313 5.10 EXERCCIO pg. 215 1.Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Mdio se aplica. Em caso afirmativo, achar um nmero c em b) (a, , tal que .-) ( - ) ((c)a ba f a ff =a)3 b 2, ;1(x) = = = axfA funo xx f1) ( = contnua em] 3 , 2 [ . A funo xx f1) ( = derivvel em) 3 , 2 ( , pois o xx f x x fx = ) ( ) (lim0 existe para todo x no intervalo). 3 , 2 (Temos, 21) (xx f= ) () ( 11.111 11) (2222a b aba bca b abb aca babb aca ba bcc f ===== 63 . 21 122=====ccab cab cab c Interpretao geomtrica:A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul paralela reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde. 314 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8xf (x) b). 3 , 1 ;1) ( = = = b axx fNo se aplica o Teorema, pois a funo no contnua em]. 3 , 1 [ c). 4 , 0 ; (x)3= = = b a x fA funo derivvel em) 4 , 0 (e contnua em] 4 , 0 [ , pois f do tipo polinomial. c tal que: 33 4340 40 43 3 ) (3 323 32= = = = = c ca ba bc c f . Interpretao geomtrica:A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, paralel a reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde. 315 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4-4-3-2-1123456789xf (x) d). 0 , 2 ; ) (3= = = b a x x fA funo derivvel em) 0 , 2 (e contnua em] 0 , 2 [ , pois f do tipo polinomial.Assim, .33 232344283) 2 ( 0) 2 ( 03 ) (223 32== == = = = c ccc c f Interpretao geomtrica:A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, paralel a reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde. 316 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4-4-3-2-1123456789xf (x) e)/2. b 0, x; cos (x) = = = a fA funof contnua em ((
2, 0 e derivvel em.2, 0||
\| Assim,.221 0020 cos2cos) (sen arc cc senc sen c f== = = Interpretao geomtrica:A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, paralel a reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde. 317 /2-11xf (x) f). 4 / 3 , 4 / ; ) ( = = = b a x tg x fA funox tg x f = ) (no contnua em ((
43,4 .Portanto, no se aplica o teorema. g). 4 / b 0, x; tg (x) = = = a fA funox tg x f = ) ( contnua em ((
4, 0 e derivvel em ||
\|4, 0.Assim,.2sec2sec4sec40 1sec0404sec ) (2 22arc ccc ctg tgc c f=== == = 318 Interpretao geomtrica:A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, paralel a reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde. -/4 /4-11xf (x) h). 0 , 1 ; 1 ) (2= = = b x x x fA funo) (x f contnua em] 0 , 1 [e derivvel em). 0 , 1 ( Assim,( ).21211 2 11110 11) 1 ( 01 1 0 11) (2 2 2 22 2222 22== = = + = = = == cc c c cc cc cccccc f 319 Interpretao geomtrica:A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, paralel a reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde. -1 11xf (x) i)1. b -1, ; x (x)3= = = a fA funo contnua em] 1 , 1 [mas no derivvel em). 1 , 1 ( Assim, no se aplica o teorema. j)1 b -1, |; x | (x) = = = a fA funo contnua em] 1 , 1 [ , mas no derivvel em) 1 , 1 ( , porque no derivvel em. 0 = x) 0 (10lim0) 0 ( ) (lim10lim0) 0 ( ) (lim0 000fxxxf x fxxxf x fx xxx / )` = === + + Assim, no se aplica o Teorema. 320 2.A funo1 - x (x)2/3= f tal que( ) 0 (1) (-1) = = = f f x f . Por que ela no verifica o Teorema de Rolle no intervalo[-1,1] ? 3 3 / 13 2 3 / 23232) (1 1 ) (x x x fx x x f= = = = A funo f no derivvel no intervalo[-1,1] , pois no derivvel em 0. = = =+ + + + 303 203 2 3 201lim lim01 0 1limxxxxxx x x 3.Seja9 8 ) (2 4+ + = x x x f . Mostrar quefsatisfaz as condies do Teorema de Rolle no intervalo [-3,3] e determinar os valores de) 3 , 3 ( cque satisfaam. 0 ) ( = c fA funo f funo polinomial, portanto contnua e derivvel em qualquer intervalo. Em particular contnua em [-3,3] e derivvel em). 3 , 3 () 3 ( 3) 3 ( ) 3 () ( / ) 3 , 3 ( = f fc f c0 ) 3 ( ) 3 (0 9 72 81 ) 3 (0 9 72 81 ) 3 (= )`= + + = = + + =f fff 0 16 4 ou00 16 416 4 ) ( '233= + == + + =c cc cx x x f . 2 , 2 , 0 + = cA figura que segue ilustra a situao apresentada. 321 -3 -2 -1 1 2 3510152025xf (x) 4. Usando o teorema do valor mdio provar que: a)R; , |, - | | sen- sen| Sejax sen x f = ) ( . f contnua e derivvel emR . Considerando-sefcontnua em[ ] ,e derivvel em) , ( ) , ( c / = ) ( ) () (f fc f . = ===sen sen cc sen sensen sencsen sencsen senc1 coscoscoscoscos para322 . Se = trivial. b)0. , sen Sejax x sen x f = ) (. f continua em0 ], , 0 [ > . f derivvel em0 ), , 0 ( > ) 1 (cos) ( ) 0 ( ) 0 ( ) (0) 0 ( ) () () , 0 ( = = = c senc f f ff fc fc 0 ) 1 (cos0 1 cos 0 cos< < =cc c < < sen sen 00 ) 1 (cos0 1 cos 1 cos 0< < < = 232232x sex seyPara 23= x a derivada no existe 23= x um ponto crtico. o) >> ++ = xxxxx x f 10 6 6 < < +xx Em) ( ], , 1 [ x f + crescente Em) ( ], 1 , [ x f decrescente. -2 -1 1123456789xf (x) d)2 4x - 2x x (x)2 3+ + = f328 232640 4 4 34 4 3 ) (2122 == => + + = xxx xx x x f A funo crescenteem ((
+ ,32] 2 , [ . A funo decrescenteem ((
32, 2 decrescente. -3 -2 -1 1 2 31234567891011xf (x) e)3) 2)(x - 1)(x - (x (x) + = f370 7 37 - x 3 (x)6 7x - x (x)223 == = + =xxff A funo crescenteem |||
+ |||
\| ,3737, . 329 A funo decrescenteem ((
37,37. -3 -2 -1 1 2 3-2-11234567891011121314xf (x) f)sen x2x(x) + = f21- x cos0 x cos21 x cos21(x)>> ++ = f ((
+ + =)`((
((
n n 234, 232,34,32,32,34L L , neste intervalo 21cos < x==> decrescente ((
+ + =)`((
((
n n 232, 232,38,34,32,32L L , neste intervalo 21cos > x==> crescente 330 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2-2-112xf (x) g) xx f 2 ) ( =0 2 ln 2 ) ( > = xx f . A funo crescente em) , ( + . -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 412xf (x) h) xe x f= ) (0 ) ( < = xe x f. A funo decrescente em) , ( + . 331 -2 -1 1 2 3 412xf (x) i) xxe x f= ) (xx xx xx xexe exe xee e x x f=+=+ =+ = 11) 1 ( . ) ( 110 101< > > >xxxexx A funo crescente em] 1 , (e em ) , 1 [ + decrescente. -2 -1 1 2 3 4-2-112xf (x) 332 j) 1 - xx(x)2= f2222 222) 1 (2) 1 (2 2) 1 (1 . 2 . ) 1 () (= = = xx xxx x xxx x xx f 0 ) 2 (0 2 0) 1 (2222> > >x xx xxx x A funo crescente em] 0 , (e) , 2 [ + e decrescente em] 2 , 1 [ ] 1 , 0 [ . -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-3-2-1123456789xf (x) k) xf1x (x) + =0 ) 1 ( ) 1 ( 0 1 011 11 ) (222222> + > >=+ = x x xxxxxxx f A funo decrescente em] 1 , 0 [ ] 0 , 1 [ e crescente em) , 1 [ ] 1 , ( + . 333 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-7-6-5-4-3-2-1123456789xf (x) l)] [0,2 , sen) ( = x x e x fx ) (coscos ) (x sen x ee x sen x e x fxx x+ =+ = A funo crescente em ((
((
2 ,4743, 0e decrescente em((
47,43 . /2 3/2 2 5/2-100xf (x) 7. Determinar os mximos e mnimos das seguintes funes, nos intervalos indicados. a)2,2] - [ , 3 - 1 ) ( x x f =3 ) ( = x fx < 0 3==> a funo decrescente em [-2,2]. 334 7 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( = = f mximo da funo em] 2 , 2 [e5 6 1 2 . 3 1 ) 2 ( = = = f mnimo da funo em] 2 , 2 [ . b)[-1,3] 4, - ) (2x x f =x x f 2 ) ( = 0 0 2 = = x x ponto crtico. )`= = = = = 5 4 3 ) 3 (4 ) 0 (3 4 ) 1 ( ) 1 (22fff==> [-1,3] em mximo 5[-1,3] em mnimo 4 - c)[0,3] , 3 3 - 4 ) (2x x x f + =x x f 6 3 ) ( + = crtico ponto 213 60 6 3=== + xxx 22 27 9 4 3 . 3 3 . 3 4 ) 3 (41343234213213 4214 ) 0 (22= + = + == + = ||
\|+ ||
\| = ||
\|=fff ==> 22 mximo em] 3 , 0 [e 13/4 mnimo em] 3 , 0 [ . d)] 5 , 0 [ , ) (2 3x x x f =x x x f 2 3 ) (2 = crticos pontos so32 e 03 ) 2 3 (0 62 32= == = x xx xx 335 100 25 125 5 5 ) 5 (2742712 8942783232320 ) 0 (2 32 3= = === =||
\|||
\|=||
\|=fff [0,5] emfuno da mximo 100funo. da mnimo 274 -)` e)] 2 , 2 [ ,1) (2+=xxx fcrticos pontos so 1 e 10 1) 1 (1) 1 (2 1) 1 () 2 ( 1 ) 1 () (22 222 22 22 22 = == +=+ +=+ += x xxxxxx xxx x xx f ( )()( )524 122211 111211 111524 12) 2 (=+==+==+= =+= ffff [-2,2] emfuno da mnimo 21 -funo. da mximo 21)` f)] 4 , 1 [ |, 2 | ) ( =x x f< =2 , 22 , 2) (x xx xx f336 < >= 2 , 12 , 1) (xxx f) 2 ( ' fno existe 2 ponto crtico ( )( ) 2 2 4 40 2 2 21 2 1 ) 1 (= == == =fff 2 mximo e 0 mnimo da funo em] 4 , 1 [ . g)] 2 , 2 [ , cosh ) ( = x x fx h sen x f = ) (crtico ponto 00==xx h sen 76219 , 32) 2 ( cosh ) 2 (76219 , 32) 2 ( cosh ) 2 (121 10 cosh ) 0 (2 22 2=+= ==+= = =+= =e efe eff [-2,2] emmximo 2mnimo 12 2)`+e e h)] 2 , 2 [ , ) ( = x tgh x f( )224sec ) (x xe ex h x f+= = ( ) >+xe ex x042 a funo sempre crescente. 337 mximo tgh(2) ) 2 (mnimo ) 2 ( ) 2 (2 22 22 22 2+= =+= = e ee efe ee etgh f i) ] 2 , 0 [ , 3 cos ) ( x x f = x sen x f 3 3 ) ( = crticos pontos so 2 ,35,34,33,32,30,0 3 3 = x sen mximo -1 )35f( )33f( )3f(mnimo 1 ) 2 f( )34f( )32f( 0) f(= = == = = =
j)] 2 , 0 [ , cos ) (2 x x f =x sen x x f cos 2 ) ( = crticos pontos so 2 ,23, ,2, 00 ou0 cos0 cos 2== == xx sen xx sen x 1 ) 2 (023cos231 cos ) (02cos21 0 cos ) 0 (2222== =||
\|= == =||
\|= = fffff 1 mximo e 0 mnimo k) ((
=2, 0 , 1 ) (3x sen x f338 x x sen x f cos . 3 ) (2= crticos pontos so2e 00 cos ou 00 cos . 32= == ==x xx x senx x sen mximo 0 1 12 2mnimo 1 1 0 1 0 ) 0 (33= = = ||
\| = = = sen fsen f 8. Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os mximos e os mnimos relativos das seguintes funes. a)5 2 ) ( + = x x f2 ) ( = x f > 0 2a funo sempre crescente /mximo e mnimo relativo b)1 6 3 ) (2+ + = x x x f6 6 ) ( + = x x f166 --6 60 6 6 >>>> +xxxx e decrescent ,-1] (- Emcrescente funo a ] , 1 [ Em+ 1 = x ponto crtico (de mnimo) funo da mnimo o 21 6 31 ) 1 ( 6 ) 1 ( 3 ) 1 (2 =+ =+ + = f 339 c) 2 38 - 4 ) ( x x x g =x x x g 16 2 1 ) (2 = 0 ) 16 12 (0 16 2 12> > x xx x A funo crescente em ||
+ ,34) 0 , (e decrescente em ||
34, 0 . 0 e 34so pontos crticos mximo 0 ) 0 ( = f mnimo916. 82764. 434 =||
\|f d) 5 6 -21 31) (2 3+ + = x x x x h ) 3 ( 2) - (6 -6 - 221331) (22+ =+ =+ = x xx xx x x h A funo decrescente em] 2 , 3 [e em) , 2 [ ] 3 , ( + crescente. -3 ponto de mximo 2 ponto de mnimo mximo 237630 108 27 545 1829) 27 (315 ) 3 ( 6 ) 3 (21) 3 (31) 3 (2 3=+ + + =+ + =+ + = h
340 mnimo 375 12 2385 2 . 6 421831) 2 (=+ + =+ + = h e) 1 t1 - t) (+= t f ,1 tmnimo nem mximo crescente. sempre funo A. 0) 1 (2) 1 (1 1) 1 (1 ) 1 ( 1 ) 1 () (222/ >+=++ +=+ += ttt ttt tt f f) tt t f1) ( + = ,0 t2221 11 ) (tttt f=+ = 0 ) 1 ( ) 1 (0 101222> + > >t tttt A funo decrescente em] 1 , 0 ( ) 0 , 1 [ , e crescente em ) 1 [ ] 1 , ( + . -1 ponto de mximo 1 ponto de mnimo. relativo mnimo 2 1 1 ) 1 (relativo mximo 2 1 1111 ) 1 (= + = = =+ = ff g) xxe x g = ) (341 x xe e x x g + = ) (10 10 ) 1 ( >> +> + = +xxx e e e xx x x Em) , 1 [ + a funo crescente e em] 1 , ( decrescente -1 ponto de mnimo ee e g1) 1 ( ) 1 (1 1 = = = mnimo. h) xx h1) ( =) (x h definida para0 > x . 0 , 02121211) (2 / 1> =312 6316 2) (x se xx se xx f>< =316316) ( 'x sex sex f342 A funo crescente em ||
+ ,31e decrescente em ((
\| 31, . 31= x pontocrtico 031=||
\|f mnimo da funo. j) > +=-2 2, --2 4, x) g(2x xxx> =0 , 3 40 , 4 3h(t)t tt t = 0 , 40 , 4) (ttt h) 0 ( ' hno existe. Portanto,0 = t ponto crtico. Em( ] 0 , a funo crescente e em[ ) + , 0 decrescente. 0 = t ponto de mximo 3 ) 0 ( = h mximo dafuno. 1) < +=1 , - 1-1 , 1) (2x xx xx f > + < =1 , ) 2 ( 911 2 , ) 1 ( 52 , 3) - ( - 10) (22x xx xx xx g > + < < < + = = 1 , ) 2 ( 911 2 , 52 , 6 2 ) 3 ( 2) (2x xxx x xx g30 30 ) 3 ( 20 ) 3 ( 2 xxxx0) 2 ( 9122> + xx 20 2 =||
\| = x fx f -1 1123456789xf (x) b) 2- 4 ) g( x x x =22 40 2 42 4 ) (=== = xxxx x g 2 ) ( = x g2 0 2 ) 2 ( = < = x g ponto de mximo relativo. 345 -1 1 2 3 4-3-2-112345xg(x) c)9 7 - 331) (2 3+ + = x x x x h7 - 6 331) (2x x x h + = 228 36 60 7 62+ = = + x x xcrticos pontos so 7 e 128 6264 62 1 = = = =x xx mnimo de ponto 1 0 8 6 2 ) 1 (6 2 ) ( > = + = + = hx x h mximo de ponto 7 0 8 6 14 6 ) 7 ( 2 ) 7 ( < = + = + = h . -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 420406080xh(x) 346 d)8 4 43541) (2 3 4+ + = x x x x x h4 8 335441) (2 3 + = x x x x h0 4 8 52 3= + x x xcrticos pontos so 2 e 1 = = x x . 8 10 3 ) (2+ = x x x h > = + = 0 1 8 10 3 ) 1 ( h 1 = x ponto de mnimo 08 20 128 10 34 ) 2 (=+ =+ = x h Nada se pode afirmar usando o teste da derivada segunda. Analisando a derivada primeira 2) 2 )( 1 ( ) ( ' = x x x h , temos que1 para 0 ) ( ' > x x h . Portanto, h crescente em[ ) + , 1e2 = x no mximo nem mnimo relativo. -4 -3 -2 -1 1 2 3 410xh(x) 347 e) t f . Pelo teste da derivada primeira,0 = t ponto de mnimo. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4-3-2-1123456789tf(t) f)x x x f 2 6 ) (3 2 =242 42326 ) (33 13 1 = = = xxx x f ( )crtico ponto 881 181212 40 2 41333 13 13 1= ==||
\|=== xxxxxx 348 mximo de ponto 8121161.348 .34) 8 (34314 ) (3 43 4 3 4=== == fx x x f ) 0 ( ' f no existe. Portanto,0 = xtambm ponto crtico. Para. 0 ) ( ' , 0 < < x f xPara. 0 ) ( ' , 8 0 > < < x f xPortanto, usando o teste da derivada primeira, segue que0 = x um ponto de mnimo. -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18-3-2-1123456789xf(x) g) 5 7) 2 ( 5 ) ( + = x x f5 2) 2 (57) ( = x x f349 crtico ponto 20 20 ) 2 (0 ) 2 (575 25 2== = = xxxx ) (x f sempre/ > 0mximos nem mnimos. -1 1 2 3 4-3-2-1123456789xf(x) h) 3 4) 3 2 ( 3 ) ( + + = x x f3 13 1) 3 2 (382 . ) 3 2 (34) (+ =+ = xx x f crtico ponto 233 2 0 3 20 ) 3 2 (0 ) 3 2 (383 13 1 = = = += += +xx xxx Vamos usar o teste da derivada primeira. 0 ) 3 2 (38) (3 1> + = x x f350 233 20 3 20 3 20 ) 3 2 (33 1 > >> +> +> +xxxxx ) (x f decrescente para em ||
\| 23,e crescente em ||
\|+ ,23. Logo,23 = x ponto de mnimo -3 -2 -1 1 2-1123456789xf(x) i) 44) (2+=xxx g2 222 22 22 22) 4 (16 4) 4 (8 16 4) 4 (2 . 4 4 ) 4 () (++ =+ +=+ += xxxx xxx x xx g 351 crticos pontos so 2416 40 16 40) 4 (16 42222 22 ==== + =++ xxxxxx 3 234 22 2 2 2) 4 (96 8) 4 (2 . ) 4 ( 2 . ) 16 4 ( ) 8 ( ) 4 () (+=++ + += xx xxx x x x xx g 2 0512128512192 64) 2 ( + = g ponto de mnimo. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-2-112xg(x) j) 2 21) (2+ +=x xxx h2 222 22 22 22) 2 2 (4 2) 2 2 (2 2 2 2 2 2) 2 2 () 2 2 ( ) 1 ( 1 . ) 2 2 () (+ + =+ + + + =+ + + = x xx xx xx x x x xx xx x x xx h 352 crticos pontos so 5 1 e 5 10 4 20 4 20) 2 2 (4 22 1222 22 = + == += + =+ + x xx xx xx xx x ( ) 5 1 , 5 1 0 4 2 0 ) ( '2+ > + > x x x x h . 5 1+ ponto de mximo e5 1 ponto de mnimo. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 512xh(x) k) 3 2) 1 ( ) 2 ( ) ( + = x x x f) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 ( 3) 2 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 2 ( ) () 1 ( ) 2 ( ) (3 2 23 2 23 2+ + + =+ + + = + =x x x xx x x x x fx x x f [ ]crticos pontos so 2 ,54, 10 ) 2 (54) 1 (0 ) 8 14 5 ( ) 1 (0 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( 3 ) 1 (0 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 ( 322 22 23 2 2 = = == + ||
\|+ = + + = + + + = + + +x x xx x xx x xx x x xx x x x Vamos usar o teste da derivada primeira. 353 54ou20 ) 8 14 5 (0 ) 1 (0 ) 8 14 5 ( ) 1 ( ) ( '222 2 > + + > + + =x xx xxx x x x f. Portanto,2 = x ponto de mximo e 54 = x ponto de mnimo.1 = xno ponto de mximo nem de mnimo. -2 -1 1 2-55xf(x) l). 16 ) (2x x x f =x x x x x f 2 . 16 ) 1 ( ) 16 (21) (2 1 2 + = 354 crticos pontos so564, 00 ) 64 5 (0 64 50 4 64016 2) 16 ( 2 . 20 16 216 22 122 222= == = = + = + = +x xx xxx x xxx x xx xxx
||
\|> >564, 00 5 640 ) ( '2xx xx f Usando o teste da derivada primeira conclui-se que: mximo de ponto 564mnimo de ponto 0 5 10 15100200xf(x) 10.Mostrar que xxyalog= tem seu valor mximo eme x =(nmero neperiano) para todos os nmeros1. a >xxyalog=355 222loglog log1 . log log1xxexx exx exxyaa aa a=== e xxexeaxexxeaa= == ==10 log0log02 mximo. de ponto 1 a para 0log 1 log 2 loglog 2 log2 . log log .3 33422e xeeeeyxxeeyxxxeexexexya a ae xa aa a= > a , qual deles de mximo, qual de mnimo? c bx ax x fd cx bx ax x f + = + + =2 6 ) (2 ) (22 3 100 2 6212=== +xxc bx ax Substituindo0 = x , vem 0 0 = = c cSubstituindo1 = x , vem 357 330 30 2 6 0 2 6bab ab ab a c b a= == += + = + b a fb fb ax x f2 12 ) 1 (2 ) 0 (2 12 ) (+ = = + = Ainda podemos ter: ====-3a breal qualquera0 creal qualquerd a a aa a fa a b f6 6 12) 3 ( 2 12 ) 1 (6 ) 3 ( 2 2 ) 0 ( : 0 a se Ento= = + = = = = > mnimo de ponto e1 mximo de ponto 0 0 > a . 13.Demonstrar que a funoR x c bx ax y + + = ,2, tem mximo se, e somente se, 0 < a ; e mnimo se, e somente se,. 0 > aabxb ax b ax yc bx ax y22 0 22= = = + = + + = < < > >= = mximo de ponto 20 0 2amnimo de ponto 20 0 2222abaaba aa ya yab 14.Determinar os pontos de inflexo e reconhecer os intervalos onde as funes seguintes tm concavidade voltada para cima ou para baixo. a)x x x x f 6 5 ) (2 3 + =358 10 6 ) (6 10 3 ) (2+ = + = x x fx x x f 3561010 610 60 10 6 + xxxxx baixo para cncava funo a ,35Emcima para cncava funo a35, Em||
\|+||
\| Eminflexo de ponto um temos35= x .|||
\|||
\|35,35f um ponto de inflexo. b)9 10 12 10 3 ) (2 3 4+ + = x x x x x f24 60 36 ) (10 24 30 12 ) (22 3 = + = x x x fx x x x f 2 ou 3 / 1031) 2 (0 2 5 30 24 60 3622> ||
\|+ > > x xx xx xx x ( ) cima para cncava 2,31,- -baixo para cncava 2 ,31U+||
\|||
\| Em2312 1= = x xtemos pontos de inflexo. Os pontos( ) ) 2 ( , 2 e31,31f f|||
\|||
\| so pontos de inflexo. c) 41) (+=xx f359 3 42 2) 4 (2) 4 () 4 ( 2) () 4 (1) 4 (1 . 1 0 ) 4 () (+=++= +=+ += x xxx fx xxx f 0 ) ( > x f40 40 ) 4 (0) 4 (233 >> +> +>+xxxx A funo cncava para cima em) , 4 ( + e cncava para baixo em) 4 , ( .Como o ponto) ( 4 f D , a funo no tem pontos de inflexo. d) xxe x f32 ) (=x xx x xx x xx xx xe e xe e e xe e e x x fe e xe e x x f3 33 3 33 3 33 33 312 186 6 18) 3 ( . 2 ) 6 ( . ) 3 ( . 6 ) (2 62 . ) 3 ( . . 2 ) ( = = + + = + =+ = 32181212 180 12 180 ) 12 18 (0 12 1833 3> >>> > > x xxxx ee e xxx x Temos que: inflexo. de ponto o 32,32e inflexo de ponto um temos32Embaixo para cncava 32, Emcima para cncava ,32Em|||
\|||
\|=||
\| ||
\|+f xff 360 e) xe x x f2) ( =( ) 2 42 . 4 .2 2 . 2 . . ) (2 . . ) (2222+ + =+ + =+ + + = + = x x ee e x e xxe e x e e x x fx e e x x fxx x xx x x xx x ( )0 2 40 2 422> + +> + +x xx x ex ( )( ) ( )inflexo. de pontos temos 2 2 Emcima. para cncava , 2 2 - 2 - ,-2 - Embaixo. para cncava 2 2 , 2 2 Em =+ + + xff f)1221 4 ) (2 + = x x x f( )( )332 / 311 2 12 ) 1 (21. 2 ) (2122221 24) (++ = + ||
\| = +=+= xxx x fxxxxx f 0 ) ( < x f( )( ) ) ( todo para ocorre que o , 1 . 2 10 1 . 2 133f D x xx + < < + Assim, a derivada de segunda ordem da funo sempre menor que zero.No existe ponto de inflexo e a funo cncava para baixo em todo o seu domnio. g) 22) 3 (9) (+=ttt f361 [ ]332 24242 2) 3 (18 6) 3 (18 2 6 2) 3 () 9 ( 2 2 . ) 3 ( ) 3 () 3 () 3 ( 2 . ) 9 ( 2 . ) 3 () ( = =+ = + = tttt t ttt t t ttt t t tt f 462 3) 3 (72 12) 3 () 3 ( 3 . ) 18 6 ( ) 6 ( ) 3 () (+= = tttt t tt f 672 120 72 120) 3 (72 120 ) (4 > >> +>+> tttttt f Eminflexo. de ponto um temos 6 = tA funo em: baixo. para cncava ) 6 , (cima; para cncava ) , 6 ( + h)[ ] 2 , 0 , cos ) ( =t t e t ft ( )0 ) (2) cos ( cos ) () cos ( cos ) ( ) (> = + = = = t ft sen et t sen e sent t e t ft t sen e e t t sen e t ftt tt t t [ ][ ] 2 , em baixo para cncava ) 2 , ( 0, 0 em cima para cncava ) , 0 ( 0f t t senf t t sen < > ( ) inflexo de ponto ,e . 362 i) < =1 ,1 , 2) (2x xx x xx f>< = 1 , 11 , 2 2) (xx xx f>< = 1 , 01 , 2) (xxx f( )inflexo. de pontosintervalo neste baixo para cncava ; 1 , para 0 ) ( valores. temos no 0 ) (/ < > f x x fx f j) > =2 , 42 , 4) (22x xx xx f>
