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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA
CONTROLE PREDITIVO NO-LINEAR PARA SISTEMAS
DE HAMMERSTEIN
Projeto de Tese de Doutorado submetido Universidade Federal de
Santa
Catarina como parte dos requisitos do Exame de Qualificao
Jos Eli Santos dos Santos
Orienta
dor: Antonio Augusto Rodrigues Coelho
Florianpolis, Agosto de 2003.
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RESUMO
As pesquisas associadas s estratgias de controle preditivo
no-linear tm
apresentado grande crescimento ultimamente registrando, tambm,
um nmero
considervel de aplicaes na indstria. Apesar disso, muitas
questes continuam em
aberto, principalmente, aquelas associadas estimao, adaptao,
robustez e a otimizao.
A representao de um processo complexo atravs de um modelo
no-linear, com o
objetivo de melhorar seu desempenho dinmico, tende a sacrificar
a simplicidade de
projeto do controlador preditivo. Visando aliar a capacidade de
representao da no-
linearidade de um processo com a simplicidade de projeto,
torna-se interessante a
utilizao de controladores preditivos baseados no modelo de
Hammerstein o qual
constitudo de um bloco esttico, no-linear, seguido de um bloco
linear dinmico. Esta
forma de representao permite que se mantenham algumas
caractersticas desejveis do
controlador preditivo baseado em modelos lineares como, por
exemplo, a convexidade do
problema de otimizao.
ii
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ABSTRACT
Nowadays, the researches associated with nonlinear predictive
control strategies
have increased and the control literature has been showing new
facts of industrial
applications. However, many questions remain open, such as the
problems related with
estimation, adaptation, robustness and optimization. The
representation of a complex
process by a nonlinear model, with aim at improving the dynamic
performance, can
deteriorate the simplicity of the predictive controller design.
In order to combine the
capacity of representation of the process nonlinearity with the
implementation simplicity, it
is interesting to use the Hammerstein model for designing
predictive controllers, where the
Hammerstein model is composed by a nonlinear static block
followed by a linear dynamic
block. This kind of representation can keep some design
characteristics presented by linear
model predictive controllers such as the convexity of the
optimization problem and the
short horizon of the input signal.
iii
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SUMRIO
1.
INTRODUO...................................................................................................................................02
1.1
OBJETIVOS..................................................................................................................
05
1.2 ESTRUTURA DO PROJETO DE TESE
..............................................................................
07
2. MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E
NO-LINEARES...................................08 2.1 INTRODUO
..............................................................................................................
08
2.2 MODELOS
LINEARES...................................................................................................
09
2.2.1 Modelos
Paramtricos........................................................................................
09
2.2.2 Modelos
No-Paramtricos................................................................................
10
2.3 MODELOS
NO-LINEARES..........................................................................................
15
2.3.1 Modelo
NCARMA...............................................................................................
16
2.3.2 Modelo de
Volterra.............................................................................................
17
2.3.3 Modelo
Bilinear..................................................................................................
19
2.3.4 Modelo de
Hammerstein.....................................................................................
20
2.3.5 Modelo de
Wiener...............................................................................................
24
2.4 COMPARAO ENTRE OS
MODELOS............................................................................
25
3. IDENTIFICAO DE SISTEMAS
NO-LINEARES............................................. 28 3.1
INTRODUO
..............................................................................................................
28
3.2 SELEO DO MODELO
................................................................................................
29
3.2.1 Deteco de
No-Linearidade............................................................................
30
3.3 SELEO DE
ESTRUTURA............................................................................................
34
3.3.1 Razo entre Determinantes para o Modelo de Hammerstein
............................ 35
3.4 ESTIMAO DE
PARMETROS.....................................................................................
40
3.4.1 Mtodo dos Mnimos Quadrados
.......................................................................
40
3.4.2 Mtodo do Erro de
Predio..............................................................................
43
3.4.3 Mtodo de Narendra
Gallman.........................................................................
44
iv
-
3.4.4 Mtodo de Boutayeb
...........................................................................................
46
3.4.5 Mtodo de
Bai.....................................................................................................
49
3.5 VALIDAO DO
MODELO............................................................................................
51
4. CONTROLE
PREDITIVO.............................................................................................................54
4.1 INTRODUO
..............................................................................................................
54
4.2 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO LINEAR
............................................. 56
4.2.1 Controle de Varincia Mnima Generalizada
(GMV)........................................ 57
4.2.2 Controle por Matriz Dinmica (DMC)
..............................................................
60
4.2.3 Controle Preditivo Generalizado
(GPC)............................................................
63
4.2.4 Abordagem Mean Level Control (MLC)
............................................................ 70
4.3 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO NO-LINEAR
..................................... 73
4.3.1 Controlador de Bars e
Haber.............................................................................
74
4.3.2 Controlador Preditivo Baseado num Modelo Quase-Linear
............................. 75
4.3.3 Controlador de Katende e Jutan
........................................................................
76
4.3.4 Controlador de Fruzzetti
....................................................................................
78
4.3.5 Multiplicidade de Solues para a Lei de Controle
........................................... 79
5. RESULTADOS DE SIMULAO
.............................................................................................83
5.1 INTRODUO
..............................................................................................................
83
5.2 IDENTIFICAO DE UM PROCESSO DO TIPO HAMMERSTEIN
........................................ 83
5.3 MULTIPLICIDADE DE SOLUES PARA A LEI DE CONTROLE
....................................... 85
5.4 CONTROLE DE UM SISTEMA DE HAMMERSTEIN
.......................................................... 88
5.5 REATOR DO TIPO CSTR
..............................................................................................
98
5.5.1 Identificao
.......................................................................................................
94
5.5.2 Controle Preditivo
..............................................................................................
95
6.
CRONOGRAMA................................................................................................................................98
REFERNCIAS
BIBLIOGRFICAS..........................................................................................101
v
-
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 Seleo do Modelo: Paramtrico X No-Paramtrico.
................................... 15
Tabela 2.2 Representao de NL com Estrutura
Conhecida............................................. 22
Tabela 2.3 Particularizaes do Modelo
NCARMA..........................................................
26
Tabela 2.4 Comparao da Complexidade dos Modelos.
................................................ 27
Tabela 3.1 Comportamento
No-Linear...........................................................................
31
Tabela 4.1 - Aplicaes Comerciais de
MPC......................................................................
57
Tabela 4.2 - Aplicaes Comerciais de NMPC.
..................................................................
73
Tabela 5.1 Comparao entre os Resultados de Identificao.
........................................ 85
Tabela 5.2 Desempenho das Tcnicas de Seleo de Razes.
.......................................... 88
Tabela 5.3 Comparao entre o Desempenho dos Controladores.
................................... 91
Tabela 5.4 Notao para o Reator CSTR.
.........................................................................
92
Tabela 5.5 Desempenho dos Controladores para o CSTR.
............................................... 97
Tabela 6.1 Atividades Previstas.
......................................................................................
98 Tabela 6.2 Cronograma de atividades.
.............................................................................
99
vi
-
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Publicaes sobre Controle Preditivo
No-Linear.......................................... 04 Figura 1.2
Esquema da Planta Solar de Refrigerao.
..................................................... 06
Figura 2.1 Coeficientes da Resposta Impulsiva.
..............................................................
11
Figura 2.2 Coeficientes da Resposta ao Degrau.
..............................................................
14
Figura 2.3 Modelo de Hammerstein.
................................................................................
20
Figura 2.4 Tipos Comuns de
No-Linearidades...............................................................
22
Figura 2.5 Estrutura de um modelo Hammerstein
Neural................................................ 23
Figura 2.6 Estrutura de um modelo Hammerstein Nebuloso.
.......................................... 23
Figura 2.7 Modelo de
Wiener...........................................................................................
24
Figura 2.8 Modelo
Wiener-Hammerstein.........................................................................
25
Figura 2.9 Relao entre os modelos no-lineares.
.......................................................... 26
Figura 3.1 Diagrama de Identificao.
.............................................................................
28
Figura 3.2 Diagrama para Seleo de Modelo.
................................................................
30
Figura 3.3 Teste de
Simetria.............................................................................................
32
Figura 3.4 Teste de Dependncia de Amplitude da Entrada.
........................................... 33
Figura 3.5 Teste de Entradas
Peridicas...........................................................................
34
Figura 3.6 Representao da NL do Exemplo 3.4.
........................................................... 37
Figura 3.7 Teste DR para o Exemplo 3.4.
........................................................................
38
Figura 3.8 Teste DR para o Exemplo 3.5.
........................................................................
39
Figura 3.9 No-Linearidade Tipo Saturao.
...................................................................
49
Figura 3.10 Funo de Autocorrelao de um Resduo Rudo Branco.
........................... 52
Figura 4.1 Estrutura de um Controlador
Preditivo...........................................................
55 Figura 4.2 Horizontes de Previso.
..................................................................................
56
vii
-
Figura 4.3 Estrutura do Controlador GMV.
......................................................................
59
Figura 4.4 Estrutura do Controlador
GPC........................................................................
68
Figura 4.5 Abordagem Mean Level Control.
...................................................................
70
Figura 4.6 Estrutura do Controlador de
Fruzzetti.............................................................
78
Figura 4.7 Seleo do Sinal de Controle.
.........................................................................
82
Figura 5.1 Ensaio em Malha Aberta para Identificao.
.................................................. 84
Figura 5.2 Comparao Sada Real x Estimada.
..............................................................
84
Figura 5.3 Controladores Preditivos com Sintonia: N2 = 5; Nu =
2; = 10..................... 86 Figura 5.4 Controladores Preditivos
com Sintonia: N2 = 5; Nu = 1; = 10..................... 87 Figura
5.5 Representao de um Trocador de Calor
Casco-Tubo.................................... 89
Figura 5.6 Funo Custo em Relao ao Horizonte de
Previso...................................... 89
Figura 5.7 Anlise de Seguimento de
Referncia.............................................................
90
Figura 5.8 Anlise de Rejeio de
Perturbao................................................................
90
Figura 5.9 Representao Esquemtica de um reator CSTR.
........................................... 92
Figura 5.10 Resposta do CSTR a Aplicao de um Degrau.
............................................ 93
Figura 5.11 Dados de Entrada-Sada do Processo para Estimao.
................................. 94
Figura 5.12 Comparao Resposta da Planta x Modelo
Estimado................................... 94
Figura 5.13 Comparao das Respostas para Validao.
................................................. 95
Figura 5.14 Anlise de Comportamento Servo para o CSTR.
.......................................... 96
Figura 5.15 Anlise de Comportamento Regulatrio para o
CSTR.................................. 96
viii
-
NOTAO
Smbolos
, passo de iterao , ( q1) u(t) = (1 q1)u(t) = u(t) u(t-1) (t),
(t) incerteza de modelagem, erro de medio, rudo , (t) vetor de
medidas (t) sada generalizada matriz de informao i elementos do
polinmio da no-linearidade , , ponderaes da sada, referncia e
controle, respectivamente (.) esperana matemtica , (t) vetor de
parmetros , (t) vetor de parmetros estimados parmetros da parcela
no-linear a, b parmetros da parcela linear
b + pseudo-inversa de b A(q-1), B(q-1) polinmios em q-1
d atraso de transporte no tempo discreto
e, e(t) erro de previso, erro de estimao
G matriz de coeficientes da resposta ao degrau
G(q-1) funo de transferncia discreta
gi elementos da resposta ao degrau
g(k) gradiente gs ganho esttico do processo
H(k) Hessiana
ix
-
hi, hij elementos da resposta impulsiva, kernels do modelo de
Volterra, elementos
do modelo NCARMA
I, In matriz identidade, matriz identidade n x n
J, V funo custo
k, a constantes
L atraso de transporte no tempo contnuo
l, m grau da no-linearidade, ordem do modelo
N1, N2 horizonte de previso da sada, inicial e final,
respectivamente
Nu horizonte de controle
N nmero de termos de uma srie, nmero de medidas
N(.) no-linearidade
na, nb ordem dos polinmios A(q-1), B(q-1), respectivamente
nu, ny nmero de termos das parcelas de u(t) e y(t) nos modelos,
respectivamente
q-1 operador atraso, q1u(t) = u(t-1)
R, S, T polinmios de um controlador com dois graus de liberdade,
estrutura RST
ree() funo de autocorrelao do erro de estimao t tempo, instante
de tempo
Ts perodo de amostragem
u, u(t) sinal de entrada, controle
W matriz de ponderaes
w, w(t) pseudo-entrada do sistema, entrada do bloco linear
x, x(t), v, v(t) pseudo-sada do sistema, sada do bloco
linear
Y vetor de sadas
y, y(t) sinal de sada y valor mdio da sada
y valor estimado para a sada
x
-
Abreviaturas
AIC Akaikes Information Criterion
ANN Artificial Neural Networks
CARIMA Controlled Auto-Regressive Integrated Moving Average
CARMA Controlled Auto-Regressive Moving Average
CSTR Continuous Stirred Tank Reactor
DMC Dynamic Matrix Control
DR Determinant Ratio
ERR Error Reduction Ratio
FIR Finite Impulsive Response
FPE Final Prediction Criterion
FSR Finite Step Response
GMV Generalized Minimum Variance
GPC Generalized Predictive Control
IIR Infinite Impulsive Response
ISR Infinite Step Response
MAC Model Algorithmic Control
MISO Multiple Input, Single Output
MLC Mean Level Control
MPC Model Predictive Control
MQ algoritmo dos mnimos quadrados
NARMAX Nonlinear Auto-Regressive Moving Average Model with
Exogenous Variables
NCARMA Nonlinear Controlled Auto-Regressive Moving Average
NL No-Linearidade
NGPC Nonlinear Generalized Predictive Control
NMPC Nonlinear Model Predictive Control
PI Controlador Proporcional + Integral
PRBS Pseudo-Random Binary Signal
SISO Single Input, Single Output
SSE Sum of Squared Error
xi
-
1. INTRODUO
Nos ltimos anos o controle de sistemas no-lineares tem recebido
considervel
ateno tanto no meio acadmico como no industrial. Este recente
interesse na anlise e
projeto de sistemas de controle no-linear devido ao desempenho
insatisfatrio de
controladores lineares quando aplicados a plantas com acentuada
no-linearidade ou
plantas no-lineares atuando sobre uma ampla faixa de operao alm
do grande
desenvolvimento de estratgias de controle baseado em modelo para
sistemas no-lineares
(Eskinat et al., 1991; Henson e Seborg, 1997; Hapoglu et al.,
2001).
Estas estratgias de controle de processos complexos utilizam o
modelo no-linear
diretamente no projeto do controlador sem a necessidade de
aplicar nenhum tipo de
linearizao em torno do ponto de operao (Henson e Seborg, 1997;
Hapoglu et al.,
2001).
Nas estratgias de controle no-linear convencionais o objetivo
fazer com que o
sistema em malha fechada comporte-se linearmente mantendo o
ganho constante. A
tcnica do ganho escalonado foi amplamente aplicada para
compensar as caractersticas
no-lineares dos processos. Nesta abordagem os parmetros do
controlador so ajustados
para compensar as no-linearidades conhecidas de maneira que o
ganho de malha seja
mantido to constante quanto possvel. Generalizando, o
controlador deve conter a inversa
da no-linearidade esttica do processo (Pearson e Ogunaike, 1997;
Rawlings, 2000).
Estratgias de controle baseadas em modelo para processos
no-lineares so,
tradicionalmente, baseadas na aplicao de uma linearizao local e
um projeto de
controlador baseado no modelo linearizado obtido.
Ultimamente, tem ressurgido o interesse no desenvolvimento de
novas estratgias
de identificao e controle para sistemas no-lineares motivadas
pelos avanos na teoria de
sistemas no-lineares, pelo desenvolvimento de eficientes mtodos
de identificao de
modelos no-lineares empricos e sua disponibilidade em pacotes
computacionais
-
CAPTULO 1 - INTRODUO 3
comerciais e pela melhoria contnua na capacidade de hardware e
software o que torna
possvel a utilizao de modelos no-lineares complexos nos sistemas
de controle de
processos.
O controle preditivo baseado em modelo tem-se apresentado
atualmente como uma
das mais populares e eficientes estratgias de controle na
indstria de processos. Isto
ocorre porque muitos dos aspectos fundamentais num projeto de
controle industrial prtico
podem ser explorados num controle preditivo baseado em modelo,
como a trajetria de
referncia futura, previso de perturbaes e a incluso de restries,
verificando assim a
flexibilidade de projeto desta tcnica de controle (Ogunnaike e
Ray, 1994; Scheffer-Dutra
et al., 2002).
A utilizao de modelos lineares numa aplicao de controle
preditivo bastante
comum pois alm da popularidade deste tipo de modelo, muitas
vezes, torna-se necessrio
o emprego de um modelo simplificado para possibilitar que todos
os clculos envolvidos
sejam realizados dentro do intervalo correspondente a um perodo
de amostragem
viabilizando, assim, o controle em tempo-real. Um modelo linear
possibilita, tambm
soluo analtica para o problema de minimizao da funo custo quando
no so
consideradas restries (Zambrano e Camacho, 2002; Nez-Reyes et
al., 2002).
As aplicaes bem sucedidas de sistemas de controle preditivo
baseados em
modelos lineares motivou a idia de que estes poderiam apresentar
desempenhos
superiores ainda se o modelo empregado pudesse representar o
processo de forma mais
eficiente. Ocorreu, ento, nos ltimos anos, um grande crescimento
nas aplicaes
industriais de controle preditivo no-linear visto que este se
apresenta como uma estratgia
de controle promissora para diversas reas da engenharia
(Giannakis e Serpedin, 2001).
Atualmente grande o interesse de diversos pesquisadores na rea
de controle
preditivo baseado em modelos no-lineares pois apresentam muitas
questes em aberto
relacionadas estimao, adaptao, robustez e, principalmente, ao
problema de
otimizao no-convexa (Mayne, 2000). Uma possvel soluo est no
emprego de
modelos no-lineares que aliem simplicidade com uma boa
capacidade de representao do
processo alm do aprofundamento de estudos relacionados a
preditores no-lineares
(McCannon, et al., 1982; Favier e Dubois, 1990). A Figura 1.1
apresenta o nmero de
trabalhos publicados anualmente em revistas e eventos associados
a Elsevier Science, IEE
(The Institution of Electrical Engineers) e IEEE (Institute of
Electrical and Electronics
Engineers) na rea de controle preditivo no-linear nos ltimos
anos.
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CAPTULO 1 - INTRODUO 4
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 20020
10
20
30
40
50
60
70
80
Ano
Pub
lica
es
Figura 1.1 Publicaes sobre Controle Preditivo No-Linear.
A necessidade de representar um sistema da forma mais eficiente
possvel
empregando um modelo que no provoque um aumento significativo no
esforo
computacional estabelece um compromisso entre a qualidade do
modelo e a sua
simplicidade de representao. Neste aspecto o modelo de
Hammerstein apresenta boas
caractersticas pois alia uma boa capacidade de representao de
no-linearidades fracas
com uma inerente simplicidade de representao. O modelo de
Hammerstein possibilita a
representao adequada de vrios processos da indstria qumica como
reatores, colunas de
destilao, trocadores de calor, dentre outros (Fruzzetti et al.,
1997; Menold et al., 1997;
Pearson e Pottman, 2000; Fink e Nelles, 2001).
O emprego de controladores preditivos baseados no modelo de
Hammerstein tem
motivado uma srie de aplicaes bem sucedidas ao longo dos ltimos
anos (Bars e Haber,
1991; Katende e Jutan, 1996; Fruzzetti et al., 1997). Isto se
deve ao fato que este modelo
apresenta propriedades que simplificam o projeto do controlador
preditivo no-linear
possibilitando, inclusive, uma soluo analtica para o problema de
minimizao da funo
custo (caso sem restries), embora, a maioria dos resultados
apresentados restrinja-se ao
nvel de simulao. Deste modo, estudos de implementao de
estratgias de controle
preditivo no-linear em processos reais apresenta-se, ainda, como
um interessante campo
de pesquisa com diversas questes em aberto.
-
CAPTULO 1 - INTRODUO 5
1.1 OBJETIVOS
Os principais objetivos deste trabalho so:
realizao de um estudo comparativo entre diversas tcnicas de
controle preditivo aplicado a processos representados pelo modelo
de Hammerstein;
implementao prtica das estratgias de identificao e controle em
estudo possibilitando a validao dos resultados j obtidos em
ambiente de simulao
avaliando seu desempenho na presena de dificuldades encontradas
na prtica
(rudos, incertezas de modelagem, variaes paramtricas);
estudo de preditores no-lineares com nfase na estrutura de
Hammerstein;
adequao da estrutura de controle mean level control no
tratamento de processos no-lineares visando aplicaes em controle
preditivo;
avaliao da robustez em relao s incertezas de modelagem na
aplicao de controladores preditivos no-lineares;
obteno de modelos matemticos no-lineares e implementao de
estratgias de controle preditivo no-linear aplicadas a uma planta
solar de climatizao;
proposio de modificaes e/ou novas estratgias de controle
preditivo no-linear visando superar as dificuldades observadas.
As etapas de levantamento de modelos matemticos no-lineares, bem
como, a
implementao das estratgias de controle baseadas nestes modelos
sero desenvolvidas
em relao instalao solar de refrigerao da Escuela Superior de
Ingenieros da
Universidad de Sevilla (Sevilla, Espanha) ilustrada na Figura
1.2 a qual consta de uma
mquina de absoro com uma potncia frigorfica nominal de 35kW,
junto com um
sistema de obteno de energia trmica necessria para o
funcionamento do ciclo de
-
CAPTULO 1 - INTRODUO 6
absoro e um sistema de retirada de calor. A operao de um sistema
multivarivel desta
complexidade, apresenta caractersticas bastante interessantes do
ponto de vista do controle
de processos: a fonte primria de energia (radiao solar) no pode
ser manipulada;
existem grandes perturbaes no sistema (variao nas condies
ambientais); existem
fortes restries de amplitude e velocidade nas variveis
manipulada e controlada; existe
atraso de transporte associado ao movimento de fluidos que
dependem das condies de
operao; a demanda de refrigerao bastante varivel pois depende
das condies de
ocupao do ambiente (Normey-Rico, 1999; Scheffer-Dutra et al.,
2002; Zambrano e
Camacho, 2002).
Figura 1.2 Esquema da Planta Solar de Refrigerao.
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CAPTULO 1 - INTRODUO 7
A Figura 1.2 representa o esquema da planta solar de refrigerao
onde se podem
observar seus componentes: o sistema de captao, formado por um
conjunto de painis
solares; o acumulador solar, composto por dois tanques
encarregados de armazenar o
fluido proveniente dos painis; o sistema auxiliar de energia,
composto por uma caldeira
de gs natural encarregada de suprir energia quando o
abastecimento solar no o
bastante; a mquina de absoro encarregada da produo de frio; alm
de um simulador
de carga, composto por um trocador e uma bomba de calor que
permitem a realizao de
ensaios.
1.2 ESTRUTURA DO PROJETO DE TESE
Este trabalho apresenta um estudo preliminar em relao s diversas
estratgias de
modelagem, identificao e controle preditivo com aplicao a
processos monovariveis
que possam ser representados pelo modelo de Hammerstein.
Este projeto de tese est organizado de acordo com os seguintes
captulos: alm desta
introduo, os modelos empregados na representao de processos
lineares e no-lineares
so abordados no captulo 2. As tcnicas de identificao de sistemas
so apresentadas no
captulo 3. Os algoritmos de controle preditivo linear e
no-linear so discutidos no
captulo 4. O captulo 5 apresenta resultados de simulao e,
finalmente, o captulo 6
apresenta uma proposta de pesquisa e cronograma para a realizao
da tese.
-
2. MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES
2.1 INTRODUO
A modelagem de um processo dinmico consiste da obteno de um
modelo
matemtico capaz de representar adequadamente as caractersticas
de interesse de uma
planta em estudo.
Toda vez que a experimentao num processo real apresente restries
de ordem
operacional, econmico-financeira ou de segurana torna-se
fundamental a realizao de
estudos de simulao a partir de um modelo do processo. Alm disso,
um modelo pode ser
empregado com o objetivo de treinamento de operadores de
plantas, projeto de
controladores e previso de resultados.
O modelo de um sistema pode ser obtido de duas formas, a partir
das equaes
bsicas do sistema Modelagem Fenomenolgica ou, a partir da medio
de dados de
entrada e sada do sistema Identificao de Sistemas. A dificuldade
na obteno de um
modelo fenomenolgico adequado, devida a complexidade dos
sistemas reais, aliada a
grande evoluo dos computadores e o desenvolvimento de estratgias
de identificao
eficientes, fizeram a Identificao de Sistemas tornar-se a
principal maneira de obteno de
modelos matemticos sendo, atualmente, objeto de estudo de
inmeros pesquisadores das
mais diversas reas de atuao (Ljung e Glad, 1994; Coelho e
Coelho, 2003).
A necessidade de representar um sistema da forma mais eficiente
possvel
empregando um modelo que no provoque um aumento significativo no
esforo
computacional estabelece um compromisso entre a qualidade do
modelo e a sua
simplicidade de representao que pode ser observada nos diversos
tipos de modelos
existentes.
A representao de um processo pode ser feita atravs de um modelo
contnuo, ou
seja, com base no tempo contnuo e representado, normalmente, por
equaes diferenciais,
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 9
ou atravs de um modelo discreto ou amostrado, representado por
equaes a diferenas.
Por ser o caso mais usado em implementaes prticas dada a
disponibilidade dos sinais de
entrada/sada apenas em instantes discretos de tempo, neste
trabalho, destacada-se a
representao de sistemas SISO (Single-Input, Single-Output)
atravs de modelos discretos.
2.2
1 )
MODELOS LINEARES
Um modelo linear apresenta-se como a forma mais popular de
representar um
sistema devido sua simplicidade restringindo-se, no entanto, um
caso particular dos
sistemas reais que, em geral, so no-lineares. A validade deste
tipo de modelo fica
limitada a faixas de operao relativamente estreitas.
Considerar um sistema linear significa supor que seu
comportamento independe do
ponto de operao, ou seja, que satisfaz o Princpio da Superposio
dos Efeitos.
Princpio da Superposio dos Efeitos
A resposta produzida pela aplicao da combinao linear de duas ou
mais excitaes diferentes igual combinao linear das respostas
individuais a cada uma das excitaes.
Entrada Sada
u1 y1 u2 y2 k1u1 + k2u2 k1y1 + k2y2
2.2.1 Modelos Paramtricos
Correspondem aos modelos que apresentam parmetros
caractersticos. Estes
parmetros so os coeficientes de uma equao a diferenas ou funo de
transferncia
discreta que representa o sistema.
Modelo CARMA (Controlled Auto-Regressive Moving Average) -
modelo representado
pela estrutura da equao (2.1)
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (dA q y t q B q u t C q t = + (2.1)
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 10
onde 1 1
1( ) 1na
naA q a q a q = + + +
1 10 1( )nb
nbB q b b q b q = + + +
1 11( ) 1
ncncC q c q c q
= + + + y(t) a sada do sistema, u(t) o sinal de controle
(entrada), (t) uma seqncia aleatria que pode representar incertezas
de modelagem, erros de medio ou rudos presentes na
sada e d o atraso de transporte discreto onde ( 1)s sdT L d T +
e L o atraso no tempo contnuo.
Modelo CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated Moving
Average) - modelo
representado pela seguinte equao a diferenas:
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /dA q y t q B q u t C q t = +
1 )
(2.2)
que pode ser reescrita na forma
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (dA q y t q B q u t C q t = + (2.3)
onde = (1 q1) de maneira que y(t) = y(t) y(t-1).
Comumente encontram-se casos particulares dos modelos citados
anteriormente, por
exemplo:
Modelo CAR 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )dA q y t q B q u t t = + Modelo
ARMA 1 1( ) ( ) ( ) (A q y t C q t) = Modelo MA 1( ) ( ) ( )y t C q
t=
2.2.2 Modelos No-Paramtricos
Representam a dinmica do processo atravs dos coeficientes da
resposta impulsiva
ou da resposta ao degrau. Estas estruturas apresentam, como
caracterstica principal, a
capacidade de representar dinmicas que no poderiam ser bem
representadas por modelos
paramtricos de ordem reduzida sem a introduo de incertezas
estruturais.
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 11
Embora tenham como um inconveniente a necessidade de um nmero
elevado de
parmetros, estes modelos possuem um bom desempenho para
representar processos que
apresentem dinmicas rpidas (Ljung e Glad, 1994).
Modelo Matemtico Baseado na Resposta ao Impulso
Representa o processo com um nmero infinito de termos que
correspondem aos
coeficientes da resposta impulsiva do sistema.
1( ) ( )i
iy t h u t i
== (2.4)
Para sistemas estveis estes coeficientes tendem assintoticamente
para zero
conforme ilustra a Figura 2.1.
i
h
h1
h2
h3
hi
hN
...
...
Figura 2.1 Coeficientes da Resposta Impulsiva.
Como se pode observar na Figura 2.1, depois de um tempo
suficientemente grande,
os coeficientes hi tendem a zero, caso o sistema seja estvel.
Esta constatao possibilita o
uso de um nmero finito de termos permitindo, assim, a
implementao do modelo FIR
(Finite Impulsive Response).
Modelo FIR Convencional
Corresponde ao modelo de resposta ao impulso onde empregado, no
entanto, um
nmero finito de termos N suficientemente grande de maneira que
hi 0 para i > N.
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 12
1( ) ( )
N
ii
y t h u t i=
= (2.5)
Modelo FIR Incremental
Baseia-se, tambm, na Eq. (2.5) que pode ser reescrita como
1( 1) ( 1
N
ii
y t h u t i=
) = (2.6)
e subtraindo a Eq. (2.6) da Eq. (2.5) tm-se que
1 1( ) ( 1) ( ) ( 1 )
N N
i ii i
y t y t h u t i h u t i= =
=
que pode ser reescrita na forma (Clarke e Zhang, 1987)
1( ) ( 1) ( )
N
ii
y t y t h u t i=
= + (2.7)
Modelo FIR Dinmico
Este modelo considera que a dinmica de baixa freqncia da maioria
dos
processos pode ser aproximada por um modelo de 1a ordem
(Auslander et al., 1978).
1
11
( ) ( ) ( )1
NN
ii
hy t h u t i u t Npq
== + (2.8)
que pode ser reescrita como a funo de transferncia
1 1
1 1 11
...( )1
NNb q b q b qG q
pq
+ + +=
onde b1 = h1, bi = hi phi-1 para i = 2, ..., N e p determinado
de maneira que o ganho do
modelo seja igual ao ganho esttico do processo (gs), isto ,
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 13
=
= 1
1
1 N
iis
N
hg
hp
(2.9)
O modelo garantido estvel e sobreamortecido desde que
=
= + < =
onde sgn representa a funo sinal.
Representao da NL por um Modelo Semi-paramtrico
Esta terminologia foi empregada por Unbehauen (1996) para
descrever uma classe
de modelos baseada em redes neurais artificiais (ANN Artificial
Neural Networks) e
informao lingstica difusa. Nestes casos os modelos so formados
por nmeros que
correspondem s ponderaes de uma ANN ou ao grau de pertinncia num
conjunto difuso.
Modelos ANN Estes modelos tm a capacidade de aprender o
comportamento entrada-sada do sistema. Uma rede neural consiste de
vrios elementos
computacionais simples, denominados de ns, arranjados em camadas
e operando
em paralelo (Figura 2.5). Os pesos das conexes entre os ns so
adaptados durante
ua
-a
x x
1
u-aa
-1
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 23
a operao de treinamento da rede que tem por objetivo melhorar o
seu
desempenho (Unbehauen, 1996; Al-Duwaish e Karim, 1997; Bauer e
Ninness,
2000).
Figura 2.5 Estrutura de um modelo Hammerstein Neural.
Modelos Nebulosos (fuzzy models) este modelo combina informao
numrica e lingstica (do tipo pequeno, mdio, grande, etc.)
possibilitando a aplicao do
conhecimento prvio das caractersticas do processo mesmo que este
seja
incompleto e/ou com incertezas (Sjberg et al., 1995, Abonyi et
al., 2000; Coelho,
2000).
Figura 2.6 Estrutura de um modelo Hammerstein Nebuloso.
A popularidade do modelo de Hammerstein deve-se ao fato da maior
simplicidade
em relao s representaes de Volterra e Bilinear aliada a uma
capacidade de
representao da no-linearidade da maioria dos processos prticos
sendo capaz de
representar processos com atuadores no-lineares e ganhos
variantes.
A literatura de controle e identificao de sistemas conta com
inmeras aplicaes
do modelo de Hammerstein na representao de reatores qumicos
(Katende e Jutan, 1996;
Menold et al., 1997), colunas de destilao (Pearson e Pottmann,
2000), trocadores de
calor (Eskinat et al., 1991; Al-Duwaish e Naeem, 2001; Fink e
Nelles, 2001), processos de
nvel (Katende et al., 1998; Coelho et al., 2002), controle de pH
(Zhu et al., 1991; Zhu e
Seborg, 1994; Fruzzetti et al., 1997), processos de fermentao
(Roux et al., 1996), alm
de qualquer processo do Tipo Hammerstein, ou seja, que possa ser
representado por uma
G(q-1)
u(t) x(t) y(t)
d1
dNR
.
.
.
1
NR
G(q-1)
u(t) x(t) y(t)
.
.
.
o
1 wjh wjo
.
.
. jhL
1 1
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 24
no-linearidade seguida de uma parcela dinmica linear (Hwang e
Hsu, 1995; Haber et al.,
2000; Coelho e Santos, 2002).
2.3.5 Modelo de Wiener
Este modelo apresenta um sistema dinmico linear seguido por um
elemento no-
linear, de forma contrria ao modelo de Hammerstein, como
ilustrado na Figura 2.7.
Figura 2.7 Modelo de Wiener.
Da mesma forma que o caso de Hammerstein, a parcela linear pode
ser
representada por um dos modelos apresentados na seo 2.2 enquanto
que a no-
linearidade (NL) pode ser representada por um polinmio do
tipo
y(t) = 1w(t) + 2w2(t) + ... + mwm(t) (2.30)
onde w(t) a pseudo-sada do bloco linear ou, ainda, baseada nas
outras formas de
representao vlidas para o modelo de Hammerstein visto que o
modelo de Wiener
considerado o seu dual.
Exemplo 2.5 - As equaes (2.32) e (2.32) representam um modelo de
Wiener, com na =
2, nb = 2 e m = 3, usado como exemplo em Norquay et al.,
1998.
2 3( ) ( ) 0.4 ( ) 0.1 ( )y t w t w t w t= + (2.31)
onde
( ) 0.5 ( 1) 0.4 ( 2) 0.5 ( 1) 0.3 ( 2) 0.1 ( 3)w t w t w t u t
u t u t= + + + (2.32)
G(q-1)
u(t) w(t) y(t) NL
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 25
O modelo de Wiener conta com diversas aplicaes registradas na
literatura de
controle de processos como na representao de reatores qumicos
(Menold et al., 1997),
colunas de destilao (Hagenblad, 1999; Pearson e Pottmann, 2000),
controle de vlvulas
(Al-Duwaish e Naeem, 2001), controle de pH (Norquay et al.,
1998; Wellers e Rake,
2000), comportamento muscular sob anestesia (Mahfouf e Linkens,
1998), alm de
qualquer processo do Tipo Wiener, ou seja, que possa ser
representado por uma parcela
dinmica linear seguida de uma no-linearidade esttica (Gerksic et
al., 2000).
Na tentativa de criar modelos mais abrangentes surgiram
combinaes dos modelos
de Wiener e Hammerstein na forma ilustrada na Figura 2.8.
Figura 2.8 Modelo Wiener-Hammerstein.
2.4
2
COMPARAO ENTRE OS MODELOS
Os diversos modelos apresentados nas sees anteriores podem ser
considerados
como casos particulares do modelo NCARMA de maneira que, baseado
na representao da
Eq. (2.33), particularizao da Eq. (2.16) para o caso onde o grau
de no-linearidade = 2,
possvel verificar cada caso atravs da Tabela 2.3.
A
1 1 1 2 1
1 2 1 2 1
0 1 1 1 1 1 2 11 1 1
1 2 1 2 1 2 1 21 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
y y yu
y y yu
n n nn
u y uun n n n n
n n nn
yu yyn n n n n
y t h h n u t n h n y t n h n n u t n u t n
h n n y t n u t n h n n y t n y t n
= = = =
= = = =
= + + +
+ +
(2.33)
Tabela 2.3 Particularizaes do Modelo NCARMA.
G1(q-1)
NL
u(t) v(t) w(t) y(t) G2(q-1)
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 26
Coeficientes Linear Hammerstein Bilinear Volterra NCARMA
hu 5 5 5 5 5 hy 5 5 5 5 huu 5* 5 5 hyu 5 5 hyy 5
onde 5 denota um coeficiente presente no modelo * apenas quando
n1 = n2 denota um coeficiente inexistente
Pela anlise do diagrama de Venn da Figura 2.9 que ilustra a
relao entre os tipos
de modelos apresentados possvel comprovar a informao j disponvel
na Tabela 2.3
em relao a capacidade de generalizao de cada modelo desde o
modelo NCARMA, caso
geral, at o modelo linear, caso particular comum a todos os
demais.
NCARMA Volterra
Hammerstein
Linear
Wiener Bilinear
Figura 2.9 Relao entre os modelos no-lineares.
Como a complexidade dos modelos estudados est diretamente
relacionada ao
nmero de termos envolvidos, a Tabela 2.4 apresenta uma comparao
levando em conta o
caso no-paramtrico na representao do modelo linear.
Tabela 2.4 Comparao da Complexidade dos Modelos.
-
CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 27
Modelo Nmero de Termos
Linear N
Hammerstein / Wiener N + m
Bilinear
N + ny.nu
Volterra ( )! !!
N m Nm
+
NCARMA ( )( )
!! !
N ny mN ny m+ ++
Embora os modelos de Volterra e NCARMA possam apresentar um
nmero bastante
elevado de termos comum a aplicao de tcnicas de reduo de modelo
ao longo do
procedimento de identificao visando empregar apenas aqueles
termos que sejam mais
relevantes em relao s caractersticas de interesse do processo
(Aguirre, 2000).
-
3. IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES
3.1 INTRODUO
A identificao de sistemas busca a representao do comportamento
de um
processo atravs de um modelo matemtico independente do
conhecimento prvio a
respeito do mesmo. Um procedimento de identificao pode ser
dividido em vrias etapas
dentre as quais destacam-se: seleo do modelo, determinao da
estrutura, estimao dos
parmetros, validao do modelo como ilustrado na Figura 3.1.
Figura 3.1 Diagrama de Identificao.
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 29
O sinal empregado na identificao do sistema deve ser capaz de
excit-lo em toda
a faixa de interesse pois, caso contrrio, estas caractersticas
no so registradas e,
portanto, o modelo identificado no capaz de represent-las.
Sinais de entrada aleatrios
possibilitam um melhor condicionamento numrico nos problemas de
estimao que
aplicam a tcnica dos mnimos quadrados e a aplicao de um sinal do
tipo branco ,
tambm, desejvel pois este tem potncia espectral numa ampla faixa
de freqncias.
Enquanto que na identificao de sistemas lineares a caracterstica
do sinal de entrada
mais importante o contedo de freqncias no seu espectro, para
sistemas no-
lineares destaca-se tambm a amplitude do sinal que deve ser
capaz de fazer o sistema
trabalhar em toda a faixa de operao de interesse fazendo-o
revelar as suas
caractersticas no-lineares. Na prtica, sinais do tipo rudo
branco (sinal aleatrio
cujo espectro tem potncia em todas as freqncias) e PRBS
(Pseudo-Random Binary
Signal) so comumente utilizados tanto na identificao de
processos lineares como
no-lineares (Ljung e Glad, 1994; Aguirre, 2000; Gmez e Baeyens,
2001).
A literatura apresenta diversas tcnicas de identificao para
sistemas lineares,
representados por equaes a diferenas, sendo as mais populares
aquelas baseadas no
algoritmo dos mnimos quadrados (MQ). Neste captulo discutida a
identificao de
sistemas SISO no-lineares reapresentados pelo modelo de
Hammerstein baseadas nas
medidas de entrada e sada do processo (Coelho e Coelho,
2003).
3.2 SELEO DO MODELO
Os modelos matemticos mais comuns para a representao de um
processo
dinmico esto apresentados no captulo 2 e cada um possui
caractersticas distintas que
devem ser levadas em conta na seleo. Para escolher o modelo mais
adequado para uma
aplicao particular deve-se levar em conta sua capacidade de
representar as caractersticas
da planta sem, no entanto, desconsiderar que a simplicidade do
modelo est diretamente
relacionada ao esforo computacional envolvido sendo, portanto,
um fator fundamental
para uma implementao em tempo-real . Na prtica, o modelo
escolhido , em geral, o
mais simples possvel capaz de atender aos requisitos
operacionais estabelecendo um
compromisso entre capacidade de aproximao x simplicidade de
representao (Santos,
1998; Pearson, 2003).
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 30
A Figura 3.2 apresenta um diagrama que pode ser usado como uma
ferramenta na
seleo de um modelo a ser empregado na representao de um processo
no-linear.
Figura 3.2 Diagrama para Seleo de Modelo.
3.2.1 Deteco de No-Linearidade
Uma etapa fundamental na determinao da necessidade de uso de um
modelo no-
linear na representao da planta a deteco da no-linearidade (NL)
do processo. Um
sistema no-linear apresenta uma no-linearidade que pode ser
classificada como fraca,
mdia ou forte e um dos seguintes tipos de comportamento
apresentados na Tabela 3.1
(Pearson, 2003).
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 31
Tabela 3.1 Comportamento No-Linear.
Tipo de NL Comportamento Descrio
Resposta Assimtrica Caracterstica da resposta dependente da
entrada violando o Princpio da Superposio dos Efeitos.
Gerao de Harmnicas O sistema sujeito a uma entrada senoidal
produz uma sada no senoidal de mesma freqncia.
Fraca
Multiplicidade de Entrada Uma sada corresponde a mais de uma
entrada em regime permanente.
Mdia Estabilidade Dependente da Entrada
A estabilidade do sistema depende da amplitude da entrada
aplicada.
Multiplicidade de Sada Uma entrada leva a mais de uma sada em
regime permanente.
Gerao de Sub-harmnicas O sistema sujeito a uma entrada senoidal
produz uma sada no senoidal de freqncia menor que a entrada.
Forte
Comportamento Catico O sistema apresenta respostas altamente
irregulares para entradas simples.
Alguns testes comuns permitem a observao de um comportamento
no-linear
auxiliando, portanto, na deciso de optar-se por este tipo de
representao na seleo de
um modelo.
Simetria e Dependncia de Amplitude da Entrada
Estes testes permitem confrontar os comportamentos linear x
no-linear cobrindo a
maioria dos processos no-lineares.
Teste de Simetria representa o mais comum dos testes de
no-linearidade, consiste na aplicao de entradas simtricas ao
sistema e a conseqente observao da sada.
Exemplo 3.1 - O comportamento do sistema representado pela equao
ilustrado pela
Figura 3.3 com a aplicao de degraus de entrada com valores u(t)
= +3; +1; -1 e -3.
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 32
( )( ) 0.8 ( 1) 0.3 ( 1) ( 1) ( 1)y t y t y t sen y t u t= +
(3.1)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-15
-10
-5
0
5
10
15
tempo
sad
a
u(t) = +3
u(t) = +1
u(t) = -3
u(t) = -1
Figura 3.3 Teste de Simetria.
O comportamento do sistema, ilustrado na Figura 3.3,
apresenta-se bastante
assimtrico em relao s entradas aplicadas caracterizando de forma
bastante acentuada
este tipo de no-linearidade. Embora seja um teste bastante
popular a caracterstica de
simetria uma condio apenas necessria para indicar a linearidade
de um sistema, ou
seja, mesmo um sistema no-linear pode apresentar um
comportamento simtrico dentro de
uma faixa de operao restrita e, neste caso, outros testes se
fazem necessrios.
Teste de Dependncia de Amplitude consiste na aplicao de entradas
em degraus de amplitudes crescentes e a observao da sada.
Caractersticas dinmicas e at de
estabilidade de um sistema no-linear podem ser dependentes da
amplitude da entrada
aplicada.
Exemplo 3.2 - A Figura 3.4 ilustra o comportamento de um sistema
representado pela
equao sujeita aplicao de degraus de entrada com valores u(t) =
4.2k, k = 1 a 5.
2( ) 0.8 ( 1) 0.2 ( 1) 0.2 ( 1)y t y t y t u t= + + (3.2)
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 33
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tempo
sad
a
Figura 3.4 Teste de Dependncia de Amplitude da Entrada.
Observa-se que o comportamento dinmico do sistema varia em funo
da
amplitude do sinal de entrada e, a partir da entrada u(t) = 21,
torna-se instvel.
Entradas Peridicas
Atravs de uma anlise do comportamento do sistema sujeito a uma
entrada
peridica possvel observar comportamentos no-lineares do tipo
gerao de harmnicas
ou sub-harmnicas.
Exemplo 3.3 - A equao (3.3) representa um sistema com uma
no-linearidade do tipo
seno na entrada
( )( ) 0.9 ( 1) 0.1 2 ( 1)y t y t sen u t= + (3.3)
e a Figura 3.5 representa a relao entrada x sada para este
sistema onde a entrada um
sinal senoidal e a sada um sinal no-senoidal de mesma freqncia
que a entrada
caracterizando um comportamento no-linear com gerao de
harmnicas.
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 34
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo
sad
a
entrada
sada
Figura 3.5 Teste de Entradas Peridicas.
O modelo de Hammerstein mostra-se adequado na representao das
no-
linearidades descritas como fracas na Tabela 3.1 pois capaz de
reproduzir os
comportamentos caractersticos deste tipo de no-linearidade.
Embora a anlise do comportamento do processo indique a
necessidade de
utilizao de um modelo no-linear, restries do ponto de vista da
aplicao em tempo-
real podem levar o usurio para outras solues como, por exemplo,
o emprego de
mltiplos modelos lineares levando em conta faixas de operao mais
restritas (Marchi,
1999) ou, ainda, o uso de um nico modelo linear pode ser
suficiente para aplicaes em
controle de processos quando empregado algum tipo de estratgia
adaptativa (strm e
Wittenmark, 1995).
3.3 SELEO DE ESTRUTURA
Existem diversos critrios para a seleo de ordem de modelos
lineares
monovariveis como aqueles baseados na razo entre determinantes,
critrio de informao
de Akaike (AIC Akaikes Information Criterion), critrio do erro
de predio final (FPE
Final Prediction Criterion). No entanto, quando o sistema
no-linear so poucas as
ferramentas para auxiliar nesta etapa. Aguirre (2000) prope a
aplicao da taxa de
reduo do erro, ERR (Error Reduction Ratio), aplicadas a modelos
NCARMA. Esta
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 35
estratgia permite a deteco de quais parcelas do modelo so mais
relevantes para serem
includas e quais podem ser consideradas desprezveis.
O caso particular do modelo de Hammerstein permite a aplicao de
uma extenso
do mtodo da razo entre determinantes, DR (Determinant
Ratio).
3.3.1 Razo entre Determinantes para o Modelo de Hammerstein
Assim como no caso linear, este mtodo baseia-se na singularidade
da matriz de
informao cujos elementos possuem dados sobre a correlao entre os
sinais de entrada e
sada do sistema em diferentes instantes de tempo. A ordem da
matriz de informao
funo da ordem do modelo a ser obtido por identificao. Quando a
ordem do modelo
selecionada maior que o sistema real, a matriz de informao
torna-se redundante, ou seja,
apresenta colunas linearmente dependentes que levam
singularidade.
Para o modelo de Hammerstein, onde a no-linearidade aproximada
por um
polinmio de ordem m e cuja parcela linear representada por um
modelo do tipo CARMA,
tem-se que
1 1( ) ( ) ( ) ( ) (dA q y t q B q x t t) = + (3.4)
onde 1 1
1( ) 1 aan
nA q a q a q = + + +
1 10 1( ) bb
nnB q b b q b q
= + + +
e (t) representa erros de modelagem e/ou rudos de medio, a
pseudo-sada x(t) pode ser representada por
x(t) = 1u(t) + 2u2(t) + ... + mum(t) (3.5)
a representao da parcela linear por equao a diferenas
y(t) = - a1y(t-1) - a2y(t-2) - ... - anay(t-na) + b0x(t-d) + ...
+ bnbx(t-d-nb) + (t) (3.6)
que pode ser reescrita como
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 36
y(t) = T(t)(t) + (t) (3.7)
onde o vetor de medidas formado como se estivesse tratando de um
sistema MISO
(Multiple Inputs Single Output) na forma (Eskinat, et al.,
1996)
T(t) = [-y(t-1) ... -y(t-na) u(t-d) ... u(t-d-nb) u2(t-d) ...
u2(t-d-nb) ... um(t-d-nb)] (3.8)
com dimenso [(na + (nb + 1)m) x 1] e o vetor de parmetros pode
ser expresso na forma
= [a1 a2 ... ana; b01 b11 ... bnb1; b02 b12 ... bnb2; ... ; b0m
b1m ... bnbm]T
Define-se, ento, a matriz de informao pela equao
'( , , ) ( , , ) ( , , )TQ t n m t n m t n m = (3.9)
que, para um grande nmero de medidas N, pode ser representada,
aproximadamente, por
1
1( , , ) ( , , ) ( , , )N
T
tQ n m t n m t n m
N
== (3.10)
Considerando que a ordem da parcela linear do sistema real seja
n0, quando
utilizado um modelo com ordem imediatamente superior, n0+1, as
ltimas medidas de
entrada e sada so uma combinao linear das anteriores e,
portanto, a matriz Q torna-se
singular, detQ(,n0+1,m) 0. A seleo da ordem do modelo feita
atravs do clculo do determinante da matriz
de informao e comparando-o com o de ordem imediatamente superior
(n+1). Quando a
razo entre os determinantes, DR, apresenta um aumento
significativo admite-se, ento,
como n a ordem mais adequada para o modelo.
( , , )( , 1, )
detQ n mDRdetQ n m
= + (3.11)
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 37
Embora, geralmente, no seja muito significativa no clculo do
determinante da
matriz Q, desejvel que a seleo da ordem do polinmio da
no-linearidade, m, seja
determinada antes do clculo da DR. Isto pode ser feito atravs da
determinao da
caracterstica esttica do processo e do ajuste de um polinmio
para sua representao. A
ordem escolhida a menor capaz de representar a no-linearidade
esttica na faixa de
operao de interesse.
Exemplo 3.4 - Considera-se um processo cujo comportamento pode
ser expresso por
1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)y t a y t a y t b x t b x t= + +
(3.12)
onde (( ) ( ))x t sen u t= , a1 = -0.7358, a2 = 0.1353, b0 =
0.2642 e b1 = 0.1353.
Embora fosse possvel determinar a caracterstica esttica do
processo, Figura 3.6,
aplicando uma entrada de sucessivos degraus com valores
crescentes por tempo suficiente
para que este alcance o regime permanente, optou-se pela
determinao de ordem da
funo de transferncia da parcela linear admitindo o
desconhecimento da ordem da no-
linearidade (m).
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
u
x
m = 1
m = 2 m
m = 3 m = 4
x = sen(u)
Figura 3.6 Representao da NL do Exemplo 3.4.
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 38
O teste realizado comparando as ordens da parcela linear n = 1;
2; 3 e 4 para a
grau do polinmio que representa a no-linearidade valendo m = 1;
2; 3 e 4 conforme
ilustrado na Figura 3.7.
1 2 3 40
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500m
ordem
DR
= 1
(a)
1 2 3 40
50
100
150
200
250
300
350m
ordemD
R
= 2
(b)
1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4x 104 m
ordem
DR
1
= 3
(c)
1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 104 m
ordem
DR
= 4
(d)
Figura 3.7 Teste DR para o Exemplo 3.4.
Em todos os casos representados na Figura 3.7, exceto pela
diferena de escala, o
comportamento semelhante, indicando que um modelo de terceira
ordem provoca um
grande crescimento na DR apontando, portanto, como modelo mais
apropriado o de
segunda ordem (n = 2).
A seleo da ordem do polinmio para a representao da
no-linearidade esttica
(NL) do processo pode ser feita pela aproximao dos polinmios
identificados em relao
caracterstica esttica do processo. Neste caso, apenas pela
inspeo da Figura 3.6
possvel concluir que um polinmio com m = 3 suficiente para uma
representao da NL
embora critrios numricos possam ser empregados na seleo de
m.
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 39
Exemplo 3.5 - Dado um processo cuja parcela dinmica linear tambm
pode ser expressa
pela Eq. (3.12) mas que a no-linearidade 2( ) ( ) 2 ( )x t u t u
t= , o teste realizado comparando as ordens da parcela linear n =
1; 2; 3 e 4 para a ordem do polinmio que
representa a no-linearidade m = 1; 2; 3 e 4 conforme ilustrado
na Figura 3.8.
1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6m = 1
ordem
DR
(a)
1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 1014 m = 2
ordem
DR
(b)
1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 1014 m = 3
ordem
DR
(c)
1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 1014 m = 4
ordem
DR
(d)
Figura 3.8 Teste DR para o Exemplo 3.5.
A Figura 3.8 ilustra um caso onde o comportamento do DR
diferente para as
simulaes onde o grau de no-linearidade (m) selecionado menor que
o real, neste caso
m = 2, destacando a importncia da seleo prvia deste parmetro.
Pela observao da
Figura 3.8 (b), (c) e (d) possvel determinar que a ordem mais
adequada para o modelo
realmente n = 2. Esta diferena de comportamento considerando-se
o desconhecimento do
grau de no-linearidade pode ser ainda maior na presena de
rudo.
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 40
3.4
ESTIMAO DE PARMETROS
Nesta seo so apresentadas algumas estratgias de estimao de
parmetros para
sistemas SISO no-lineares representados pelo modelo de
Hammerstein baseadas nas
medidas de entrada e sada do sistema. Para a formalizao das
tcnicas optou-se por um
modelo cuja parcela linear representada por um modelo do tipo
CARMA, Eq.(3.4), sendo
possvel a aplicao destas a outros tipos de modelo.
3.4.1 Mtodo dos Mnimos Quadrados
Definindo-se o vetor de medidas, (t), com dimenso [(na + nb + 1)
x 1] , para o caso linear
T(t) = [-y(t-1) -y(t-2) ... -y(t-na) u(t-d) u(t-d-1) ...
u(t-d-nb)] (3.13)
e o vetor de parmetros, (t), com dimenso [(na + nb + 1) x 1]
T(t) = [a1 a2 ... ana b0 b1 ... bnb] (3.14)
pode-se reescrever a equao (3.6) como
y(t) = T(t)(t) + (t) (3.15)
que denominado modelo de regresso linear (Wellstead e Zarrop,
1991; Ljung, 1996;
Coelho e Coelho, 2003).
Admitindo que a realizao de N medidas so suficientes para
determinar os
parmetros , ento tem-se que
(0) (0)(0)(1) (1)(1)... ......
( 1) ( 1)( 1)
T
T
T
yy
y N NN
= +
(3.16)
A representao matricial da equao (3.16)
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 41
Y = + (3.17)
onde a matriz de observao
( 1) ( 2) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )(0) ( 1) ... (1 ) (1 ) ( ) ...
(1 )(1) (0) ... (2 ) (2 ) (1 ) ... (2 )
... ... ... ... ... ... ... ...( 2) ( 3) ... ( 1) ( 1) (
y y y na u d u d u d nby y y na u d u d u d nby y y na u d u d u
d nb
y N y N y N na u N d u N
=
2) ... ( 1)d u N nb d
e o vetor de sada dado por YT = [y(0) y(1) y(2) ... y(N-1)]
A estimativa do vetor de parmetros, , pode ser obtida pelo
procedimento dos mnimos quadrados (least squares approach).
Utilizando a estimativa , a melhor previso da sada do sistema, ,
calculada por y
Y = (3.18)
e o erro de previso, e, avaliado de acordo com
e Y Y Y = = (3.19)
O estimador dos mnimos quadrados obtido minimizando o seguinte
critrio:
[ ] [ ]TJ Y W Y = (3.20)
onde a matriz W diagonal, na forma
(1) 0 ... 00 (2) ... 0
0 0 ... ( )
ww
W
w N
= # # % #
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 42
onde w(i) a ponderao em cada componente do erro cujo valor
diretamente
proporcional preciso da medida.
Minimizando a funo custo da equao (3.20) em relao a tem-se
que
( ) 2 2 TT TJ Y W W 0 = + =
Assim, o estimador clssico dos mnimos quadrados ponderado
calculado por
1 [ ]T TW W = Y (3.21)
e isto conduz ao mnimo desde que
2
22 0
TJ W = >
condio esta garantida se a matriz ( )TW definida positiva
(condio de excitao persistente).
O estimador dos mnimos quadrados no-recursivo obtido admitindo
que
W = 2IN, isto , a mesma ponderao aplicada em todos os erros de
medida (considerando a mesma confiana a todas as medidas). Logo, a
equao (3.21) torna-se
1 T TY = (3.22)
Mnimos Quadrados para o Modelo de Hammerstein
Neste caso, o vetor de medidas formado como se estivesse
tratando de um sistema
MISO na forma (Eskinat, et al., 1996)
T(t) = [-y(t-1) ... -y(t-na) u(t-d) ... u(t-d-nb) u2(t-d) ...
u2(t-d-nb) ... um(t-d-nb)] (3.23)
com dimenso [na + (nb + 1)m x 1] e o vetor de parmetros:
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 43
= [a1 a2 ... ana; b01 b11 ... bnb1; b02 b12 ... bnb2; ... ; b0m
b1m ... bnbm]T
considerando 1 = 1 pode-se obter diretamente os parmetros da
parcela linear do modelo e, em princpio, tambm os parmetros da
parcela no-linear, pela relao
0 1
0 1
...i i nbinb
b b bb b b
i = = = = (3.24)
A presena de rudo de medio provoca, no entanto, incoerncias nos
resultados
obrigando a adoo de outras medidas para solucionar este problema
de redundncia de
parmetros como, por exemplo, uma mdia aritmtica, Eq. (3.25).
( ) 01
1
nbj i
ij j
bnb b
=
= + (3.25)
3.4.2 Mtodo do Erro de Predio
Esta estratgia permite a obteno dos parmetros do modelo
diretamente na forma
= [a1, a2, ... , ana, b0, b1, ... , bnb, 1, 2, ... , m]T
(3.26)
atravs da minimizao numrica do critrio dos mnimos quadrados
( )21
1( ) ,N
tV e
Nt
== (3.27)
onde e(t,) = y(t) (t,) o erro de previso. y Como a derivada da
funo custo no uma funo linear em relao aos
parmetros no h soluo analtica para este problema de minimizao
tornando-se
necessrio o uso de um mtodo iterativo no qual o vetor de
parmetros determinado por
( ) ( )11k k kH g k + = + (3.28)
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 44
onde representa o passo, H(k) a Hessiana de V(k) e g(k) o
gradiente de V(k). Em funo da dificuldade da determinao da Hessiana
esta aproximada por
( )1
1 ( , ) ( , )TNk
t
e t e tH IN
= + (3.29)
onde um parmetro a ser inicializado num valor pequeno, em torno
de 10-4 e as derivadas do erro de previso podem ser determinadas
por
( ) 11 1
1
, 1 ( ) ( )( ) ( )
Nj
jji
e t B q u t ia A q A q
=
= ( )
11
, 1 ( )( )
Nj
jji
e tu t i
b A q
=
= ( ) 1
1
, ( ) ( )( )
j
j
e t B q u tA q
=
As iteraes devem ser realizadas at que a norma do gradiente g(k)
atinja um limite pr-estabelecido ou que o nmero mximo de iteraes
seja alcanado (Ljung, 1987;
Eskinat et al., 1991).
Algoritmo do Erro de Predio
1. Inicializao de (p. ex. estimando por MQ); 2. Calcula V() e
seleciona (pequeno, 10-4); 3. Calcula o gradiente g() e a Hessiana
H(); 4. Atualiza k = k-1 + H(k-1)-1g(k-1) e calcula V(k); 5. Se
V(k) < V(k-1), atualiza k, decrementa e vai para o passo 2; 6.
Se V(k) > V(k-1), incrementa e vai para o passo 3.
Condio de Parada: || g(k-1) || < gmin ou alcanando limite de
iteraes.
3.4.3 Mtodo de Narendra Gallman
Este mtodo prope a obteno dos parmetros do modelo de Hammerstein
atravs
da separao do problema de estimao da parcela linear e da parcela
esttica no-linear.
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 45
Os parmetros da parte linear so inicialmente arbitrados ou
estimados atravs de uma
tcnica linear e a funo custo, Eq. (3.13), reescrita na forma
1
11
1 ( ) ( ) ( ) ( )( )
NT
t
B qV y t UN A q
t
=
= (3.30)
onde UT(t) = [u(t) ... u(t-nb) u2(t) ... u2(t-nb) ... um(t) ...
um(t-nb)] e [ ]1 2 ... Tm =
minimizada em relao aos parmetros da parte no-linear,
( ) 1 11 1
1
2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
NT
t
V B q B qU t y t U tN A q A q
=
= (3.31)
obtendo os parmetros da no-linearidade 11 1 1
1 1 11
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
NT
t
B q B q B qU t U t U t y tA q A q A q
=
= (3.32)
e, desta forma, a pseudo-sada x(t) pode ser calculada, Eq.
(3.5). A partir do valor de x(t) a
parcela linear determinada novamente e este procedimento
repetido at haver
convergncia (Narendra e Gallman, 1966; Eskinat et al.,
1991).
Algoritmo de Narendra-Gallman
1. Inicializao da parte linear [a1, a2, , ana, b1, b2, , bnb];
2. Minimiza V() em relao parte no-linear e estimao de [1, 2,, m];
3. Calcula a pseudo-sada: x(t) = 1u(t) + 2u2(t) + ... + mum(t); 4.
Estima os parmetros da parte linear e vai para o passo 2.
Condio de Parada: convergncia dos parmetros.
Esta estratgia pode apresentar problemas de estabilidade e
convergncia
(Boutayeb et al., 1996).
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 46
3.4.4 Mtodo de Boutayeb
Esta proposta consiste em transformar a representao do modelo
(3.3), em um
modelo linear em parmetros (Boutayeb et al., 1996).
( ) ( )Ty t t = (3.33)
onde (t) e so vetores definidos como (t) = [-y(t-1) ... -y(t-na)
u(t-d) ... u(t-d-nb) u2(t-d) ... u2(t-d-nb) ... um(t-d-nb)]T = [a1
a2 ... ana; b0 b1 ... bnb; b02 ... bnb2; b0m ... bnbm]T
considerando 1 = 1. O estimador dos mnimos quadrados leva a
seguinte estimao de parmetros
( ) 1 T TY = (3.34)
onde = [(t) (t+1) (t+N)]T e Y = [y(t) y(t+1) y(t+N)]T
Utilizando esta estrutura, os parmetros da parcela linear podem
ser calculados
diretamente.
a
b
b
= (3.35)
onde
[ ]1 2 ... Ta na a a = a [ ]0 1 ... Tb nb b b = b
[ ]0 2 2 0 3 3 ... ... ... Tb nb nbb b b b b nb m =
O problema de redundncia de parmetros resolvido, obtendo os
parmetros da
parcela no-linear separadamente, na forma
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 47
[ ]1 2 ... Tm =
atravs da expresso
bM = (3.36)
Teorema 3.1
O estimador consistente de s dado por
a aT
s b b
b
YM
= = (3.37)
onde
( ) 1a Tbb
=
(3.38)
e M uma matriz diagonal, de ordem N2m, definida como
0 0
0 0
b
b
M
+
+
=
"# #
" (3.39)
com e Tb b Y = b + sendo a pseudo-inversa de b tal que 1b b + =
.
Prova do Teorema 3.1:
Como b e b so obtidos diretamente de (3.36) na forma
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 48
Tb b Y = (3.40)
Tb b Y = (3.41)
e os parmetros do vetor b podem ser escritos como
( )( )
22 2
b bb b
b
b m b m b mb b m
2b
+ + = = = + + # # # (3.42)
e, por outro lado, tem-se que
b b b = + (3.43)
Como b e b so do tipo rudo branco, ento, o estimador dos mnimos
quadrados de dado por
2 0 0
0 0
b
b b
m b
M
+
+
= = =
"# # #
" (3.44)
Visto que um vetor coluna de posto completo e 1b b + = , pode-se
verificar que (3.37) tambm um estimador consistente e,
portanto,
( )s s = onde a esperana matemtica.
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 49
3.4.5 Mtodo de Bai
Este mtodo prope a identificao de no-linearidades com estrutura
conhecida.
As no-linearidades so parametrizadas por uma nica varivel (a)
identificada a partir da
aplicao da estratgia dos mnimos quadrados separveis (Bai,
2002).
Para a formalizao deste mtodo adotada uma no-linearidade do tipo
saturao
(Figura 3.9), embora os resultados possam ser estendidos para os
demais tipos de no-
linearidade (zona-morta, histerese, rel, etc.).
x(t)
a
-aa u(t)
-a
Figura 3.9 No-Linearidade Tipo Saturao.
A sada do sistema pode ser representada por
y(t) = [-y(t-1) ... -y(t-na) x(t-d) ... x(t-d-nb)] + (t)
(3.45)
onde = [a1 a2 ... ana; b0 b1 ... bnb] corresponde aos parmetros
da parcela linear e a pseudo-sada no mensurvel, x(t), pode ser
representada como funo da entrada e do
parmetro a na forma x(t) = N[u(t), a] cuja estimativa
( ) [ ( ), ]x t u t a= N (3.46)
O erro de estimao , portanto,
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 50
, ( ) [- ( -1) ... - ( - ) ( - ) ... ( - - )]
ae t y t y t na x t d x t d nb = (3.47)
e a funo custo a ser minimizada
2 ,
1
1 ( )N
at
J eN =
= t (3.48)
onde Y = [y(1) y(2) ... y(N)]T
( ) (0) (1 ) (0) (1 ) (1) (2 ) (1) (2 )
( 1) ( ) ( 1) ( )
y y na x x nby y na x x nb
a
y N y N na x N x N nb
=
" "" "
# # # # # #" "
(3.49)
A funo custo pode ser reescrita como
( ) 21 J Y aN
= (3.50)
a qual minimizada em relao a resulta
( ) ( ) ( ) 2 2 T TJ a Y a a = + (3.51)
Se a parcela inversvel, a condio necessria e suficiente para ( )
( ) T a a ser timo que
( ) ( ) ( )1 T Ta a a = Y (3.52)
Portanto, substituindo o valor timo de da Eq. (3.52) na funo
custo da Eq. (3.50) tem-se a eliminao do termo e a funo
objetivo
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 51
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 211 T TJ a I a a a a YN = (3.53)
cuja minimizao torna-se um problema cujo espao de busca reduzido
de (na + nb + 1)
para 1 (um).
Uma vez obtido o valor de timo, empregando qualquer mtodo
clssico de
minimizao unidimensional, possvel determinar os parmetros da
parcela linear
a
timos, Eq. (3.52).
Algoritmo de Bai para NL de Estrutura Conhecida
1. Realiza a medio dos dados [u(t) y(t)]; 2. Define Y = [y(1)
... y(N)]T e ( )a ; 3. Minimiza ( )J a , obtendo o a timo; 4.
Calcula o timo.
Esta reduo da dimenso de busca pode ser conseguida para qualquer
tipo de no-
linearidade para a qual seja possvel a parametrizao atravs de
uma nica varivel.
3.5 VALIDAO DO MODELO
O objetivo desta etapa do processo de identificao verificar se
os modelos
obtidos so vlidos e qual deles o mais adequado aplicao em
particular. Uma das
formas mais comuns de verificar a validade do modelo comparar se
este capaz de
reproduzir o comportamento do sistema. Para a realizao deste
teste importante a
utilizao de um conjunto de dados diferente daquele empregado na
etapa de estimao.
Este segundo conjunto de dados, embora diferente, deve ser
obtido segundo as mesmas
condies de operao do primeiro. Esta prtica, embora simples,
permite observar a
capacidade de generalizao do modelo obtido.
Anlise de Resduos
Uma forma de avaliar se um modelo adequado atravs do erro de
estimao
cujo comportamento desejvel do tipo rudo branco. Considerando
que o resduo
representa a parcela dos dados no explicada pelo modelo. Se este
um rudo branco
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 52
significa que no h nenhuma informao til adicional nos dados alm
daquela j descrita
pelo modelo estimado. Este comportamento pode ser verificado
pela anlise da funo de
autocorrelao normalizada que deve apresentar seu primeiro
elemento unitrio
enquanto que os demais devem distribuir-se aleatoriamente em
relao ao zero num
intervalo de confiana de 95% para que o resduo possa ser
admitido como rudo branco,
Figura 3.10 (Ljung, 1987; Aguirre, 2000).
1
1( ) ( ) ( )N
eet
r e t eN
t =
= + (3.54)
1.96 1.96( ) , 0eerN N < < (3.55)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
atraso
r ee
Figura 3.10 Funo de Autocorrelao de um Resduo Rudo Branco.
Esta tcnica eficiente para indicar a escolha da ordem do modelo
reduzida em
relao ao processo real (sub-modelagem) ou erros na etapa de
estimao mas no fornece
qualquer informao que indique a ocorrncia de
sobre-modelagem.
Para avaliar a capacidade do modelo em reproduzir o
comportamento dinmico do
processo importante a utilizao de ndices de desempenho que
auxiliem nesta etapa.
-
CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 53
Somatrio do Erro Quadrtico SSE (Sum of Squared Error)
[ ]21
( ) ( )N
tSSE y t y t
== (3.56)
Este ndice representa a soma dos quadrados do erro de estimao e,
quanto menor
o seu valor, melhor a qualidade do modelo.
Coeficiente de Correlao Mltipla R2
[ ][ ]
2
2 1
2
1
( ) ( )1
( ) ( )
N
tN
t
y t y tR
y t y t
=
=
=
(3.57)
onde y a mdia das N amostras medidas para a sada do
processo.
Quando o valor de R2 igual unidade (1.0) indica uma exata
adequao do
modelo para os dados medidos do processo. Um valor de R2 entre
0.9 e 1.0 considerado
suficiente para aplicaes prticas, em sistemas de controle
(Coelho e Coelho, 2003).
Embora forneam uma indicao importante em relao qualidade do
modelo
obtido estes ndices de desempenho no levam em considerao a
complexidade (nmero
de parmetros) do modelo. A seleo do modelo mais adequado deve
sempre levar em
conta a relao entre capacidade de representao e simplicidade
estabelecendo um
compromisso entre preciso do modelo x esforo computacional, por
exemplo, atravs do
critrio de informao de Akaike (Ljung e Glad, 1994).
-
4. CONTROLE PREDITIVO
4.1 INTRODUO
O controle preditivo baseado em modelo (MPC Model Predictive
Control) surge
atualmente como uma das mais populares e eficientes estratgias
de controle na indstria
de processos. Muitos dos aspectos fundamentais num projeto de
controle industrial prtico
podem ser explorados num controle preditivo baseado em modelo,
como a trajetria de
referncia futura, previso de perturbaes e a possibilidade de
incluso de restries,
verificando a flexibilidade desta tcnica de controle (Ogunnaike
e Ray, 1994; Zambrano e
Camacho, 2002).
Embora idealizado inicialmente para aplicaes em sistemas de
potncia e na
indstria petrolfera, atualmente, o controle preditivo empregado
nas mais diversas reas
no somente da indstria (regulao de tenso, controle de
temperatura, presso, nvel,
etc.) mas tambm em outras reas do conhecimento humano como a
medicina (anestesia,
controle de presso sangnea) mostrando a evoluo prtica destas
estratgias e
comprovando que em breve devem substituir a maioria dos
controladores clssicos
utilizados que muitas vezes mostram-se ineficientes em ambientes
complexos (Kwok,
1994; Santos, 1998; Rawlings, 2000).
A estrutura bsica do MPC apresentada na Figura 4.1 onde os
principais
elementos envolvidos so:
Trajetria de Referncias - representa o comportamento do sinal
desejado para a
sada no futuro. o conhecimento prvio desta trajetria que garante
ao controlador uma
caracterstica antecipativa.
Modelo - modelo matemtico do processo que deve ser capaz de
representar o seu
comportamento dinmico de forma suficientemente precisa. Conforme
a necessidade este
-
CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 55
modelo pode ser linear ou no-linear e podendo, ainda, ser
atualizado atravs de mtodos
de identificao on line conferindo ao controlador uma
caracterstica adaptativa.
Preditor - fornece atravs do modelo matemtico uma previso da
sada futura com
base na informao atual da planta.
Otimizador - minimiza a funo custo a cada perodo de amostragem
de forma a
obter uma ao de controle que garanta um desempenho adequado ao
sistema. A funo a
ser minimizada pode contemplar, alm de parcelas associadas ao
erro futuro e ao
incremento no sinal de controle, outros termos que forneam ao
controlador propriedades
que melhorem o seu desempenho frente s particularidades do
processo. Quando da
utilizao de uma funo custo quadrtica, modelos lineares e na
ausncia de restries o
problema de otimizao apresenta uma soluo analtica, caso
contrrio, algum mtodo de
otimizao numrica deve ser empregado.
O MPC baseia-se na previso do comportamento futuro do processo
para o clculo
do sinal de controle. As previses so feitas atravs de um modelo
matemtico do processo
sobre um intervalo de tempo denominado horizonte de previso cujo
conceito ilustrado
na Figura 4.2.
erro de previso
OTIMIZADOR
MODELO
PROCESSO
PREDITOR
controle
previso da sada
+ sada TRAJETRIA DE
REFERNCIAS
Figura 4.1 Estrutura de um Controlador Preditivo.
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CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 56
passado futuro
referncia futura
sada prevista y
controle futuro u
O horizonte de previso final (N2) representa o intervalo futuro
onde est sendo
considerado o comportamento da sada da planta e o horizonte de
controle (Nu)
corresponde ao nmero de aes de controle consideradas.
4.2 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO LINEAR
A utilizao de modelos lineares numa aplicao de controle
preditivo bastante
comum pois alm da popularidade deste tipo de modelo, muitas
vezes, torna-se necessrio
o emprego de um modelo simplificado para possibilitar que todos
os clculos envolvidos
sejam realizados dentro do intervalo correspondente a um perodo
de amostragem
viabilizando, assim, o controle em tempo-real. Um modelo linear
possibilita, tambm
soluo analtica para o problema de minimizao da funo custo quando
no so
consideradas restries. A opo por um modelo linear para a
representao da planta deve
ser a escolha preferencial sempre que este possibilite que o
controlador alcance o
desempenho almejado pelo usurio.
Nos ltimos anos houve um grande crescimento nas aplicaes
industriais de
controle preditivo baseado em modelos lineares. A Tabela 4.1
apresenta algumas destas
aplicaes presentes no trabalho de Qin e Badgwell (2000;
2003).
tempo t+Nu
t+N2t-1 t+Nu-1 t+1 t
Figura 4.2 Horizontes de Previso.
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CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 57
Tabela 4.1 Aplicaes Comerciais de MPC.
rea Adersa Aspen Technology
HonneywelHi-Spec
Invensys SGS Total
refinaria 1200 480 280 25 1985 petroqumica 450 80 20 550 qumica
100 20 03 21 144 papel 18 50 68 ar e gs 10 10 utilidades 10 04 14
metalurgia 08 06 07 16 37 alimentos 41 10 51 polmeros 17 17 fornos
42 03 45 aeroespacial 13 13 automotiva 07 07 outras 40 40 1045 26
450 1601 Total 1833 696 1438 125 450 4542
4.2.1 Controle de Varincia Mnima Generalizada (GMV)
O controlador GMV (Generalized Minimum Variance) foi proposto
por D. W.
Clarke e P. J. Gawthrop (Clarke e Gawthrop, 1975) como uma
generalizao do regulador
de varincia mnima proposto por K. J. strm e B. Wittenmark (strm
e
Wittenmark,1973), onde a funo custo a ser minimizada obtida em
funo do modelo do
processo e da dinmica desejada para a malha de controle atravs
de uma sada
generalizada (t), equao (4.1). O sinal de controle otimizado de
maneira a determinar, atravs dos parmetros de projeto, a dinmica
transitria, reduzindo a sobre-elevao e
eliminando o erro em regime permanente, isto ,
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (rt d q y t d q y t q u t + = + + 1
)
1 )
(4.1)
onde (q-1), (q-1) e (q-1) so polinmios de ponderao da sada,
controle e referncia, respectivamente.
O controlador GMV utiliza um modelo matemtico do tipo CARMA
conforme
caracterizado pela seguinte equao a diferenas:
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (dA q y t q B q u t C q t = + (4.2)
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CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 58
onde y(t) a sada do processo, u(t) a varivel manipulada, d o
atraso de transporte, (t) representa rudo na medio, perturbaes e/ou
erros de modelagem.
A funo custo a ser minimizada
2 ( )GMVJ t d= + (4.3)
Seja a identidade polinomial
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )dq C q A q E q q S q = + 1 (4.4)
onde 1 1
1( ) 1 ... een
nE q e q e q = + + +
1 10 1( ) ... ss
nnS q s s q s q
= + + + ne = d 1 ns = max(na 1, n + nc d)
Pela manipulao das equaes (4.1), (4.2) e (4.4) obtm-se
[ ]{ }1( ) ( ) ( ) ( ) ( )rt d Sy t BE C u t C y t E t dC + = +
+ + + | informaes disponveis | |futuro|
no instante t
(4.5)
Assim, minimiza-se a funo custo JGMV, funo (4.3), zerando o
primeiro termo da
equao (4.5), isto
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (r )B q E q q C
q u t C q q y t S q y t
+ = (4.6)
e a lei de controle pode ser representada da forma
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (r )R q u t T q y t S q y t
= (4.7)
onde
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CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 59
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )1R q B q E q q C q = + 1
1 1( ) ( ) ( )T q q C q =
ns = na 1, nt = nb + d 1 e nr = n + nc
A estrutura utilizada pelo controlador GMV ilustrada na Figura
4.3.
Substituindo a lei de controle na equao do processo, Eq. (4.2),
obtm-se a
equao de malha fechada dada por
( ) ( ) ( )d
rq B BE Cy t y t tB A B A
+ = + + + (4.8)
Para que o sistema apresente erro nulo em regime permanente
torna-se necessrio
satisfazer a relao
1 1
1 1 1 11
( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) q
B q qq B q A q q
=
= +
qd B(q1)
A(q1)
1
R(q1)
S(q1)
T(q1)
C(q1)
(t)
A(q1)
yr(t) u(t) y(t) + +
Figura 4.3 Estrutura do Controlador GMV.
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CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 60
Uma das maneiras de obter-se erro nulo em regime permanente
corresponde
utilizao de uma ponderao incremental para o controle, ou seja,
(q1) = 0 (1 q1), ou ainda, pelo uso de um modelo CARIMA (Vaz,
1999). Atravs da correta seleo do
polinmio (q1), cujo objetivo limitar o esforo de controle,
pode-se tratar sistemas de fase no-mnima bem como instveis em malha
aberta. A sintonia adequada dos
polinmios (q1) e (q1) pode reduzir a sobre-elevao da resposta
transitria do sistema.
A estratgia de controle GMV apresenta, ainda, como
caractersticas:
permite a penalizao do esforo de controle na funo custo;
apresenta bom seguimento da referncia; trata alguns sistemas de
fase no-mnima sem a utilizao de mtodos auxiliares.
4.2.2 Controle por Matriz Dinmica (DMC)
O controlador DMC (Dynamic Matrix Control) desenvolvido por C.
R. Cutler e B.
L. Ramaker foi um dos primeiros controladores preditivos
baseados em modelo a
apresentar disponibilidade comercial. O DMC para um sistema SISO
baseado no modelo
da resposta ao degrau do tipo ISR (Infinite Step Response) dado
por:
1( ) ( ) ( )i
iy t g u t i t
== + (4.9)
onde y(t) a sada do processo, u(t) a varivel manipul