Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica 1 CAPÍTULO III - POLINÔMIOS DE JACOBI E QUADRATURA NUMÉRICA III-i-)INTRODUÇÃO Para um melhor entendimento do método da colocação ortogonal e sua relação com o método dos resíduos ponderados (MRP), torna-se indispensável um estudo, mesmo que de caráter introdutório, das propriedades dos polinômios de Jacobi e das quadraturas numéricas correspondentes.Com isto, pode-se compreender a relação existente entre a seleção do polinômio de Jacobi adequado ao problema em foco e, em conseqüência, a seleção dos pontos de colocação e os métodos dos momentos e de Galerkin. Em diferentes trabalhos de aplicação do método da colocação ortogonal, sobretudo na literatura de engenharia química, nota-se uma certa confusão e não sistematização na seleção destes polinômios, provocando com isto uma grande dificuldade no aprendizado do método e um não aproveitamento de seu potencial. É assim o objetivo deste capítulo apresentar as principais propriedades desta família de polinômios ortogonais e das quadraturas numéricas correspondentes. Deduções de algumas destas propriedades serão evitadas, desde que não comprometam a seqüência da exposição, maiores detalhes podem ser encontrados no livro de John Villadsen : “Selected Approximation Methods for Chemical Engineering Problems” impresso pelo Instituttet for Kemiteknik/Numerisk Institut do Danmarks Tekniske Hjskole (1970). III-ii-)POLINÔMIOS DE JACOBI Definição: Seja a função peso x x x 1 com 1 e > 1 e seja o intervalo fechado [0,+1], então a família de polinômios de Jacobi, representado genericamente por P x n , ( ) [designando n o grau do polinômio e e os expoentes de (1-x) e x, respectivamente, na função peso x ], é definida através da propriedade de ortogonalidade : 1 0 0 0 1 x x P xP x dx C m n n mn , , , () () para m n C para m=n n (III-1) O polinômio de Jacobi P x n , ( ) é dito ortogonal no intervalo [0,+1] em relação à função peso x x x 1 . A partir da propriedade de ortogonalidade (III-1), pode-se determinar recursivamente qualquer termo da família a menos de uma constante. Esta constante adicional é selecionada através de uma condição de padronização que, neste caso particular, pode assumir uma das duas formas descritas a seguir: i-)o coeficiente independente de x em P x n , () é igual a (-1) n e, neste caso, o polinômio é designado por P maiúsculo; ii-)o coeficiente de x n é igual a 1 e, neste caso, o polinômio é designado por p minúsculo, isto é: p x n , ( ). Exemplo Ilustrativo: sejam =1 e =1, assim:
33
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Quadraturas de Gauss - COPPE / UFRJ de... · Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica 1 CAPÍTULO III - POLINÔMIOS DE JACOBI E QUADRATURA NUMÉRICA III-i-)INTRODUÇÃO Para um
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Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
1
CAPÍTULO III - POLINÔMIOS DE JACOBI E QUADRATURA NUMÉRICA
III-i-)INTRODUÇÃO Para um melhor entendimento do método da colocação ortogonal e sua relação com o método dos resíduos ponderados (MRP), torna-se indispensável um estudo, mesmo que de caráter introdutório, das propriedades dos polinômios de Jacobi e das quadraturas numéricas correspondentes.Com isto, pode-se compreender a relação existente entre a seleção do polinômio de Jacobi adequado ao problema em foco e, em conseqüência, a seleção dos pontos de colocação e os métodos dos momentos e de Galerkin. Em diferentes trabalhos de aplicação do método da colocação ortogonal, sobretudo na literatura de engenharia química, nota-se uma certa confusão e não sistematização na seleção destes polinômios, provocando com isto uma grande dificuldade no aprendizado do método e um não aproveitamento de seu potencial. É assim o objetivo deste capítulo apresentar as principais propriedades desta família de polinômios ortogonais e das quadraturas numéricas correspondentes. Deduções de algumas destas propriedades serão evitadas, desde que não comprometam a seqüência da exposição, maiores detalhes podem ser encontrados no livro de John Villadsen : “Selected Approximation Methods for Chemical Engineering Problems” impresso pelo Instituttet for Kemiteknik/Numerisk Institut do Danmarks Tekniske H jskole (1970). III-ii-)POLINÔMIOS DE JACOBI
Definição: Seja a função peso x x x 1 com 1 e > 1 e seja o
intervalo fechado [0,+1], então a família de polinômios de Jacobi, representado
genericamente por P xn , ( ) [designando n o grau do polinômio e e os expoentes de
(1-x) e x, respectivamente, na função peso x ], é definida através da propriedade de
ortogonalidade :
10
00
1
x x P x P x dx Cm n n m n
, ,,( ) ( )
para m nC para m = nn
(III-1)
O polinômio de Jacobi P xn , ( ) é dito ortogonal no intervalo [0,+1] em relação à função
peso x x x 1 . A partir da propriedade de ortogonalidade (III-1), pode-se
determinar recursivamente qualquer termo da família a menos de uma constante. Esta constante adicional é selecionada através de uma condição de padronização que, neste caso particular, pode assumir uma das duas formas descritas a seguir:
i-)o coeficiente independente de x em P xn , ( ) é igual a (-1)n e, neste caso, o
polinômio é designado por P maiúsculo; ii-)o coeficiente de xn é igual a 1 e, neste caso, o polinômio é designado por p
minúsculo, isto é: p xn , ( ) .
Exemplo Ilustrativo: sejam =1 e =1, assim:
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
2
i-) com n=0, tem-se: P x p x01 1
01 1 1, ,( ) ( ) ;
ii-) com n=1, tem-se: P x ax11 1 1, ( ) e p x x x1
1 1, ( ) , é claro que a raiz do polinômio
de Jacobi de 10 grau deve independer da forma de padronização, logo: xa
1
, para
determinar a (ou x caso optar-se pela segunda forma) utiliza-se a propriedade de ortogonalidade (III-1) com n=0 e m=1, assim:
x x ax dx a x x dx x x dx a1 1 11
3
1
4
1
2
1
30
12 3 2
0
1
0
1
aa
12
1
60 2 0 5 e x , tem-se: P x x1
1 1 2 1, ( ) e p x x11 1 0 5, ( ) , .
III-) com n=2, tem-se: P x ax bx21 1 2 1( , ) ( ) e p x x b x c2
1 1 2( , ) ( ) é claro que
bb
a e c =
1
a, para determinar a e b (ou b e c caso optar-se pela segunda forma)
utiliza-se a propriedade de ortogonalidade (III-1) com n=0 e m=2:
x x ax bx dx a x x dx b x x dx x x dx1 1 12
0
13 2 2 3
0
12
0
1
0
1
a b
a b1
4
1
5
1
3
1
4
1
2
1
3 20 12
1
60 3 5 10a b
e com n=1 e m=2:
x x x ax bx dx a x x dx a b x x dx1 2 1 1 2 22
0
14 5 3 4
0
1
0
1
2 2 3
0
1
b x x dx x x dx
a a b ba b
2
0
12
30
2
20
2
12
1
60 0 ,
logo: a b como 3 5 10 5a b a b e, finalmente: P x x x21 1 25 5 1, ( ) e p x x x2
1 1 2 0 2, ( ) ,
e cujas raízes são: x1 21 0 2
2
1 0 2
2
, , e x
Exemplo proposto: Gerar a partir da definição de ortogonalidade [Eq.(III.1)] os três primeiros polinômios de Jacobi para 1 2/ [Sugestão: utilize nas integrais a seguinte mudança de variáveis:
x
1
2
cos para 0 < ]
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
3
A expressão (III.1) pode ser rescrita na forma:
1 00
1
x x P x P x dxm n , ,( ) ( ) para todo n > m (III.2)
assim , para m=0 e n>0, como P x0 1( , ) ( ) , tem-se:
1 00
1
x x P x dxn , ( ) para todo n > 0 (III.3)
para m=1 e n>1, como P x ax1 1( , ) ( ) com a 0 , tem-se:
1 1 00
1
x x ax P x dxn , ( ) para todo n > 1
Adotando (III.3) na expressão acima, tem-se:
a x x xP x dxn1 00
1
, ( ) para todo n > 1como a0, tem-se:
1 00
1
x x xP x dxn , ( ) para todo n > 1 (III.4)
para m=2 e n>2, como P x ax bx22 1( , ) ( ) com a 0 , tem-se:
1 1 02
0
1
x x ax bx P x dxn , ( ) para todo n > 2
Adotando (III.3) e (III.4)na expressão acima, tem-se:
a x x x P x dxn1 02
0
1
, ( ) para todo n > 2 como a0, tem-se:
1 02
0
1
x x x P x dxn , ( ) para todo n > 2 (III.5)
Permitindo concluir, por indução, que:
1 00
1
x x x P x dxmn
, ( ) para todo 0 m < n (III.6)
Fundamentado na Equação acima, pode-se concluir que para qualquer polinômio de grau
0m<n : Q x c xm ii
i
m
( )
0
, tem-se:
1 00
1
x x Q x P x dxm n ( ) ( ), para todo 0 m < n (III.7)
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
4
Uma outra propriedade importante dos polinômios de Jacobi, decorrente da
utilização da Eq. (III.7) rescrita em termos de pn ,
, diz respeito à integral:
I x x p x dxn
1
2
0
1 ,
( ) (III.8)
assegurando-se que, dentre todos os polinômios de grau n com coeficiente de xn unitário, o polinômio de Jacobi normalizado é o que fornece o menor valor desta integral. Para demonstrar esta propriedade, considera-se esta mesma integral aplicada ao polinômio em x de grau n, genérico:
p x x r x r x r x rn n ii
n
( , ) ( )r 1 2
1
, onde : r
rr
rn
1
2
, assim:
1
0
2n21n21 dxrxrx)rx(xx1r,,r,r I
e
1
0n
)i(1n
i
n21 n, 2, 1, =i para 0dx,xp)x(qxx12r
r,,r,r
r
I
onde :
q x x r
j i
p x
x rni
jj
nn
i
11
( ) ( ),
r é um polinômio em x de grau (n-1). Portanto, se
p x p xn n, ( ),r como, de (III.7) : 1 00
1
x x Q x p x dxm n ( ) ( ), , para todo o
polinômio em x [Qm(x)] de grau m < n , tem-se obrigatoriamente :
0r
r,,r,r
i
n21
I
para todo i = 1, 2, ... , n Exemplo Ilustrativo: com =1, =1 e n=2 tem-se:
p x b c x r x r x b x c2 1 22( , , )
x x p x b c x x x x x x bc( ) ( , , ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 12
2 5 4 3
b c
x x x xx x x x
bc
3 2
21 11 1
( ) ( )( ) ( )
como: x x dx
k kk
11
2 10
1
, tem-se:
c
b
23
1
34
134
1
45
1
cbc
b
45
2
56
2
67
1dx)c,b,x(p)x1(x)c,b(
1
0
22I
e
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
5
5
11
20
1 -
30
1
6
1
12
112
1
20
1
c
b
0
0
c
b
23
1
34
134
1
45
1
2
45
256
2 -
c
)c,b(b
)c,b( 1
I
I
logo: p x b c x x22 0 2( , , ) , , que, do exemplo ilustrativo anterior, é p x2
1 1, ( ) .
III-iii-) GERAÇÃO DOS POLINÔMIOS DE JACOBI Mostrou-se no item anterior, em exemplo ilustrativo, que os polinômios de Jacobi podem ser gerados diretamente da propriedade de ortogonalidade , Eq. (III.1), entretanto este procedimento é muito trabalhoso, pouco eficiente e de difícil programação. Neste item outras formas de geração destes polinômios serão apresentadas, discutindo-se, em cada caso, suas limitações e adequações 10 Método: A Partir da Propriedade de Ortogonalidade Uma integral definida de extrema utilidade neste método é a seguinte:
11 1
1 1
0
1
x x dx
2 + +
para todo e (III.8)
onde a função gama de x, (x), é definida por:
t e dtx t
1
0
0 1 1 para todo x > 1 (III.9)
Esta função apresenta as propriedades: i-) 1 x x x ;
ii-) ( ) ( )!1 i i se i: inteiro 0 , implicando em:
1
10
1
x x dxi j
i ji j ! !
( )!
para todo i, j : inteiros 0
iii-) 1
2
; iv-)
1
22
Considerando a seguinte padronização de P xn( , ) ( ) :
n
0i
(n)0
ini
in),(n 0n todopara 1 com x1)x(P (III.10)
tem-se, de (III.6) :
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
6
1 1 00 0
1
0
1
x x x P x dx x x dxmn
n iin
i
nm i , ( )( ) -1 para todo 0 m < n
de (III.8), após eliminação dos termos comuns e da padronização 0(n) 1 , tem-se o
sistema linear:
-1 - -1 para todo m < n
n iin
i
n
j
inj m
j m
( )
1 1 1 (III.11)
Exemplo Ilustrativo: sejam =1 e =1, assim:
i-) com n=0, tem-se 0(0) 1 , logo: P x p x0
1 101 1 1, ,( ) ( ) ;
ii-) com n=1 e 1, tem-se:
-1 1 para todo 0 m < 11 1
1
1
1
1
3
i
ii j
i j m
j m ( ) , isto é : m=0, logo:
11
112
41 2( ) ( ) , resultando em: P x x1
1 1 2 1, ( )
iii-) com n=2 e 1, tem-se:
-1 -1 para todo 0 m < 22 2
1
2
1
1
3
i
ii j
i j m
j m ( ) , isto é : m=0 e 1, logo,
para m=0:
12
222
4
2 3
4 51( ) ( ) ou : 3 5 102
212 ( ) ( )
para m=1:
12
223
5
3 4
5 61( ) ( ) ou : 2 3 52
212 ( ) ( )
a resolução deste sistema linear fornece: 22
12 5( ) ( ) , então: P x x x2
1 1 25 5 1, ( ) Exemplo proposto: Gerar a partir da Eq.(II.11) os três primeiros polinômios de Jacobi para 1 2/
20 Método: A Partir da Geração Recursiva dos Coeficientes do Polinômio
Considerando a forma (III.10) de representação de P xn , ( ) , os coeficientes i
n
podem ser gerados recursivamente através de:
i
ninn i n i
i i
11 para i=1, 2, ..., n com
0(n) para todo n 0 1
(III.12)
Exemplo Ilustrativo: sejam =1 e =1, assim:
i-) com n=0, tem-se 0(0) 1 , logo: P x p x0
1 101 1 1, ,( ) ( ) ;
ii-) com n=1 e 1, tem-se:
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
7
11 2 1 1 1 1 1
1 1 11 2
, logo: P x x11 1 2 1, ( )
iii-) com n=2 e 1, tem-se:
i i
i i
i i2
123 4
1
para i=1 e 2 com 0
(2) 1,
logo com i=1
12 2 5
1 21 5
e com i=2
22
12
121 6
2 35 então: P x x x2
1 1 25 5 1, ( )
Exemplo proposto: Gerar a partir da Eq.(III.12) os três primeiros polinômios de Jacobi para 1 2/
30 Método: A Partir da Geração Recursiva dos Polinômios Considerando a segunda forma de padronização dos polinômios de Jacobi, isto é
p xn , ( ) na qual o coeficiente de xn é sempre igual a 1, há a seguinte forma de gerar
recursivamente estes polinômios: p x x g p x h p xi i i i i , , ,( ) , ( ) , ( ) 1 2 para i = 1, 2, , n
com p e p 1 10 1 , ,( ) ( )x x
onde:
g
i
i
,
1
2
12 1 1
2 2
2
para i = 1
1
2 para i > 1
e
h
i i i i
i i i
i
,
0
1 1
2 31 1 1 1
2 1 2 2 2 3
2
2
para i = 1
para i = 2
para i > 2
(III.13)
Este procedimento, em comparação com os anteriores. é extremamente adequado à implementação computacional e para o cálculo do valor numérico do polinômio para diferentes valores do argumento.
Os valores dos coeficientes gi , e hi , para i=1, 2, ..., n podem ser
calculados no início do procedimento, pois independem do valor do argumento x.
Exemplo Ilustrativo: sejam =1 e =1, assim tem-se: p e p 11 1
11 10 1, ,( ) ( )x x e
g
i1
2 2
2
2
4
1
2
1
21
1 1
2 1 1 1 1
1
2
e g para i >1i
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
8
h1 20
1 1 1 1
1 1 2 1 1 3
1
20
; h2 e
hi i i i
i i i
i
ii
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 3
1
4
1
4 12
2
2 para i > 2 , logo :
para i=3
h31
4
9 1
4 9 1
2
35
assim, com i=1 : p x x g p x h p x x11 1
1 01 1
1 11 111 11
1
2, , ,( ) , ( ) , ( )
assim, com i=2:
p x x g p x h p x x x x x21 1
1 111
2 011 211 11
1
2
1
2
1
20
1
5, , ,
( ) , ( ) , ( )
assim, com i=3:
p x x g p x h p x x x x x
x x x
31 1
2 21 1
3 111 2
3 2
11 111
2
1
5
2
35
1
2
3
2
9
14
1
14
, , ,( ) , ( ) , ( )
Exemplo proposto: Gerar utilizando o procedimento iterativo descrito por (III.13) os quatro primeiros polinômios de Jacobi para 1 2/
A implementação desse método pode também ser feito através da matriz tridiagonal abaixo:
A
g
h g
h g
h g
h gn n
n n
1
2 2
3 3
1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
o polinômio característico desta matriz é P xn( , ) ( ) , isto é: )xdet()x(P ),(
n AI . Caso um método numérico de determinação de valores característicos de matrizes estiver disponível, este procedimento se apresenta como uma alternativa interessante para a
determinação das raízes de P xn( , ) ( ) que são os valores característicos de A.
Exemplo Ilustrativo: No exemplo ilustrativo anterior determinou-se:
g i 1
2 para todo i0 e h2
1
20
2
35 e h3 , assim:
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
9
para n=2 tem-se: A
gh g
1
2 2
11
21
1
20
1
2
e
p xx
xx x2
1 1 2
1
21
1
20
1
2
1
5( , ) ( ) det
para n=2 tem-se: A
gh g
h g
1
2 2
3 3
1 01
0
1
21 0
1
20
1
21
02
35
1
2
e
p x
x
x
x
31 1
1
21 0
1
20
1
21
02
35
1
2
( , ) ( ) det
x x x1
2
1
72
III-iv-) DETERMINAÇÃO DAS RAÍZES DOS POLINÔMIOS DE JACOBI Antes de apresentar os procedimentos numéricos de determinação das raízes de polinômios de Jacobi, caracterizar-se-á a natureza das mesmas que são todas reais, distintas e contidas no interior do intervalo (0,+1). A caracterização da natureza das raízes pode ser feita a partir da propriedade de ortogonalidade (III-7) rescrita na forma:
( ) ( ) ( )x Q x p x dxm n 00
1
para todo 0 m < n (III.14)
onde: (x) é uma função peso genérica que deve satisfazer a : (x) >0 no intervalo (0,+1),
Qm(x) é um polinômio em x de grau inferior a n e p x x xn ii
n
( ) ( )
1
. Note que pn(x) não
é necessariamente um polinômio de Jacobi, mas sim o n’ésimo membro de uma família de polinômios ortogonais no intervalo (0,+1) em relação à função peso genérica: (x). (a)Demonstração da existência de m raízes reais, distintas e contidas no intervalo (0,+1). Seja m=0 e Qm(x)=1, assim:
( ) ( )x p x dxn 00
1
como (x) >0 no intervalo (0,+1), pn(x), pelo Teorema do Valor
Médio, troca pelo menos uma vez de sinal no intervalo (0,+1), sejam os m [ 1<mn] pontos distintos em que pn(x) troca de sinal no intervalo os pontos x1 , x2 , ... , xm. Para demonstrar que a multiplicidade de cada um destes pontos é 1 (um), considera-se a suposição oposta que a multiplicidade do ponto x1 , por exemplo, é k>1, assim:
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
10
Q xp x
x xm
n
2
12
( )( )
( ) é um polinômio de grau (m-2) e em vista de (III.14):
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )x Q x p x dx x
p x
x xp x dxm n
nn
2
12
0
1
0
1
0 , mas:
p x
x xp x
p x
x xn
nn( )
( )( )
( )
12
1
2
0
e como (x) >0 no intervalo (0,+1), o integrando desta última integral jamais troca de sinal no intervalo, contradizendo assim a consideração inicial. (b)Demonstração que todas as raízes são reais e contidas no intervalo (0,+1) Considerando-se que apenas m [ 1<mn] raízes de pn(x) são reais, distintas e contidas no intervalo (0,+1) e sejam estes valores: x1 , x2 , ... , xm. tem-se assim:
p x x x x x x x x x x x x xn m m m n( ) 1 2 1 2
sejam: Q x x x x x x xm m( ) 1 2 um polinômio de grau mn que contém as
raízes reais e distintas de pn(x) contidas no intervalo (0,+1) e
R x x x x x x xn m m m n ( ) 1 2 um polinômio em x de grau (n-m)>0 que
contém todas as raízes reais de pn(x) contidas fora do intervalo (0,+1) e as raízes complexas, isto é : R xn m ( ) 0 em todos os pontos do intervalo (0,+1).
Deste modo: Q x p x x x x x x x R xm n m n m( ) ( ) ( ) 1 22
0 em todos os
pontos do intervalo (0,+1), resultando necessariamente em :
( ) ( ) ( )x Q x p x dxm n 00
1
, o que contradiz a Eq. (III.14) caso m<n, isto só será
possível se: m=n, isto é todas as raízes de pn(x) são reais, distintas e contidas no interior do intervalo (0,+1). Deste modo todas as raízes dos polinômios da família de polinômios ortogonais caracterizados por:
( ) ( ) ( )x p x p x dxm n n C mn para todo n, m 00
1
(III.15)
onde: (x) é uma função peso genérica que deve satisfazer a : (x) >0 no intervalo (0,+1) e
p x x xn ii
n
( ) ( )
1
, são reais, distintas entre si e contidas no interior do intervalo de
ortogonalidade : 0 < x < +1. Esta característica das raízes elimina no procedimento numérico de sua determinação a etapa de localização preliminar das mesmas, permitindo aplicar o método de Newton-Raphson adotando como condição inicial : x(0) =0 na determinação da menor raiz [x1 ] e x(0) = 1 na determinação da maior raiz [xm ].
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
11
Aplicação Recursiva do Método de Newton-Raphson para a Determinação de Todas as
Raízes de P xn , ( )
Após demonstrado que todas as raízes de P xn , ( ) são reais, distintas e contidas no
interior do intervalo (0,+1) o método de Newton-Raphson é aplicado para a determinação das mesmas na forma: (a) Determinação da Menor Raiz : x1
Como 0 < x1 , aplica-se o método de Newton-Raphson diretamente a P xn , ( )
adotando como condição inicial o valor 0 (zero), assim:
x xP x
P x
k k nk
nk1
11
1
1
10)
0( ) ( )
, ( )
, ( )
(
para k = 0, 1, com x
(III.16)
(b) Após obtida a convergência do procedimento (III-16) tem-se x1 , para determinar a raiz seguinte divide-se o polinômio original pelo monômio (x-x1), assim:
P x
x xQ xn
n
,( )
( )
1
1 é um polinômio em x de grau (n-1) pois (x-x1) é um fator exato de
P xn , ( ) , o método de Newton-Raphson é então aplicado ao polinômio deflatado Qn-1(x)
na forma:
x x
Q x
Q xx sendo k k n
k
nk2
12
1 2
1 21
( ) ( )( )
( ),
para k = 0 ,1, com x 0 2(0) [10 , por exemplo]-6
Este procedimento apresenta, entretanto, duas desvantagens: A determinação da segunda raiz é afetada pela precisão com que foi determinada a primeira raiz x1 , este acúmulo de erro será agravado na determinação das raízes subsequentes, carregando assim os erros das raízes posteriores na determinação da cada nova raiz; O procedimento de divisão de polinômios é muito tedioso além de envolver grande número de operações, e isto será tanto maior quanto maior for o número de divisões. Para evitar estes aspectos negativos, adota-se o seguinte procedimento alternativo
resultante da análise do termo:
Q x
Q xn
n
1
1 que nada mais é que a divisão do polinômio
deflatado Qn-1(x) por sua derivada, isto na realidade é o inverso da derivada do logaritmo neperiano de Qn-1(x), assim como:
Q xP x
x xQ x
P x
x xP x x xn
nn
nn
1
11
11( )
( )ln ( ) ln
( )ln ( ) ln( )
, ,,
derivando esta última expressão em relação a x, tem-se:
Q x
Q x
P x
P x x x
P x
P x
P x
P x x xn
n
n
n
n
n
n
n
1
1 1 1
11
1( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
,
,
,
,
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
12
assim:
Q x
Q x
P x
P x
P x
P x x x
n
n
n
n
n
n
1
1
11
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
,
,
Substituindo esta expressão no procedimento iterativo de determinação da segunda raiz, resulta:
x xP x
P x P x
P x x x
x
k k nk
nk
nk
nk k
21
22
2 2
2 2 1
20
1
1
11
( ) ( )
, ( )
, ( ) , ( )
, ( ) ( )
( )
para k = 0, 1, com x
(III.17)
Note que neste novo procedimento evita-se a divisão de P xn , ( ) por (x-x1), além disto é
interessante notar que à medida que x k2( ) vai convergindo para sua solução
P xnk , ( )
2 0 e, em conseqüência,
11
12
2 2 1
P x
P x x x
nk
nk k
, ( )
, ( ) ( ), deste modo, nas
proximidades da solução, o algoritmo numérico comporta-se de forma semelhante ao
Newton-Raphson aplicado diretamente à xP ,n
e o erro numérico resultante da determinação da primeira raiz deixa de afetar a determinação desta nova raiz. O mesmo procedimento pode ser aplicado na determinação das demais raízes resultando em:
x xP x
P x P x
P x x x
x
mk
mk n m
k
n mk
n mk
n mk
mk
jj
m
m m
( ) ( ), ( )
, ( ) , ( )
, ( ) ( )
( )
1
1
1
01
1
11
para k = 0, 1, com x
(III.18)
Neste procedimento a forma mais adequada para a geração do polinômio de Jacobi é a forma (III.13), abaixo transcrita:
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
13
p x x g p x h p xi i i i i , , ,( ) , ( ) , ( ) 1 2 para i = 1, 2, , n
1)x(p e 0)x(p com ,0
,1 . E a derivada do polinômio de Jacobi, necessária ao
algoritmo acima, é também obtida desta expressão segundo: p x x g p x h p x p xi i i i i i
, , , ,
( ) , ( ) , ( ) ( )1 2 1 para i = 1, 2, , n 0)x(p e 0)x(p com ,
0,
1 .
Na figura abaixo, representam-se os três primeiros polinômios de Jacobi, n=1, 2 e 3, com ==1
0 0.5 11
0
1
Fig.II-1-Polinômios de Jacobi
1
-1
P 1 xk
P 2 xk
P 3 xk
10 xk
com 1
Exemplo Ilustrativo: sejam =1 e =1, assim tem-se: p e p 11 1
Note que à medida que x2 converge para a segunda raiz, G tende para 1(um), mostrando assim que o efeito da primeira raiz sobre a segunda torna-se desprezível à medida que o processo iterativo converge.
Note que à medida que x3 converge para a segunda raiz, G tende para 1(um), mostrando assim que o efeito das primeira e segunda raízes sobre a terceira torna-se desprezível à medida que o processo iterativo converge. A seguir mostram-se graficamente os processos iterativos de busca das três raízes:
0 2 4 60
0.5
1
x1k
x2k
x3k
k
Optando-se para determinar as raízes de p x31 1( , )
( ) através dos valores característicos da matriz descrita acima, tem-se:
A
0 5 1 0 0 0
0 05 0 5 1 0
0 0 0 057142857 0 5
. . .
. . .
. . . cujos valores característicos são:
v
0172673165
0 5
0 827326835
.
.
.
obtidos por rotina numérica apropriada.
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
16
Exemplo proposto: Calcular as raízes do polinômio de Jacobi de quarto grau com 1 2/ [Observação: Note que este polinômio é na realidade o polinômio de Chebishev deslocado ao domínio de ortogonalidade 0 x +1, sendo o intervalo de ortogonalidade original -1 x +1 e sendo Tn(x) = cos(n) sendo = arc cos(x) ]
III-v-) QUADRATURA NUMÉRICA DA GAUSS-JACOBI Métodos de quadratura numérica expressam, em geral, formas discretas de avaliações de integrais de variáveis contínuas, deste modo (após normalizar a variável de integração de modo que a integral definida de uma função qualquer permaneça entre 0 e 1), tem-se o objetivo da quadratura numérica é o cômputo de integrais do tipo:
I ( ) ( )x f x dx0
1
(III.19)
em que: (x) é uma função peso genérica que deve satisfazer a : (x) >0 no intervalo (0,+1) e f(x) é uma função qualquer contínua por partes no mesmo intervalo. Os métodos de quadratura podem assim ser classificados em dois grandes grupos: (a) Métodos de Quadratura que Utilizam Apenas Pontos Internos Neste caso tem-se:
I W f x x xj j nj
n
( ) onde : 0 < x1 21
1 (III.20)
em que: xj são as abscissas ou pontos da quadratura e Wj >0 são os pesos da quadratura [ para j= 1, 2, ..., n]. Método de integração numérica deste tipo é chamado de Quadratura de Gauss. (b) Métodos de Quadratura que Utilizam Pontos Internos e Ponto(s) Externo(s) Neste caso têm-se os subgrupos: (b-1) Inclui também a extremidade inferior:
I W f x x xj j nj
n
( ) onde : 0 = x < x0 1 20
1 (III.21)
em que: xj são as abscissas ou pontos da quadratura e Wj >0 são os pesos da quadratura [ para j= 0, 1, 2, ..., n]. (b-2) Inclui também a extremidade superior:
I
W f x x x xj j n nj
n
( ) onde : 0 < x1 2 11
1
1 (III.22)
em que: xj são as abscissas ou pontos da quadratura e Wj >0 são os pesos da quadratura [ para j= 1, 2, ..., n, n+1]. (b-3) Inclui ambas as extremidades:
I
W f x x x xj j n nj
n
( ) onde : 0 = x < x0 1 2 10
1
1 (III.23)
em que: xj são as abscissas ou pontos da quadratura e Wj >0 são os pesos da quadratura [ para j= 0, 1, 2, ..., n, n+1].
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
17
Os dois primeiros métodos de integração numérica deste grupo são chamados de Quadratura de Gauss-Radau e o último de Quadratura de Gauss-Lobatto. No caso particular de (x)=1 e n=1, o método (III-23) recai no Método de Simpson que pode ser expresso por:
I
1
60
2
3
1
2
1
61f f f( ) ( ) (III.24)
Adotando f(x)=xk com k0 tem-se o valor exato de I = 1/(k+1) e, por inspeção vê-se: k Iexato Inumérico 0 1 1 1 1/2 1/2 2 1/3 1/3 3 1/4 1/4 4 1/5 1/4.8
Desta forma, verifica-se que o método de Simpson computa de forma exata integrais de funções polinomiais de grau inferior a 4 (no máximo de 3o grau) utilizando informações da função em apenas 3 (três) pontos, o que resultaria , por interpolação de Lagrange, em um polinômio de no máximo grau 2. O problema agora reside em como determinar, em cada caso, os pontos e os pesos de quadratura que forneçam a maior precisão possível, a questão é definir o que seja esta precisão!. Como exemplo, o caso a-) é considerado a seguir: (a) Métodos de Quadratura que Utilizam Apenas Pontos Internos Expressando f(x) segundo a forma de interpolação de Hermite com a respectiva expressão do erro, tem-se:
f x x f x Q x p xn
d f t
dtp xj j n n
j
n n
nt
n( ) ( ) ( )!
( )
21
1
2
221
2
onde: Q x f x A f x
xn j jj j
j
jj
n
1
1
2( ) ( )
[polinômio de grau n-1 em x], é
algum ponto de intervalo (0,1) e : p x x xn ii
n
( )
1
[polinômio nodal, polinômio de
grau n em x cujo coeficiente de xn é igual a 1]. Note que os valores das derivadas da função em cada um dos pontos nodais estão contidos nos coeficientes de Qn-1(x). O valor da integral (III-19), utilizando esta expansão, será:
I W f x x Q x p x dx xn
d f t
dtp x dxj j
j
n
n n
n
nt
n
( ) ( ) ( ). ( ) ( )
!
( ). ( )
11
0
1 2
22
0
11
2
Em que : W x x dxj j ( ) 2
0
1
> 0 para j = 1, 2, , n .
Como : ( ). ( )x p xn2
0 para x 0,1 a última integral pode ser expressa [ aplicando-se o teorema do valor médio] na forma:
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
18
( )!
( ). ( )
!
( ). ( ) ( )x
n
d f t
dtp x dx
n
d f t
dtx p x dx
n
nt
n
n
nt
n
1
2
1
2
2
22
0
1 2
22
0
1
, onde
é algum ponto do intervalo [0,+1]. Resultando na expressão:
I W f x x Q x p x dx
n
d f t
dtx p x dx
j jj
n
n n
n
nt
n
( ) ( ) ( ). ( )
!
( ). ( ) ( )
11
0
1
2
22
0
11
2
(III-25)
É importante ressaltar que a integral computada desta forma é exata, pois, até o momento, aproximação alguma foi feita na expressão de f(x), tendo sido incluída na expansão a expressão do erro da interpolação. As duas últimas integrais da expressão (III-25) representam o erro da integração por quadratura na forma expressa por (III-21). Deste modo, para esta forma aproximada ser a mais precisa possível deseja-se que tais termos sejam os menores possíveis. O primeiro destes termos pode ser nulo caso se adotar como pontos nodais as raízes do n’ésimo polinômio ortogonal da família:
( ) ( ) ( )x p x p x dxm n n C mn 0
1
, esta propriedade de ortogonalidade pode também
ser expressa por: ( ) ( ) ( )x Q x p x dxm n 00
1
para todo 0 m < n. Desta forma, como:
n-1<n, tem-se: ( ) ( ). ( )x Q x p x dxn n 10
1
= 0, e a expressão (III-25) assume a forma:
I W f xn
d f t
dtx p x dxj j
j
n n
nt
n
( )!
( ). ( ) ( )
1
2
22
0
11
2
(III-26)
A análise desta expressão permite caracterizar o erro da integração por quadratura de Gauss, que é o último termo da expressão, como:
Erron
d f t
dtx p x dxquad
n
nt
n
1
2
2
22
0
1
!
( ). ( ) ( )
(III-27)
a análise deste termo permite concluir que:
(i) Termo: 1
2
n !o erro da integração decresce com o aumento de n;
(ii) Termo: d f t
dt
n
nt
2
2
( )
o erro da integração será tanto menor quanto menor for o
maior valor da derivada de ordem 2.n de f(x) no interior do intervalo, e o erro será nulo se
f(x) for um polinômio em x de grau inferior a 2.n, pois neste caso : d f x
dx
n
n
2
20
( ) para todo
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
19
valor de x. Além disto, é importante ressaltar que este termo é uma característica inerente da função f(x) e independe da seleção dos valores das abcissas da quadratura;
(iii) Termo: ( ) ( )x p x dxn 2
0
1
este termo é sempre positivo e o valor mínimo que
pode assumir é o obtido quando pn(x) é o n’ésimo polinômio da família de polinômios
ortogonais: ( ) ( ) ( )x p x p x dxm n n C mn 0
1
.
Além da anulação do segundo termo do lado direito da expressão (III-25) ser assegurada! No caso particular do peso da quadratura:
( )x x x 1 com > -1 e > -1, identifica-se pn(x) como sendo o n’ésimo
polinômio de Jacobi [ isto é :
p x p xn n( ) ( ),
] e em vista de :
1 1
2
0
1
0
1
x x p x dx x x x p x dxn
nn n
, , ,( ) ( ) C , onde:
Cnn n n n
n n
, !
1 1 1
2 1 2 12 (III-27)
resulta na fórmula de Quadratura de Gauss-Jacobi :
,
n
tn2
n2n
1jjj
1
0
.dt
)t(fd
!n2
1)x(fWdx)x(fxx1I C (III-28)
onde as abscissas da quadratura 0 < x1 < x2 < ..... < xn < 1 são as n raízes do polinômio de
Jacobi
p xn ,
( ) , W x x x dxj j ( )12
0
1 > 0 para j = 1, 2, , n e
Cn
,
dado pela expressão (III-27). A forma aproximada correspondente é:
I x x f x dx W f xj jj
n
10
1
1
( ) ( )
cujo erro é:
Erron
d f t
dtquad
n
nt
n
1
2
2
2!
( ).
,
C
(III-29)
Os pesos da quadratura, Wj , podem ser calculados considerando em (III-28) :
dx
)x(dpxq e
x xx
)x(p)x(q onde )x(qx)x1()x(f
ij
x
,n
j i
1-n
i
,n
i2
ii
i
,
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
20
deste modo fi(x) é um polinômio em x de grau 2.n , cujo coeficiente do termo x2n é igual a -
1 (menos um), o que implica em : 1dx
)x(fd
!n2
1
dt
)t(fd
!n2
1n2
in2
tn2i
n2
,
e
ij
x
2,n
iiji
i
dx
)x(dpxx1)x(f
.
Deste modo:
,
n
2
x
,n
iii
1
0
2i
i
dx
)x(dpxx1Wdx)x(qx)x1(xx1 C (III-30)
Esta mesma integração pode ser feita por partes adotando:
du dx d x x u x xi i e
v x x x x q x x x q x v vi i 1 1 1 0 1 02 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
dvd x x q x
dxdx
x x x x q x
x xdq x
dx
q x dx
n x x x q x dx
n x x xp x
x xdx
i i
i i
ni
n n
i
1 1 1 1 1
2 1
2 2 1 1
2 1
1 1 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ),
assim:
u dv n x x x p x dx e nn x
x
2 1 001 , ( ) u(x) v(x) ,
resultando em:
1
0
,n
n1
0
2i dx)x(pxn2xx1dx)x(qx)x1(xx1
mas devido à ortogonalidade de p xn , ( ) tem-se:
1 20
1
x x n x p x dxnn
, ( )
2 1 20
1
n x x x p x dx nnn n , ,( ) C
assim:
1 1 22
0
1
x x x x q x dx ni n ( ) ( ) ,C (III-31)
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
21
Igualando-se (III-30) e (III-31), tem-se:
2
2 1
1
i
,n
i,
ni i
x
nW
dp xx x
dx
C (III-32)
Note que o numerador de todos os iW ) são todos iguais a:
2 1 ,nn C Α e identificando: ,
nodal np x p x , resulta em,
2 para 1, ,
1i
i i nodal i
W i n- x x p x
Α
Em que: 2 1 ,nn Α C .
Uma outra forma de calcular esses pesos é através da consideração da integral:
1
01
1 1
0
1
1
1
n n
j j jj j
x x f x dx
I H f x H
x x dx
, considerando assim:
2 2
1= para 1, , Em que :
1 1i i i
i i nodal i i i nodal i
H h i n. h- x x p x - x x p x
ΚΚ
Mas, em vista de: 1 1
1
11
n n
i i ni i
ii
H hh
Κ Κ .
Desejando-se os pesos originais da quadratura, assim se procede:
1
101 1
1
0 0
1
0
1
1 1
1 11
2
n
j jn jj j
j
j j j
W f xx x f x dx
H f x
x x dx x x dx
W x x dx H H
(b-1) Métodos de Quadratura que Utilizam os Pontos Internos e a Extremidade Inferior Expressando f(x) segundo a forma de interpolação mista de Lagrange-Hermite com inclusão de x=0, com a respectiva expressão do erro, tem-se:
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
22
2n
t1n2
1n2
n1n
n
1jj
j
2j
2
n
n
xpxdt
)t(fd
!1n2
1
xpx)x(Qxfx
xx0f
0p
xp)x(f
Onde:
n
1j jj
jj
jjjj1n x
x)x(f
x
1A2xf)x(Q
[polinômio de grau n-1 em
x], é algum ponto de intervalo (0,1) e :
n
1iin xx)x(p [polinômio de grau n em x
cujo coeficiente de xn é igual a 1]. Note que os valores das derivadas da função em cada um dos pontos nodais estão contidos nos coeficientes de Qn-1(x). O valor da integral (III-19), utilizando esta expansão, será:
1
0
2n
t1n2
1n21
0n1n
n
0jjj dx)x(p.
dt
)t(fd
!1n2
1x)x(dx)x(p).x(Qx)x()x(fWI
Em que:
0> dxxp)x(0p
1W
1
0
2n2
n0 e
n, 2, 1, =j para 0> dxxx)x(x
1W
1
0
2j
jj .
Como: ( ) . ( )x x p xn 2
0 para x 0,1 a última integral pode ser expressa [aplicando-se o teorema do valor médio] na forma:
1
0
2n
t1n2
1n21
0
2n
t1n2
1n2dx)x(px)x(.
dt
)t(fd
!1n2
1dx)x(p.
dt
)t(fd
!1n2
1x)x(
Em que é algum ponto do intervalo [0,+1]. Resultando na expressão:
1
0
2n
t1n2
1n2
1
0n1n
n
0jjj
dx)x(px)x(.dt
)t(fd
!1n2
1
dx)x(p).x(Qx)x()x(fWI
(III-33)
É importante ressaltar que a integral computada desta forma é exata, pois, até o momento, aproximação alguma foi feita na expressão de f(x), tendo sido incluída na expansão a expressão do erro da interpolação. As duas últimas integrais da expressão (III-33) representam o erro da integração por quadratura na forma expressa por (III-22). Deste modo, para esta forma aproximada ser a mais precisa possível, deseja-se que tais termos sejam os menores possíveis. O primeiro
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
23
destes termos pode ser nulo caso adotar-se como pontos nodais as raízes do n’ésimo polinômio ortogonal da família:
1
0mnnnm dx)x(p)x(px)x( C , esta propriedade de ortogonalidade pode
também ser expressa por: 1
0nm n<m0 todopara 0dx)x(p)x(Qx)x( . Desta
forma, como n-1<n, tem-se:
1
0n1n dx)x(p).x(Qx)x( = 0, e a expressão (III-33)
assume a forma:
1
0
2n
t1n2
1n2n
0jjj dx)x(px)x(.
dt
)t(fd
!1n2
1)x(fWI (III-34)
A análise desta expressão permite caracterizar o erro da integração por quadratura de Radau com inclusão da extremidade inferior, que é o último termo da expressão, assim:
1
0
2n
t1n2
1n2
quad dx)x(px)x(.dt
)t(fd
!1n2
1Erro (III-35)
a análise deste termo permite concluir que:
(i) Termo: !1n2
1o erro da integração decresce com o aumento de n;
(ii) Termo:
t1n2
1n2
dt
)t(fdo erro da integração será tanto menor quanto menor for o
maior valor da derivada de ordem (2n+1) de f(x) no interior do intervalo, e o erro será nulo
se f(x) for um polinômio em x de grau inferior a 2.n+1, pois neste caso : 0dx
)x(fd1n2
1n2
para todo valor de x. Além disto, é importante ressaltar que este termo é uma característica inerente da função f(x) e independe da seleção dos valores das abscissas da quadratura;
(iii) Termo: 1
0
2n dx)x(px)x( este termo é sempre positivo e o valor mínimo que
pode assumir é o obtido quando pn(x) é o n’ésimo polinômio da família de polinômios
ortogonais: 1
0mnnnm dx)x(p)x(px)x( C .
Além da anulação do segundo termo do lado direito da expressão (III-38) ser assegurada! No caso particular do peso da quadratura :
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
24
0>1 e -1> com xx1x)x(xx1)x( 1 identifica-se pn(x)
como sendo o polinômio de Jacobi de grau n [ isto é : )x(p)x(p 1,nn
] e em vista de :
1
0
1,n
1,n
n11
0
21,n
1 dx)x(pxxx1dx)x(pxx1 C ,
Em que:
21,
n2n22n2
2n2n1n!n
C (III-36)
Assim, a fórmula de Quadratura de Radau com inclusão de x0 =0 é expressa por:
2 11 12 1
00
11
2 1
nn ,j j nn
jt
d f tI x x f x dx W f x .
n ! dt
C
(III-37)
em que as abscissas da quadratura x0 = 0 e 0 < x1 < x2 < ..... < xn < 1 são as n raízes do
polinômio de Jacobi )x(p 1,n
,
0> dxxp)x(0p
1W
1
0
2n2
n0 e
n, 2, 1, =j para 0> dxxx)x(x
1W
1
0
2j
jj .e 1,
nC dado pela expressão
(III-41). A forma aproximada correspondente é:
n
0jjj
1
0
)x(fWdx)x(fxx1I
cujo erro é expresso por: 1,n
t1n2
1n2
quad .dt
)t(fd
!1n2
1Erro
C
(III-38)
Os pesos da quadratura, Wj , podem ser calculados segundo o procedimento: (a) Peso W0 , adotando em (III-38) :
)x(p)x1()x(f21,
n0 , deste modo f0(x) é um polinômio em x de grau 2.n+1 , cujo
coeficiente do termo x2n+1 é igual a -1 (menos um), o que implica em :
1dx
)x(fd
!1n2
1
dt
)t(fd
!1n2
11n2
01n2
t1n20
1n2
,
2n0j0 )0(p=(0)f en , 2, 1,=j para 0)x(f [onde por clareza da notação dispensou-se
o índice superior de pn (x)].
Deste modo: 1 2 120 0
01 1 0 ,
n n nx x x p x dx W p I C (III-39)
Esta mesma integração pode ser feita por partes adotando:
0=u(0) com 1
xxudxxdu
1
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
25
e
0)1(v)x(px1)x(p)x1(x1xv 2n
12n ,
assim:
0v(x)u(x) e dx)x(p1
xx1x1n2dvu 1x
0x1,
n
1n
,
resultando em:
1
0
1,n
n11
0
2n dx)x(px1n2xx1
1
1dx)x(p)x1(xx1
mas devido à ortogonalidade de )x(p 1,n
tem-se:
1α,βn
1
0
1,n
n1 1n2 dx)x(px1n2xx1 C
Assim: 1,n
1
0
2n 1
1n2dx)x(p)x1(xx1
C (III-40)
Igualando (III-39) e (III-40), tem-se:
1
0 21
2 2
1 0
,n
,n
nW
p
C (III-41)
(b) Peso Wi para i = 1,...,n, adotando em (III-42) :
221 i if x x x q x em que 1
1 ,
n n-i
i
p xq x x
x x
deste modo fi(x) é
um polinômio em x de grau 2.n+1 , cujo coeficiente do termo x2n+1 é igual a -1 (menos um), o que implica em :
2 1 2 1
2 1 2 1
1 11
2 1 ! 2 1 !
n ni i
n nt
d f t d f x
n ndt dx
,
22
0 para
1 para i j
i i n i
j if x
- x x p x j i
[em que, por clareza da notação, dispensou-se o índice superior de pn (x)]. Deste modo:
1 2 12
01 1 ,
i i i i i n i nx x f x dx W - x x p x I C (III-42)
Reescrevendo esta integral na forma: 1 21 2
01i ix x q x dx
I
e integrando por partes com: i idu dx d x x u x x e
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
26
21 2
1
1
1 0 1 0
1 1 2 1 2 1
1 2 1
i
ii i i
ni
v x x x q x v( ) v( )
dq xdv( x )x x q x x q x x q x x x
dx dx
x x q x n x
assim:
1110
2 1 1 ( ) ( ) 0x,n
n xu dv n x x x p x dx e u x v x
,
resultando em:
1 1 12 1
0 01 1 1 2 1 ,n
n nx x x p x dx x x n x p x dx
mas, devido à ortogonalidade de 1,np x , tem-se:
1 1 11
01 2 1 2 1, α,βn
n nx x n x p x dx n C
assim: 12 1 ,i nn I C (III-43)
Igualando-se (III-42) e (III-43), tem-se:
1
22
2 2
1
,n
i
i i n i
nW
- x x p x
C (III-44)
Note que o numerador de todos os iW (inclusive para i=0) são todos iguais a:
12 2 ,nn C Α e identificando: 1,
nodal np x x p x ou,
simplificando a notação:
0
n nodalnodal n k n n
k
dp xp x x p x x x p x x p x
dx , logo:
0 0 0
0 e
i
nodal nodaln i n i
x x x x
dp x dp xp x p x
dx dx
, resultando em:
2
1para 0
1 1 1 para 1, ,
i
i nodal i
iW
- x p x i n
Α
Em que:
12 2
1
,nn
CΑ .
Uma outra forma de calcular esses pesos é através da consideração da integral:
1
01
0 0
0
1
1
1
n n
j j jj j
x x f x dx
I H f x H
x x dx
, considerando assim:
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
27
2
2
= para 0 1, , 1
1 para 01
1Em que : 1 1 para 1, ,
i i
i nodal i
i
i nodal i
H h i , n.- x p x
ih
- x p x i n
ΚΚ
Mas em vista de: 0 0
0
11
n n
i i ni i
ii
H hh
Κ Κ .
Desejando-se os pesos originais da quadratura, assim se procede:
1
001 1
0
0 0
1
0
1
1 1
1 11
2
n
j jn jj j
j
j j j
W f xx x f x dx
H f x
x x dx x x dx
W x x dx H H
(b-2) Métodos de Quadratura que Utilizam os Pontos Internos e a Extremidade Superior Expressando f(x) segundo a forma de interpolação mista de Lagrange-Hermite com inclusão de x=1, com a respectiva expressão do erro, tem-se:
22
11
2 12
2 1
11 1
1 1
11
2 1
n nj j n n
j j n
n
nnt
p xxf x x f x f Q x x p x
x p
d f tx p x
n ! dt
Em que: 1
1
12
1 1
n jn j jj j
j j j j
xQ x f x A f x
x x
[polinômio de
grau n-1 em x], é algum ponto de intervalo (0,1) e : 1
n
n ii
p x x x
[polinômio de
grau n em x cujo coeficiente de xn é igual a 1]. Note que os valores das derivadas da função em cada um dos pontos nodais estão contidos nos coeficientes de 1nQ x ;
O valor da integral (III-19), utilizando esta expansão, será:
2 11 11 21 2 1
1 0 0
11 1
2 1 !
nn
j j n n nnj
t
d f tI W f x x x Q x .p x dx ( x ) x . p x dx
n dt
Em que:
1 2
0
11 > 0 para 1 2
1j j
j
W x x x dx j , , ,nx
e
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
28
1 21 2
0
1 >0
1n n
n
W ( x ) p x dxp
Como: 21 0 para 0,1nx x . p x x , a última integral pode ser expressa na
forma:
2 1 2 11 12 2
2 1 2 10 0
1 11 1
2 1 ! 2 1 !
n n
n nn nt t
d f t d f tx x p x dx x x p x dx
n ndt dt
Em que é algum ponto do intervalo [0,+1]. Resultando na expressão:
11
11 0
2 1 1 2
2 10
1
11
2 1 !
n
j j n nj
n
nnt
I W f x x x Q x .p x dx
d f t. x x p x dx
n dt
(III-45)
É importante ressaltar que a integral computada desta forma é exata, pois, até o momento, aproximação alguma foi feita na expressão de f(x), tendo sido incluída na expansão a expressão do erro da interpolação. As duas últimas integrais da expressão (III-33) representam o erro da integração por quadratura na forma expressa por (III-22). Desse modo, para esta forma aproximada ser a mais precisa possível, deseja-se que tais termos sejam os menores possíveis. O primeiro destes termos pode ser nulo caso se adotar como pontos nodais as raízes do n’ésimo polinômio ortogonal da família:
1
01 m n n mnx x p x p x dx C , esta propriedade de ortogonalidade pode
também ser expressa por:
1
01 para todo 0m n n mnx x Q x p x dx m n C . Dessa forma, como
1n n : tem-se: 1
10
1 n nx x Q x .p x dx = 0, e a expressão (III-45) assume a
forma:
2 1 11 2
2 11 0
11
2 1 !
nn
j j nnj
t
d f tI W f x . x x p x dx
n dt
(III-46)
A análise desta expressão permite caracterizar o erro da integração por quadratura de Radau com inclusão da extremidade superior, que é o último termo da expressão, assim:
2 1 1 2
2 10
11
2 1 !
n
quad nnt
d f tErro . x x p x dx
n dt
(III-47)
a análise deste termo permite concluir que:
(i) Termo:
1
2 1 !n
o erro da integração decresce com o aumento de n;
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
29
(ii) Termo: 2 1
2 1
n
nt
d f t
dt
o erro da integração será tanto menor quanto menor for o
maior valor da derivada de ordem (2n+1) de f(x) no interior do intervalo, e o erro será nulo
se f(x) for um polinômio em x de grau inferior a 2.n+1, pois neste caso : 2 1
2 10
n
n
d f x
dx
para todo valor de x. Além disto, é importante ressaltar que este termo é uma característica inerente da função f(x) e independe da seleção dos valores das abscissas da quadratura;
(iii) Termo: 1 2
01 nx x p x dx :este termo é sempre positivo e o valor mínimo
que pode assumir é o obtido quando pn(x) for o n’ésimo polinômio da família de
polinômios ortogonais: 1
01 m n n mnx x p x p x dx C . Além de assegurar a
anulação do segundo termo do lado direito da expressão (III-45)! No caso particular do peso da quadratura:
11 1 1 com 1>0 e > 1x x x x x x x
Identifica-se pn(x) como sendo o polinômio de Jacobi de grau n [isto é,:
1,n np x p x ] e em vista de :
21 11 11 1 1
0 01 1, , ,n
n n nx x p x dx x x x p x dx
C ,
Em que:
12
! 2 1 2
2 2 2 2
,n
n n n n
n n
C (III-37)
Assim, a fórmula de Quadratura de Radau com inclusão de xn+1 =0 é expressa por:
2 11 1 12 1
10
11
2 1 !
nn ,j j nn
jt
d f tI x x f x dx W f x .
n dt
C (III-38)
em que as abscissas da quadratura são 0 < x1 < x2 < ..... < xn < 1 [as n raízes do polinômio
de Jacobi 1,np x ] e xn+1,
1 2
0
11 > 0 para 1 2
1j j
j
W x x x dx j , , ,nx
e
1 21 2
0
1 >0
1n n
n
W ( x ) p x dxp
e 1,n C dado pela expressão (III-37).
A forma aproximada correspondente é:
1 1
101
n
j jj
I x x f x dx W f x
(III-39)
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
30
cujo erro é expresso por:
2 1
12 1
1
2 1 !
n,
quad nnt
d f tErro .
n dt
C
Os pesos da quadratura, Wj , podem ser calculados segundo o procedimento: (a) Peso Wi para i = 1,...,n, adotando em (III-39) :
221 i if x x x q x em que
11
,n n-
ii
p xq x x
x x
deste modo fi(x) é
um polinômio em x de grau 2.n+1 , cujo coeficiente do termo x2n+1 é igual a +1 (mais um), o que implica em :
2 1 2 1
2 1 2 1
1 11
2 1 ! 2 1 !
n ni i
n nt
d f t d f x
n ndt dx
,
22
0 para
1 para i j
i i n i
j if x
x - x p x j i
[em que, por clareza da notação, dispensou-se o índice superior de pn (x)]. Deste modo:
1 22 1
01 1 ,
i i i i i n i nx x f x dx W x - x p x I C (III-42)
Reescrevendo esta integral na forma: 1 22 1
01i ix x q x dx
I
e integrando por partes com: i idu dx d x x u x x e
22 1
1
1
1 0 1 0
1 2 1 1 2 1
1 2 1
i
ii i i
ni
v x x x q x v v
dv x dq xx x q x x q x x q x x x
dx dx
x x q x n x
assim:
1 110
2 1 1 ( ) ( ) 0x,n
n xu dv n x x x p x dx e u x v x
,
resultando em:
1
0
1,n
n11
0
2n dx)x(px1n2xx1
1
1dx)x(p)x1(xx1
mas, devido à ortogonalidade de 1,np x , tem-se:
1α,βn
1
0
1,n
n1 1n2 dx)x(px1n2xx1 C
assim: 12 1 ,i nn I C (III-43)
Argimiro R Secchi
Realce
(alfa+1,beta)
Argimiro R Secchi
Realce
(alfa+1,beta)
Argimiro R Secchi
Realce
Argimiro R Secchi
Realce
(alfa+1,beta)
Argimiro R Secchi
Realce
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
31
Igualando-se (III-42) e (III-43), tem-se:
1
22
2 2
1
,n
i
i i n i
nW
- x x p x
C (III-44)
(a) Peso Wn+1 , adotando em (III-39) :
2
11 ,
n nf ( x ) x p x
, deste modo f0(x) é um polinômio em x de grau 2.n+1 , cujo
coeficiente do termo x2n+1 é igual a -1 (menos um), o que implica em :
1dx
)x(fd
!1n2
1
dt
)t(fd
!1n2
11n2
01n2
t1n20
1n2
,
2n0j0 )0(p=(0)f en , 2, 1,=j para 0)x(f [onde por clareza da notação dispensou-se
o índice superior de pn (x)].
Deste modo: 1,n
2n0
1
0
2n )0(pWdx)x(p)x1(xx1 C (III-39)
Esta mesma integração pode ser feita por partes adotando:
0=u(0) com 1
xxudxxdu
1
e
0)1(v)x(px1)x(p)x1(x1xv 2n
12n ,
assim:
0v(x)u(x) e dx)x(p1
xx1x1n2dvu 1x
0x1,
n
1n
,
resultando em:
1
0
1,n
n11
0
2n dx)x(px1n2xx1
1
1dx)x(p)x1(xx1
mas devido à ortogonalidade de )x(p 1,n
tem-se:
1α,βn
1
0
1,n
n1 1n2 dx)x(px1n2xx1 C
Assim: 1,n
1
0
2n 1
1n2dx)x(p)x1(xx1
C (III-40)
Igualando (III-39) e (III-40), tem-se:
1
0 21
2 2
1 0
,n
,n
nW
p
C (III-41)
Note que o numerador de todos os iW (inclusive para i=0) são todos iguais a:
Argimiro R Secchi
Realce
(alfa+1,beta)
Argimiro R Secchi
Realce
(alfa+1,beta)
Argimiro R Secchi
Realce
Argimiro R Secchi
Realce
(alfa+1,beta)
Argimiro R Secchi
Realce
Argimiro R Secchi
Realce
(alfa+1,beta)
Argimiro R Secchi
Realce
Argimiro R Secchi
Realce
Argimiro R Secchi
Realce
(alfa+1,beta)
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
32
12 2
1
,nn
CΑ e identificando: 1,
nodal np x x p x ou,
simplificando a notação:
0
n nodalnodal n k n n
k
dp xp x x p x x x p x x p x
dx , logo:
0 0 0
0 e
i
nodal nodaln i n i
x x x x
dp x dp xp x p x
dx dx
, resultando em:
2 para 0 1, ,
1i
i nodal i
W i , n- x p x
Α
Em que:
12 2
1
,nn
CΑ .
Uma outra forma de calcular esses pesos é através da consideração da integral:
1
01
0 0
0
1
1
1
n n
j j jj j
x x f x dx
I H f x H
x x dx
, considerando assim:
2 2
1= para 0 1, , Em que :
1 1i i i
i nodal i i nodal i
H h i , n. h- x p x - x p x
ΚΚ
Mas em vista de: 0 0
0
11
n n
i i ni i
ii
H hh
Κ Κ .
Desejando-se os pesos originais da quadratura, assim se procede:
1
001 1
0
0 0
1
0
1
1 1
1 11
2
n
j jn jj j
j
j j j
W f xx x f x dx
H f x
x x dx x x dx
W x x dx H H
EXERCÍCIOS: 1. Deduza as expressões dos pesos do método de quadratura de Lobatto que utiliza os
pontos internos e as duas extremidade para integrais do tipo:
1n
0iii
1
0
)x(fWdx)x(fxx1I
Argimiro R Secchi
Realce
Argimiro R Secchi
Realce
Argimiro R Secchi
Realce
(alfa+1,beta)
Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica
33
2. Mostre como se determinam as abscissas de quadratura para o cômputo de integrais do
tipo: 1
0
2 dx)x(fx12
3I . Considere as IV possibilidades: (i) apenas pontos
internos: (ii)pontos internos mais o ponto central [x=0]; (iii) pontos internos mais o ponto na superfície [x=1]; (iv)pontos internos mais o ponto central [x=0] e o ponto na superfície [x=1]. Calcule também os correspondentes pesos normalizados.