= 2βα vaãn ñöôïc goïi laø hoài quy quyeán tính ñôn maëc daàu coù X bình phöông. Sau ñaây laø ví duï veà phöông trình hoài quy phi tuyeán tính Yt = α + Xβ + ut. Trong cuoán saùch naøy seõ khoâng ñeà caäp ñeán moâ hình hoài quy phi tuyeán tính maø chæ taäp trung vaøo nhöõng moâ hình coù tham soá coù tính tuyeán tính maø thoâi. Nhöõng moâ hình tuyeán tính naøy coù theå bao goàm caùc soá haïng phi tuyeán tính ñoái vôùi bieán giaûi thích (Chöông 6). Ñeå nghieân cöùu saâu hôn veà moâ hình hoài quy phi tuyeán tính, coù theå tham khaûo caùc taøi lieäu: Greene (1997), Davidson vaø MacKinnon (1993), vaø Griffths, Hill, vaø Judg (1993).

Soá haïng sai soá ut (hay coøn goïi laø soá haïng ngaãu nhieân) laø thaønh phaàn ngaãu nhieân khoâng quan saùt ñöôïc vaø laø sai bieät giöõa Yt vaø phaàn xaùc ñònh α + βXt. Sau ñaây moät toå hôïp cuûa boán nguyeân nhaân aûnh höôûng khaùc nhau:

1. Bieán boû soùt. Giaû söû moâ hình thöïc söï laø Yt = α + βXt + γZt +vt trong ñoù, Zt laø

moät bieán giaûi thích khaùc vaø vt laø soá haïng sai soá thöïc söï, nhöng neáu ta söû duïng moâ hình laø Y = α + βXt +ut thì ut = γZt +vt. Vì theá, ut bao haøm caû aûnh höôûng cuûa bieán Z bò boû soùt. Trong ví duï veà ñòa oác ôû phaàn tröôùc, neáu moâ hình thöïc söï bao goàm caû aûnh höôûng cuûa phoøng nguû vaø phoøng taém vaø chuùng ta ñaõ boû qua hai aûnh höôûng naøy maø chæ xeùt ñeán dieän tích söû duïng thì soá haïng u seõ bao haøm caû aûnh höôûng cuûa phoøng nguû vaø phoøng taém leân giaù baùn nhaø.

2. Phi tuyeán tính. ut coù theå bao goàm aûnh höôûng phi tuyeán tính trong moái quan heä giöõa Y vaø X. Vì theá, neáu moâ hình thöïc söï laø tttt uXXY +++= 2γβα ,





nhöng laïi ñöôïc giaû ñònh baèng phöông trình Y = α + βXt +ut , thì aûnh höôûng cuûa 2

tX seõ ñöôïc bao haøm trong ut. 3. Sai soá ño löôøng. Sai soá trong vieäc ño löôøng X vaø Y coù theå ñöôïc theå hieän qua

u. Ví duï, giaû söû Yt giaù trò cuûa vieäc xaây döïng môùi vaø ta muoán öôùc löôïng haøm Yt = α + βrt +vt trong ñoù rt laø laõi suaát nôï vay vaø vt laø sai soá thaät söï (ñeå ñôn giaûn, aûnh höôûng cuûa thu nhaäp vaø caùc bieán khaùc leân ñaàu tö ñeàu ñöôïc loaïi boû). Tuy nhieân khi thöïc hieän öôùc löôïng, chuùng ta laïi söû duïng moâ hình Yt = α + βXt +ut trong ñoù Xt = rt +Zt laø laõi suaát caên baûn. Nhö vaäy thì laõi suaát ñöôïc ño löôøng trong sai soá Zt thay rt = Xt – Zt vaøo phöông trình ban ñaàu, ta seõ ñöôïc

Yt = α +β(Xt – Zt) +vt = α + βXt – βZt + vt = α + βXt + ut

Caàn luoân löu yù raèng tính ngaãu nhieân cuûa soá haïng ut bao goàm sai soá khi ño löôøng laõi suaát nôï vay moät caùch chính xaùc.

4. Nhöõng aûnh höôûng khoâng theå döï baùo. Duø laø moät moâ hình kinh teá löôïng toát cuõng coù theå chòu nhöõng aûnh höôûng ngaãu nhieân khoâng theå döï baùo ñöôïc. Nhöõng aûnh höôûng naøy seõ luoân ñöôïc theå hieän qua soá haïng sai soá ut.

Nhö ñaõ ñeà caäp ban ñaàu, vieäc thöïc hieän ñieàu tra toaøn boä toång theå ñeå xaùc

ñònh haøm hoài quy cuûa toång theå laø khoâng thöïc teá. Vì vaäy, trong thöïc teá, ngöôøi phaân tích thöôøng choïn moät maãu bao goàm caùc caên nhaø moät caùch ngaãu nhieân vaø ño löôøng caùc ñaëc tính cuûa maãu naøy ñeå thieát laäp haøm hoài quy cho maãu. Baûng 3.1 trình baøy döõ lieäu cuûa moät maãu goàm 14 nhaø baùn trong khu vöïc San Diego. Soá lieäu naøy coù saün trong ñóa meàm vôùi teân taäp tin laø DATA3-1. Trong Hình 3.1, caùc caëp giaù trò (Xt, Yt) ñöôïc veõ treân ñoà thò. Ñoà thò naøy ñöôïc goïi laø ñoà thò phaân taùn cuûa maãu cho caùc döõ lieäu. Hình 3.1 töông töï nhö Hình 1.2, nhöng trong Hình 1.2 lieät keâ toaøn boä caùc giaù trò (Xt, Yt) cuûa toång theå, coøn trong Hình 3.1 chæ lieät keâ döõ lieäu cuûa maãu maø thoâi. Giaû söû, taïi moät thôøi ñieåm, ta bieát ñöôïc giaù trò cuûa α vaø β. Ta coù theå veõ ñöôïc ñöôøng thaúng α + βX treân bieåu ñoà. Ñaây chính laø ñöôøng hoài quy cuûa toång theå. Khoaûng caùch chieáu thaúng xuoáng töø giaù thöïc (Yt) ñeán ñöôøng hoài quy α + βX laø sai soá ngaãu nhieân ut. Ñoä doác cuûa ñöôøng thaúng (β) cuõng laø ∆Y/∆X, laø löôïng thay ñoåi cuûa Y treân moät ñôn vò thay ñoåi cuûa X. Vì vaäy β ñöôïc dieãn dòch laø aûnh höôûng caän bieân cuûa X leân Y. Do ñoù, neáu laø β laø 0.14, ñieàu ñoù coù nghóa laø moät meùt vuoâng dieän tích taêng theâm seõ laøm taêng giaù baùn nhaø leân, ôû möùc trung bình, 0.14 ngaøn ñoâ la (löu yù ñôn vò tính) hay 140 ñoâ la. Moät caùch thöïc teá hôn, khi dieän tích söû duïng nhaø taêng theâm 100 meùt vuoâng thì hy voïng raèng giaù baùn trung bình cuûa ngoâi nhaø seõ taêng theâm $14.000 ñoâ la. Maëc daàu α laø tung ñoä goác vaø laø giaù trò cuûa trò trung bình Y khi X baèng 0, soá haïng naøy vaãn khoâng theå ñöôïc hieåu nhö laø giaù trung bình cuûa moät loâ ñaát troáng. Nguyeân nhaân laø vì α cuõng aån chöùa bieán boû soùt vaø do ñoù khoâng coù caùch giaûi thích cho α (ñieàu naøy ñöôïc ñeà caäp kyõ hôn trong Phaàn 4.5).





BAÛNG 3.1 Giaù trò trung bình öôùc löôïng vaø trung bình thöïc teá cuûa giaù nhaø vaø dieän tích söû duïng (meùt vuoâng)

t SQFT Giaù baùn1 Giaù trung bình öôùc löôïng2

1 1.065 199,9 200,386 2 1.254 288 226,657 3 1.300 235 233,051 4 1.577 285 271,554 5 1.600 239 274,751 6 1.750 293 295,601 7 1.800 285 302,551 8 1.870 365 312,281 9 1.935 295 321,316

10 1.948 290 323,123 11 2.254 385 365,657 12 2.600 505 413,751 13 2.800 425 441,551 14 3.000 415 469,351

HÌNH 3.1 Bieåu Ñoà Phaân Taùn Cuûa Maãu Trình Baøy Moái Lieân Heä Giöõa Giaù vaø SQFT

Y

X0

α + βX

tXβα +

( )tt YX ,

tu

α

tX

100

200

300

400

500

600

1000 1400 1800 2200 2600 3000

HÌNH 3.2 Phöông Trình Hoài Quy cuûa Toång Theå vaø cuûa Maãu

1 Ñôn vò tính: 1.000 ñoâ la 2 Phöông phaùp tính giaù trung bình öôùc löôïng seõ ñöôïc trình baøy ôû Phaàn 3.2





Y

X

Xβα ˆˆ +D

C

B

0 A

(Hoài qui toång theå)α + βX

(Hoài qui maãu)

tt XY βα ˆˆˆ += ( )ttt XYEX |=+ βα

( )tt YX ,

tu

tu

Muïc tieâu ñaàu tieân cuûa moät nhaø kinh teá löôïng laø laøm sao söû duïng döõ lieäu thu

thaäp ñöôïc ñeå öôùc löôïng haøm hoài quy cuûa toång theå, ñoù laø, öôùc löôïng tham soá cuûa toång theå α vaø β. Kyù hieäuα laø öôùc löôïng maãu cuûa α vaø β laø öôùc löôïng

maãu cuûa β. Khi ñoù moái quan heä trung bình öôùc löôïng laø Y = α + βX. Ñaây ñöôïc goïi laø haøm hoài quy cuûa maãu. ÖÙng vôùi moät giaù trò quan saùt cho tröôùc t, ta

seõ coù Yt = α + βXt. Ñaây laø giaù trò döï baùo cuûa Y vôùi moät giaù trò cho tröôùc laø Xt. Laáy giaù trò quan saùt ñöôïc Yt tröø cho giaù trò naøy, ta seõ ñöôïc öôùc löôïng cuûa ut

ñöôïc goïi laø phaàn dö öôùc löôïng, hoaëc ñôn giaûn laø phaàn dö, vaø kyù hieäu laø

tu 1vaø ñöôïc theå hieän trong phöông trình sau:

ut = Yt – Yt = Yt – α – βXt

Saép xeáp laïi caùc soá haïng treân, ta coù

ttt uXY ˆˆˆ ++= βα (3.3)

Vieäc phaân bieät giöõa haøm hoài quy cuûa toång theå Y = α + βX vaø haøm hoài quy cuûa maãu XYt βα ˆˆˆ += laø raát quan troïng. Hình 3.2 trình baøy caû hai ñöôøng vaø sai soá vaø phaàn dö (caàn nghieân cöùu kyõ vaán ñeà naøy). Löu yù raèng ut laø kyù hieäu chæ “sai soá”, vaøø tu laø kyù hieäu chæ “phaàn dö”.

BAØI TAÄP 3.1

Xem xeùt caùc phöông trình sau ñaây:

1 Moät soá taùc giaû vaø giaûng vieân thích söû duïng a thay cho α, b thay cho β vaø et thay cho ut. Chuùng ta söû duïng daáu hieäu ^ theo qui ñònh trong lyù thuyeát thoáng keâ vì noù giuùp phaân bieät roõ raøng giöõa giaù trò thaät vaø giaù trò öôùc löôïng vaø cuõng xaùc ñònh ñöôïc thoâng soá ñang ñöôïc öôùc löôïng.





a. tt uXY ++= βα

b. tt uXY ˆˆˆ ++= βα

c. tt uXY ++= βα ˆˆ

d. XYt βα +=ˆ

e. tt uXY ˆˆ ++= βα

f. tt uXY ˆˆˆˆ ++= βα Giaûi thích kyõ taïi sao phöông trình (a) vaø (b) ñuùng, nhöng (c), (d), (e) vaø

(f) sai. Hình 3.2 raát coù ích trong vieäc traû lôøi caâu hoûi naøy.

3.2 Öôùc löôïng moâ hình cô baûn baèng phöông phaùp bình phöông toái thieåu thoâng thöôøng

Trong phaàn tröôùc, ñaõ neâu roõ moâ hình hoài quy tuyeán tính cô baûn vaø phaân bieät giöõa hoài quy cuûa toång theå vaø hoài quy cuûa maãu. Muïc tieâu tieáp theo seõ laø söû duïng caùc döõ lieäu X vaø Y vaø tìm kieám öôùc löôïng “toát nhaát” cuûa hai tham soá cuûa toång theå laø α vaø β. Trong kinh teá löôïng, thuû tuïc öôùc löôïng ñöôïc duøng phoå bieán nhaát laø phöông phaùp bình phöông toái thieåu. Phöông phaùp naøy thöôøng ñöôïc goïi laø bình phöông toái thieåu thoâng thöôøng, ñeå phaân bieät vôùi nhöõng phöông phaùp bình phöông toái thieåu khaùc seõ ñöôïc thaûo luaän trong caùc chöông sau. Kyù hieäu öôùc löôïng cuûa α vaø β laø α vaø β , phaàn dö öôùc löôïng thì baèng

ttt XYu βα ˆˆˆ −−= . Tieâu chuaån toái öu ñöôïc söû duïng bôûi phöông phaùp bình phöông toái thieåu laø cöïc tieåu hoùa haøm muïc tieâu

2

11

2 )ˆˆ(ˆ)ˆ,ˆ( t

nt

tt

nt

tt XYuESS βαβα −−== ∑∑

=

=

=

=

vôùi caùc tham soá chöa bieát laø α vaø β . ESS laø toång caùc phaàn dö bình phöông vaø phöông phaùp OLS cöïc tieåu toång caùc phaàn dö bình phöông2. Caàn neân löu yù raèng ESS laø khoaûng caùch bình phöông ñöôïc ño löôøng töø ñöôøng hoài quy. Söû duïng khoaûng caùch ño löôøng naøy, coù theå noùi raèng phöông phaùp OLS laø tìm ñöôøng thaúng “gaàn nhaát” vôùi döõ lieäu treân ñoà thò.

Tröïc quan hôn, giaû söû ta choïn moät taäp hôïp nhöõng giaù trò α vaø β , ñoù laø

moät ñöôøng thaúng Xβα ˆˆ − . Coù theå tính ñöôïc ñoä leäch cuûa Yt töø ñöôøng thaúng

2 Raát deã nhaàm khi goïi ESS laø toång cuûa caùc phaàn dö bình phöông, nhöng kyù hieäu naøy ñöôïc söû duïng phoå bieán trong nhieàu chöông trình maùy tính noåi tieáng vaø coù töø taøi lieäu veà Phaân tích phöông sai





ñöôïc choïn theo phaàn dö öôùc löôïng XYu tt βα ˆˆˆ −−= . Sau ñoù bình phöông giaù trò naøy vaø coäng taát caû caùc giaù trò bình phöông cuûa toaøn boä maãu quan saùt. Toång caùc phaàn dö bình phöông cuûa caùc trò quan saùt [ñöôïc xem nhö toång bình phöông sai soá (ESS)] do ñoù seõ baèng ∑ 2ˆtu . Töông öùng vôùi moät ñieåm treân

ñöôøng thaúng seõ coù moät moät trò toång bình phöông sai soá. Phöông phaùp bình phöông toái thieåu choïn nhöõng giaù trò α vaø β sao cho ESS laø nhoû nhaát.

Vieäc bình phöông sai soá ñaït ñöôïc hai ñieàu sau. Thöù nhaát, bình phöông giuùp loaïi boû daáu cuûa sai soá vaø do ñoù xem sai soá döông vaø sai soá aâm laø nhö nhau. Thöù hai, bình phöông taïo ra söï baát lôïi cho sai soá lôùn moät caùch ñaùng keå. Ví duï, giaû söû phaàn dö cuûa maãu laø 1, 2, –1 vaø –2 cuûa heä soá hoài quy choïn tröôùc trò α

vaø β choïn tröôùc. So saùnh caùc giaù trò naøy vôùi moät maãu khaùc coù phaàn dö laø –1, –1, –1 vaø 3. Toång giaù trò sai soá tuyeät ñoái ôû caû hai tröôøng hôïp laø nhö nhau. Maëc duø maãu choïn thöù hai coù sai soá tuyeät ñoái thaáp hôn töø 2 ñeán 1, ñieàu naøy daãn ñeán sai soá lôùn khoâng mong muoán laø 3. Neáu ta tính ESS cho caû hai tröôøng hôïp thì ESS cuûa tröôøng hôïp ñaàu laø 10 (12 + 22+ 12+ 22), ESS cho tröôøng hôïp sau laø 12 (12 + 12+ 12+ 32). Phöông phaùp bình phöông toái thieåu aùp ñaët söï baát lôïi lôùn cho sai soá lôùn vaø do ñoù ñöôøng thaúng trong tröôøng hôïp ñaàu seõ ñöôïc choïn. Phaàn 3.3 seõ tieáp tuïc trình baøy nhöõng ñaëc tính caàn thieát khaùc cuûa phöông phaùp cöïc tieåu ESS.

Phöông Phaùp Thích Hôïp Cöïc Ñaïi

Phaàn naøy chæ ñeà caäp sô veà phöông phaùp thích hôïp cöïc ñaïi. Phöông phaùp naøy seõ ñöôïc trình baøy chi tieát ôû phaàn 2.A.4. Phaàn 3.A.5 seõ trình baøy nguyeân taéc aùp duïng moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn. Maëc duø phöông phaùp thích hôïp cöïc ñaïi döïa treân moät tieâu chuaån toái öu khaùc, nhöng caùc thoâng soá öôùc löôïng vaãn gioáng nhö caùc thoâng soá öôùc löôïng ôû phöông phaùp OLS. Noùi ñôn giaûn, phöông phaùp thích hôïp cöïc ñaïi choïn öôùc löôïng sao cho xaùc suaát xaûy ra cuûa maãu quan saùt laø lôùn nhaát.

Phaàn thaûo luaän tröôùc cho thaáy neáu thöïc hieän hai phöông phaùp öôùc löôïng α vaø β khaùc nhau moät caùch chính xaùc thì ñeàu daãn ñeán cuøng moät keát quaû. Nhö vaäy thì taïi sao caàn phaûi xem xeùt caû hai phöông phaùp? Caâu traû lôøi laø trong caùc chöông sau, ta seõ thaáy raèng khi moät soá giaû thieát cuûa moâ hình ñöôïc giaûm nheï, thì thöïc teá, hai phöông phaùp öôùc löôïng khaùc nhau seõ cho keát quaû khaùc nhau. Moät phöông phaùp khaùc coù theå cho keát quaû khaùc nöõa, ñoù laø phöông phaùp cöïc tieåu toång sai soá tuyeät ñoái ∑ tu . Nhöng phöông phaùp naøy khoâng ñöôïc duøng

phoå bieán trong kinh teá löôïng vì khoù tính toaùn.





Phöông Trình Chuaån

Trong phaàn 3.A.3 cuûa phuï luïc, phöông phaùp OLS ñöôïc chính thöùc aùp duïng. Phaàn naøy cho thaáy raèng ñieàu kieän ñeå cöïc tieåu ESS vôùi α vaø β seõ theo hai phöông trình sau ñaây, ñöôïc goïi laø phöông trình chuaån (khoâng coù lieân heä gì ñeán phaân phoái chuaån).

∑∑∑∑ −−=−−== ttttt XnYXYu βαβα ˆ)ˆ()ˆˆ(0ˆ (3.4)

)]ˆˆ([)ˆ( ttttt XYXuX βα −−=∑∑ = 0 (3.5)

Trong Phöông trình (3.4), caàn löu yù raèng ∑ = αα ˆˆ n bôûi vì moãi soá haïng seõ coù

moät α vaø coù n soá haïng. Chuyeån veá caùc soá haïng aâm trong Phöông trình (3.4) sang phaûi vaø chia moïi soá haïng cho n, ta ñöôïc

∑∑ += tt Xn

Yn

11 βα ˆˆ (3.6)

(1/n)ΣYt laø trung bình maãu cuûa Y, kyù hieäu laø Y , vaø (1/n)ΣYt laø trung bình

maãu cuûa X, kyù hieäu laø X . Söû duïng keát quaû naøy thay vaøo Phöông trình (3.6), ta ñöôïc phöông trình sau

XY βα+= (3.7)

Ñöôøng thaúng α +β X laø ñöôøng öôùc löôïng vaø laø ñöôøng hoài quy cuûa maãu, hoaëc ñöôøng thaúng thích hôïp. Coù theå thaáy raèng töø Phöông trình (3.7) ñöôøng hoài quy cuûa maãu ñi qua ñieåm trung bình ( )YX , . Trong Baøi taäp 3.12c, ta seõ thaáy raèng tính chaát naøy khoâng ñaûm baûo tröø khi soá haïng haèng soá α coù trong moâ hình.

Töø Phöông trình (3.5), coäng taát caû theo töøng soá haïng, vaø ñöa α vaø β ra laøm thöøa soá chung, ta ñöôïc

0ˆˆ)( 2 =−− ∑∑∑ tttt XXYX βα

hay

∑∑∑ += 2ˆˆ)( tttt XXYX βα (3.8)

Lôøi Giaûi veà Phöông Trình Chuaån





Ñeå thuaän lôïi cho vieäc ñaùp aùn veà hai phöông trình chuaån, caùc tính chaát sau ñaây laø raát caàn thieát. Nhöõng tính chaát naøy ñöôïc chöùng minh trong Phuï luïc Phaàn 3.A.2

TÍNH CHAÁT 3.1

Sxx = ∑(Xt – X–

)2 = ∑Xt2 – n(X

–)2 = ∑Xt

2 – 1n(∑Xt)2

TÍNH CHAÁT 3.2

Sxy = ∑(Xt – X–

)(Yt – Y–

) = (∑XtYt) – n X–

Y–

= ∑XtYt – [(∑Xt ) – (∑Yt) / n]

Töø Phöông trình (3.7),

∑∑ −=−= tt Xn

Yn

XY 1ˆ1ˆˆ ββα (3.9)

Thay α vaøo (3.8)

∑∑∑ ∑∑ +

−= 2ˆ)(1ˆ1

tttttt XXXn

Yn

YX ββ

Nhoùm caùc soá haïng coù thöøa soá β :

( )( ) ( )

−+

= ∑ ∑∑∑∑ n

XX

nYX

YX tt

tttt

22β

Tìm β ta ñöôïc

( )( )

( )∑ ∑

∑∑∑

−

−=

nX

X

nYX

YX

tt

tttt

22

β

Söû duïng kyù hieäu ñôn giaûn ñaõ ñöôïc giôùi thieäu ôû Tính chaát 3.1 vaø 3.2, coù theå ñöôïc dieãn taû nhö sau

xx

xy

SS

=β (3.10)

trong ñoù





( )nX

XS ttxx

22 ∑∑ −= (3.11)

vaø ( )( )

nYX

YXS ttttxy

∑∑∑ −= (3.12)

Kyù hieäu Sxx vaø Sxy coù theå ñöôïc nhôù moät caùch tröïc quan nhö sau, ñònh nghóa

XXx tt −= vaø YYy tt −= , trong ñoù kyù hieäu thanh ngang chæ trung bình cuûa maãu. Do ñoù xt vaø yt kyù hieäu ñoä leäch giöõa X vaø Y so vôùi giaù trò X vaø Y trung bình. Keát quaû sau ñaây seõ ñöôïc chöùng minh ôû phaàn Phuï luïc Phaàn 2.A.1 vaø 3.A.2.

∑xt = 0

( )2222 1)( ∑∑∑∑ −=−== ttttxx Xn

XXXxS (3.13)

( )( )[ ]∑∑∑∑∑ −=−−== ttttttttxy YXn

YXYYXXyxS 1))(( (3.14)

Sxy laø “toång caùc giaù trò cuûa xt nhaân yt “. Töông töï, Sxx “toång caùc giaù trò cuûa xt

nhaân xt , hay toång cuûa xt bình phöông Phöông trình (3.9) vaø (3.10) laø lôøi giaûi cho phöông trình chuaån [(3.4) vaø

(3.5)] vaø cho ta öôùc löôïng α vaø β cuûa maãu cho tham soá α vaø β cuûa toång theå. Caàn löu yù raèng khoâng theå xaùc ñònh ñöôïc öôùc löôïng cuûa β trong Phöông

trình (3.10) neáu 0)( 22 =−== ∑∑ XXxS ttxx . Sxx baèng khoâng khi vaø chæ khi

moïi xt baèng khoâng, coù nghóa laø khi vaø chæ khi moïi Xt baèng nhau. Ñieàu naøy daãn ñeán giaû thuyeát sau ñaây

GIAÛ THIEÁT 3.2 (Caùc Giaù Trò Quan Saùt X Laø Khaùc Nhau) Khoâng phaûi laø taát caû giaù trò Xt laø baèng nhau. Coù ít nhaát moät giaù trò Xt khaùc so vôùi nhöõng giaù trò coøn laïi. Noùi caùch khaùc, phöông sai cuûa maãu

2)(1

1)( XXn

XVar t∑ −−

= khoâng ñöôïc baèng khoâng.

Ñaây laø moät giaû thieát raát quan troïng vaø luoân luoân phaûi tuaân theo bôûi vì neáu

khoâng moâ hình khoâng theå öôùc löôïng ñöôïc. Moät caùch tröïc quan, neáu Xt khoâng ñoåi, ta khoâng theå giaûi thích ñöôïc taïi sao Yt thay ñoåi. Hình 3.3 minh hoïa giaû thuyeát treân baèng hình aûnh. Trong ví duï veà ñòa oác, giaû söû thoâng tin thu thaäp chæ taäp trung moät vaøo loaïi nhaø coù dieän tích söû duïng laø 1.500 meùt vuoâng. Ñoà thò phaân taùn cuûa maãu seõ ñöôïc theå hieän nhö ôû Hình 3.3. Töø ñoà thò coù theå thaáy roõ





raèng döõ lieäu naøy khoâng ñaày ñuû cho vieäc öôùc löôïng ñöôøng hoài quy toång theå α +βX.

HÌNH 3.3 Ví Duï veà Giaù Trò X Khoâng Ñoåi

Y

X0 1,500

Ví duï 3.1 Theo thuaät ngöõ ñöôïïc duøng phoå bieán trong kinh teá löôïng, neáu ta söû duïng döõ lieäu trong Baûng 3.1 vaø thöïc hieän “hoài quy Y (GIAÙ) theo soá haïng haèng soá vaø X (SQFT)”, ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc moái quan heä öôùc löôïng (hay haøm hoài quy cuûa maãu) laø tt XY 13875351,0351,52ˆ += . tY laø giaù öôùc löôïng trung bình (ngaøn ñoâ la) töông öùng vôùi Xt. (xem Baûng 3.1). Heä soá hoài quy cuûa Xt laø aûnh höôûng caän bieân öôùc löôïng cuûa dieän tích söû duïng ñeán giaù nhaø, ôû möùc trung bình. Do vaäy, neáu dieän tích söû duïng taêng leân moät ñôn vò, giaù trung bình öôùc löôïng kyø voïng seõ taêng theâm 0,13875 ngaøn ñoâ la ($138.75). Moät caùch thöïc teá, cöù moãi 100 meùt vuoâng taêng theâm dieän tích söû duïng, giaù baùn öôùc löôïng ñöôïc kyø voïng taêng theâm, möùc trung bình, $ 13.875.

Haøm hoài quy cuûa maãu coù theå ñöôïc duøng ñeå öôùc löôïng giaù nhaø trung bình döïa treân dieän tích söû duïng cho tröôùc (Baûng 3.1 coù trình baøy giaù trung bình ôû coät cuoái.) Do ñoù, moät caên nhaø coù dieän tích 1.800 meùt vuoâng thì giaù baùn kyø voïng trung bình laø $302.551[ = 52,351 + (0,139 × 1.800)]. Nhöng giaù baùn thöïc söï cuûa caên nhaø laø $285.000. Moâ hình ñaõ öôùc löôïng giaù baùn vöôït quaù $17.551. Ngöôïc laïi, ñoái vôùi moät caên nhaø coù dieän tích söû duïng laø 2.600 meùt vuoâng, giaù baùn trung bình öôùc löôïng laø $413.751, thaáp hôn giaù baùn thöïc söï $505.000 moät caùch ñaùng keå. Söï khaùc bieät naøy coù theå xaûy ra bôûi vì chuùng ta ñaõ boû qua caùc yeáu toá aûnh höôûng khaùc leân giaù baùn nhaø. Ví duï, moät ngoâi nhaø coù saân vöôøn roäng vaø/ hay hoà bôi, seõ coù giaù cao hôn giaù trung bình. Ñieàu naøy nhaán maïnh taàm quan troïng trong vieäc nhaän dieän ñöôïc caùc bieán giaûi thích coù theå aûnh höôûng ñeán giaù trò cuûa bieán phuï thuoäc vaø ñöa caùc aûnh höôûng naøy vaøo moâ hình ñöôïc thieát laäp. Ngoaøi ra, raát caàn thieát trong vieäc phaân tích ñoä tin caäy cuûa caùc öôùc





löôïng cuûa tung ñoä vaø heä soá ñoä doác trong Phöông trình (3.1), vaø möùc ñoä “thích hôïp” cuûa moâ hình ñoái vôùi döõ lieäu thöïc teá.

BAØI TAÄP 3.2

Sao cheùp hai coät soá lieäu trong Baûng 3.1 vaøo moät baûng môùi. Trong coät ñaàu tieân cuûa baûng tính sao cheùp caùc giaù trò veà Yt (GIAÙ) vaø Xt (SQFT) trong coät thöù hai. Söû duïng maùy tính vaø tính theâm giaù trò cho hai coät khaùc. Bình phöông töøng giaù trò trong coät thöù hai vaø ñieàn giaù trò ñoù vaøo coät thöù ba (x). Nhaân laàn löôït töøng giaù trò ôû coät thöù nhaát vôùi giaù trò töông öùng ôû coät hai vaø ñieàn keát qua vaøo coät thöù tö (XtYt). Tieáp theo, tính toång cuûa töøng coät vaø ñaùnh giaù caùc toång sau ñaây:

753.26=∑ tX 515.462.552 =∑ tX

9,444.4=∑ tY 5,985.095.92 =∑ tY

Ñeå traùnh tình traïng quaù nhieàu vaø sai soá laøm troøn, caàn söû duïng caøng nhieàu soá thaäp phaân caøng toát. Sau ñoù, tính Sxy töø Phöông trình (3.12) vaø Sxx töø Phöông trình (3.11). Cuoái cuøng, tính β theo (3.10) vaø α theo (3.9) vaø kieåm tra laïi nhöõng giaù trò ñaõ trình baøy ban ñaàu.

3.3 Tính chaát cuûa caùc öôùc löôïng

Maëc duø phöông phaùp bình phöông cho ra keát quaû öôùc löôïng veà moái quan heä tuyeán tính coù theå phuø hôïp vôùi döõ lieäu saün coù, chuùng ta caàn traû lôøi moät soá caâu hoûi sau. Ví duï, Ñaëc tính thoáng keâ cuûa α vaø β ? Thoâng soá naøo ñöôïc duøng ñeå ño ñoä tin caäy cuûa α vaø β ? Baèng caùch naøo ñeå coù theå söû duïng α vaø β ñeå kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ vaø thöïc hieän döï baùo? Sau ñaây chuùng ta seõ ñi vaøo thaûo luaän töøng vaán ñeà treân. Seõ raát höõu ích neáu baïn oân laïi Phaàn 2.6, phaàn naøy ñöa ra toùm taét veà nhöõng tính chaát caàn thieát cuûa thoâng soá öôùc löôïng.

Tính chaát ñaàu tieân caàn xem xeùt laø ñoä khoâng thieân leäch. Caàn löu yù raèng trong Phaàn 2.4 caùc thoâng soá öôùc löôïng α vaø β ? töï thaân chuùng laø bieán ngaãu nhieân vaø do ñoù tuaân theo phaân phoái thoáng keâ. Nguyeân nhaân laø vì nhöõng laàn thöû khaùc nhau cuûa moät cuoäc nghieân cöùu seõ cho caùc keát quaû öôùc löôïng thoâng soá khaùc nhau . Neáu chuùng ta laëp laïi nghieân cöùu vôùi soá laàn thöû lôùn, ta coù theå ñaït ñöôïc nhieàu giaù trò öôùc löôïng. Sau ñoù chuùng ta coù theå tính tyû soá soá laàn maø nhöõng öôùc löôïng naøy rôi vaøo moät khoaûng giaù trò xaùc ñònh. Keát quaû seõ seõ cho ra phaân phoái cuûa caùc öôùc löôïng cuûa maãu. Phaân phoái naøy coù giaù trò trung bình





vaø phöông sai. Neáu trung bình cuûa phaân phoái maãu laø thoâng soá thöïc söï (trong tröôøng hôïp naøy laø α hoaëc β), thì ñaây laø öôùc löôïng khoâng thieân leäch. Ñoä khoâng thieân leäch roõ raøng laø ñieàu luoân ñöôïc mong muoán bôûi vì, ñieàu ñoù coù nghóa laø, ôû möùc trung bình, giaù trò öôùc löôïng seõ baèng vôùi giaù trò thöïc teá, maëc duø trong moät soá tröôøng hôïp caù bieät thì ñieàu naøy coù theå khoâng ñuùng.

Coù theå noùi raèng thoâng soá öôùc löôïng OLS cuûa α vaø β ñöa ra trong Phaàn 3.2 coù tính chaát khoâng thieân leäch. Tuy nhieân, ñeå chöùng minh ñieàu naøy, chuùng ta caàn ñaët ra moät soá giaû thuyeát boå sung veà Xt vaø ut. Caàn nhôù raèng, maëc duø Giaû thieát 3.1 coù theå vaø ñöôïc giaûm nheï ôû phaàn sau, nhöng Giaû thuyeát 3.2 vaø 3.3 laø luoân luoân caàn thieát vaø phaûi tuaân theo. Sau ñaây laø caùc giaû thieát boå sung caàn thieát.

GIAÛ THIEÁT 3.3 (Sai Soá Trung Bình baèng Zero) Moãi laø u moät bieán ngaãu nhieân vôùi E(u) = 0

Trong Hình 3.1 caàn löu yù raèng moät soá ñieåm quan saùt naèm treân ñöôøng α +

βX vaø moät soá ñieåm naèm döôùi. Ñieàu naøy coù nghóa laø coù moät giaù trò sai soá mang daáu döông vaø moät soá sai soá mang daáu aâm. Do α + βX laø ñöôøng trung bình, neân coù theå giaû ñònh raèng caùc sai soá ngaãu nhieân treân seõ bò loaïi tröø nhau, ôû möùc trung bình, trong toång theå. Vì theá, giaû ñònh raèng ut laø bieán ngaãu nhieân vôùi giaù trò kyø voïng baèng 0 laø hoaøn toaøn thöïc teá.

GIAÛ THIEÁT 3.4 (Caùc Giaù Trò X Ñöôïc Cho Tröôùc vaø Khoâng Ngaãu Nhieân) Moãi giaù trò Xt ñöôïc cho tröôùc vaø khoâng laø bieán ngaãu nhieân. Ñieàu naøy ngaàm chæ raèng ñoàng phöông sai cuûa toång theå giöõa Xt vaø ut, Cov(Xt, ut) = E(Xt, ut) – E(Xt)E(ut) = XtE(ut) – XtE(ut) = 0. Do ñoù giöõa Xt vaø ut khoâng coù moái töông quan (xem Ñònh nghóa 2.4 vaø 2.5).

Theo tröïc giaùc, neáu X vaø u coù moái töông quan, thì khi X thay ñoåi, u cuõng seõ

thay ñoåi. Trong tröôøng hôïp naøy, giaù trò kyø voïng cuûa Y seõ khoâng baèng α + βX. Neáu giaù trò X laø khoâng ngaãu nhieân thì giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y theo giaù trò X seõ baèng α + βX. Keát quaû cuûa vieäc vi phaïm Giaû thieát 3.4 seõ ñöôïc trình baøy trong phaàn sau, ñaëc bieät laø khi nghieân cöùu moâ hình heä phöông trình (Chöông 13). Tính chaát 3.3 phaùt bieåu raèng khi hai giaû thieát ñöôïc boå sung, thoâng soá öôùc löôïng OLS laø khoâng thieân leäch.

TÍNH CHAÁT 3.3 (Ñoä Khoâng Thieân Leäch)





Trong hai giaû thieát boå sung 3.3 vaø 3.4, [E(ut) = 0, Cov(Xt, ut) = 0], thoâng soá öôùc löôïng, thoâng soá öôùc löôïng bình phöông toái thieåu α vaø β laø khoâng thieân leäch; nghóa laø ( ) αα =ˆE , vaø ( ) ββ ˆˆ =E ø.

CHÖÙNG MINH (Neáu ñoäc giaû khoâng quan taâm ñeán chöùng minh, coù theå

boû qua phaàn).

Töø Phöông trình (3.10), ( ) ( )xxxy SSEE =β . Nhöng theo Giaû thuyeát 3.4, Xt laø

khoâng ngaãu nhieân vaø do ñoù Sxx cuõng khoâng ngaãu nhieân. Ñieàu naøy coù nghóa laø khi tính giaù trò kyø voïng, caùc soá haïng lieân quan ñeán Xt coù theå ñöôïc ñöa ra ngoaøi

giaù trò kyø voïng. Vì vaäy, ta coù ( ) ( )xyxx

SES

E 1ˆ =β . Trong Phöông trình (3.12),

thay Yt töø Phöông trình (3.1) vaø thay ∑α baèng nα .

( ) ( )( )

++−++= ∑ ∑∑∑ n

uXnXuXXS ttt

tttxy

βαβα (3.15)

( ) ( )( )

−

−−++= ∑∑∑∑∑∑∑ n

uXnX

XuXXX tttttttt

22 βαβα

( ) ( )( )

−+

−= ∑∑∑∑ ∑

nuX

uXnX

X tttt

tt

2

β

xuxx SS += β

trong ñoù Sxx ñöôïc cho bôûi Phöông trình (3.13) vaø

( )( )n

uXuXS tt

ttxu∑∑∑ −= (3.16)

( ) ttttt uXXuXuX ∑∑∑ −=−=

X laø trung bình maãu cuûa X, Xt laø khoâng ngaãu nhieân, X xuaát hieän ôû moïi soá haïng, vaø kyø voïng cuûa toång caùc soá haïng thì baèng toång caùc giaù trò kyø voïng. Do vaäy,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0=−=−= ∑∑∑∑ ttttttxu uEXuEXuEXuXESE





theo Giaû thieát 3.3. Do ñoù, E(Sxy) = βSxx, nghóa laø ( ) ββ == xxxy SSEE )(ˆ . Nhö

vaäy β laø öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa β. Chöùng minh töông töï cho α. Caàn nhaän thaáy raèng vieäc chöùng minh ñoä khoâng thieân leäch phuï thuoäc chuû yeáu vaøo Giaû thieát 3.4. Neáu E(Xtut) ≠ 0, β coù theå bò thieân leäch.

BAØI TAÄP 3.3 Söû duïng Phöông trình (3.9) ñeå chöùng minh raèng α laø khoâng thieân leäch. Neâu roõ caùc giaû thuyeát caàn thieát khi chöùng minh. Maëc daàu ñoä khoâng thieân leäch luoân laø moät tính chaát luoân ñöôïc mong muoán,

nhöng töï baûn thaân ñoä khoâng thieân leäch khoâng laøm cho thoâng soá öôùc löôïng “toát”, vaø moät öôùc löôïng khoâng thieân leäch khoâng chæ laø tröôøng hôïp caù bieät. Haõy xem xeùt ví duï sau veà moät thoâng soá öôùc löôïng khaùc laø β~ = (Y2 – Y1)/(X2 – X1). Löu yù raèng β~ ñôn giaûn laø ñoä doác cuûa ñöôøng thaúng noái hai ñieåm (X1, Y1) vaø (X2, Y2). Raát deã nhaän thaáy raèng β~ laø khoâng thieân leäch

( ) ( )

12

12

12

1122

12

12~XXuu

XXuXuX

XXYY

−−

+=−

++−++=

−−

= ββαβα

β

Nhö ñaõ noùi tröôùc ñaây, caùc giaù trò X laø khoâng ngaãu nhieân vaø E(u2) = E(u1) = 0. Do ñoù, β~ laø khoâng thieân leäch. Thöïc ra, ta coù theå xaây döïng moät chuoãi voâ haïn cuûa caùc thoâng soá öôùc löôïng khoâng thieân leäch nhö treân. Bôûi vì β~ loaïi boû caùc giaù trò quan saùt töø 3 ñeán n, moät caùch tröïc quan ñaây khoâng theå laø moät thoâng soá öôùc löôïng “toát”. Trong Baøi taäp 3.6, taát caû caùc giaù trò quan saùt ñöôïc söû duïng theå thieát laäp caùc thoâng soá öôùc löôïng khoâng thieân leäch khaùc, nhöng töông töï nhö treân ñaây khoâng phaûi laø laø thoâng soá öôùc löôïng khoâng thieân leäch toát nhaát. Do ñoù, raát caàn coù nhöõng tieâu chuaån boå sung ñeå ñaùnh giaù “ñoä toát” cuûa moät thoâng soá öôùc löôïng.

Tieâu chuaån thöù hai caàn xem xeùt laø tính nhaát quaùn, ñaây laø moät tính chaát cuûa maãu lôùn ñaõ ñöôïc ñònh nghóa trong Phaàn 2.6 (Ñònh nghóa 2.10). Giaû söû ta choïn ngaãu nhieân moät maãu coù n phaàn töû vaø ñi tìm α vaø β . Sau ñoù choïn moät maãu lôùn hôn vaø öôùc löôïng laïi caùc thoâng soá naøy. Laëp laïi quaù trình naøy nhieàu laàn ñeå coù ñöôïc moät chuoãi nhöõng thoâng soá öôùc löôïng. Tính nhaát quaùn laø tính chaát ñoøi hoûi caùc thoâng soá öôùc löôïng vaãn phuø hôïp khi côõ maãu taêng leân voâ haïn. Öôùc löôïng β~ ñöôïc trình baøy ôû treân roõ raøng laø khoâng ñaït ñöôïc tính nhaát quaùn bôûi vì khi côõ maãu taêng leân khoâng aûnh höôûng gì ñeán thoâng soá naøy. Tính chaát 3.4 phaùt bieåu caùc ñieàu kieän ñeå moät öôùc löôïng coù tính nhaát quaùn.





TÍNH CHAÁT 3.4 (Tính Nhaát Quaùn)

Theo Giaû thieát (3.2), (3.3) vaø (3.4), öôùc löôïng bình phöông toái thieåu coù tính chaát nhaát quaùn. Do ñoù, ñieàu kieän ñeå ñaït ñöôïc tính nhaát quaùn laø E(ut) = 0, Cov(Xt, ut) = 0 vaø Var(Xt) ≠ 0.

CHÖÙNG MINH (Neáu ñoäc giaû khoâng quan taâm, coù theå boû qua phaàn naøy.)

Töø Phöông trình (3.15) vaø (3.10)

nSnS

xx

xu

//ˆ += ββ (3.17)

Theo quy luaät soá lôùn (Tính chaát 2.7a), Sxu/n ñoàng quy vôùi kyø voïng cuûa

chính noù, ñoù laø Cov(X, u). Töông töï, Sxx/n ñoàng quy vôùi Var(X). Do vaäy daãn tôùi ñieàu, neáu n hoäi tuï ñeán voâ cuøng, β seõ ñoàng quy vôùi β + [Cov(X,u)/Var(X), vaø seõ baèng β neáu Cov(X,u) = 0 – nghóa laø neáu X vaø u khoâng töông quan. Nhö vaäy, β laø öôùc löôïng nhaát quaùn cuûa β.

Maëc duø β laø khoâng thieân leäch vaø nhaát quaùn, vaãn coù nhöõng tieâu chuaån caàn boå sung bôûi ñeå coù theå xaây döïng öôùc löôïng nhaát quaùn vaø khoâng thieân leäch khaùc. Baøi taäp 3.6 laø moät ví duï veà loaïi öôùc löôïng ñoù. Tieâu chuaån söû duïng tieáp theo laø tính hieäu quaû (ñònh nghóa trong Phaàn 2.6). Noùi moät caùch ñôn giaûn, öôùc löôïng khoâng thieân leäch coù tính hieäu quaû hôn neáu öôùc löôïng naøy coù phöông sai nhoû hôn. Ñeå thieát laäp tính hieäu quaû, caàn coù caùc giaû thieát sau veà ut.

GIAÛ THIEÁT 3.5 (Phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi) Taát caû giaù trò u ñöôïc phaân phoái gioáng nhau vôùi cuøng phöông sai σ2

, sao cho ( ) 22)( σ== tt uEuVar . Ñieàu naøy ñöôïc goïi laø phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi

(phaân taùn ñeàu).

GIAÛ THIEÁT 3.6 (Ñoäc Laäp Theo Chuoãi) Giaù trò u ñöôïc phaân phoái ñoäc laäp sao cho Cov(ut, us) = E(utus) = 0 ñoái vôùi moïi t ≠ s. Ñaây ñöôïc goïi laø chuoãi ñoäc laäp.

Caùc giaû thieát treân ngaàm chæ raèng caùc phaàn dö phaân coù phaân phoái gioáng

nhau vaø phaân phoái ñoäc laäp (iid). Töø Hình 1.2 ta thaáy raèng öùng vôùi moät giaù trò





X seõ coù moät giaù trò phaân phoái Y ñeå xaùc ñònh phaân phoái coù ñieàu kieän. Sai soá ut

laø ñoä leäch töø trung bình coù ñieàu kieän α + βXt. Giaû thieát 3.5 ngaàm ñònh raèng phaân phoái cuûa ut coù cuøng phöông sai (σ2) vôùi phaân phoái cuûa us cho moät quan saùt khaùc s. Hình 3.4a laø moät ví duï veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi (hoaëc khoâng phaân taùn ñeàu) khi phöông sai thay ñoåi taêng theo giaù trò quan saùt X. Giaû thuyeát 3.5 ñöôïc giaûm nheï trong Chöông 8. Phaàn 3.6 Phuï chöông coù trình baøy moâ taû ba chieàu cuûa giaû thuyeát naøy.

Giaû thieát 3.6 (seõ ñöôïc giaûm nheï trong Chöông 9) ngaàm ñònh raèng laø ut vaø us ñoäc laäp vaø do vaäy khoâng coù moái töông quan. Cuï theå laø, caùc sai soá lieân tieáp nhau khoâng töông quan nhau vaø khoâng taäp trung. Hình 3.4b laø moät ví duï veà töï töông quan khi giaû thuyeát treân bò vi phaïm. Chuù yù raèng khi caùc giaù trò quan saùt keá tieáp nhau taäp trung laïi, thì coù khaû naêng caùc sai soá seõ coù töông quan.

HÌNH 3.4 Ví Duï veà Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi vaø Töï Hoài Quy

Y

X

a. Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi

Y

X

b. Töï hoài quy

TÍNH CHAÁT 3.5 (Hieäu quaû, BLUE vaø Ñònh lyù Gauss-Markov)





Theo Giaû thieát 3.2 ñeán 3.6, öôùc löôïng bình phöông toái thieåu thoâng thöôøng (OLS) laø öôùc löôïng tuyeán tính khoâng thieân leäch coù hieäu quaû nhaát trong caùc öôùc löôïng. Vì theá phöông phaùp OLS ñöa ra Öôùc Löôïng Khoâng Thieân leäch Tuyeán Tính Toát Nhaát (BLUE).

Keát quaû naøy (ñöôïc chöùng minh trong Phaàn 3.A.4) ñöôïc goïi laø Ñònh lyù Gauss–Markov, theo lyù thuyeát naøy öôùc löôïng OLS laø BLUE; nghóa laø trong taát caû caùc toå hôïp tuyeán tính khoâng thieân leäch cuûa Y, öôùc löôïng OLS cuûa α vaø β coù phöông sai beù nhaát.

Toùm laïi, aùp duïng phöông phaùp bình phöông toái thieåu (OLS) ñeå öôùc löôïng heä soá hoài quy cuûa moät moâ hình mang laïi moät soá tính chaát mong muoán sau: öôùc löôïng laø (1) khoâng thieân leäch, (2) coù tính nhaát quaùn vaø (3) coù hieäu quaû nhaát. Ñoä khoâng thieân leäch vaø tính nhaát quaùn ñoøi hoûi phaûi keøm theo Giaû thuyeát E(ut) = 0 vaø Cov(Xt, ut) = 0. Yeâu caàu veà tính hieäu quaû vaø BLUE, thì caàn coù theâm giaû thuyeát, Var(ut) = σ2 vaø Cov(ut, us) = 0, vôùi moïi t ≠ s.

3.4 Ñoä Chính Xaùc cuûa Öôùc Löôïng vaø Möùc Ñoä Thích Hôïp cuûa Moâ Hình

Söû duïng caùc döõ lieäu trong ví duï veà ñòa oác ta öôùc löôïng ñöôïc thoâng soá nhö sau

351.52ˆ =α vaø 13875,0ˆ =β . Caâu hoûi cô baûn laø caùc öôùc löôïng naøy toát nhö theá naøo vaø möùc ñoä thích hôïp cuûa haøm hoài quy maãu XYt 13875351,0351,52ˆ += vôùi döõ lieäu ra sao. Phaàn naøy seõ thaûo luaän phöông phaùp xaùc ñònh thoâng soá ño löôøng ñoä chính xaùc cuûa caùc öôùc löôïng cuõng nhö ñoä phuø hôïp.

Ñoä Chính Xaùc cuûa Caùc Öôùc Löôïng

Töø lyù thuyeát xaùc suaát ta bieát raèng phöông sai cuûa moät bieán ngaãu nhieân ño löôøng söï phaân taùn xung quanh giaù trò trung bình. Phöông sai caøng beù, ôû möùc trung bình, töøng giaù trò rieâng bieät caøng gaàn vôùi giaù trò trung bình. Töông töï, khi ñeà caäp ñeán khoaûng tin caäy, ta bieát raèng phöông sai cuûa bieán ngaãu nhieân caøng nhoû, khoaûng tin caäy cuûa caùc tham soá caøng beù. Nhö vaäy, phöông sai cuûa moät öôùc löôïng laø thoâng soá ñeå chæ ñoä chính xaùc cuûa moät öôùc löôïng. Do ñoù vieäc tính toaùn phöông sai cuûa α vaø β laø luoân caàn thieát.

Do α vaø β thuoäc vaøo caùc giaù trò Y, maø Y laïi phuï thuoäc vaøo caùc bieán ngaãu nhieân u1, u2, …, un, neân chuùng cuõng laø bieán ngaãu nhieân vôùi phaân phoái töông öùng. Sau ñaây caùc phöông trình ñöôïc ruùt ra trong Phaàn 3.A.6 ôû phaàn phuï luïc cuûa chöông naøy.

( )xxS

EVar222 ˆ)ˆ( σββσβ β =

−== && (3.18)





( )[ ] 22

22ˆ ˆ)ˆ( σαασα α

xx

t

nSX

EVar ∑=−== (3.19)

( )( )[ ] 2ˆˆ

ˆˆ)ˆ,ˆ( σββαασβα βαxxS

XECov −=−−== (3.20)

trong ñoù Sxx ñöôïc ñònh nghóa theo Phöông trình (3.11) vaø σ2 laø phöông sai cuûa sai soá. Caàn löu yù raèng neáu Sxx taêng, giaù trò phöông sai vaø ñoàng phöông sai (trò tuyeät ñoái) seõ giaûm. Ñieàu naøy cho thaáy söï bieán thieân ôû X caøng cao vaø côõ maãu caøng lôùn thì caøng toát bôûi vì ñieàu ñoù cho chöùng toû ñoä chính cuûa caùc thoâng soá ñöôïc öôùc löôïng.

Caùc bieåu thöùc treân laø phöông sai cuûa toång theå vaø laø aån soá bôûi vì σ2 laø aån soá. Tuy nhieân, caùc thoâng soá naøy coù theå ñöôïc öôùc löôïng bôûi vì σ2 coù theå ñöôïc öôùc löôïng döïa treân maãu. Löu yù raèng tt XY βα ˆˆˆ += laø ñöôøng thaúng öôùc löôïng.

Do ñoù, ttt XYu βα ˆˆˆˆ −−= laø moät öôùc löôïng cuûa ut, vaø laø phaàn dö öôùc löôïng. Moät öôùc löôïng deã thaáy cuûa σ2 laø nut /ˆ 2∑ nhöng öôùc löôïng naøy ngaãu nhieân bò

thieân leäch. Moät öôùc löôïng khaùc cuûa σ2 ñöôïc cho sau ñaây (xem chöùng minh ôû Phaàn 3.A.7)

2ˆ

ˆ2

22

−== ∑

nu

s tσ (3.21)

Lyù do chia töû soá cho n – 2 thì töông töï nhö tröôøng hôïp chia chi-square cho

n – 1, ñaõ ñöôïc thaûo luaän trong Phaàn 2.7. n – 1 ñöôïc aùp duïng do ( )∑ − xxi coù

ñieàu kieän laø baèng 0. Ñeå aùp duïng chia cho n – 2, caàn coù hai ñieàu kieän bôûi Phöông trình (3.4) vaø (3.5). Caên baäc hai cuûa phöông sai öôùc löôïng ñöôïc goïi laø sai soá chuaån cuûa phaàn dö hay sai soá chuaån cuûa hoài quy. Söû duïng öôùc löôïng naøy, ta tính ñöôïc caùc öôùc löôïng cuûa phöông sai vaø ñoàng phöông sai cuûa α vaø β . Caên baäc hai cuûa phöông sai ñöôïc goïi laø sai soá chuaån cuûa heä soá hoài quy vaø kyù hieäu αs vaø

βs . Phöông sai öôùc löôïng vaø ñoàng phöông sai cuûa heä soá hoài

quy öôùc löôïng baèng

xxSs

22ˆ

σβ= (3.22)

22

2ˆ σα

xx

t

nSX

s ∑= (3.23)

2σβαˆˆˆ

xxSXs −= (3.24)





Toùm laïi: Tröôùc tieân, caàn tính heä soá hoài quy öôùc löôïng α vaø β baèng caùch aùp duïng Phöông trình (3.9) vaø (3.10). Keát quaû cho cho moái quan heä öôùc löôïng giöõa Y vaø X. sau ñoù tính giaù trò döï baùo cuûa Yt theo tt XY βα ˆˆˆ += . Töø ñoù, ta coù

theå tính ñöôïc phaàn dö tu theo tt YY ˆ− . Sau ñoù tính toaùn öôùc löôïng cuûa phöông sai cuûa ut döïa theo Phöông trình (3.21). Thay keát quaû vaøo Phöông trình (3.18), (3.19) vaø (3.20), ta ñöôïc giaù trò phöông sai vaø ñoàng phöông sai cuûa α vaø β .

Caàn löu yù raèng ñeå coâng thöùc tính phöông sai cuûa phaàn dö s2 ñöôïc cho trong Phöông trình 3.21 coù yù nghóa, caàn coù ñieàu kieän n > 2. Khoâng coù giaû thuyeát naøy, phöông sai ñöôïc öôùc löôïng coù theå khoâng xaùc ñònh ñöôïc hoaëc aâm. Ñieàu kieän toång quaùt hôn ñöôïc phaùt bieåu trong Giaû thuyeát 3.7, vaø baét buoäc phaûi tuaân theo.

GIAÛ THIEÁT 3.7 (n > 2) Soá löôïng quan saùt (n) phaûi lôùn hôn soá löôïng caùc heä soá hoài quy ñöôïc öôùc löôïng (k). Trong tröôøng hôïp hoài quy tuyeán tính ñôn bieán, thì ñieàu kieän n > 2 khoâng coù.

Ví duï 3.2 Sau ñaây laø sai soá chuaån trong ví duï veà giaù nhaø, Sai soá chuaån cuûa phaàn dö = s = σ = 39,023 Sai soá chuaån cuûa 285,37ˆ ˆ == αα s

Sai soá chuaån cuûa 01873,0ˆˆ ==β

β s

Ñoàng phöông sai giöõa α vaø 671,0ˆˆˆ −== βαβ s

Thöïc haønh maùy tính Phaàn 3.1 cuûa Phuï chöông D seõ cho keát quaû töông töï. Maëc duø coù caùc ñaïi löôïng ño löôøng soá hoïc veà ñoä chính xaùc cuûa caùc öôùc

löôïng, töï thaân caùc ño löôøng naøy khoâng söû duïng ñöôïc bôûi vì caùc ño löôøng naøy coù theå lôùn hoaëc nhoû moät caùch tuøy tieän baèng caùch ñôn giaûn laø thay ñoåi ñôn vò ño löôøng (xem theâm ôû Phaàn 3.6). Caùc ño löôøng naøy ñöôïc söû duïng chuû yeáu trong vieäc kieåm ñònh giaû thuyeát, ñeà taøi naøy seõ ñöôïc thaûo luaän chi tieát ôû Phaàn 3.5.

Ñoä Thích Hôïp Toång Quaùt

Hình 3.1 cho thaáy roõ raèng khoâng coù ñöôøng thaúng naøo hoaøn toaøn “thích hôïp” vôùi caùc döõ lieäu bôûi vì coù nhieàu giaù trò döï baùo bôûi ñöôøng thaúng caùch xa vôùi giaù trò thöïc teá. Ñeå coù theå ñaùnh giaù moät moái quan heä tuyeán tính moâ taû nhöõng giaù trò quan saùt coù toát hôn moät moái quan heä tuyeán tính khaùc hay khoâng, caàn phaûi coù





moät ño löôøng toaùn hoïc ñoä thích hôïp. Phaàn naøy seõ phaùt trieån caùc thoâng soá ño löôøng ñoù.

Khi thöïc hieän döï baùo veà moät bieán phuï thuoäc Y, neáu ta chæ coù nhöõng thoâng tin veà caùc giaù trò quan saùt cuûa Y coù ñöôïc töø moät soá phaân phoái xaùc suaát, thì coù leõ caùch toát nhaát coù theå laø laø öôùc löôïng giaù trò trung bình Y vaø phöông sai söû duïng ( )[ ] ( )1ˆ 22 −−= ∑ nYYtYσ . Neáu caàn döï baùo, moät caùch ñôn giaûn, ta coù theå

söû duïng giaù trò trung bình bôûi vì khoâng coøn thoâng tin naøo khaùc. Sai soá khi döï baùo quan saùt thöù t baèng YYt − . Bình phöông giaù trò naøy vaø tính toång bình phöông cho taát caû maãu, ta tính ñöôïc toång phöông sai cuûa Yt so vôùi Y laø

( )2∑ −YY . Ñaây laø toång bình phöông toaøn phaàn (TSS). Ñoä leäch chuaån cuûa

maãu cuûa Y ño löôøng ñoä phaân taùn cuûa Yt xung quanh giaù trò trung bình cuûa Y, noùi caùch khaùc laø ñoä phaân taùn cuûa sai soá khi söû duïng Y laøm bieán döï baùo, vaø ñöôïc cho nhö sau ( )1ˆ −= nTSSYσ

Giaû söû ta cho raèng Y coù lieân quan ñeán moät bieán X khaùc theo Phöông trình (3.1). Ta coù theå hy voïng raèng bieát tröôùc giaù trò X seõ giuùp döï baùo Y toát hôn laø chæ duøng Y . Cuï theå hôn laø, neáu ta coù caùc öôùc löôïng α vaø β vaø bieát ñöôïc giaù trò cuûa X laø Xt, nhö vaäy öôùc löôïng cuûa Yt seõ laø tt XY βα ˆˆˆ += . Sai soá cuûa öôùc

löôïng naøy laø ttt YYu ˆˆ −= . Bình phöông giaù trò sai soá naøy vaø tính toång caùc sai soá cho toaøn boä maãu, ta coù ñöôïc toång bình phöông sai soá (ESS), hay toång caùc bình phöông phaàn dö, laø ESS = ∑ 2ˆtu . Sai soá chuaån cuûa caùc phaàn dö laø

)2(ˆ −= nESSσ . Giaù trò naøy ño löôøng ñoä phaân taùn cuûa sai soá khi söû duïng tY laøm bieán döï baùo vaø thöôøng ñöôïc so saùnh vôùi Yσ ñöôïc cho ôû treân ñeå xem xeùt möùc ñoä giaûm xuoáng laø bao nhieâu. Bôûi vì ESS caøng nhoû caøng toát, vaø möùc ñoä giaûm xuoáng caøng nhieàu. Trong ví duï ñöa ra, 498,88ˆ =Yσ vaø 023,39ˆ =σ ø, giaûm hôn phaân nöûa so vôùi giaù trò ban ñaàu.

Phöông phaùp naøy khoâng hoaøn toaøn toát laém, tuy nhieân bôûi vì caùc sai soá chuaån raát nhaïy caûm ñoái vôùi ñôn vò ño löôøng Y neân raát caàn coù moät thoâng soá ño löôøng khaùc khoâng nhaïy caûm vôùi ñôn vò ño löôøng. Vaán ñeà naøy seõ ñöôïc ñeà caäp sau ñaây.

HÌNH 3.5 Caùc Thaønh Phaàn cuûa Y





Y

X0

( )tt YX ,

tu

XY βα ˆˆˆ +=

YYt −ˆ

Y

X

tY

tX

YYt −

Thoâng soá ño löôøng toång bieán thieân cuûa tY so vôùi Y (laø giaù trò trung bình

cuûa tY ) cho toaøn maãu laø ( )2ˆ∑ −YYt . Ñöôïc goïi laø toång bình phöông hoài quy (RSS). Phaàn 3.A.8 cho thaáy

( ) ( ) ∑∑∑ +−=− 222 ˆˆttt uYYYY (3.25)

Do vaäy, TSS = RSS + ESS. Löu yù raèng ttt uYYYY ˆ)ˆ()( +−=− . Hình 3.5

minh hoïa caùc thaønh phaàn treân. Phöông trình (3.25) phaùt bieåu raèng caùc thaønh phaàn cuõng ñöôïc bình phöông. Neáu moái quan heä giöõa X vaø Y laø “chaët cheõ”, caùc ñieåm phaân taùn (Xt, Yt) seõ naèm gaàn ñöôøng thaúng Xβα ˆˆ + . noùi caùch khaùc ESS seõ caøng nhoû vaø RSS caøng lôùn. Tyû soá

TSSESS

TSSRSS

−= 1

ñöôïc goïi laø heä soá xaùc ñònh ña bieán vaø kyù hieäu laø R2. Thuaät ngöõ ña bieán khoâng aùp duïng trong hoài quy ñôn bieán bôûi vì chæ coù duy nhaát moät bieán phuï ñoäc laäp X. Tuy nhieân, do bieåu thöùc R2 trong hoài quy ñôn bieán cuõng gioáng nhö trong hoài quy ña bieán neân ôû ñaây chuùng ta duøng cuøng thuaät ngöõ

( ) TSSRSS

TSSESS

YYu

Rt

t =−=−

−=∑∑ 1

ˆ1

22 10 2 ≤≤ R (3.26)

Roõ raøng raèng, R2 naèm giöõa khoaûng töø 0 ñeán 1. R2 khoâng coù thöù nguyeân vì

caû töû soá vaø maãu soá ñeàu coù cuøng ñôn vò. Ñieåm quan saùt caøng gaàn ñöôøng thaúng öôùc löôïng, “ñoä thích hôïp” caøng cao, nghóa laø ESS caøng nhoû vaø R2 caøng lôùn. Do vaäy, R2 laø thoâng soá ño löôøng ñoä thích hôïp, R2 caøng cao caøng toát. ESS coøn





ñöôïc goïi laø bieán thieân khoâng giaûi thích ñöôïc bôûi vì tu laø aûnh höôûng cuûa nhöõng bieán khaùc ngoaøi Xt vaø khoâng coù trong moâ hình. RSS laø bieán thieân giaûi thích ñöôïc. Nhö vaäy, TSS, laø toång bieán thieân cuûa Y, coù theå phaân thaønh hai thaønh phaàn: (1) RSS, laø phaàn giaûi thích ñöôïc theo X; vaø (2) ESS, laø phaàn khoâng giaûi thích ñöôïc. Giaù trò R2 nhoû nghóa laø coù nhieàu söï bieán thieân ôû Y khoâng theå giaûi thích ñöôïc baèng X. Ta caàn phaûi theâm vaøo nhöõng bieán khaùc coù aûnh höôûng ñeán Y.

Ngoaøi yù nghóa laø moät tyû leä cuûa toång bieán thieân cuûa Y ñöôïc giaûi thích qua moâ hình, R2 coøn coù moät yù nghóa khaùc. Ñoù laø thoâng soá ño löôøng moái töông quan giöõa giaù trò quan saùt Yt vaø giaù trò döï baùo )(ˆ

ttYYt rY . Caàn xem laïi phaàn trình baøy

veà heä soá töông quan cuûa maãu vaø cuûa toång theå ôû Phaàn 2.3 vaø 3.5. Phaàn 3.A.9 trình baøy

2

22

ˆ )ˆ()()ˆ(

RTSSRSS

YVarYVarYYCov

rtt

ttYY === (3.26a)

Nhö vaäy, bình phöông heä soá töông quan ñôn bieán giöõa giaù trò quan saùt Yt vaø

giaù trò döï baùo tY baèng phöông trình hoài quy thì seõ cho ra keát quaû baèng vôùi giaù trò R2 ñöôïc ñònh nghóa trong Phöông trình (3.26a). Keát quaû naøy vaãn ñuùng trong tröôøng hôïp coù nhieàu bieán giaûi thích, mieãn laø trong hoài quy coù moät soá haïng haèng soá.

Coù moät thaéc maéc phoå bieán veà ñoä thích hôïp toång theå, ñoù laø “baèng caùch naøo ñeå xaùc ñònh raèng R2 laø cao hay thaáp?”. Khoâng coù moät quy ñònh chuaån hay nhanh choùng ñeå keát luaän veà R2 nhö theá naøo laø cao hay thaáp. Vôùi chuoãi döõ lieäu theo thôøi gian, keát quaû R2 thöôøng lôùn bôûi vì coù nhieàu bieán theo thôøi gian chòu aûnh höôûng xu höôùng vaø töông quan vôùi nhau raát nhieàu. Do ñoù, giaù trò quan saùt R2 thöôøng lôùn hôn 0.9. R2 beù hôn 0.6 vaø 0.7 ñöôïc xem laø thaáp. Tuy nhieân, ñoái vôùi döõ lieäu cheùo, ñaïi dieän cho daïng cuûa moät yeáu toá thay ñoåi vaøo moät thôøi ñieåm naøo ñoù, thì R2 thöôøng thaáp. Trong nhieàu tröôøng hôïp, R2 baèng 0.6 hoaëc 0.7 thì chöa haún laø xaáu. Ñaây ñôn giaûn chæ laø thoâng soá ño löôøng veà tính ñaày ñuû cuûa moâ hình. Ñieàu quan troïng hôn laø neân ñaùnh giaù moâ hình xem daáu cuûa heä soá hoài quy coù phuø hôïp vôùi caùc lyù thuyeát kinh teá, tröïc giaùc vaø kinh nghieäm cuûa ngöôøi nghieân cöùu hay khoâng.

Ví duï 3.3 Trong baøi taäp veà giaù nhaø, TSS, ESS vaø R2 coù caùc giaù trò sau (xem laïi keát quaû ôû Phaàn thöïc haønh maùy tính 3.1):





TSS = 101.815 ESS = 18.274 R2 = 0,82052

Nhö vaäy, 82,1% ñoä bieán thieân cuûa giaù nhaø trong maãu ñöôïc giaûi thích bôûi dieän tích söû duïng töông öùng. Trong chöông 4, seõ thaáy raèng theâm vaøo caùc bieán giaûi thích khaùc, nhö soá löôïng phoøng nguû vaø phoøng taém seõ caûi thieän ñoä thích hôïp cuûa moâ hình.

3.5 Kieåm Ñònh Giaû Thuyeát Thoáng Keâ

Nhö ñaõ ñeà luùc ñaàu, kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ laø moät trong nhöõng nhieäm vuï chính cuûa nhaø kinh teá löôïng. Trong moâ hình hoài quy (3.1), neáu β baèng 0, giaù trò döï baùo cuûa Y seõ ñoäc laäp vôùi X, nghóa laø X khoâng coù aûnh höôûng ñoái vôùi Y. Do ñoù, caàn coù giaû thuyeát β = 0, vaø ta kyø voïng raèng giaû thuyeát naøy seõ bò baùc boû. Heä soá töông quan (ρ) giöõa hai bieán X vaø Y ño löôøng ñoä töông öùng giöõa hai bieán. Öôùc löôïng maãu cuûa ρ ñöôïc cho trong Phöông trình (2.11). Neáu ρ = 0, caùc bieán khoâng coù töông quan nhau. Do ñoù cuõng caàn kieåm ñònh giaû thuyeát ρ = 0. Phaàn naøy chæ thaûo luaän phöông phaùp kieåm ñònh giaû thuyeát ñoái vôùi α vaø β. Kieåm ñònh giaû thuyeát ñoái vôùi p seõ ñöôïc trình baøy ôû phaàn sau. Caàn löu yù raèng, tröôùc khi tieáp tuïc phaàn tieáp theo, baïn neân xem laïi Phaàn 2.8 veà kieåm ñònh giaû thuyeát vaø Phaàn 2.7 veà caùc loaïi phaân phoái.

Kieåm ñònh giaû thuyeát bao goàm ba böôùc cô baûn sau: (1) thieát laäp hai giaû thuyeát traùi ngöôïc nhau (Giaû thuyeát khoâng vaø Giaû thuyeát ngöôïc laïi), (2) ñöa ra kieåm ñònh thoáng keâ vaø phaân phoái xaùc suaát cho giaû thuyeát khoâng, vaø (3) ñöa ra quy luaät ra quyeát ñònh ñeå baùc boû hay chaáp nhaän giaû thuyeát khoâng. Trong ví duï veà giaù nhaø, Giaû thuyeát khoâng laø Ho : β = 0. Bôûi vì chuùng ta kyø voïng raèng β seõ döông, Giaû thuyeát ngöôïc laïi laø H1: β ≠0. Ñeå thöïc hieän kieåm ñònh naøy, β vaø sai soá chuaån öôùc löôïng s ñöôïc söû duïng ñeå ñöa ra thoáng keâ kieåm ñònh. Ñeå ñöa ra phaân phoái maãu cho α vaø β, maø ñieàu naøy aûnh höôûng giaùn tieáp ñeán caùc soá haïng sai soá ngaãu nhieân u1, u2, …un (xem Phöông trình 3.15), caàn boå sung moät giaû thuyeát veà phaân phoái cuûa ut. GIAÛ THIEÁT 3.8 (Tính Chuaån Taéc cuûa Sai Soá) Moïi giaù trò sai soá ut tuaân theo phaân phoái chuaån N(0, σ2) , nghóa laø maät ñoä coù ñieàu kieän cuûa Y theo X tuaân theo phaân phoái N(α + βX, σ2).

Nhö vaäy, caùc soá haïng sai soá u1, u2, …un ñöôïc giaû ñònh laø ñoäc laäp vaø coù phaân

phoái chuaån gioáng nhau vôùi giaù trò trung bình baèng khoâng vaø phöông sai baèng σ2. Giaû thieát 3.8 laø giaû thieát caên baûn trong kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ. Baûng 3.2 seõ trình baøy toùm taét taát caû caùc giaû thieát ñaõ ñöôïc ñöa ra. Nhöõng soá haïng sai soá thoûa caùc Giaû thieát töø 3.2 ñeán 3.8 thì ñöôïc xem laø sai soá ngaãu nhieân hay sai soá do nhieãu traéng.





BAÛNG 3.2 Caùc Giaû Thieát cuûa Moâ Hình Hoài Quy Tuyeán Tính Ñôn Bieán 3.1 Moâ hình hoài quy laø ñöôøng thaúng vôùi aån soá laø caùc heä soá α vaø β; ñoù laø

Yt = α + βXt + ut, vôùi t = 1, 2, 3…, n. 3.2 Taát caû caùc giaù trò quan saùt X khoâng ñöôïc gioáng nhau; phaûi coù ít nhaát moät

giaù trò khaùc bieät. 3.3 Sai soá ut laø bieán ngaãu nhieân vôùi trung bình baèng khoâng; nghóa laø, E(ut) =

0. 3.4 Xt ñöôïc cho vaø khoâng ngaãu nhieân, ñieàu naøy ngaàm ñònh raèng khoâng töông

quan vôùi ut; nghóa laø Cov (Xt, ut) = E(Xtut) – E(Xt)E(ut)= 0. 3.5 ut coù phöông sai khoâng ñoåi vôùi moïi t; nghóa laø Var(ut) = ( ) 22 σ=tuE 3.6 ut vaø us coù phaân phoái ñoäc laäp ñoái vôùi moïi t ≠ s, sao cho Cov(ut, us) = E(ut

us). 3.7 Soá löôïng quan saùt (n) phaûi lôùn hôn soá löôïng heä soá hoài quy ñöôïc öôùc löôïng

(ôû ñaây n > 2). 3.8 ut tuaân theo phaân phoái chuaån ut ~ N(0, σ2), nghóa laø öùng vôùi giaù trò Xt cho

tröôùc, Yt ~ N(α + βXt, σ2). Xaùc Ñònh Trò Thoáng Keâ Kieåm Ñònh Phaàn naøy chöùng minh raèng kieåm ñònh thoáng keâ ( )

βββ ˆ0ˆ stc −= tuaân theo

phaân phoái Student t, theo giaû thuyeát khoâng, vôùi baäc töï do laø n – 2 (bôûi vì ta ñang öôùc löôïng hai tham soá α vaø β). Löu yù raèng Giaû thuyeát 3.7 raát caàn ñeå chaéc chaén raèng baäc töï do laø döông.

CHÖÙNG MINH (Ñoäc giaû khoâng quan taâm ñeán nguoàn goác vaán ñeà, coù theå

boû qua phaàn naøy). Tröôùc heát caàn xem xeùt caùc tính chaát sau

TÍNH CHAÁT 3.6

a. α vaø β coù phaân phoái chuaån. b. ( ) [ ] 2222 ˆ)2(ˆ σσσ −=∑ nut coù phaân phoái chi-bình phöông vôùi baäc töï do

n–2. c. α vaø β ñöôïc phaân phoái ñoäc laäp vôùi 2σ .

Tính chaát 3.6a xuaát phaùt töø thöïc teá laø α vaø β laø nhöõng toå hôïp tuyeát tính

cuûa ut vaø ut coù phaân phoái chuaån. Ñeå chöùng minh tính chaát b vaø c, neân tham





khaûo taøi lieäu Hogg vaø Graig (1978, trang 296-298). Taän duïng caùc keát qua ñoù ta ñöôïc

),,(~ˆ 2

ασαα N ),,(~ˆ 2β

σββ N 22

2

~ˆ2 −

∑n

t Xu

σ

trong ñoù 2

ασ vaø 2β

σ laø phöông sai cuûa α vaø β theo Phöông trình (3.18) vaø

(3.19). Baèng caùch chuaån hoùa phaân phoái cuûa thoâng soá öôùc löôïng – nghóa laø tröø cho trung bình vaø chia cho ñoä leäch chuaån) – ta ñöôïc ( ) ),1,0(~

ˆˆ

ˆ

Nασαα − ( ) ),1,0(~

ˆ

ˆ

ˆ

Nβ

σββ − ( ) 2

2

2

~ˆ2

2 −−

nXnσ

σ

Trong phaàn 2.7, phaân phoái t ñöôïc ñònh nghóa laø tyû soá cuûa soá chuaån chuaån

hoùa treân caên baäc hai cuûa moät chi-square ñoäc laäp vôùi noù. Thay vaøo cho β vaø aùp duïng phöông trình (3.18), (3.19) vaø (3.22), ta ñöôïc

( ) ( ) ( )

2ˆˆ

21

2

2

ˆ

~ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆ−

−=

−=

÷

−= nt

st

βββ

ββσσ

ββσσσ

σββ

trong ñoù

σ

σσσσσσ β

β

ˆˆ

ˆˆˆ===

xxxx SSs

βs laø sai soá chuaån öôùc löôïng cuûa β theo Phöông trình (3.22).

t ñöôïc trình baøy ôû treân laø trò thoáng keâ kieåm ñònh döïa treân quy luaät ra quyeát ñònh ñöôïc thieát laäp sau naøy. Kieåm ñònh naøy ñöôïc goïi laø kieåm ñònh t. Caùc böôùc kieåm ñònh thoáng keâ phaân ra trong hai tröôøng hôïp kieåm ñònh moät phía vaø kieåm ñònh hai phía ñöôïc trình baøy sau ñaây.

Quy Taéc Ra Quyeát Ñònh Kieåm ñònh t-test moät phía

BÖÔÙC 1 H0: β = β0 H1: β ≠β0 BÖÔÙC 2 Kieåm ñònh thoáng keâ laø ( )

βββ ˆ0ˆ stc −= , ñöôïc tính döïa treân maãu.

Theo giaû thuyeát khoâng, kieåm ñònh thoáng keâ coù phaân phoái t vôùi





baäc töï do laø n – 2. Neáu tc tính ñöôïc laø “lôùn”, ta coù theå nghi ngôø raèng β seõ khoâng baèng β0. Ñieàu naøy daãn ñeán böôùc tieáp theo.

BÖÔÙC 3 Trong baûng tra phaân phoái t ôû trang bìa tröôùc cuûa saùch, tra baäc töï do laø n – 2. Vaø choïn möùc yù nghóa (α) vaø xaùc ñònh ñieåm t*n–2(α) sao cho P(t > t*) = α.

BÖÔÙC 4 Baùc boû H0 neáu tc > t*. Neáu giaû thuyeát ngöôïc laïi β < β0 , tieâu chuaån kieåm ñònh ñeå baùc boû H0 laø neáu tc < –t*.

Kieåm ñònh treân ñöôïc minh hoïa baèng hình aûnh qua Hình 3.6 (kyù hieäu α

ñöôïc söû duïng ñeå chæ möùc yù nghóa ñeå traùnh nhaàm laãn vôùi α chæ tung ñoä). Neáu tc rôi vaøo dieän tích in ñaäm trong hình veõ (ñöôïc goïi laø vuøng tôùi haïn) nghóa laø tc >t*. Trong tröôøng hôïp ñoù, giaû thuyeát khoâng seõ bò baùc boû vaø keát luaän ñöôïc raèng β lôùn hôn β0 raát nhieàu.

HÌNH 3.6 Kieåm Ñònh Moät Phía vôùi H0: β = β0 H1: β ≠β0

Chaáp nhaän Ho Baùc boû Ho

Dieän tích a

0

f(tn-2)

tn-2 t*n-2(a)

Ví duï 3.4

Trong ví duï veà giaù nhaø, ta coù β0 = 0. Do ñoù, ββ ˆˆ stc = , laø kieåm ñònh thoáng keâ

ñôn giaûn vaø laø tyû soá giöõa heä soá hoài quy öôùc löôïng treân sai soá chuaån. Tyû soá ñöôïc goïi laø trò thoáng keâ t. Caùc öôùc löôïng laø 13875,0ˆ =β , vaø theo ví duï 3.2 ta bieát 01873,0ˆ =β

s . Do ñoù, trò thoáng keâ t ñöôïc tính seõ laø tc = 0,13875/0,01873

= 7.41. Baäc töï do baèng n – 2 = 14 – 2 = 12. Cho möùc yù nghóa laø 1%, nghóa laø α = 1%. Tra baûng phaân phoái t, ta ñöôïc t*n–2=2,681 . Do tc > t*, giaû thuyeát H0 bò baùc boû vaø keát luaän ñöôïc raèng β lôùn hôn zero moät caùch ñaùng keå vôùi möùc yù nghóa 1%. Löu yù raèng heä soá naøy vaãn coù yù nghóa trong tröôøng hôïp möùc yù nghóa chæ laø 0,05% bôûi vì t*12(0,0005) = 4,318.

Trò thoáng keâ t ñoái vôùi α ñöôïc cho bôûi tc = 52,351/37,285 = 1.404 nhoû hôn t*12(0,0005) = 1.782. Do ñoù khoâng theå baùc boû H0 nhöng thay vaøo ñoù coù theå coù theå keát luaän raèng α khoâng lôùn hôn zero xeùt veà maët thoáng keâ vôùi möùc yù nghóa 5%. Caùc ñieåm α khoâng nghóa ôû hai ñieåm sau. Thöù nhaát, X = 0 thì hoaøn





toaøn naêm ngoaøi khoaûng maãu vaø do ñoù öôùc löôïng Y khi X = 0 khoâng ñaùng tin

caäy (xem theâm Phaàn 3.9). Thöù nhì, töø Hình 3.1 coù theå thaáy raèng ñaëc ñieåm hai bieán laø khoâng ñaày ñuû ñeå giaûi thích ñoä bieán thieân giaù cuûa caùc giaù trò quan saùt. Trong chöông 4 seõ cho thaáy α bao haøm caû aûnh höôûng trung bình cuûa bieán bò boû soùt vaø tính phi tuyeán, khi X baèng 0. Caùc aûnh höôûng treân seõ laøm cho α khoâng coù yù nghóa.

Moät Soá Löu YÙùù khi Söû Duïng Kieåm Ñònh t-Test

Maëc duø kieåm ñònh t-test raát höõu ích trong vieäc xaùc ñònh yù nghóa thoáng keâ cuûa caùc heä soá, tuy nhieân raát deã nhaàm laãn giöõa caùc yù nghóa cuûa kieåm ñònh. Ví duï, ôû Ví duï 3.4 kieåm ñònh t-test ñoái vôùi α khoâng theå baùc boû giaû thuyeát khoâng laø α = 0. Nhö vaäy coù phaûi kieåm ñònh naøy “chöùng minh” raèng α = 0 hay khoâng? Caâu traû lôøi laø khoâng. Coù theå chaéc chaén raèng, theo taäp döõ lieäu vaø moâ hình ñöôïc moâ taû, khoâng coù baèng chöùng naøo cho thaáy α > 0. Trong chöông 4, seõ ñeà caäp kieåm ñònh t-test cho nhieàu heä soá hoài quy. Neáu moät trong nhöõng heä soá naøy khoâng coù yù nghóa (nghóa laø, khoâng theå baùc boû giaû thuyeát raèng heä soá baèng 0), ñieàu ñoù khoâng coù nghóa laø bieán töông öùng khoâng coù aûnh höôûng gì ñeán bieán phuï thuoäc hoaëc bieán ñoù khoâng quan troïng. Vaán ñeà naøy seõ ñöôïc thaûo luaän ñaày ñuû trong chöông sau. Trong chöông 5 seõ thaáy raèng khi moâ hình thay ñoåi, möùc yù nghóa cuûa heä soá cuõng thay ñoåi. Do ñoù, caàn thöïc hieän kyõ caùc kieåm ñònh giaû thuyeát ñöa ra vaø khoâng neân voäi vaõ keát luaän maø khoâng xeùt ñeán moâ hình vaø nhöõng phaân tích theâm veà caùc kieåm ñònh chuaån ñoaùn caàn thieát ñeå ñöa ra moät keát luaän yù nghóa (oån ñònh theo ñaëc ñieåm moâ hình).

Phöông Phaùp p-value trong Kieåm Ñònh Giaû thuyeát

Kieåm ñònh t-test coù theå ñöôïc thöïc hieän theo moät phöông phaùp khaùc töông ñöông. Tröôùc tieân tính xaùc suaát ñeå bieán ngaãu nhieân t lôùn hôn trò quan saùt tc, nghóa laø

p-value = P(t>tc ) = P(sai laàm loaïi I)

Xaùc suaát naøy (ñöôïc goïi laø p-value) laø phaàn dieän tích beân phaûi tc trong phaân phoái t (xem Hình 3.7) vaø laø xaùc suaát sai laàm loaïi I – nghóa laø xaùc suaát loaïi boû giaû thuyeát H0. Xaùc suaát naøy caøng cao cho thaáy haäu quaû cuûa vieäc loaïi boû sai laàm giaû thuyeát ñuùng H0 caøng nghieâm troïng. p-value beù nghóa laø haäu quaû cuûa





vieäc loaïi boû giaû thuyeát ñuùng H0 laø khoâng nghieâm troïng (nghóa laø, xaùc suaát xaûy ra sai laàm loaïi I laø thaáp) vaø do ñoù coù theå yeân taâm khi baùc boû H0. Nhö vaäy, quy luaät ra quyeát ñònh laø khoâng baùc boû H0 neáu p -value quaù lôùn, ví duï: lôùn hôn 0,1, 0,2, 0,3. Noùi caùch khaùc, neáu p-value lôùn hôn möùc yù nghóa α, coù theå keát luaän raèng heä soá hoài quy khoâng lôùn hôn β0 ôû möùc yù nghóa α. Neáu p-value nhoû hôn α, giaû thuyeát H0 bò baùc boû vaø keát luaän ñöôïïc raèng β lôùn hôn β0 moät caùch ñaùng keå.

Ñeå thaáy ñöôïc söï töông ñöông cuûa hai phöông phaùp, löu yù raèng treân Hình 3.7 neáu xaùc suaát P(t>tc ) beù hôn möùc yù nghóa α, thì ñieåm töông öùng laø tc phaûi naèm beân phaûi ñieåm t*n-2(α). Nghóa laø tc rôi vaøo mieàn baùc boû. Töông töï, neáu xaùc suaát P(t>tc ) lôùn hôn möùc yù nghóa α, thì ñieåm töông öùng laø tc phaûi naèm beân traùi ñieåm t*n-2(α) vaø do ñoù rôi vaøo mieàn chaáp nhaän. Sau ñaây laø caùc böôùc boå sung trong phöông phaùp p-value nhö sau:

HÌNH 3.7 Kieåm Ñònh Giaû thuyeát theo Phöông Phaùp p-value

Baùc boû Ho neáu p- value< a

0

f(tn-2)

tn-2 t* tc

BÖÔÙC 3a Tính xaùc suaát (kyù hieäu p-value) ñeå t lôùn hôn tc , nghóa laø tính

phaàn dieän tích beân phaûi giaù trò tc. BÖÔÙC 4a Baùc boû H0 vaø keát luaän raèng heä soá coù yù nghóa neáu p-value beù hôn

möùc yù nghóa ñöôïc choïn. Toùm laïi, β ñöôïc xem laø lôùn hôn β0 moät caùch ñaùng keå neáu trò thoáng keâ t lôùn

hay p-value laø beù, möùc ñoä nhö theá naøo laø lôùn vaø beù seõ ñöôïc quyeát ñònh bôûi ngöôøi nghieân cöùu. Phöông phaùp phoå bieán trong kieåm ñònh giaû thuyeát laø xaùc ñònh giaù trò moác t*. Tuy nhieân theo höông phaùp tính p-value, laïi caàn tính toaùn phaàn dieän tích moät ñaàu öùng vôùi giaù trò tc cho tröôùc. Ngaøy caøng coù nhieàu phaàn meàm maùy tính tính toaùn saün p-value (chöông trình SHAZAM vaø ESL ñöôïc giôùi thieäu trong saùch naøy) vaø do ñoù phöông phaùp naøy deã öùng duïng deã daøng. Tuy nhieân, caàn caån thaän kieåm tra laïi giaù trò p-value laø duøng cho kieåm moät phía hay kieåm ñònh hai phía.





Ví duï 3.4a Ñeå aùp duïng phöông phaùp p-value cho ví duï veà giaù nhaø, ta tính xaùc suaát ñeå t lôùn hôn giaù trò quan saùt β = 7.41. Söû duïng ESL ñeå tính toaùn ta ñöôïc p < 0,0001 (tham khaûo phaàn keát quaû trong phaàn Thöïc haønh maùy tính 3.1). Ñieàu ñoù coù nghóa laø, neáu ta baùc boû giaû thuyeát khoâng, thì cô hoäi ñeå xaûy ra sai laàm loaïi I beù hôn 0,01%, vaø do ñoù hoaøn toaøn yeân taâm khi baùc boû Ho vaø keát luaän ñöôïc raèng β lôùn hôn 0. Ñoái vôùi tham soá α, p-value baèng 0,093, nghóa laø P(t>1,404) = 0,093. Neáu H0: α = 0 bò baùc boû, xaùc suaát ñeå xaûy ra sai laàm loaïi I laø 9,3%, lôùn hôn 5%. Do ñoù, khoâng theå baùc boû H0 ôû möùc yù nghóa 5%, nghóa laø ta coù cuøng keát luaän nhö trong phöông phaùp ñaàu, ñoù laø ôû möùc yù nghóa 5%, α khoâng lôùn hôn zero xeùt veà maët thoáng keâ. Nhö vaäy phöông phaùp p-value coù moät öu ñieåm laø, ta bieát ñöôïc chính xaùc möùc ñoä maø heä soá coù yù nghóa vaø coù theå ñaùnh giaù xem möùc yù nghóa naøy ñuû thaáp hay khoâng ñeå xem xeùt baùc boû H0. Cuoái cuøng, khoâng caàn lo laéng ñoái vôùi caùc giaù trò 0,01, 0,05 vaø 0,1.

Kieåm Ñònh t-test Hai Phía Bao goàm caùc böôùc sau: BÖÔÙC 1 H0: β = β0 H1: β ≠β0

BÖÔÙC 2 Kieåm ñònh thoáng keâ laø ( )

βββ ˆ0ˆ stc −= , ñöôïc tính döïa treân maãu.

Theo giaû thuyeát khoâng, kieåm ñònh thoáng keâ coù phaân phoái t laø tn-2.

BÖÔÙC 3 Trong baûng tra phaân phoái t ôû trang bìa tröôùc cuûa saùch, tra baäc töï

do laø n – 2 vaø choïn möùc yù nghóa (α) vaø xaùc ñònh ñieåm t*n–2(α) sao cho P(t>t*) = α/2 (phaân nöûa möùc yù nghóa).

BÖÔÙC 3a AÙp duïng phöông phaùp ρ- value, tính giaù trò p

ρ- value = P(t > tc hoaëc t < –tc ) = 2P(t > |tc |) do phaân phoái t ñoái xöùng.





BÖÔÙC 4 Baùc boû H0 neáu |tc |> t* vaø keát luaän β khaùc vôùi β0 moät caùch ñaùng

keå ôû möùc yù nghóa α. BÖÔÙC 4a Baùc boû H0 neáu p-value < α, ôû möùc yù nghóa naøy.

Kieåm ñònh treân ñöôïc minh hoïa baèng hình aûnh qua Hình 3.8. Baäc töï do

trong tröôøng hôïp naøy baèng n–2. Neáu trò thoáng keâ t (tc ) rôi vaøo vuøng dieän tích ñen, giaû thuyeát khoâng bò baùc boû vaø keát luaän ñöôïc raèng β khaùc vôùi β0. giaù trò t* = 2 ñöôïc söû duïng laø quy luaät ñeå ñaùnh giaù möùc yù nghóa cuûa trò thoáng keâ t ôû möùc 5% (kieåm ñònh hai phía). Bôûi vì t* gaàn baèng 2 vôùi baäc töï do laø 25.

HÌNH 3.8 Kieåm Ñònh Hai Phía vôùi H0: β = β0 H1: β ≠β0

Dieän tích a/2

0

f(tn-2)

tn-2 t*n-2(a/2)

Dieän tích a/2

Chaápnhaän Ho

Baùc boû HoBaùc boû Ho

-t*n-2(a/2)





Ví duï 3.5

Theo caùch tính naøy tc trong ví duï giaù nhaø coù giaù trò nhö caùch tính theo t-test, 41.7ˆ =β vaø 404.1ˆ =α . Tra baûng giaù trò t, ta coù 055.3)005.0(*

12 =t , ñieàu naøy coù nghóa laø dieän tích cuûa caû 2 phía töông öùng vôùi giaù trò 3.055 laø 0.01. Bôûi ñoái vôùi β thì tc>t* do ñoù ta coù theå loaïi giaû thuyeát H0

vaø keát luaän ñöôïc raèng β khaùc vôùi ôû möùc yù nghóa 1%. Ñoái vôùi α thì 179.2)025.0(t*

12 = lôùn hôn giaù trò tc. Do ñoù ta khoâng theå baùc boû giaû thuyeát H0 (löu yù raèng ta ñang duøng kieåm ñònh giaù trò α ôû möùc yù nghóa 5%). Töø böôùc 3a ta coù theå suy ra ñöôïc giaù trò p-value ñoái vôùi )404.1(2ˆ >= tPα = 0.186 (löu yù giaù trò p-value töông öùng vôùi tc trong tröôøng hôïp kieåm ñònh 2 phía seõ gaáp 2 laàn giaù trò cuûa noù trong tröôøng hôïp kieåm ñònh 1 phía). Do sai laàm loaïi I coù giaù trò 18.6% laø khoâng theå chaáp nhaän ñöôïc neân ta khoâng theå baùc boû giaû thuyeát H0: α = 0. Ñieàu naøy coù nghóa laø α khoâng coù yù nghóa veà thoáng keâ trong khi β laïi coù.

BAØI TAÄP 3.4

Trong ví duï giaù nhaø, haõy kieåm ñònh giaû thuyeát H0: β = 0.1 vaø giaû thuyeát H1: β ≠ 0.1 laàn löôït ôû möùc yù nghóa 0.05 vaø 0.01.

BAØI TAÄP 3.5

Chöùng minh raèng neáu moät heä soá coù yù nghóa ôû möùc 1% thì heä soá naøy cuõng seõ coù yù nghóa ôû möùc cao hôn.

BAØI TAÄP 3.6

Haõy chöùng minh raèng neáu moät heä soá khoâng coù yù nghóa ôû möùc 10% thì heä soá naøy cuõng seõ khoâng coù yù nghóa ôû baát kyø möùc yù nghóa naøo thaáp hôn 10%.

Kieåm Ñònh 2σ

Maëc duø thoáng keâ kieåm ñònh möùc yù nghóa phöông sai sai soá 2σ khoâng phoå bieán nhöng vaãn ñöôïc trình baøy ñaày ñuû trong phaàn naøy. Kieåm ñònh 2σ goàm caùc böôùc sau:

BÖÔÙC 1 H0: 2σ = 0

2σ H1: 2σ ≠ 02σ

BÖÔÙC 2 Trò kieåm ñònh laø 0

2

2

ˆˆ

)2(σσ

−= nQc . Sau ñoù tra baûng phaân phoái

Chi-square vôùi baäc töï do n-2. Neáu Q coù giaù trò “lôùn” ta coù theå nghi ngôø raèng 2σ khoâng baèng 0

2σ





BÖÔÙC 3 Trong baûng tra phaân phoái Chi-square ôû trang bìa tröôùc cuûa saùch, tra giaù trò cuûa Q*

n-2(α) sao cho dieän tích beân phaûi baèng α. BÖÔÙC 4 Baùc boû H0 ôû möùc yù nghóa α neáu Qc> Q*

n-2(α).

Nguyeân nhaân toång quaùt laøm cho kieåm ñònh naøy khoâng phoå bieán laø do ngöôøi kieåm ñònh khoâng coù thoâng tin sô caáp ban ñaàu veà giaù trò cuûa 2σ söû duïng trong giaû thuyeát H0. Kieåm Ñònh Ñoä Thích Hôïp

Ta coù theå thöïc hieän kieåm ñònh ñoä thích hôïp. Goïi p laø heä soá töông quan toång theå giöõa X vaø Y ñöôïc ñònh nghóa ôû Phöông trình (2.7). Theo phöông trình (2.11), ta thaáy giaù trò öôùc löôïng p2 ñöôïc xaùc ñònh bôûi )/(22

yyxxxyxy SSSr = trong

ñoù Sxx vaø Sxy ñöôïc ñònh nghóa theo Phöông trình (3.8) vaø (3.9), vaø

( )TSSYY

nY

YS tt

tyy =−=

−= ∑∑ ∑ 2

22 )( (3.27)

ÔÛ Phaàn 3.A.10 ngöôøi ta ñaõ chöùng minh raèng r2xy baèng vôùi R2 (ñieàu naøy chæ

ñuùng trong tröôøng hôïp hoài qui ñôn bieán maø thoâi). ÔÛ Phaàn kieåm ñònh giaû thuyeát 2.8 trình baøy phöông phaùp kieåm ñònh giaû thuyeát cho raèng X vaø Y khoâng coù moái töông quan. Kieåm ñònh naøy goïi laø kieåm ñònh F (F-test). Kieåm ñònh F-test goàm caùc böôùc sau:

BÖÔÙC 1 H0: ρxy = 0 H1: ρxy ≠ 0 BÖÔÙC 2 Trò thoáng keâ kieåm ñònh laø Fc = R2(n – 2)/(1 – R2). Fc cuõng coù

theå ñöôïc tính theo coâng thöùc sau Fc = RSS(n – 2)/ESS. Theo giaû thuyeát H0, trò thoáng keâ naøy tuaân theo phaân phoái F vôùi 1 baäc töï do ôû töû soá vaø n – 2 baäc töï do ôû maãu soá.

BÖÔÙC 3 Tra baûng F theo 1 baäc töï ôû töû soá vaø n – 2 baäc töï do ôû maãu soá tìm

giaù trò F*1, n – 2 (α) sao cho phaàn dieän tích veà phía phaûi cuûa F* laø

α, möùc yù nghóa. BÖÔÙC 4 Baùc boû giaû thuyeát H0 (taïi möùc yù nghóa α) neáu Fc > F*.

Neân löu yù raèng giaû thuyeát H0 ôû treân seõ khoâng hôïp leä khi coù nhieàu giaù trò X.

Nhö seõ ñöôïc trình baøy ôû chöông 4, kieåm ñònh F vaãn ñöôïc söû duïng nhöng H0 seõ khaùc.





Ví duï 3.6 Trong ví duï giaù nhaø, R2 = 0,82052. Fc = 0,82052(14 – 2)/(1 – 0,82052) = 54,86. Theo ví duï 3.5, ESS = 18.274, vaø RSS = TSS – ESS = 83.541. Vì vaäy Fc coøn coù theå ñöôïc tính theo coâng thöùc khaùc nhö ôû böôùc 2: Fc = 83.541 (14 – 2)/18.274 = 54,86. Baäc töï do cuûa töû soá laø 1, cuûa maãu soá laø 12. Vôùi möùc yù nghóa α = 5%, tra baûng A.4b ta ñöôïc F*

1, 12(0.05) = 4,75. Vì Fc > F* chuùng ta baùc boû (taïi möùc yù nghóa 5%) giaû thuyeát H0 cho raèng X vaø Y khoâng töông quan. Thöïc ra, vì Fc > F*

1, 12(0.01) (tra baûng A.4a), giaû thuyeát H0 cuõng bò baùc boû taïi möùc yù nghóa 1%. Nhö vaäy, maëc duø giaù trò R2 khaù nhoû hôn 1, noù cuõng khaùc 0 moät ñaùng keå.

Trình Baøy Caùc Keát Quaû Hoài Quy Caùc keát quaû cuûa phaân tích hoài quy ñöôïc trình baøy theo nhieàu caùch. Theo caùch thoâng thöôøng, ngöôøi ta seõ vieát phöông trình öôùc löôïng keøm vôùi caùc trò thoáng keâ t ôû döôùi moãi heä soá hoài quy nhö sau:

SQFT13875,0351,52GIAÙ +=

(1,404) (7,41)

821.02 =R 12.f.d = 023.39=σ

Moät caùch khaùc laø ñieàn caùc sai soá chuaån döôùi caùc heä soá hoài quy:

SQFT13875,0351,52GIAÙ += (37.29) (0.019)

Neáu nhieàu moâ hình hoài quy ñöôïc öôùc löôïng, vieäc trình baøy keát quaû ôû daïng baûng nhö Baûng 4.2 seõ thuaän tieän hôn.

Vieäc taùch toång caùc bình phöông toaøn phaàn ra thaønh caùc thaønh phaàn thöôøng ñöôïc toùm taét ôû daïng baûng Phaân Tích Phöông Sai (ANOVA) Baûng 3.3.

3.6 Thang Ño vaø Ñôn Vò Ño

Giaû söû chuùng ta ñaõ tính GIAÙ theo ñôn vò ñoàng ñoâla thay vì theo ngaøn ñoàng ñoâla. Coät GIAÙ ôû baûng 3.1 seõ chöùa caùc giaù trò nhö 199.900, 228.000, v.v. Nhöõng öôùc löôïng cuûa heä soá hoài quy, caùc sai soá chuaån cuûa chuùng, R2, v.v. seõ bò aûnh höôûng nhö theá naøo bôûi söï thay ñoåi ñôn vò naøy? Caâu hoûi naøy seõ ñöôïc khaûo saùt ôû ñaây vì GIAÙ vaø SQFT ñöôïc tính ôû caùc ñôn vò khaùc nhau. Ñaàu tieân chuùng ta chaïy laïi moâ hình.





GIAÙ = α + βSQFT + u

Goïi GIAÙ* laø giaù tính theo ñoâ la thöôøng. Nhö vaäy GIAÙ* = 1.000 GIAÙ. Nhaân moïi soá haïng trong phöông trình vôùi 1.000 vaø thay GIAÙ* vaøo veá traùi. Chuùng ta coù

GIAÙ* = 1.000α + 1.000βSQFT + 1.000u = GIAÙ* = α* + β*SQFT + u*

Neáu chuùng ta aùp duïng phöông phaùp OLS cho phöông trình naøy vaø cöïc tieåu hoùa Σ (u*

t)2, chuùng ta seõ tìm ñöôïc caùc giaù trò öôùc löôïng cuûa α* vaø β*. Deã daøng nhaän thaáy raèng caùc heä soá hoài quy môùi seõ baèng caùc heä soá cuõ nhaân vôùi 1,000. Nhö vaäy, thay ñoåi thang ño cuûa chæ bieán phuï thuoäc trong moâ hình hoài quy laøm cho thang ño cuûa moãi heä soá hoài quy thay ñoåi theo töông öùng. Vì u* = 1,000u, caùc phaàn dö vaø sai soá chuaån cuõng seõ ñöôïc nhaân leân 1.000. Toång caùc bình phöông seõ ñöôïc nhaân theâm 1 trieäu (1.000 bình phöông). Caàn löu yù raèng caùc trò thoáng keâ t, F, vaø R2 seõ khoâng bò aûnh höôûng vì chuùng laø caùc tæ soá trong ñoù yeáu toá thang ño seõ trieät tieâu.

BAÛNG 3.3 Phaân Tích Phöông Sai

Nguoàn Toång bình phöông (SS)

Baäc töï do (d.f.)

Bình phöông

trung bình (SS÷d.f.)

F

Hoài quy (RSS) 2)ˆ( YYt −∑ = 83.541 1 83.541 8654ESS

2nRSS ,)(=

−

Sai soá (ESS) ∑ 2ˆtu = 18.274 N – 2 = 12 1.523

Toång (TSS) 2)( YYt −∑ = 101.815 N – 1 = 13 7.832

Taùc ñoäng cuûa vieäc thay ñoåi thang ño cuûa moät bieán ñoäc laäp seõ ra sao? Giaû

söû SQFT ñöôïc tính theo ñôn vò traêm meùt vuoâng thay vì theo meùt vuoâng thoâng thöôøng, nhöng GIAÙ ñöôïc tính theo ñôn vò ngaøn ñoâla nhö tröôùc. Goïi SQFT’ laø bieán tính theo traêm meùt vuoâng. Vaäy SQFT= 100SQFT’. Thay vaøo phöông trình ban ñaàu ta coù:

GIAÙ = α + β100SQFT’ + u

Roõ raøng theo phöông trình naøy, neáu chuùng ta hoài quy GIAÙ theo moät haèng

soá vaø SQFT’, heä soá duy nhaát seõ bò aûnh höôûng laø heä soá cuûa SQFT. Neáu β’ laø heä soá cuûa SQFT’, thì ββ ˆ100'ˆ = . Sai soá chuaån cuûa noù cuõng seõ nhaân vôùi 100. Tuy nhieân, taát caû caùc soá ño khaùc – ESS, giaù trò thoáng keâ t, F, R2 chaúng haïn seõ





khoâng bò aûnh höôûng. Toùm laïi, trong moät moâ hình hoài quy tuyeán tính, neáu thang ño cuûa moät bieán ñoäc laäp thay ñoåi caùc heä soá hoài quy cuûa noù vaø caùc sai soá chuaån töông öùng seõ thay ñoåi töông öùng nhöng caùc trò thoáng keâ khaùc seõ khoâng thay ñoåi.

Coù lyù do chính ñaùng ñeå thay ñoåi thang ño cuûa caùc giaù trò sao cho caùc soá sau khi thay ñoåi seõ khoâng lôùn cuõng khoâng quaù nhoû vaø töông töï vôùi caùc giaù trò cuûa caùc bieán khaùc. Ñieàu naøy laø vì caùc soá coù giaù trò lôùn seõ laán aùt caùc sai soá vaø caùc soá nhoû seõ gaây ra sai soá laøm troøn, ñaëc bieät laø khi tính giaù trò toång bình phöông, vieäc naøy seõ laøm aûnh höôûng xaáu ñeán ñoä chính xaùc cuûa keát quaû.

Ñeå hieåu moät caùch thöïc teá haäu quaû cuûa vieäc thay ñoåi ñôn vò, haõy Thöïc Haønh Maùy Tính phaàn 3.2 ôû phuï luïc D. BAØI TAÄP 3.7

Giaû söû chuùng ta ñaët moät bieán môùi X* = SQFT – 1.000 (nghóa laø, X* laø phaàn dieän tích vuoâng treân 1.000) vaø öôùc löôïng moâ hình GIAÙ = a + bX* + v. Giaûi thích baèng caùch naøo baïn coù theå tìm ñöôïc a vaø b töø α vaø β maø khoâng phaûi öôùc löôïng laïi moâ hình môùi.

3.7 ÖÙng duïng: Öôùc Löôïng Ñöôøng Engel Bieåu Dieãn Quan Heä Giöõa Chi Tieâu cho

Chaêm Soùc Söùc Khoûe vaø Thu Nhaäp. Trong phaàn naøy, chuùng ta seõ trình baøy moät öùng duïng “taäp döôït” vôùi moâ hình hoài quy hai bieán. Döõ lieäu ñöôïc söû duïng laø chuoãi döõ lieäu cheùo cho 50 bang vaø quaän Columbia (n = 51), döõ lieäu ñöôïc thu thaäp töø cuoán Toùm Löôïc Thoáng Keâ Myõ naêm 1995 (Statistical Abstract of the US). Caùc giaù trò cuûa döõ lieäu thöïc coù ôû taäp tin DATA3-2. Caùc bieán laø: EXPHLTH = Chi tieâu toång hôïp (ñôn vò tyû ñoâla) cho chaêm soùc söùc khoûe cuûa

bang vaøo naêm 1993, Baûng 153, trang 111, khoaûng töø 0,998-9,029.

INCOME = Thu nhaäp caù nhaân (ñôn vò tyû ñoâla) cuûa bang vaøo naêm 1993, Baûng 712, trang 460, khoaûng töø 9,3-64,1.

Moâ hình laø ñöôøng Engel tìm ñöôïc ôû ví duï 1.4 vaø ñöôïc aùp duïng vôùi toång chi tieâu cho chaêm soùc söùc khoûe cuûa Myõ laø haøm soá theo toång thu nhaäp caù nhaân. Phaàn ÖÙng Duïng Maùy Tính 3.3 (xem phuï luïc baûng D.1) trình baøy höôùng daãn ñeå tìm ra keát quaû. Baûn chuù thích cuûa baùo caùo in töø maùy tính, söû duïng chöông trình ESL vaø taäp tin PS3-3.ESL, ñöôïc trình baøy ôû baûng 3.4. Phaàn ñöôïc in ñaäm laø nhaäp löôïng cuûa chöông trình vaø caùc phaàn in nghieâng laø caùc nhaän xeùt veà keát quaû. Baïn neân tìm hieåu caùc chuù thích naøy caån thaän vaø söû duïng chöông trình hoài quy baïn coù ñeå chaïy laïi caùc keát quaû naøy (taäp tin PS3-3.SHZ chöùa caùc doøng leänh ñeå söû duïng phaàn meàm SHAZAM). Döôùi ñaây laø moâ hình öôùc löôïng cuøng vôùi trò thoáng keâ maãu t trong ngoaëc ñôn, vaø p-value (giaù trò xaùc suaát p) trong ngoaëc vuoâng:





INCOME141652,0176496,0EXPHLTH +=

(0.378) (49.272) [0.707] [<0.0001]

R2 = 0,98 d.f. = 49 F = 2.428 σ = 2,547

Moâ hình raát thích hôïp vôùi soá lieäu vì 98% söï bieán ñoåi cuûa chi tieâu cho chaêm soùc söùc khoûe ñöôïc giaûi thích bôûi bieán thu nhaäp. Nhö ñaõ giaûi thích ôû Baûng 3.3, soá haïng haèng soá khoâng coù yù nghóa veà maët thoáng keâ vaø phuø hôïp vôùi tieâu chuaån lyù thuyeát ñeà ra trong ví duï 1.4, chæ ra raèng α = 0. Ñeå bieát theâm chi tieát, xem caùc chuù thích ôû Baûng 3.4

3.8 Khoaûng Tin Caäy Nhö ñaõ ñöôïc chæ ra ôû Phaàn 2.9, moät caùch ñeå xem xeùt tröïc tieáp ñeán vieäc öôùc löôïng α vaø β trong ñieàu kieän khoâng chaéc chaén laø xaùc ñònh khoaûng tin caäy. Nhö vaäy, ví duï, thay vì noùi β = 0,139 chuùng ta coù theå noùi raèng vôùi möùc xaùc

suaát cho tröôùc, ^β seõ naèm trong khoaûng töø 0,09 ñeán 0,17. Töø keát quaû caùc giaù

trò thoáng keâ kieåm ñònh ôû phaàn 3.5 ta coù:

2~ˆ

−−

ntsα

αα vaø 2~ˆ

−−

ntsβ

ββ

Ñaët t*

n-2(0,025) laø ñieåm name treân phaân phoái t vôùi n-2 baäc töï do sao cho P(t>t*) = 0,025. Ñieàu naøy töông ñöông vôùi P(- t*≤ t ≤ t*) = 0,95. Nhö vaäy,





BAÛNG 3.4 Baùo Caùo töø Maùy Tính Keøm Theo Chuù Giaûi cho Phaàn 3.7

Caùc leänh ESL ñöôïc in ñaäm vaø caùc nhaän xeùt ñöôïc in nghieâng. Danh saùch bieán (0) Haèng soá (1) exphlth (2) income

(Ñoà thò cuûa möùc chi tieâu theo thu nhaäp cho thaáy coù söï quan heä chaët cheõ giöõa hai bieán)

exphlth 94,178 | o | | 78,648 + | | | o | 52,764 + | o | o | o | o o 26,881 + o | o o | o | o ooo | oooo o 0,998 + ooo | +−−−−−−−−−+−−−−−−−−−+−−−−−−−−−+−−−−−−−−−+−−−−−−−−−+−−−−−−−−−+ 9,3 income 683,5

Öôùc löôïng OLS vôùi 51 quan saùt 1-51 Bieán phuï thuoäc EXPHLTH

Bieán Heä soá Sai soá chuaån T-stat 2 Prob(t >T)

(0) haèng 0,176496 0,467509 0,377525 0,707414 (1) income 0,141652 0,002875 49,271792 <0,0001***





Giaù trò öôùc löôïng cuûa heä soá cuûa bieán thu nhaäp laø β = 0,141652 vaø öôùc

löôïng cuûa soá haïng haèng soá laø α = 0,176496. Trò thoáng keâ t (heä soá chia cho sai soá chuaån) cuûa bieán thu nhaäp laø 49,271792, ñaây laø giaù trò raát yù nghóa. 2Prob(t >T) laø vuøng dieän tích ôû hai ñaàu phaân phoái t chaën bôûi giaù trò kieåm ñònh t vaø laø giaù trò p-value hoaëc xaùc suaát sai laàm loaïi I (ñoái vôùi kieåm ñònh 2 phía). Neáu p-value nhoû (trong tröôøng hôïp naøy, nhoû hôn 0,0001), chuùng ta “an toaøn” khi baùc boû giaû thuyeát Ho raèng β = 0, vaø keát luaän raèng heä soá cuûa bieán thu nhaäp laø khaùc 0 ñaùng keå. Giaù trò p-value cuûa soá haïng haèng soá baèng 0,707414 gôïi yù raèng neáu chuùng ta baùc boû giaû thuyeát Ho cho raèng α = 0, chuùng ta coù theå phaïm phaûi sai laàm loaïi I trong 70,7 % soá laàn. Vì möùc sai laàm naøy quaù cao, chuùng ta khoâng theå baùc boû giaû thuyeát Ho. Nhö vaäy chuùng ta keát luaän raèng soá haïng haèng soá khoâng khaùc 0 ñaùng keå. Löu yù raèng trong ví duï 1.4, vieäc suy dieãn lyù thuyeát ra ñöôøng Engel aùm chæ raèng khoâng coù soá haïng haèng soá. Soá haïng haèng soá khoâng coù yù nghóa laø phuø hôïp vôùi keát quaû theo lyù thuyeát. Xu höôùng chi tieâu caän bieân cho vieäc chaêm soùc söùc khoûe laáy töø thu nhaäp laø 0,141652; nghóa laø, vôùi moãi khoaûn taêng thu nhaäp 100 ñoâla, chuùng ta coù theå kyø voïng caùc caù nhaân seõ chi trung bình 14,17 ñoâla cho chaêm soùc söùc khoûe.

Giaù trò R2 (R-square) chæ ra raèng 98% söï bieán ñoåi cuûa chi tieâu ñöôïc giaûi thích bôûi bieán thu nhaäp. Söï khaùc nhau giöõa giaù trò R2 Hieäu chænh vaø Khoâng hieäu chænh seõ ñöôïc giaûi thích ôû chöông 4 cuøng vôùi caùc giaù trò thoáng keâ maãu ñeå choïn moâ hình.

Giaù trò thoáng keâ maãu Durbin-Watson vaø heä soá töông quan chuoãi baäc nhaát seõ ñöôïc giaûi thích ôû chöông 9, nhaèm giaûi quyeát söï vi phaïm giaû thieát 3.6 cho raèng caùc soá haïng sai soá cuûa hai quan saùt laø khoâng töông quan. Giaù trò trung bình cuûa bieán phuï thuoäc laø Y vaø S.D. laø ñoä leäch chuaån cuûa Sy

Giaù trò trung bình cuûa bieán phuï thuoäc

15,068863 S.D. cuûa bieán phuï thuoäc 17,926636

Toång bình phöông sai soá (ESS)

317,898611 Sai soá chuaån cuûa phaàn dö

2,547102

R- bình phöôngkhoâng hieäu chænh

0,980 R- hieäu chænh 0,980

Trò thoáng keâ F 2427,709468 p-value = Prob(F>2427.709)

<0,0001

Trò thoáng keâ Durbin-Watson

2,209485 Heä soá töï töông quan baäc nhaát

-0,121

Giaù trò thoáng keâ maãu ñeå choïn moâ hình

SGMASQ 6,487727 AIC 6,741876 FPE 6,742147





HQ GCV

6,939901 6,752532

SCHWARZ RICE

7,272471 6,7638

SHIBATA 6,722193

?genr ut=uhat (löu caùc öôùc löôïng phaàn dö trong maùy vaøo ut.) Generated var. no. 3 (ut) ?genr =exphlth-ut (giaù trò “thích hôïp” = exphlth quan saùt tröø phaàn dö) Generated var. no. 4 (yhat) ?print –o exphlth yhat ut; (In giaù trò chi tieâu thöïc vaø döï baùo, giaù trò phaàn dö. Daáu hieäu –o chæ in ra ôû daïng baûng)

Obs exphlth yhat ut

1 0,998 1,493862 -0,495861722 1,499 1,763001 -0,264000873 4,285 2,598749 1,6862514 1,573 2,131297 -0,558296555 2,021 1,720505 0,300494796 2,26 2,343775 -0,083774837 1,953 1,989644 -0,036644358 2,103 2,244618 -0,14161839 3,428 3,179523 0,24847729

10 2,277 2,910384 -0,6333835611 3,452 3,731965 -0,2799652312 3,485 4,057766 -0,5727652613 3,433 3,476992 -0,043992314 3,747 4,652705 -0,9057054315 4,4 4,666871 -0,2668706516 3,878 3,916114 -0,0381140717 5,197 4,341071 0,8559293718 4,118 4,426062 -0,3080619419 6,111 5,672601 0,4383988420 6,903 7,301601 -0,3985012921 6,187 5,686766 0,5002336222 7,341 7,485749 -0,1447491323 7,999 8,533975 -0,5349752924 8,041 7,967367 0,0735334425 12,216 13,250993 -1,03499326 10,066 11,027054 -0,9610537427 9,029 8,84561 0,183389928 10,384 9,256401 1,12759929 10,635 10,276297 0,35870284





30 12,06 10,318793 1,74120731 13,014 10,276297 2,73770332 14,194 13,619289 0,5747112833 15,154 16,96228 -1,8082834 14,502 14,32755 0,1744503535 16,203 13,477637 2,72536336 15,949 14,68168 1,2673237 15,129 16,395672 -1,25667238 16,401 15,701576 0,6994241639 23,421 20,985202 2,43579840 6,682 20,036133 -13,35413341 20,104 19,002072 1,10192842 18,241 18,56295 -0,3219499743 25,741 30,093438 -4,35243844 27,136 27,756177 -0,6201767545 33,456 31,042507 2,41349346 34,747 37,516012 -2,76901247 41,521 36,439456 5,08154448 44,811 40,320726 4,49027449 49,816 49,0465 0,769499950 67,033 64,004971 3,02802951 94,178 96,995765 -2,817765

ααα

ααααα ststPts

tP **** ˆˆ(95.0)ˆ

( +≤≤−==≤−

≤−

Töø ñaây coù theå ruùt ra raèng khoaûng tin caäy 95% cuûa α vaø β laàn löôït laø

αα st *ˆ ± vaø ββ st *ˆ ±

Ví duï 3.7 Trong ví duï veà giaù nhaø, sai soá chuaån cuûa α vaø β laø αs = 37,285 vaø βs =

0,18373. Ñoàng thôøi, töø baûng t, ta coù t*12(0,025) = 2,179. Do ñoù, khoaûng tin

caäy 95% laø Ñoái vôùi α: 52,351 ± (2,179x37,285) = (-28,893; 133,595) Ñoái vôùi β: 0,13875 ± (2,179x0,018373) = (0,099; 0,179)

Löu yù raèng caùc khoaûng tin caäy naøy laø töông ñoái roäng. Ñaây laø daáu hieäu cho thaáy moâ hình hoài quy tuyeán tính thích hôïp raát keùm vôùi taäp döõ lieäu. Moät moâ hình hoài quy thích hôïp seõ cho khoaûng tin caäy heïp hôn.





BAØI TAÄP 3.8

Xaùc ñònh khoaûng tin caäy cuûa α vaø β trong Phaàn ÖÙng Duïng 3.7

3.9 Döï Baùo Nhö ñaõ ñeà caäp tröôùc ñaây, moät trong caùc öùng duïng phoå bieán cuûa moâ hình hoài quy laø ñeå döï baùo (chuû ñeà naøy seõ ñöôïc thaûo luaän chi tieát hôn ôû chöông 11). Trong ví duï giaù nhaø, chuùng ta coù theå ñaët caâu hoûi giaù baùn döï baùo cuûa moät ngoâi nhaø coù dieän tích 2,000 meùt vuoâng seõ laø bao nhieâu. Moâ hình hoài quy öôùc löôïng laø XY 13875.0351.52ˆ += . Nhö vaäy, khi X = 2,000, giaù trò döï baùo cuûaY laø 52,351 + (2,000x0,13875) = 329,851. Vì giaù ñöôïc tính theo ñôn vò ngaøn ñoâla, giaù trò döï baùo naøy cuõng coù ñôn vò ngaøn ñoâla. Vì vaäy, theo moâ hình, giaù trung bình öôùc löôïng cuûa moät caên hoä dieän tích 2,000 meùt vuoâng laø 329.851 ñoâla. Moät caùch toång quaùt, deã daøng nhaän thaáy neáu X coù giaù trò X0 thì giaù trò döï baùo cuûa Y0 seõ laø 00

ˆˆˆ XY βα += . Giaù trò trung bình coù ñieàu kieän cuûa bieán döï ñoaùn Y cho tröôùc X = X0 laø

)()ˆ()ˆ()ˆ( 0000 XXYEXEXEXXYE ==+=+== βαβα

Nhö vaäy 0Y laø giaù trò döï baùo coù ñieàu kieän khoâng thieân leäch cuûa giaù baùn trung bình taïi X0. Khoaûng Tin Caäy cho Giaù Trò Döï Baùo Trung Bình Vì α vaø β ñöôïc öôùc löôïng coù sai soá, giaù trò döï baùo 0Y cuõng chòu sai soá. Ñeå xeùt ñeán yeáu toá naøy, chuùng ta tính sai soá chuaån vaø khoaûng tin caäy cho giaù trò döï baùo trung bình. Döôùi ñaây laø öôùc löôïng cuûa phöông sai cuûa giaù trò döï baùo (xem chöùng minh ôû Phaàn 3.A.11 )

−+=

xxY S

XXn

s2

022 )(1ˆ0

σ (3.28)

Khoaûng tin caäy cuûa giaù trò döï baùo trung bình laø

]ˆ,ˆ[00ˆ

*0ˆ

*0 YY stYstY +−





trong ñoù t* laø giaù trò ngöôõng cuûa phaân phoái t. Löu yù raèng khi X0 caøng leäch xa giaù trò trung bình X , thì

0Ys caøng lôùn vaø khoaûng tin caäy töông öùng caøng roäng.

Ñieàu naøy coù nghóa raèng neáu döï baùo ñöôïc thöïc hieän quaù xa khoûi phaïm vi cuûa maãu, ñoä tin caäy cuûa döï baùo seõ giaûm ñi. Neáu X0 = X , khoaûng tin caäy seõ heïp nhaát. Hình 3.9 cho yù nieäm veà “daûi tin caäy” vôùi caùc giaù trò X0. HÌNH 3.9 Daûi Khoaûng Tin Caäy cuûa Caùc Giaù Trò Döï Baùo

Khoaûng Tin Caäy cho Döï Baùo Ñieåm Phöông sai maãu trình baøy ôû phaàn tröôùc duøng ñeå döï baùo giaù trò trung bình. Beân caïnh ñoù chuùng ta cuõng muoán tìm phöông sai cuûa sai soá döï baùo cho caùc giaù trò thöïc Y0 töông öùng vôùi X0. Coâng thöùc döôùi ñaây ñöôïc laáy töø Phuï luïc 3.A.12:

2ˆ

202

02ˆ

00

)(11ˆ)ˆ( Yxx

u sS

XXn

uVars >

−++== σ (3.29)

trong ñoù 000

ˆˆ YYu −= laø sai soá cuûa döï baùo ñieåm. Khoaûng tin caäy ñöôïc tính theo

0us thay vì 0Ys . Khi côõ maãu lôùn, soá haïng thöù hai vaø thöù ba ôû treân seõ





khoâng ñaùng keå so vôùi 0us moät giaù trò gaàn baèng σ . Ngoaøi ra, t* cuõng gaàn

baèng 2 trong tröôøng hôïp möùc yù nghóa 95%. Nhö vaäy, khoaûng tin caäy cuûa maãu coù kích thöôùc lôùn laø σ20 ±Y

Ví duï 3.8 Trong ví duï giaù nhaø, chuùng ta coù 2

0Ys = 111,555 vaø 2ˆ0us =1634,353 vaø khoaûng

tin caäy töông öùng khi X0 = 2.000 seõ laø (307, 353) vaø (242, 418). Khoaûng tin caäy vôùi côõ maãu lôùn laø (252,408). (Xem phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 3.4 ñeå chaïy laïi keát quaû naøy).

Chuùng ta neân choïn loaïi khoaûng tin caäy naøo trong soá hai loaïi treân? Vì quan taâm chính laø sai soá döï baùo ñoái vôùi giaù trò thöïc Y0, phöông trình (3.29) thöôøng ñöôïc söû duïng. Löu yù raèng khoaûng tin caäy theo phöông trình naøy roäng hôn nhieàu khoaûng tin caäy döïa treân phöông trình (3.28) So Saùnh Caùc Giaù Trò Döï Baùo Caùc nhaø phaân tích kinh teá vaø kinh doanh thöôøng söû duïng nhieàu hôn moät moâ hình ñeå döï baùo. Moät soá ño thöôøng duøng ñeå so saùnh naêng löïc döï baùo cuûa caùc moâ hình khaùc nhau laø sai soá bình phöông trung bình (hoaëc ñoâi khi ngöôøi ta söû duïng caên baäc hai cuûa noù, vaø ñöôïc goïi laø caên baäc hai sai soá bình phöông trung bình).

Goïi Yft laø giaù trò döï baùo cuûa bieán phuï thuoäc cho quan saùt t, vaø Yt laø giaù trò

thöïc. Sai soá bình phöông trung bình ñöôïc tính nhö sau:

2nYY

MSE2

tft

−−∑

=)(

MSERMSE =

Neáu hai moâ hình ñöôïc söû duïng ñeå döï baùo Y, moâ hình naøo coù MSE nhoû hôn

seõ ñöôïc ñaùnh giaù laø moâ hình toát hôn cho muïc ñích döï baùo. Moät soá ño höõu ích khaùc laø sai soá phaàn traêm tuyeät ñoái trung bình (MAPE)

∑−

=t

ftt

Y

YY100

n1MAPE

Soá ño naøy chæ coù yù nghóa neáu taát caû caùc giaù trò Y ñeàu döông (xem Phaàn ÖÙng

Duïng 3.11). Moät caùch khaùc, chuùng ta coù theå tính sai soá phaàn traêm bình phöông trung bình (MSPE) hoaëc caên cuûa noù





∑

−=

2

t

ftt

YYY

100n1MSPE MSPERMSPE =

Moät phöông phaùp khaùc ñeå ñaùnh giaù moâ hình vaø naêng löïc döï baùo cuûa noù laø

thöïc hieän döï baùo haäu maãu. Theo phöông phaùp naøy, ngöôøi phaân tích seõ khoâng söû duïng moät soá quan saùt cuoái cuøng (chaúng haïn, 10% soá quan saùt cuoái cuøng) trong vieäc öôùc löôïng moâ hình, nhöng seõ söû duïng caùc öôùc löôïng thoâng soá töø taäp quan saùt ñaàu tieân ñeå döï baùo Yt cho phaàn maãu ñeå daønh. Sau ñoù chuùng ta coù theå tính MSE vaø MAPE cho giai ñoaïn haäu maãu. Moâ hình naøo coù caùc giaù trò ño löôøng naøy thaáp hôn seõ toát hôn cho muïc ñích döï baùo.

3.10 Tính Nhaân Quaû trong Moâ Hình Hoài Quy Khi ñònh moâ hình ôû daïng Y = α + βX + u, chuùng ta ngaàm giaû ñònh raèng X gaây ra Y. Maëc duø R2 ño ñoä thích hôïp, noù khoâng theå ñöôïc söû duïng ñeå xaùc ñònh tính nhaân quaû. Noùi caùch khaùc, vieäc X vaø Y töông quan chaët vôùi nhau khoâng coù nghóa raèng söï thay ñoåi X daãn ñeán söï thay ñoåi Y hay ngöôïc laïi. Ví duï, heä soá töông quan giöõa soá löôïng kaênguru cuûa UÙc vaø toång daân soá nöôùc naøy coù theå laø raát cao. Phaûi chaêng ñieàu naøy coù nghóa raèng söï thay ñoåi moät bieán seõ laøm cho bieán kia thay ñoåi? Roõ raøng laø khoâng, vì ôû ñaây chuùng ta coù moät tröôøng hôïp töông quan giaû taïo. Neáu chuùng ta hoài quy moät trong caùc bieán vôùi bieán coøn laïi, chuùng ta seõ coù söï hoài qui giaû taïo. Laáy moät ví duï khaùc thöïc teá hôn, giaû söû chuùng ta hoài quy soá löôïng vuï troäm trong moät thaønh phoá vôùi soá haïng haèng soá vaø soá nhaân vieân caûnh saùt (X) vaø sau ñoù quan saùt thaáy heä soá goùc öôùc löôïng coù giaù trò döông, coù nghóa raèng coù töông quan thuaän giöõa X vaø Y. Phaûi chaêng ñieàu naøy coù nghóa raèng vieäc taêng soá löôïng caûnh saùt seõ laøm taêng soá vuï troäm, do ñoù ngaàm keùo theo phaûi coù chính saùch giaûm löïc löôïng caûnh saùt? Roõ raøng keát luaän naøy laø khoâng theå chaáp nhaän ñöôïc. Ñieàu xaûy ra coù theå laø moái quan heä nhaân quaû laø ngöôïc laïi, coù nghóa laø thaønh phoá neân thueâ theâm caûnh saùt vì soá vuï troäm taêng leân, vaø nhö vaäy vieäc hoài quy X theo Y laø hôïp lyù hôn. Tuy nhieân, trong thöïc teá, hai bieán seõ ñöôïc xaùc ñònh keát hôïp vaø do ñoù chuùng ta neân ñònh roõ hai phöông trình, moät vôùi Y theo X vaø caùc bieán khaùc vaø phöông trình coøn laïi vôùi X theo Y vaø caùc bieán khaùc. Vieäc xaùc ñònh ñoàng thôøi caùc bieán seõ ñöôïc trình baøy chi tieát ôû chöông 13. Nhö seõ thaáy ôû chöông naøy caùc öôùc löôïng thu ñöôïc baèng caùch boû qua tính ñoàng thôøi seõ bò sai leäch vaø khoâng nhaát quaùn. Cuõng coù theå laø söï töông quan cao quan saùt ñöôïc giöõa X vaø Y coù theå hoaøn toaøn laø do caùc bieán khaùc vaø khoâng bieán naøo trong soá chuùng coù theå tröïc tieáp gaây ra caùc bieán coøn laïi. Nhöõng ví duï naøy nhaán maïnh taàm quan troïng cuûa vieäc caân nhaéc kyõ löôõng baûn chaát cô cheá haønh vi tieàm aån laø gì, töùc laø, quaù trình phaùt döõ lieäu laø gì (DGP), vaø laäp moâ hình moät caùch phuø hôïp. Lyù thuyeát kinh teá, kieán thöùc cuûa nhaø phaân tích veà caùc haønh vò tieàm aån, kinh nghieäm quaù khöù,





v.v. phaûi gôïi yù moâ hình neân phaûi ñöôïc xaùc ñònh nhö theá naøo. Tuy nhieân, coù theå kieåm ñònh phöông höôùng cuûa söï nhaân quaû moät caùch roõ raøng (chi tieát seõ trình baøy ôû chöông 10). Ñoäc giaû quan taâm ñeán vaán ñeà naøy coù theå tham khaûo baøi vieát cuûa Granger (1969) vaø Sims (1972).

Ñeå minh hoïa taàm quan troïng cuûa vieäc xaùc ñònh chính xaùc söï nhaân quaû, giaû söû chuùng ta ñaûo ngöôïc vò trí cuûa X vaø Y vaø öôùc löôïng moâ hình:

Xt = α* + β*Yt + vt (3.1’)

Lieäu chuùng ta coù theå tìm ñöôïc ñöôøng thaúng gioáng nhö tröôùc khoâng? Caâu traû lôøi, noùi chung, laø khoâng. Vì thuû tuïc bình phöông nhoû nhaát ñöôïc aùp duïng cho phöông trình (3.1) seõ cöïc tieåu hoùa toång bình phöông cuûa caùc ñoä leäch ñöùng töø ñöôøng thaúng (xem hình 3.10). Traùi laïi, ñöôøng thaúng nghòch cöïc tieåu hoùa toång bình phöông cuûa caùc ñoä leäch ngang vt. Tìm Yt theo Xt, Phöông trình (3.1’) coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau:

'''***

* 1tt

t

tt vXvXY ++=

−

+

−= βα

βββα

Vieäc cöïc tieåu hoùa ∑ 2ˆtu , laøm töông töï nhö vôùi phöông trình (3.1), vaø cöïc tieåu

hoùa ∑ 2tv seõ thöôøng cho ra caùc keát quaû khaùc nhau. Cuï theå hôn, giaù trò öôùc

löôïng cuûa β’ seõ khaùc vôùi giaù trò β töø phöông trình (3.1). HÌNH 3.10 Cöïc Tieåu Hoùa Toång Bình Phöông theo Truïc Tung vaø Truïc Hoaønh





Ví duï 3.9 Quan heä öôùc löôïng khi ∑ 2ˆtu ñöôïc cöïc tieåu hoùa laø (xem Phaàn Thöïc Haønh

Maùy Tính 3.5)

SQFT13875035152GIAÙ ,, += Khi quan heä nhaân quaû ñöôïc ñaûo ngöôïc vaø ∑ 2ˆtv ñöôïc cöïc tieåu hoùa, chuùng ta coù

GIAÙ913666538533SQFT ,, +=

Nghòch ñaûo quan heä öôùc löôïng thöù hai vaø bieåu dieãn GIAÙ laø haøm cuûa SQFT, ta coù

SQFT169.0645.5SQFT913666.5

1913666.5

385.33GIAÙ +−=+−=

Löu yù raèng daáu cuûa soá haïng haèng soá bò nghòch ñaûo vaø ñoä doác laø hoaøn toaøn khaùc.

Nhö vaäy döôùi ñieàu kieän gì thì hai ñöôøng öôùc löôïng seõ nhö nhau? Ñeå traû lôøi caâu hoûi naøy, ñaàu tieân aùp duïng OLS cho phöông trình (3.1’); nghóa laø cöïc tieåu hoùa∑ 2

tv . Hoaùn ñoåi X vaø Y trong phöông trình 3.10, ta coù:

'*

ˆ1ˆβ

β ==yy

xy

SS

Vaø do ñoù xyyy SS /ˆ ' =β . Öôùc löôïng bình phöông nhoû nhaát laøm cöïc tieåu

∑ 2ˆtu laø xxxy SS /ˆ =β . Ñeå 'β baèngβ , ñieàu kieän laø

12

==yyxx

xy

xy

yy

xx

xy

SSS

hoaëcSS

SS

Nhöng veá traùi cuûa phöông trình thöù hai laø rxy

2, bình phöông cuûa heä soá hoài quy ñôn giöõa X vaø Y (ñònh nghóa ôû phöông trình 2.11). Nhö vaäy, ñieàu kieän caàn laø X vaø Y phaûi töông quan hoaøn haûo. Tính chaát 2.4d noùi raèng neáu toàn taïi söï töông quan hoaøn haûo giöõa hai bieán, thì phaûi toàn taïi moät quan heä tuyeán tính





chính xaùc giöõa chuùng. Vì vaäy, söï thích hôïp giöõa X vaø Y phaûi hoaøn haûo thì chuùng ta môùi nhaän ñöôïc cuøng moät ñöôøng hoài quy cho duø chuùng ta aùp duïng OLS cho phöông trình (3.1) hay (3.1’). Nhìn chung, söï töông quan giöõa X vaø Y seõ khoâng hoaøn haûo, chính vì vaäy chuùng ta seõ khoâng nhaän ñöôïc cuøng moät ñöôøng thaúng hoài quy. Ñieàu naøy nhaán maïnh taàm quan troïng cuûa vieäc xaùc ñònh ñuùng höôùng quan heä nhaân quaû thay vì vieäc choïn thieáu suy xeùt bieán X vaø Y.

Nhö ñaõ ñöôïc minh hoïa tröôùc ñaây trong ví duï veà toäi phaïm, quan heä nhaân quaû coù theå theo caû hai chieàu, tình huoáng naøy ñöôïc goïi laø phaûn hoài. Quan heä giöõa giaù baùn vaø löôïng baùn cuõng laø ví duï cuûa hieän töôïng naøy. Vì giaù vaø löôïng baùn ñöôïc xaùc ñònh cuøng luùc bôûi quan heä töông taùc giöõa cung vaø caàu, cho neân caùi naøy coù theå aûnh höôûng caùi kia. Töông töï, hieän töôïng phaûn hoài cuõng ñöôïc tìm thaáy trong quan heä giöõa thu nhaäp toång hôïp vaø tieâu duøng hay ñaàu tö. Nhöõng tình huoáng naøy seõ ñöôïc trình baøy ôû chuû ñeà moâ hình hoài quy heä phöông trình ôû chöông 13.

3.11 Öùng Duïng: Quan Heä giöõa Baèng Saùng Cheá vaø Chi Phí cho Hoaït Ñoäng Nghieân Cöùu vaø Phaùt Trieån (R&D) Phaàn naøy seõ trình baøy moät ví duï “dieãn taäp” khasùc veà phaân tích hoài quy. Döõ lieäu duøng trong ví duï naøy ôû taäp tin DATA3.3, maø seõ ñeà caäp ñeán caùc bieán sau: PATENTS = Soá öùng duïng baèng saùng cheá ñöôïc ghi nhaän, ñôn vò ngaøn, giao

ñoäng töø 84,5 - 189,4 R&D = Chi phí cho nghieân cöùu vaø phaùt trieån, ñôn vò tæ ñoâla 1992, ñöôïc

xaùc ñònh baèng tæ soá giöõa chi phí theo ñoâla hieän haønh vaø chæ soá giaûm phaùt toång saûn phaåm quoác noäi goäp (GDP), giao ñoäng töø 57,94 ñeán 166,7.

Döõ lieäu theo naêm laáy trong voøng 34 naêm töø 1960 ñeán 1993 cho toaøn boä

nöôùc Myõ. Nguoàn ñöôïc trình baøy ôû phuï luïc D. Neáu moät quoác gia chi nhieàu hôn cho hoaït ñoäng nghieân cöùu vaø phaùt trieån,

chuùng ta coù theå kyø voïng raèng quoác gia naøy seõ ñaït ñöôïc nhieàu caûi tieán ñöôïc baûo veä thoâng qua luaät baèng saùng cheá hôn. Do ñoù, chuùng ta kyø voïng toàn taïi moät quan heä döông giöõa soá löôïng baèng saùng cheá ñöôïc ban boá vaø chi tieâu cho R&D. Maëc duø hieäu quaû cuûa hoaït ñoäng nghieân cöùu vaø phaùt trieån seõ treã vaøi naêm sau khi döï aùn ñöôïc baét ñaàu, ñeå ñôn giaûn hoùa chuùng ta boû qua hieän töôïng naøy. ÔÛ nhöõng chöông sau chuùng ta seõ khaûo saùt hieäu öùng treã cuûa caùc bieán ñoäc laäp vaø seõ quay laïi ví duï naøy.





Moâ hình hoài quy tuyeán tính öôùc löôïng ñöôïc trình baøy döôùi ñaây keøm vôùi caùc trò thoáng keâ maãu t trong ngoaëc ñôn (Phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 3.6 höôùng daãn caùch laäp laïi keát quaû cuûa phaàn naøy vaø Baûng 3.5 trình baøy keát quaû.)

DR792057134SAÙNGCHEÁ &,, += (5,44) (13,97)

R2 = 0,859 d.f. = 32 Fc (1,32) =195,055 172,11ˆ =σ

Ñeå kieåm ñònh moâ hình veà söï yù nghóa toång theå, chuùng ta söû duïng trò thoáng

keâ F, coù giaù trò baèng 195,055. Theo giaû thuyeát H0 thì soá baèng saùng cheá vaø chi phí cho R&D laø khoâng töông quan, Fc tuaân theo phaân phoái F vôùi baäc töï do ôû töû soá laø 1 vaø baäc töï do ôû maãu soá laø 32 (= 34 – 2). Töø baûng A.4a (cuõng ôû trong bìa sau) chuùng ta coù nhaän xeùt raèng giaù trò ngöôõng F(1,32) ôû möùc yù nghóa 1% naèm giöõa 7,31 vaø 7,56. Vì Fc cao hôn nhieàu so vôùi giaù trò naøy, chuùng ta keát luaän raèng soá baèng saùng cheá vaø chi phí cho R&D laø töông quan ñaùng keå. Keát luaän naøy ñöôïc cuõng coá theâm thoâng qua giaù trò thoáng keâ maãu t. Kieåm ñònh hai ñaàu vôùi möùc yù nghóa 1%, baûng t trong bìa tröôùc cuûa quyeån saùch (hay Baûng A.2) cho thaáy giaù trò ngöôõng vôùi 32 baäc töï do naèm giöõa 2,704 vaø 2,75. Vì giaù trò quan saùt tc cao hôn nhöõng giaù trò naøy nhieàu chuùng ta keát luaän raèng caû soá haïng tung ñoä goác vaø ñoä doác coù giaù trò khaùc 0 moät caùch ñaùng keå. Soá ño ñoä thích hôïp R2 cho bieát moâ hình giaûi thích ñöôïc 85,9% söï bieán ñoåi cuûa bieán phuï thuoäc. Maëc duø ñaây döôøng nhö laø moät söï thích hôïp toát, tuy nhieân chuùng ta thaáy töø hình 3.11 raèng moâ hình khoâng hoaøn toaøn theå hieän söï bieán ñoåi thöïc teá veà soá baèng saùch cheá. Ñöôøng thaúng hoài quy laø ñöôøng lieàn vaø noù khoâng ñaïi dieän ñaày ñuû baûn chaát ñöôøng cong cuûa döõ lieäu quan saùt. Chính vì ñieàu naøy moâ hình seõ döï baùo raát keùm soá löôïng baèng saùng cheá taïi nhieàu naêm.

Ñieåm naøy ñöôïc neâu ra roõ hôn ôû Baûng 3.5, baûng naøy coù nhieàu trò thoáng keâ höõu ích khaùc. Coät thöù tö laø giaù trò trung bình öôùc löôïng ( )tY , coät naêm laø giaù trò phaàn dö ñöôïc tính baèng giaù trò quan saùt tröø ñi giaù trò trung bình öôùc löôïng ( )ttt YYu ˆˆ −= vaø coät cuoái cuøng laø sai soá phaàn traêm tuyeät ñoái (APE), ñöôïc tính baèng 100 tt Yu /ˆ . Giaù trò döï baùo trình baøy ôû baûng 3.5 ñöôïc laøm troøn ñeán 1 chöõ

soá thaäp phaân. Vì döõ lieäu goác veà soá baèng saùng cheá chæ coù moät soá thaäp phaân, neân vieäc coá gaéng coù ñöôïc caùc giaù trò döï baùo coù ñoä chính xaùc ñeán hôn moät soá thaäp phaân laø khoâng coù yù nghóa. HÌNH 3.11 Soá Baèng Saùng Cheá Theo Chi Phí cho R&D cuûa Nöôùc Myõ

Soá baèng saùng cheá

(ngaøn)





BAÛNG 3.5 Baùo Caùo Maùy Tính coù Chuù Thích cho Phaàn Öùng Duïng cuûa

Phaàn 3.11. Caùc leänh ELS ñöôïc in ñaäm vaø caùc lôøi nhaän xeùt ñöôïc in nghieâng Danh saùch caùc bieán (0) Haèng soá (1) Naêm (2) R&D (3) PATENTS (SAÙNG CHEÁ) Thôøi ñoaïn: 1, quan saùt lôùn nhaát: 34, phaïm vi quan saùt: suoát 1960-1993, hieän haønh 1960-1993 ?ols PATENTS const R&D; (Öôùc löôïng moâ hình theo OLS)

Öôùc löôïng theo OLS söû duïng 34 quan saùt töø 1960-1993 Bieán phuï thuoäc – PATENTS

Bieán Heä soá Sai soá chuaån T stat 2Prob(t > |T|) (0) Haèng (2) R&D

34,571064 0,791935

6,357873 0,056704

5,437521 13,966211

< 0,0001*** < 0,0001***

Giaù trò trung bình cuûa bieán phuï thuoäc

119,238235 S.D. cuûa bieán phuï thuoäc

29,305827

Toång bình phöông sai soá (ESS)

3994,300257 Sai soá chuaån cuûa phaàn dö

11,172371

R-bình phöông khoâng hieäu chænh

0,859 R- bình phöông hieäu chænh

0,855

Trò thoáng keâ F 195,055061 p-value = Prob(F>2427.709)

<0,0001

Trò Durbin-Watson 0,233951 Heä soá töï töông quan baäc nhaát

0,945

Chí phí R&D (tyû)





Caùc giaù trò thoáng keâ ñeå choïn moâ hình

SGMASQ HQ GCV

124,821883 136,255226 132,623251

AIC SCHWARZ RICE

132,146377 144,560215 133,143342

FPE SHIBATA

132,164347 131,300527

?genr ut=uhat (löu caùc öôùc löôïng phaàn dö ) ?genr temp = PATENTS -ut (tính giaù trò “gaén”) genr fitted = int (0.5+ (10*temp))/10 (laøm troøn ñeán moät soá thaäp phaân) ?genr error = PATENTS – fitted (tính sai soá döï baùo) ?genr abspcerr = int (0.5 + (1000*abs(error)/PATENTS))/100 (tính sai soá % tuyeät ñoái vaø laøm troøn ñeán hai chöõ soá thaäp phaân) ?print –o R&D PATENTS fitted error abspcerr; (in caùc giaù trò ôû daïng baûng)

OBS R&D Patens Fited Error ABSPCER

R1960 57,94 84,5 80,5 4,0 4,731961 60,59 S6,2 82,6 5,6 6,351962 64,44 90,4 85,6 4,8 5,311963 70,66 91,1 90,5 0,6 0,661964 76,83 93,2 95,4 -2,2 2,36 1965 80,00 100,4 97,9 2,5 2,49 1966 84,82 93,5 101,7 -8,2 8,77 1967 86,84 93,0 103,3 -10,3 11,08 1968 88,81 98,7 104,9 -6,2 6,28 1969 88,28 104,4 104,5 -0,1 0,10 1970 85,29 109,4 102,1 7,3 6,67 1971 83,18 111,1 100,4 10,7 9,63 1972 85,07 105,3 101,9 3,4 3,23 1973 86,72 109,6 103,2 6,4 5,84 1974 85,45 107,4 102,2 5,2 4,84 1975 83,41 108,0 100,6 7,4 6,85 1976 87,44 110,0 103,8 6,2 5,64 1977 90,11 109,0 105,9 3,1 2,84 1978 94,50 109,3 109,4 -0,1 0,09 1979 99,28 108,9 113,2 -4,3 3,95 1980 103,64 113,0 116,6 -3,5 3,19 1981 108,77 114,5 120,7 -6,2 5,41 1982 113,96 118,4 124,8 -6,4 5,41 1983 121,72 112,4 131,0 -18,5 16,55 1984 133,33 120,6 140,2 -19,6 -16,25 1985 144,78 127,1 149,2 -22,1 17,39 1986 148,39 133,0 152,1 -19,1 14,36 1987 150,90 139,8 154,1 -14,3 10,23 1988 154,36 151,9 156,8 -4,9 3,23 1989 157,19 166,3 159,1 7,2 4,33 1990 161,86 176,7 162,8 13,9 7,87 1991 164,54 178,4 164,9 13,5 7,57 1992 166,70 187,2 166,6 20,6 11,00





1993 165,20 189,4 155,4 24,0 12,67

Nhieàu giaù trò APE lôùn hôn 5%, vaø trong moät soá naêm chuùng vöôït qua 10%, ñaây laø tæ leä khaù lôùn. Chuùng ta cuõng quan saùt thaáy raèng caùc ñieåm phaân taùn co cuïm laïi vôùi nhau trong caùc naêm töø 1966-1977, chæ ra raèng moät yeáu toá naøo ñoù khaùc hôn laø chi phí R&D gaây ra söï thay ñoåi veà soá baèng saùng cheá. Do ñoù, quan saùt kyõ hôn caùc keát quaû chæ cho thaáy söï xaùc ñònh sai moâ hình. Trong chöông 6, chuùng ta seõ duøng taäp döõ lieäu naøy ñeå öôùc löôïng moâ hình ñöôøng cong vaø seõ xem xeùt xem lieäu vieäc xaùc ñònh naøy coù theå hieän toát hôn caùc bieán ñoåi quan saùt ñöôïc veà soá baèng saùng cheá khoâng.

TOÙM TAÉT Maëc duø moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn hai bieán ñöôïc söû duïng trong chöông naøy, nhöng haàu heát caùc khía caïnh cô baûn cuûa vieäc tieán haønh phaân tích thöïc nghieäm ñaõ ñöôïc ñeà caäp. Thaät höõu ích khi toùm taét laïi caùc keát quaû ñaõ ñöôïc thaûo luaän töø ñaàu ñeán giôø.

Moät moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn laø Yt = α + βXt + ut (t = 1, 2, …, n). Xt vaø Yt laø quan saùt thöù t laàn löôït cuûa bieán ñoäc laäp vaø bieán phuï thuoäc, α vaø β laø caùc thoâng soá cuûa toång theå khoâng bieát seõ ñöôïc öôùc löôïng töø döõ lieäu cuûa X vaø Y, ut soá haïng sai soá khoâng quan saùt ñöôïc, ñaây laø caùc bieán ngaãu nhieân vôùi caùc tính chaát ñöôïc ñeà caäp döôùi ñaây, n laø toång soá quan saùt. Ñoä doác (β) ñöôïc dieãn dòch laø aûnh höôûng caän bieân cuûa söï taêng moät ñôn vò giaù trò Xt leân Yt , α + βXt laø trò trung bình coù ñieàu kieän cuûa Y cho tröôùc X = Xt.

Thuû tuïc bình phöông nhoû nhaát thoâng thöôøng (OLS) cöïc tieåu hoùa toång bình phöông sai soá ∑ 2

tu vaø tính toaùn caùc öôùc löôïng (kyù hieäu αvaø β ø) cuûa soá haïng

tung ñoä goác α vaø ñoä doác β. Yeâu caàu duy nhaát ñeå thöïc hieän vieäc öôùc löôïng caùc thoâng soá theo OLS laø n coù giaù trò nhoû nhaát baèng 2 vaø ít nhaát moät trong nhöõng giaù trò cuûa X laø khaùc nhau – nghóa laø, khoâng phaûi taát caû caùc giaù trò cuûa X laø nhö nhau.

Neáu ut laø bieán ngaãu nhieân coù giaù trò trung bình baèng 0, vaø Xt cho tröôùc vaø khoâng ngaãu nhieân, thì E(ut) = 0 vaø E(Xtut) = 0. Caùc phöông trình chuaån laø ∑ = 0ˆtu vaø ∑ = 0ˆttuX . Lôøi giaûi cuûa caùc phöông trình naøy cho keát quaû laø

caùc öôùc löôïng theo OLS cuûa α vaø β. Döôùi caùc giaû ñònh vöøa neâu ra, caùc öôùc löôïng theo OLS laø khoâng thieân leäch

vaø nhaát quaùn. Söï nhaát quaùn ñöôïc giöõ nguyeân ngay caû neáu Xt laø ngaãu nhieân, mieãn laø Cov(X, u) = 0 vaø 0 < Var(X) < ∝ - nghóa laø, mieãn laø X vaø u khoâng töông quan vaø X khoâng laø haèng soá.





Neáu caùc giaù trò u tuaân theo phaân phoái ñoäc laäp vaø töông töï nhau (iid) vôùi moät phöông sai xaùc ñònh, α vaø β cuõng seõ laø caùc öôùc löôïng khoâng thieân leäch tuyeán tính toát nhaát (BLUE); töùc laø, trong soá taát caû toå hôïp tuyeán tính khoâng thieân leäch cuûa caùc giaù trò cuûa Y, α vaø β

β

coù phöông sai nhoû nhaát. Keát quaû naøy ñöôïc goïi laø ñònh lyù Gauss-Markov vaø coù nghóa raèng, ngoaøi tính chaát khoâng thieân leäch vaø nhaát quaùn, caùc öôùc löôïng theo OLS cuõng laø caùc öôùc löôïng hieäu quaû nhaát. Neáu caùc giaù trò cuûa u tuaân theo phaân phoái chuaån ñoäc laäp vaø töông töï nhau N(0, σ2), caùc öôùc löôïng theo OLS cuõng laø caùc öôùc löôïng thích hôïp nhaát (MLE).

Töø α vaø β , giaù trò döï baùo cuûa Yt (kyù hieäu laø tY ) thu ñöôïc

baèng tt XY βα ˆˆˆ += , vaø phaàn dö ñöôïc öôùc löôïng baèng ttt YYu ˆˆ −= . Sai soá chuaån cuûa caùc phaàn dö laø moät öôùc löôïng cuûa ñoä leäch chuaån σ vaø ñöôïc tính theo coâng thöùc [ ] 2/12 )2(ˆˆ ∑ −= nutσ . Töø caùc keát quaû naøy, ta coù theå suy ra sai soá chuaån

cuûa α vaø β ( αs vaø β

s ). Caùc sai soá chuaån caøng nhoû, ñoä chính xaùc cuûa caùc

öôùc löôïng cuûa caùc thoâng soá caøng lôùn. Söï bieán ñoåi cuûa X caøng lôùn caøng toát vì ñieàu naøy coù khuynh höôùng caûi thieän ñoä chính xaùc cuûa caùc öôùc löôïng rieâng leû.

Caùc böôùc tieán haønh kieåm ñònh ñoái thuyeát moät ñaàu veà β ñöôïc tieán haønh nhö sau:

BÖÔÙC 1 H0: β = β0 H1: β > β0 BÖÔÙC 2 Trò thoáng keâ kieåm ñònh laø ( )

βββ ˆ0 /ˆ stc −= , trong ñoù βs laø sai

soá chuaån öôùc löôïng cuûa β . Theo giaû thuyeát H0, giaù trò naøy tuaân theo phaân phoái t vôùi n – 2 baäc töï do.

BÖÔÙC 3 Tra baûng t vôùi giaù trò öùng vôùi n – 2 baäc töï do vaø moät möùc yù

nghóa cho tröôùc (chaúng haïn α), vaø tìm ñieåm t*n-2(α) sao cho

P(t> t*) = α. BÖÔÙC 4 Baùc boû H0 taïi möùc yù nghóa α neáu tc > t*. Neáu giaû thuyeát ngöôïc

laïi H1 laø β < β0, H0 seõ bò baùc boû neáu tc < - t*. Kieåm ñònh coù theå ñöôïc thöïc hieän theo moät caùch töông ñöông. Caùc böôùc 3 vaø 4 ñöôïc ñieàu chænh nhö sau: BÖÔÙC 3a Tính xaùc suaát (kyù hieäu laø p-value) sao cho t > |tc|. BÖÔÙC 4a Baùc boû H0 vaø keát luaän laø heä soá coù yù nghóa neáu p-value nhoû hôn

moät möùc yù nghóa naøo ñoù (α).





Caùc böôùc kieåm ñònh giaû thuyeát ngöôïc laïi H1 coù tính hai phía ñöôïc thöïc hieän nhö sau: BÖÔÙC 1 H0: β = β0 H1: β ≠ β0 BÖÔÙC 2 Trò thoáng keâ kieåm ñònh laø ( )

βββ ˆ0 /ˆ stc −= . Theo giaû thuyeát H0,

giaù trò tuaân theo phaân phoái t vôùi n – 2 baäc töï do. BÖÔÙC 3 Tra baûng t vôùi giaù trò öùng vôùi n – 2 baäc töï do vaø moät möùc yù

nghóa cho tröôùc (chaúng haïn α), vaø tìm ñieåm t*n-2(α/2) sao cho

P(t> t*) = α/2 (moät nöõa cuûa möùc yù nghóa). BÖÔÙC 4 Baùc boû H0 taïi möùc yù nghóa α neáu |tc| > t*.

Caùc böôùc hieäu chænh ñeå thöïc hieän kieåm ñònh theo phöông phaùp p-value nhö sau: BÖÔÙC 3a Tính p-value = 2P(t > |tc|). BÖÔÙC 4a Baùc boû H0 neáu p-value nhoû hôn moät möùc yù nghóa naøo ñoù (α).

Trò thoáng keâ ño löôøng ñoä thích hôïp cuûa moät moâ hình laø R2 = 1- (ESS/TSS), trong ñoù

∑= 2ˆtuESS vaø2

t YYTSS ∑

−= . R2 coù giaù trò töø 0 ñeán 1. Giaù trò naøy caøng

cao ñoä thích hôïp caøng toát. R2 mang hai yù nghóa: (1) noù laø tyû leä cuûa toång phöông sai cuûa Y maø moâ hình giaûi thích, vaø (2) noù laø bình phöông cuûa heä soá töông quan giöõa giaù trò quan saùt (Yt) cuûa bieán phuï thuoäc vaø giaù trò döï baùo ( )tY .

Kieåm ñònh veà ñoä thích hôïp toång theå cuûa moâ hình coù theå ñöôïc thöïc hieän baèng caùch söû duïng giaù trò R2. Caùc böôùc ñöôïc tieán haønh nhö sau (ρxy laø heä soá töông quan cuûa toång theå cuûa hai bieán X vaø Y): BÖÔÙC 1 H0: ρxy = 0 H1: ρxy ≠ 0 BÖÔÙC 2 Trò thoáng keâ kieåm ñònh laø Fc = R2(n – 2)/(1 – R2). Theo giaû

thuyeát H0, trò thoáng keâ naøy tuaân theo phaân phoái F vôùi 1 baäc töï do ôû töû soá vaø n – 2 baäc töï do ôû maãu soá.

BÖÔÙC 3 Tra baûng F theo töû soá 1 baäc töï do vaø maãu soá n – 2 baäc töï do vaø moät möùc yù nghóa cho tröôùc (chaúng haïn α) tìm gí trò F* sao cho: P(F>F*) = α.

BÖÔÙC 4 Baùc boû giaû thuyeát H0 (taïi möùc yù nghóa α) neáu Fc > F*. Khoaûng tin caäy 95% cuûa β ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:





( )ββ

ββ ˆ*

ˆ* ˆ,ˆ stst +−

Döï baùo coù ñieàu kieän cuûa Y, cho tröôùc X baèng X0, laø 0

ˆˆ XY βα += . Phöông sai cuûa noù (pheùp ño ñoä tin caäy cuûa döï baùo) tæ leä thuaän vôùi khoaûng caùch cuûa X0 so vôùi giaù trò trung bình X . Nhö vaäy, X0 caøng xa khoûi giaù trò trung bình cuûa X, giaù trò döï baùo caøng keùm tin caäy.

Thay ñoåi thang ño cuûa bieán phuï thuoäc daãn ñeán thay ñoåi töông öùng thang ño cuûa moãi heä soá hoài quy. Tuy nhieân, caùc giaù trò R2 vaø trò thoáng keâ t seõ khoâng ñoåi. Neáu thang ño cuûa moät bieán ñoäc laäp thay ñoåi, heä soá hoài quy cuûa noù vaø caùc heä sai soá chuaån töông öùng bò thay ñoåi cuøng thang ño, tuy nhieân taát caû caùc trò thoáng keâ khaùc khoâng thay ñoåi.

Vieäc xaùc ñònh chính xaùc quan heä nhaân quaû laø heát söùc quan troïng trong moâ

hình hoài quy. Giaû thieát chuaån laø X gaây ra Y. Tuy nhieân, neáu X vaø Y ñöôïc traùo ñoåi, vaø moâ hình ñöôïc öôùc löôïng baèng Xt = α* + β*Yt + vt, ñöôøng thaúng hoài quy noùi chung seõ khaùc vôùi ñöôøng ñöôïc xaùc ñònh töø moâ hình Yt = α + βXt + ut. THUAÄT NGÖÕ

Analysis of variance (ANOVA) Phaân tích phöông sai Best linear unbiased estimator (BLUE)

Öôùc löôïng khoâng thieân leäch tuyeán tính toát nhaát

Coefficient of multiple determination Heä soá xaùc ñònh boäi Conditional mean of Y given X Giaù trò trung bình ñieàu kieän cuûa

Y bieát tröôùc X Critical region Vuøng ngöôõng (vuøng tôùi haïn) Data-generating process (DGP) Quaù trình phaùt döõ lieäu Engel curve Ñöôøng cong Engel Error sum of square (ESS) Toång bình phöông sai soá Estimated residual Phaàn dö öôùc löôïng Explained variation Söï bieán ñoåi giaûi thích ñöôïc Feedback Phaûn hoài Fitted straight line Ñöôøng thaúng thích hôïp F-test Kieåm ñònh F Gauss-Markov theorem Ñònh lyù Gauss-Markov Goodness of fit Ñoä khôùp Heteroscedasticity Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi Homoscedasticity Ñoàng phöông sai sai soá (tính chaát

phöông sai cuûa sai soá khoâng thay





ñoåi) Joinly determined Ñöôïc xaùc ñònh cuøng luùc Linear estimator Öôùc löôïng tuyeán tính Marginal effect of X on Y Hieäu öùng caän bieân cuûa X leân Y Mean absolute percent error (MAPE) Sai soá phaàn traêm tuyeät ñoái trung

bình Mean squared error (MSE) Sai soá bình phöông trung bình Mean squared percentage error (MSPE)

Sai soá phaàn traêm bình phöông trung bình

Method of least square Phöông phaùp bình phöông toái thieåu

Nonlinear regression model Moâ hình hoài quy phi tuyeán Normal equation Phöông trình chuaån Ordinary least squares (OLS) Bình phöông toái thieåu thöôøng Population parameters Tham soá cuûa toång theå Population regression function Haøm hoài quy cuûa toång theå Population regression line Ñöôøng hoài quy cuûa toång theå Population variance Phöông sai cuûa toång theå Postsample forecast Döï baùo haäu maãu p-value Giaù trò p Regression coefficients Caùc heä soá hoài quy Regression sum of squares (RSS) Toång bình phöông hoài quy Residual Phaàn dö Root mean squared error Caên baäc hai cuûa sai soá bình

phöông trung bình Sample estimate Öôùc löôïng cuûa maãu Sample regression line Ñöôøng hoài quy cuûa maãu Sample regression function Haøm hoài quy cuûa maãu Sample scatter diagram Bieåu ñoà phaân taùn cuûa maãu Serial correlation Töông quan chuoãi Serial independence Ñoäc laäp chuoãi Significanly different from zero Khaùc 0 moät caùch ñaùng keå Significanly greater from zero Lôùn hôn 0 moät caùch ñaùng keå Simple linear regression model Moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn Spurious correlation Töông quan giaû taïo Spurious regression Hoài quy giaû taïo Standard error of a regression coefficient

Sai soá chuaån cuûa heä soá hoài quy

Standard error of the regression Sai soá chuaån cuûa hoài quy Standard error of the residuals Sai soá chuaån cuûa phaàn dö Statistically insignificant Khoâng coù yù nghóaveà thoáng keâ





Statistically not greater than zero Khoâng lôùn hôn 0 veà maët thoáng keâ Statistically significant Coù yù nghóa veà thoáng keâ Sum of squares of the residuals (ESS) Toång bình phöông cuûa caùc phaàn

dö Total sum of squares (TSS) Toång bình phöông toaøn phaàn Total variance Phöông sai toång t-statistic Trò thoáng keâ t t-test Kieåm ñònh t Unexplained variation Bieán ñoåi khoâng giaûi thích ñöôïc Well-behaved errors Sai soá thay ñoåi ngaãu nhieân White-noise errors Sai soá do nhieãu traéng

3.A PHUÏ LUÏC Chöùng Minh Caùc Phöông Trình

3.A.1 Bieåu dieãn 3 chieàu cuûa moâ hình tuyeán tính ñôn Hình 3.A.1 bieåu dieãn baèng ñoà thò caùc giaû thieát lieät keâ trong baûng 3.2 cho tröôøng hôïp cuûa moâ hình hoài qui 2 bieán ñôn. Truïc X vaø Y ñaïi dieän cho caùc giaù trò cuûa caùc bieán X vaø Y. Truïc Z laø haøm maät ñoä xaùc suaát f(u) cuûa sai soá ngaãu nhieân u. Ñöôøng thaúng α + βX laø trung bình coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X cho tröôùc, ñöôïc giaû söû laø tuyeán tính. Caùc phaân phoái thoáng keâ ñöôïc veõ xung quanh ñöôøng trung bình cho 3 giaù trò X1, X2 vaø X3 laø caùc phaân phoái coù ñieàu kieän töông öùng. Nhö ñaõ ñeà caäp trong baøi, giaû thieát raèng Var(ut) = σ2 ñöôïc goïi laø phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi, coù nghóa “phaân taùn nhö nhau”. Hình 3.A.1 moâ taû tính baát bieán cuûa phöông sai cuûa sai soá cho taát caû caùc quan saùt. Neáu caùc phöông sai naøy khoâng baát bieán maø thay ñoåi theo t [nhö vaäy, Var(ut) ≠σ2

t], ta coù phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi (phaân taùn khoâng nhö nhau). Hình 3.A.2 minh hoïa tröôøng hôïp phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi trong ñoù phöông sai taêng khi X taêng. Tröôøng hôïp naøy ñöôïc xem xeùt chi tieát hôn trong chöông 8.

Hình 3.A.1 Bieåu dieãn ñoà thò cuûa Moâ hình Hoài Qui Tuyeán Tính Ñôn

0

f(u)

X X1 X2

Y

α + βX

X3





3.A.2 Caùc Keát Quaû Cuûa Pheùp Tính Toång

Caùc tính chaát 3.1 vaø 3.2 ñöôïc chöùng minh ôû ñaây TÍNH CHAÁT 3.1

( ) 2t

2t

22t

2txx X

n1XXnXXXS ∑∑∑∑ −=−=−= )()(

Chöùng minh

[ ] ∑∑∑∑∑ +−=+−=− 2

t2t

2t

2t

2t XXX2XXXX2XXX )()()(

Nhö tröôùc ñaây, X nhö nhau vôùi moãi giaù trò t. Do vaäy, bieåu thöùc treân =

∑ ∑ +− 2t

2t XnXX2X )( . Hôn nöõa XnXt =∑ . Do ñoù, bieåu thöùc trôû thaønh

22t XnXnX2X )(+−∑ . Keát hôïp soá haïng thöù hai vaø ba trong bieåu thöùc ta ñöôïc phaàn thöù

nhaát cuûa tính chaát. Ta bieát raèng X = (∑Xt)/n. Thay vaøo, ta coù phaàn thöù hai cuûa tính chaát.

TÍNH CHAÁT 3.2

( )( )[ ]nYXYXYXnYXYYXXS ttttttttxy /))(( ∑∑∑∑∑ −=−=−−=

Chöùng minh

X3 X

f(u)

0 X1 X2

Y

α + βX

Hình 3.A.2 Minh hoïa veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi





)())(( YXXYYXYXYYXX tttttt +−−=−− ∑∑

∑ ∑∑ +−−= YXnYXXYYX tttt

YXnYnXXnYYX tt +−−= ∑

YXnYX tt −= ∑

Thay ∑= nXX t /)( vaø nYY t /)(∑= , ta coù ñaúng thöùc thöù hai.





3.A.3 Chöùng Minh Caùc Phöông Trình Chuaån Baèng Pheùp Bình Phöông Nhoû Nhaát

Trong phaàn naøy ta aùp duïng phöông phaùp bình phöông nhoû nhaát, ñöôïc trình baøy trong phaàn 3.2 vaø chöùng minh caùc phöông trình chuaån (3.4) vaø (3.5). Tieâu chuaån bình phöông nhoû nhaát laø choïn giaù trò cuûa α vaø β laøm toái thieåu toång bình phöông sai soá:

∑∑=

=

=

=

β−α−==βαnt

1t

2tt

nt

1t

2t XYuESS )ˆˆ(ˆ)ˆ,ˆ(

Ñeå toái thieåu ESS vôùi α vaø β , ta cho ñaïo haøm rieâng (xem phaàn 2.A.3 veà ñaïo haøm rieâng) ∂ESS/∂ α vaø ∂ESS/∂ β baèng 0 vaø giaûi phöông trình naøy. Ta coù

( )01XY21u2uu2

uESSttt

tt

2t =−β−α−=−=

α∂∂

=α∂∂

=α∂

∂ ∑∑∑∑ ))(ˆˆ()(ˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆ

∑∑∑∑ =−β−α−=−=β∂

∂=

β∂

∂=

β∂∂ 0XXY2Xu2uu2

uESSttttt

tt

2t ))(ˆˆ()(ˆˆ

ˆˆˆ)ˆ(

ˆ

Töø ñoù ta thu ñöôïc caùc phöông trình sau:

∑ =β−α− 0XY tt )ˆˆ(

∑ =β−α− 0XXY ttt )ˆˆ(

Laáy toång töøng soá haïng vaø löu yù raèng α vaø β khoâng phuï thuoäc vaøo t vaø laø thöøa soá chung coù theå ñöa ra ngoaøi caùc toång, ta ñöôïc

∑∑ β+α= tt XnY ˆˆ

∑∑∑ β+α= 2tttt XXXY ˆˆ

Phöông trình ñaàu tieân töông ñöông vôùi phöông trình (3.4) vaø phöông trình thöù 2 töông ñöông vôùi phöông trình (3.5).

3.A.4 Öôùc Löôïng Khoâng Thieân Leäch Tuyeán Tính Toát Nhaát (Blue) Vaø Ñònh Lyù Gauss-Markov Töø lyù thuyeát thoáng keâ ta bieát raèng moät trong nhöõng tính chaát mong muoán cho moät öôùc löôïng laø öôùc löôïng tuyeán tính khoâng thieân leäch phöông sai nhoû nhaát (xem ñònh nghóa 2.8). Noùi caùch khaùc, giöõa caùc toå hôïp tuyeán tính cuûa bieán phuï thuoäc khoâng thieân leäch, ta choïn moät bieán coù





phöông sai nhoû nhaát. Ñaây laø öôùc löôïng khoâng thieân leäch toát nhaát (BLUE). Trong phaàn naøy ta chöùng minh ñònh lyù Gauss-Markov, ñònh lyù naøy cho raèng öôùc löôïng OLS ruùt ra trong phaàn 3.2 cuõng coù tính chaát BLUE.

Ñaàu tieân löu yù raèng öôùc soá OLS β thöïc söï coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö laø toå hôïp tuyeán tính cuûa Yt. Ñeå thaáy ñieàu naøy, ta vieát laïi phöông trình (3.12) döôùi ñaây.

(3.12) ( )( )

−= ∑∑∑ n

YXYXS tt

ttxy

Löu yù nXX t /∑= , keát quaû naøy coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

ttttt YXXYXYX )( −=− ∑∑∑

Vì β = Sxy/Sxx töø phöông trình (3.10), ta coù

tttxx

t YYS

XX ∑∑ ω=

−=β

Ñaây laø toå hôïp tuyeán tính cuûa Yt vôùi troïng soá

−=ω

xx

tt S

XX phuï thuoäc vaøo Xt. Baây giôø xem

toång toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc giaù trò cuûa Y coù daïng ∑=β ttYa~ , vôùi at coù tính khoâng ngaãu

nhieân. Öôùc löôïng khoâng thieân leäch toát nhaát (BLUE) coù 2 tính chaát: (1) β~ khoâng thieân leäch vaø (2) Var( β~ ) laø nhoû nhaát. Chöùng minh Goïi dt = at - ωt laø hieäu soá caùc troïng soá (löu yù raèng dt chæ phuï thuoäc caùc bieán X vaø do ñoù ñöôïc xem laø khoâng ngaãu nhieân). Vaäy at = ωt + dt. Tieáp theo laø

∑∑ +β=+ω=β ttttt YdYd ˆ)(~

)()()()~( tttttt XdYEdYdEE β+α+β=+β=+β=β ∑∑∑

ttt Xdd ∑∑ β+α+β=





Ñeå coù tính khoâng thieân leäch, keát quaû naøy phaûi baèng β, ñieàu naøy xaûy ra khi vaø chæ khi

∑dt = 0 vaø ∑dtXt = 0 Phöông sai cuûa öôùc löôïng β~ ñöôïc xaùc ñònh bôûi Var[∑(ωt + dt)Yt]. Töø tính chaát 2.A.5c, phöông sai cuûa toång caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp laø toång caùc phöông sai (tính ñoäc laäp ñöôïc ñaûm baûo bôûi giaû thieát 3.6). Hôn nöõa, do giaû thieát 3.5 veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi, ut vaø do vaäy Yt coù phöông sai khoâng ñoåi σ2. Töø ñoù ta coù

Var( β~ ) = σ2∑(ωt + dt)2 = σ2∑ω2t + σ2∑d2

t + 2σ2∑ωtdt

Soá haïng thöù 3 baèng 0 vì ∑ωtdt = 0dS

XXt

xx

t =

−∑ , do caùc ñieàu kieän veà tính khoâng thieân leäch

∑dt = 0 vaø ∑dtXt = 0 laøm cho moãi soá haïng trong toång baèng 0. Trong bieåu thöùc treân veà phöông sai cuûa β~ , soá haïng ñaàu ñoäc laäp vôùi caùc bieán choïn dt. Bôûi vì soá haïng thöù hai laø toång caùc bình phöông, chæ coù caùch duy nhaát ñeå toái thieåu soá haïng naøy laø choïn moãi giaù trò cuûa ds baèng 0. Ñieàu naøy laøm cho at = ωt vaø do ñoù β≡β ˆ~ , nhö vaäy yù noùi raèng öôùc löôïng OLS thöïc söï laø BLUE vaø do vaäy seõ coù hieäu quaû nhaát. Ñieàu naøy xaùc minh ñònh lyù Gauss-Markov. Cuõng neân löu yù raèng vieäc chöùng minh ñònh lyù caàn ñeán caùc giaû thieát 3.5 vaø 3.6 veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi vaø tính ñoäc laäp theo chuoãi. Neáu moät trong 2 giaû thieát naøy bò vi phaïm, thì phöông phaùp OLS khoâng cho öôùc löôïng hieäu quaû.

3.A.5 Öôùc Löôïng Thích Hôïp Nhaát Lyù do cuûa phöông phaùp öôùc löôïng thích hôïp nhaát ñöôïc dieãn taû chi tieát trong phaàn 2.A.4. Baïn ñoïc coù theå xem phaàn ñoù tröôùc khi baét ñaàu phaàn naøy. Trong phaàn ñoù, phöông phaùp naøy ñaõ ñöôïc aùp duïng cho tröôøng hôïp öôùc löôïng giaù trò trung bình vaø phöông sai cuûa moät phaân phoái chuaån. ÔÛ ñaây ta aùp duïng kyõ thuaät töông töï vaøo baøi toaùn hoài qui. Bôûi vì nguyeân lyù thích hôïp nhaát ñoøi hoûi kieán thöùc veà caùc phaân phoái trong baøi toaùn, neân ta caàn giaû thieát 3.7. Caùc böôùc ñeå xaùc ñònh moät öôùc löôïng thích hôïp nhaát raát deã hieåu. Tröôùc tieân, laäp haøm thích hôïp lieân keát haøm maät ñoä cuûa caùc quan saùt vôùi caùc thoâng soá chöa bieát. Ñeå cöïc ñaïi haøm naøy, laáy vi phaân rieâng phaàn logarit cuûa haøm thích hôïp cho moãi thoâng soá chöa bieát vaø cho baèng 0. Keá ñeán giaûi caùc ñieàu kieän baäc nhaát ñeå tìm caùc öôùc löôïng thích hôïp nhaát. Haøm maät ñoä cuûa u ñöôïc xaùc ñònh theo [xem phöông trình (2.4)]

22 2ue2

1uf σ−

πσ= /

)()(

Bôûi vì caùc quan saùt laø ñoäc laäp nhau, haøm thích hôïp cuûa u1, u2,…,un laø





L(α, β, σ2) = f(u1) f(u2) f(u3).. .. ..f(un)

= )/(

)(22

t 2un

e21 σ∑−

πσ

= )/()(

)(22

tt 2XYn

e21 σβ−α−∑−

πσ

Thöïc hieän cöïc ñaïi hoùa logarit cuûa haøm thích hôïp thì deã hôn, giaù trò cöïc ñaïi seõ baèng vôùi giaù trò lôùn nhaát L bôûi vì loga coù tính chaát taêng ñeàu; nghóa laø neáu a>b, thì ln(a)>ln(b).

∑

σβ−α−

−π−σ−= 2

2tt

2XY2nnL )()ln(lnln

22SSE2nnσ

−π−σ−= )ln(ln

Trong ñoù SSE = ∑ (Yt - α -βXt)2. α vaø β chæ xuaát hieän trong soá haïng SSE. Do ñoù, lnL lôùn nhaát baèng vôùi SEE nhoû nhaát (bôûi vì coù daáu aâm tröôùc SSE). Nhöng SSE nhoû nhaát nghóa laø caùc öôùc löôïng bình phöông nhoû nhaát. Do ñoù, caùc öôùc löôïng bình phöông nhoû nhaát cuõng laø MLE vôùi ñieàu kieän caùc sai soá cuûa u tuaân theo phaân phoái N(0,σ2). Bôûi vì caùc öôùc löôïng thích hôïp nhaát laø ñoàng nhaát vaø hieäu quaû moät caùch tieäm caän, neân caùc öôùc löôïng OLS cuõng vaäy. Ñeå coù MLE cuûa σ2, laáy vi phaân rieâng phaàn lnL theo σ vaø cho baèng 0. Ta coù

0SEEnL3 =

σ+

σ−=

σ∂∂ )(ln

Giaûi phöông trình tìm σ2 ta ñöôïc σ2 = SSE/n. Nhöng SSE phuï thuoäc vaøo α vaø β. Tuy nhieân, ta coù theå duøng caùc öôùc löôïng cuûa chuùng α vaø β . Do ñoù ta thu ñöôïc MLE cuûa phöông sai cuûa ut baèng vôùi nu2

t2 /ˆ~ ∑=σ . Nhö ñaõ phaùt bieåu tröôùc ñoù, giaù trò naøy khoâng thieân leäch. Moät öôùc löôïng

khoâng thieân leäch coù theå tìm ñöôïc baèng caùch chia ∑ 2tu cho n-2 vaø duøng 2σ ñaõ xaùc ñònh trong

phöông trình (3.21). Ñieàu kieän khoâng thieân leäch ñöôïc chöùng minh trong phuïc luïc phaàn 3.A.7.

3.A.6 Tìm Caùc Phöông Sai Cuûa Caùc Öôùc Löôïng Töø phöông trình (3.10), ta coù β = Sxy/Sxx. Vì X laø khoâng ngaãu nhieân theo giaû thieát 3.4, Sxx cuõng khoâng ngaãu nhieân vaø do ñoù Var( β ) = Var(Sxy)S2

xx. Töø phöông trình (3.15), Sxy = βSxx + Sxu vaø do ñoù Var(Sxy) = Var(Sxu). Töø phöông trình (3.16) ta löu yù raèng Sxu = tt uXX )( −∑ . Tính chaát

2.A.5c cho thaáy phöông sai cuûa toång caùc bieán ngaãu nhieân laø toång cuûa caùc phöông sai vôùi ñieàu





kieän ñoàng phöông sai (covariance) caùc soá haïng baèng 0. Theo giaû thieát 3.6, ut vaø us laø khoâng töông quan vôùi moïi t≠s vaø ñoàng phöông sai baèng 0. Do ñoù,

[ ] [ ] )()()()()( t2

tttttxu uVarXXuXXVaruXXVarSVar −=−=−= ∑∑∑

Vôùi giaû thieát 3.5, Var(ut) = σ2. Do ñoù, Var(Sxu) = ∑ −σ 2

t2 XX )( =σ2Sxx. Töø ñoù seõ coù

xx

2

2xx

2

2xx

xy

SSS

SSVar

Varxx σ=

σ==β

)()ˆ(

Vaäy ta ñaõ chöùng minh phöông trình (3.18). Thuû tuïc ñeå chöùng minh caùc phöông trình (3.19) vaø (3.20) cuõng töông töï vaø seõ laø baøi taäp cho baïn ñoïc.

3.A.7 Öôùc Löôïng Khoâng Thieân Leäch Cuûa Phöông Sai Cuûa Soá Haïng Sai Soá Theo phöông trình (3.21), s2 = )/()ˆ(ˆ 2nu2

t2 −=σ ∑ laø moät öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa σ2.

Ñieàu naøy ñöôïc chöùng minh nhö sau.

ttttt XXYYXYu β−β−−=β−α−= ˆ)ˆ(ˆˆˆ Duøng phöông trình (3.9) cho α . Vì Yt ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình (3.1), uXY +β+α= vôùi u baèng ∑ut/n. Do ñoù, nhoùm taát caû caùc soá haïng β ta coù,

tttt XXuXuXu β−β++β+α−+β+α= ˆˆ)()(ˆ

))(ˆ()( XXuu tt −β−β−−= Toång bình phöông cuûa tu ñöôïc xaùc ñònh theo

∑ ∑ ∑ ∑ −−β−β−−β−β+−= ))(()ˆ()()ˆ()(ˆ uuXX2XXuuu tt2

t22

t2t

xuxx2

uu S2SS )ˆ()ˆ( β−β−β−β+= Duøng kyù hieäu töông töï nhö trong phöông trình (3.11) vaø (3.16). Töø phöông trình (3.15), Sxu= Sxy - βSxx = Sxx( β - β). Thay keát quaû naøy vaøo phöông trình treân vaø keát hôïp caùc soá haïng thöù hai vaø ba ta coù

xx2

uu2t SSu )ˆ(ˆ β−β−=∑





Ñeå tính giaù trò kyø voïng cuûa toång bình phöông cuûa sai soá, ta caàn E(Suu)vaø E[( β - β)2]. Töø tính chaát 2.11b ta löu yù raèng

E(Suu) = (n-1)Var(u) = (n-1)σ2. Hôn nöõa,

E[( β - β)2] = Var( β ) =xx

2

Sσ

Töø phöông trình (3.18). Ñaët taát caû caùc keát quaû, ta coù

( ) 2222xxuu

2t 2n1nESSEuE σ−=σ−σ−=β−β−=∑ )()(])ˆ[()(ˆ

Chia cho n-2 ta coù keát quaû mong muoán

22t2

2nu

EE σ=

−=σ ∑ ˆ

)ˆ(

Vaäy, 2σ laø öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa σ2.

3.A.8 Chöùng Minh Phöông Trình 3.25 Giaù trò toång bình phöông ñöôïc vieát laïi nhö sau:

∑ ∑ −+−=− 2

ttt2

t YYYYYY )ˆˆ()(

= )ˆ)(ˆ()ˆ()ˆ( YYYY2YYYY ttt2

t2

tt −−+−+− ∑∑∑

Vôùi ttt YYu ˆˆ −= , hai soá haïng ñaàu tieân laø hai soá haïng coù trong phöông trình (3.25). Baây giôø taát

caû ñieàu ta caàn laø phaûi chöùng minh raèng ∑ ∑ =−=−− 0YYuYYYY ttttt )ˆ(ˆ)ˆ)(ˆ( .

∑ ∑ ∑ ∑ ∑−β+α=−β+α=− tttttttt uYXuuYXuYYu ˆˆˆˆˆ)ˆˆ(ˆ)ˆ(ˆ

Töø phöông trình chuaån ñaàu tieân (3.4), ∑ ∑ =β−α−= 0XYu ttt )ˆˆ(ˆ . Töø phöông trình (3.5),

∑∑ =β−α−= 0XXYXu ttttt )ˆˆ(ˆ , vaäy keát quaû ñöôïc chöùng minh.

3.A.9 Chöùng Minh Phöông Trình 3.26a

Ñeå chöùng minh phöông trình (3.26a), tröôùc tieân ta tìm ñoàng phöông sai maãu (kyù hieäu bôûi Cov) giöõa Yt vaø tY . Töø phöông trình (2.10),





Cov (Yt, tY ) = ∑ −−−

)ˆ)(( YYYY1n

1tt

Löu yù raèng trung bình cuûa tY cuõng laø Y bôûi vì YX =β+α ˆˆ . Vaäy,

)ˆ(ˆ)ˆ()ˆ( YYuYYYYYY tttttt −+=−+−=− Do ñoù,

Cov (Yt, tY ) = 1nYY

1nYYu 2

ttt

−

−+

−

− ∑∑ )ˆ()ˆ(ˆ

Phaàn tröôùc ñaõ cho thaáy soá haïng thöù nhaát baèng 0. Do vaäy, ñoàng phöông sai cuûa Yt vaø tY baèng vôùi soá haïng thöù hai, laø RSS/(n-1);

Cov (Yt, tY ) = 1n

RSS−

Ta cuõng coù

Var(Yt) = 1n

TSS−

vaø Var( tY ) = 1n

RSS1nYY 2

t

−=

−

−∑ )ˆ(

Töø phöông trình (2.7) ta nhôù laïi bình phöông cuûa heä soá töông quan ñôn giöõa Yt vaø tY ñöôïc xaùc ñònh bôûi Thay theá ñoàng phöông sai vaø phöông sai töø bieåu thöùc vöøa ruùt ra vaø boû n-1, ta coù

22

2YY R

TSSRSS

RSSTSSRSSr ===ˆ

Vaäy, bình phöông cuûa töông quan ñôn giöõa giaù trò quan saùt Yt vaø giaù trò tY ñöôïc döï baùo bôûi moâ hình hoài qui laø nhö nhau vaø laø R2 ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình (3.26).

3.A.10 Chöùng Minh Raèng r2xy = R2 Cho Moâ Hình Hoài Qui Ñôn

)ˆ,( tt2 YYCov

)ˆ()( tt YVarYVar=2

YYr ˆ





Trong phaàn naøy ta seõ chöùng minh raèng trong tröôøng hôïp moâ hình hoài qui ñôn, R2 cuõng baèng vôùi bình phöông cuûa töông quan ñôn giöõa X vaø Y. Töø phöông trình (2.11), r2

xy = S2xy/(SxxSyy). Syy

baèng vôùi toång bình phöông TSS. Hôn nöõa, RSS = ∑ − 2t YY )ˆ( . Vì tt XY β+α= ˆˆˆ vaø

XY β+α= ˆˆ , ta coù )(ˆˆ XXYY tt −β=− . Do ñoù,

xx22

t22

t SXXYYRSS β)(β)ˆ( =−=−= ∑∑

Töø phöông trình (3.10), β = Sxy/Sxx. Thay keát quaû naøy cho moät soá haïng β ôû treân, ta thu ñöôïc

xyxxxx

xy SSSS

RSS β=

β= ˆ)(ˆ

Thay theá Sxy töø keát quaû naøy vaø löu yù raèng Syy = TSS, ta coù

2xy

xx

xyxy

yyxx

2xy2

xy RTSSS

TSSSSS

SSS

r =β

===ˆ

Keát quaû ñaõ ñöôïc chöùng minh.

3.A.11 Chöùng Minh Phöông Trình 3.28

2000 XYEYEYVar )]ˆ(ˆ[)ˆ( −=

20

200 XEXXE )]ˆ()ˆ[(]ˆˆ[ β−β+α−α=β−α−β+α=

)ˆ,ˆ()ˆ()ˆ( βα+β+α= CovX2VarXVar 020

Trong pheùp bieán ñoåi treân, ta ñaõ duøng tính chaát 2.4a. Thay töø phöông trình (3.18), (3.19) vaø (3.20), ta ñöôïc

−+σ= ∑

xx

0

xx

2o

xx

2t2

0 SXX

2S1X

nSX

YVar )ˆ(

Vôùi Sxx = 22

t XnX −∑ . Löu yù raèng 2xx

2t XnSX +=∑ vaø thay vaøo bieåu thöùc phöông sai, ta

ñöôïc

−+σ=

−++σ=

xx

202

xx

020

22

0 SXX

n1

SXX2XX

n1YVar

)()ˆ(





Keát quaû naøy laø phöông trình (3.28). 3.A.12 Chöùng minh phöông trình 3.29 Goïi 000 YYu ˆˆ −= laø sai soá taïi ñieåm döï baùo cuûa Y0, vôùi 00 XY β+α= ˆˆˆ laø giaù trò döï baùo cuûa trung bình. Do ñoù ta coù

)ˆ,()ˆ()()ˆ( 00000 YYCov2YVarYVaruVar −+= Vì Y0 = α + βX0 + u0, Var(Y0) = σ2. Maët khaùc, Var( 0Y ) ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình (3.26).

Cuoái cuøng, Cov(Y0, 0Y ) = 0, bôûi vì u0 khoâng töông quan vôùi caùc soá dö khaùc vaø do ñoù khoâng

töông quan vôùi α vaø β . Vaäy ta coù

−++σ=

xx

202

0 SXX

n11uVar

)()ˆ(





BAØI TAÄP Caâu Hoûi Lyù Thuyeát 3.1. Taát caû caùc toång ôû boán bieåu thöùc döôùi ñaây ñöôïc duøng ñeå tính caùc döõ lieäu

maãu, khoâng phaûi daønh cho taäp hôïp hoaøn chænh. Haõy chæ ra nhöõng bieåu thöùc sai vaø ñuùng. Giaûi thích taïi sao nhöõng bieåu thöùc ñoù ñuùng hay sai.

a. 0ˆ1 =∑ = tnt u

b. 0ˆ1 =∑ = ttnt uX

c. 01 =∑ = tnt u

d. 01 =∑ = ttnt uX

3.2. Coù söï khaùc bieät gì giöõa soá haïng sai soá vaø phaàn dö? Haõy giaûi thích söï khaùc bieät giöõa ut vaø E(ut). Sau ñoù, haõy chöùng minh raèng 0)ˆ( =tuE . Vaø giaûi thích giaù trò kyø voïng nghóa laø gì cuõng nhö neâu ra nhöõng giaû thieát caàn thieát ñeå chöùng minh bieåu thöùc treân.

3.3. Cho moâ hình tuyeán tính ñôn bieán ttt uXY ++= βα , haõy chöùng minh raèng döôùi nhöõng giaû thieát nhaát ñònh, phöông phaùp öôùc löôïng OLS cho keát quaû caùc öôùc löôïng khoâng cheäch? Coù nghóa laø caàn phaûi chöùng minh raèng

)((^

tt YEYE = . Haõy neâu ra nhöõng giaû thieát caàn thieát cho vieäc chöùng minh ñoù.

3.4. Neâu ra nhöõng giaû thieát caàn thieát cho moãi phaùt bieåu sau. Ñoàng thôøi giaûi thích lyù do taïi sao nhöõng giaû thieát naøy caàn cho phaùt bieåu ñoù. e. Ñeå öôùc löôïng α vaø β baèng phöông phaùp OLS f. Ñeå chöùng minh raèng caùc öôùc löôïng cuûa caùc thoâng soá theo phöông

phaùp OLS laø khoâng cheäch vaø nhaát quaùn. g. Ñeå chöùng minh raèng caùc öôùc löôïng theo phöông phaùp OLS laø hieäu

quaû h. Ñeå thöïc hieän kieåm ñònh t vaø F

3.5. Nhöõng caâu hoûi sau laø ñuùng hay sai? Neáu nhöõng caâu hoûi naøy chæ ñuùng moät phaàn, baïn haõy chæ ra phaàn ñuùng ñoù. Giaûi thích lyù do taïi sao nhöõng caâu (phaàn) ñoù ñuùng. i. Caùc öôùc löôïng heä soá goùc theo phöông phaùp OLS seõ chính xaùc hôn

neáu caùc giaù trò X gaàn vôùi trò trung bình maãu cuûa chuùng hôn. j. Neáu Xt vaø ut töông quan, caùc öôùc löôïng vaãn seõ khoâng cheäch. k. Caùc öôùc löôïng khoâng theå laø öôùc löôïng khoâng leäch tuyeán tính toát nhaát

(BLUE) tröø phi taát caû caùc giaù trò ut tuaân theo phaân boá chuaån.





l. Neáu caùc soá haïng sai soá khoâng tuaân theo phaân phoái chuaån thì caùc kieåm ñònh t vaø F khoâng theå ñöôïc thöïc hieän.

m. Neáu phöông sai cuûa ut lôùn thì caùc khoaûng tin caäy cuûa caùc öôùc löôïng seõ lôùn (roäng) hôn.

n. Neáu phöông sai cuûa X lôùn thì caùc khoaûng tin caäy öôùc löôïng seõ heïp hôn.

o. Khi trò soá p-value lôùn thì heä soá seõ khaùc 0 moät caùch ñaùng keå. p. Neáu baïn choïn moät möùc yù nghóa cao hôn thì heä soá hoài qui seõ coù khaû

naêng coù yù nghóa hôn.

Rama Ch3

Education