Qué y cómo deben aprender los niños y niñas en el Área de Matemática

CAPACITACIÓN DE VERANO 2014

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¿QUÉ Y CÓMO DEBEN

APRENDER LOS NIÑOS Y NIÑAS EN MATEMÁTICA?

PRIMARIA 2014


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¿QUÉ Y CÓMO DEBEN APRENDER LOS NIÑOS Y NIÑAS

MATEMÁTICA?

Reflexionemos: ¿Cómo actuamos ante este problema? La escuela debe asegurar el desarrollo de capacidades básicas de los niños del II y III ciclo de la EBR, focalizadas en las siguientes:

- Capacidades para la comprensión del sentido numérico, evidenciadas en la comprensión y manejo de la estructura del sistema numeración decimal, operaciones y relaciones numéricas, en la formulación de proposiciones y en el desarrollo de estrategias para la resolución de situaciones problemáticas. - Capacidades para la orientación en el espacio y la medida, evidenciadas en el adecuado manejo espacial, identificación, interpretación y representación gráfica de figuras y objetos.

- Capacidades para la organización de la información, evidenciadas en la adecuada organización e interpretación de datos estadísticos presentados en tablas y gráficas. RECORDEMOS LA IMPORTANCIA DE LA MATEMÁTICA La Matemática forma parte del pensamiento humano y se va estructurando desde los primeros años de vida en forma gradual y sistemática, a través de las interacciones cotidianas. Los niños observan y exploran su entorno inmediato y los objetos que lo configuran, estableciendo relaciones entre ellos cuando realizan actividades concretas de diferentes maneras: utilizando materiales, participando en juegos y en actividades productivas familiares, elaborando esquemas, gráficos, dibujos, entre otros.

La última Evaluación Censal de Estudiantes (ECE) 2011 para niños de 2° grado de Primaria nos muestra que de cada 10 niños solo 1 logra los niveles suficientes en el desarrollo de las capacidades matemáticas, relacionadas con la comprensión del número, con las operaciones y con la resolución de problemas. Las prácticas docentes repetitivas, centradas en algoritmos de operaciones con números, las estrategias metodológicas que inciden en la reproducción de procedimientos previamente aprendidos y la falta de una ruta clara por la cual transiten básica y necesariamente los aprendizajes de Matemática de los estudiantes son algunas de las causas de la situación actual de los bajos niveles de logro en el área.


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Estas interacciones les permiten plantear hipótesis, encontrar regularidades, hacer transferencias, establecer generalizaciones, representar y evocar aspectos diferentes de la realidad vivida, interiorizarlos en operaciones mentales y comunicarlos de forma verbal o simbólicamente. De esta manera, el estudiante va desarrollando su pensamiento matemático y su razonamiento lógico, pasando progresivamente de las operaciones concretas a mayores niveles de abstracción; esto permite al estudiante estar en capacidad de responder a los desafíos que se le presentan, planteando y resolviendo con creatividad y con actitud crítica los problemas de su realidad. En la escuela, a través de la Matemática, se busca desarrollar en el niño capacidades, habilidades, conocimientos y actitudes que lo preparen para los retos de la ciencia, de la tecnología y del contexto sociocultural del lugar en el que se desempeñe. Para ello, el docente debe favorecer la construcción del saber matemático del niño a partir de situaciones reales que le permitan comprender el significado y la utilidad de la Matemática. MITOS VS APRENDIZAJE MATEMÀTICO La manera como los docentes entendemos la Matemática y como pensamos que nuestros estudiantes aprenderán mejor influyen, decididamente, en nuestra práctica pedagógica. De este modo, lo que sabemos respecto de las teorías de aprendizaje y del desarrollo cognitivo se verá influenciado por las ideas que tenemos sobre la Matemática y su aprendizaje. La experiencia a lo largo de los años nos ha enseñado que existen algunos mitos relacionados al aprendizaje de la matemática y la resolución de problemas. Entre estos tenemos: Mito Nº 1: Las operaciones tienen que aprenderse antes de abordar la aplicación de los problemas: Se cree que los estudiantes antes de resolver problemas deben dominar algoritmos (procedimientos conocidos y mecanizados). Por este motivo, muchas veces nuestras sesiones de matemática se centran en ejercitar un determinado algoritmo, además se hace de manera mecánica, alejada de la realidad. Aprendizaje matemático • Partiendo de un problema los estudiantes pueden construir cualquier noción matemática. Es un proceso más significativo, pues están haciendo matemática todo el tiempo. Según el enfoque de resolución de problemas, la matemática es un conocimiento dinámico y un proceso continuo de esfuerzo y reflexión; por tanto, para adquirir dominio en las matemáticas, se requiere partir de situaciones de interés para el estudiante, relacionadas con su entorno.


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• Es importante, pues, crear espacios de aprendizaje en el aula, donde los estudiantes puedan construir significados para aprender matemática desde situaciones de la vida real en diversos contextos. Mito Nº 2: Busquemos palabras clave para la resolución de problemas.es: La “palabra clave” no es un procedimiento aconsejable para la resolución de un problema, porque puede llevar al estudiante a equivocarse por realizar sin razonar una operación. En este sentido, la estrategia basada en buscar palabras clave constituye un obstáculo para un buen aprendizaje en resolución de problemas. • Comprender un problema (ECE, 2011) no solo es reconocer lo que se pide encontrar, sino también seleccionar los datos útiles y comprender las condiciones y las relaciones entre los datos. • Si un niño no logra comprender el problema, no podrá resolverlo. Debemos tomarnos el tiempo necesario para garantizar que el niño comprenda el problema.

BUSCANDO ALGUNAS SOLUCIONES:

1. RANGO NUMÉRICO PARA LOS NÚMEROS NATURALES La construcción de la noción del número en los niños se adquiere gradualmente en la medida en que ellos tengan la oportunidad de pensar en la cantidad asociada a los números, de representarlos y de usarlos en contextos significativos. Esto se evidencia cuando los niños realizan diversas tareas sencillas donde la noción del número se expresa con sus diferentes interpretaciones, ya sea con el reconocimiento del valor o tamaño de la cantidad, o cuando se da cuenta de cómo varía la cantidad como resultado de la aplicación de las operaciones en situaciones dadas. Trabajar con rango numérico reducido para que el niño pueda comprender mejor la construcción del significado del número y abordar situaciones problemáticas de manera comprensiva y reflexiva, y no mecánicamente aplicando un algoritmo requiere conocer cómo progresa la comprensión del número y de las nociones aditivas así como el desarrollo evolutivo de los niños. El cambio que necesitamos hacer: Recordemos que la Matemática no se reduce a que el niño sepa contar, reconocer la escritura del número o hacer sumas y restas de manera mecánica. La Matemática exige que el niño pueda desarrollar actividades que requieren de mayor comprensión y nivel de razonamiento; exige que el niño aplique

Para enseñar matemática es importante partir siempre de una situación problemática que les interese a los niños.

Para resolver un problema es necesario y fundamental comprenderlo.


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diversas estrategias para contar, en el proceso de resolución de una situación matemática que le demanda otros niveles de razonamiento y reflexión que propicien la aplicación de los conocimientos adquiridos, el establecimiento de relaciones y la formulación de proposiciones e ideas matemáticas. Los estudiantes ingresan al IV ciclo de la EBR habiendo desarrollado capacidades sobre el uso de los números naturales hasta con dos cifras para contar, medir, comparar, ordenar y resolver problemas aditivos. En el IV ciclo, se pone énfasis en las operaciones de multiplicación y división, de tal manera que al terminar el 6.º grado los estudiantes logren resolver problemas, realizar cálculos mentales y aplicar propiedades con las cuatro operaciones básicas. En el V ciclo, amplían el conocimiento de los números naturales con números grandes y se inician en el estudio de las fracciones y los decimales, todos ellos en sus diversas formas de representación. Observemos este cuadro resumen:

Algunos aspectos a tener en cuenta en III ciclo: El niño necesita que se le brinde oportunidades para aprender y para descubrir aspectos cuantitativos de la realidad que lo rodea. El rol del docente como mediador del aprendizaje debe satisfacer esta necesidad diseñando actividades adecuadas que le permitan al niño experimentar, reflexionar de manera conjunta para ayudarle a ir comprendiendo el campo numérico. A continuación, citamos algunas necesidades principales del niño para construir las nociones de número y de operaciones:

Observar aspectos cuantitativos de su entorno rescatando su valor cultural y recoger los aprendizajes previos que trae consigo.

Vivenciar los aspectos cuantitativos a través de movimientos y desplazamientos con su propio cuerpo.

Manipular, experimentar y favorecer la acción sobre los objetos para ayudar al niño a conocer el campo numérico y las operaciones.

Comparar, clasificar y ordenar cantidades diferentes de objetos o personas para que paulatinamente puedan ir ampliando su campo numérico.


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Jugar para explorar, porque favorece el proceso de adquisición de la noción de número, al interactuar con objetos o en situaciones que le permitan cuantificar.

Verbalizar las observaciones, las acciones y los descubrimientos cuantitativos efectuados a través del diálogo entre pares y con el docente.

Es necesario basar el aprendizaje de los aspectos cuantitativos en actividades contextualizadas a situaciones de la vida cotidiana. Recordemos que el trabajo con lápiz y papel es posterior, pues se debe tener en cuenta que los niños necesitan trabajar antes con material concreto. No es necesario insistir en que los niños dibujen unos símbolos abstractos que no tienen significado para ellos, dejando de lado otras actividades que le permitan desarrollar nociones matemáticas y activar procesos mentales que enriquecerán sus aprendizaje En los contextos de poblaciones donde se habla una lengua originaria, se tiene que trabajar con los niños con un enfoque intercultural y bilingüe. Siempre se debe tener presente que el niño solo puede aprender Matemática en la lengua que comprende. ¿Cómo podemos facilitar estos aprendizajes? Estrategia para Educación Primaria En Educación Primaria, se reconoce al juego, a la resolución de problemas y a la modelización matemática como estrategias básicas para desarrollar competencias matemáticas. Acciones de la vida cotidiana nos ayudan a comprender mejor la estructura aditiva En la vida cotidiana, las situaciones con las que nos encontramos no son solo de adición o de sustracción. Más bien, estas nociones operaciones se presentan indistintamente poniendo en juego el sentido aditivo. Por lo tanto, para el aprendizaje de la adición y la sustracción, se debe tomar en cuenta que estas forman parte de un mismo concepto que puede ser trabajado desde distintos significados. No se recomienda enseñar primero la adición y luego la sustracción, como operaciones desconectadas. Para trabajarlas simultáneamente, se recomienda utilizar los problemas de estructura aditiva: cambio, combinación, comparación, igualación. Estas situaciones pueden ser planteadas con material concreto, con láminas o con dramatizaciones, y no necesariamente por escrito. Recomendaciones para el docente

En las actividades de clase, solo se debe trabajar el sentido de los significados aditivos, pero no se debe presentar la denominación de dichas estructuras aditivas a los niños.


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Estas situaciones aditivas se deben trabajar en un ámbito numérico pequeño, de tal manera que permitan el desarrollo de los procesos matemáticos antes que el cálculo en rangos numéricos extensos que distraen el fin.

Se debe propiciar el uso de diversas estrategias que reflejen la forma de pensar del niño, como elaborar un diagrama, hacer una tabla, utilizar el ensayo y error, entre otras. No se debe encaminar al niño al uso directo del algoritmo.

Evitar que nuestros niños usen la palabra clave sin intentar comprender la situación planteada.

2. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y EL DESARROLLO DE CAPACIDADES

Un aspecto fundamental que se debe propiciar en el proceso de aprendizaje de la matemática es el desarrollo de capacidades para la resolución de problemas, que implican promover la matematización, representación, comunicación, elaboración de estrategias, utilización del lenguaje matemático y la argumentación, todas ellas necesarias para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana. UNA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA ES… ¿Qué es una situación problemática? Es una situación nueva para el niño, de la cual no se conoce de antemano la forma de resolución. Esta novedad motiva a los niños a querer pensar, explorar y, en ese proceso, valida estrategias, establece relaciones, que solucionan la situación. La comunicación forma parte intrínseca de toda resolución de problemas: los niños expresan lo que comprenden, plantean sus dudas y argumentan los procedimientos seguidos. Esta comunicación puede desarrollarse representando con material concreto, gráfico, visual o con operaciones y, sobre todo, verbalizando lo que se ha realizado hasta llegar a la propuesta de resolución. La forma adecuada de plantear la situaciones problemáticas es relacionándolos con situaciones de la vida cotidiana o en contextos cercanos a ellos. Características Relevantes De Las Situaciones Problemáticas 1. Situaciones problemáticas de contexto real Las situaciones problemáticas a plantear en clases deben surgir de la propia experiencia del estudiante, considerar datos de la vida real planteados por el mismo alumno. 2. Situaciones problemáticas desafiantes Las situaciones problemáticas que se plantean a los estudiantes deben ser desafiantes e incitarles a movilizar toda la voluntad, capacidades y actitudes necesarias para resolverlas. 3. Situaciones problemáticas motivadoras L as situaciones problemáticas que se plantean a los estudiantes deben ser motivadoras, es decir, deben despertar su curiosidad y su deseo de buscar soluciones por sí mismos. 4. Situaciones problemáticas interesantes L as situaciones problemáticas que se planteen a los estudiantes han de ser interesantes para


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ellos, a fin de comprometerlos en la búsqueda de su solución: ¿Cómo ayudar a los niños a resolver situaciones problemáticas? Debemos tomar en cuenta que, para resolver con éxito una situación problemática, debemos dedicar todo el tiempo que sea necesario para trabajar en la comprensión de la situación problemática antes que apresurarnos en encontrar la respuesta. Por eso, es necesario:

Guiar la comprensión del problema mediante preguntas que ayuden al niño a establecer diferentes relaciones con la información contenida en la situación;

Pedir a los niños que expresen el problema con sus propias palabras;

Propiciar la representación de la situación con el material concreto y por medio de gráficos; Motivarlos a que establezcan las relaciones que existen entre los datos;

Permitir a los niños utilizar estrategias que se adecúen a sus posibilidades como, por ejemplo, el uso de un dibujo, de un esquema, de un cálculo mental, la manipulación de un material determinado, etc.;

Fomentar la verbalización de las estrategias que siguieron durante y después del proceso de resolución;

Rescatar los procesos de resolución que fueron efectivos y también los que no lo fueron para que, luego, los niños puedan aprender de sus propios errores;

Practicar con los niños la estimación de resultados antes de llegar al resultado exacto; en algunas ocasiones, se puede trabajar paulatinamente desde los primeros grados de Educación Primaria. Por ejemplo: Juan tiene 3 chapitas y María tiene 4 chapitas. ¿Será posible que, al juntarlas, tengan más de 10 chapitas?

Potenciar la reflexión, la perseverancia y el esfuerzo realizado por cada niño. Esto les permitirá disfrutar de la resolución de problemas a pesar de las dificultades de comprensión lectora o del razonamiento propio de su edad;

Valorar el proceso de resolución y “no solo” el resultado final. ¿Cómo acompañar al niño en el proceso de resolución de problemas? Las situaciones problemáticas requieren de procesos mentales como interpretar, comprender, comparar, analizar, explicar, relacionar, entre otros, que inicien desde el momento en que se genera el conflicto y duren hasta su resolución. No se trata de resolver al azar o adivinando, ni de utilizar recetas o métodos rígidos para aprender a resolver dichas situaciones. Es necesario ayudar a los estudiantes a identificar las fases que se requieren hasta la solución, generar un ambiente de confianza y participación en clase, y hacer una evaluación sistemática de sus esfuerzos. No perder de vista que lo principal no es llegar a la “solución correcta”, sino posibilitar el desarrollo de sus propias capacidades matemáticas para resolver problemas. LAS FASES que se pueden distinguir para resolver un problema son: FASE 1: Comprender el problema Esta fase está enfocada en la comprensión de la situación planteada. El estudiante debe leer atentamente el problema y ser capaz de expresarlo en sus propias palabras (así utilice un


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lenguaje poco convencional). Una buena estrategia es hacer que explique a otro compañero de qué trata el problema y qué se está solicitando. O que lo explique sin mencionar números. El docente debe indicar al estudiante que lea el problema con tranquilidad, sin presiones ni apresuramientos; que juegue con la situación; que ponga ejemplos concretos de cada una de las relaciones que presenta, y que pierda el miedo inicial. También debe tener presente la necesidad de que el alumno llegue a una comprensión profunda (inferencial) de la situación y de lo inútil que para la comprensión resulta repetir el problema, copiarlo o tratar de memorizarlo. En esta fase el docente puede realizar preguntas que ayuden al estudiante a: • Identificar las condiciones del problema, si las tuviera. • Reconocer qué es lo que se pide encontrar. • Identificar qué información necesita para resolver el problema y si hay información innecesaria. • Comprender qué relación hay entre los datos y lo que se pide encontrar. Es el proceso de resolución, en la que el estudiante activa sus saberes previos y los relaciona con los elementos del problema para diseñar una estrategia que lo lleve a resolver con éxito el problema. Contar con un buen conjunto de estrategias potencia los conocimientos con los que cuenta el estudiante, por ello debemos asegurarnos de que identifique por lo menos una estrategia de solución. • L os estudiantes decidirán libremente qué estrategia usarán para resolver el problema. • El docente no debe decirles a los estudiantes lo que tienen que hacer para resolver el problema, sino propiciar que exploren varias posibilidades antes de que elijan su estrategia. Esta es una de las fases más importantes en el proceso de resolución, en la que el estudiante activa sus saberes previos y los relaciona con los elementos del problema para diseñar una estrategia que lo lleve a resolver con éxito el problema. Contar con un buen conjunto de estrategias potencia los conocimientos con los que cuenta el estudiante, por ello debemos asegurarnos de que identifique por lo menos una estrategia de solución. • Los estudiantes decidirán libremente qué estrategia usarán para resolver el problema. • El docente no debe decirles a los estudiantes lo que tienen que hacer para resolver el problema, sino propiciar que exploren varias posibilidades antes de que elijan su estrategia. FASE 2: Diseñar o adaptar una estrategia de solución En esta fase el estudiante comienza a explorar qué caminos puede seguir para resolver el problema. Diseñar una estrategia de solución es pensar en qué razonamientos, cálculos, construcciones o métodos le pueden ayudar para hallar la solución del problema. Dependiendo de la estructura del problema y del estilo de aprendizaje de los estudiantes, podrán elegir la estrategia más conveniente. 29 Entre estas tenemos: • Hacer la simulación. Consiste en representar el problema de forma vivencial mediante una dramatización o con material concreto y de esa manera hallar la solución.


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• Organizar la información mediante diagramas, gráficos, esquemas, tablas, figuras, croquis, para visualizar la situación. En estos diagramas, se deben incorporar los datos relevantes y eliminar la información innecesaria. De esta forma el estudiante podrá visualizar las relaciones entre los elementos que intervienen en un problema. • Buscar problemas relacionados o parecidos que haya resuelto antes. El niño puede buscar semejanzas con otros problemas, casos, juegos, etc., que ya haya resuelto anteriormente. Se pueden realizar preguntas como: “¿A qué nos recuerda este problema?” o “¿Es como aquella otra situación?”. • Buscar patrones. Consiste en encontrar regularidades en los datos del problema y usarlas en la solución de problemas. • Ensayo y error. Consiste en seleccionar algunos valores y probar si alguno puede ser la solución del problema. Si se comprueba que un valor cumple con todas las condiciones del problema, se habrá hallado la solución; de otra forma, se continúa con el proceso. • Usar analogías. Implica comparar o relacionar los datos o elementos de un problema, generando razonamientos para encontrar la solución por semejanzas. • Empezar por el final. Esta estrategia se puede aplicar en la resolución de problemas en los que conocemos el resultado final del cual se partirá para hallar el valor inicial. • Plantear directamente una operación. Esta estrategia se puede aplicar en la resolución de problemas cuya estructura aritmética sea clara o de fácil comprensión para el estudiante. Los niños no solo aprenden a usar estas estrategias, sino que tienen que aprender a adaptar, combinar o crear nuevas estrategias de solución. FASE 3: Ejecutar la estrategia Dentro de un clima de tranquilidad, los estudiantes aplicarán las estrategias o las operaciones aritméticas que decidieron utilizar. En esta fase el docente debe asegurar que el estudiante: • Lleve a cabo las mejores ideas que se le han ocurrido en la fase anterior. • Dé su respuesta en una oración completa y no descontextualizada de la situación. • Use las unidades correctas (metros, nuevos soles, manzanas, etc.). • Revise y reflexione si su estrategia es adecuada y si tiene lógica. • Actúe con flexibilidad para cambiar de estrategia cuando sea necesario y sin rendirse fácilmente. En esta fase los estudiantes ponen en práctica la estrategia que eligieron.


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• El docente estará pendiente del proceso de resolución del problema que siguen los estudiantes y orientará, sobre todo, a quienes lo necesiten. • Es posible que, al aplicar la estrategia, se dé cuenta de que no es la más adecuada, por lo que tendrá que regresar a la fase anterior y diseñar o adaptar una nueva. El docente debe propiciar que el estudiante: • Analice el camino o la estrategia que ha seguido. • Explique cómo ha llegado a la respuesta. • Intente resolver el problema de otros modos y reflexione sobre qué estrategias le resultaron más sencillas. • Formule nuevas preguntas a partir de la situación planteada. • Pida a otros niños que le expliquen cómo lo resolvieron. • Cambie la información de la pregunta o que la modifique completamente para ver si la forma de resolver el problema cambia. Esta fase es propicia para desarrollar las capacidades de comunicar y justificar sus procedimientos y respuestas. FASE 4: Reflexionar sobre lo realizado Esta etapa es muy importante, pues permite a los estudiantes reflexionar sobre el trabajo realizado y acerca de todo lo que han venido pensando. El docente debe propiciar que el estudiante: • Analice el camino o la estrategia que ha seguido. • Explique cómo ha llegado a la respuesta. • Intente resolver el problema de otros modos y reflexione sobre qué estrategias le resultaron más sencillas. • Formule nuevas preguntas a partir de la situación planteada. • Pida a otros niños que le expliquen cómo lo resolvieron. • Cambie la información de la pregunta o que la modifique completamente para ver si la forma de resolver el problema cambia. Como estrategia de enseñanza y aprendizaje, la resolución de problemas abre muchas posibilidades para el desarrollo del pensamiento crítico y creativo, aprovechando las propuestas individuales y enriqueciéndolas con los aportes en el trabajo grupal. El docente plantea situaciones problema que parten de un mismo contexto y presentan preguntas diferenciadas para cuya solución cada estudiante, según su edad y su grado, activa sus conocimientos y habilidades matemáticas, y propone diferentes caminos para encontrar la o las soluciones. Como espacios que favorecen la aplicación de la estrategia tenemos la tiendita escolar, el banco matemático, las visitas a la granja, chacra, mercado o fábrica, etc. Estas estrategias pueden ser adaptadas a diversas situaciones de aprendizaje. Los niños deben proponer sus propias estrategias de resolución: contando, haciendo corresponder uno a uno, completando o quitando, etc. La docente hace preguntas que los conducen a analizar sus respuestas, y a comentar qué estrategias utilizaron, si tuvieron dificultades en algún momento y cómo las superaron.


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Luego, los invita a socializar con todo el grupo los procedimientos seguidos y las respuestas. Otro aspecto importante que debemos propiciar en el proceso de aprendizaje de la Matemática es el desarrollo de las capacidades para la resolución de problemas que implican la comprensión, el análisis, la autoreflexión y la aplicación de estrategias para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

3. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES En la actualidad, el número es un conocimiento importante para la vida de todo ciudadano y está presente en muchas de nuestras actividades diarias. Su utilización es inevitable, tanto en la vida cotidiana como en la resolución de problemas en diferentes contextos. Por eso, los estudiantes adquieren la noción de número desde la educación inicial y su estudio se amplía a través del nivel primario y secundario. Los problemas a los que se enfrentan los estudiantes deben propiciar el desarrollo de habilidades de resolución, lo que supone considerar en su formulación: el contexto, las formas de presentación, las preguntas y los datos. Un factor que influye en su complejidad y en el desarrollo de habilidades para realizar operaciones en estos ciclos es el tipo de estructura aritmética que presentan, así como su estructura semántica. Presentamos a continuación una clasificación: Tipos de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV) Los PAEV son las situaciones que se plantean generalmente a los estudiantes en Matemática. Siendo la resolución de problemas la primera actividad con la que se encuentran los niños en su vida escolar, debe ponerse todo el cuidado que merece el primer paso en un campo de actividad como este. Proponemos la siguiente diversidad de problemas, pues el niño debe enfrentarse a muchas situaciones de contexto. Entre los problemas aritméticos de enunciado verbal, se pueden identificar dos clases:

1. Problemas aditivos (en los que se requiere sumar y restar). 2. Problemas multiplicativos (en los que se requiere multiplicar y dividir).

4. CONSTRUCCIÓN DE LA NOCIÓN DE FRACCIÓN

El inicio de las fracciones en el nivel primario constituye una nueva forma de representar los números. Introducirá a los estudiantes en el mundo de las comparaciones relativas, las que se concretarán en las situaciones de proporcionalidad al final de la Educación Primaria y al inicio de la Educación Secundaria. Iniciar a los estudiantes en el estudio de las fracciones en la primaria es introducirlos en una nueva forma de representar los números, resultado de dividir un todo en partes. Esta división nos lleva a la necesidad de representar las particiones, representación a la que llamamos


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“expresiones fraccionarias”. Aprender a hacerlo es un proceso extendido que va hasta la secundaria, debido a las múltiples interpretaciones que exige, como parte-todo, cociente, operador, razón. En la primaria, los estudiantes desarrollan la noción de fracción, la que más adelante llegan a formalizar y ampliar en el campo de los números racionales. Lo característico en este nivel es que los estudiantes: • Poseen nociones informales de repartos equitativos, de medidas y de proporciones. • Desarrollan una variedad de situaciones con expresiones fraccionarias. • Desarrollan habilidades en torno a fracciones propias, impropias y equivalentes. • Desarrollan habilidades de representación gráfica de fracciones. Los decimales se han convertido en protagonistas de todos los procedimientos de cálculo en contextos cotidianos, científicos y técnicos. Gran parte de estas prácticas han llevado a una mayor disponibilidad y uso de calculadoras para realizar las operaciones. Su importancia radica en que permiten expresar informaciones numéricas, cuya comunicación no es posible solo mediante los números naturales. La medición es un aspecto en el que se reconoce la funcionalidad de los números decimales. Su estudio implica una ampliación a los números naturales, puesto que permite resolver problemas cuya solución no sería posible con ellos. El aprendizaje en torno a estos tipos de números es un proceso que va desde el nivel primario al secundario. Son características en este nivel: • Las expresiones decimales están asociadas a fracciones de denominadores 10 y 100. • Se plantean situaciones problemáticas que dan sentido a las operaciones, en particular, a la multiplicación y la división. • Se trabaja con equivalencias de dinero y monedas. • Se realizan medidas de longitudes. • Se desarrollan equivalencias entre décimos, centésimos y milésimos. ¿CUÁLES SON LAS CAPACIDADES MATEMÁTICAS A TRABAJAR Y CON QUÉ HERRAMIENTAS Y CONDICIONES DIDÁCTICAS SE CUENTA? A. MATEMATIZA Matematizar implica desarrollar un proceso de transformación que consiste en trasladar situaciones reconocidas en el mundo real a enunciados matemáticos, o viceversa. Durante la experiencia de hacer esto, debemos promover la construcción y puesta en práctica de los conocimientos. Entre las situaciones y condiciones que favorecen la matematización tenemos: Situaciones Condiciones


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• Actividades vivenciales del entorno. • Actividades dinámicas, lúdicas, de experimentación. Por ejemplo: el juego de la tiendita, el banco matemático, etc. • Actividades con apoyo de material gráfico: boletas de venta, recibos, recortes periodísticos, láminas, afiches, etc. B. COMUNICA La comunicación es un proceso transversal en el desarrollo de la competencia matemática. Implica al individuo comprender una situación problemática y formar un modelo mental de la situación. Este modelo puede ser resumido y presentado en el proceso de solución. Para la construcción de los conocimientos matemáticos, es recomendable que los estudiantes verbalicen constantemente lo que van comprendiendo y expliquen sus procedimientos al hallar la solución de problemas.


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C. REPRESENTA La representación es un proceso y un producto que implica seleccionar, interpretar, traducir y usar una variedad de esquemas para capturar una situación, interactuar con un problema o presentar el trabajo.


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Tipos de representación • Representaciones vivenciales (acciones motrices):

- Juego de roles - Dramatización

• Representaciones apoyadas en material concreto: - Estructurados: material Base diez, ábaco, regletas de colores, balanza, etc. - No estructurados: semillas, piedritas, palitos, tapas, chapas, etc.

• Representaciones de forma pictórica: - Dibujos e íconos.

• Representaciones gráfica: - Tablas, cuadros, gráficos de barras, etc.

D. ELABORA DIVERSAS ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Esta capacidad consiste en la selección, diseño o adaptación de estrategias heurísticas que, usadas con flexibilidad, llevan al estudiante a resolver los problemas que se le plantean. Entre las estrategias que tenemos están ensayo y error, empezar por el final, plantear una operación, hacer la simulación, entre otras. Algunas condiciones para propiciar el desarrollo de esta capacidad, son las siguientes: • Dejar que el estudiante sea quien proponga su propio camino de solución. • Acompañar el proceso con preguntas que permitan la identificación del error, sin que este cause burla, sino convirtiendo más bien a la reflexión en un acto permanente que le oriente a tomar decisiones oportunas. • Promover el uso de tablas y esquemas. • Favorecer el cálculo escrito y mental. • Desde los primeros grados se deben propiciar actividades que favorezcan el desarrollo del pensamiento reversible. • Orientar el proceso por medio de interrogantes que hagan visibles las relaciones que existen entre los elementos del problema y entre cada uno de los procedimientos. Ejemplo: ¿Qué te pide hallar?; ¿Cuáles son las condiciones?; ¿Los datos son suficientes?, ¿por qué? • Generar situaciones que puedan ser resueltas por analogía.


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E. UTILIZA EXPRESIONES SIMBÓLICAS, TÉCNICAS Y FORMALES El uso de las expresiones y los símbolos matemáticos ayuda a la comprensión de las ideas matemáticas. Pero estas expresiones no son fáciles de generar debido a la complejidad de los procesos de simbolización. Los estudiantes, a partir de experiencias vivenciales o inductivas de aprendizaje, pasan por el uso de lenguajes más coloquiales o simbólicos hasta llegar, posteriormente, a lenguajes más técnicos y formales que responden a una convención y acuerdo en el grupo de trabajo.

F. ARGUMENTA Argumentar y razonar implica reflexionar sobre cómo conectar diferentes partes de la información para llegar a una solución, además de analizar la información para seguir o para crear un argumento de varios pasos, así como establecer vínculos o respetar restricciones entre distintas variables. Supone, asimismo, cotejar las fuentes de información relacionadas, o hacer generalizaciones y combinar múltiples elementos de información. DESARROLLANDO ESCENARIOS DE APRENDIZAJE El desarrollo progresivo de las competencias matemáticas pasa por el desarrollo de las capacidades. Esto supone condiciones adecuadas para que las experiencias de aprendizaje sean dinámicas, es decir, desencadenen diversas acciones y situaciones. Este es el verdadero sentido de una matemática centrada en la resolución de problemas. Por esto es importante reconocer algunos escenarios de aprendizaje, entendiéndolos como complementarios entre sí:


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a) Laboratorio matemático Es donde el estudiante a partir de actividades vivenciales, lúdicas y de experimentación llega a construir conceptos y propiedades matemáticas partiendo de una situación problemática. Ejemplo: los estudiantes buscarán números en medios escritos, como periódicos, revistas y encartes publicitarios, lo que permitirá reflexionar sobre la utilidad e importancia delos números en nuestra vida. (Esta actividad de indagación, apoyada en materiales gráficos, se realiza con la finalidad de que los niños exploren la utilidad de los números para codificar, nombrar, comparar, medir, etc., en diversas situaciones. A partir de esta situación, se desarrollan actividades para que escriban, lean y representen los números con sentido). b) Taller de matemática Es donde el estudiante pone en práctica los aprendizajes que ha ido desarrollando en un periodo curricular. En el taller despliegan diversos recursos (técnicos, procedimentales y cognitivos) en la intención de resolver situaciones problemáticas haciendo uso de diversas estrategias de resolución. Ejemplo: De acuerdo a información brindada sobre el hambre en el Perú y en el mundo realizan lo siguiente: Según el gráfico circular, realiza lo siguiente:

Ordena los datos en una tabla de menor a mayor.

¿Cuál es la cantidad total de personas que sufren hambre en el mundo? ¿Cómo comprobarías tu respuesta? ¿Puedes redondear los resultados parciales y el total?

¿Cuál es el continente de mayor y menor cantidad de personas en el mundo que tienen problemas de desnutrición?

c) Proyecto matemático Hoy se demanda que la matemática se vuelva una práctica social. Por eso se necesita promover espacios donde se propicie el acercamiento a aspectos de la realidad en diversos contextos. Esto supone diseñar un conjunto de actividades para indagar y resolver una situación problemática real, con implicancias sociales, económicas, productivas y científicas. Ejemplo: Los alumnos se organizan para implementar un mercadito en el aula. En la 1.ª semana,

buscarán información y tomarán decisiones sobre qué productos vender, estimarán cantidades y elaborarán inventarios. En la 2.ª semana, habilitarán los puestos con los productos, etiquetando, colocando precios, elaborando sus billetes y monedas. En la 3.ª semana, realizarán operaciones de compra y venta aplicando estrategias de cálculo escrito. (Matematizar partiendo de una situación vivencial de indagación y de experimentación de la vida cotidiana permitirá poner en práctica una variedad de conocimientos matemáticos).

¿CÓMO EVALUAMOS LO QUE APRENDEN NUESTROS NIÑOS? La evaluación de los aprendizajes demanda asumir una práctica evaluativa desde una perspectiva integral y coherente con el enfoque por competencias, además de desarrollar una cultura evaluativa en la escuela y el aula que recupere su sentido formativo. En la medida en


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que se asuma que su finalidad no tiene por qué enfocarse solamente en verificar resultados o calificar, la misma evaluación puede y debería servir para que el estudiante siga aprendiendo. Observando el desempeño de los estudiantes en el proceso de aprendizaje. En diferentes espacios. A partir de la información obtenida realizamos acciones inmediatas de regulación para que el estudiante avance en el logro de los aprendizajes. Aplicando diversas actividades de evaluación. Por ejemplo, a través de representaciones que se realizan con el material concreto, gráfico o simbólico y la verbalización de los procesos realizados, la participación e interacción durante el proceso de aprendizaje, en la ejecución de juegos, la resolución de las actividades propuestas en los cuadernos de trabajo, realizando preguntas que permitan al niño reflexionar sobre los procesos en la construcción de nociones, la comprensión de un texto, etc. Analizando evidencias sobre sus avances y dificultades. Reflexionar sobre cómo aprendió, qué dificultad tuvo durante el aprendizaje, qué o cuál actividad fue más fácil o difícil para resolver, permitirá identificar por ejemplo si las actividades planteadas para el aprendizaje fueron las más adecuadas y pertinentes al ritmo, al estilo y al nivel de pensamiento de los estudiantes. Asimismo podremos saber si las indicaciones o instrucciones que formulamos son claras y sencillas, y así evitar que preguntas confusas lleven a que el estudiante se equivoque. Registrando de manera sistemática los avances y progresos de los estudiantes. Instrumentos como una lista de cotejo o unas fichas de observación para recoger los progresos de acuerdo a los indicadores de las capacidades programadas nos permitirán contar con información real y objetiva sobre la situación de aprendizaje de los niños. Aplicando estrategias para la autorregulación del proceso de enseña y de aprendizaje. Es importante que el niño tenga la posibilidad de reflexionar sobre sus avances, dificultades en su aprendizaje, así como en las estrategias que emplea. Esta práctica se debe orientar de manera individual a través de la autoevaluación y también a nivel de grupo o par, coevaluación, para que en colectivo los niños puedan retroalimentarse, es decir, complementar mutuamente en su aprendizaje. ¿Qué significa evaluar los aprendizajes desde un enfoque por competencias? Para evaluar los desempeños de los estudiantes, en coherencia con el planteamiento curricular de las “Rutas del aprendizaje”, debemos reconocer que las metas de aprendizaje están orientadas a la adquisición y desarrollo de competencias matemáticas, que se expresan, a su vez, en un conjunto de indicadores. Es necesario comprender el sentido y las implicancias que tienen las competencias en términos evaluativos, asumiendo que la competencia la definimos como un saber actuar de manera


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integral y pertinente en un contexto particular, en función de un objetivo o de la solución de un problema, en la cual se desarrolla, selecciona y moviliza una diversidad de saberes (saber ser, saber hacer, saber conocer) aprendidos en la escuela, demostrando idoneidad en el actuar. A continuación, presentamos como ejemplo la competencia del dominio número y operaciones: La pregunta que ayudaría al docente a comprender el sentido de la evaluación de esta competencia sería: “¿Cuándo puedo decir que un estudiante es competente en resolver situaciones problemáticas?” En este caso, cuando evidencia un desempeño o actuación integral y pertinente, en la medida en que resuelve situaciones problemáticas, para lo cual desarrolla, selecciona y moviliza: actitudes (querer abordar los problemas aplicando sus saberes matemáticos y demostrar responsabilidad), conocimientos (saberes sobre los números y operaciones) y capacidades (saber cómo representar, elaborar, utilizar, argumentar y comunicar las situaciones problemáticas de la vida real). Observando esta situación, se puede decir que evaluar los aprendizajes, en términos de competencias, significa identificar los logros y aspectos por mejorar en la actuación de las personas respecto a la resolución de problemas del contexto. Implica tener en cuenta los criterios e indicadores de una determinada competencia y brindar retroalimentación oportuna de carácter descriptivo, más allá de poner un calificativo a los estudiantes. BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

MINISTERIO DE EDUCACIÓN. (2011) Rutas del aprendizaje: ¿Qué y cómo aprenden matemática nuestros niños y niñas? III ciclo. Lima: Gráfica Navarrete

MINISTERIO DE EDUCACIÓN. (2011) Rutas del aprendizaje: ¿Qué y cómo aprenden matemática nuestros niños y niñas? IV y V ciclos. Lima: Gráfica Navarrete

Qué y cómo deben aprender los niños y niñas en el Área de Matemática

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