RLM - PROFESSOR CARLOS EDUARDO AULA 3 Sucessões = sequências(numéricas) São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma sequência pode ser FINITA ou INFINITA. Ex: a) (3, 6, 9, 12) → sequência finita P.A de razão 3 b) (5, 10, 15, ...) → sequência infinita P.A de razão 5 IPC: É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência. Representação (a 1, a 2, a 3, ..., a n-1, a n ), em que: a 1 é o primeiro termo a 2 é o segundo termo a 3 é o terceiro termo Ex: Monte a sucessão numérica onde o termo geral é dado pela seguinte fórmula a n =2.a n-1 + 1 e o a 1 = 1 IPC: Nem sempre uma sequência será uma P.A. ou P.G. Sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...) a n = a n-1 + a n-2 (a partir do 3º termo) 1) Considere que os termos da sequência seguinte foram obtidos segundo determinado critério: ( 1, 5, 3 , 15 , 13 , 65 , 63, ...) 1 4 3 12 11 44 43 Se x/y é o 9º termo dessa sequência, obtido de acordo com esse critério, então a soma x + y é um número: a) menor que 400. b) múltiplo de 7. c) ímpar.
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AULA 3
Sucessões = sequências(numéricas) São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma sequência pode ser FINITA ou INFINITA. Ex: a) (3, 6, 9, 12) → sequência finita P.A de razão 3 b) (5, 10, 15, ...) → sequência infinita P.A de razão 5 IPC: É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência. Representação (a1, a2, a3, ..., an-1, an), em que:
a1 é o primeiro termo
a2 é o segundo termo
a3 é o terceiro termo
Ex: Monte a sucessão numérica onde o termo geral é dado pela seguinte fórmula an =2.an-1 + 1 e o a1 = 1 IPC: Nem sempre uma sequência será uma P.A. ou P.G. Sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...)
an = an-1 + an-2 (a partir do 3º termo)
1) Considere que os termos da sequência seguinte foram obtidos segundo determinado
critério:
( 1, 5, 3 , 15 , 13 , 65 , 63, ...)
1 4 3 12 11 44 43
Se x/y é o 9º termo dessa sequência, obtido de acordo com esse critério, então a soma x + y é um número:
a) menor que 400.
b) múltiplo de 7.
c) ímpar.
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d) quadrado perfeito.
e) maior que 500.
Progressão Aritmética (PA) É toda sequência (a1, a2, a3, ...) tal que: a1 = a an+1 = an + r (para n ≥ 1) Ex: (3, 7, 11, 15, 19)
PA
5 termos
a1 = 3
r = 4
Propriedades I)
II) Média Aritmética
III) (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)
Termo geral da PA
Ex: Qual o a15 de uma PA de razão 3 e o a8 = 10?
an+1 - an = r
an = an+1 + an-1
2
a3 + a5 = a1 + a7
an = a1 + (n-1)r
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Soma dos termos da PA
Ex: Numa PA com 30 termos o a1 = 12 e o a30 = 58. Qual o valor da soma de todos eles?
Progressão Geométrica (PG) É toda sequência (a1, a2, a3, ...) tal que: a1 = a an+1 = an q (para n ≥ 1) a ≠ 0 e q ≠ 0 Ex: (3, 6, 12, 24)
PG
4 termos
a1 = 3
q = 2
Propriedades I)
II) Média Geométrica
III) (3, 6, 12, 24)
Sn = (a1 + an) n
2
a1 + a4 = a2 + a3
an+1 = q
an
IanI =√ an-1 x an+1
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Termo geral da PG
Ex: Numa PG de razão 3, cujo 1º termo vale 2, o valor do 4º termo é?
Soma dos termos da PG
Ex: Numa PG com 10 termos, o a1 = 25 e a razão é 2. Determinar a soma destes termos.
Soma-limite de uma PG infinita
Acontece numa PG onde a razão está entre 0 e 1
an = a1q n-1
Sn = a1 (qn - 1)
q-1 Para q ≠ 1
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Ex: Determinar a soma-limite da expressão
2 + 1 + 1_ + 1_ + 1_ + ...
2 4 8
2) Considerando que, em uma PA a razão seja positiva, a1 = 2 e os termos a1, a3 e a11
estejam, nessa ordem, em PG, julgue o item a seguir:
A média aritmética de 3 termos quaisquer dessa progressão aritmética será sempre
um número inteiro.
3) Uma sequência de números k1 , k2 , k3 , k4 ,....,kn é denominada Progressão
Geométrica - PG - de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo
dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão.
S∞ = a1__
1 - q
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Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p - 2);
p; e (p + 3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos
da PG são, respectivamente, iguais a:
a) (6 - p); 2/3; 21
b) (p +6); 3/2; 19
c) 6; (6 – p); 21
d) (6 - p); 3/2; 19
e) (p - 6); p; 20
MDC e MMC
Múltiplos → É só lembrar-se da tabuada que aprendemos lá na infância.
Ex: 3 x 0 = 0
3 x 1 = 1
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
.
.
Primeiros 11 múltiplos
Conjunto infinito
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.
Divisores → É o nº que divide certo número dando resto “zero”.
Ex: 12 : 4 = 3 → O nº “4” é divisor de “12”
Conjunto dos divisores de um nº natural
D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50} → conjunto finito
50 = 2 x 5² → 6 divisores
M.D.C. e M.M.C.
Calcular o MDC e o MMC entre os números “64” e “24”
M(64) = {64, 128, 192...}
D(64) = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}
M(24) = {24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192...}
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
MDC (64, 24) = 8
MMC (64, 24) = 192
4) Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B
para presentear seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e
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um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organizados em pacotes,
contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo.
I. Se 540 catálogos do tipo A e 340 do tipo B forem separados em lotes, de modo que
cada lote contenha catálogos dos dois tipos e a mesma quantidade de catálogos de
cada tipo, então a quantidade máxima de lotes em que poderão ser separados esses
catálogos será igual a:
a) 20
b) 34
c) 54
d) 10
e) 17
II. Com base nas informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes
tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará:
a) 8,3 kg
b) 8,4 kg
c) 8 kg
d) 8,1 kg
e) 8,2 kg
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Teoria dos Conjuntos
Conjunto → Uma definição básica para conjunto é que ele é uma reunião de elementos.
Estes elementos podem ser pessoas, animais, objetos, números etc.
Ex: A = {a, b, c, d, e,..., z}
Pode também ser representado por uma propriedade...
A = {x/x é letra do alfabeto}
...ou através de um diagrama, chamado Diagrama de Venn
Pertinência (Є ou Є)
Analisar se um elemento qualquer pertence ou não pertence a determinado conjunto.
Ex: B = {x/x é consoante da palavra FEDERAL}
→ P Є B?
Conjunto Vazio→ não possui elementos. É representado por { } ou Ø.
Conjunto unitário→ possui apenas um elemento.
Conjuntos numéricos
Conjunto dos números Naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números Inteiros
Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números Inteiros Não Positivos
A
a b c d e f g h i j l
m n o p q r s t u v
x z
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Z _ = {...-4, -3, -2, -1, 0}
Conjunto dos números Inteiros Negativos
Z* _ = {...-4, -3, -2, -1}
IPC: O “zero” não é positivo nem negativo.
Conjunto dos números Racionais
Z = {x/x = a , a Є Z e b Є Z*}
b
Conjunto dos números Irracionais
I = {√2, √7, π, ...}
**
Conjunto dos números Reais
R = Q U I
Q
I
Igualdade entre conjuntos
A = {3, 5, 11}
B = {11, 11, 11, 3, 5, 3, 5}
A = B?
Relação de Inclusão
A Ϲ B ou B Ͻ A / A Ȼ B ou B Ͻ A
N
Z
. √2
. √3
. π
. – 3
7
. 2
5 . -3
. 0
. 1
.0,222...
R
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Se todos os elementos da A forem também de B, A está contido em B ou B contém A. E se
pelo menos um elemento de A não for também elemento de B, A não está contido em B
ou B não contém A.
A Ϲ B ou B Ͻ A
A Ȼ B ou B Ͻ A
IPC: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto porque ele não tem nenhum
elemento que não seja elemento do outro conjunto.
5) Classifique em C ou E os itens abaixo:
a) Ø Є {11, 12, 13}
b) -4 Є N
c) N* = Z*+
d) Ø Ϲ {0, 1, 2, √2}
e) R Ϲ Q
A
B A=B
A B
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Conjunto das Partes
O conjunto das partes de A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.