Jan 23, 2016
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
Quantum physicsS. Gasiorowicz
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
(0) (1)
(1) (0) (0)
donde
| |
n n n
n
E E
n V n
0 0 00
ˆnH n E n
0
ˆ
ˆ ˆ
nH n E n
H H V
2ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ;
2p
H V r L r pm
2
2
, 0
, 0
, 0
z
z
H L
H L
L L
2 2
ˆ
ˆ 1
ˆ
z nlm nlm
nlm nlm
nlm n nlm
L m
L l l
H E
4 2
2 2 1, 2,3...
2R
n
m e ZE n
n
, , ,
1, 2,3...; 1;
mnlm nl lr R r Y
n l n m l
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida
2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón
4. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano
Energía de Bohr
Estructura fina
Corrimiento Lamb
Estructura hiperfina
4 2mc5 2mc
2 2mc
4 2
p
mmc
m
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
2Constante de estructura fina: / 1 / 137e c
2
2 2 2 4 2
Energía cinética clásica: 2
Energía cinética relativista:
pT
m
T p c m c mc
2
2 2 2 4 2
Energía cinética clásica: 2
Energía cinética relativista:
pT
m
T p c m c mc
22 2 2 4 2 2
2 42
2 4
3 2
1 1
1 11 ... 1
2 8
...2 8
pT p c m c mc mc
mc
p pmc
mc mc
p p
m m c
2 4 2
3 2
0
2 2 4
0 3 2
Por tanto el hamiltoniano relativista será,
en primera aproximación,
ˆ2 8
Escrito de otra manera
ˆ ˆ
donde
ˆ 2 8
p p ZeH
m m c r
H H V
p Ze pH y V
m r m c
22
3 2
Usamos ahora teoría de perturbaciones
independientes del tiempo para resolver
el problema con el potencial de perturbación
ˆ1
8 R
pV
m c
222 2
0 3 2
ˆ1ˆ ; 2 8R R
pp ZeH V
m r m c
2 22 2
3 2 2
2 2
0 02
Lo escribimos como
ˆ ˆ1 1
8 2 2
1
2
R R R
R
p pV
m c m c m
Ze ZeH H
m c r r
22
3 2
ˆ1
8 R
pV
m c
2 2
0 02
2 2
2
2 2 42
2 2
1
2
1
2
12
2
R
n nR
n nR
Ze Zenlm V nlm nlm H H nlm
m c r r
Ze Zenlm E E nlm
m c r r
Ze Z enlm E E nlm
m c r r
2 2 42
2 2R
2 2 2 42 2
R
1 2 2 2 42 2
R
12
2
1 1 12
2
Por tanto,
1 1 12
2
n n
n n
nlm n n
Ze Z enlm E E nlm
m c r r
E Ze nlm nlm E Z e nlm nlmm c r r
E E Ze nlm nlm E Z e nlm nlmm c r r
2
2 2 3
2
2
Tenemos
1 1 1
y
1 1 1
1/ 2
donde
R
nlm nlmr a n
nlm nlmr a n l
am Ze
1 2 2 2 42 2
R
2 2 2 3
1 1 12
2
1 1 1 1 1 1 y
1/ 2
nlm n nE E Ze nlm nlm E Z e nlm nlmm c r r
nlm nlm nlm nlmr a n r a n l
1 2 2 2 4
2 2 2 3R
1 1 1 1 12
2 1/ 2nlm n nE E Ze E Z em c a n a n l
1 2 2 2 4
2 2 2 3R
1 1 1 1 12
2 1/ 2nlm n nE E Ze E Z em c a n a n l
2
22 2
1 2Como
2
se tiene
n n
e ZE n E
a n a Ze
21 2 2 2 2 4 2
2 2 2 2 3R
222 2 2 4 2
2 2 2 2 3R
2 2
2 2R R
1 2 2 12
2 1/ 2
2 1 2 11 2
2 1/ 2
4 41 4 3
2 1/ 2 2 1/ 2
nnlm n n n
n
n n
EE E Ze n E Z e n E
m c Ze n Ze n l
EZe n Z e n
m c Ze n Ze n l
E En n
m c l m c l
6 2R
52 6
R
Tenemos que
13.6 eV ; 5.11 10 eV /
así que
13.6 eV10
5.11 10 eV
n
n
E m c
E
m c
1
2R
1 43
2 1/ 2n
nlm n
E nE E
m c l
2
rel 2R
43
2 1/ 2nE n
Em c l
rel
Destruye la degeneración accidental del caso coulombiano.
0 para todo y
Dado , cuanto menor es el valor de mayor es la corrección relativista
La corrección es más importante para los nivel
E n l
n l
25
rel 2
es 1s y 2s
110
40.001%, pero detectable
vE E E
c
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida
2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón
Cuando se aplica un campo magnético externo al átomo de hidrógeno (y a todos los átomos), líneas espectrales bien definidas se desdoblan en múltiples líneas cercanamente espaciadas.
Se debe a la interacción del campo magnético externo con el momento dipolar magnético asociado con el momento angular orbital.
Quantum Mechanics I. A. Galindo y P Pascual
Si tenemos una distribución de
corrientes , se define el
momento magnético
12
J
r JdVc
Jackson. Classical electrodynamics. Primera edicion Wiley 1962, capítulo 5
1 12 2
1 1 12 2 2
i i ii
i i i i i ii i
i ii i i i i i
i ii i i
J v q r r v
r q r r v dV q r r r v dVc c
q qq r v r p L
c c m c m
12
r JdVc
B
B B
En el caso del electrón
2donde hemos introducido el magnetón de Bohr
2 2
y
1
l
l
e LL gmc
e emc m
g
12
ii
ii
qL
c m
B
B
Dado que la energía de interacción
está dada como (Jackson)
tenemos
ˆy si entonces
l
z
lz
U B
gU L B
B B k
gU BL
B B B 2 2 2l
e L e eL gmc mc m
(0) (1)
(1) (0) (0)
donde
| |
n n n
n
E E
n V n
0 0 00
ˆnH n E n
0
ˆ
ˆ ˆ
nH n E n
H H V
B
B
BB
ln z
lz
ll
gE nlm BL nlm
gB nlm L nlm
gBm g mB
Blz
gV BL
BnE m B
L
Introduciendo la frecuencia de Larmor
2 R
eBm c
LnE m
BB B ; l
l n z
gV g mB E nlm BL nlm m B
4 14
1 0
EE B J
c c t
BE B
c t
qF qE v B
c
E B A
2
y
1
2
qU q r A r v
c
qL T U mv A v q
c
4 14
1 0
EE B J
c c t
BE B
c t
qF qE v B
c
E B A
qU q r A r v
c
xx
x x x x x x xx y z
x x xx x y z
dAq qF q v A
c dt x c xdA A A A A A Adx dy dz
v v vdt x dt y dt z dt x y z
A A Aq qF v v v q v A
c x y z x c x
q qF v A q v A
c c
q
v A
F
v
v
A
qc
v A
A
qF qE v B
c
jj j
d U UF
dt q q
qF qE v B
c
E B A
4 14
1 0
EE B J
c c t
BE B
c t
21
2
qL T U mv A v q
c
2
En el caso del campo electromagnético
el hamiltoniano que se obtiene haciendo
la transformación de Legendre
2
qp A
cH q
m
2
1 ˆˆ ,2
eH p A r t e r
m c
2
2La fuerza de Lorentz: , ,
d r vm e E r t B r t
dt c
Las ecuaciones de Hamilton: k kk k
H Hq p
p q
2
0
ˆ
2
p
mH
ˆˆ ˆ ( , )e
p p A r tc
22
0
ˆ 1 ˆˆ ,2 2
p ep A r t e r
m m c
H H
2
1 ˆˆ ,2 R
eH p A r t e r
m c
2
2 22 2
2
1 ˆ ˆ ˆˆ ,2
ˆ ˆ ˆ2 2 2
R
R R R R
e e ep A r t i A i A
m c c c
ie ie eA A A
m m c m c m c
2 22 2
2
ˆ2
ˆ ˆ2 2R R RR
ieieA
eA A
m m cm c m c
2
2
´
´
´ 0
B A
A A
A A
A A
2 22 2
2
ˆ2
ˆ ˆ2 2R R RR
ieieA
eA A
m m cm c m c
0A
2 22 2
2
ˆ ˆ2 2R R R
ie eH A A
m m c m c
Si tenemos un campo magnético
uniforme, entonces podemos poner
12
A B r
12
A B r
Como
tenemos
12
C D C D D C D C C D
A B r B r r B r B B r
12
A B r
A B r r B r B B r
0 0 3 B r Br B r B
, , , ,
3
r x y zx y z
yx zx y z
12
A B r
A B r r B r B B r
0 3 0 r B B r BBr
Ecuaciones de Maxwell.
No hay monopolos magnéticos.
12
A B r
A B r r B r B B r
3 0 0 r B B r Br B
El campo es uniforme
12
A B r
A B r r B r B B r
3 0 0 r B r B B r B
, ,x y z
x y z x
B r B B B x y zx y z
B B B x Bx y z
12
A B r
A B r r B r B B r
3 0 0 r B r B B r B
1 32
A B B B
2 22 2
2
ˆ ˆ2 2RR R
eH
ieA A
c m cmm
12
ˆ ˆ2R R
A B r
ie ieA r Bm c m c
ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
A B C B C A C A B
i r B r B p B r p
r p B L B B L
Así que el segundo término del Hamiltoniano es
ˆ ˆ2R R
ie ieA r B
m c m c
ˆ ˆ ˆ ˆ2 2R R R
ie ie eA r B B L
m c m c m c
2 22 2
2
ˆ2 2
ˆ ˆ ˆ2
ˆ
R R
R R
R
eH A
ieA
m m c
ie eA B L
m c
m
m
c
c
2 22 2
2
ˆˆ ˆ2 2 2R R R
e eH B L A
m m c m c
2 2 22
2 2
El tercer término del hamiltoniano
( es a lo largo de ) se puede
poner como:
ˆ ˆ2 8R R
B Z
e eA r B
m c m c
2 22
22 ˆ ˆ
2ˆ
22 RR R
eH B L
m cc
eA
m m
2
2 2 2
ˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ , ,0
0 0 1
ˆ
r B r Bk
i j k
x y z yi xj y x
r B B x y
2ˆr B
2 2 2 22
2 2 22 2 2
El tercer término del hamiltoniano
( es a lo largo de )
se puede poner como:
ˆ ˆ2 8 8R R R
B Z
e e e BA r B x y
m c m c m c
2 22
22 ˆ ˆ
2ˆ
22 RR R
eH B L
m cc
eA
m m
2 22 2
2
2 2 20
2 22 2 2 2 2 2
02
ˆ ˆComparemos los términos y :2 8
ˆTenemos que y que , así que
ˆ ˆ / 2 y 2
/ 88
R R
RR
RR
e e BB L x y
m c m c
L x y a
eB L e m c B
m c
e Bx y e m c a B
m c
2 2 2
2 2 22
ˆ ˆ2 2 8R R R
e e BH B L x y
m m c m c
2 2 2 2 203
2 2 92 0 0
Así que
/ 8 1 1
/ 2 4 / 548 / 9 10 Gaussr
r
e m c a BT e B B B
T e m c B c e a e a
2 2 2
2 2 22
ˆ ˆ2 2 8R R R
e e BH B L x y
m m c m c
4
53
2
Como normalmente 10 Gauss,
10
B
T
T
2 2 2 2 203
2 2 92 0 0
Así que
/ 8 1 1
/ 2 4 / 548 / 9 10 Gaussr
r
e m c a BT e B B B
T e m c B c e a e a
2 2 2
2 2 22
ˆ ˆ2 2 8R R R
e e BH B L x y
m m c m c
12
En las estrellas de neutrones, donde
10 Gauss
este término puede ser muy importante
B
22 9
0
Habiendo despreciado el tercer término, debemos ver
si el segundo puede ser tratado como una perturbación.
Tenemos
/ 2
Energia del potencial de Coulomb / 5 10 gauss
que en las condiciones nor
re m c BT B
e a
males es muy pequeño.
22 ˆ ˆ
2 2R R
eH B L
m m c
2
22
1 ˆˆ ,2
ˆ ˆ2 2R R
eH p A r t e r
m c
eH e r B L
m m c
Potencial perturbativo: 2 z
R
eV BL
m c
L
LIntroduciendo la frecuencia de Larmor 2
Escribimos el potencial perturbativo c ˆomo z
R
eB
m c
V L
LˆPotencial perturbativo: zV L
L
L
4 2
2 2 L
ˆTenemos que ,
ˆpor tanto,
y
2
nlm nlm
Rnm
V r m r
nlm V nlm m
m e ZE
nm
2
1
1,0,1
n
l
m
2,1, 1
2,1,0
2,1, 1
Cuando se aplica un campo magnético externo al átomo de hidrógeno (y a todos los átomos), líneas espectrales bien definidas se desdoblan en múltiples líneas cercanamente espaciadas.
Se debe a la interacción del campo magnético externo con el momento dipolar magnético asociado con el momento angular orbital.
2l
1l
0 02 L 1 L2 2
2 1
0 0L 2 1 0 L2 2 2 2
1 2 1 2
1 1
E EE m m
n n
E EE m m E m
n n n n
¿Por qué hay solo 3 líneas y no 15?
Por las reglas de selección:
1
0, 1
l
m
1
0, 1
l
m
2l
1l
0 L2 21 2
1 1E E m
n n
2
6. (El principio de la medición) Si el estado
de un sistema es
, ,
entonces la probabilidad que una medición
encuentre al sistema en el estado es
.
n nn
j
j j j
x t c x t
c c c
2 22
Por lo tanto,
,j j j jw c
Atomo con momento dipolar eléctrico:
Regla de selección para el átomo hidrogenoide:
0
si entero arbitrario, 1, 0, 1
i id e r
n l m r nlm
n l m
Quantum Mechanics I. A. Galindo y P Pascual
1
2
2 1
5890 A
5896 A
p s
Bbar
0
2 2e
Nj L L Nj
e eN Ng j g L g L
mc mc
Energía de interacción:
Torca:
Fuerza:
U B
B
F U B
( · ) ( · ) ( · ) ( ) ( ) AB A B B A A B B A
U B F U B B
( · ) ( · ) ( ) ( )
y por t
ˆˆ ˆ
, ,0 0
0 0
y
0,0,
ˆ0,0
anto
( · ) ( )
Tenemos
(
,
· )
x y z y z x z
z
x x y y z z z
x x z y y z z z z z z z
F B B B B B
F B B B
i j k
B B B
B
B B
B B B B k
U B F U B
B
Si el campo es homogéneo
y en la dirección ,
ˆz z z
Z
F B k
1
1,0, 1
l
m
ˆ ,1,1 ,1,1
ˆ ,1,0 0
ˆ ,1, 1 ,1, 1
z
z
z
L n n
L n
L n n