R. Capuzzo-Dolcetta Dept. of Physics, Univ. of Rom a “La Sapienza” (Rom a , Italy)

R. Capuzzo-Dolcetta

Dept. of Physics, Univ. of Roma “La Sapienza” (Roma, Italy)

R. Capuzzo DolcettaSapienza, Univ. di Roma SAIt 2009, Pisa, 7/5/2009

Supercalcolo e dinamica di sistemi stellari

Meccanica celesteDinamica stellare Grande scala,

cosmologia


N ≤ 10N ≤ 1012

N → ∞


La gravità terrestre

La gravità celeste

Galassia ellittica

Ammasso globulare


~10-8 ~10-2 ~10-2

lago di Garda

30 pc = 90 al = 6x106 UA

AG: M 13 Ammasso di galassie

1 Mpc =30 Mal = 2 GUA

50 km

auto grav/ext grav

Peculiarità dell’ astrofisica è il ruolo dell’auto-gravità (self-gravity)


1) divergenza UV ( )

2) divergenza IR (Uij non si annulla mai)

I sistemi auto-gravitanti sono difficili da studiare per la doppia divergenza di Uij1/rij

ij

rU

ij 0lim 0 t

)( 2NO


Il problema gravitazionale classico degli N corpi (sistema secco)

0

0

13

)0(

)0(

||

ii

ii

N

ijj

jii

ji

mG

rr

rr

rrrr

r

j

Indipendentemente da N, ci sono 10 integrali primi

Soluzioni analitiche solo per N=2.


Il sistema:

● è di complessità O(N2); ● è lontano dalla linearità;

● ha pochi vincoli nello spazio delle fasi.

Il premio Oscar (re di Svezia):

Dato un sistema di punti di massa che si attraggono secondo la legge di Newton, nell’ipotesi di non avere collisioni,trovare per le coordinate un’espressione in serie di una funzione nota del tempo convergente uniformemente.


● Il premio fu vinto da H. Poincarè, con un articolo che portò alla teoria del caos. Piccole differenze nelle c.i. portano a grandi differenze nell’evoluzione secolare degli

N corpi.

● La soluzione per N=3 del problema del bando venne nel 1912 da K. Sundman che dimostrò l’esistenza di sviluppo in serie di potenze di t1/3.

● Il risultato di Sundman generalizzato a ogni N nel 1991 da Q. Wang.


).,...,2,1(,)0(

,)0(

,4

,||

0

0

2

113

Ni

GU

Um

G

ii

ii

ee

N

je

N

ijj

jii

ji

rr

rr

rrrr

r

j


I sistemi astrofisici non sono isolati, né secchi

N

j

jmGU

13* ||

)( jj

rrrr

r

.)T,,p(f

,GU

),N,...,i)(UU(

,p

),UU(p

g

*g

*g

0

4

1dt

d

dt

dudt

d

,dt

d

2

2

2

ir

v

v

v eq. di continuità g

eq. del moto del gas g+

eq. dell’energia g

eq. del moto stelle g+

eq. di Poisson geq. di stato g

I sistemi astrofisici reali non sono semplici N corpi…Una fase condensata (s) è immersa in una diluita (g)

forza di pressione force p (short-range) forza di gravità force U (long-range)


fluttuazioni su piccola scala di p(r) introducono grandi

fluttuazioni of p

Sistemi astrofisici 3D auto-gravitantisono ben rappresentabili lagrangianamente (sistemi di particelle: =N corpi, g=SPH)

…tuttavia...

la forza di volume richiede (NSPH+N*)2

valutazioni

Basso costo computaz.; bassa precisione

Alto costo computaz; alta precisione


small scale fluctuations of p(r) introduce large

fluctuations of p

3D self-gravitating astrophysical systems may be suitably simulated in a Lagrangian

way(particle systems: =N bodies, g=SPH)

…nevertheless... the body force requires (NSPH+N*)2 valutations

Low computational cost low precision

High computational cost high precision


Profiling in una simulazione tipicaProfiling in una simulazione tipica

task tempo di Cpu

valutazione delle forze gravitazionali, N2 60%

val. delle quantità fluido-dinamiche, n2 25%

integraz. Temporale, N 15%


222 )()()(|| jijijii zzyyxx j

rr

Si usano vari algoritmi: Erone, Bombelli, Newton, dispendiosi computazionalmente…

la distanza euclidea…

è uno dei problemi…


flopNN

flopN

n f 352

)1(35

2

N=1000 nf =1.5107 flopt = 1.8/100 sec

N=105 nf =1.51011 flop

t = 180 sec =3 min

N=1011 nf =1.51023 flop

t = 1.81014sec = 5.7 Myr!

nf = n. di op. per passo temporale

Problema 1: valutazione della forza Fij=Uij

35 flop

v/fnt

con un PE da v=1 Gflop/sec,tij =3.510-8sec


L’età di un a. globulare (~12 Gyr) is 2105 tcross 200 trel 720 anni di simulazione!

Coarse-grain: rilassamento violento tcross

Fine-grain: rilassamento“collisionale” trel

crosse

rel tNlog

Nt

10

1

Problema 2 : lunghezza delle simulazioni

10 tcross

1000 tcross

4x108 tcross

ammasso aperto

ammasso globulare

galassia


Un’approccio economico all’HPC: GPUsQuasi 1 Tflop/sec per 1250 euro

TESLA C 1060240 cores, 4 Gb memory,1.3Ghz per core. 936 Gflop/sec

FIRESTREAM 9170320 cores, 2 Gb memory,750Mhz, 1.2 Tflop/sec


2 quadcore Xeon da 2 Ghz

+ =

Potenza: ~ 12 Gflops (CPU) ~ 2 Tflops (GPU)

Costo:~ 7000 euro~ 1000 W


2 TESLA C1060

High performance... High performance...

1) divergenza UV ( )

2) divergenza IR (Uij never vanishes)

Problema a scale spazio-temporali multiple

I sistemi autogravitanti sono difficili da studiare acausa della doppia divergenza di Uij1/rij

ij

rUlim

ij 0

Impossibile usare metodi perturbativi

Dinamica di ammassi globulari...Dinamica di ammassi globulari...

Da pochi corpi (N10) a molti corpi (N1011) passando per un ... numero intermedio di corpi (N106)

Stellar system

Binaries, triple, Plan. systems

Open clusters

Globular clusters, galactic nuclei

Galaxies, Galaxy clusters

N 2,3, 10 10,000 105109 109

Regime Deterministic Collisional Secularly collisional

Collisionless

Time-scales tcross t trel tcross<t tcrosstrel<t tcross< t trel

Gravity Newtonian Newtonian Newtonian,general relativity

Newtonian, gen.relativity

Technique Analytic,Perturbative, Direct N-body

Gas+DirectN-body

Fokker-Planck,Direct N-body

Tree-codes,PM, P3M

t = age of the system, trel= relax. time, tcross= orb.time

Fluid (collision-dominated): trel<< tcross<t

Few body Intermediate N Many body


La molteplicità dei tempi scala richiede passi temporali individuali

AA, AG, nuclei gal.: Intermed. N body prob. (102109)

Sistemi auto-gravitanti: da pochi a tanti corpi

treltcross<età collisionale; tcross<<trel<età sec. collisionale

tcostante

tvariabile

sbagliato!


Profiling in a typical simulationProfiling in a typical simulation

Pro Cpu time (%)

Gravitational force evaluation

80

Communications

time integration,

20

Dinamica di ammassi globulari.... Dinamica di ammassi globulari....

tCPU= nstep tstep

Quasi-circular GC orbit

High performance...High performance...

clumps!

S-shape

GC tidal tails

Morphology of GC tidal tails: the S-shape

Palomar 5 (Odenkirchen et al. 2003)


Simulation

Density profiles

r -3

r -1.6

simulation

Palomar 5


Morphology of tidal tails: the S-shape

GC

y’

x’

Galaxy centre •


'''' iiiGCii rωrωrωωrrr 2

ir GCr 'irωω 'irω 2 'irω

Planar, clockwise motion

•Clumps in the tails are not bound structures;

•stars slow down their motion in the clump for a while and then move to the outer part of the tail;

•clumps are symmetrical in the tails;

• clumps are associated with the region where the inner S-shape profile of the tail stretches along the cluster orbit.

clumps



back

• • Simulazione N-corpi ad alta risoluzione

• Ogni AG ha N=250,000 stelle


Dinamica di ammassi globulari.... Dinamica di ammassi globulari....


Coarse grain t. scale: tcross Rhm/vvir treg = tcross= = 6104 yr

i

j

rij

Fine grain t. scale: trel

t=min{treg, tij} very small

down to 1 yrijijij vrt /

(back)


~10-8 ~10-2 ~10-2

Garda lake

30 pc = 90 ly = 6x106 AU

GC: M 13 Galaxy cluster

1 Mpc = 30 Mly = 2 GAU

50 km

self grav/ext grav

Peculiarity of astrophysical simulations is the role of self-gravity


• HST + large ground telescope provide data on GCS distribution mainly in early type galaxies (e.g. Forbes et al. 1996,1998a,1998b; Harris et al. 2000, 2004,2006).

• Growing evidence of presence of very massive (>107 M) YOUNG star clusters in Antennae (Fritze-v. Alvensleben 1999), MCs, M33, Fornax dSph (de Grijs et al. 2005), M31 (Fusi Pecci et al. 2005) as well as OLD (Harris & Pudritz 1994) in M87 and Virgo ellipticals.

• Harris et al. (2006) indicate how up to a 40% of the total mass in GCS of brightest cluster galaxies is contributed by massive (p.d. mass > 1.5 106 M), in good agreement with recent theoretical results by Kravtsov & Gnedin (2005).

High performance... .High performance... .

Self-gravitating systems: from small to large N

• Solar system stabilityProblem first tackled by Laplace.Why supercomputing? To get superprecision!It depends on resonances, difficult to treat (tides favour resonances).Neptune and Pluto are in a 3:2 resonance.(this is a numerical result by Cohen and Hubbard, 1965, US Naval Weapons Lab.).

Planetary systems: a Few body problem (N<10)

torb << age


It is just by mean of the next generation of supercomputers that the results by Sussman & Wisdom(1987), Laskar (1989) and Sussman & Wisdom (1992) suggesting:

• the solar system is a chaotic system could be confirmed

The Digital Orrery


After a violent relaxation phase tcross a metastable configuration is reached fluctuations over the mean field are negligible galaxies are (now) collisionless systems where stars move in a general potential. But, how the metastable configuration was achieved? Why spiral, elliptical, irregular galaxies? Many body dynamics to integrate over a relatively short time.

Galaxies: a Large N body problem (10111012)


tcross< age << trel collisionless


The multiplicity of time scales requires individual time stepping

OC and GC: an Intermediate N body problem (102107)


ttreltcross<age collisional; tcross<<ttrel<age sec. collisional

constant t

variable t

wrong!

Profiling in a typical simulationProfiling in a typical simulation

Procedura Cpu time (%)

Gravitational force evaluation

80

time integration, communications

20



tCPU= nstep tstep


M 87M 87


Ammassi globulari nella GalassiaAmmassi globulari nella Galassia

150-200 oggettiprivi di gas età = 13 Gyr0.00 < e < 0.27800 < M (M) < 2.5×106

1000 < N < few ×106

0.50 < c=Log rt/rc < 2.504.90 < Log tr,c< 10.16-1.12 < Log

Gli AG sono i più grandi sistemi di N corpi studiabili 1:1

Binaries... N=2

Solar and stellar systems are composed by N=2 up to N=1012 stars, often embedded in a gaseous cloud...Multi-phase gravitational N-body problem...

Solar system ... N=10


Small open clusters N=50

Large open clusters N=1000

15 ly

embedded in their mother cloud...like M16


Globular clusters 104 N 106

M 13, in Hercules

M 5

30 pc = 90 ly = 6x106 AU


M 15

1 pc = 3 ly


M 87a giant elliptical

N = 21011

N = 1012

Andromeda

160,000 ly


Stellar system

Binaries, triple, Plan. systems

Open clusters

Globular clusters, galactic nuclei

Galaxies, Galaxy clusters

N 2,3, 10 10,000 105109 109

Regime Deterministic Collisional Secularly collisional

Collisionless

Time-scales tcross << t trel tcross<t tcross < trel<t tcross< t << trel

Gravity Newtonian Newtonian Newtonian,general relativity

Newtonian, gen.relativity

Technique Analytic,Perturbative, Direct N-body

Gas+DirectN-body

Fokker-Planck,Direct N-body

Tree-codes,PM, P3M

t = age of the system, trel= relax. time, tcross= orb.time

Fluid (collision-dominated): trel<< tcross<t

Few body Intermediate N Many body

or (partially...)to dedicated (non programmable) computational architectures like the japanese

Solutions:

Resort to grid methods, like P3M methods (Poisson’s eq.on a grid via FFT and a local direct summation)

orResort to multipole expansions tree algorithms


TABLE-1 Low-Precision machines Machine Year Peak speedGRAPE-1 1989 240 Mflop/s,GRAPE-3 1991 15 Gflop/sGRAPE-5 1998/9 ~ 1Tflop/s

TABLE-2 High-Precision machines Machine Year Peak speed GRAPE-2 1990 40Mflop/sHARP-1 1993 180 Mflop/sGRAPE-4 1995 1 Tflop/sGRAPE-6 2002 48(64) Tflop/sGRAPE-DR 2008 2 Pflop/s

GRAPE 6

Like a graphics accelerator speeding up graphics calculations on a workstation,the GRAPE acts as a Newtonian force accelerator, in the form of an attached piece of hardware.


N

j

jmGU

13* ||

)( jj

rrrr

r

.)T,,p(f

,GU

),N,...,i)(UU(

,p

),UU(p

g

*g

*g

0

4

1dt

d

dt

dudt

d

,dt

d

2

2

2

ir

v

v

v continuity eq. g

gas motion eq. g+

energy eq. g

stellar motion eq. g+

Poisson’s eq. geq. of state g

Real astrophysical systems are not simple N-bodies...a condensed phase (s) in a dilute medium (g)

pressure force p (short-range) gravity force U (long-range)


R. Capuzzo-Dolcetta Dept. of Physics, Univ. of Rom a “La Sapienza” (Rom a , Italy)

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gravit self

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