5/14/2018 Quevedo-Captulo4-slidepdf.com http://slidepdf.com/reader/full/quevedo-captulo-4 1/55 Capftulo 4 A CORRENTE , ELETRICA lniciamos 0 capitulo conceituando forca eletromotriz, mostrando como e criada a diferenca de potencial nas pilhas, baterias e geradores. A seguir analisamos a corrente eletrica e a lei de Ohm, surgindo entao 0 conceito de resistencia, Postulando a conservacao da carga eletrica chegamos a chamada equacao da continuidade, que e aplicada a alguns casos de geometria simples. Finalizando 0 capitulo, apresentamos 0 conceito de resistencia de aterramento de uma instalacao eletrica e 0 princfpio de funcionamento do microfone de resistencia variavel. 4. 7 - FOR9A ELETROMOTRIZ o nome nao e apropriado, mas a tradicao ja nao perrnite que seja alterado. Na rea- lidade, de forma analoga que a diferenca de potencial, trata-se de urn trabalho por unidade de carga. A necessidade do conceito surge ao observarrnos que urn campo eletrico coulom- biano agindo sozinho cria corrente eletrica, mas nao a consegue manter. Assim, se injetar- mos cargas no interior de urn bloco condutor, a repulsao mutua vai produzir movimento de cargas ate que estas alcancem a superffcie, mas este sera urn fenomeno apenas transit6rio, consequencia da lei de Coulomb. A energia que produz este movimento e a energia poten- cial do sistema de cargas injetadas no condutor. Ja 0 que ocorre em uma pilha eletrica ou bateria nao e 0 mesmo. E~terior hi uma rea~~()_quimica que fomece a energia para criar a corrente eletrica, Esta rea<;fu)Cri~~afo;:p que ~~purra-as-cargaspoSltlVaS para o polo.positive da.pilhaepuxa as.cargas negativasparaopolo negauvo. Esta ferca de origern-qutmica provoca uma separacao de cargas que cessa~-~ifatIl:l0 seu valor e igualado pela repulsao coulombiana das cargas que sao levadaspara o~_P91~~.=-_--- Ocampo coulombiano e semelhante ao campo de urn dipolo, existindo dentro e fora da pilha. 0 campo da reacao quimica e chamado de E' e existe somente no interior da pilha. Os p6los se comportam como as placas de urn capacitor carregado. 2-1-6
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o trabalho realizado por E' desde 0 polo negativo (2) ate 0 polo positivo (1) recebe
o nome de forca eletromotriz (fem):
fem = f if '.deo trabalho realizado pelo campo coulombiano independe do caminho e e a diferenca
de potencial (ddp):
ddp = r if .deObservar que a forca eletromotriz e a causa do fenomeno e a diferenca de potencial
e a consequencia. Primeiro surgiu E', depois surgiu E. A separacao de cargas cessa quando
E = E' no interior da pilha. Observar ainda que a fem e positiva de 2 para 1, e a ddp epositiva de I para 2, valendo apos 0 equilfbrio, que e rapidamente atingido:
[em (de 2 para 1) = ddp (de 1 para 2)
Se agora fecharmos 0 circuito extemo teremos movimento continuo de cargas en-
quanta existir a reacao que cria E'. A energia necessaria ao movimento provem desta
reacao.
Ha outras formas de conseguir a energia para a separacao de cargas provocada pela
forca eletrornotriz, ou seja, ha outras fontes de fem. A mais utilizada e a de origemmagnetica onde a forca de Lorentz F = q vxB obriga a separacao de cargas em urn fio
condutor que se move ortogonalmente as linhas de campo. Assim ocorre nos geradores das
usinas hidroeletricas como se ve na figura a seguir.
o chamado par termoeletrico e constituido de dois metais diferentes mantidos a di-
ferentes temperaturas onde e conseguida a forca eletromotriz de origem termica.
Nas celulas solares a forca eletromotriz e obtida da energia radiante do sol incidindo
em uma juncao pn semelhante as dos diodos. Assim e gerada a energia que alimenta os
transrnissores de ondas radioeletricas dos satelites de comunicacoes.
Nos cristais piezoeletricos a pressao mecanica gera a forca eletromotriz; assim funcio-
nam os rnicrofones piezoeletricos e alguns acendedores de gas. A reciproca do fenomenoe verdadeira, sendo ela 0 principio de funcionamento dos pequenos alto- falantes usados em
rel6gios.
Nos navios ha equipamentos chamados de ecobatfrnetros que medem a profundidade
do mar pela transmissao na agua de ondas de ultra-som criadas pel a ressonancia mecanica
de cristais piezoeletricos, ao receberem tensoes eletricas altemadas. A recepcao do eco
proveniente do fundo do mar e feita pelo mesmo cristal que agora recebe excitacao meca-
nica e ressoa eletricamente, ou seja, seus dipolos acompanham a frequencia de ultra-som.
Outra especie de forca eletromotriz e aquela obtida nos semicondutores dopados onde
o material n tern eletrons livres e 0 material p tern ausencia de eletrons, embora ambos
sejam neutros. Se esses materiais pen forem colocados juntos havera uma tendencia
natural dos eletrons de n passarem para 0 lado p. Esta tendencia e analoga ao que ocorre
com gases diferentes que sempre tern facilidade de se rnisturar. No caso de solucoes lfqui-
das a diferenca de concentracoes produz 0 mesmo fenomeno que e chamado de osmose. Na
juncao pn 0 trabalho realizado pelo campo que produz a separacao de cargas e chamadode forca eletromotriz de difusao, Este campo de difusao atua como 0 campo E' no interior
da pilha, sendo entao a causa da separacao de cargas na juncao pn. Porem essas cargas
criam urn campo coulombiano para anular 0 campo de difusao e 0 equilfbrio se estabelece.
Se ligarmos uma fonte extema cujo campo venha a reforcar 0 campo de difusao, dizemosque a juncao foi polarizada diretamente e havera passagem de corrente. Se a fonte extema
for invertida, seu campo vai contrariar 0 campo de difusao; a polarizacao e dita inversa e
nao havera corrente. Esta e uma breve ideia de como funciona 0 diodo sernicondutor.
Para visualizar a corrente eletrica vamos fechar 0 circuito da pilha com urn condutor
que acompanhe 0 formato das linhas do campo eletrico conforme se ve na figura.
rI,
FIG,4,3
A intencao e que 0 aluno veja a corrente eletrica sendo criada pelo fato de existir
campo eletrico dentro do.condutor, empurrando as cargas livres positivas do polo positivo
para 0 p610 negativo. -Quem produz 0 movimento de cargas e 0 campo coulombiano queja existia no espaco e agora ao encontrar as cargas livres do condutor lhes entrega sua
energia. Cada carga que sai dos p610s pelo circuito extemo e logo recolocada pela forca
eletromotriz que age no circuito intemo. 0 fen6meno e analogo ao da queda livre de urn
corpo, onde dizemos que sua causa e a forca newtoniana da gravidade. Na pilha, a causa
do movimento extemo e a forca coulombiana do campo eletrico; a causa do movimento
intemo e a forca de origem qufrnica.
Observar que a pilha trabalha entregando carga em urn p610 e recebendo no outro, nao
havendo nenhum fomecimento de excesso de carga ao circuito. As cargas que se movimen-
tam sao apenas os eletrons livres do material que estao na banda de energia chamada debanda de conducao. Ao lado de cada eletron livre em movimento esta 0 atomo positivo
parado, de modo que urn condutor percorrido por corrente e urn corpo descarregado, ou
seja, seu mimero de eletrons (alguns em movimento) e igual ao seu mimero de pr6tons.
Vamos ainda mostrar que 0 movimento dos eletrons livres no condutor extemo se faz
com atrito, de forma semelhante a uma queda no ar onde a forca de resistencia do ar nao
permite que a velocidade ultrapasse certo limite. Nos condutores chamados de lineares a
forca de atrito e proporcional a velocidade, sendo entao 0 movimento de cada carga q, com
massa m, regido pela seguinte equacao diferencial:
A unidade de condutividade e siemenlm ou mho/m (U/m). 0 inverso da condutivi-
dade e a resistividade medida em Qm.
Exemp/o 4.2- 7
Calcular 0 mimero n de eletrons livres em urn metro ciibico de cobre, sabendo que
ele e 10 vezes mais pesado que a agua e que ha urn eletron livre em cada atomo de cobre.
sotucao:A massa de 1 m3 de cobre sera entao igual a 10 toneladas ou 10 milhoes de gramas.
Lembrando que na massa molecular do cobre (64g) 0 mimero de atomos e igual ao ntimerode Avogadro, vern:
n=10 X 106g
64gX 6 X 1023 = 9,4 X 1028 eletrons liorestm)
Exemp/o 4.2-2
Calcular a condutividade do cobre a partir de sua mobilidade (0,0033), da carga dos
eletrons (1,6 x 10-19) e da concentracao de eletrons livres (9,4 x 1028).
sonicao:
G = Ilqn = 0,0033 X 1,6 X 10-19 X 9,4 X 1028 = 5 X 107u/m
Suponhamos agora que 0 fio ligado it pilha nao acompanhe as linhas de campo e que
o circuito tenha curvas entre 0 p6lo positivo e 0 negativo. A pergunta que surge e comoocampo se acomodara de modo a obrigar as cargas livres a seguir 0 fio condutor. A
resposta e que as primeiras cargas que atingirem essas curvas vao tentar sair do condutor
e vao estacionar na superffcie obrigando as cargas seguintes, por meio de forca coulombiana,
Para definir a densidade de corrente J imaginamos urn filete de corrente di atraves-
sando uma secao reta dS:
J = _!!i_dS
Para ca1cular a corrente eletrica saindo do eletrodo positivo fazemos a integral de
superffcie envolvendo este eletrodo:
A densidade de corrente admite outra interpretacao, em funcao da velocidade e da
densidade qn de cargas m6veis:
J = _!! j_ = dq/dt = dq/dt X ~ = _dq;::__ X _ d _ f _ , = qnv
dS dS dS d e a s a s dt
Com este resultado podemos confirmar que no resistor de urn circuito a velocidadedos eletrons livres e maior do que no fio de cobre, onde a velocidade e ate bern pequena,
como se pode constatar no exemplo seguinte.
Exemp/o 4.3-7
Urn fio de cobre de 1 rnrrr' de secao e percorrido por corrente de 1 ampere. Ca1cular
De onde concluirnos que cada eletron leva horas para percorrer 1 metro do fio. Fique
claro que a velocidade de propagacao das correntes e muito maior, analogamente a umafileira de bolas de bilhar onde, batendo na primeira, a ultima logo se move. Mais adiante
provaremos que a velocidade da corrente e a mesma da onda eletromagnetica que envolve
o fio, ou seja, e a velocidade da luz.
4.4 - L E I V E T O RIA L D E O H M
Nas distribuicoes nao-uniformes de correntes conforme a da figura 4.7, toma-se ne-
cessaria uma visao pontual da lei de Ohm. Consideremos urn pequeno volume (Ae) do
condutor de condutividade o, onde vale a lei de Ohm:
V R· e .
= 2=--2crA
ou
ou ainda
c rE = _i_ = JA
Observando que J e E representam vetores que tern mesma orientacao, temos a lei
vetorial de ohm:
J = crE
A condutividade e uma caracteristica de cada material que depende do seu mimero deeletrons livres e do coeficiente de atrito tentando frear a corrente eletrica. A seguir uma
Os materiais de alta condutividade sao os bons condutores; os materiais de baixa
condutividade sao os isolantes. Os materiais chamados de semicondutores tern condutividade
intermediaria entre ados bons condutores e ados isolantes. Muitos metais, tais como alumfnio,
merciirio e chumbo, sao chamados de supercondutores quando mantidos a temperaturas pr6-
ximas de zero absoluto, onde a agitacao termica e quase nu1a, nao havendo entao forca de
atrito freando os eletrons 1ivres. Sua condutividade e da ordem de 1025 U'm.
4.5 - S E M I C O N D U T O R E S
Os principais materiais semicondutores sao 0 Silicio e 0 Germanic, ambos utilizados na
fabricacao de diodos, transistores e circuitos integrados. Os dois sao elementos tetravalentes
(quatro eletrons na ultima camada, todas em ligacao covalente, 0 que leva a quase inexistencia
de eletrons livres). Experimentalmente observa-se que a temperatura de 27° Cern cada grupo
de 7 x 109 eletrons nas ligacoes covalentes do Germanic temos apenas 1 eletron livre. Para
o Silicio sao necessaries 2,9 x 1012 eletrons de valencia para que 1 esteja livre.
Nos semicondutores quando urn eletron se libera da ligacao covalente deixa em seu
1ugar urn vazio que e chamado de buraco ou lacuna. Se aplicarmos uma tensao ao semi-
condutor os eletrons livres caminham em urn sentido e os buracos carninham em sentido
oposto. A seguir vemos algumas propriedades do Silicio e do Germanic.
SILicIO GERMANIO
Densidade
Peso atomico
Mobilidade de eletrons ( 1 - 1 )Mobilidade de buracos (!l)
Densidade de carga (eletron)
Densidade de carga (buraco)
N° de Atomos por m3
Condutividade
2,33 g/cm'
28,1
0,13 m
2
j(s volt)0,05 m2j(s volt)
0,011 C/m3
0,011 C/m3
5 x 1028
0,0198 U/m
Nos metais 0 aumento de temperatura aumenta a resistencia eletrica em virtude da
agitacao termica fazer crescer a forca de atrito freando os eletrons livres. Nos semicondu-
tores 0 aumento de temperatura faz baixar a resistencia em virtude da energia termica
ajudar alguns eletrons a se liberarem da ligacao covalente, aumentando 0 mimero de ele-
trons livres. Esta propriedade permite 0 uso de alguns tipos de semicondutores (CuO,
ZnO, Ag2S) na fabricacao de termistores, cuja resistencia cai com a temperatura. Se
adicionarmos urn elemento pentavalente a urn semicondutor teremos mais urn eletron livre
em cada atomo adicionado, 0 que aumenta bastante a condutividade do material. Dizemos
que 0 sernicondutor e agora do tipo n (de negativo). Se 0 elemento adicionado e trivalentea condutividade tambem aumenta, pois teremos urn acrescimo de 1 buraco em cada atomo
adicionado. Este semicondutor e entao chamado de tipo p (de positivo).
Exemp/o 4.5-7
Calcular 0 valor da condutividade do Silfcio a partir dos dados da tabela anterior,
lembrando que os portadores de carga sao os eletrons livres e tambem os buracos.
Seu significado e que para divergir densidade de corrente de urn ponto tern de haverurn decrescimo na densidade de carga deste ponto. Por esta equacao logo vemos que a lei
das correntes de Kirchhoff nao e valida no caso da figura a seguir, onde 0 fio em que estava
passando corrente e repentinamente cortado.
+++
As cargas continuam a escoar e se acumulam na extremidade do fio atendendo a
igualdade:- a p
- V . J= +--a t
A corrente so vai se anular quando a repulsao das cargas estacionadas for suficien-
temente grande para nao permitir a entrada de mais uma carga positiva. Durante este
fen6meno transitorio a corrente chega a extremidade do fio e nao sai, nao valendo entaoa lei de Kirchhoff.
Vamos agora mostrar que a duracao deste fen6meno e muito pequena nos bons
condutores, sendo esta a razao de dizermos que a corrente se anula quase instantaneamente
ao cortarmos 0 fio. Vamos resolver a equacao da continuidade no interior de urn meio
homogeneo de permissividade £ e condutividade 0, injetando nele uma densidade de carga
P o no instante t = O . Queremos saber a densidade pet) em urn instante qualquer, no mesmo
ponto onde 0 excesso de carga foi lancado, Como so temos variacao com 0 tempo a
Uma gaussiana envolvendo urn no de urn circuito de corrente continua prova que a
corrente entrando e igual it corrente saindo:
f J.d S = 0 = - i + i, + i2
~------. . . . .// . . . . .,/ "-II
I
I
FIG. 4.11
E claro que durante 0 transitorio 0 divergente de j nao e zero, pois as cargas estaraose acumulando nas fronteiras, nao sendo entao valida ainda a lei das correntes de Kirchhoff.
Se estivermos trabalhando com corrente altemada, as variacoes senoidais sao permi-
tidas. Admitindo uma densidade pet) variando senoidalrnente no interior do fio condutor
homogeneo, vern:
pet) = P o seruo t
Substituindo na equacao diferencial:
o-p
E
dp---
dt
Temos:
c r d- p seruo t = - - - (p serusit) = - p mcosmtE a dt a 0
Donde se conclui que a amplitude da senoide P o = 0, indicando que a existencia de
uma densidade de carga variando senoidalmente no interior do condutor nao e compativel
com a equacao da continuidade, prevalecendo a ideia fisica de que a cada eletron movel
corresponde urn Ion positivo parado, mesmo em regime senoidal.
Porem, para corrente altemada, embora pet) seja nulo no interior do condutor, esta
densidade pode existir e estar variando na superffcie do condutor, resultando que 0 diver-
gente de J nao e nulo em todos os pontos do volume da gaussiana envolvendo urn no, nao
sendo entao valida a lei das correntes de Kirchhoff em regime senoidal. Uma visualizacao
e a de que as cargas estacionadas nas fronteiras variam, havendo ai entao correntes capa-
citivas que precis am tambem ser consideradas nessa lei.
No entanto, enquanto trabalharmos com bons condutores e em baixas frequencias,
essas correntes capacitivas podem ser desprezadas, e a lei das correntes de Kirchhoff e uma
excelente aproximacao na solucao de circuitos eletricos.
4.7 R E S IS T E N C IA
A resistencia de urn resistor depende de sua forma geometrica sendo definida pela
razao entre uma integral de linha e uma integral de superficie:
V f E . d eR = -1, - = J J.d S
FIG. 4.12
A integral de linha do campo eletrico vai desde a face onde entra a corrente ate onde
ela sai. Para obrigar que estas faces sejam eqiiipotenciais devemos ai colocar duas placas
de condutor perfeito e nelas soldar os fios.
A integral de superficie do campo J e feita em qualquer secao do condutor. No caso
particular do condutor ser cilfndrico essas integrais sao bern faceis de realizar, pois 0 campoeletrico sera uniforme em todo seu volume. Esta uniformidade pode ser facilmente provada
por absurdo observando a figura 4.13a onde 0 campo e suposto ir enfraquecendo ao longo
da corrente; isto nao pode ocorrer, pois a densidade J = (J E tambern se reduziria, 0 que
reduziria a corrente i= JA, invalidando a lei de Kirchhoff.
Para a gaussiana cilfndrica da figura podemos escrever:
Resultando:
Ou seja, a componente normal de j se mantem na fronteira. E claro que as compo-nentes normais de if e de i5 nao serao mantidas, resultando ai densidades de carga de
polarizacao e de carga livre:
Dc ~2 E
2
Onde:
Exemplo 4.77-7:
Dois condutores sao ligados conforme a figura. Calcular as densidades de carga P s eP na fronteira.sp
? f , < ' ; ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ W 1 i ! . % ~ . ~ · W ~ ~ ; ~ + ' ~ 1 ~ ~ ~ ~ : ~ ' : ~ : : i \ ' O ; ~ ~ : : : f f m · ~~l~:
\ J 2 + \ d1
: + +: II
: E a ++' E a/'/'
": i ; ' i f ~ ; ~ i ~ ~ ~ ! ; , ; ; ; ; ~ t i~~~,t~~1~~:~): ;0.~i~~: .~, ; ; ' ; j ,~; :
origem. E, porem, bastante comum a nao linearidade onde a condutividade varia com a
pr6pria corrente ou tensao no resistor. 0 caso mais simples de visualizar e 0 da lampada
incandescente em que 0 aquecimento provoca maior agitacao termica da estrutura do material,
criando entao maior forca de atrito sobre os eletrons livres, reduzindo a condutividade. 0
grafico relacionando a tensao e a corrente, que e chamado de curva caracteristica, deixa de
ser uma reta. A resistencia continua a ser definida pela razao vii mas seu valor, que e a
tangente do angulo indicado na figura, passa a depender do ponto de operacao (Vo' I) do
resistor nao linear.
i
" I
" I. . . . < . . . I
" , , ' " ' . . . . . . . I- - ,a I
I
I
I
II
III
v
FIG. 4.26
Os resistores nao lineares representam a base de toda a Eletronica. 0 primeiro deles
a ser amplamente utilizado foi 0 diodo a vacuo que e constitufdo de dois eletrodos, 0 catodo
e 0 anodo. 0 catodo e feito de material que emite eletrons quando aquecido. Assim, a
regiao entre os eletrodos apresenta uma resistencia nao linear, pois s6 havera fluxo de
eletrons do catodo para 0 anodo, ja que no sentido oposto nao havera portadores de carga,
pois 0 anodo nao emite eletrons.
o triodo possui um terceiro eletrodo chamado grade, cujo potencial (negativo) con-
trola 0 fluxo de eletrons do catodo para 0 anodo. Para cada tensao de grade temos umacurva caracteristica diferente. Trata-se entao de uma familia de resistores nao lineares. A
resistencia varia com 0 ponto de operacao que depende da tensao de grade.
A juncao pn e um resistor nao linear que apresenta baixa resistencia no sentido
chamado de polarizacao direta e apresenta elevada resistencia no sentido chamado de
polarizacao inversa. Para compreender como ocorre 0 fen6meno e necessario observar que
a chamada regiao de transicao, onde hi a difusao de eletrons, e um local de baixa
condutividade, pois ela nao possui nem buracos nem eletrons livres, ou seja, ali nao hi
portadores de carga. Quando a polarizacao e direta a largura da regiao de transicao e
reduzida significando baixa resistencia. Na polarizacao inversa a largura dessa regiao eaumentada significando a presenca de um resistor de maior comprimento inserido no cir-
cuito, ou seja, de maior resistencia. Este resistor nao linear tem 0 sfrnbolo e a curva
No transistor sao duas as juncoes pn resistivas e os valores das resistencias nao lineares
dependem do ponto de operacao, Trabalhamos entao com os sfrnbolos e as familias de curvas
carcteristicas mostradas a seguir, onde os parametres sao a tensao Vee e a corrente lb '
IbI
c00l.eto» ~ +--
+ y +Vb" Va"
I
Ib~
- - - - .
1+
+Vbe V
a"
FIG. 4.28
Va..
o nome transistor vern de "transfer resistor", em virtude do valor da resistencia do
circuito de coletor (saida) ser bern maior do que 0 valor da resistencia do circuito da base
(entrada), 0 que permite a amplificacao,
4 . 15 - R ES IS TE N C IA D E A TE RR AM E NT O
Grande parte das instalacoes de distribuicao de energia eletrica em baixa tensao e feitapor sistema trifasico em Y onde temos quatro fios: tres fases e urn fio neutro aterrado. 0
Para avaliarmos a rapidez de aproximacao da curva de R com a assintota basta
fazermos b = 1 m e vern:
R = _1_ (2 . _2 .)2 1 t c r a b
_1_ ( _ _ i _ _l_) = 143Q
21t1(r2 0,1 1
Cuja diferenca para 0 valor de Rat e apenas de 10%. Se fizermos b = 10 m, vern:
R = _1_ (_1 1_)= 158Q
21t1(r2 0,1 10
Cuja diferenca para Rat e apenas de 1%, mostrando que 0 infinito esta bern mais
proximo do que pensamos, ou seja, a 10m de distancia ja podemos dizer que ele foiatingido. 0 fato da resistencia R praticamente nao variar depois dos 10 m pode ser inter-
pretado pela imensa area que e oferecida a passagem da corrente. Ja a regiao proxima ao
eletrodo aterrado oferece areas bern menores a corrente, af estando praticamente toda a
resistencia de aterramento. Esta e a razao de colocarmos algum material condutor, tal como
o sal, no terreno junto ao eletrodo para baixar a resistencia de aterramento.
E evidente que aumentar 0 tamanho do eletrodo corresponde a substituir por metal
uma camada de terra correspondendo ao acrescimo do raio deste eletrodo, 0 que faz baixar
a resistencia de aterramento.
A chamada ten sao de passo e a diferenca de potencial entre os pes de uma pessoa,na situacao mais desfavoravel, criada por uma corrente de fuga no eletrodo de aterramento,
conforme ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo 4. 75- 7
o aterramento de uma torre de transmissao de energia e feito por uma malha de terra
constituida por varies condutores. Suponha que esta malha possa ser substituida por uma
semi-esfera equivalente de raio valendo a. Admita que a condutividade do terreno e
10-2 U 1m . Por acidente urn dos cabos eletricos encostou na torre descarregando para terra
uma corrente de 100 A. Calcule a tensao de passo no local mais desfavoravel, para
Agora fica facil obter a resistencia de aterramento de uma haste de comprimento h
e raio r como a da figura 4.34. Basta considerar que a haste profundamente enterrada da
fig. 4.33 e constituida de duas hastes de comprimento h em paralelo.
· · : 1 · . ' · · · · · · ~ · ' / · .
< : ;; - : / : ~ '
/ < _
/ < >
A resistencia de aterramento da haste de comprimento h enterrada ate seu extremo sera
o dobro da resistencia da haste de comprimento L = 2h totalmente enterrada, resultando:
R=2x-_1-
21tcrL
e n ~ = __1_ e n 2h
r 1tcr2h r
4.76 - E FEITO D E S U PER F[C IE NO A TE R R A ME NTO
o aterramento de uma subestacao de energia e feito por uma malha de terra onde os
fios ficam enterrados horizontalmente a cerca de 1 metro de profundidade. Para saber seesta profundidade ja pode ser considerada infinita no calculo do aterramento, vamos ana-
lisar 0 efeito provocado pela superffcie quando ela esta pr6xima do eletrodo.
Seja uma pequena esfera de raio a enterrada a uma profundidade h. Uma tensao V
e aplicada entre a esfera e 0 infinito para calcular sua resistencia de aterramento. A distri-
buicao de corrente ja nao sera radial, pois a superffcie esta pr6xima exigindo que a corrente
lhe seja tangencial. Esta configuracao de corrente sera obtida pois as primeiras cargas que
atingem a superffcie ai ficam estacionadas criando urn campo eletrico que obriga as cargas
seguintes a seguir a trajet6ria mostrada na figura da pagina seguinte.
Ao ser atingido 0 regime permanente 0 campo J no ponto da superficie mais pr6-
ximo do eletrodo sera nulo enos demais pontos sera tangencial. Pela lei vetorial de Ohm,
ocampo eletrico tera identica configuracao, Se quiserrnos buscar uma carga imagem que
substitua 0 efeito das cargas estacionadas na superffcie da terra, ela sera positiva, de mesmo
Onde vemos que a resistencia de aterramento sofre urn acrescimo que somente sera
nulo se a profundidade for bastante grande (exercfcio 4.20).
Se quisermos calcular a densidade de cargas livres na superffcie da terra temos de
obter a descontinuidade do campo D normal. Para calcular D acima do solo temos de fazer
a carga imagem coincidir com 0 eletrodo, ai resultando uma carga 2q (exercfcio 4.22).
Exemp/o 4. 76- 7
Calcular a resistencia de aterramento de urn fio de comprimento L e raio r enterrado
horizontalmente a uma profundidade h em terreno de condutividade cr.
Sotucao:
o fio sera substitufdo por urn elips6ide achatado. As condicoes de fronteira de corrente
e campo eletrico tangenciais a superffcie da terra exigem urn elips6ide imagem como se ve
na figura. Cada elips6ide tern seu fio imagem que ocupa a distancia 2 e entre seus focos. Aintegracao do campo eletrico para obter a tensao V fica mais facil ao longo do eixo y.
Onde vemos que ha urn acrescimo na resistencia de aterramento em razao do efeito
de superffcie. Observar que se h tender ao infinito este acrescimo se anula.
4.17 - p A R A - R A I O S
oatrito produzido pelo vento e pelas gotas de chuva caindo provoca transferencia de
cargas entre massas de ar e nuvens, criando intensos campos eletricos na atmosfera. Du-
rante uma tempestade a rigidez dieletrica do ar e reduzida em virtude da umidade, facili-
tando a existencia de raios descarregando as nuvens e as massas de ar. Existem raios de
cima para baixo, de baixo para cima e tambem de nuvem para nuvem.
o para-raios e uma ponta metalica localizada 0 mais alto possivel e ligada a terra porurn eletrodo bern aterrado. Este aterramento e necessario, pois ele e 0 carninho por onde
as cargas sobem ate ficarem mais proximas da nuvem, ai criando campos mais elevados,
que vao romper a rigidez dieletrica do ar. Durante a descarga 0 aterramento permite 0
escoamento da energia do raio.
o fio que liga 0 para-raios ao aterramento deve ser suficientemente grosso (cerca de
8mm de diametro) para suportar a corrente da ordem de 1O .OOOA produzida por urn raio.
E claro que este diametro nao e 0 encontrado nas tabelas de fios que sao calculadas para
regime permanente, pois os raios, embora tenham elevada corrente, atuam durante muito
pouco tempo, 0 que reduz 0 aquecimento.
E muito importante observar 0 perigo de uma instalacao feita com fio fino; enquanto
a nuvem carregada se forma, as cargas de sinal oposto sobem lentamente por este fio e 0
raio sera atraido. Se 0 fio nao suportar a descarga, ele vai se romper por efeito Joule e aenergia do raio, nao tendo por onde escoar, vai provocar uma explosao,
A conclusao e que e preferivel nao instalar urn para-raios do que faze-lo mal feito.
H a para-raios que possuem substancia radioativa em sua extremidade visando ionizar
o ar em sua proximidade para facilitar 0 rompimento da rigidez dieletrica.
Para obter 0 valor da condutividade do solo basta enterrar ate seu extremo uma hastede comprimento h e raio r, medir a resistencia R de aterramento e calcular:
(J = _ _ 1_ e n E!:_2nhR r
A condutividade deve ser grande em terrenos onde sao construfdas estacoes de radio-
comunicacao ou subestacao de potencia.
No projeto de circuitos integrados ha necessidade da medida mais precisa da condu-
tividade dos materiais usados. Usa-se entao 0 metodo dos quatro pontos onde sao encra-
vados no material quatro pequenos eletrodos mantendo igual distancia [. Faz-se passar uma
corrente conhecida ientre os eletrodos mais afastados e mede-se a tensao Vl2entre os
eletrodos centrais.
+-- i IIr--------.,.
VI
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/ I ~ : ~ +/~ .
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~~~""Y-
FIG,4,38
A carga estacionada junto ao eletrodo positivo pode ser obtida por uma gaussiana
4.12 Obter a lei de refracao para corrente estacionaria, relacionando os angulos com a
normal a fronteira entre os dois meios.
4.13 Calcule 0 raio da serni-esfera equivalente de urn aterramento em terreno de 10-2 (5 [m
onde a tensao de passo (60 em) seja de 70 volts, para uma descarga de 100 A.
4.14 Duas pequenas esferas metalicas de raio a estao bastante afastadas a uma distancia de imersas profundamente no mar de condutividade o e perrnissividade E. Aplica-se a
elas uma tensao V. Calcular:
a) a corrente;
b) a carga livre estacionada no eletrodo positivo;
c) a densidade de corrente a meia distancia entre as esferas.
4.15 Em uma fazenda ha urn gerador de 200 volts cujo neutro e aterrado junto a ele com
uma resistencia de aterramento de 4 Q. A distancia ate a residencia e de 500 m.
Vamos ligar 0 gerador a residencia por apenas urn fio (de 2 Qlkm), fazendo 0
retorno pel a terra. A tensao e a corrente desejadas na cas a sao 100 Vel 0 A. A
condutividade do terreno vale 10-2 (5 [m. Calcular 0 minimo de barras de 2 m com
1 em de raio que seriam necessarias para fazer 0 aterramento junto a residencia,
4.16 Uma pequena esfera metalica de raio a esta imersa em agua do mar e dista d do
casco plano de urn navio. Aplica-se entre a esfera e 0 navio uma tensao V e mede-
-se uma corrente i. Calcular:
a) a condutividade da agua;
b) 0 campo eletrico a meia distancia entre a esfera e 0 navio.
4.17 Temos uma haste metalica de 2 m de comprimento e 1 em de raio. A condutividade
do terreno vale 10-2 (5 [m. Calcular as resistencias de aterramento:
a) da haste profundamente enterrada (os dois extremos bern profundos);
b) enterrada apenas ate urn dos extremos.
4.18 Urn eletrodo de 2 m de comprimento e 1 em de raio e enterrado verticalmente ate
seu extremo. Mede-se a resistencia de aterramento obtendo-se urn valor de 100 Q.
Calcular a condutividade do terreno.
4.19 Tres eletrodos de raio a sao dispostos conforme a figura nos vertices de urn trianguloequilatero de lado e e imersos no mar. Calcular 0 campo eletrico no centro geometrico
da figura em funcao da tensao Vaplicada, sabendo que a « e .
4.20 Calcular a resistencia de aterramento de uma esfera de 10 em de raio em terreno de
C Y = 10-2 U Im nos seguintes casos:
a) profundamente enterrada;
b) enterrada a 1 m de profundidade.
4.21 Uma haste de 2 m com 1 em de raio esta enterrada horizontalmente a 50 em dasuperficie. Calcular a resistencia de aterramento. A condutividade vale 10-2 U Im.
4.22 Uma pequena esfera rnetalica de raio a esta enterrada a uma profundidade h em
terreno de condutividade cr. Calcular a densidade de carga livre na superffcie da terra
em funeao do angulo excom a vertical do ponto onde esta 0 eletrodo, quando uma
corrente iescoar para terra. Sugestao: calcular a descontinuidade da componente
normal de D na fig. 4.35.
4.23 Ao medir a condutividade de certo material pelo metodo dos quatro pontos, mediu-
-se uma tensao de 10 milivolt entre os eletrodos centrais quando a corrente era de6,28 miliampere. Calcular a condutividade sabendo que a distancia entre os ele-
trodos e de 10 em.
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4.24 No circuito do telefone, sabendo que a corrente continua no circuito vale 25 mA e