Qué son las aproximaciones polinomiales

IntroduccinEl objetivo primordial de este tema es aproximar funciones mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de las series de potencias se prepara el terreno. Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un nmero finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logartmicas, exponenciales y trigonomtricas, no pueden evaluarse tan fcilmente. En esta seccin se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la funcin original, puede emplearse para realizar clculos cuando la diferencia entre el valor real de la funcin y la aproximacin polinomial es suficientemente pequea. Varios mtodos pueden emplearse para aproximar una funcin dada mediante polinomios. Uno de los ms ampliamente utilizados hace uso de la frmula de Taylor, llamada as en honor del matemtico ingles brook Taylor (16851731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalizacin del teorema del valor medio, proporciona la frmula de Taylor.

1

ObjetivoUno de los objetivos primordiales es aprender cmo funcionan las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para poder as calcular las unciones logartmicas, exponenciales y trigonomtricas. Tambin como mencionaba as darle una visin ms amplia al lector sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y ms centrado en lo prctico y lo necesario para llevarse a cabo este tipo de clculos matemticos, tanto en el calculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atencin de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una aproximacin por medo de teoremas. 1. Existen infinidad de mtodos para aproximar una funcin dada mediante polinomios, unos de los ms importantes que se usan es la frmula de Taylor.

2

1. Qu son las aproximaciones polinomiales?Muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la funcin original, puede emplearse para realizar clculos cuando la diferencia entre el valor real de la funcin y la aproximacin polinomial es suficiente pequea. Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un nmero finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logartmicas, exponenciales y trigonomtricas, no pueden evaluarse tan fcilmente. En esta seccin se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la funcin original, puede emplearse para realizar clculos cuando la diferencia entre el valor real de la funcin y la aproximacin polinomial es suficientemente pequea. Varios mtodos pueden emplearse para aproximar una funcin dada mediante polinomios. Uno de los ms ampliamente utilizados hace uso de la frmula de Taylor, llamada as en honor del matemtico ingles brook Taylor (1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalizacin del teorema del valor medio, proporciona la frmula de Taylor.

brook Taylor

Las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, forman parte importante dentro del clculo diferencial e integral. Uno de los objetivos primordiales es aprender cmo funcionan las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para poder as calcular las unciones logartmicas, exponenciales y trigonomtricas. Tambin como mencionaba as darle una visin ms amplia al lector sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y ms centrado en lo prctico y lo necesario para llevarse a cabo este tipo de clculos matemticos, tanto en el clculo e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atencin de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una aproximacin por medo de teoremas.

1. Existen infinidad de mtodos para aproximar una funcin dada mediante polinomios, unos de los ms importantes que se usan es la frmula de Taylor. El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalizacin del teorema del valor medio, proporciona la frmula de Taylor.

3

Teorema 1 Sea una funcin tal que y sus primeras n derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Adems , considere que (x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un nmero z en el intervalo abierto (a, b). Tal que

(1) La ecuacin (1) tambin se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a). Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en

Donde z esta entre a y b. esta es la conclusin del teorema del valor medio. La demostracin del teorema 1 se presentara ms adelante. Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la frmula de Taylor:

(2) Donde z esta entre a y x. La condicin en la que se cumple (2) es que y sus primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n + 1 )-esima derivada de exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. La frmula (2) puede escribirse como: Contina. (3) Donde

(4) Y

Donde z esta entre a y x (5)

4

Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-simo grado de la funcin en el nmero a, y Rn(x) se llama residuo. El termino Rn(x), dado en (5), se denomina forma de lagrange del residuo, llamada as en honor al matemtico francs joseph l. lagrange (1736-1813). El caso especial de la frmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 en (2) es

Donde z esta entre 0 y x. esta frmula recibe el nombre de frmula de maclaurin, en honor al matemtico escocs colin maclaurin (1698-1746). Coln maclaurin Sin embargo, la frmula fue obtenida por Taylor y por otro matemtico ingls, james stirling (1692-1770). El polinomio de maclaurin de n-esimo grado para una funcin , obtenido a partir de (4) con a = 0, es

(6) De este modo, una funcin puede aproximarse por medio de un polinomio de Taylor en un nmero a o por un polinomio de maclaurin. Ejemplos: Ilustrativo 1 Se calculara el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la funcin exponencial natural. Si (x) = , entonces todas las derivadas de en x son iguales a evaluadas en cero son 1. Por tanto, de (6), y las derivadas

As, los primeros cuatro polinomios de maclaurion de la funcin exponencial natural son

5

Las figuras 1 a 4 muestran la grfica de (x) = junto con las grficas de P0(x), P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en el rectngulo de inspeccin de [-3, 3] por [0, 4]. En la figura 5 se muestran las grficas de los cuatro polinomios de maclaurin y la grfica de (x) = aproximan en el mismo sistema coordenado. Observe como los polinomios para valores de x cercarnos a cero, y note que conforme n se

incrementa, la aproximacin mejora. Las tablas 1 y 2 proporcionan los valores de , Pn(x) (cuando n es igual a 0, 1, 2 y 3) y - Pn(x) para x = 0.4 y x = 0.2, respectivamente. Observe que con estos dos valores de x, a medida que x est ms cerca de 0, es mejor la aproximacin para un Pn(x) especifico. n 0 1 2 3 n 0 1 2 3 e0.4 1.4918 1.4918 1.4918 1.4918 e0.2 1.2214 1.2214 1.2214 1.2214 Pn(0.4) 1 1.4 1.48 1.4907 Pn(0.2) 1 1.2 1.22 1.2213 e0.4 Pn(0.4) 0.4918 0.0918 0.0118 0.0011 e0.2 Pn(0.2) 0.2214 0.0214 0.0014 0.0001

De (5), la forma de lagrange del residuo, cuando Pn(x) es el polinomio de maclaurin de nesimo grado para la funcin exponencial natural, es Continua.

6

donde z esta entre 0 y x (8) en particular, si P (x) se emplea para aproximar , entonces

Donde z esta entre 0 y x y

figuras del 1 al 4 muestran Graficas.

7

Funciones Tubulares. Si se considera la funcin y=f(x) definida en forma tabular, parecida a la presentada en la Tabla 5.1, pero sin que los valores de la variable independiente tengan paso constante, puede escribirse un polinomio de grado n-simo que pase por todos los (n+1) puntos definidos de la funcin. [pic] Los coeficientes ah pueden determinarse fcilmente si se utilizan las diferencias divididas de los valores tabulados. La diferencia dividida de orden cero se define como: [pic] esta diferencia se puede denotar tambin como yr bien fr. La diferencia de primer orden o diferencia de orden uno es igual a: [pic] Las diferencias de orden superior se definen en trminos de diferencias de orden inferior, por ejemplo una diferencia de orden n se define como: [pic] Una vez definidas las diferencias, los coeficientes se determinan como sigue: [pic] Por lo tanto si se reemplaza en el polinomio [pic] Este polinomio se conoce como polinomio de interpolacin con diferencias divididas de Newton.

8

Diferencia Finita.

El mtodo de diferencias finitas es una clsica aproximacin para encontrar la solucin numrica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemtico de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con sta aproximacin porque tal conocimiento reforzar la comprensin de los procedimientos de elementos finitos. Bsicamente, en una solucin por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fcilmente resoluble por medios comunes. Un uso importante de diferencias finitas est en el anlisis numrico, especialmente en las ecuaciones diferenciales ordinarias numricas y las ecuaciones diferenciales parciales numricas, que tienen como objetivo la solucin numrica las ecuaciones diferenciales parciales ordinarias de y respectivamente. La idea es substituir los derivados que aparecen en la ecuacin diferencial por las diferencias finitas que las aproximan. El clculo de las diferencias finitas permite encontrar el grado del polinomio por el cual puede describirse una funcin tabular. Dada la funcin y=f(x) definida en forma tabular como la que se presenta en la Tabla , y suponiendo que los valores de la variable independiente xn, estn igualmente espaciados entre s, es decir que el incremento o paso es igual a un valor constante denominado h. xy x0 y0 x1= x0+h y1 x2= x0+2h y2 x3= x0+3h y3 xn= x0+nh yn

9

Interpolacin con incrementos Interpolacin de Newton

constantes

e

Si se desea encontrar un valor incluido entre dos valores consecutivos de una funcin tabular puede utilizarse la interpolacin de Newton. Dada la funcin y = f(x), definida en la tabla anterior, para encontrar un valor de x incluido entre dos valores consecutivos de la tabla mencionada, x k < x< x k+1, se supone que la funcin f(x) se aproxima a un polinomio Pn(x) de grado n, que pasa por todos los puntos que definen a la funcin (puesto que la diferencia de orden n es aproximadamente constante). Recordando la definicin de diferencias pueden calcularse los valores de la variable dependiente y en funcin de estas diferencias como se indica a continuacin:

En estas expresiones puede verse que aparecen las primeras de las distintas diferencias de rdenes sucesivos a partir de y0, afectadas por los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Suponiendo que esto es verdadero para cualquier valor de y, puede establecerse que:

Esta frmula es verdadera para todo valor entero positivo de k, se denomina frmula de interpolacin de Newton y es aplicable para

10

cualquier valor de xk correspondiente o no a la tabla. En esta frmula, yk es un valor aproximado (interpolado) de la funcin obtenida para x = xk; y0 es el valor inicial de y, el cual se considera inmediato al valor que se trata de interpolar; y0, 2y0, 3y0, 4y0, , son las diferencias hacia adelante de rdenes sucesivas correspondientes a y0; y k se determina como sigue:

- Por ejemplo si se desea encontrar el valor de la variable independiente para x=6,2 de la funcin definida por la tabla

11

Se calculan las diferencias hacia adelante:

Como puede observarse las diferencias de orden 3 terceras diferencias se mantienen constantes, por lo tanto la funcin puede describirse por un polinomio de tercer grado. Se aplica la frmula para encontrar el valor deseado:

O bien puede resolverse el problema encontrando el polinomio de interpolacin de Newton, para ello se calculan las diferencias divididas hasta el orden quinto, es decir:

El polinomio interpolador es un polinomio de quinto grado: Por lo tanto si x=6,2, se reemplaza en el polinomio de Newton y el valor de la variable dependiente es: 61,1.

12

Extrapolacin de Newton o Interpolacin InversaEl problema de interpolacin inversa consiste en determinar el valor de la variable independiente x conocido el valor de la funcin f(x). Se resuelve utilizando la frmula de interpolacin de LaGrange y formando una tabla con los valores de la variable dependiente como valores de x y los de la independiente como los de y. Practica f Consideremos los datos correspondientes a puntos de la grfica de la funcin y = x3: x= [0 1 2 3 4] y= [0 1 8 27 64] y supongamos que a partir de dichos datos deseamos realizar una interpolacin para calcular el valor de 3 20. Dicha interpolacin deber ser inversa ya que nosotros conocemos y0 = 20 y nuestro deseo es conocer el x0 que lo produce. La interpolacin inversa o extrapolacin consiste entonces en expresar la x en funcin de la y. En nuestro caso y usando la expresin de LaGrange del polinomio interpolador.

13

Interpolacin con incrementos variables e Interpolacin de LaGrangeEste mtodo se utiliza para funciones tabulares en las cuales los valores de x no son equidistantes. Para realizar la interpolacin, se busca un polinomio que pase por todos los puntos. Si se tienen n puntos el polinomio debe ser de grado n-1, o sea:

Este polinomio puede escribirse en la forma: El grado del polinomio es n-1. Los coeficientes A0, A1, A2, An se determinan de manera que la grfica del polinomio pase por todos los puntos especificados. Si x = xn, se tiene y = yn, entonces reemplazando en la frmula para llegar a que:

y despejando el coeficiente An:

Frmula de interpolacin de LaGrange:

Esta frmula suele expresarse tambin como:

14

La frmula de error para el polinomio de LaGrange de grado n-1es:

- Por ejemplo si se deseara encontrar el valor de la funcin tabular dada por la tabla para x=4 aplicando la interpolacin de LaGrange:

Se utiliza interpolacin de orden 2 puesto que se tiene 3 puntos definidos:

Reemplazando por los valores correspondientes:

15

Programacin de Mtodos de la Interpolacin

En el subcampo matemtico del anlisis numrico, se denomina interpolacin a la construccin de nuevos puntos dados partiendo del conocimiento de un conjunto de puntos dados discretos. Est se utiliza para introducir datos dentro de una grfica ya obtenida. En ingeniera y ciencias es frecuente disponer de un cierto nmero de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un muestreo o experimento y pretender construir una funcin que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolacin es la aproximacin de una funcin complicada por una ms simple. Si tenemos una funcin cuyo clculo resulta costoso, podemos partir de un cierto nmero de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una funcin ms simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la funcin obtenida que si evalusemos la funcin original, si bien dependiendo de las caractersticas del problema y del mtodo de interpolacin usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata, a partir de n puntos distintos xk llamados nodos de obtener una funcin f que verifique A la que se denomina funcin interpolante de dichos puntos. Algunas formas de interpolacin que se utilizan con frecuencia son la interpolacin lineal, la interpolacin polinmica, de la cual la anterior es un caso particular, o la interpolacin por medio de splines.spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representacin y la facilidad de cmputo de los splines los hacen populares para la representacin de curvas en informtica, particularmente en el terreno de los grficos por ordenador.Un tipo de Splinne o una curva de Bzier

16

Aproximacin Polinomial Simple Para obtener los (n+1) coeficientes del polinomio de grado n (n>0) que pasa por (n+1) puntos, proporcionar los DATOS: El grado del polinomio N, y las N+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., N). Los coeficientes A(0), A(1), ..., A(N) del polinomio de aproximacin.

RESULTADOS:

PASO 1.PASO 2.-

Hacer I = 0 Mientras I N, repetir los pasos 3 a 9. PASO 3.PASO 4.PASO 5.Hacer B(I, 0) = 1 Hacer J = 1 Mientras J N, repetir los pasos 6 y 7. PASO 6.- Hacer B(I, J)) = B(I, J-1) * X(I) PASO 7.- Hacer J = J + 1 PASO 8.PASO 9.Hacer B(I, N+I) = FX(I) Hacer I = I + 1.

PASO 10.PASO 11.-

Resolver el sistema de ecuaciones lineales B a = fx de orden N+1 con alguno de losalgoritmos del captulo 3. IMPRIMIR A(0), A(1), ..., A(N) y TERMINAR

Interpolacin con Polinomios de LaGrange Para interpolar con polinomios de LaGrange de grado N, proporcionar los DATOS: RESULTADOS: El grado del polinomio N, y las N+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., N) y el valor para el que se desea la interpolacin XINT. La aproximacin FXINT, el valor de la funcin en XINT.

17

PASO 1.PASO 2.PASO 3.-

Hacer FXINT = 0 Hacer I = 0 Mientras I N, repetir los pasos 4 a 10. PASO 4.PASO 5.PASO 6.Hacer L = 1 Hacer J = 0 Mientras J N, repetir los pasos 7 y 8. PASO 7.- Si I J Hacer L = L * (XINT - X(J)) / (X(I) - X(J)) PASO 8.- Hacer J = J + 1 PASO 9.PASO 10.Hacer FXINT = FXINT + L * FX(I) Hacer I = I + 1

PASO 11.-

IMPRIMIR FXINT y TERMINAR

Tabla de Diferencias Divididas Para obtener la tabla de diferencias divididas de una funcin dada en forma tabular, proporcionar los DATOS: RESULTADOS: PASO 1.PASO 2.PASO 3.Hacer N = M - 1 Hacer I = 0 Mientras I N-1, repetir los pasos 4 y 5. PASO 4.PASO 5.PASO 6.PASO 7.Hacer J = 1 Mientras J N-1, repetir los pasos 8 a 12. PASO 8.PASO 9.Hacer I = J Mientras I N-1, repetir los pasos 10 y 11. PASO 10.- Hacer T(I, J) = (T(I, J-1) - T(I-1, J-1)) / (X(I+1) - X(I - J)) PASO 11.- Hacer I = I + 1 Hacer T(I, 0) = (FX(I+1) - FX(I)) / (X(I+1) - X(I)) Hacer I = I + 1 El nmero de parejas M, y las parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., M-1). La tabla de diferencias divididas T.

18

PASO 12.PASO 13.-

Hacer J = J + 1

IMPRIMIR T y TERMINAR

Interpolacin Polinomial de Newton Para interpolar con polinomios de Newton en diferencias divididas de grado N, proporcionar los DATOS: RESULTADOS: PASO 1.PASO 2.PASO 3.PASO 4.Hacer FXINT = 0 Hacer I = 0 Mientras I N-1, repetir los pasos 5 a 11. PASO 5.PASO 6.PASO 7.Hacer P = 1 Hacer J = 0 Mientras J I, repetir los pasos 8 y 9. PASO 8.- Hacer P = P * (XINT - X(J)) PASO 9.- Hacer I = J + 1 PASO 10.PASO 11.PASO 12.Hacer FXINT = FXINT + T(I, J) * P Hacer I = I + 1 El grado del polinomio N, las N+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., N) y el valor para el que se desea interpolar. La aproximacin FXINT al valor de la funcin en XINT.

Realizar los pasos 2 a 12 del algoritmo 5.3.

IMPRIMIR FXINT y TERMINAR

Aproximacin con Mnimos Cuadrados Para obtener los N+1 coeficientes del polinomio ptimo de grado N que pasa por entre M parejas de puntos, proporcionar los DATOS: El grado del polinomio de aproximacin N, el nmero de parejas de valores M y las M+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I= 1, 2, ..., M). Los coeficientes A(0), A(1), ..., A(N) del polinomio de aproximacin.

RESULTADOS:

19

PASO 1.PASO 2.-

Hacer J = 0 Mientras J (2*N-1), repetir los pasos 3 a 5. PASO 3.PASO 4.PASO 5.Si J Hacer SS(J) = 0. De otro modo continuar Hacer S(J) = 0 Hacer J = J + 1

PASO 6.PASO 7.-

Hacer I = 1 Mientras I M, repetir los pasos 8 a 15. PASO 8.PASO 9.PASO 10.Hacer XX = 1 Hacer J = 0 Mientras J (2*N-1), repetir los pasos 11 a 14. PASO 11.- Si J Hacer SS(J) = SS(J) + XX * FX(I). De otro modo continuar PASO 12.- Hacer XX = XX * X(I) PASO 13.- Hacer S(J) = S(J) + XX PASO 14.- Hacer J = J + 1 PASO 15.Hacer I = I + 1

PASO 16.PASO 17.PASO 18.-

Hacer B(0, 0) = M Hacer I = 0 Mientras I N, repetir los pasos 19 a 24. PASO 19.PASO 20.Hacer J = 0 Mientras J N, repetir los pasos 21 y 22. PASO 21.- Si I 0 y J 0 Hacer B(I, J) = S(J - 1 + I) PASO 22.- Hacer J = J + 1 PASO 23.PASO 24.Hacer B(I, N+1) = SS(I) Hacer I = I + 1

PASO 25.PASO 12.-

Resolver el sistema de ecuaciones lineales B a = ss de orden N + 1 con alguno de los algoritmos del captulo 3. IMPRIMIR A(0), A(1), ..., A(N) y TERMINAR

20

Aproximacin Funcional e Interpolacin

A continuacin se presentan las presiones de vapor del cloruro de magnesio: Puntos P (mm Hg) T C 0 10 930 1 20 988 2 40 1050 3 60 1088 4 100 1142 5 200 1316 6 400 1223 7 700 1418

Calcule la presin de vapor correspondiente a T = 1000 C. SOLUCIN A continuacin se muestra la forma de resolver este ejemplo con Mathcad. Para el clculo de Pint se aplica el mtodo de LaGrange. El ltimo rengln de la figura muestra la forma de usar la interpolacin con spline cbico (vea Seccin 5.7 Aproximacin Polinomial Segmentaria en el libro).

21

La siguiente tabla muestra las viscosidades del isopentano a 59 F y a diferentes presiones. Presin (psia) 426.690 483.297 497.805 568.920 995.610 1422.300 2133.450 3555.750 2466.900 7111.500 Viscosidad (centipoisese) 2468 2482 2483 2498 2584 2672 2811 3094 3236 3807

Elabore un programa para aproximar el valor de la viscosidad a las presiones de 355.575, 711.150, 2844.600, 5689.200 y 8533.801 psia, utilizando la aproximacin cbica segmentaria de Bessel. SOLUCIN

22

El calor especfico Cp (cal/K gmol) del Mn3O4 vara con la temperatura de acuerdo con la siguiente tabla: T (K) Cp (cal/K gmol) 280 32.7 650 45.4 1000 52.15 1200 53.7 1500 52.9 1700 50.3

Aproxime esta informacin con un polinomio por el mtodo de mnimos cuadrados. Ejemplo 5.17 Use la aproximacin polinomial de segundo grado obtenida en el ejemplo anterior para aproximar el calor especfico del Mn3O4 a una temperatura de 800 K. SOLUCIN

Dada la tabla Puntos xi f(xi ) 0 1.00 0.00000 1 1.35 0.30010 2 1.70 0.53063 3 1.90 0.64185 4 3.00 1.09861

Construya una tabla de diferencias divididas para aproximar f(x) en x = 1.50; utilice un polinomio de Newton de segundo grado.

23

SOLUCIN

Elabore un programa para leer una tabla de m pares de valores e interpolar o extrapolar, utilizando el polinomio de Newton de Grado n en diferencias divididas. Pruebe este programa con los datos del ejemplo 5.1.

24

SOLUCIN

Elabore un programa que lea una tabla de m (seleccionado por el usuario) pares de valores, y que interpole o extrapole con el polinomio de LaGrange de grado m-1.

25

SOLUCIN

Para calibrar un medidor de orificio se miden la velocidad v de un fluido y la cada de presin P. Los datos experimentales se dan a continuacin y se buscan los mejores parmetros a y b de la ecuacin que represente estos datos: v = a ( P )b donde v = velocidad promedio (pies/s)

P = cada de presin (mm Hg).i vi 1 3.83 30.0 2 4.17 35.5 3 4.97 50.5 4 6.06 75.0 5 6.71 92.0 6 7.17 105.0 7 7.51 115.0 8 7.98 130.0 9 8.67 153.5 10 9.39 180.0 11 9.89 109.5

Pi

26

SOLUCIN

En este caso se obtiene tambin la grfica de dispersin de los datos experimentales (crculos azules) y la grfica de los valores calculados de la velocidad vc para los valores experimentales de P (lnea negra). A continuacin se presentan las presiones de vapor del cloruro de magnesio: Puntos P (mm Hg) T C 0 10 930 1 20 988 2 40 1050 3 60 1088 4 100 1142 5 200 1316 6 400 1223 7 700 1418

Calcule la presin de vapor correspondiente a T = 1000 C.

27

SOLUCIN A continuacin se muestra el guin de Matlab. Para resolver este ejemplo.

Que al ser ejecutado produce:

La funcin interp1(T,P,Tint) realiza la interpolacin lineal, mientras que interp1(T,P,Tint,'spline') realiza una interpolacin con spline cbico. La siguiente tabla muestra las viscosidades del isopentano a 59 F y a diferentes presiones. Presin (psia) 426.690 483.297 497.805 568.920 995.610 1422.300 2133.450 3555.750 2466.900 7111.500 Viscosidad (centipoisese) 2468 2482 2483 2498 2584 2672 2811 3094 3236 3807

28

Elabore un programa para aproximar el valor de la viscosidad a las presiones de 355.575, 711.150, 2844.600, 5689.200 y 8533.801 psia, utilizando la aproximacin cbica segmentaria de Bessel. SOLUCIN

Ejemplo 5.16 El calor especfico Cp (cal/K gmol) del Mn3O4 vara con la temperatura de acuerdo con la siguiente tabla: T (K) Cp (cal/K gmol) 280 32.7 650 45.4 1000 52.15 1200 53.7 1500 52.9 1700 50.3

Aproxime esta informacin con un polinomio por el mtodo de mnimos cuadrados. Ejemplo 5.17 Use la aproximacin polinomial de segundo grado obtenida en el ejemplo anterior para aproximar el calor especfico del Mn3O4 a una temperatura de 800 K.

29

SOLUCIN El siguiente guin de Matlab genera los coeficientes de un polinomio de regresin de segundo grado y realiza la interpolacin (observe el orden de los coeficientes dados por Matlab).

Al ejecutarlo se obtiene:

Dada la tabla Puntos xi f(xi ) 0 1.00 0.00000 1 1.35 0.30010 2 1.70 0.53063 3 1.90 0.64185 4 3.00 1.09861

Construya una tabla de diferencias divididas para aproximar f(x) en x = 1.50; utilice un polinomio de Newton de segundo grado.

30

SOLUCIN

Elabore un programa para leer una tabla de m pares de valores e interpolar o extrapolar, utilizando el polinomio de Newton de Grado n en diferencias divididas. Pruebe este programa con los datos del ejemplo 5.1.

31

SOLUCIN A continuacin se muestra el guin de Matlab para este ejercicio. Este guin lee el nmero de pares de valores (M); el grado del polinomio interpolante N lo hace N = M; el argumento en que se desea interpolar (Xint; y los pares de valores (X(1),FX(1), X(2), FX(2), ..., X(M),FX(M)).

Al ejecutarlo con los datos del ejemplo 5.1 se obtiene:

32

Elabore un programa que lea una tabla de m (seleccionado por el usuario) pares de valores, y que interpole o extrapole con el polinomio de Lagrange de grado m-1. SOLUCIN A continuacin se muestra el guin de Matlab para este ejercicio.

Al ejecutarlo con los datos del ejemplo 5.1 se obtiene:

Para calibrar un medidor de orificio se miden la velocidad v de un fluido y la cada de presin P. Los datos experimentales se dan a continuacin y se buscan los mejores parmetros a y b de la ecuacin que represente estos datos:

33

v = a ( P )b donde v = velocidad promedio (pies/s)

P = cada de presin (mm Hg).i vi 1 3.83 30.0 2 4.17 35.5 3 4.97 50.5 4 6.06 75.0 5 6.71 92.0 6 7.17 105.0 7 7.51 115.0 8 7.98 130.0 9 8.67 153.5 10 9.39 180.0 11 9.89 109.5

Pi

SOLUCIN A continuacin se muestra el guin de Matlab que resuelve este ejercicio (vea detalles en el libro).

Al ejecutarlo con los datos del ejemplo 5.1 se obtiene:

34

En este caso se obtiene tambin la grfica de dispersin de los datos experimantales (crculos azules) y la grfica de los valores calculados de la velocidad vc para los valores experimentales de P (lnea negra).

35

Resumenen este trabajo se llega a la conclusin de que las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, son parte importante del clculo, ya que con ellas se pueden llegar a resultados precisos en cuanto con operaciones aritmticas no se pueden llegar, hablando de aproximaciones polinomiales vemos que son una forma de saber cmo determinar las funciones logartmicas, exponenciales y trigonomtricas, ya que algunas veces no pueden evaluarse fcilmente dentro del contexto de la aritmtica, tanto as que es necesario tener la mente abierta y receptiva a nuevos conceptos de poder calcular determinado resultado que buscamos. En las sucesiones vemos que son conceptos vistos anteriormente en el lgebra, ya que con las sucesiones podemos enlistar un determinado conjunto de nmeros en orden lgico, y as poder encontrar el resultado que buscamos, en las series infinitas vemos que son las sumas parciales de las sucesiones ya que con la cual tambin son parte esencial en la bsqueda de dicho resultado parametrito establecido con anterioridad en un orden lgico. Gracias.

36

BibliografaCLCULO INTEGRAL. P. Puig Adams CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Piskunov CLCULO SUPERIOR. Murray R. Spiegel CLCULO. F. Granero Rodrguez. PROBLEMAS DE CALCULO INTEGRAL. R.A.E.C. CLCULO Y GEOMETRA ANALTICA. Larson CLCULO Y GEOMETRA ANALTICA. Stein. CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Granville. CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Ayres CALCULO PURCELL E. CALCULUS LARSON R CALCULO STEINS CALCULO THOMAS CALCULUS SMITH E. CALCULO ZILL D. CALCULO BOYLE W. CALCULO GRANVILLE N CALCULO EDWARDS CALCULO HOFFMANN

37