8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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Capítulo Pág.
I. Radicación ......................................................................................................................41
II. Límites ............................................................................................................................ 45
III. Derivadas I ......................................................................................................................55
IV. Derivadas II .....................................................................................................................61
V. Logaritmos I ....................................................................................................................69
VI. Logaritmos II ...................................................................................................................77
VII. Repaso I ......................................................................................................................... 85
VIII. Repaso II ........................................................................................................................ 89
Álgebra
ÍNDICE
B lackames
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CIENCIAS - PAMER5
AÑOÁLGEBRA
Radicación
Capítulo I
Transformación de radicales dobles a simples
Forma general: B A
Para transformar este tipo de radicales aplicamos lasiguiente fórmula general:
A B = A + C
2 -+ -+ A - C
2
Donde: B AC 2
* Ejm.: Transformar: 245
11245C24B
5 A 2
Luego:
2
15
2
15245
23245
Método práctico:
A 2 B = x y± ±
(x + y) x . y donde: x > y
* Ejm.: Transformar: 42213
13 + 2 42 = 7 + 6
7 + 6 7 . 6
* Ejm.: Transformar: 45214
14 - 2 45 = 9 - 5 = 3 - 5
9 + 5 9 . 5
Racionalización
Es el procedimiento por el cual se transforma unafracción que tiene denominador irracional en otra fracciónequivalente cuyo denominador es racional.
Regla práctica: Se multiplica el numerador y denominadorpor una misma expresión a la cual se denomina factorracionalizante. (F.R.)
racional
.R .F.N
.R .F
.R .F
irracional
N
Casos que se presenta:
Expresionirracional
F.R. Expresion
racional
na
m
a + b
a - b
3 a + 3 b
3a -
3b
na
n - m
a - b
a + b
3 a -2 3 ab +3 b2
3a +
2 3ab +
3b
2
a
a - b
a + b
a - b
a - b
* Ejm.: Racionalizar:
a) x
x
x
x.
x
1
x
1 3 2
.R .F
3 2
3 2
33
b) 3
25
25
25.
25
1
25
1
.R .F
c)9
.R .F
2147
2147.
27
1
27
1
.R .F
3 233 2
3 233 2
3333
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Bloque I
1. Racionalizar:
6
3
a) 6 b) 3 c)2
6
d)3
3e)
3
6
2. Racionalizar:32
3
a)3
3b)
2
33c)
2
3
d) 3 e) 2
3
3. Racionalizar:4 23 zyx
xyz
a) 4 32zxy b) 4 xyz c) 4 222 zyx
d) 3xyz e) xyz
4. Efectuar:2
22
3
3
a) 3 b) 6 c) 2
d) - 2 e) 0
5. Efectuar:
2
5
15
3
6
2
4
a) 52 b) 532
c) 52 d) 8
e) 0
Problemas para la clase
6. Efectuar:25
3
a) 1 b) 52 c) 52
d) 10 e)
2
2
7. Efectuar:
35
2
23
1
25
3
a) 2 b) 52 c) 32
d) 0 e) 25
8. Efectuar:
35
3515
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
9. Después de racionalizar el denominador de27
3
se
obtiene: ;ba calcular: a + b2
a) 11 b) 10 c) 9d) 7 e) 4
10.Efectuar:
36123628
3473413E
a) 2 b)2
1c) 4
d) 8 e) 12
Bloque II
1. Hallar el radical doble equivalente de:
3413347
a) 323
b) 324 c) 325
d) 321 e) 23
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2. Transformar a radicales simples:
347463263
a) 12 b) 12 c) 22
d) 32 e) 102
3. Efectuar:
312213819R
a) 31
b) 31 c) 81
d) 61 e) 21
4. Señalar el denominador racionalizado:
2372
4
a) -6 b) -7 c) -8d) -9 e) -10
5. Racionalizar:
333 162025
1 A
a) 1 b) 9 c) 33 23
d) 33 45 e) 33
25
6. A cuánto equivale:
5372
53R
a) 5 b)35 c)
53
d) 3 e)5
5
7. Racionalizar:
3331826216
16 V
a) 3 4 b) 33 34
c) 3 416
d) 33 412 e) 33
412
8. Simplificar:
1
21
12
12
12
1 A
a) 1 b) -1 c) 2
d) 2 e) 3
9. Calcular:
1
2323
23232L
a) 6 b) 2 c) 3
d) 0 e) 1
10.Dar el denominador racionalizado de:
9
6
2
a) 4 b) 3 c) 7d) 14 e) 28
Bloque III
1. Efectuar:
;aba
bbab2
b
aaR
si: a > 0 b > 0
a) a b) ab c) a - b
d) a + b e) b
a
2. Indicar el denominador racionalizado de:
88ba
1C
a) a + b b) a - b c) ad) b e) ab
3. Racionalizar:
6321
2H
; la expresión resultante es:
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a) 3621 b) 23
c) 65 d) 6321
e) 1
4. Efectuar:
35212
2
1429
5R
a) 52
b) 52
c) 272
d) 25
e) 5272
5. Dar el denominador racionalizado de:
3325
3 V
a) 1 b) 3 c) -3d) 2 e) -1
6. Reducir:
333469
5 A
a) 23
b) 1 c) 23
d) 32 e) -1
7. Simplificar:
1
3
13
13
13
3
4
a) 3 b) 13 c) 13
d) 32 e) 33
8. Simplificar:
1x:si;1x2x
1
1x2x
1
R
a) x + 2 b)1x
1x2
c)1x
1x2
d)2x
1x2
e)1x2
2x
9. Reducir:
3101...
251
341
231R
a) 210 b) 210 c) 10
d) 2 e) 5
10.Si “a”, “b” y “c” son positivos y además: c > b > a;transformar a radicales simples:
ab2bc6b3ac4cbaR 2
indicar uno de ellos.
a)2
cb2 b)
2
c2b c)
2
b3a
d)2
ba2 e)
2
bc2
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CIENCIAS - PAMER5
AÑOÁLGEBRA
Límites
Capítulo II
La recompensa del soldado
En un antiguo manual ruso de matemáticas, que lleva el ampuloso título de curso completo de matemáticas puras,elaborado por Efim Voitiajovski, cadete de artillería y profesor particular, para uso y provecho de la juventud y cuantos se ejercitan en matemáticas (1785), se lee el siguiente problema:
"Un soldado veterano recibe como recompensa 1 kopek por la primera herida sufrida; 2, por la segunda; 4, por latercera, etc. Cuando se hizo el recuento, el soldado resultó recompensado con 655 rublos 35 kopeks. Deséase saber elnúmero de heridas".
1 rublo = 100 kopeks
Solución:Planteamos la ecuación:6 5 5 3 5 = 1 + 2 + 2
2 + 23 + ... + 2x-1
65 535 = 1212
12.2 X1x
de donde obtendremos:65 536 = 2x y x = 16
resultado que obtenemos fácilmente por tanteo.Con este generoso sistema de recompensa, el soldado debía ser herido 16 veces, quedando además vivo, para
obtener 655 rublos y 35 kopeks.
El número "e" : ¿por qué?
Casi siempre nos es presentada la noción de logaritmo,por primera vez, del siguiente modo: "el logaritmo de unnúmero “y” en base "a" es el exponente "x" tal que: ax = y".
Sigue la observación: "Los números usados másfrecuentemente como base de un sistema de logaritmosson 10, que es la base de nuestro sistema de numeración,y el número e = 2,71828182...". Esto nos deja intrigados.
De partida, una pregunta ingenua: ¿persiste laregularidad en la secuencia de las cifras decimales de estenúmero? No. Apenas una coincidencia al comienzo. Un valormás preciso sería e = 2,718281828459...
No se trata de una fracción decimal periódica. El número"e" es irracional, esto es, no puede ser obtenido comocociente e = p/q de dos números enteros. Más aún: es unirracional trascendente . Esto significa que no existe unpolinomio P(x) con coeficientes enteros, que se anule para:x = e.
¿Por qué entonces escoger un número tan extraño comobase de logaritmos? Aún después de aprender que:
n
n n
11lime
la indagación persiste: ¿qué hace tan importante a esenúmero? Esto es lo que procuraré responder aquí.
Tal vez la respuesta más concisa sea que el número "e"es importante porque es inevitable. Surge espontáneamente
en varias cuestiones básicas.
Una de las razones por las cuales la matemática es útila las ciencias en general está en el cálculo (diferencial eintegral), que estudia la variación de las magnitudes. Y untipo de variación de los más simples y comunes es aquelen el cual el crecimiento (o decrecimiento) de una magnituden un instante es proporcional al valor de la magnitud enaquel instante. Este tipo de variación ocurre, por ejemplo,en cuestiones de interés, crecimiento de poblaciones (depersonas o bacterias), desintegración radiactiva, etc.
LímitesNuestro propósito será estudiar la noción de límite desdeun punto de vista intuitivo, para lo cual damos la idea deaproximación, de punto de acumulación, terminando conuna noción intuitiva de límite.
I. Ideas de aproximación
Sea “x0” un punto fijo en la recta numérica tal como seindica:
x0
recta numérica
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Cuando un número desconocido “x” se aproxima a “x0”,lo puede hacer por valores mayores o menores que
“x”.
x0x x
- Por la izquierda de x0 (menores que x0).- En estecaso se dice que “x” se aproxima a “x0” por lai z q u i e r d a , p o r t a n t o s e s i m b o l i z a c o m o : x x0--,expresión que se lee: “x" es menor que "x0", perocercano a él.
- Por la derecha de x0 (mayores que x0).- En esteotro caso, se dice que “x” se aproxima a “x0” por laderecha, por tanto se simboliza como: x x0+,expresión que se lee: “x" es mayor que "x0", perocercano a él.
En los siguientes ejemplos, analizaremos qué sucedecon las imágenes f (x) cuando las preimágenes “x” varían.
* Ejemplos:
1. Sea la función:f (x) = 20 + x
si asignamos valores a “x” cercanos a 2, ¿quésucede con f (x)?
Solución:
x
f (x)
1,90
21,90
1,95
21,95
1,98
21,98
1,99
21,99
2,01
22,01
2,02
22,02
2,05
22,05
2,10
22,10
2
22
Por la izquierda Por la derecha
Si tabulamos los valores anteriores y efectuamos unagráfica, se tiene:
22,10
22,05
22,0222,01
2221,9921,98
21,95
20,0021,90
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
1 ,
9 0
1 ,
9 5
1 ,
9 8
1 ,
9 9
2 ,
0 1
2 ,
0 2
2 ,
0 5
2 ,
1 0 2
Por la izquierda de 2 Por la derecha de 2
x
y
x
1,90
1,95
1,98
1,99
2,01
2,02
2,05
2,10
y
21,90
21,95
21,98
21,99
22,01
22,02
22,05
22,10
Intuitivamente podemos darnos cuenta que alaproximarse los valores de “x” al valor "2", se tieneque las imágenes f (x) se aproximan al valor "22".
Esto se simboliza denotando:
“Cuando: x 2; se tiene que f (x) 22". Sabemos que
estamos aproximando, por ello no hacemos hincapiéque para: x = 2, se obtenga: f (x) = 22.
2. Hallar los valores de:
f (x) =3x
9-x2
para valores de “x” cada vez más cercanos a "- 3".
Solución:
Observamos que cuando “x” se aproxima a "- 3", lasimágenes f
(x) se aproximan a "- 6". Esto se simboliza
de la siguiente forma: “cuando: x - 3, tenemos que:f (x) - 6”. No nos interesa que f (x) no esté definida en"- 3", pues de hecho f (-3) no existe.
x
f (x)
-2,96
-5,96
-2,97
-5,97
-2,98
-5,98
-2,99
-5,99
-3,01
-6,01
-3,02
-6,02
-3,03
-6,03
-3,04
-6,04
-3
-6
Por la izquierda Por la derecha
En la función observamos que:
x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Luego el factor (x + 3) puede simplificarse en la expresiónf (x), quedando:
f (x) =(x - 3)(x + 3)
(x + 3) f (x) = x - 3; con: x - 3
II. Noción intuitiva de límite
Para el ejemplo 1 de aproximación: f (x) = 20 + x,tenemos:
cuando "x" se aproxima a 2; f (x) se aproxima a "22”.
Simbolizando: “cuando x 2 f (x) 22”
y se escribe como:
2xlim
f (x) = 22
que se lee: el límite de "f" cuando "x" se aproxima a"2", es "22”.Luego, lim f (x) nos indica: “valor límite de f (x)”.
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Para el ejemplo 2 de aproximación:
f (x) =3x
9-x2
habíamos deducido que:
cuando "x" se aproxima a "- 3",se tiene que f (x) se aproxima a "- 6”
Lo que se simboliza: “cuando x - 3; se tiene que f (x) - 6”
y se escribe como:
3-xlim
f (x) = - 6
0xxlim
f (x) = L
Se lee: el límite de f (x) cuando “x” se aproxima a
“x0”es "L”.
Definición informal del límite
Si existe un número real “L” que f (x) esté cerca a “L” para todos los valores de “x” próximos al número “x0”,entonces se dice que:
oxxlim
f (x) = L
Ejemplos:
1.2xlimx = 2
2.1x
lim
(2x + 3) = 5
3.2
7-
2
-7
31-
2--5
3x
2-5xlim
1-x
4.2x
lim
5 = 5
5. A continuación analizaremos los siguientes límites,teniendo presente que la existencia de un límite nodepende de que esté o no definida la función en el puntoa que nos aproximamos.
4
2
f (x)y
x
4
2
g(x)y
x
4
2
h(x)y
x
2
a. b. c.
a. La función f (x) está definida en: x0 = 2; se tiene:
2xlim
f (x) = 4.
b. La función g(x) no está definida en: x0 = 2; se
tiene:2x
lim
g(x) 4
c. La función h(x) está definida en: x0 = 2; h(2) = 2,
pero se tiene:2x
lim
h(x) 4
6. Seguidamente, ilustramos algunos casos en los cualesel límite no existe:
4
3
f(x)y
x
g(x)
y
x
a. b.
3
a. Tenemos que:3x
lim
f (x) no existe, ya que:
- Cuando: x 3--; se tiene que: f (x) 4- Cuando: x 3+; se tiene que: f (x) 3
b. Tenemos que:-0x
lim
g(x) no existe, ya que:
- Cuando: x 0--; se tiene que: g(x) + - Cuando: x 0+; tenemos que: g(x) -
Observación: La definición dada es “informal”, ya queno precisa cuán próximo debe estar “x” de “x0” (o cuáncerca debe estar f (x) de "L"). La interpretación de “cuánpróximo debe estar” no es la misma, por ejemplo, paraun carpintero (para quien puede ser cuestión demilímetros) que para un astrónomo (para quien puedeser cuestión de miles de kilómetros).
Calcular:
1.2x
lim
(3x + 8) 2.4x
lim 3-x
5-2x
3.-2x
lim
3-x2 4.-3x
lim xx
2
2
5.0x
lim 2x
xx
3
2
6.
0xlim
3 2x
7.1x
lim 3 1x
2
8.
0xlim 3 3x
2x
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III. Cálculo de límites
1. Método de la cancelación de los factores comunes
Si:0xx
lim
f (x) es de la forma 0
0, se recomienda factorizar
el término (x - x0) tanto en el numerador como en eldenominador para su correspondiente cancelación.
* Ejemplo:
Calcular:
x
16-)4x(lim
2
0x
Solución: Veamos qué sucede si construimos una tabla que nosmuestre la aproximación:
x
f (x)
-0,5
7,5
-0,4
7,6
-0,1
7,9
-0,01
7,99
0,01
8,01
0,1
8,1
0,4
8,4
0,5
8,5
0
8
Lo que ocurre es que cuando “x” se aproxima a cero, laimagen f (x) se aproxima a 8, es decir:
8x
16-)4x(lim
2
0x
En este caso la forma indeterminada0
0 toma el valor
"8". Si aplicamos la recomendación dada para estecálculo, este proceso laborioso se puede obviarfactorizando el término (x - x0), que en este caso es:x - 0 = x, nos queda:
x
)44x)(4-4x(lim
x
16-)4x(lim
0x
2
0x
8)8x(limx
)8x(xlim
0x0x
2. Método de la racionalización
Si0xx
lim
f (x) es de la forma 0
0 y están presentes
radicales, se procede a multiplicar y dividir por laconjugada de cada una de las formas radicales; demodo que se cancelen factores comunes de la forma(x - x0).
* Ejemplo 1
Calcular:
2-x
4-xlim
4x
Solución: Veamos lo que ocurre construyendo una tabla de valoresque nos muestre la aproximación, para lo cual terecomendamos usar una calculadora.
x
f (x)
3,8
3,9494
3,9
3,9748
3,99
3,9975
3,999
3,9997
4,001
4,0002
4,01
4,0025
4,1
4,228
4
4
Lo que sucede es que cuando “x” se aproxima a "4", la
i m a g e n f (x) = 2-x
4-x se aproxima a "4".
Luego:
42-x
4-xlim
4x
La forma indeterminada
0
0 toma el valor "4". Aplicando
la recomendación dada para este cálculo, tenemos:
2)x(
2)x(.
2-x
4-xlim
2-x
4-xlim
4x4x
=(x - 4)( x + 2)
(x - 4) = 4)2x(lim
4x
* Ejemplo 2
Hallar:
8x
x2
lim
3
-8x
Solución:Tenemos:
3 23
3 233
-8x xx2-4
xx2-4.
8x
x2lim
=
)xx2-4)(8x(
)x8(lim
3 23-8x
=
12
1
444
1
xx2-4
1lim
3 23-8x
Después de resolver estos ejemplos, te has preguntado,
¿por qué a la expresión0
0 se le llama forma
indeterminada?, ¿qué opinas al respecto?Calcula los siguientes límites:
1.4-x
4-xlim
4x2.
0xlim
(3x + 2)
3. xlim4x
4.21x x2
x-1lim
5.3-x
218xlim
2x
6.1-x
1-xlim
1x
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IV. Formalización de límites
Las nociones intuitivas desarrolladas en el capítuloanterior, pasamos a precisarlas, a través de lasmediciones de las aproximaciones, tanto cuando “x” seaproxima a “x0” como cuando f (x) se aproxima a “L”.
1. Definición de límite
Dada una función “f”, decimos:El límite de la función “f” en el punto “x0” es el númeroreal “L”, si y sólo si:
> 0, > 0 / x Dom f 0 < |x - x0|
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Efectuando el numerador se tiene:
1xx1x
1xx1lim
2
2
0x
1xx1x)1x(xlim20x
; {simplificando la "x" que hace
la indeterminación}
2
1
1001
01
1xx1
1xlim
20x
4. Calcular:
1x
4x3x2lim4
2
x
Resolución:
Paso 1 : Evaluando se tiene:
Paso 2 : Dividimos el numerador y denomi-nador por el término cuyo exponen-te sea el mayor de todos los térmi-n o s . D i v i d i r e n t o n c e s p o r " x 2".
201
002
x
11
x
4
x
32
lim
x
1x
x
4
x
32
lim
x
1x
x
4x3x2
lim
4
2
x
4
4
2
x
2
4
2
2
x
5. Calcular:
5x
)2x3()3x2(lim
5
23
x
Resolución:
Paso 1 : Evaluando se tiene:
Paso 2 : Dividiendo el numerador y denomi-nador por "x5".
1
)3()2(
x
11
x
23
x
32
lim
x
11
x
2x3
x
3x2
lim23
5
23
x
5
23
x
725x
)2x3()3x2(lim5
23
x
6. Calcular:
22ax ax
axaxlim
Resolución:
Paso 1 : Evaluando:
0
0
aa
aaaa
22
Paso 2 : Desdoblando convenientemente:
2222ax ax
ax
ax
axlim
Calculando cada límite independientemente.
22ax22ax ax
axlim
ax
axlim
axax
axlim
ax)ax)(ax(
axaxlim
axax
ax1
limaxaxax
axlim
axax
ax1
limaxax
axlim
axax
aa1
aaaa
aa
a2
a2
a2
10
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
12/49
Bloque I
1. Calcular:
2-x 4-xlim
2
2x
a) 2 b) 0 c) - 2d) 4 e) - 4
2. Calcular:
3x
27xlim
3
3-x
a) 3 b) 9 c) 18d) 27 e) 36
3. Calcular:
4-x
2-xlim
4x
a) 2 b) 4 c)2
1
d)4
1e) -
2
1
4. Calcular:
2-1-x
2-1xlim
3x
a) 2 b) 2 c)2
2
d)2
1e) -
2
1
5. Calcular:
3-7-x
4-xlim
24x
a)2
1b)
2
3c)
4
3
d)3
2e) -
2
1
6. Calcular:
1x-2x2xxlim 3
23
x
Problemas para la clasea)
2
1b)
2
3c)
4
3
d)3
2e) 2
7. Calcular:
3x-x
2x-xlim
2
24
x
a) 0 b) + c) -
d) 1 e)3
2
8. Calcular:
3x-x2
52x-xlim
4
3
x
a) 0 b) + c) -
d)2
1e)
3
5
9. Calcular:
1x2x
1xx3lim
7
7
x
a) 3 b) 4 c) -3d) 0 e) +
10.Calcular:
3x2x
6xxlim
2
2
3x
a) 2 b)2
3c)
4
5
d) 1 e) - 4
5
Bloque II
1. Hallar:
a2x)2a(x
ax)1a(xlim
2
2
ax
a)2a
1a
b)1a
1a
c)1a
2a
d)2a
1a
e) N.A.
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
13/49
2. Hallar:
3x
x3x2lim
3x
a) -
3
2b) - 1 c) -
3
1
d) - 3 e) N.A.
3. Hallar:
1x
23xlim
2
1x
a) 0 b) - 1 c) 1
d)2
1e) N.A.
4. Hallar:
33
2
ax ax
ax)1a(xlim
a) 2a
1a b) 2a2
1a c) 2a3
1a
d) 2a4
1a e) N.A.
5. Hallar:
1x2x3x4
4x3x2xlim
23
23
x
a)2
1b)
4
1c)
8
1
d)16
1e) N.A.
6. Hallar:
1x2x3
5x3x2lim2
2
x
a) 1 b) -2
3c)
2
3
d)3
2e) N.A.
7. E n c u e n t r e e l v a l o r d e " " para que dos sea igual allímite.
4x3
1xxlim
2
2
x
a) 1,5 b) 9 c) 4
d)3
2e) 6
8. Hallar:
1x2x
5x7x2lim 2
2
x
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) N.A.
9. Hallar:
1x
1xlim
n
1x
a) n b) 1 c)
2
n
d) 0 e) N.A.
10. Calcular:
0;1x
1xlim
1x
a) b) - c)
d)
e) +
Bloque III
1. Hallar:
1-x
1-
1-x
2lim
21x
a)2
1b) -
2
1c) - 1
d) 1 e) 2
2. Hallar:
2-x
2x-4xlim
3 2
2x
a)3
1b)
4
1c)
8
1
d)12
1e)
20
1
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
14/49
3. Calcular:
2222n n
1-1...
4
1-1
3
1-1
2
1-1lim
a) + b) - c) -2
1
d)2
1e) 0
4. Calcular:
2-xx
2
2x 1-x3
1xlim
a) 3 5e b) 3e c) 5 2e
d)
5
e e) e
5. Si:
1x
1-f lim
)x(
0x
Calcular:
x
f -f lim
(bx))ax(
0x
a) 0 b) a + b c) a - b
d)ab
a-b 22
e)ab
b-a 22
6. Si:
22
2
b2x 4b-4bx-x
144-a)x-x(xlim
es un número real determinado, según ello, calcule:a + 4b
a) - 32 b) - 16 c) - 24d) - 48 e) - 64
7. Determine:
x
1-x1x1lim
mn
0x
a)nm
b)
n
m
c) n + m d) 0
e)mn
8. Calcular:
x2
x11lim
3
0x
a)3
1b)
6
1c)
8
1
d)9
1e) 1
9. Calcular:
2
2
x6x4
x2x35
24
24
x 1x5x2
5x16x250lim
a) 1 b) 25 c) 5
d)5
1e) 125
10.Calcular:
1x2x
1x2xlim 22
3
x
a) 0 b) 1 c)2
1
d)4
1e) -
4
1
1. Calcular:
14x5x
8x2xlim
2
2
2x
a)3
1b) 0 c) 1
d)2
3e)
3
2
2. Calcular:
9x
27xlim
2
3
3x
a)2
9b)
9
2c) 2
d) 9 e) 1
3. Calcular:
6xxx2
9x5x7x3
lim 23
23
x
Autoevaluación
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a) 3 b)3
2c)
2
3
d) 2 e) 1
4. Calcular:
7x
1xx2lim 3
4
x
a) b) 0 c) 1d) 2 e) 3
5. Calcular:
2x1
1xlim
1x
a) 1 b) 22 c) 2
d) 2 e) 2 + 2
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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CIENCIAS - PAMER5
AÑOÁLGEBRA
Derivadas I
Capítulo III
El apretón de manos
Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones demano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión?
Solución:La cuestión se resuelve con facilidad si recurrimos al álgebra. Cada una de las "x" personas dio la mano a las
otras "x - 1". Por tanto, el total de apretones de manos debe ser "x (x - 1)". Además hay que tener en cuenta quecuando Juan da la mano a Pedro éste estrecha la mano a Juan; estos dos apretones de mano deben ser conside-rados como uno solo. Por eso, el número de apretones de manos contados es dos veces menor que "x (x - 1)". Enconsecuencia surge la ecuación:
662
)1x(x
o sea, que después de las correspondientes transformaciones se tendrá que:x2 - x - 132 = 0
de donde:
2
52811x
x1 = 12 , x2 = -11Como quiera que la raíz negativa (-11 personas) carece de todo sentido, la rechazamos, conservando únicamente
la primera: en la reunión estuvieron 12 personas.
Los avances en matemáticas
Con la invención del cálculo infinitesimal a finales delsiglo XVII el hombre ya puede dominar las ideas de "límite"y de lo "infinitamente pequeño" e introducir estas cantidadesen los cálculos.
Los nuevos métodos descubiertos multiplican lacapacidad de análisis de las matemáticas y permiten calcularsuperficies y volúmenes de forma complicada, la velocidadde desplazamiento de los proyectiles o el centro de gravedadde los objetos.
Dos sabios, Isaac Newton y el filósofo alemán GottfriedWilhelm Leibniz (1646 - 1716), que no trabajan en equipoy solamente se conocen de nombre, cada uno por su lado
y casi al mismo tiempo, descubren el cálculo infinitesimalen la década de los años 1670 - 1680.
El cálculo de Newton resulta muy eficaz para describirla "mecánica celeste", pero los matemáticos suelen utilizar,incluso en la actualidad, los métodos y las anotaciones deLeibniz.
A veces se llega a oponer la "matemática pura" con las"matemáticas aplicadas": la primera sería algo así comouna bella ensoñación de sabios que están "en la luna",mientras que las segundas, más concretas, se puedenutilizar en la práctica. Pero la "mecánica celeste" no tieneen cuenta esta distinción cuando plantea cuestiones como
la de los "tres cuerpos". En efecto, Newton demostró quedos planetas se atraen entre sí pero se mantienen a grandistancia uno del otro cuando se mueven con la suficienterapidez. Precisamente ese movimiento se puede determinar
con el cálculo infinitesimal. La cuestión se complica cuandoson tres los objetos que se atraen entre sí - como el Sol, la
Tierra y la Luna.Los trabajos que a este respecto llevaron a cabo Leibniz
Leonhard Euler, Alexis Clairaut, Jacques y Jean Bernoulli,Jean Le Rond d'Alembert y Louis de Lagrange hicieronprogresar considerablemente la mecánica, el cálculoinfinitesimal y la astronomía.
La derivadaLa interrogante que nos planteamos ahora, es cómo se
halla la pendiente de una recta que es tangente a una curva.
y
x
f (x)
12
LT
" " es el ángulo de inclinaciónde la recta tangente y la tges la pendiente de la recta
D a d a l a c u r v a : f = 4 - x
¿Como se halla la pendiente de una recta quees tangente a la curva en el punto x = 1/2?
(x )2
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
17/49
Respuesta: La pendiente de la recta LT que es tangente ala curva en el punto: x = 1/2, es la derivada de f (x) en elpunto: x = 1/2, para llegar a esta afirmación pasaron siglos.Los genios Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried Leibniz(1646 - 1716) descubrieron el cálculo diferencial y el cálculointegral. Este descubrimiento revolucionó toda lamatemática hasta entonces conocida.
Reglas de derivación
A continuación estudiaremos las reglas necesarias paraoperar con funciones diferenciales en un cierto intervalo.Para el efecto emplearemos una lista de derivadas dealgunas funciones especiales, que permiten deducir otrasmás complejas. Asimismo aprenderemos a evaluar lasderivadas de funciones en puntos "x0" de su dominio.
1. Teoremas fundamentales
Conozcamos los principales teoremas que se utilizanen el marco de la diferenciación de ciertas expresiones.Para esto, sean “u” y “v”, funciones diferenciables enun intervalo, una constante, entonces:
- (u + v)’ = u’ + v’
- (u - v)’ = u’ - v’
- (uv)’ = u’v + uv’
- 2u
'u
u
1'
- (cu)’ = cu’ ; donde: “c” IR
- 2
'
v
'uvv'u
v
u
2. Derivadas de algunas funciones especiales
Hasta el momento, el proceso seguido para encontrarla derivada de una función se ha basado en aplicar ladefinición:
f'(x) =h
f -f lim
(x)h)(x
0h
lo cual en algunos casos ha resultado demasiadotedioso.
A continuación exponemos una serie de reglas, lascuales, junto a las anteriores, nos permitirán calcularcon prontitud las derivadas:
Función Derivada
- f (x) = c; c IR f'(x) = 0
- f (x) = x f'(x) = 1- f (x) = c x; c IR f'(x) = c
- f (x) = x f'(x) =x2
1; x 0
- f (x) = xr; r IR f'(x) = r.xr - 1
- f (x) = |x| f'(x) =|x|
x; x 0
- f (x) = senx f'(x) = cosx- f (x) = cosx f'(x) = - senx- f (x) = cscx f'(x) = - cscx.ctgx- f (x) = tanx f'(x) = sec2x- f (x) = cotx f'(x) = - csc2x- f (x) = secx f'(x) = secx.tanx- f (x) = ax f’ (x) = axLna
- f (x) = Lnx f’ (x) =x
1
- f (x) = logbx f’ (x) =x
1logbe
- f (x) = ex f’ (x) = ex
Todas estas reglas pueden demostrarse a partir de ladefinición de derivada.
* Ejemplos
1. Si: f (x) = x3, tenemos: f'(x) = 3x2
2. Si: f (x) = 3 2x = 3
2
x , tenemos:
3
1-1-
3
2
3
23 2
x3
2
x3
2
xdx
d
xdx
d
3. Si: f (x) = x6 - 8x5 + 3x2 - 1, hallar f'(x).
Solución:
dx
d[x6 - 8x5 + 3x2 - 1] = (x6)' - (8x5)' + (3x2)' - (1)'
6x5 - 8.5x4 + 3.2x = 6x5 - 40x4 + 6x
4. Si:
y = 2x
3x2
2
Hallar: y'
Solución: Aplicando la regla de la derivada de un cociente:
2g
fg'-g'f '
g
f
y' = 22
22
)2x(
'2)3)(x(2x-)2x()'3x2(
= 22
2
)2x(3)(2x)(2x-)2x(2
= 22
2
)2x(46x-x2-
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
18/49
5. Sea:
f (x) =15x-x
32
Hallar: f'(x)
Solución: Aplicando la regla de la derivada de un cociente:
2)x(
)x(
)x( ]g[
'g-
'
g
1
Tenemos: f (x) = 3(x2 - 5x + 1)-1
y' = 3[(x2 - 5x + 1)-1]' = 3
22
2
1)5x-x(
1)'5x-x(-
= -3. 22 1)5x-(x
5-x2
EjerciciosHallar la derivada de cada una de las siguientesexpresiones:
1. y = (3x4 - 5x3 + 2)(x2 - senx + x)
2. f (x) =65x-x
43
3. f (x) = 5(x2 - tanx + 2)4. y = 3senx - 4cosx
5. f (x) =3 45 47 4 x2x3-x
6. f (x) =1-2xx
3-x3
2
7. y =x
ctgx
8. y =xtan2
3
9. f (x) = (x3 - 3x + 1)(x2 + cosx)
10. f (x) =2
15x-x2
11. y = x4
- 3cosx
12. f (x) =x
xtan
13. f (x) = (1 + x)2.tanx
14. f (x) = x.senx - xcosx
Bloque I
1. Si: f (x) = 3x2
- 5x + 3Hallar: f'(2)
Problemas para la clase
a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 12
2. Si f (x) = 4x3 - 5x2
Calcular: f'(3) - f'(2)
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
3. Si: f (x) = 3x3 + 2x2
Hallar: f"(x) + f"'(x)
f"(x) : segunda derivada de la función f (x).
f"'(x): tercera derivada de la función f (x).
a) 18x + 22 b) 18x + 20c) 9x + 10 d) 9x + 20e) 18x + 12
4. Dada la función:
3
2x;
2x3
3x2f )x(
Hallar: f'(x)
a) 2)2x3(
13
b)
2x3
13
c) 2)2x3(
13
d)
2x3
13
e) N.A.
5. Dada la función:
1x;x1
xf )x(
Hallar: f'(x)
a) 2)x1(
1
b)
x1
1
c)1x
1
d) 3)1x(
1
e) N.A.
6. Si: g(x) = 244
x
Hallar: g'(x)
a)3
32b)
2
23c)
2
33
d)3
22 e) 2
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7. Si: f (x) = 63
x
Hallar:x
f
d
d
a) 3x
3
b) 3x
2
c) 3 2x
2
d) 3 2x
3e) 3 x2
8. Dada: f (x) = (3x4 - 47)4
Hallar: f'(2)
a) 320 b) 340 c) 324d) 412 e) 450
9. Hallar la derivada de la función:f (x) = (5x2 + 3)3
a) 20x (3x2 + 2)2 b) 15x (2x2 + 3)2
c) 30x (5x2 + 3)2 d) 30x (10x + 3)2
e) 20x (5x2 + 2)2
10.Dada la función:
x91f )x(
Hallar: f'(7)
a)149 b)
178 c) 169
d)13
9e)
14
8
Bloque II
1. Si:f (x) = 3x2 - 5x + 3
Hallar: f'(2)
a) 2 b) 5 c) 7
d) 9 e) 12
2. Si: 32 x
3
x
2
x
1y
Hallar:x
y
d
d
a) 432 x
9
x
4
x
1 b) 432 x
9
x
4
x
1
c) x2 + x3 + x4 d) 43 x
9
x
4x
e) x + x2
3. S i l a r e c t a L 1 es tangente a la gráfica de:
f (x) = 2
1x2 + x +
2
1
en el punto de abcisa 2, como se muestra en la figura.Hallar la pendiente de dicha recta.
x
y
y = f (x)L1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Dada:
f (x) = (3x4 - 40)3Hallar: f'(2)
a) 320 b) 340 c) 384d) 412 e) N.A.
5. Si: y = xx, calcular:x
y
d
d
a) xx (Lnx + 1) b) xx (Lnx - 1)c) x (Lnx + 1) d) xx (Lny + 1)
e) xx (x - 1)
6. Si: y = xLnx; calcular:x
y
d
d
a) 2xLnx + 1 b) 2xLnx . Lnxc) 2xLnx - 1 d) 2xLnx - 1
e) 2xLnx - 1 . Lnx
7. Dada la función:
2
xn
Calcular:x
y
d
d
a) 22 xa b) 22 xa
1
c) - 22 ax
1
d) - 22 xa e) xa
1
2
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
20/49
8. Dada la función:
2xx2x e2
3e
4
1ey
a)2xx2x xe3e
2
1e
b) 2xx2x xe3ee
c)2xx2x e
2
1ee
d) 2xx2x eee
e) 2xx2x eee
9. Si:
1
1Ln
6
1f
)
Hallar: f ’ (x)
a)1x
32
b))1x(3
12
c)1x
32
d))1x(3
12
e) 3(x2 - 1)
10.Si: y = (x2 - 2x + 3)ex; hallar:x
y
dd
a) ex(x2 - 1) b) ex (x2 + 1) c) ex (x + 1)d) ex(x + 1)2 e) xx (x2 + 1)
Bloque III
1. Si:x
xaf )x(
Hallar: f’ (x)
a) -a
x2b) - 2x
ac) ax2
d) x-2a e) 3a
x
2. Dada la función:
x1f )x(
Hallar: f (3) + (x - 3) f’ (3)
a)4
5x
b)4
5x
c) x + 5
d) x - 5 e)4
x
3. Dado el polinomio: f (x) = 1 + x3 + (x2 + x5)3
Calcular: f’ (1)
a) 82 b) 84 c) 86d) 87 e) 89
4. Hallar la derivada de:
4 3)x( x12f
a) 9x1/4 b) 9x -1/4 c) 3x1/4
d) 3x -1/4 e) x1/4
5. Hallar la derivada de: f (x) = 11 + x2 + 31x4
a) 11 + x2
+ x4
b) 2x + 124x3
c) 2x - 124x3 d) 125 + 2xe) 125 + x
6. Dada las siguientes ecuaciones de movimientosrectilíneos, calcular el espacio recorrido, la velocidad yla aceleración en el instante indicado.
a) S = 4t2 - 6t ; t = 2b) S = 120t - 6t2 ; t = 4c) x = 32t - 8t2 ; t = 2d) y = 6t2 - 2t3 ; t = 1
7. Una pelota que se lanza directamente hacia arriba semueve según la ley: S = 25t - 5t2, si “S” se mide enmetros y “t” en segundos. Hallar:
a. Su posición y velocidad después de dos segundos ydespués de tres segundos.
b. Hasta qué altura ascenderá.c. ¿A qué distancia se moverá en el cuarto segundo?
* Un coche hace un recorrido en 10 minutos moviéndose
según la ley: S = 100t2 -
2
t4 midiendo “t” en minutos y
“s” en metros.
8. ¿Qué distancia recorre el coche?
a) 500 b) 5 000 c) 200d) 100 e) 150
9. ¿Cuál es su velocidad máxima?
a) 730 b) 740 c) 750d) 760 e) 770
10.¿Qué distancia ha recorrido el coche cuando alcanza suvelocidad máxima?
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
21/49
a) 2 600 m b) 2 700 c) 2 778d) 2 790 e) 2 796
1.S i :
4
)x( x24g , hallar g'(4)
a)3
32b)
2
23c)
2
33
d)3
22e) N.A.
2. Si: f '(x) = x3 + 3, hallar: f (4) - f (2)
a) 52 b) 58 c) 66
d) 70 e) N.A.
3. Dado: f (x) = xa + bx. Además:
f'(1) = 18 ....... (1)f"(2) = 12 ....... (2)
Hallar:a
b
Autoevaluación
a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 7
4. Si: 3 2 1xy , hallar: y'
a) )x2(1x3 2
b)3 2
1xx2
c) 3x2 (2x + 1) d) 3 22 )1x(3
x2
e) N.A.
5. Si: f (x) = x-2 + x-3, hallar: f'(4)
a)256
11b)
256
11c)
264
11
d)264
11e)
11
256
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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CIENCIAS - PAMER5
AÑOÁLGEBRA
Derivadas II
Capítulo IV
Previsión de las ecuaciones
En los casos examinados y en dependencia de las condiciones del problema, hemos hecho diferente uso de las dos raíces obtenidas. Enel primer caso hemos desechado la raíz negativa por no responder al contenido del problema; en el segundo, hemos renunciado a la raízfraccionaria y negativa y, en el tercero, por el contrario, hemos aceptado las dos raíces. La presencia de una segunda solución es, a veces,completamente inesperado no sólo para quien resuelve el problema, sino también para su autor; pongamos un ejemplo de cómo la ecuaciónresulta más previsora que el mismo que la establece.
Una pelota ha sido lanzada al aire a una velocidad de 25 m por segundo. ¿Al cabo de cuántos segundos se encontrará la pelota a 20 mde altura?
Solución:
Para los cuerpos lanzados al alto, y libres en su ascensión de toda resistencia, la mecánica establece las siguientes proporciones entrela altura a la que sube el cuerpo sobre la tierra (h), su velocidad inicial (v), el aceleramiento de la fuerza de gravedad (g) y el tiempo (t).
2
gtvth
2
En este ejemplo concreto podemos hacer caso omiso de la resistencia aérea, por cuanto es muy pequeña cuando la velocidad no es deconsideración. A fin de simplificar la operación, damos a "g" el valor 10, en lugar de 9,8 m (el error es tan sólo del 2%). Sustituyendo "h", "v","g" por sus valores en la fórmula indicada, tendremos la siguiente ecuación:
2
t10t2520
2
y después de quitar denominaciones y simplificar: t2 - 5t + 4 = 0. Resultan las raíces: t1 = 1 y t2 = 4.La pelota estará a la altura de 20 metros dos veces: al segundo y al cuarto segundo de haber sido lanzada. Acaso parezca inverosímil y, al no reflexionar, puede rechazarse el segundo resultado. Sin embargo, esto sería erróneo. El segundo resultado
es completamente lógico: la pelota puede encontrarse dos veces a la altura de 20 m: una, al ascender, y otra, al descender.Se deduce con facilidad que la pelota puede ascender durante 2,5 segundos con la velocidad inicial de 25 m, llegando a una altura de
31,25 m. Después de alcanzar la altura de 20 m (al segundo de ascenso) la pelota seguirá elevándose durante 1,5 segundos más, al cabode lo cual descenderá durante 1,5 segundos hasta la altura de 20 m, llegando al suelo un segundo después.
Los inventoresdel
análisis
matemático
Se atribuye a Newton y a
Leibniz, dos grandes
sabios de la mitad del siglo
XVII, el invento del análisis
infinitesimal; lo descu-
brieron en forma inde-pendiente y casi simul-
tánea, pero el invento
provocó una larga y lamen-
table disputa sobre la
prioridad del descubri-
miento, que se prolongó
durante todo el siglo XVIII.
En verdad, sería mejor
decir que tanto Newton
como Leibniz representan
un eslabón en una cadena
iniciada muchos siglos an-
tes con Eudoxo (390 - 337
a.C.) y su método de
exhaución; Arquímedes (287-212 a.C.) con sus
métodos infinitesimales;Bonaventura Cavalieri
(1598-1647) y sus indi-
visibles; Evangelista To-
rricelli (1608-1647) y los
volúmenes generados por la
rotación de ciertas curvas;
Pierre Fermat (1601-1665),
que inventó métodos
ingeniosos y útiles para
encontrar máximos y
mínimos; Johannes Kepler
(1571-1630), que utilizaba
métodos infinitesimales
para calcular el volumen de
los toneles de vino que se
usaban entonces; Huygens
(1629-1695), que además
de su obra como físico y
astrónomo estudió la
curvatura de muchas
curvas; Isaac Barrow (1630-
1677), que inventó el
concepto de derivada y fue
el maestro de Newton; y
muchos más.Lo que sorprende es que
sólo a dos matemáticos se
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
23/49
Función Derivada
y = c ; c : constante y' = 0
y = x y' = 1
y = c f (x) y' = c f'(x)
y = xn y' = nxn-1
y = f (x) + g(x) y' = f'(x) + g'(x)
y = f (x) . g(x) y' = f'(x) . g(x) + f (x) . g'(x)
y =)x(
)x(
g
f ; g(x) 0 y' = 2
)x(
)x()x()x()x(
]g[
'g.f g.'f
y = ex y' = ex
y = ax y' = axLn2
y = Lnx y' =x
1
y = logax y' = alnx
1
y = )x(f e y' = )x(f 'f .e )x(
y = n )x(f y' = )x(1n)x( 'f .f n
y = senx y' = cosx
y = cosx y' = -senx
y = tgx y' = sec2x
y = ctgx y' = -csc2x
y = secx y' = secx.tgx
y = cscx y' = -cscx.ctgx
les haya ocurrido esa idea
que estaba en el aire y que
se hacía cada vez más
necesaria para resolver los
problemas de la época.
La difusión de las nuevas
ideas fue muy lenta y sus
aplicaciones muy escasasal principio, pero los nuevos
métodos tenían cada vez
más éxito y permitían re-
solver con facilidad muchos
problemas; sin embargo
fueron sometidos a severas
críticas; la justificación y
las explicaciones lógicas y rigurosas de los
procedimientos empleados no se dieron hasta muy
entrado el siglo XIX, cuando aparecieron otros
matemáticos, más preo-
cupados por la presen-
tación final de los métodos
que por su utilización
práctica en la resolución de
problemas concretos.
Mencionaremos entre otros
a Agustin-Louis Cauchy(1789-1857), Karl Wiers-
trass (1815 - 1897),
Richard Dedekind (1831-
1916),...
Es curioso que cuando
se enseña este tema en
los últimos años de la
escuela secundaria, se empieza casi siempre por el
final de la historia, con un rigor y un nivel de abstracción
que los propios físicos y matemáticos que descubrieron
y usaron el análisis no conocieron ni necesitaron.
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
24/49
Máximos y mínimosDada la función f (x), esta función deberá tener tangentes
horizontales y verticales. Para tener una tangentehorizontal, se iguala la primera derivada a cero y para teneruna tangente vertical esta no debe existir.
y
x
T
TH
f (x)T V
x1 x2 x3 x4 x5
TH TH
Tangentes horizontales: f’(x) = 0Tangentes verticales: f’(x) no existe
maximo
minimo
y
y
x
x
x
x
max
min
T : f’(x) = 0H
T : f’(x) = 0H
Procedimientos a seguir:
- Se escribe una de las variables en función de la otra(función explícita)
- Se deriva la función con respecto a la variableindependiente y se iguala a cero, resolviendo yencontrando los denominados puntos críticos.
- Se reemplazan los valores encontrados en la funciónexplícita, donde el mayor valor encontrado será el
máximo de la función y el menor el mínimo.
1. Hallar el máximo y mínimo de:
f (x) = 1 + 6x - 2
1x3
Resolución:
Derivando: f (x) = 1 + 6x - 21 x3 ..... (*)
Problemas resueltos
f ’ (x) = 6 - 2
3x2
Igualando a cero la primera derivada:
6 -
2
3x2 = 0 12 = 3x2 x2 = 4 ... x = ±2
Reemplazando los valores encontrados en (*):
f (2) = 1 + 6(2) - 2
1(2)3 = 9
f (-2) = 1 + 6(-2) - 2
1(-2)3 = -7
de donde el máximo de la función será: 9 y el mínimo: -7
2. Hallar el máximo y el mínimo de:
1xx
1xxf
2
2
)x(
Resolución:
Recordando: si: 2v
'v.u'u.v'y
v
uy
Derivando en nuestro caso, e igualando a cero:
22
22
)x()1xx(
)1x2)(1xx()1x2)(1xx('f
0)1xx(
2x2
'f 22
2
)x( 2x
2
= 2 x = ±1
De donde en la función original:
3111
111f
2
2
)1(
(máximo)
3
1
1)1()1(
1)1()1(f
2
2
)1(
(mínimo)
3. Hallar el máximo y el mínimo de:
2xf
2
)x(
- 2 en [-3;1]
Resolución:
Sea: 22
xyf
2
)x( 2(y + 2) = x2
de donde la relación corresponde a una parábola, dondesu vértice será el punto (0;-2). Graficando:
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(-3 ; 2,5)
-3 -1
(0 ; -2)(1 ; -1,5)
y
x
Donde se observa que:f máx = 2,5f mín = -2
Otra forma: Utilizando el criterio de la derivada:
Si:
2
xf
2
)x( - 2 f ’ (x) = x = 0
de donde:
x -3 1 0
f (x) 2,5 -1,5 -2
f máx = 2,5f mín = -2
4. Si un número y el cuadrado de otro suman 192.Determinarlos de modo tal que su producto sea máximo.
Asumir que ambos son positivos.
Resolución:
Sean “x” e “y” los números, luego:x2 + y = 192 ..... (1) p = xy ..... (2)
De (1): y = 192 - x2
En (2) : p = x(192 - x2) p(x) = 192x - x3
Luego:
p’(x) = 192 - 3x2 = 0 x2 = 64 x = 8
En (1) como “x” e “y” son positivos:
Para: x = 8, se tiene:
82 + y = 192 y = 128
Los números son: 8 y 128
5. Un jardín rectangular de 200 m2 de área debe cercarse.Hallar las dimensiones que requieren la menor cantidadde cerco, si uno de los lados del jardín es colindante a
una pared.
Resolución:
Sea “x” e “y” el ancho y largo del jardín.
y
xx
y
Del gráfico se deduce que:
xy = 200
de donde: y =x
200 .... (1)
Además: sea “L” la longitud del cerco:
L = 2x + y ... (2)
(1) en (2) :
x
200x2L
Para hallar el “L” mínimo derivamos “L” con respecto a “x”:
2x
2002'L ; luego:
2x
2002 = 0 x2 = 100
x = ±10
como “x” e “y” > 0
Entonces para x = 10, en (1) : y = 20
Las dimensiones deberán ser: 10 y 20 m respectivamente.
6. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor áreaque se pueda inscribir en un círculo de radio “R”.
Resolución:
Graficando:
B
A
C
D
R
0
x
x/2
y/2
Py
El área del rectángulo será:
A = xy ......... (1)
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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En el triángulo rectángulo OCP se tiene:
R 2 =
22
2
y
2
x
De donde:
y2
= 4R 2
- x2
y = 22 xR 4 ....... (2)
(2) en (1) :
22 xR 4x A
........ (3)
Luego para que el área “A” del rectángulo inscrito seamáximo debe cumplirse que: A’ = 0Escribiendo adecuadamente la expresión “A” y luegoderivando:
2
1
4
x
2
1
(8R 2x - 4x3) = 0
de donde: 4R 2 = 2x3 ó x2 = 2R 2 x = 2R
En (2) : y = 2R
Los lados del rectángulo serán: x = 2R ; y = 2R
implica que se trata de un cuadrado.
7. Se desea construir una caja de base cuadrada y sintapa disponiendo de 300 cm2 de material. Hallar susdimensiones para que el volumen sea máximo.
Resolución:
Del gráfico y por dato: 300 = 4 x h + x2
de donde:x4
x300h
2
...... (1)
Además: V = x2h .... (2)
Reemplazando (1) en (2) :
4xx300 Vó
x4x300x V
32
2
Para que el volumen sea máximo deberá cumplirse que:
V’ = 0 es decir:
100x04
x3300'x 2
2
x = 10
En (1) :
5)10(4
)10(300h
2
Las dimensiones deberán ser:
longitud de la base: x = 10 cm la altura: h = 5 cm
8. Hallar el máximo volumen que puede tener un cilindrorecto que se puede inscribir en una esfera de radio
3 m.
Resolución:
Esbozando un gráfico se tiene:
A B
C DP
0
h
2
3
r
h2
El volumen del cilindro estará expresado por: V = r2h ..... (1)
Además en el triángulo rectángulo OPD se tiene:
4
h3rr
2
h3
222
2
...... (2)
(2) en (1):
4
h
h
4
h
3
3
......... (3)
Para que el volumen sea máximo: V’ = 0
2h4h0h4
33' V 22
En (3):3
3
m4426 V
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Problemas para la clase
1. Del siguiente gráfico:
-1
y
x
f (x)
1
-1
1
Hallar:mínmáx )x()x(
f f
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
2. Hallar el mínimo valor de la función:f (x) = 2x
2 - 4x + 2
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
3. Hallar el máximo valor de la función:f (x) = - 3x
2 + 12x - 6
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
4. Si un número y el cuadrado de otro suman 192. Hallarlos números de manera que su producto sea el mayorposible. Dar el mayor número.
a) 126 b) 127 c) 128d) 129 e) 130
5. Se debe levantar una valla de madera al lado de unmuro de piedra para cercar un terreno rectangular. Lalongitud total de dicha valla es igual a 8 m. ¿Cuál debeser la longitud de la parte de la pared paralela al muropara que la valla abarque la mayor área posible?
muro
a) 4 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
6. Hallar el volumen del mayor cilindro recto que se puede
inscribir en una esfera de radio .m3
a)3m
2
b) m3 c) 2 m3
d) 3 m3 e) 4 m3
7. Se quiere construir un jardín en forma de sector circularcon su perímetro de 30 m. Hallar el jardín de mayor
superficie.
a) 76,25 m2 b) 46,20 c) 56,25d) 86,16 e) N.A.
8. ¿Cuál debe ser el radio de un círculo para que el sectorcuyo perímetro es igual a un número dado “P” tenga lamayor superficie posible?
r r
a) P b) 2P c) 3P
d)4
Pe) 8P
9. Una caja rectangular tiene una base cuadrada y no tienetapa. El área combinada de los lados y el fondo es de48 pies cuadrados. Hallar las dimensiones de la caja de
máximo volumen. Dar una de las dimensiones.
a) 4 b) 5 c) 3d) 6 e) 7
10.Una compañía de transporte con una tarifa de 20 solestransporta 8 000 pasajeros por día. Al considerar unaumento en la tarifa la compañía determina que perderá800 pasajeros por cada 5 soles de aumento. En estascondiciones, ¿cuál debe ser el aumento para que elingreso sea máximo?
a) 15 b) 20 c) 35d) 45 e) 60
11.Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje "x",los otros sobre la recta y = x; 5x + 4y = 20. Hallar elvalor de "y" para que el área del rectángulo sea el mayorposible.
a)9
10b)
10
9c) 10
d) 9 e) N.A.
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Bloque II
1. Un granjero tiene 1 000 metros de malla para cercar unterreno rectangular. Calcular el valor de la mayor áreade terreno que se podría cercar.
a) 62 500 u2 b) 62 000
c) 52 500 d) 52 000e) 65 000
2. Hallar el valor o los valores reales de "a" de modo que-4 sea el mínimo valor del trinomio.
x2 - a - 1 + ax
a) a = 6 b) a = 4 c) a = -6d) a = -6 a = 2e) -6 a 2
3. Una pelota proyecta verticalmente hacia arriba "S" piesdel punto de partida. En el instante "t" (segundos) donde:
S = 64t - 16t2
¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
a) 64 b) 32 c) 16d) 0 e) infinita
4. De las esquinas de una hoja cuadrada de cartón delados iguales a 72 cm deben ser recortados cuadradosiguales, de modo que doblando convenientemente laspartes restantes resulte una caja que tenga la mayorcapacidad posible. ¿Cuánto debe medir cada lado del
cuadradito?
a) 3 cm b) 6 c) 8d) 12 e) 18
5. Una ventana tiene la forma de un rectángulo cuyo anchoes "a", coronado por un semicírculo. Si el perímetro dela ventana es 30 m y si A(x) es el área de esta ventana,encontrar el valor de "x" que maximiza el área.
a) 15 b) 225 c) 14d) 13 e) 10
6. Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máximainscrito en un triángulo de lados 8; 10; 12; tal que unlado del rectángulo se apoya en aquel de longitud 12.
a) 6y475 b) 5y
273
c) 6y2
35d) 5y
3
72
e) 6y2
7
7. ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo de áreamáxima que puede inscribirse en una circunferencia deradio "r"?. Indicar la suma de dichas dimensiones.
a) 2 r b) 3 2 r c) 2 2 r
d) 4 2 r e) 6 2 r
8. Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10 cm.¿Cuánto debe medir el cuarto lado para que el área seamáxima?
a) 10 cm b) 15 c) 25
d) 20 e) 30
9. Un agricultor quiere construir una cerca que tenga laforma de un sector circular si para cercarlo posee unalambre de 2 metros de longitud. Determinar el radioque debe tener el sector para que el campo sea lo másgrande posible.
a) 30 m b) 40 c) 50d) 80 e) 120
10.Obtener el área máxima de la región rectangular dadaen el siguiente gráfico:
8x + 5y = 40y = x
a)2u
13
10b)
13
25c)
13
50
d)13
100e)
13
65
11.De las gráficas adjuntas:
g(x)
f (x)
d
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f (x) = - x2 + 2x
g(x) = 2
1x2
Determinar la máxima longitud vertical.
a) 1 b)3
1c)
7
2
d)3
2e)
4
3
12.Hallar la mayor área posible de un rectángulo que tienesu base inferior en el eje “x” y los otros vértices en lacurva: y = 27 - x2
a) 24 u2 b) 12 c) 54d) 108 e) 162
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CIENCIAS - PAMER5
AÑOÁLGEBRA
Logaritmos I
Capítulo V
Equipo de cavadores
Un equipo de cavadores se hizo cargo de la contrata para construir una zanja. Si hubiera trabajado todo el equipo, la zanjahabría sido cavada en 24 horas. Más el trabajo fue comenzado por un solo obrero. Poco después se le unió otro y más tardeun tercero, al cabo del mismo tiempo se incorporó un cuarto, y así sucesivamente, hasta el último. Cuando se hizo el balancedel trabajo efectuado, resultó que el primero había invertido en el trabajo 11 veces más de tiempo que el último. ¿Cuántotrabajó el último?
Solución:
Supongamos que el último obrero trabajó "x" horas; siendo así, el primero habrá trabajado "11x" horas. Si el número demiembros del equipo es "y", el número global de horas de trabajo se determina como la suma de "y" miembros de unaprogresión decreciente, cuyo primer término es "11x", y el último, "x" es decir:
xy62
y)xx11(
Sabemos también que el equipo, compuesto por "y" personas, trabajando simultáneamente hubiera terminado la zanjaen 24 horas, lo que quiere decir que para realizar ese trabajo hacen falta "24y" horas de trabajo. Por tanto: 6xy = 24y.
Como "y" no es igual a "0", la ecuación puede ser simplificada por ese factor, después de lo cual obtendremos: 6x = 24 x = 4
Por lo tanto, el último obrero trabajó 4 horas.Hemos contestado a la pregunta del problema, más si quisiéramos saber el número de obreros con que cuenta el equipo
no podríamos determinarlo, aunque en la ecuación figuraba este último con la "y". Para resolver esta cuestión no se cuentacon datos suficientes.
Logaritmos
Los logaritmos fueron inventados en el inicio del siglo17, a fin de simplificar las trabajosas operaciones aritméticasde los astrónomos, con miras a la elaboración de tablas denavegación.
En efecto, la regla log(xy) = logx + logy; y sus consecuencias,tales como log(x/y) = logx - log y; log(xn) = n. log x,
log n x = (logx) / n; permiten reducir cada operaciónaritmética (excepto, naturalmente, la adición y lasustracción) a una operación más simple, efectuada conlos logaritmos. Esta maravillosa utilidad práctica de loslogaritmos perduró hasta recientemente, cuando fue
ampliamente superada por el uso de las calculadoraselectrónicas.
Mientras tanto, la función logarítmica, junto con suinversa, la función exponencial, permanece como una delas más importantes de la matemática, por una serie derazones que van mucho más allá de su utilidad comoinstrumento de cálculo aritmético. Por ejemplo, la propiaidentidad log (xy) = logx + logy, a la par de su gran valorestético, sirve para demostrar que no existe diferenciaestructural (intrínseca) entre las operaciones de adición denúmeros reales y de multiplicación de números realespositivos. Pero la razón principal de la importancia de los
logaritmos (o, lo que es lo mismo, de las exponenciales)proviene de una propiedad que ya había sido observadahace cerca de 300 años, sobre la cual diremos ahoraalgunas palabras.
Las primeras personas que se ocuparon de elaborartablas de logaritmos no pueden haber dejado de notar que,para valores pequeños de "h", la razón [log(x + h) - logx]/hentre el incremento de "x" y el incremento "h" dado a "x"es, aproximadamente, proporcional a "1/x". Cuando se usanlos logaritmos naturales (que tienen como base el número"e") la constante de proporcionalidad es igual a 1, de modoque el cociente [log(x + h) - log x]/h, para valores pequeñosde "h", es aproximadamente igual a 1/x. De aquí enadelante, hablaremos sólo de Logaritmos en los reales
Dada la siguiente expresión: bx = N (potenciación)
la operación inversa, osea: logbN = x recibe el nombre
de logaritmación.
Ejemplos:
* 2 2 = 4 log24 = 2 * 25 = 32 log232 = 5
* 23 = 8 log28 = 3 * 26 = 64 log264 = 6
Logaritmo de un número real
Definición
El logaritmo de un número real y positivo "N", en la
base "b", (b > 0 b 1) es el exponente "x" al cual hayque elevar la base para obtener el número "N", es decir:
logbN = x bx = N
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31/49
Donde: x : resultado (logaritmo)b : base del logaritmo, b > 0 b 1N : número real y positivo
En general, si se cumple que: xy = z
Tendremos que: y = logxz. Es decir, que la operación de
extraer logaritmos, también llamada logaritmación es unaoperación inversa de la potenciación, puesto que mientrasen la potenciación se trataba de encontrar un númerollamado potencia, conocidas la base y el exponente, en lalogaritmación se trata de hallar el exponente conocidas labase y la potencia.
En la práctica son dos los sistemas de logaritmos másutilizados a saber, el sistema de logaritmos vulgares cuyabase es 10 y fueron descubiertos por el matemático inglésHenry Briggs y el sistema de logaritmos naturales oneperianos descubiertos por el matemático escocés JohnNeper cuya base es el número irracional: e 2,7182...
Cuando se emplean logaritmos vulgares se acostumbraomitir el subíndice 10. Así por ejemplo, tendremos que si:
100 = 1, escribiremos: log1 = 0 log101 = 0101 = 10, escribiremos: log10 = 1 log1010 = 1102 = 100, escribiremos: log100 = 2 log10100 = 2103 = 1 000, escribiremos: log 1000 = 3 log101000 = 3104 = 10 000, escribiremos: log 10000 = 4 log1010000 =4
Cuando se emplean logaritmos neperianos, la notaciónserá la siguiente: Ln N = logeN
Ejemplos:
* Ln e = logee = 1* Ln 5 = loge5* Ln 7 = loge7
Ejemplo: Calcule "x" en la ecuación: log2(x2 + 7x) = 3
Resolución:
x + 7x = 232
x + 7x - 8 = 02
xx
8-1
(x + 8) (x - 1) = 0x = -8 x = 1
observar que para x = 1 x = -8,la expresión x + 7x es positivo.
2
Identidad fundamental
De la definición, se desprende que: Nb Nlogb ;
N > 0 ; b > 0 b 1
Ejemplos:
* 35 3log5
* 27 2log7
* 5e 5Ln
Efectuar: 4log5log 32 274
Resolución:
89)4()5()3()2()3()2( 3234log25log4log35log2 3232
Propiedades generales de los logaritmos
A. logb1 = 0 logbb = 1 b > 0 ; b 1
Ejemplos:
* log51 = 0 ; log31 = 0 ; Ln1 = 0* log33 = 1 ; Lne = 1 ; Ln(e+2) (e+2) = 1
B. Dados: A, B IR + , b > 0 b 1
logb AB = log
b A + log
bB
Ejemplos:
* log315 = log35 + log33
* log23 + log25 + log22 = log230
C. Blog AlogB
Alog bbb
Ejemplos:
* 3log5log3
5log 222
* log25 = log210 - log22
D. Alogn Alog bn
b
Ejemplos:
* log381 = log334 = 4log33 = 4
* log21024 = log2210 = 10log22 = 10
*3
15log
3
15log5log 5
3 /15
35
Nota:
1n;Zn;) A(log Alog nbnb
De aquí se desprende que: Alog Alog nbn
b
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
32/49
Ejemplos:
* veces3
2223
232 )5(log)5(log)5(log)5(log5log
* 64)4()2(log)16(log16log
334
2
3
2
3
2
E. Zn;2n Alogn
1 Alog b
nb
Ejemplos:
*5
13log
5
13log 3
53
* 2log3
12log 7
37
F. Zogogogn
b
n
b
n
Corolario:
Zn,m;m
n Alog
m
n Alog A
n Am
Ejemplos:
* 63log)9(log9log 6
3
3
)3(3 333
* 24log256log256log 24
1616 4
* 38log)8(log8log 244
)2(
4
2 444
*7
82log
7
82log 2
827
G. Propiedad del cambio de base:
1x0x;Blog
Alog Alog
x
xB
Ejemplo:
* 3log
5log
3log
5log5log
7
7
2
23
H. logB A . logDB . logED = logE A
Corolario:
1B0B
1 A0 A
Blog
1 Alog
AB
Ejemplos:
* log25.log72.log37.log253 = log255 = 2
1
* log37.log75.log59 = log39 = 2
* log57 = 5log
1
7
* log23 = 2log
1
3
I.1c0c
1a0aca alogclog bb
Ejemplos:
* 3log5log 22 53 * 7log5log 44 57
Cologaritmo
Se define el cologaritmo de un número "N" positivo enuna base dada "b" positiva y diferente de la unidad, comoel logaritmo de la inversa de dicho número en esa mismabase.
NlogN
1logNlogco bbb
Ejemplos:
* 416log16
1logco 22
* 481log81
1logco 33
Antilogaritmo
El antilogaritmo de un número real en una base dadaes igual al número que resulta de elevar la base al número.
xb bxloganti
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
33/49
Ejemplos:
* antilog23 = 23 = 8
* antilog25 = 25 = 32
Propiedades:
A. antilogb(logbN) = N ; N > 0 b > 0 b 1
B. logb(antilogbx) = x ; x R b > 0 b 1
1. Hallar el valor:
3373438
327log49log16logM
Resolución:
*3
42log
3
42log16log 2
428 3
* 7
4
2
7
27log7log49log 2
72
7.77343 2 /72 /13
*3
103log3.3log327log 3 /103
3 /133
33
Finalmente se pide:
21
110
3
10
7
4
3
4M
2. Siendo: x > 1, resolver: m1x
1xloga
Resolución:
Por definición del logaritmo:ma
1x
1x
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
m2a1x
1x
Aplicando propiedad de proporciones:
1a
1ax
1a
1a
2
x2
m2
m2
m2
m2
Problemas resueltos
3. Calcular el valor de la expresión:
25
3
bc
alogblogco2clogco5alog
2
3F
Resolución:
Transformando la expresión:
253 bclogalog)blog(2)clog(5alog2
3F
)blogc(logalog2
3blog2clog5alog
2
3F 25
blog2clog5alog2
3
blog2clog5alog2
3
F
F = 3loga
4. Calcular antilogP, siendo:
243
32log
9
5log2
16
75logP
Resolución:
Cuando se tenga sumas y restas conviene transformar
la expresión a logaritmo de un producto o un cociente.
Entonces:
2log243.16.25
32.75.81log
81
25log
243
32.
16
75log
9
5log
243
32log
16
75logP
2
Tomando antilog en ambos miembros:antilog P = antilog log2
P = 2
5. S i : x R +, resolver: x44loganti
2
x
Resolución:
Aplicando la definición de antilogaritmo:
0xx64xx42
xx4
2
x 44
44
(descartado porque x R +)
Luego: x3 = 64 ó x3 = 43
De donde: x = 4
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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Bloque I
1. Calcular:
3log4log16logM324
a) 8 b) 6 c) 0d) 10 e) 4
2. Calcular:
2log13log12N 28
a) 9 b) 3 c) 4d) 12 e) 1
3. Calcular:
27log4log
16log5logM
24332
64125
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Hallar:
55log9log16logM 5332
a) 11 b)12
121c)
12
125
d) 13 e) N.A.
5. Hallar:
9
1logM 27
a) -3
2b)
2
3c)
3
2
d) -2
3e)
3
5
6. Reducir:
63
45
32 3log5log2logM
a)3
2b)
4
3c)
6
1
d)6
5e)
12
7
7. Hallar "P"
P = log3(4 + log28 + log525)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0
Problemas para la clase8. Calcular:
8log6log9log 1057M 57
a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 23
9. Calcular:M = l o g 1 0 0 0 + l o g 3243 + log24
2
a) 12 b) 16 c) 18d) 14 e) N.A.
10.Calcular:
32log5log2logP 64258
a)6
1b)
6
5c)
3
2
d)23 e) 9
Bloque II
1. Si: logab = 3 y logb4a = 2el valor de "b" es:
a) 3 22 b) 2 c)3
24
d) 5 22 e) 5
82
2. Calcular:32log325log
9 5log4M
a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64
3. Reducir:
3 64log32log3log 435 28125M
a) 2 b) 3 c) 5d) 33 e) 9
4. Calcular:M = lne5 + log4000 - log4
a) 4 b) 7 c) 8d) 6 e) 2
5. Calcular:
422 /124 2loglogloglogM
a)4
1b)
2
1c) 1
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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d)8
1e) 2
6. Hallar el valor de:
z2log;29
1log:si;
z
xlog 64x2
a) 0 b) 1 c) 2
d)6
1e)
2
1
7. Simplificar:
]7442logco15loganti22log6)2
1(
22[log9logM
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 20
8. Si: log1428 = xHallar en función de "x": M = log4916
a)x12
2x2
b)x1
2x
c)x2
)x1(2
d)x
x2 e)
x2
)1x(2
9. Simplificar:
2log5,0log alogalog
aa 22 )5,0(.aM
a) a b)a
1c) a2
d) a3 e) 1
10.Hallar:
12log13log 32 3.22.3M
a) 75 b) 30 c) 48
d) 38 e) N.A.
Bloque III
1. Reducir:
S = 34log83log2
a) 8 b) 3 c) 6
d) 2 e) 7
2. Si:loga(logab) - loga(logac) = 1
Calcular:E = loga(logbN) - loga(logcN)
a) 1 b) 2 c) - 1d) 3 e) - 2
3. Si:
log2 = 0,301030Hallar:
M = log25 + log125
a) 2,5 b) 3,5 c) 4,5d) 5,5 e) 6,5
4. Reducir:
m . (0,5)log
2m logm0,5 log2
mlogm2
a) m
1b) m c) mlogm
d) 1 e) m2
5. Resolver:
xloganti.logCo
)10log(log3 = Colog x x
a) 9 b) 18 c) 27d) 36 e) N.A.
6. Calcular: E = - Colog4antilog2log2antilog24
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) N.A.
7. Sabiendo:log2 = 0,30103log3 = 0,47712
Hallar:M = log5 + log6
a) 0,47 b) 0,3 c) 1,3
d) 1,47 e) 2,5
8. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?
a)
16
1log4 b) log50,2
c)
27
1log3 d) log2 8
e)
49
1log7
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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9. Si:
x = n3log2Calcular:
M = 3nlogxnlog x73
a) n2 b) n c) 2d) 4 e) 16
10. Hallar “x”, en:
8log1)-x(log 22
1
a)
8
9
; b)
8
9;0
c)
8
9;1 d)
e) N.A.
1. Calcule:
35,0
1
3
5
36,04
2log
15
9log
12
22logE
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
1
2. Calcule:
8logcologantilogloganti 6432223
a) 27 b)
9
1c)
27
1
d)3
1e) 9
3. Si: log4y = 2, halle el valor que debe tener "x" para quese cumpla:
516
yxlog
32
4
a) 1 b) -2 ó 2 c) -1 ó 1d) 2 ó 1 e) -2
4. Resuelva:
13x42 3)15x2(log8
a) 3 b) -2 c) -1d) 1 e) 2
5. Efectúe:
172log
1
240log
2
45log
3
532
a) 2 b) -1 c) 1
d)2
1e) N.A.
Autoevaluación
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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CIENCIAS - PAMER5
AÑOÁLGEBRA
Logaritmos II
Capítulo VI
La compra del caballo
En la aritmética de MAGNITSKI encontramos un divertido problema que damos a conocer sin sujetarnos al lenguajedel original.
Cierta persona, hace ya largos años, vendió su caballo por 156 pesetas. Mas el comprador se arrepintió de haberloadquirido y devolvió el caballo diciendo:- No me interesa comprar el caballo por ese precio, pues no lo merece.El vendedor le propuso nuevas condiciones:- Si te parece elevado ese precio, compra sólo los clavos de las herraduras y conseguirás de balde el caballo. En cada
herradura hay seis clavos; por el primer clavo me pagas tan sólo 1/4 de céntimo; por el segundo, 1/2; por el tercero,1 céntimo, etc.El comprador, deslumbrado por las nuevas condiciones, en su afán de tener gratis un caballo, aceptó la propuesta,
creyendo que tendría que pagar por los clavos no más de diez pesetas.
¿Cuál fue el importe de la compra?
Solución:
Por los 24 clavos hubo de pagar:
,2...22212
1
4
1 32432
cuya suma será igual a:
céntimos4
33031944
4
12
124
12.2
22
21
Es decir, cerca de 42 000 pesetas. En tales condiciones no da pena entregar el caballo de balde.
Introducción
Expresar cualquier número tan sólo con tres números dos.
He aquí un ingenioso rompecabezas algebraico que distrajoa los delegados de un congreso físico celebrado en Odesa.
Proporcionar el siguiente problema:
Expresar cualquier número entero y positivo mediante
tres números dos y signos matemáticos.
Solución:
Mostramos en un ejemplo la solución de este problema,supongamos que el número dado es el 3. En éste caso elproblema se resuelve así:
2loglog3 22
Es fácil convencerse de la veracidad de tal igualdad.
En efecto:
32212 /1
2 /12 /1 2222
32log;22log 3232
2
3
si el número fuera 5 resolveríamos el problema por losmismos procedimientos:
2loglog5 22
Se tiene presente que siendo la raiz cuadrada, se omite
el índice de la misma.La solución general del problema es como sigue si elnúmero dado es "N", entonces:
vecesn
22 2....loglogN
n° radicales = número de unidades del número dado.
Función exponencial
Definición: Sea el número real "a", tal que: a > 0 a 1
}ayR x /)y,x{(exp xa
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
38/49
A) Base: a > 1
y
x
a
x1
x2
a
xa
x1 x2
Si: 12 xx12 aaxx
expa es estrictamente creciente.
Del gráfico:
x
xalim
0alim xx
B) Base: 0 < a < 1
y
x
a
x1
x2
a
xa
x1 x2
Si: 12 xx12 aaxx
expa es estrictamente creciente.
Del gráfico: 0alimx
x
xx alim
Función logaritmo
Definición.- Una función logaritmo se define como elconjunto de pares ordenados (x,y) / y = logbx; donde:x > 0 b > 0 b 1.
D o m f = IR + Ranf = IR
Es decir: f = {(x,y) / f (x)
= logb
x ; x > 0 b 1}
Veamos dos casos:
A) f (x) = logbx ; x > 0 b > 1
log x2b
log xb 1
y = log xb
x1 x2x
y
Del gráfico:si: logbx2 > logbx1 x2 > x1
B) f (x) = logbx ; x > 0 0 < b < 1
log x2b
log xb 1
y = log xbx1 x2 x
y
Del gráfico:
si: logbx1 > logbx2 x1 < x2
Desigualdades logarítmicas
Si: logbx1 > logbx2 b > 1 x1 > x2 > 0
Si: logbx1 > logbx2 0 < b < 1 0 < x1 < x2
Ejemplos:
* log2x > 2 x > 22 x > 4
* log3x < 4 x < 34 0 < x < 34
*4
1x0
2
1x2xlog 2 /1
* 27x3
1x3xlog
3
3 /1
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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1. Hallar el intervalo en el cual está comprendido "x" si:log1/5 x > 0
Resolución:
La desigualdad tiene sentido si se cumple que: x > 0
De otro lado, siendo: b =5
1< 1 xlog
5
1 > 0
0 < x <
0
5
1
0 < x < 1
2. Hallar todos los "x" tales que: xlogxlog 4 /13 /1
Resolución:
Transformando a base 1/3, aplicando la fórmula delcambio de base, se tiene:
4
1log
xlogxlog
3 /1
3 /1
4
1
luego, la desigualdad se escribe como:
0
4
1log
11xlog
0
4
1log
xlog
xlog
4
1log
xlog
xlog
3
13
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
03log1xlog03
1log1xlog 4
3
1
4
1
3
1
Puesto que: 1 - log43 > 0, también debe cumplirse:
0xlog3
1
donde por ser: 13
1b ; se tiene:
1x03
1
x00xlog
0
31
3. Resolver: log3(2x + 3) - log3(1 - 3x) > 3
Resolución:
La desigualdad tiene sentido, siempre que se cumpla:
a) 2x + 3 > 0 x > - 23
b) 1 - 3x > 0 x <3
1
En la desigualdad, aplicando propiedades de logaritmos:
3x31
3x2log3
27x31
3x23
x31
3x2 3
Resolviendo: (2 x + 3 ) (1 - 3 x ) > 2 7 (1 - 3 x ) 2
(3x - 1) (83x - 24) < 0
083
24x
3
1x
Graficando:
2483
< x <13
2483
13
- +
4. Sabiendo que: x > 1; hallar el intervalo que satisface ala desigualdad:
logx (x3 - 16x2 + 80x - 120) > 1
Resolución:
a) Si: x > 1, entonces: logx(x3 - 16x2 + 80x - 120) > 1
x3 - 16x2 + 80x - 120 > x
Luego: x3 - 16x2 + 79x - 120 > 0
Factorizando: (x - 3) (x - 5) (x - 8) > 0
- + 5 8
3 < x < 5 8 < x < +
3 < x < 5 8 < x < +
3
Problemas resueltos
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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5. R e s o l v e r : l o g 5 |2x - 1| > 4
Resolución:
La desigualdad tiene sentido si: 2x - 1 0 x2
1; de
otro lado por ser: b > 1;log5 |2x - 1| > 4 |2x - 1| > 5
4 |2x - 1| > 625
a) Si: 2x - 1 > 0 x >2
1 .... (a) 2x - 1 > 625
x > 313 ... (b)
de (a) y (b) : x > 313 ó 313 < x < +
b) Si: 2x - 1 < 0 x <2
1 ... (a)
2x - 1 < -6252x < -624 x < -312 ... (b)
de (a) y (b) : x < -312 ó - < x < -312
La solución se obtiene reuniendo los resultados delas dos condiciones:
- < x < -312 313 < x < +
Bloque I
1. Indicar la gráfica aproximada de: y = 4x
a) b)
y
x
y
x
c) d)y
x(0,1)
y
x
(0,1)
e) N.A.
2. Sea la función: y = bx; donde: b >1 x R. Indicar lo
correcto.
a) La función es decreciente.b) La función es discontinua.
c) La función no es inyectiva.d) La función es creciente.e) La función es negativa: x R
3. Sea la función: y = 3x
Indicar lo correcto.
a) Si: x > 0; entonces: y > 10b) Si x < 0; entonces: 2 < y < 3c) Si: x + ; entonces: y 0d) Si: x - ; entonces: y 0e) Si: x = 0; entonces: y = 3
4. Sea la función:
x
3
1y
Indicar lo correcto.
a) Dominio de "y": x < - ; + >
b) Rango de "y": y R +
c) La función:x
3
1y
; es positiva x R
d) Si: x < 0 y > 1e) Todas las anteriores.
5. Graficar: y = 2x - 4
a) b)
y
x(0,1)
y
x
4
c) d)
y
x-4
y
x4
e) N.A.
6. Graficar: y = e|x|
a) b)
y
x
(0,1)
y
x(0,1)
Problemas para la clase
8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas
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c) d)
y
x
y
x
e) N.A.
7. Resolver:l o g 3 (x - 3) > 1
a) x R b) d) e)
8. Si: logx7 < 2. Dar el C.S. para "x".
a) x R b) xc) x < 7 ; + >
d) x e) N.A.
9. Resolver:log(x-2)7 1
a) x 9 b) x 9 c) x 6d) x 6 e) N.A.
10.Si: log3(x - 5) > log1/3 7
Da