Esercitazioni del corso di Idraulica Idrodinamica Esercizio 1 05-feb-08 esame Civili α = 1.2 + = - seconda cifra della matricola * 0.05 Y A = 200 + = m s.l.m. seconda cifra della matricola * 2 Y B = 150 + = m s.l.m. prima cifra della matricola * 2 D = 185 + = mm seconda cifra della matricola * 2 L = 2000 + = m terza cifra della matricola * 20 L r = 500 + = m seconda cifra della matricola * 25 ultime cifre della matricola scelta: 9 5 7 g 9,81 m/s 2 ν 1,006E-06 m 2 /s α 1,45 - Y A 218 m Y B 160 m D 195 mm 0,195 m L 2140 m L r 625 m Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota Y B riceve una certa portata Q 0 da un serbatoio A a quota Y A tramite una condotta in ghisa in servizio corrente. Successivamente si decide di incrementare la portata a servizio del serbatoio B, passando dal valore Q 0 al valore αQ 0 con α > 1, tramite una immissione concentrata nel nodo C. A tal fine si intende realizzare un raddoppio di condotta a valle del nodo C (figura 4.b). L’allievo determini: - per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, il diametro D r da assegnare alla nuova tubazione nell’ipotesi di - per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata Q 0 da erogare a servizio del serbatoio B; lasciare inalterata la portata Q 0 erogata dal serbatoio A.
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Transcript
Esercitazioni del corso di IdraulicaIdrodinamica
Esercizio 1 05-feb-08 esame Civili
α = 1.2 + = -seconda cifra della matricola * 0.05
YA = 200 + = m s.l.m.seconda cifra della matricola * 2
YB = 150 + = m s.l.m.prima cifra della matricola * 2
D = 185 + = mmseconda cifra della matricola * 2
L = 2000 + = m
terza cifra della matricola * 20
Lr = 500 + = m
seconda cifra della matricola * 25
ultime cifre della matricola scelta:
9
5
7
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
α 1,45 -
YA 218 m
YB 160 m
D 195 mm 0,195 m
L 2140 m
Lr 625 m
Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un serbatoio A a quota YA
tramite una condotta in ghisa in servizio corrente. Successivamente si decide di incrementare la portata a servizio del
serbatoio B, passando dal valore Q0 al valore αQ0 con α > 1, tramite una immissione concentrata nel nodo C. A tal fine si
intende realizzare un raddoppio di condotta a valle del nodo C (figura 4.b).
L’allievo determini:
- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, il diametro Dr da assegnare alla nuova tubazione nell’ipotesi di
- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata Q0 da erogare a servizio del serbatoio B;
lasciare inalterata la portata Q0 erogata dal serbatoio A.
ε 0,2 mm valore scelto per la scabrezza della tubazione, scelto sulla base del tipo di materiale e
stato di conservazione della parete interna
ε/D 0,001 - corrispondente scabrezza relativa
Schema 4.a
Ipotesi: moto assolutamente turbolento
λturb,1 0,020 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, formula di Prandtl.
ΣD 0,030 m2 ππππ * D2/4, area della sezione della tubazione originaria.
cturb 5,78 s2/m6 8*λλλλturb,1 /(g*ππππ2*D5), avendo posto JA-B,1 = cturb *QA-B,12, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note
VA-B,1 2,29 m/s QA-B,1 / ΣΣΣΣD, velocità in condotta.
Re1 444287,47 - VA-B,1 D / νννν, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:
nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa
di Colebrook - White.
Formulazione completa con formula di Colebrook - White
λC-W 0,020 - coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a
cC-W 5,98 s2/m6 circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può
ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody)
Re1 432749,03 -
numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White.
QA-B,1 0,067 m3/s (ππππ D Re1 νννν / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.
JA-B, di tent 0,027 - c1 * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.
F(JA-B, di tent) -0,0005 - JA-B - JA-B, di tent , l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.
Macro: "Idrodinamica_Es1_Calcola_Q"
Schema 4.b
Qp,n 0,031 m3/s ( αααα - 1 )Q0, portata sul nuovo tronco di tubazione in parallelo.
una equazione di secondo grado nell'incognita Dr. Seguono i coefficienti dell'equazione:
A differenza della procedura iterativa precedente, in questo caso fissando λ come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne deriva
assegnare al nuovo tronco in parallelo, affinché il serbatoio eroghi sempre Q0. La piezometrica sul tratto A - C è pertanto la
stessa nei due casi. Dovendo poi essere congiunta al serbatoio B, si può concludere che la piezometrica è la stessa nei due
casi, tra i due serbatoi. Ne deriva che sul vecchio tronco in parallelo circolerà ancora Q0, mentre sul nuovo (α - 1)Q0.
Il quesito consiste nel determinare la portata Q0 da erogare inizialmente a servizio del serbatoio B ed il diametro Dr da
ε−λ λ−
D715,3
110
51,2
2
1
εp,n 0,02 mm valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione,
εp,n 0,00002 m da affiancare al tratto preesistente
λC-W 0,016 - coefficiente di resistenza di tentativo.
La formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni;
quella corretta è compresa tra 0,01 e 0,08 (vedi abaco di Moody).
A 0,00051 coefficiente moltiplicativo del termine quadratico.
B -0,00011 coefficiente moltiplicativo del termine lineare.
C 0,000005 coefficiente costante.
Dp,n 0,135 m (-B+(B 2-4AC)1/2)/2A, soluzione dell'equazione quadratica.
JC-B, di tent 0,0274 - 8 * λλλλC-W * Qp,n2 /( g *ππππ2 * Dp,n
5), cadente di tentativo; il valore soluzione
è fornito cliccando su ricerca obiettivo.
F(JC-B, di tent.) -0,000269 - JC-B - JC-B, di tent , l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.
Macro: "Idrodinamica_Es1_Calcola_Dpn"
Esercizio 2 02-dic-08 esame Civili
serbatoi e tracci l’andamento qualitativo della linea piezometrica.
zA = 100 + = m s.l.m.seconda cifra della matricola * 2
YB = 150 + = m s.l.m.prima cifra della matricola * 2
L = 3000 + = m
prima cifra della matricola * 50
Q = 75 + = l/s
terza cifra della matricola * 3
D = 215 + = mmseconda cifra della matricola * 3
Nell’impianto di adduzione rappresentato in figura il serbatoio B a a quota geometrica zB riceve una portata Q da un
spessore.
serbatoio in pressione A a quota geometrica zA, tramite una condotta in acciaio di diametro D con rivestimento bituminoso a
L’allievo determini la quota piezometrica in A, la lettura ∆ del manometro differenziale a mercurio, posizionato tra i due
λ−
− 2
1
10
715,3n,pε
λ⋅⋅ν⋅π⋅
n,pQ4
51,2
ultime cifre della matricola scelta:
2
9
0
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
zA 118 m
YB 154 m
L 3100 m
Q 45 l/s 0,045 m3/s
D 242 mm 0,242 m
ΣD 0,046 m2 ππππ * D2/4, area della sezione della tubazione.
v 0,98 m/s Q / ΣΣΣΣD, velocità in condotta.
ε 0,1 mm valore scelto per la scabrezza della tubazione.
ε 0,0001 m scabrezza assoluta espressa in metri.
ε / D 0,00041 - scabrezza relativa.
λturb1 0,016 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, formula di Prandtl.
λC-W 0,018 - coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a
circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può
ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody).
Re 235347,34 - 4 Q / (ππππ D νννν), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.
F(λC-W) -0,01104 uguale a 0 per il valore soluzione di λC-W
Macro: "Idrodinamica_Es2_Calcola_lamba_C_W"
JA-B 0,00365 - 8 * λλλλ * Q2 /( g *ππππ2 * D5), cadente di tentativo; il valore soluzione.
si ottiene risolvendo il polinomio F(λC-W)
∆YA-B 11,32 m JA-B L, differenza di quota piezometrica tra A e B
∆ 0,90 m ∆∆∆∆YA-B γ/(γγ/(γγ/(γγ/(γm - γγγγ), lettura del manometro
YA 165,32 m YB +∆∆∆∆YAB, quota piezometrica al serbatoio A
Si procede quindi al calcolo della differenza di quota piezometrica tra i due serbatoi ed infine alla lettura del manometro metallico:
Innanzitutto si procede alla determinazione della cadente J sulla base dell'equazione di Darcy - Weisbach; l'indice di resistenza
viene di seguito ricavato per tentativi, tramite una funzione ricerca obiettivo costruita sulla formula di Colebrook - White:
D
A
B
L
( )
λ⋅+
⋅ε
⋅+λ
=λ −Re
51.2
D715.210LOG2
1F WC
Esercizio 3 28-ott-08 esame Civili
YA = 200 + = m s.l.m.seconda cifra della matricola * 2
YB = 150 + = m s.l.m.prima cifra della matricola * 2
D = 185 + = mmseconda cifra della matricola * 2
L = 2000 + = m
terza cifra della matricola * 20
LAN = 1200 + = mseconda cifra della matricola * 20
zN = 110 + = m
seconda cifra della matricola * 2
ultime cifre della matricola scelta:
5
9
4
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
YA 218 m
YB 160 m
D 203 mm 0,203 m
L 2080 mLAN 1380 m
zN 128 m
posta subito a valle di un nodo di derivazione, affinchè B riceva sempre QA-B,1 e sul nodo l'altezza piezometrica risulti pari o superiore a 10m.
YA, tramite una condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore.
Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata QA-B,1 da un serbatoio A a quota
Il quesito consiste nel determinare la portata QA-B,1 da erogare a servizio del serbatoio B per lo schema di fig. 4.a; la potenza teorica Pt di una pompa
Successivamente (figura 4.b) si decide di erogare una portata concentrata q in corrispondenza del nodo N, posto a distanza
- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata QA-B,1 da erogare a servizio del serbatoio B;
- le piezometriche per i due sistemi.
LA-N dal serbatoio di monte, a quota zN. L’allievo determini:
- la portata concentrata q erogata dal nodo sulla base dei vincoli riportati in precedenza;
- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, la potenza teorica di una pompa installata subito a valle del nodo N,
affinché B riceva sempre QA-B,1 e l’altezza piezometrica nel nodo N sia pari o superiore a 10 m;
ε 0,1 mm valore scelto per la scabrezza della tubazione, scelto sulla base del tipo di materiale e
Sulla base del carico imposto sul nodo N, è possibile valutare la portata circolante sul tronco A - N. Anche in questo caso è
Scegliamo un valore di scabrezza per la tubazione assegnata:
possibile formulare un ipotesi sul regime di moto o costruire una procedura iterativa sulla formula di Colebrook - White.
ε−λ λ−
D715,3
110
51,2
2
1
vA-N,2 3,73 m/s QA-N / ΣΣΣΣD, velocità in condotta.
ReA-N,2 751930,63 - v0 D / νννν, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:
nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa
di Colebrook - White.
Formulazione completa con formula di Colebrook - Wh ite
λC-W,2 0,017 - coefficiente di resistenza di tentativo. Il valore di primo tentativo viene posto pari a
cC-W,2 4,15 s2/m6 circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può
ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody).
ReC-W,2 737642,09 -
numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White.
QA-N,2 0,118 m3/s (ππππ D ReC-W,2 νννν / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.
JA-N,2, di tent 0,058 - cC-W,2 * QA-N,22, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.
F(JA-B,1, di tent.) 0,000113 - JA-N,2 - JA-N,2, di tent , l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.
Macro: "Idrodinamica_Es3_Calcola_Q_4a_e_4b"
q 0,038 m3/s QA-N,2 - QA-B,1, portata erogata dal nodo N.∆YVP-B,2 19,52 m JVP-B,2*(L-LAN), dislivello piezometrico tra il punto della condotta immediatamente a valle
della pompa ed il serbatoio di valle. JVP-B,2 = JA-B,1 poiché la piezometrica.
YVP 179,52 m YB + ∆∆∆∆YVP-B,2, quota piezometrica a valle della pompa, coincidente con lo schema di figura 4.a.
∆YP,2 41,52 m YVP - YN,2, prevalenza manometrica della pompa.
Pteorica 32,82 kW 9.81 QA-B,1 ∆∆∆∆YP,2, potenza teorica della pompa.
ε 0,1 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e
stato di conservazione della parete interna.
ε / D1 0,00064 - corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 1.
ε / D2 0,00073 - corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 2.
ε / D3 0,00086 - corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 3.
λturb,1 0,018 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, indice di resistenza per la tubazione 1.
λturb,2 0,018 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, indice di resistenza per la tubazione 2.
λturb,3 0,019 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, indice di resistenza per la tubazione 3.
c1 15,84 s2/m6 8*λλλλturb,1 /(g*ππππ2*D15), avendo posto J1 = c1*Q1
2, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.
c2 32,12 s2/m6 8*λλλλturb,2 /(g*ππππ2*D25), avendo posto J2 = c2*Q2
2, dove c2 raggruppa le costanti e variabili note.
c3 71,82 s2/m6 8*λλλλturb3 /(g*ππππ2*D35), avendo posto J3 = c3*Q3
2, dove c3 raggruppa le costanti e variabili note.
Ipotesi: moto assolutamente turbolento
1. con la formula di Prandtl facendo l'ipotesi di moto a.t. e con la formula empirica λ = λemp(J,D).
Il quesito consiste in un problema di verifica: occorre cioè determinare le portate circolanti, nota la geometria del sistema. Procediamo in due maniere:
VA-B,1 2,14 m/s QA-B,1 / ΣΣΣΣD, velocità in condotta.
ReA-B,1 342711,32 - VA-B,1 D / νννν, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:
nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa
di Colebrook - White.
Formulazione completa con formula di Colebrook - Wh ite
λC-W,1 0,027 - coefficiente di resistenza di tentativo. Il valore di primo tentativo viene posto pari a
cC-W,1 20,46 s2/m6 circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può
ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody).
ReC-W,1 341391,04 -
numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White.
Il quesito consiste nel determinare la portata circolante per lo schema 4.a) ed il diametro Dp da assegnare ad un tronco in parallelo per lo schema 4.b),
piazzato a monte del nodo di derivazione, affinche YB riceva sempre Q0 e la portata derivata risulti pari a Q0 / 2.
ε−λ λ−
D715,3
110
51,2
2
1
QA-B,1 0,043 m3/s (ππππ D ReC-W,1 νννν / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.
JA-B, di tent 0,039 - cC-W,1 * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.
F(JA-B,1, di tent.) 0,000273 - JA-B,1 - JA-B,1, di tent , l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.
Macro: "Idrodinamica_Es5_Calcola_Q0"
Schema 4.b
Qp,n 0,026 m3/s Q0 / 2 portata sul nuovo tronco di tubazione in parallelo.
εp,n 0,02 mm valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione, da affiancare al tratto preesistente
0,00002 m
Formulazione completa con formula di Colebrook - Wh ite
λC-W 0,016 - coefficiente di resistenza di tentativo.
La formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni;
quella corretta è compresa tra 0,01 e 0,08 (vedi abaco di Moody)
A 0,00060 coefficiente moltiplicativo del termine quadratico.
B -0,00012 coefficiente moltiplicativo del termine lineare.
C 0,000005 coefficiente costante.
Dp,n 0,119 m (-B+(B 2-4AC)1/2)/2A, soluzione dell'equazione quadratica.
JC-B, di tent 0,0384 - 8 * λλλλC-W * Qp,n2 /( g *ππππ2 * Dp,n
5), cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.
F(JC-B, di tent.) -0,000103 - JC-B - JC-B, di tent , l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.
Macro: "Idrodinamica_Es5_Calcola_Dpn".
Determinazione del diametro con una formula empiric a
sul vecchio tronco (ora in parallelo) A - N circolerà ancora Q0 e quindi per la continuità al nodo, sul nuovo tronco in parallelo circolerà
A differenza della procedura iterativa precedente, in questo caso fissando λ come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne deriva
una portata Qp,n = Q0 / 2.
Poiché il serbatoio di quota YB riceve sempre Q0 ne deriviamo che la piezometrica è pari sempre a JA-B,1 ovunque. Per questo motivo
un'equazione di secondo grado nell'incognita Dr. Seguono i coefficienti dell'equazione:
λ−
− 2
1
10
715,3n,pε
λ⋅⋅ν⋅π⋅
n,pQ4
51,2
Formula empirica:
λemp 0,015 - coefficiente di resistenza di tentativo.
Il valore soluzione (compreso tra 0,01 e 0,08) si ottiene risolvendo per tentativi la Formula empirica
cliccando su Calcola λemp.
F(λemp) 3,0396E-06 funzione ricerca obiettivo costruita su λemp.
Dp,n 0,117 m [8 * λλλλemp * Qp,n2 /( g *ππππ2 * JA-B,1)]1/5, diametro teorico da formula empirica.
Si confrontino i valori soluzione per il diametro teorico Dp,n ottenuti con le due procedure esposte.
vAN 0,75 m/s QA-B,1 / ΣΣΣΣAN, velocità in condotta.
vNC 0,66 m/s QA-B,1 / ΣΣΣΣNC, velocità in condotta.
vCB 0,86 m/s QA-B,1 / ΣΣΣΣCB, velocità in condotta.
ReAN 222397,47 - VA-B,1 D / νννν, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:
ReNC 208497,63 - nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa
ReCB 238283,01 - di Colebrook - White.
Formulazione completa con formula di Colebrook - Wh ite
QA-B,1,tent 0,0488 m3/s portata di tentativo. Il primo valore viene valutato sulla base di un numero di Re su ogni F
condotta almeno pari a 5000 (limite inferiore di applicabilità della formula di Colebrook-White)
schema di figura 4.b.
resistenza λ e la cadente J per ciascuna condotta. Il controllo si effettua constatando che la perdita di carico continua totale risulti pari alla differenza di
Conviene costruire lo schema numerico iterando sulla portata di tentativo QA-B,1; è possibile in questo modo ricavare il numero di Re, l'indice di
quota geotedica YA - YB tra i due serbatoi.
L'allievo determini la portata Q0 a servizio del serbatoio YB per lo schema di figura 4.a e la portata derivata q per lo
min{Rek} 192976,749 - A
ReC-W,A-N,1 205841,87 - 4 Q / (ππππ DAN νννν), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante. C
λC-W,A-N,1 0,01785 -F(λC-W,A-N,1) 0,00005 - O
cC-W,A-N,1 0,61 s2/m6
JA-N, tent 0,001 - cC-W,A-N, * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo. L
2427,861ReC-W,N-C,1 192976,75 - 4 Q / (ππππ DNC νννν), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante. T
λC-W,N-C,1 0,01786 -F(λC-W,N-C,1) 0,00005 - A
cC-W,N-C,1 0,44 s2/m6
JN-C, tent 0,001 - cC-W,N-C, * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo. T
439,815ReC-W,C-B,1 220544,86 - 4 Q / (ππππ DCB νννν), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante. I
λC-W,C-B,1 0,01786 -F(λC-W,C-B,1) 0,00005 - V
cC-W,C-B,1 0,86 s2/m6
JC-B, tent 0,002 - cC-W,C-B, * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo. O
2572,009
λm,1 0,018 -
Dm,1 0,300 m
cm,1 0,607 s2/m6
Ltot 8000 m
∆YA-B 13,00 m
Σ Jk Lk, tent 12,950 m sommatoria delle perdite di carico continue
∆Q 0,0001 m3/s
F(∆YA-B-ΣJkLk,tent) 0,050309 m
Macro: "Idrodinamica_Es10_Calcola_Q0"
L'algoritmo ha trovato una soluzione.
Si confrontino i risultati delle due procedure (B83 6 e B849).
La procedura è molto sensibile ai diametri delle tubazioni. Valori molto differenti tra loro possono non restituire la soluzione.
una derivazione concentrata. L’allievo determini le portate circolanti nei due tronchi di tubazione.
Lungo la condotta in ghisa sferoidale di diametro D e scabrezza ε rappresentata in figura è presente
( ) LDg
8LL
Dg
852
NABNNA52
NA
⋅π⋅⋅λ⋅
=+⋅π⋅
⋅λ⋅ −−−
−
qDg
L82
52BNBN
⋅π⋅⋅λ⋅
⋅− −−
( )BA2
52BNBN YYq
Dg
L8−−
⋅π⋅⋅λ⋅ −−
252
NA QDg
8
⋅π⋅
⋅λ⋅ −
( ) BA2
52BNBN2
52NANA YYQq
Dg
L8Q
Dg
L8−=−
⋅π⋅⋅λ⋅
−⋅π⋅⋅λ⋅ −−−−
252
NA QDg
8
⋅π⋅⋅λ⋅ −
( )BA2
52BNBN YYq
Dg
L8−−
⋅π⋅
⋅λ⋅− −−
qDg
L82
52BNBN
⋅π⋅⋅λ⋅⋅ −−
( )BNNA52NA LLDg
8−−
− −⋅π⋅
⋅λ⋅
q = k * ( 5 + ) = l/s
prima cifra della matricola *0.5
D = 180 + = mm
seconda cifra della matricola * 2
L = 1500 + = m
terza cifra della matricola * 20
LAN = 500 + = m
prima cifra della matricola *20
YA = 200 + = m s.l.m.
seconda cifra della matricola * 2
YB = 150 + = m s.l.m.
prima cifra della matricola *2
ultime cifre della matricola scelta:
1
0
6
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
q 22 l/s 0,022 m3/s
k 1 - coeff. Molt. Di q
D1 180 mm 0,18 m
D2 180 mm 0,18 m
L 1620 m DYAB 78 m
LAN 520 m J* 0,0709 -
YA 200 m λ 0,020 -
YB 122 m q* 0,090 m3/s
Equazione risolutiva:
-JA-N (Q,λA-N,D1) LA-N + JN-B((q-Q),λN-B,D2) LN-B = YA - YB + per YN >= YA
JA-N (Q,λA-N,D1) LA-N + JN-B((q+Q),λN-B,D2) LN-B = YA - YB - per YN < YA
Ipotesi: moto assolutamente turbolento e Y N >= YA
-JA-N (Q,ε,D1) LA-N + JN-B((Q-q),ε,D2) LN-B = YA - YB
avrebbe in assenza di contributo da parte del serbatoio A. Se q <= q* allora YN <= YA altrimenti YN > YA .
assolutamente turbolento, verificandola a posteriori tramite il controllo su Re, in modo da risolvere l'equazione del moto derivante.
Il quesito consiste nel determinare la portate circolanti nel tronco A - N e nel tronco N - B; nel seguito si formulerà l'ipotesi di moto
Ancora, si può evitare la formulazione dell'ipotesi (YN >= di YA oppure YN < di YA) valutando la portata q* che si
( ) BA2
52
2BNBN2
51
2NANA YYQq
Dg
L8Q
Dg
L8−=−
⋅π⋅⋅λ⋅
+⋅π⋅⋅λ⋅
− −−−−
ε 0,2 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e 0,0002 m stato di conservazione della parete interna.
ε / D1 0,00111 - scabrezza relativa della tubazione 1.
ε / D2 0,00111 - scabrezza relativa della tubazione 2.
ΣD1 0,025 m2 ππππ * D2/4, area della sezione della tubazione 1.ΣD2 0,025 m2 ππππ * D2/4, area della sezione della tubazione 2.λA-N 0,020 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D1 ) ] }
2, indice di resistenza per la tubazione di monte
calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.λN-B 0,020 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D2 ) ] }
2, indice di resistenza per la tubazione di valle
calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.
I calcoli precedenti torneranno utili anche nel seguito, se l'ipotesi formulata non è soddisfatta.
Termini dell'equazione quadratica
A 5105,11
B -426,013
C -73,314
Qm -0,085 m3/s portata sul tronco A - N -0,085 I radice
vm -3,3 m/s velocità sul tronco A - N 0,169 II radice
Qv 0,107 m3/s portata sul tronco N - B
vv 4,21 m/s velocità sul tronco N - B
Verifica su YN (segno +) e su Re (moto ass. turbolento)
ProvaJA-N 0,06 - cadente sul tronco di monte JN-B 0,10 -
YN 233,20 m YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione. YN 233,20 m
Re -598851,722 - 4 Q / (ππππ D1 νννν), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.
verifica dell'ipotesi sul moto non soddisfatta: il serbatoio A fornisce; si faccia riferimento ai calc oli seguenti
Ipotesi: moto assolutamente turbolento e Y N< YB
JA-N (Q,ε,D) LA-N + JN-B((q+Q),ε,D) LN-B = YA - YB
Termini dell'equazione quadratica
A 14259,11
B 426,013
C -73,314
Qm 0,058 m3/s
vm 2,291 m/s
Qv 0,080 m3/s
vv 3,156 m/s
252
NA QDg
8
⋅π⋅⋅λ⋅ −
51
2NANA
52
2BNBN
Dg
L8
Dg
L8
⋅π⋅⋅λ⋅
−⋅π⋅⋅λ⋅ −−−−
qDg
L82
52
2BNBN
⋅π⋅⋅λ⋅
⋅− −−
( )BA2
52
2BNBN YYq
Dg
L8−−
⋅π⋅⋅λ⋅ −−
qDg
L82
52BNBN
⋅π⋅⋅λ⋅
⋅ −−
( ) BA2
52BNBN2
52NANA YYQq
Dg
L8Q
Dg
L8−=+
⋅π⋅⋅λ⋅
+⋅π⋅⋅λ⋅ −−−−
( ) LDg
8LL
Dg
852
NABNNA52
NA
⋅π⋅λ⋅
=+⋅π⋅
λ⋅ −−−
−
( )BA2
52BNBN YYq
Dg
L8−−
⋅π⋅⋅λ⋅ −−
Verifica su YN (segno -) e su Re (moto ass. turbolento)
ProvaJA-N 0,03 - cadente sul tronco di monte JN-B 0,0568 -
YN 184,44 m YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione. YN 184,44 m
Re 409969,57 - 4 Q / (ππππ D1 νννν), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.
verifica dell'ipotesi sul moto soddisfatta: il serb atoio A riceve; si faccia riferimento ai calcoli de lla precedente sezione
Esercizio 14 A 06-feb-09 esame Immissione concentrata: Concepito con diametri distinti Civili Edile Architettura
q = k * ( 5 + ) = l/s
prima cifra della matricola *0.5
D1 = 180 + = mm
seconda cifra della matricola * 2
D2 = 180 + = mm
seconda cifra della matricola * 2
L = 1500 + = m
terza cifra della matricola * 20
LAN = 500 + = m
prima cifra della matricola *20
YA = 200 + = m s.l.m.
seconda cifra della matricola * 2
YB = 150 + = m s.l.m.
prima cifra della matricola * 2
ultime cifre della matricola scelta:
1
0
6
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
q 55 l/s 0,055 m3/s
k 10 - coeff. Molt. Di q
D1 150 mm 0,15 m
D2 180 mm 0,18 m
L 1620 m DYAB 48 m
percorso è presente una immissione concentrata. L’allievo determini le portate circolanti nei due tronchi di tubazione.
La condotta in ghisa sferoidale rappresentata in figura è costituita da due tronchi di diametro D1 e D2. Lungo il
252
NA QDg
8
⋅π⋅⋅λ⋅ −
LAN 520 m J* 0,0436 -
YA 200 m λ 0,020 -
YB 152 m q* 0,070 m3/s
q* 0,070 m3/s
Equazione risolutiva:-JA-N (Q,λA-N,D1) LA-N + JN-B((q-Q),λN-B,D2) LN-B = YA - YB + per YN >= YA
JA-N (Q,λA-N,D1) LA-N + JN-B((q+Q),λN-B,D2) LN-B = YA - YB - per YN < YA
Ipotesi: moto assolutamente turbolento e Y N >= YA
-JA-N (Q,ε,D1) LA-N + JN-B((Q-q),ε,D2) LN-B = YA - YB
ε 0,20 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e 0,0002 m stato di conservazione della parete interna
ε / D1 0,00133 - scabrezza relativa della tubazione 1.
ε / D2 0,00111 - scabrezza relativa della tubazione 2.
ΣD1 0,018 m2 ππππ * D12/4, area della sezione della tubazione 1.
ΣD2 0,025 m2 ππππ * D22/4, area della sezione della tubazione 2.
λA-N 0,021 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di monte
calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.λN-B 0,020 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D2 ) ] }
2, indice di resistenza per la tubazione di valle
calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.
I calcoli precedenti torneranno utili anche nel seguito, se l'ipotesi formulata non è soddisfatta.
Termini dell'equazione quadratica
A -2236,48
B -1065,032
C -18,712
QA-N -0,018 m3/s portata sul tronco A - NvA-N -1,0 m/s velocità sul tronco A - NQN-B 0,073 m3/s portata sul tronco N - BvN-B 2,9 m/s velocità sul tronco N - B
Verifica su YN (segno +) e su Re (moto ass. turbolento)
ProvaJA-N 0,01 - cadente sul tronco di monte JN-B 0,04725 -
corrisponderà ad uno solo dei due casi esposti.
Ancora, si può evitare la formulazione dell'ipotesi (YN >= di YA oppure YN < di YA) valutando la portata q* che si
L'equazione assume diversa forma, così come l'equazione di continuità, in dipendenza dell'ipotesi assunta sulla quota piezometrica al nodo
Il quesito consiste nel determinare le portate circolanti nei tronchi A - N e N - B sulla base dell'applicazione dell'equazione del moto tra A e B;
avrebbe in assenza di contributo da parte del serbatoio A. Se q <= q* allora YN <= YA altrimenti allora YN > YA .
interno N. Nel seguito verrà illustrato il procedimento sia nell'ipotesi di YN >= di YA, sia nell'ipotesi YN < di YA; la soluzione corretta
( ) BA2
52
2BNBN2
51
2NANA YYQq
Dg
L8Q
Dg
L8−=−
⋅π⋅⋅λ⋅
+⋅π⋅⋅λ⋅
− −−−−
252
NA QDg
8
⋅π⋅⋅λ⋅ −
51
2NANA
52
2BNBN
Dg
L8
Dg
L8
⋅π⋅⋅λ⋅
−⋅π⋅⋅λ⋅ −−−−
qDg
L82
52
2BNBN
⋅π⋅⋅λ⋅
⋅− −−
( )BA2
52
2BNBN YYq
Dg
L8−−
⋅π⋅⋅λ⋅ −−
YN 203,98 m YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione. YN 203,98 m
Re -154155,68 - 4 Q / (ππππ D1 νννν), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante
verifica dell'ipotesi sul moto non soddisfatta: il serbatoio A fornisce; si faccia riferimento ai calc oli seguenti
Ipotesi: moto assolutamente turbolento e Y N< YB
JA-N (Q,ε,D1) LA-N + JN-B((q+Q),ε,D2) LN-B = YA - YB
Termini dell'equazione quadratica
A 21600,70 solo per diametri uguali
B 1065,032
C -18,712
QA-N 0,014 m3/s portata sul tronco A - N
vA-N 0,78 m/s velocità sul tronco A - N
QN-B 0,069 m3/s portata sul tronco N - B
vN-B 2,70 m/s velocità sul tronco N - B
Verifica su YN (segno -) e su Re (moto ass. turbolento)
ProvaJA-N 0,00 - cadente sul tronco di monte JA-N 0,11 -
YN 197,75 m YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione. YN 271,13 m
Re 115933,83 - 4 Q / (ππππ D1 νννν), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.
verifica dell'ipotesi sul moto soddisfatta: il serb atoio A fornisce; non si faccia riferimento ai calc oli precedenti
- la potenza reale di una pompa installata subito a valle del serbatoio A, affinché venga convogliata la portata Q;
- la portata Qsp senza la pompa, specificando il verso;
collegati da una nuova condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D. L’allievo determini:
portata Q da un serbatoio A posto a quota zA, con pressione dell’aeriforme pari a 3 atm relative. I due serbatoi sono
Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, il serbatoio a pelo libero B posto a quota zB riceve una certa
- la piezometrica per le due condizioni esposte.
LDg
852
NA
⋅π⋅λ⋅
= −
Dg ⋅π⋅
( ) BA2
52
2BNBN2
51
2NANA YYQq
Dg
L8Q
Dg
L8−=+
⋅π⋅⋅λ⋅
+⋅π⋅⋅λ⋅ −−−−
qDg
L82
52
2BNBN
⋅π⋅⋅λ⋅
⋅ −−
( )BA2
52
2BNBN YYq
Dg
L8−−
⋅π⋅⋅λ⋅ −−
251
2NA QDg
8
⋅π⋅⋅λ⋅ −
BN52
2BN
NA51
2NA L
Dg
8L
Dg
8−
−−
−
⋅π⋅λ⋅
+⋅π⋅
λ⋅
terza cifra della matricola * 3
Q = 70 + = km
terza cifra della matricola * 2
ultime cifre della matricola scelta:
2
6
6
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
D 197 mm 0,197 m
Q 36 l/s 0,036 m3/s
L 2120 m
zA 104 m
zB 212 m
Schema con pompa
eta-pompa 0,65 - valore scelto per il rendimento della pompa
ε 0,05 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e 0,00005 m stato di usura.
ε / D 0,00025 - scabrezza relativa delle tubazioniΣD 0,030 m2 ππππ * D2/4, area della sezione trasversale della tubazione.
vp 1,18 m/s Q/ΣΣΣΣD, velocità in condotta.
Re 231285,50 - vp D / νννν, numero di Reynolds per la condotta; necessario per il tipo di movimento.
λturb 0,014 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, indice di resistenza la tubazione calcolato constatando
un regime di movimento assolutamente turbolento.
c 4,01 - 8*λλλλturb /(g*ππππ2*D5), avendo posto JA-B,0 = c*Q2, dove c raggruppa le costanti e variabili note.JA-B,0 0,005 - c Q
2, cadente piezometrica.
JA-B,0 L 11,44 m perdita di carico tra i due serbatoi
∆Hm 88,45 m zB + JA-B,0 L - (ZA + 3*10.33), prevalenza manometrica della pompa.
si noti che il serbatoio in pressione è stato reinterpretato come un serbatoio a superficie libera,posto ad una quota geometrica pari a zA + 3 * 10.33m. Si ricorda che 1atm = 10.33m in colonna d'acqua
a α V2/2g. L’allievo determini le portate circolanti per le seguenti condizioni:
diametro D con diversi anni di esercizio collega rispettivamente il serbatoio A posto a quota YA con il serbatoio B
Poiché risulta zA + 3 * 10.33 < zB, in assenza della pompa il fluido muoverà da B verso A. La piezometrica che ne deriva è di seguito illustrata:
- α = 100;
- α tendente ad infinito;
Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, una condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di
a quota YB. Al termine della condotta è presente una valvola capace di indurre una perdita di carico concentrata pari
JA-B,1JA-B,1JA-B,1JA-B,1
L = 2000 + = m
terza cifra della matricola * 20
YA = 200 + = m s.l.m.
prima cifra della matricola * 2
YB = 100 + = m s.l.m.
seconda cifra della matricola * 2
ultime cifre della matricola scelta:
3
2
8
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
D 189 mm 0,189 m
L 2160 m
YA 206 m
YB 104 m
ovvero
ε 0,08 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e
0,00008 m stato di usura.
ε / D 0,00042 - scabrezza relativa della tubazione.ΣD 0,028 m2 ππππ * D2/4, area della sezione della tubazione.λturb 0,016 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, indice di resistenza per la tubazione
calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.
da cui consegue l'espressione della portata:
pertanto alla scrittura dell'equazione del moto (Bernoulli tra A e B), specificando la portata in funzione di α.
Il quesito consiste nel determinare la portata Q circolante in condotta per tre differenti aperture della valvola ubicata al termine della stessa:
1. α = 0, ovvero valvola completamente aperta; 2. α = 100, ovvero valvola parzialmente chiusa; α → ∞, ovvero valvola chiusa. Si procede
J
BA42
22
52YY
Dg2
Q16Q
Dg
L8 −=⋅π⋅
⋅α+⋅π⋅⋅λ⋅
BA
22
52YY
g2
VQ
Dg
L8 −=α+⋅π⋅⋅λ⋅
2/1
4252
BA
Dg2
16
Dg
L8YY
Q
⋅π⋅α⋅+
⋅π⋅⋅λ⋅
−=
α = 0 Q = 0,093 m3/sV = 3,30 m/sJ = 0,047 -
Verifica sul numero di ReRe 620027,03 - 4 Q / ν πν πν πν π D, numero di Reynolds per la tubazione; occorre constatare che il regime di moto risulti
assolutamente turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.
α = 100 Q = 0,075 m3/s
V = 2,66 m/sJ = 0,031 -
35,95 m
Verifica sul numero di ReRe 498944,83 - 4 Q / ν πν πν πν π D, numero di Reynolds per la tubazione; occorre constatare che il regime di moto risulti
assolutamente turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.
α → ∞ Q = 0,000 m3/s
V = 0,00 m/sJ = 0,000 -
102,00 m
Verifica sul numero di ReRe 0,00 - fluido in quiete
Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, una certa portata q viene prelevata dal nodo N lungo la condotta in
acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D e con diversi anni di esercizio. L'allievo determini:
- la piezometrica per il sistema in esame.
portata concentrata q;
- il diametro DNB da assegnare al tronco di valle NB affinché la portata a servizio del serbatoio B sia pari ad 1/3
J
J
J
JJ
=αg2
V 2
=αg2
V 2
LAN = 1000 + = m
terza cifra della matricola * 20
L = 2000 + = m
terza cifra della matricola * 20
YA = 210 + = m s.l.m.
prima cifra della matricola * 1
YB = 100 + = m s.l.m.
seconda cifra della matricola * 1
ultime cifre della matricola scelta:
2
8
9
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
D 191 mm 0,191 m
q 35,4 l/s 0,0354 m3/s
LAN 1180 m
L 2180 m
YA 212 m
YB 188 m
ε 0,2 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e
0,0002 m stato di usura.
ε / D 0,00105 - scabrezza relativa della tubazione AN.ΣD 0,029 m2 ππππ * D2/4, area della sezione della tubazione.QAN 0,047 m3/s 4 * q / 3, portata circolante sul tronco AN.
vp 1,65 m/s QAN/ΣΣΣΣD, velocità nella condotta AN.
Re 312766,89 - vp D / νννν, numero di Reynolds per condotta; se > 105 i calcoli seguenti sono corretti.
λturb 0,020 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, indice di resistenza per la tubazione
calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.
cAN 6,45 - 8*λλλλturb /(g*ππππ2*D5), avendo posto JAN = cAN*QAN2, dove cAN raggruppa le costanti e variabili note.
JAN 0,014 - cAN QAN2, cadente piezometrica sul tronco AN.
YN 195,05 m YA - JAN LAN, quota piezometrica sul nodo di derivazione.
procede al calcolo del diametro teorico Dt,NB e quindi della coppia di diametri commerciali Dcomm,1 e Dcomm,2 da piazzare in serie sul tronco NB.
N. Dovendo quindi circolare sul tronco AN una portata pari a 4q/3 per l'equazione di continuità al nodo N, è possibile determinare ivi in
corrispondenza la piezometrica JAN; dunque la quota piezometrica al nodo N e quindi la piezometrica sul tronco NB, ovvero JNB; infine si
Il quesito consiste nel determinare il diametro DNB, da assegnare al tronco NB affinchè in esso circoli un terzo della portata erogata dal nodo
JNB 0,0070 - (YN - YB)/(L-LAN), cadente piezometrica sul tronco NB.
- la portata circolante per lo schema di figura 4.a;
- la perdita di carico concentrata per lo schema di figura 4.b;
Nell’impianto di adduzione rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q da un
serbatoio A, a quota YA, tramite una condotta in ghisa con diversi anni di esercizio. Successivamente (figura 4.b) si
vuole dimezzare la portata Q0 a servizio del serbatoio B tramite una perdita di carico concentrata indotta da una valvola
posta a valle della condotta.
- le piezometriche per i due schemi illustrati.
L’allievo, determini:
JNB
JPN
JAP
terza cifra della matricola * 20
ultime cifre della matricola scelta:
7
8
8
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
YA 144 m
YB 93,5 m
D 231 mm 0,231 m
L 4960 m
Schema 4.a
1
2
ε 0,2 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e
0,0002 m stato di usura.
ε / D 0,00087 - scabrezza relativa della tubazioneΣD 0,042 m2 ππππ * D2/4, area della sezione della tubazioneλturb 0,019 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D1 ) ] }
2, indice di resistenza per la tubazione
calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.
Q0 = 0,065 m3/sV0 = 1,56 m/s
J0 = 0,0102 -
tra A e B), per i due schemi (si veda esercizio 16 per confronto):
da cui consegue l'espressione della portata:
Il quesito consiste nel determinare la portata Q circolante iper la condotta semplice rappresentata in figura 4.a) e la perdita di carico concentrata
necessaria per lo schema di figura 4.b, affinchè la portata risulti pari a Q0 / 2. Si procede pertanto lla scrittura dell'equazione del moto (Bernoulli
J0
BA2052
YYQDg
L8 −=⋅π⋅⋅λ⋅
2/1
52
BA0
Dg
L8YY
Q
⋅π⋅⋅λ⋅
−=
Verifica sul numero di ReRe 358356,13 - 4 Q / ν πν πν πν π D, numero di Reynolds per la tubazione; occorre constatare che il regime di moto risulti
assolutamente turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.
Schema 4.b
ovvero
3
Variante 26 luglioQ0 / 3 Q0 / 2
0,022 m3/s Qn = 0,033 m3/s0,52 m/s Vn = 0,78 m/s
0,0011 - Jn = 0,0025 -
Si noti che J e pari ad 1/4 del vecchio valore, poiché il legame J(Q) è quadratico
44,89 m 37,88 m
TestJL = 12,63 m
+ JL = 50,50 mYA - YB = 50,50 m
Verifica sul numero di ReRe 179178,07 - 4 Q / ν πν πν πν π D, numero di Reynolds per la tubazione; occorre constatare che il regime di moto risulti
assolutamente turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.
E 2,65E+09 kJ Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ.E 736881,885 kWh Pr*365*24, energia annua spesa in kWh.E 0,74 GWh Pr*365*24/106, energia annua spesa in GWh.
Re0 664138,12 - V0 D / νννν, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:
nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla seguente formulazione completa di Colebrook - White.
Formulazione completa con formula di Colebrook - White
λC-W,1 0,024 - coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a
cC-W,1 3,66 s2/m6 circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può
Il quesito consiste nel determinare la portata circolante per lo schema 4.a) ed il diametro Dn da assegnare ad un tronco in parallelo per lo schema 4.b),
piazzato a monte del nodo di derivazione, affinche YB riceva sempre Q0 e la portata derivata risulti pari a q.
0,010 ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody)
ReC-W,1 41159,59 -
numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White
Q0 0,007 m3/s (ππππ D ReC-W,1 νννν / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.
JA-B, di tent 0,000 - cC-W,1 * Q02, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.
F(JA-B,1, di tent.) -0,03900756 - JA-B,1 - JA-B,1, di tent , l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.
Macro:'Idrodinamica_Es23_Calcola_Q0'
Schema 4.b
Qp,n 0,082 m3/s 0.7 Q0 portata sul nuovo tronco di tubazione in parallelo.
εp,n 0,01 mm valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione, da affiancare al tratto preesistente
0,00001 m
Formulazione completa con formula di Colebrook - White
λC-W 0,015 - coefficiente di resistenza di tentativo.
La formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni; quella corretta è compresa tra 0,01 e 0,08 (vedi abaco di Moody).
A 0,00020 coefficiente moltiplicativo del termine quadratico.
B -0,00008 coefficiente moltiplicativo del termine lineare.
C 0,000003 coefficiente costante.
Dp,n 0,346 m (-B+(B 2-4AC)1/2)/2A, soluzione dell'equazione quadratica
JC-B, di tent 0,0017 - 8 * λλλλC-W * Qp,n2 /( g *ππππ2 * Dp,n
5), cadente di tentativo; il valore soluzione
è fornito cliccando su ricerca obiettivo.F(JC-B, di tent.) 0,037542 - JC-B - JC-B, di tent , l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.
Macro:'Idrodinamica_Es23_Calcola_Dpn
un'equazione di secondo grado nell'incognita Dr. Seguono i coefficienti dell'equazione:
Poiché il serbatoio di quota YB riceve sempre Q0 ne deriviamo che la piezometrica è pari sempre a JA-B,1 ovunque. Per questo motivo sul vecchio tronco
(ora in parallelo) A - N circolerà ancora Q0 e quindi per la continuità al nodo, sul nuovo tronco in parallelo circolerà una portata q = 0.7 Q0.
A differenza della procedura iterativa precedente, in questo caso fissando λ come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne deriva
ε−λ λ−
D715,3
110
51,2
2
1
λ−
− 2
1
10
715,3n,pε
λ⋅⋅ν⋅π⋅
n,pQ4
51,2
Determinazione del diametro con una formula empirica
Formula empirica:
λemp 0,014 - coefficiente di resistenza di tentativo.
Il valore soluzione (compreso tra 0,01 e 0,08) si ottiene risolvendo per tentativi la Formula empiricacliccando su Calcola λemp.
F(λemp) 0,00087099 - funzione ricerca obiettivo costruita su λemp.
Macro: 'Idrodinamica_Es23_Calcola_Dpn_empirico'
Dp,n 0,181 m [8 * λλλλemp * Qp,n2 /( g *ππππ2 * JA-B,1)]1/5, diametro teorico da formula empirica.
Dcomm,1 0,15 m diametro commerciale inferiore scelto da una serie
Dcomm,2 0,20 m diametro commerciale inferiore scelto da una serie
ΣD,1 0,018 m2 ππππ * Dcomm,12/4, area della sezione della tubazione.
vcomm,1 4,64 m/s Qp,n/ΣΣΣΣD,1, velocità in condotta.
Re1 691146,41 - vcomm,1 Dcomm,1 / νννν, numero di Reynolds per condotta.
ΣD,2 0,031 m2 ππππ * Dcomm,22/4, area della sezione della tubazione.
vcomm,2 2,61 m/s Qp,n/ΣΣΣΣD,2, velocità in condotta.
Re2 518359,81 - vcomm,2 Dcomm,2 / νννν, numero di Reynolds per condotta.
λturb,1 0,011 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] } 2, indice di resistenza per la tubazione 1.
λturb,2 0,011 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*Dcomm,3-2 ) ] } 2, indice di resistenza per la tubazione 2.
Matrice dei coefficienti termine noto vettore delle incognite1 1 1020 340,34 per Dcomm,1
0,0810 0,0183 39,98 679,66 per Dcomm,2
1020 prova
tramite una formula empirica che, sebbene implicita permette comunque di giungere al calcolo di Dp,n.
La procedura iterativa proposta in precedenza presenta lo svantaggio di essere particolarmente sensibile ai parametri noti (ε …) e quindi
non sempre la soluzione (Dp,n) è di immediata soluzione. La procedura semplificata che segue, permette di determinare il diametro incognito
Esercizio 24 11/01/2010 Civili Edile Architettura
YA = 200 + = m s.l.m.
seconda cifra della matricola * 2
YB = 110 + = m s.l.m.
prima cifra della matricola * 2
D = 215 + = mm
seconda cifra della matricola * 2
Lp = 1000 = m
terza cifra della matricola * 20
L = 2500 + = m
prima cifra della matricola * 20
α = 1 + = m
terza cifra della matricola * 0.03
ultime cifre della matricola scelta:
6
6
2
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
YA 212 m
YB 122 m
D 227 mm 0,227 m
Lp 1040 m
L 2620 m
α 1,06 m2/s
αQ0, tramite l’inserimento di un tronco in parallelo per una lunghezza massima pari a Lp. L’allievo valuti se è possibile
Nel sistema di adduzione rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un
serbatoio A a quota YA, tramite una condotta in ghisa con diversi anni di esercizio di diametro D.
Successivamente (figura 4.b) si intende incrementare la portata a servizio del serbatoio B, passando da Q0 a
realizzare il tronco in parallelo con una tubazione di pari caratteristiche (diametro e scabrezza). Nel caso ciò non risulti
possibile, l’allievo proceda alla valutazione del diametro di una nuova condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a
spessore, per una lunghezza pari ad Lp. Si traccino infine le piezometriche per i due schemi.
Il quesito consiste nel determinare la portata circolante per lo schema 4.a) e di valutare la possibilità di inserire un tronco in parallelo di diametro e
scabrezza pari alla tubazione esistente, se la sua lunghezza Ln risulta inferiore alla distanza Lp, ovvero in caso contrario di calcolare il diametro da
assegnare ad una nuova tubazione in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore da piazzare in parallelo per una lunghezza pari a Lp, per lo
schema 4.b). Per lo schema 4.a) si valuterà la portata circolante Q0 sia nell'ipotesi di moto assolutamente turbolento, eseguendo a posteriori il
Schema 4.a
Ipotesi: moto assolutamente turbolento
ε 0,2 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e
0,0002 m stato di conservazione della parete interna.
ε / D 0,00088 - corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a).
λturb,0 0,019 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a).
J0 0,034 - cadente corrispondente allo schema di figura 4.a).
c0 2,61 s2/m6 8*λλλλturb,0 /(g*ππππ2*D5), avendo posto J0 = c0*Q02, dove c0 raggruppa le costanti e variabili note.
ΣD 0,040 m2 ππππ * D2/4, area della sezione della tubazione.V0 2,84 m/s Q0 / ΣΣΣΣD, velocità in condotta.
Re0 639872,57 - V0 D / νννν, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:
nel caso di moto non assolutamente turbolento, ci si riferisca alla formulazione completa di Colebrook - White o ad una formulazione empirica
Schema 4.b
Q1 0,122 m3/s αααα Q0, portata erogata dal serbatoio A.
Adozione della stessa tubazione per il parallelo
Qn 0,061 m3/s Q0 / 2, portata circolante in ciascuno dei tronchi in parallelo.
Vp 0,67 m/s Qn / ΣΣΣΣD, velocità in ciascuno dei tronchi.
Re0 150136,54 - V0 D / νννν, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:
nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa di Colebrook - White.
Scrittura dell'equazione del motoJ1 (L - Ln) + Jn Ln = YA - Y B 1.
doveJ1 = c1 Q1
2 2.Jn = cn Qn
2 3.
ε 0,2 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e
stato di conservazione della parete interna
ε / D 0,00088 - corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a)
λturb,1 0,0190 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, indice di resistenza per tutte le tubazioni relative alla figura 4.b).
c1 2,61 s2/m6 8*λλλλturb,1 /(g*ππππ2*D5), avendo posto J1 = c1*Q12, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.
cn 2,61 s2/m6 8*λλλλturb,1 /(g*ππππ2*D5), avendo posto Jn = cn*Qn2, dove cn raggruppa le costanti e variabili note.
si noti come i precedenti coefficienti risultano uguali in regime di moto assolutamente turbolento.
J1 0,0386 - cadente sul tronco di monte da eq. 2.
Jn 0,0096 - cadente sui tronchi in parallelo a valle da eq. 3.
Ln 384,28 m lunghezza dei tronchi in parallelo a valle da eq. 1.
Lunghezza sufficiente; non si considerino i calcoli che seguono
moto scritta tra A e B. Se Ln risulterà maggiore di Lp, si procederà al calcolo del diametro Dp della nuova tubazione di lunghezza Lp. Poiché risulterà
YC minore di YB, è però necessario prevedere un impianto di sollevamento sul tronco di monte che, per ipotesi, garantisce sul nodo C un carico pari a
controllo sul numero di Reynolds, sia con una formulazione empirica per l'indice di resistenza; per lo schema 4.b) si valuterà Ln dall'equazione del
Verifichiamo innanzitutto se è possibile avvalersi della formulazione in regime di moto assolutamente turbolento per i tronchi in parallelo:
YB + 10m.
εpn 0,05 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e
0,00005 m stato di conservazione della parete interna
Jp 0,0096 - 10 / Lp, cadente sui tronchi in parallelo, nell'ipotesi di sollevamento meccanico con YC = YB + 10.
λemp,vp(Jp, D) 0,0200 - indice di resistenza sulla vecchia tubazione in parallelo
cvp 2,74 s2/m6 8*λλλλemp,vp /(g*ππππ2*D5), avendo posto Jp = cvp*Qvp2, dove cvp raggruppa le costanti e variabili note.
Qvp 0,06 m3/s (Jp / cvp)1/2, portata sul vecchio tronco del parallelo.
Qnp 0,06 m3/s Qn - Qvp, portata sul nuovo tronco del parallelo.
λemp,np(Qnp, Jp) 0,0136 -
Dp,n 0,232 m [8 * λλλλemp,np * Qnp2 /( g *ππππ2 * Jp)]1/5, diametro teorico da formula empirica.
Dcomm,1 0,275 m diametro commerciale inferiore scelto da una serie.
Dcomm,2 0,325 m diametro commerciale superiore scelto da una serie.
- tracci le piezometriche per i due schemi illustrati;
Nell’impianto di sollevamento rappresentato in figura, il serbatoio B a quota YB riceve inizialmente una certa portata Qv da
un serbatoio A a quota YA, tramite una condotta in ghisa sferoidale con diversi anni di esercizio.Successivamente si intende variare la portata circolante, passando dal valore Qv al valore Qn = α Qv. L’allievo:
- esprima la differenza di prevalenza manometrica esistente a seguito della variazione di portata, come funzione del
parametro α;
- determini la differenza di potenza reale, specificatamente per α =1,2 ;
YA = 20 + = m s.l.m.
seconda cifra della matricola * 0.5
YB = 90 + = m s.l.m.
prima cifra della matricola * 0.5
D1 = 205 + = mm
seconda cifra della matricola * 2
L1 = 800 + = m
terza cifra della matricola * 20
D2 = 245 + = mm
seconda cifra della matricola * 2
L2 = 4800 + = m
terza cifra della matricola * 20
Qv = 60 + = l/s
prima cifra della matricola * 2
ultime cifre della matricola scelta:
0
4
8
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
YA 122 m
YB 190 m _____ Profilo piezometrico per Q = Qv
D1 213 mm 0,213 m _____ Profilo piezometrico per Q = α Qv, α > 1
L1 960 m _____ Profilo piezometrico per Q = α Qv, α < 1
D2 253 mm 0,253 m
L2 4960 m
Qv 60 l/s 0,06 m3/s
1.
ovvero:
2.
Il quesito consiste nel determinare la differenza di prevalenza manometrica ∆Hm,n - ∆Hm,v tra i due schemi descritti, in funzione del parametro
α = Qn/Qv, la differenza di potenza reale Pr,n - Pr,v, specificatamente per α = 1,2 ed infine le rispettive piezometriche.
Per quanto concerne il primo quesito si osservi che:
Nei calcoli si assuma un regime di moto assolutamente turbolento.
∆Hm,v = (YB - YA) + J1,v L1 + J2,v L2
( ) 2V5
22
2v,22V5
12
1v,1ABv,m Q
Dg
L8Q
Dg
L8YYH
⋅π⋅
⋅λ⋅+
⋅π⋅
⋅λ⋅+−=∆
ed analogamente:
3.
per l'ipotesi introdotta sul moto assolutamente turbolento risultera λv,1 = λn,1 = λ1 e λv,2 = λn,2 = λ2. Sottraendo la eq. 3 alla eq.2 si ottiene:
4.
ovvero in forma compatta: 5.
Calcolo della potenza reale P r,v per lo schema iniziale
eta-pompa 0,7 - valore scelto per il rendimento della pompa.
ε 0,15 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni esistenti, scelto sulla base del tipo di materiale e
0,00015 m stato di usura.
ε / D1 0,00070 - scabrezza relativa della tubazione di monte.
ΣD,1 0,036 m2 ππππ * D12/4, area della sezione della tubazione.
v0,1 1,68 m/s Qv/ΣΣΣΣD,1, velocità nella tubazione di monte.
Re1 356519,91 - v0,1 D1 / νννν, numero di Reynolds per la tubazione.
λ1 0,018 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare
il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti.c1 3,40 s2/m6 8*λλλλ1/(g*ππππ2*D1
5), avendo posto J1,v = c1*Qv2, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.
J1,v 0,012 - c1 Qv2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.
J1,v L1 11,75 m perdita di carico tra serbatoio di monte e pompa.
ε / D2 0,00059 - scabrezza relativa della tubazione di valle.
ΣD,2 0,050 m2 ππππ * D22/4, area della sezione della tubazione.
v0,2 1,19 m/s Qv/ΣΣΣΣD,2, velocità nella tubazione di valle.
Re2 300153,12 - v0,2 D2 / νννν, numero di Reynolds per la tubazione.
λ2 0,017 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D2 ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare
il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti.
c2 1,38 s2/m6 8*λλλλ2/(g*ππππ2*D25), avendo posto J2 = c2*Qv
2, dove c2 raggruppa le costanti e variabili note.
J2,v 0,005 - c2 Qv2, cadente piezometrica sulla tubazione di valle.
J2,v L2 24,68 m perdita di carico tra pompa e serbatoio di valle
∆Hm,v 104,43 m (YB - YA) + J1,v L1 + J2,v L2, prevalenza manometrica iniziale sulla pompa.
E 1,35E+09 kJ Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJE 374006,949 kWh Pr*365*24, energia annua spesa in kWhE 0,37 GWh Pr*365*24 / 106, energia annua spesa in GWh
- la portata qMAX, prelevabile dal nodo N, affinché il serbatoio B non dia contributo;
Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, una portata q viene prelevata dal nodo N a quota geometrica zN, lungo la
condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D e con diversi anni di esercizio. L'allievo determini:
- la massima portata qMAX, prelevabile dal nodo N, affinché l’altezza piezometrica sullo stesso risulti pari a 10m;
- tracci le piezometriche per i casi in precedenza esposti.
∆Hm
prima cifra della matricola * 0.5
YB = 150 + = m s.l.m.
seconda cifra della matricola * 0.5
zN = 80 + = m s.l.m.
terza cifra della matricola * 0.5
ultime cifre della matricola scelta:
5
4
8
g 9,81 m/s2
ν 1,006E-06 m2/s
D 203 mm 0,203 m
LAN 1160 m
L 2160 m
YA 202,5 m
YB 152 m qMAX
zN 84,0 m qLIM
ε 0,2 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e
0,0002 m stato di usura.
ε/D 0,00099 - scabrezza relativa delle tubazioniΣD 0,032 m2 ππππ * D2/4, area della sezione della tubazione.
Calcolo della portata q MAX
YN 94,0 m zN + 10, quota piezometrica per il calcolo di qMAX.
λturb 0,020 - 0.25/{ LOG10[ εεεε/(3.715*D ) ] } 2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare
il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti.cturb 4,68 s2/m6 8*λλλλturb /(g*ππππ2*D5), avendo posto JA-N = cturb *QA-N
2, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.
JAN 0,094 - (YA - YN) / LAN, cadente piezometrica sul tronco AN.
QAN 0,141 m3/s (JAN/cturb )1/2, portata circolante sul tronco AN.vAN 4,37 m/s QAN/ΣΣΣΣD, velocità nella condotta AN.
ReAN 880968,85 - vAN D / νννν, numero di Reynolds per la condotta.
JNB 0,058 - (YN - YB)/(L-LAN), cadente piezometrica sul tronco NB.
QNB 0,111 m3/s (JNB/cturb )1/2, portata circolante sul tronco NB.vNB 3,44 m/s QNB/ΣΣΣΣD, velocità nella condotta NB.
ReNB 693727,12 - vNB D / νννν, numero di Reynolds per la condotta.
qMAX 0,253 m3/s QAN + QNB, portata massima prelevabile.
Calcolo della portata q LIM
YN 152,00 m = YB, per il vincolo introdotto.
assolutamente turbolento, verificandola a posteriori per ciascuno dei due casi.
Il quesito consiste nel determinare le portate erogate qMAX e qLIM per le condizioni descritte e le relative piezometriche. Si procede nell'ipotesi di moto
10m
JAN 0,044 - (YA - YN) / LAN, cadente piezometrica sul tronco AN.
QAN 0,096 m3/s (JAN/cturb )1/2, portata circolante sul tronco AN.vAN 2,98 m/s QAN/ΣΣΣΣD, velocità nella condotta AN.
ReAN 601023,39 - vAN D / νννν, numero di Reynolds per la condotta.
qLIM 0,096 m3/s = QAN, portata corrispondente al vincolo introdotto.
Esercizio 28 19/03/2010 esame basato su: 23-apr-07 Civili Edile Architettura
YA = 720 + = m s.l.m.seconda cifra della matricola * 2
YB = 600 + = m s.l.m.prima cifra della matricola * 2
YC = 640 + = m s.l.m.terza cifra della matricola * 2