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Captulo 1
La radiacion electromagnetica
The spectral density of black body radiation ... represents
something absolute, and since the search for the
absolutes has always appeared to me to be the highest form of
research, I applied myself vigorously to its
solution. Max Planck
En general se llama radiacion a la energa emitida por un cuerpo.
Si lo que se emite son ondas
electromagneticas, se habla de radiacion electromagnetica el
tema de los cuatro primeros captu-
los de esta parte del curso pero si son partculas, en general se
habla de radioactividad. La forma
en que ambos tipos de radiacion interactuan con la materia es
muy distinta. Un problema semantico
es que en la vida diaria la palabra radiacion se ocupa en
cualquiera de los dos sentidos.
En este curso nos ocuparemos solo de la radiacion
electromagnetica.
1.1. Velocidad de fase de la radiacion electromagnetica
Los campos electrico (E) y magnetico (B) satisfacen la
relacion
2E,B
z2=
1
c2 2E,B
t2(1.1)
por lo que en el espacio libre se propagan como ondas
progresivas, con la velocidad de fase c. A la
propagacion de estas ondas se llama usualmente radiacion
electromagnetica.
Todo cuerpo(1)emite radiacion electromagnetica en todas las
longitudes de onda.
La rapidez con que la radiacion electromagnetica se propaga,
habitualmente llamada velocidad
de la luz, se calcula como
c=
1
r0r0= f rac1
r0r0 =
c0
n(1.2)
en que 0 es llamada permitividad electrica del vaco, y vale
8,89x1012 (F/m), r es la permitividad
(relativa) de un material, 0 es la susceptibilidad magnetica del
vaco, 4pix107 (H/m), y r es la
susceptibilidad (relativa) de un material. n es el ndice de
refraccion.
1Todo cuerpo a temperatura distinta de 0 K.
Texto curso Meteorologa y Oceanografa Fsica I (DGEO/UdeC, 11 de
mayo de 2015)
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2 La radiacion electromagnetica
La velocidad de la luz en el vaco, que llamaremos c0, vale
299,8x106 m/s (3x108 m/s, o tres-
cientos mil kilometros en cada segundo)(2). En el agua, por
ejemplo, dado que r es el del orden de80, c vale apenas unos 33500
km/s.
Dado que la luz es una onda, debe cumplirse que su velocidad de
fase sea el producto de su
frecuencia y su longitud de onda:
c0 = (1.3)
Generalmente, se describe la radiacion en terminos de su
longitud de onda, lo cual se hace en
milimetros (mm = 1x103 m), micrometros (m = 1x106 m) y
nanometros (nm = 1x109 m).
1.2. Descripcion de la energa radiativa
Se denomina radiancia espectral (a veces radiancia
monocromatica), y se denota como I (o
I ), a la energa en forma de radiacion electromagnetica que pasa
o es emitida en una direccion
determinada, cruzando una unidad de area normal al rayo (dA),
por unidad de angulo solido (d),por unidad de tiempo (dt) en un
pequeno intervalo de longitud de onda (d ) o de frecuencia (d).Otro
nombre, frecuente pero no tan recomendable, es intensidad espectral
o monocromatica, o
(Goody & Young, 1989) intensidad especfica.
La radiancia espectral se expresa en Watt por metro cuadrado por
unidad de angulo solido (es-
tereorradian) por unidad de longitud de onda [Wm2sr1m1] o de
frecuencia [Wm2sr1Hz1].Notese que I e I tienen distintas unidades
de medida.
Si es el flujo radiante (potencia emitida o que pasa, en Watts),
se tiene
I =d3
dAdd(1.4)
y una relacion semejante para I . Si I no depende de la
direccion se dice que es isotropica; si en
cierta region no es una funcion de la posicion se dice que es
homogenea.
Se debe cumplir que
Id =Id o I =2
cI (1.5)
La radiancia (sin apellido), tambien llamada intensidad, se
obtiene integrando la radiancia
espectral
I = 2
1Id (1.6)
y por supuesto tiene unidades Wm2sr1.Las cantidades anteriores
son independientes de la distancia a la fuente. Sin embargo,
habitual-
mente la energa radiante debe ser evaluada sobre alguna
superficie. Para eso se define la irradiancia
espectral o densidad de flujo radiante espectral.
La radiacion incidente sobre una superficie, considerando la que
le llega desde arriba (o desde
el frente, o desde adelante) es
F =2pi
I cos()d (1.7)
La unidad de medida de la irradiancia espectral es Wm2m1.
2Mas sobre esto, en la clase. Keyword: atomos; informacion;
modelos macro
Texto curso Meteorologa y Oceanografa Fsica I (DGEO/UdeC, 11 de
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1.2 Descripcion de la energa radiativa 3
Finalmente se tiene la irradiancia (a secas) o densidad de flujo
radiante (tambien llamada RFD)
para la radiacion que incide sobre una superficie plana
F =2pi
I cos()d = 2
1I cos()dd (1.8)
Esta variable se mide en Wm2. Notese que los angulos que
aparecen en esta ultima ecuacion sonlocales, no remotos. Lo remoto
es I o I .
Un ejemplo importante y conocido de densidad de flujo radiante o
irradiancia corresponde a
la constante solar, 1366,1 Wm2, medida en la parte superior de
la atmosfera, a una distanciaal Sol igual a la distancia promedio a
la Tierra(3)(4). En este caso se considera todo el espectro
electromagnetico(5).
Cuanta es la radiancia emitida desde el Sol? Podemos usar la
ecuacion (1.7). El angulo solido
que subtiende el Sol desde un punto de la orbita de la Tierra es
piR2S/R2TS. Usando 700 mil km y
150 millones de km, respectivamente, tenemos que 6,8x105 sr.
Como es un valor bastantepequeno, podemos suponer que cos 1 en esa
ecuacion y obtener, suponiendo isotropa, que laradiancia del Sol es
del orden de 2,0x107 Wm2sr1. Por supuesto este resultado es
independientede la distancia al Sol.
El flujo radiante (= potencia), en Watts, incidente sobre una
superficie o que pasa por ella se
puede calcular integrando la ecuacion (1.4) con respecto al
area, de forma que queda
=S
2pi
21
I ( ,)cosdddA (1.9)
1.2.1. Que pasa con la radiacion que incide sobre un cuerpo?
La fsica de la interaccion entre la radiacion electromagnetica y
la materia es el tema del segun-
do captulo de esta parte del curso. Pero es relevante que ahora
veamos algunas definiciones.
La absorbancia espectral (o monocromatica) a de un cuerpo es la
razon entre la RFD absor-
bida y la recibida por ese cuerpo, para cada longitud de
onda.
La reflectancia se define como la fraccion de la potencia
electromagnetica incidente que es
reflejada en una interfase. Es una propiedad espectral y
dependiente del angulo de incidencia de
la radiacion y de la polarizacion de la radiacion incidente(6).
Como un ejemplo, la Figura (1.1)
muestra como la reflectancia de la superficie pulida de un metal
depende de la longitud de onda.
Quizas algo contraintuitivamente, estos metales difieren
bastante en su reflectancia en longitudes
de onda visibles. En infrarrojo, sin embargo, ellos son muy
eficientes reflectores.
3En unidades mas cotidianas, esto corresponde a unas 20
Kcal/min/m2. Notese que, al considerar el factor 1/4 por
la rotacion de la Tierra, esto implica una incidencia de unos
160 mil TW. De ellos, descontando albedo y energas
no utilizables (por ejemplo, por corresponder a temperaturas
demasiado bajas para sacarles trabajo), quedan solo unos
1000TWutilizables para la humanidad. El consumo global actual de
energa es del orden de 50 TW (unos 30 naturales
fotosntesis, etc. y unos 17 ocupados por los humanos en energa
para trabajo), o sea como un 5% de lo utilizable.
Otras estimaciones elevan esta fraccion ya a un 10%.4Valores
para otros planetas son: Venus, 2612; Marte, 589; Jupiter, 51;
Saturno, 15; Neptuno, 1,5 Wm25En el caso de una onda
electromagnetica monocromatica, y si la susceptibilidad magnetica
es pequena (r 1),
la irradiancia esta dada por F = (1/2)c0n0|E|2, en que n es el
ndice de refraccion, c0/c, y E el campo electrico.6The term
reflection coefficient is used for the fraction of electric field
reflected. The reflectance (or reflectivity) is
thus the square of the magnitude of the reflection coefficient.
The reflection coefficient can be expressed as a complex
number as determined by the Fresnel equations for a single
layer, whereas the reflectance (or reflectivity) is always a
positive real number.
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4 La radiacion electromagnetica
Figura 1.1: (a) Reflectancia espectral de superficies pulidas de
aluminio, plata y oro en el caso de
incidencia normal. (b) Reflectancia del agua limpia, de la
vegetacion sana y del suelo desnudo y
seco.
A la derecha de la Figura (1.1) se muestra la reflectancia
espectral del agua limpia, del suelo
desnudo seco, y de la vegetacion verde sana. La curva de
reflectancia de la vegetacion verde sana
muestra un marcado mnimo en la parte visible del espectro, y
luego aumenta muy rapido en el
infrarrojo cercano. La vegetacion bajo stress puede ser
detectada porque tiene una reflectancia muy
baja en el infrarrojo.
La reflectancia espectral del suelo seco es mucho menos
variable. Uno de los factores que mas
puede afectar la reflectancia del suelo es la humedad que pueda
tener. El agua limpia tiene solo un
poco de reflectancia en el visible... y nada de reflectancia en
infrarrojo. El agua turbia tiene mas
reflectancia en el visible que el agua limpia. Lo mismo si el
agua tiene clorofila.
En este curso trataremos la reflectividad como sinonimo de
reflectancia, aunque en algunas
disciplinas se hace distincion entre ellas(7).
Ver los siguientes links:
http://ricmorte.com/index.php/light-a-colour/optics/reflectance-a-reflectivity
http://en.wikipedia.org/wiki/Reflectivity
http://xdb.lbl.gov/Section4/Sec_4-2.html (la figura de mas abajo
en la ultima pagina)
La transmitancia espectral es la fraccion de la radiacion
electromagnetica incidente que, para
cierta longitud de onda determinada, pasa a traves de una
muestra. La Figura (1.2) muestra la
transmitancia espectral para el caso de la atmosfera terrestre.
(En captulos siguientes estudiaremos
los procesos que producen las bandas de absorcion que se observa
en esta figura).
Dado que un cuerpo solo puede puede absorber, reflejar y/o
transmitir la radiacion electro-
magnetica que le llega, para cada longitud de onda debe
cumplirse que
a +R +T = 1 (1.10)
A partir de la absorbancia espectral (y de la reflectancia y la
transmitancia) se calcula la absor-
bancia total o integral (y la reflectancia, etc.) como
7Reflectivity is the property of a material, reflectance is the
property of a particular sample of that material or a
particular surface. reflectivity is distinguished from
reflectance by the fact that reflectivity is a value that applies
to
thick reflecting objects. When reflection occurs from thin
layers of material, internal reflection effects can cause the
reflectance to vary with surface thickness. Reflectivity is the
limit value of reflectance as the surface becomes thick;
it is the intrinsic reflectance of the surface, hence
irrespective of other parameters such as the reflectance of the
rear
surface. Another way to interpret this is that the reflectance
is the fraction of electromagnetic power reflected from a
specific sample, while reflectivity is a property of the
material itself, which would be measured on a perfect machine
if
the material filled half of all space.
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1.3 Radiancia espectral de un cuerpo negro 5
Figura 1.2: Transmitancia de la atmosfera terrestre.
a=
=0 aF
(inc)
d =0F
(inc)
d(1.11)
Notese que mientras a depende solo de la superficie, a depende
de la distribucion espectral de
la radiacion incidente.
Tambien se tiene que
a+R+T = 1 (1.12)
1.3. Radiancia espectral de un cuerpo negro
Un cuerpo negro es un cuerpo que absorbe toda la radiacion que
recibe, por lo que cumple que
a es 1 para toda longitud de onda (y que R y T son cero para
toda ). Un cuerpo negro emiteradiacion en una distribucion
espectral dada por la ley de Planck (ver mas abajo), con la
temperatura
T como unico parametro.
Figura 1.3: Una cavidad como modelo de un cuerpo negro
En su investigacion de la emision y absorcion de la energa
electromagnetica Planck sugirio en
1900 que la radiacion de un cuerpo negro estaba compuesta de
unidades discretas de energa. Si
pensamos en la luz compuesta por fotones, entonces un foton
tiene una energa E que es propor-
cional a su frecuencia
E = h (1.13)
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6 La radiacion electromagnetica
en que h = 6,625x1034 Js es la constante de Planck, y es la
accion(8) mnima que puede existiren la naturaleza.
La radiancia espectral de un cuerpo negro esta dada por la
distribucion de Planck(9),
IB = B (T ) =2hc2
5[exp(hc/kBT )1] (1.14)
en que kB, la constante de Boltzmann, vale 1,38x1023 J/K. Las
unidades de medida de IB son
Wm2sr1m1.Lo mismo expresado en funcion de la frecuencia
queda
IB = B(T ) =2h3
c21
exp(h/kBT )1 (1.15)
Una descripcion alternativa de la radiacion de un cuerpo negro
es a traves de su densidad de
energa espectral, que esta relacionada con la radiancia
espectral en la forma
u (T ) =4pi
cIB (T ) u(T ) =
4pi
cIB(T ) (1.16)
Para calcular cuanta energa emite un cuerpo negro por unidad de
area, se debe integrar la que
emite en todas las direcciones hacia adelante
FB =
pi/2
2pi
IB cos()sen()ddd (1.17)
Con respecto a las integrales de la radiancia espectral, y
usando la ecuacion (1.14), debe tenerse
que
L= 0
IBd = 0
IBd (1.18)
En el Anexo 1A se muestra como calcular L. El extraordinario
resultado es
L=
0
IBd =
piT 4
Juntando este resultado con la integracion de la parte
geometrica de la ecuacion (1.17) en que
la integral sobre da 1/2 y la integral sobre da 2pi se llega a
la RFD
FB =2pi5k4B15c2h3
T 4 = T 4 (1.19)
en que es la constante de Stefan-Boltzmann, 5,670x108 W/m2K4.
Esta ecuacion (1.19) es llama-da Ley de Stefan-Boltzmann.
Considerando la complejo de las expresiones para I o I , y de la
in-
tegracion geometrica en coordinadas esfericas, esta ecuacion es
de una extraordinaria simpleza(10)
8La accion es el producto de la energa implicada en un proceso y
el tiempo que dura este proceso.9A la radiancia espectral de un
cuerpo negro frecuentemente se la denomina B (T ).10La Ley de
Stefan-Bolztmann se conoca desde 1879, cuando el fsico austriaco
Jozef Stefan la dedujo basandose en
las mediciones experimentales realizadas por el fsico irlandes
John Tyndall... pero el nombre de la ecuacion no llega a
Tyndall por ninguna parte. (Siempre pasa: la ecuacion lleva el
nombre de quien la explica o la deducematematicamente,
no de quien hace las mediciones en que esas se basan. Piensese
en las leyes de Kepler, quien dedujo las ecuaciones
basandose en el trabajo de toda la vida de Tycho Brahe.) Stefan
murio en 1893, as que no alcanzo a conocer la
explicacion de Planck para su ley.
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1.4 Cuerpos grises 7
Otro resultado muy importante es conocer a que longitud de onda
un cuerpo a cierta tempera-
tura emite mas. Obviamente eso se puede saber derivando la
radiancia espectral para encontrar el
maximo de la funcion. El resultado es que la longitud de onda a
la cual la radiacion es maxima (ley
de corrimiento de Wien) se puede calcular de
maxT = 2898m K (1.20)
Si se calcula las longitudes de onda a las que el Sol y la
Tierra mas emiten, se encuentra que
la radiacion solar esta preferentemente en la banda visible e
infrarrojo cercano del espectro ( dedecimas de m) y la Tierra emite
en la banda infrarroja del espectro ( de decenas de m). Lafigura
(1.4) muestra una version simplificada de los espectros solar y
terrestre.
Figura 1.4: Espectro de radiacion solar y terrestre
1.4. Cuerpos grises
Las relaciones anteriores son adecuadas para un cuerpo negro. La
emisividad (o emitancia)
espectral de un material se define como la razon entre la
radiancia emitida por el material en cada
longitud de onda y la radiancia emitida a esa longitud de onda
por un cuerpo negro que este a la
misma temperatura del material. Entonces
=I
IB(1.21)
La tabla mostrada en la figura (1.5) muestra las propiedades
radiativas de cuerpos no-negros.
Si la emisividad monocromatica es esencialmente independiente de
la longitud de onda (o sea,
es practicamente constante), se habla de un cuerpo gris
(graybody). Muchos cuerpos tienden a
comportarse de esta forma (el mismo Sol, sin ir mas lejos). La
figura (1.6) muestra un ejemplo.
En el caso de un cuerpo no-negro (gris) la potencia emitida
total es, entonces,
= AFB = AT4 (1.22)
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8 La radiacion electromagnetica
Figura 1.5: Emisividades de varios materiales
Figura 1.6: Ejemplos de un espectro de cuerpo negro, un cuerpo
gris y un emisor selectivo
1.5. Ley de Kirchhoff
En esta seccion se hara y se probara varias aseveraciones
relevantes relacionadas a propie-
dades de la radiacion y su interaccion con la materia.
La primera aseveracion es: Un cuerpo negro debe emitir la maxima
cantidad de energa radia-
tiva, mas que cualquier otro cuerpo a la misma temperatura.
Para mostrar esto consideremos dos cavidades negras, aisladas
termicamente del exterior, y
cada una conteniendo un objeto pequeno, salvo que uno es negro y
el otro no. De acuerdo a la
segunda ley de la termodinamica, luego de un tiempo largo ambas
cavidades y los objetos en su
interior estaran a la misma temperatura.
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1.5 Ley de Kirchhoff 9
Esto implica que cada parte dentro de la cavidad (paredes y
objeto) deben emitir precisamente
tanta energa como absorben. Ambos objetos en las cavidades
reciben exactamente la misma can-
tidad de energa radiativa. Pero el objeto negro absorbe mas
energa (la maxima posible), y por
lo tanto debe emitir mas energa que el objeto no-negro (o sea,
tambien debe emitir el maximo
posible).
Notese que esto significa que el que absorbe mucho, debe emitir
mucho(11). O sea, en ecua-
ciones, a .Ahora veamos la siguiente aseveracion: Todo cuerpo
rada a cada frecuencia exactamente con
la misma eficiencia con la que absorbe radiacion a esa
frecuencia.
Esta aseveracion es algo paradojal, porque la emision de una
superficie es determinada solo por
las propiedades fsicas y la temperatura de esa superficie,
mientras que la absorcion, por otra parte,
depende tambien de la fuente desde la que la superficie absorbe
radiacion. Pero, en fin, veamos si
esta aseveracion puede ser justificada.
Imaginemos que ponemos un cuerpo a alguna temperatura dentro de
un horno que este a su
misma temperatura. En ese caso la segunda ley requiere que el
cuerpo y el horno esten en equilibrio
termico uno con el otro mediante el campo radiativo dentro del
horno. En particular requiere que el
cuerpo emita radiacion termica con la misma intensidad con la
cual el la absorbe (de otra forma la
temperatura del cuerpo subira o bajara, y se violara la segunda
ley).
Ahora imagine que el cuerpo es envuelto por una pantalla hecha
de un material que refleja
toda la radiacion excepto aquella en una banda estrecha de
frecuencias, donde el material de la
pantalla transmite (deja pasar) perfectamente. Reflexion y
transmision perfectamente quiere decir
que la pantalla no absorbe nada de esa radiacion que le llega.
La presencia de la pantalla no afecta
a las propiedades intrnsecas del cuerpo, en particular, no tiene
por que alterar la emisividad o la
absorbancia del cuerpo. La presencia de la pantalla tampoco
tendra que afectar de alguna manera
la radiacion dentro del horno.
Estos hechos requieren que a cualquier frecuencia dada el cuerpo
emita radiacion con la misma
intensidad con que absorbe la radiacion a esa frecuencia.
Asumamos que el cuerpo absorbe radia-
cion con cerca de 100% de eficiencia en la banda de frecuencias
que pasan a traves de la pantalla.
La radiacion emitida por las paredes del horno golpean la
pantalla y la radiacion en la banda de fre-
cuencias especiales pasa a traves de la pantalla y golpea al
cuerpo. Esperamos que, de acuerdo con
esa absorcion, el cuerpo se caliente, y comience a radiar mucho
mas a todas las longitudes de onda,
la mayora de las cuales se reflejan en la pantalla y vuelven al
cuerpo, haciendolo aun mas caliente,
etc., en violacion de la segunda ley. La unica solucion para que
la segunda ley no sea violada es
que el cuerpo rade a cada frecuencia exactamente tan
eficientemente como el absorbe radiacion a
esa frecuencia. Para equilibrio termico un sistema debe radiar
tanta energa como la que recibe en
cada banda de frecuencias.
As que en el equilibrio termodinamico debe cumplirse la llamada
ley de Kirchhoff:
a = (1.23)
y, consecuentemente, tambien debe tenerse que a= .Notese que la
ecuacion (1.23) vale o para la misma longitud de onda o para el
espectro completo.
No puede aplicarse para longitudes de onda distintas.
Algunos ejemplos de aplicacion de la ley de Kirchchoff:
(a) Esta ley explica por que el vapor de sodio digamos absorbe
fuertemente radiacion en ciertas
frecuencias, mostrando lneas oscuras en su espectro de
absorcion, y tambien rada fuertemente en
11Interesante: Una version bblica de la ley de Kirchhoff se
encuentra en Lucas 7:47.
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10 La radiacion electromagnetica
esas mismas frecuencias cuando se hace incandescente, creando
lneas brillantes en su espectro de
emision(12).
(b) Imaginemos un tubo cuyas paredes interiores no emitan ni
absorban radiacion. Dos tapas metali-
cas cilndricas ocupan los extremos opuestos del tubo, en
contacto con reservorios de calor pa-
ra mantener a ambas a la misma temperatura (por ejemplo, podemos
suponer que todo el tubo
esta dentro de un recipiente con agua). Supongamos, por otra
parte, que las tapas no transmiten ra-
diacion. La tapa 1 emite radiacion con una intensidad de E1 W/m2
y la tapa 2 absorbe una fraccion
a2 de esa emision. Del mismo modo, la tapa 2 emite radiacion con
una intensidad de E2 W/m2 y
la tapa 1 absorbe una fraccion a1 de ella, reflejando el resto.
Debido a la suposicion que el sistema
esta en equilibrio termico (todas sus partes estan a la misma
temperatura), la segunda ley de la
termodinamica (en la forma de Clausius: el calor no fluye
espontaneamente de los cuerpos fros
a los calientes) se requiere que la cantidad de radiacion que
viene de una tapa sea la misma a la
que viene de la otra. Si esto no ocurriera, una tapa enviara mas
radiacion a la segunda que la que
la segunda enviara a la primera, por lo que la primera se
enfriara, y se acabara el equilibrio. La
cantidad de radiacion saliendo de la tapa 1 es la suma de E1 y
la cantidad de E2 que ella refleja,
ambas cantidades multiplicadas por el area de la tapa. Una suma
analoga vale para la radiacion
saliendo de la tapa 2.
La condicion que ambas temperaturas se mantengan constantes e
iguales requiere que ambos
flujos totales sean iguales. Igualando las dos sumas, y dado que
la cubierta de ambas tapas tienen
la misma area (y dividiendo por esa area) se tiene E1+E2(1 a1) =
E2+E1(1 a2). RestandoE1+E2 de ambos lados de la ecuacion y
dividiendo ambos lados por -1 da E2a1 = E1a2.
Finalmente, dividiendo la ecuacion por el producto A1A2 se
obtiene
E1
a1=
E2
a2(1.24)
Esta ecuacion expresa el hecho que la emisividad de un cuerpo
dado esta en proporcion directa
con la absorbancia de ese cuerpo. En la medida que la emisividad
del cuerpo dependa de ciertas
propiedades del cuerpo, en la misma medida y en la misma forma
la absorbancia dependera de
esas propiedades. Puesto en terminos simples, un buen absorbente
tambien es un buen emisor de
radiacion.
(c) Mediante el mismo razonamiento se puede mostrar que una
superficie negra es un absorbente y
emisor perfecto a cada longitud de onda.
(d) Otras consecuencias (o formas de ver el asunto):
- Un mal reflector es un buen emisor, y un buen reflector es un
mal emisor.
- Otra forma: buenos absorbentes son buenos emisores.
- La emisividad no puede ser mayor a uno ( < 1), pues por la
conservacion de la energa no esposible irradiar mas energa que un
cuerpo negro, en equilibrio.
Como ejemplo practico, un vidrio transparente deja pasar la luz
visible y por la ley de Kirchhoff
se sabe que no es buen emisor de luz visible.
12La ley de Kirchhoff es aplicable a gases, siempre que la
frecuencia de colisiones entre las moleculas sea mucho
mayor que la frecuencia a la que las moleculas absorben y emiten
radiacion en la longitud de onda de interes. La
frecuencia de colisiones entre dos gases neutros esta dada por
NAAB(8kBT/piAB)1/2, en que NA es el numero de
Avogadro, AB es la masa reducida, y AB la seccion transversal.
Si esto se cumple, se dice que el gas esta en
equilibriotermodinamico local (LTE). En la atmosfera, esta
condicion se satisface hasta unos 60 km de altura.
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1.5 Ley de Kirchhoff 11
Anexo 1A: Integral de la radiancia espectral
En este Anexo se muestra como calcular la integral de la
radiancia espectral, o sea
L=
0
IBd = 2hc2 0
d
5[exp(hc/kBT )1]Podemos definir una variable auxiliar x =
hc/(kBT ), lo que significa que = (hc)/(kBTx),
y por lo tanto d =dx(kBT 2)/(hc). Reemplazando d y usando x en
la ecuacion anterior (porahora la integral quedara mezclada durante
un par de pasos), se tiene
L = (2hc2)(kBT/hc) 0
2dx
5[exp(x)1] =2ckBT 0
dx
3[exp(x)1]= 2ckBT
0
dx
(hc/kBTx)3[exp(x)1]Juntando las constantes e invirtiendo los
lmites de integracion se tiene
L=2kBT (kBT )
3
h3c2
0
x3dx
exp(x)1 =2k4BT
4
h3c2
0
x3
exp(x)1dx
El problema es como evaluar la integral de x3/(ex1) entre cero e
infinito. Esto se puede hacerde la siguiente manera:
0
x3
ex1dx= 0
x3[
ex
1 ex]dx=
0
x3
[
n=1
enx]dx=
n=1
0
x3enxdx
Veamos ahora solo la integral: Se puede hacer por partes: Al
hacer u= x3 y v= enxdx, queda(x3/n)enx + (3/n) x2enxdx, todo esto
evaluado entre cero e infinito. El producto se anulaen ambos
lmites, y la integral queda reducida a (3/n)x2enxdx, de nuevo entre
cero e infinito.Haciendo ahora u= x2 y v = enxdx, se llega a
(3x2/n2)enx+(6/n2)xenxdx, lo que evaluadoen ambos lmites deja solo
(6/n2)xenxdx. Por ultima vez se integra por partes, ahora u = x,
yv= enxdx. Se obtiene 6/n2[(x/n)enx+(1/n)enxdx], evaluado entre
cero e infinito. De nuevoel primer termino se anula en ambos
lmites, y ahora la ultima integral se puede hacer facilmente,
obteniendose 6/n2[(1/n)(1/n)enx]. Al evaluar los lmites, queda
solo 6/n4.Usando este resultado, tenemos que
0
x3
ex1dx= 6
n=1
1
n4= 6 (4) = 6
pi4
90
porque la sumatoria es la conocida funcion zeta de Riemann, la
que en x= 4 es pi4/90. Con esto setiene, finalmente,
L=
0
IBd =2k4BT
4
h3c26
pi4
90=
2k4Bpi4
15h3c2T 4 =
2kBpi5
15h3c2T 4
pi=
piT 4
Ejercicios del captulo
1. (Este ejercicio es solo para que refresque sus conocimientos
sobre angulo solido) Calcule el
angulo solido que subtiende America (el continente) vista desde
el centro de la Tierra y vista
desde el Sol.
2. Justifique la aseveracion: Un mal reflector es un buen
emisor, y un buen reflector es un mal
emisor.
Texto curso Meteorologa y Oceanografa Fsica I (DGEO/UdeC, 11 de
mayo de 2015)
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12 La radiacion electromagnetica
Gua para la Practica de este captulo
Los alumnos deben seleccionar alguna temperatura cuya radiacion
corresponda al rango visible
(Tvis) y otra para infrarrojo (Tir). Se supone que cada alumno
elige temperaturas distintas a las de
sus companeros.
Para las temperaturas seleccionadas:
El alumno usaraMatlab u otro software que le parezca adecuado
(Phyton?) para graficar la
distribucion espectral de Planck para un cuerpo negro B para sus
temperaturas Tvis y Tir.
Hara otro grafico para B (para ambas temperaturas)
Para la temperatura Tvis calculara numericamente la pendiente de
B (puede elegir un meto-
do; lo mas sencillo sera calcular numericamente la derivada de
la funcion), y encontrara el
maximo de la funcion y lo comparara con lo que predice la ley de
desplazamiento de Wien.
Usando la misma temperatura, integrara numericamente B (por
ejemplo, con QUAD y com-
parara con T 4
- . . . y cualquier otra cosa que al ayudante le parezca
adecuada.
Texto curso Meteorologa y Oceanografa Fsica I (DGEO/UdeC, 11 de
mayo de 2015)
La radiacin electromagnticaVelocidad de fase de la radiacin
electromagnticaDescripcin de la energa radiativaQu pasa con la
radiacin que incide sobre un cuerpo?
Radiancia espectral de un cuerpo negroCuerpos grisesLey de
Kirchhoff