Qué vamos a aprender tabular, gráfica y algebraica ia

Matemáticas 2020 - 2021

Grado 3º

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ESCUELA SECUNDARIA GENERAL N° 12

3. Tema: NÚMERO, ÁLGEBRA Y VARIACIÓN. Funciones.

FUNCIONES:

En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función.

La palabra función se usa mucho en la vida diaria: “La función de teatro es en la tarde”. “Una función del director es organizar la escuela”. “El precio de la gasolina está en función de los precios del mercado internacional”. “El número de litros de gasolina que requiere el auto, depende, o está en función, de la distancia que va a recorrer”. En Matemáticas; la palabra función se utiliza para expresar que un número depende de otro; es una relación entre dos conjuntos de números, que asigna, a cada número de un conjunto, uno y sólo un número de otro conjunto. Por ejemplo, una bomba de gasolina es una máquina modelo de función porque a la cantidad de litros de gasolina despachados le va correspondiendo una y sólo una cantidad de pesos que se debe pagar, es decir, la cantidad de pesos que se dan depende o está en función de la cantidad de litros comprados. Una FUNCIÓN es una relación entre dos conjuntos: el conjunto de valores que se le asignan a la variable independiente llamado DOMINIO DE LA FUNCIÓN, y el conjunto de valores posibles para la variable dependiente al que se le denomina CONTRADOMINIO de la función. En una función, el valor de la variable independiente determina de una manera única el valor de la variable dependiente, es decir, a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio. Ejemplo:

Dada la función: y = 2x + 1

Se elabora una tabla. - Se asignan valores a x (variable independiente). - Se realizan las operaciones considerando el valor de x para obtener los valores de y (variable dependiente).

Se construye la gráfica.

Variable independiente

Variable dependiente

Dominio Contradominio

x y = 2x + 1

0 y= 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1

1 y= 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3

2 y= 2(2) + 1 = 2 + 1 = 5

3 y= 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7

Qué vamos a aprender:

Analiza y compara diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Análisis de tablas, gráficas y expresiones algebraicas.

Materiales:

Libreta de apuntes. Videos. Presentaciones.

Libro de Texto. Tiempo estimado: 10 sesiones

Del 5 al16 de octubre 2020

Te explico


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Las funciones pueden representarse gráficamente en el plano al localizar el conjunto de puntos cuyas coordenadas sean los valores relacionados de x , y. En los pares ordenados que representan las coordenadas de estos puntos no hay dos pares que tengan el mismo primer componente.

Las funciones pueden ser expresadas a través de una fórmula (expresión algebraica), una gráfica o una tabla ; y en varios campos de la ciencia y de la técnica se usan para poder expresar la forma en que un valor depende o está en función de otro. En geometría, en álgebra, … en física, … las leyes científicas se pueden expresar a través de fórmulas, que son funciones matemáticas.

Clasificación de funciones

• Función lineal: es toda función cuya fórmula sea de la forma y = ax + b ó y = mx + b Su gráfica es una recta: a es la pendiente y b es la ordenada al origen. La recta no pasa por el origen. Si b = 0, es de proporcionalidad directa. Si a = 0, una función constante.

Las FUNCIONES en x, y de primer grado de la forma ax + by + c = 0, con a, b ≠ 0, se representan en forma general como mx + b = y reciben el nombre de FUNCIONES LINEALES.

Su gráfica es una recta, por lo que basta localizar dos puntos de la función para determinarla.

• Función cuadrática, se expresa y = ax² + bx + c Su gráfica es una curva llamada parábola. Cada parábola tiene un eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas, y un vértice que es el punto del eje de simetría que pertenece a la curva.

Una función que se representa algebraicamente con una expresión de segundo grado en una de las variables, recibe el nombre de FUNCIÓN CUADRÁTICA. Su gráfica es una curva llamada PARÁBOLA.

• De proporcionalidad directa: Toda función que sea de la forma y = k.x ó y = m.x (k ó m distinto a 0) • Las gráficas de estas funciones son rectas que contienen al origen de coordenadas. La recta pasa por el origen. • El número k es la constante de proporcionalidad y gráficamente está asociado a la inclinación de la recta.

Una función de la forma y = mx en la que x , y son variables de primer grado y m es constante, es una FUNCIÓN LINEAL o de primer grado.

La gráfica de la función y = mx es una recta que pasa por el origen: (0,0), por lo que sólo se debe conocer un punto para determinarla.

Las funciones lineales de la forma y = k.x , y = m.x ó y = a.x representan una relación de variación directamente proporcional entre las dos cantidades del dominio y del contradominio.

• De proporcionalidad inversa: Toda función cuya expresión sea de la forma:

ó

(k ó m es un número real; x distinto a 0 y k distinto a 0) Los puntos de su gráfica están sobre una curva llamada hipérbola, que no tiene contacto con los ejes cartesianos.

La gráfica de la función

ó

en donde despejando m se obtiene: es una curva llamada hipérbola.

Se observa en la tabla que al aumentar el valor de la variable independiente x en la función xy = m, disminuye proporcionalmente el valor de la variable dependiente y. También se observa que al multiplicar las dos variables obtenemos un producto constante m, lo que describe una variación proporcional inversa.

Cuando el valor de x aumenta, el de y disminuye de manera que el producto sea siempre constante. Ni x ni y pueden tener como valor 0, pues cualquier multiplicación por 0 es igual a 0; si así fuera, su gráfica se traza con dos curvas separadas que no cruzan los ejes coordenados.

• Exponencial: toda función cuya expresión sea de la forma y = k.ax, (k y a son números reales, a mayor a 0, y a distinto a 1). Los puntos de su gráfica pertenecen a una curva que no tiene contacto con el eje de las x.

Funciones

Lineales Cuadráticas De proporcionalidad directa De proporcionalidad inversa Exponencial


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EJEMPLO (FUNCIÓN LINEAL) Forma: y = mx + b

Para fabricar agua de colonia de diferentes graduaciones, se requieren dos frascos de alcohol, más 15 cm3 de esencia de violetas. La cantidad de alcohol en los frascos es variable de acuerdo con el grado de concentración con el que se desee la colonia. ¿Qué cantidad de agua de colonia se obtiene, si para la mezcla se utiliza en cada frasco 5, 10, 15, 20, 25, … cm3 de alcohol?

Se analiza el problema. Y con la información se elabora una tabla. - Se asignan valores a x (variable independiente). - Se realizan las operaciones considerando el valor de x para obtener los valores de y (variable dependiente). Considerando lo que

se solicita en el problema.

El análisis del problema y los valores de la tabla permiten obtener la función: y = 2x + 15

Se construye la gráfica.



Dominio Contradominio Alcohol cm3 Agua de colonia

x y = 2x + 15

5 y= 2(5) + 15 = 10 + 15 = 25

10 y= 2(10) + 15 = 20 + 15 = 35

15 y= 2(15) + 15 = 30 + 15 = 45

20 y= 2(20) + 15 = 40 + 15 = 55

EJEMPLO (FUNCIÓN LINEAL DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA) Forma: y = m.x

La situación que se presenta en el problema se representó a través de una gráfica. En ella se relacionan las cantidades o datos. Esta misma información se puede representar a través de una tabla o de una expresión algebraica. Cualquiera de las tres representaciones (gráfica, tabla o expresión algebraica) debe dar la misma información de las cantidades que se relacionan.

Eloísa tiene 45 años y ha ido a su institución de salud para una revisión general. Como parte de esta revisión ha ten ido una consulta con la nutrióloga, quien le ha dicho que debe llevar un régimen alimenticio especial para bajar de peso.

Le ha explicado que tiene que bajar ocho kilogramos de forma gradual, de tal manera que si cada semana baja la misma cantidad, en poco tiempo perderá la cantidad de peso que es necesaria. La nutrióloga le muestra la siguiente gráfica:

De acuerdo con la gráfica: ¿Cuánto peso debe perder Eloísa cada semana? _________________ __________________________________________________________ ¿En esta gráfica, disminuye la misma cantidad de peso cada semana? __________________________________________________________ ¿En cuánto tiempo bajará los ocho kilogramos que necesita perder? __________________________________________________________

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3

25

35

45

55

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25

y = 2x + 15


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¿Cuál de las siguientes tablas representa la misma información que se da en la gráfica? _________________________________

Observando la información de la tabla: La diferencia de peso de una semana a otra, ¿de cuánto es? ________________________

¿En cuánto tiempo se pierden tres kilogramos? ___________________________________________________________________

Ahora, analiza y define cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la misma información que se da en la gráfica y también en la tabla:

Si representamos con x el número de semana, y con y, la cantidad de peso perdido, la expresión algebraica es: _____________

Si se quiere saber la cantidad de peso que se pierde en cuatro semanas, ¿cómo lo obtienes de la expresión algebraica? _________________________________________________________________________________________________________

Si se quiere saber en cuánto tiempo se pierden tres kilogramos, ¿cómo lo obtienes a partir de la expresión algebraica? _________________________________________________________________________________________________________

EJEMPLO (FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA) Forma:

Traza tres rectángulos: 2 por 6 cm 3 por 4 cm 5 por 2.4 cm

Calcula el área de cada rectángulo: A = 2 ( 6 ) = 12 cm2 A = 3 ( 4 ) = 12 cm2 A = 5 ( 2.4 ) = 12 cm2

¿Cuáles pueden ser otras dimensiones o medidas de rectángulos que midan 12 cm2 de área?

Si tomamos como variables x, y, al largo y al ancho de los diferentes rectángulos de 12 cm2 de área, tendríamos la

función 12 = xy o

con x = 1, … 12.

Elaboración de la tabla y la gráfica de la función: 12 = xy o despejando



Área Dominio Contradominio

Largo Ancho

x

xy = 12

1 12 ( 1 ) (12 ) = 12

2

( 2 ) (6 ) = 12

3

( 3 ) (4 ) = 12

4

( 4 ) (3 ) = 12

5

( 5 ) (2.4 ) = 12

6

( 6 ) ( 2 ) = 12

8

( 8 ) (1.5 ) = 12

10

( 10 ) (1.2 ) = 12

12

6

4

3 2.4

2 1.5 1.2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

xy = 12

=


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EJEMPLO (FUNCIÓN CUADRÁTICA) Forma: y = ax² + bx + c

Al asistir a un juego de beisbol, en el campo podemos observar diferentes movimientos de los jugadores, que también pueden ser representados por diferentes funciones.

Un movimiento es el lanzamiento de la pelota. El pícher envía una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 70 metros por segundo. ¿Cómo se calcula la distancia a la que está la pelota en diferentes momentos?

Sabemos que la pelota es un cuerpo que se lanza al espacio, por lo que intervienen las leyes de la física. Cuando un cuerpo se deja caer al vacío, o se lanza verticalmente hacia arriba, interviene la gravedad.

Si el cuerpo de deja caer al vacío, la fórmula para encontrar la distancia es:

Si el cuerpo se lanza hacia arriba, además de considerar la velocidad al caer la pelota, se resta fuerza de la gravedad. En este caso la fórmula es:

donde d es la distancia recorrida por el cuerpo (en metros) t es el tiempo transcurrido desde el inicio de la caída, v es la velocidad inicial g es la aceleración producida por la gravedad

el valor de g es de 9.81 m/s2 , pero aquí tomaremos como valor g = 10 m/s2 (redondeado) Así que la fórmula para calcular el espacio recorrido por la pelota de beisbol en diferentes momentos será:

y al sustituir los valores conocidos

o sea (resolviendo)

La fórmula es una función cuadrática. La variable dependiente (y) es d y la variable independiente (x) es t.

Al resolver los diferentes valores para la variable independiente (x) en la función se calcula la distancia a la que estará la pelota cada determinado tiempo:

A medio segundo la pelota estará; a 1 segundo, estará; a 1,5 segundos estará; a los 2 segundos estará:

Con la información; se completa la tabla y se elabora la gráfica de la función cuadrática.




Tiempo ( seg ) Distancia ( metros )

x y = 70x – 5x2

0.5 y= 70(.5) – 5(.5)2 = 35 – 5(.25) = 35 – 1.25 = 33.75

1 y= 70(1) – 5(1)2 = 70 – 5(1) = 70 – 5 = 65

1.5 y= 70(1.5) – 5(1.5)2 = 105 – 5(2.25) = 105 – 11.25 = 93.75

2 y= 70(2) – 5(2)2 = 140 – 5(4) = 140 – 20 = 120

5 y= 70(5) – 5(5)2 = 350 – 5(25) = 350 – 125 = 225

6 y= 70(6) – 5(6)2 = 420 – 5(36) = 420 – 180 = 240

7 y= 70(7) – 5(7)2 = 490 – 5(49) = 490 – 245 = 245

8 y= 70(8) – 5(8)2 = 560 – 5(64) = 560 – 320 = 240

9 y= 70(9) – 5(9)2 = 630 – 5(81) = 630 – 405 = 225

13 y= 70(13) – 5(13)2 = 910 – 5(169) = 910 – 845 = 65

14 y= 70(14) – 5(14)2 = 980 – 5(196) = 980 – 980 = 0

15 y= 70(15) – 5(15)2 = 1050 – 5(225) = 1050 – 1125 = -75


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La distancia de la pelota a los 5 segundos es __________________ , a los ___________________ está a los 120 m del suelo.

A los ______________ segundos la pelota logra la máxima altura. La pelota cae al suelo a los ________________ segundos.

+ Recomendaciones para obtener la expresión algebraica - regla general - de funciones favoreciendo el análisis, uso de potencias y cálculo mental.

Funciones representadas por una regla, expresión algebraica o fórmula:

En matemáticas al igual que en otras áreas, las funciones más útiles son aquellas que pueden ser descritas por medio de una regla o fórmula.

Aunque las tablas son convenientes, son a menudo muy extensas y pueden no estar completas. Las gráficas son completas, pero son solamente aproximaciones. Una función descrita por una regla o fórmula es completa y exacta. Simplemente escribimos el dominio (x) y la regla f(x) para obtener el valor de la imagen (y).

FUNCIONES LINEALES. Función de la forma: y = mx + b

Dada la situación problema; para obtener la regla o expresión algebraica, considera lo siguiente:

- Toda información planteada en un problema se organiza en una tabla para su mejor análisis.

- Se analiza la forma en que se relacionan los valores -datos- organizados en la tabla. Con el fin de identificar la constante. Para ello

considerando los valores de la variable dependiente (y); al segundo término le restas el valor del primer término y lo registras. Continúa

restando al tercer término el segundo término y lo registras. Realiza lo anterior hasta completar el análisis de todos los términos.

- Si al registrar los resultados de las restas (primera diferencia), observas que los datos todos coinciden; entonces has obten ido la

constante (m). La regla general o expresión algebraica de este tipo de funciones es de la forma: y = mx si es proporcional directa ó

y = mx + b si es lineal.

Donde el valor de m es igual a la constante obtenida al realizar las restas (diferencias). Este dato se multiplica por el valor de x

asignado en la tabla y que indica el número de la posición. Y finalmente se revisa si es necesario agregar (sumar) o quitar (restar) al

resultado de la multiplicación indicado por b para que coincida con el valor de y en la sucesión.

Calcula la regla o expresión algebraica de la siguiente tabla:

x (n) 1 2 3 4 5 6

y 11 13 15 17 19 21

2 2 2 2 2

Se multiplica la constante ( 2 ) por el valor de x asignado en la tabla ( 1 ).

Al multiplicar 2 (1) = 2 y finalmente se revisa si es necesario agregar (sumar) o quitar (restar) al resultado de la multiplicación para que coincida con el valor de y en la tabla. En este caso es necesario agregar 9 para tener un total de 11 que es el valor registrado en la tabla que ocupa la posición 1.

Por lo tanto la regla de la función se obtiene sustituyendo en la forma y = mx + b los valores obtenidos. y = 2x + 9 También se puede expresar sustituyendo la x por la n. y = 2n + 9


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Función de la forma: y = mx. Variación proporcional directa

- La función f(x) = mx está representada por la ecuación: y = mx. Donde (x) es la variable independiente o dominio, (m) la constante y (y) la variable dependiente o imagen.

- La gráfica de una función de la forma y = mx es una recta que pasa por el punto de coordenadas (0,0), punto origen.

Toda situación problemática al plantearla se puede organizar la información en una tabla y se debe observar cuidadosamente la forma en que varían los datos.

x y Considerando los datos de la tabla: - Si aumenta (x), aumenta proporcionalmente (y) - Si disminuye (y), disminuye proporcionalmente (x)

1 3

2 6

3 9

4 12

5 15 Al aumento de una magnitud (valor), le corresponde un aumento proporcional de la otra y a la disminución de la primera, le corresponde una disminución proporcional

de la segunda. Si se observa lo anterior en la tabla, se dice que los datos varían en forma proporcional directa.

La constante de proporcionalidad ( m ) de una tabla de variación proporcional directa se obtiene dividiendo un valor de ( y ) por su correspondiente valor de ( x ). Todos los pares ordenados de la tabla deben tener la misma constante de proporcionalidad.

Si dividimos ( y ) entre el valor de ( x ) que le corresponde, se obtiene la constante de proporcionalidad.

3 = m

Si se despeja ( y ), se obtiene la ecuación o expresión algebraica que permite encontrar todos los valores de ( y ) en la tabla.

despejando (y), se obtiene la ecuación: y =mx y = 3x y =3(4 )= 12

Despejando ( x ), se obtiene la ecuación que permite encontrar todos los valores de ( x ) en la tabla.

despejando (x), se obtiene la ecuación: y =mx

La gráfica que resulta de un problema organizado en una tabla de variación proporcional directa, es una recta que paso por el or igen. Todos los puntos coordenados por donde pasa la recta, pertenecen a razones que tiene la misma constante.

Función de la forma: y =

Variación proporcional inversa

Toda situación problemática al plantearla se puede organizar la información en una tabla y se debe observar cuidadosamente la forma en que varían los datos.

x y Considerando los datos de la tabla:

- Si aumenta (x), disminuye (y)

- Si disminuye (y), aumenta (x)

8 12

6 16

4 24

2 48

1 Al aumento de una magnitud (valor), le corresponde una disminución proporcional de la otra y a la disminución de la primera, le corresponde un aumento proporcional

de la segunda. Si se observa lo anterior en la tabla, se dice que los datos varían en forma proporciona inversa.

La constante de proporcionalidad ( m ) de una tabla de variación proporcional inversa se obtiene multiplicando un valor de ( x ) por su correspondiente valor de ( y ). Todos los pares ordenados de la tabla deben tener la misma constante de proporcionalidad.

Si multiplicamos ( x ) por el valor de ( y ) que le corresponde, se obtiene la constante de proporcionalidad. x y = m 8 (12) = m 96 = m

Si se despeja ( y ), se obtiene la ecuación o expresión algebraica que permite encontrar todos los valores de ( y ) en la tabla.

x y = m despejando (y), se obtiene la ecuación: y =

y =

y =

Despejando ( x ), se obtiene la ecuación que permite encontrar todos los valores de ( x ) en la tabla.

x y = m despejando (x), se obtiene la ecuación: x =

x =

x =

La gráfica que resulta de un problema organizado en una tabla de variación proporcional inversa, es una curva llamada hipérbo la que por más que se prolongue no toca al eje de las abscisas (x), ni al eje de las ordenadas (y). Todos los puntos coordenados por donde pasa la curva, pertenecen a razones que tiene la misma constante.

Función de la forma: y = ax2 + bx + c. De segundo grado. Cuadrática.

a = 4 d = -2

a = 3 a = 1


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Dada la situación problema; para obtener la regla o expresión algebraica, considera lo siguiente:

- Toda información planteada en un problema se organiza en una tabla para su mejor análisis.

- Se analiza la forma en que se relacionan los valores -datos- organizados en la tabla. Con el fin de identificar la

constante. Para ello considerando los valores de la variable dependiente (y); al segundo término le restas el valor

del primer término (primera diferencia) y lo registras. Continúa restando al tercer término el segundo término y lo

registras. Realiza lo anterior hasta completar el análisis de todos los términos.

Si al registrar los resultados de las restas; los datos no coinciden. Deberás realizar otra serie de restas (segunda diferencia) y anotar.

Si el registro de los resultados de las segundas restas (segunda diferencia) coinciden -es constante-, quiere decir que la regla de la sucesión es de las forma: ax2 + bx + c ó an2 + bn + c

1.- En donde ax2 quiere decir que el valor de x o n que indica el número de posición del valor en la tabla, se deberá elevar a la segunda potencia o al cuadrado. Y se revisa si coincide con el valor de y que corresponde en la tabla. 2.- La expresión bx significa que el valor de x o n que indica el número de posición del valor de la tabla elegido, se debe multiplicar por un número y este resultado se le puede agregar (sumar) o quitar (restar) +/- al resultado de haber elevado un número a la segunda potencia ax2. A continuación se revisa si coincide con el valor de y que corresponde en la tabla. 3.- El dato c significa que se le puede agregar (sumar) o quitar (restar) +/- al resultado de elevar un número a la segunda potencia ax2 sumado con el resultado bn que significa multiplicar un número por x o n que indica la posición del valor de la tabla elegido; de tal manera que el resultado coincida con el valor de y en la tabla.

Calcula la regla general de la siguiente tabla:

Número o posición de la sucesión x (n) 1 2 3 4 5 6 7 8

Valor de la sucesión y 4 9 16 25 36 49 64

5 7 9 11 13 15

2 2 2 2 2

Regla o expresión algebraica:

Se eleva al cuadrado un valor de x ó n (cualquiera)

+ / - Se multiplica x ó n por un

número + / -

Sumar o restar para completar

ax2 bx c

22

4

Falta 5 para 9 2 ( 2 )

+ 4

Sumando 4 + 4 = 8 Falta 1 para 9

+ 1

Agrego 1 que falta para obtener 9

x2 + 2x + 1

Regla o expresión algebraica: y = x2 + 2x + 1


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Función de la forma: y = ax2 + bx + c De segundo grado. Cuadrática.

Método de diferencias

Paso 1. Dada la situación problema; para obtener la regla o expresión algebraica, considera lo siguiente: - Toda información planteada en un problema se organiza en una tabla para su mejor análisis.

- Se analiza la forma en que se relacionan los valores -datos- organizados en la tabla. Con el fin de identificar la constante.

Paso 2: Se calculan las primeras y segundas diferencias, como se muestra en la siguiente tabla:

- Considerando los valores de la variable dependiente (y); al segundo término le restas el valor del primer término (primera diferencia) y

lo registras. Continúa restando al tercer término el segundo término y lo registras. Realiza lo anterior hasta completar el análisis de

todos los términos.

- Si al registrar los resultados de las restas; los datos no coinciden. Deberás realizar otra serie de restas (segunda diferenc ia) y anotar. - Si el registro de los resultados de las segundas restas (segunda diferencia) coinciden -es constante-, quiere decir que la regla de la

sucesión es de las forma: ax2 + bx + c ó an2 + bn + c

x(n) 1 2 3 4 5

Sucesión y 3 9 17 27 39

Primeras diferencias 9 – 3 = 6 17 – 9 = 8 27- 17 = 10 39 – 27 = 12

Segundas diferencias 8 – 6 = 2 10 – 8 = 2 12 – 10 = 2

Cabe señalar que el hecho de que la segunda diferencia es constante, indica que se trata de una expresión cuadrática, por tan to, la expresión general es: an2+ bn + c en la que n representa la posición del valor de y.

Paso 3: Se sustituyen los valores de las diferencias obtenidas en el sistema de ecuaciones y se resuelve:

Al resolver la primera ecuación del sistema: 2a = 2

a =

a = 1

Sustituyendo a en la segunda ecuación del sistema: 3a + b = 6 3(1) + b = 6 3 + b = 6 b = 6 – 3 b = 3

Sustituyendo a y b en la tercera ecuación del sistema: a + b + c = 3 (1)+(3)+c = 3 4 + c = 3 c = 3 – 4 c = –1

Y finalmente sustituyendo los valores de a, b y c en la expresión general de segundo grado an2+ bn + c, se obtiene la expresión algebraica:

(1)n2 + (3)n + (–1) = n2+ 3n –1

Apóyate de tu libro de texto: matemáticas 3, consultado las lecciones:

Lección 1.4. Página 45 a 51

Lección 1.5. Pág. 52 a 55

Revisa los siguientes videos:

Canal Nombre del video Liga

Matemáticas profe Alex Qué es función | Concepto de función https://www.youtube.com/watch?v=Ll7xfe3HoZE

Acervo - Televisión Educativa

32.Diversos tipos de variación https://www.youtube.com/watch?v=MER5prjQVCo

Aprendiendo Matemática

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Gráfico de Parábolas. Explicación completa (super fácil)

https://www.youtube.com/watch?v=xRq3feSSfyc

Abel Esteban Ortega Luna

ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA (Parte 1)

https://www.youtube.com/watch?v=tc4pp9soYAU

Para aprender más

https://www.youtube.com/watch?v=MER5prjQVCo

https://www.youtube.com/watch?v=xRq3feSSfyc

https://www.youtube.com/watch?v=tc4pp9soYAU


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3. Tema: NÚMERO, ÁLGEBRA Y VARIACIÓN. Funciones.

Nombre del alumno: ________________________________________________________ Tercer grado. Grupo: ______

Intenciones didácticas: Que el alumno reflexione sobre la manera de ubicar puntos en el plano cartesiano.

1. Consigna: Resuelva la siguiente actividad.

A partir de la siguiente figura dibujada en el primer cuadrante del plano cartesiano, construyan la figura simétrica A’B’C’D’ con respecto al eje vertical. Posteriormente conteste lo que se pide.

Intención didáctica: Que el alumno analice situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica. Relacione dos conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente y formulen la expresión algebraica correspondiente.

2. Consigna. Analice la siguiente situación, luego realice lo que se pide. Una compañía de automóviles, al probar la distancia de frenado en uno de sus nuevos modelos obtuvo los siguientes resultados:

Velocidad ( km/h) 20 40 60 80 100

Distancia de frenado (m) 2 4 6 8 10

NOTA: Distancia de frenado corresponde al desplazamiento del automóvil posterior a la acción de frenar.

a) ¿A qué velocidad debe ir el automóvil para que la distancia de frenado sea menor a 2 metros? _________________________

b) ¿Cuál es la distancia de frenado que se necesita para una velocidad de 125 km/h? ___________________________________

c) Escriban una expresión algebraica que permita obtener la velocidad del automóvil, en función de la distancia de frenado.

______________________________________________________________________________________________________

Manos a la obra

Qué vamos a aprender:

Analiza y compara diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Análisis de tablas, gráficas y expresiones algebraicas.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

A B

C D

Ordenada y

Abscisa x

a) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B, C y D? __________________________________________________ b) ¿Cómo se llama al primer componente de cada par ordenado? _________________________________________ c) ¿Cómo se llama al segundo componente de cada par ordenado? _________________________________________ d) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A’, B’, C’ y D’? __________________________________________________ e) Si a la primera coordenada de cada vértice del cuadrado ABCD le sumamos dos unidades. ¿Qué transformación sufriría la figura? __________________________________________ f) ¿Cuáles serían las nuevas coordenadas de los vértices? __________________________________________________ g) Si a la segunda coordenada de cada vértice del cuadrado ABCD le restamos cinco unidades. ¿Qué transformación sufriría la figura? ____________________________________ h) ¿Cuáles serían las nuevas coordenadas de los vértices?

______________________________________________

Enviar trabajo: Viernes 9 de octubre 2020


Grado 3º

Se

cun

da

ria


3. Consigna: Resuelva la siguiente actividad.

Con la finalidad de ahorrar agua, en cierta localidad únicamente hay suministro de este líquido 5 horas al día. Las siguientes gráficas representan la relación tiempo (horas) y la cantidad de agua (litros) que hay en la cisterna de una unidad habitacional en cuatro días diferentes. Analícenlas y posteriormente contesten lo que se pide.

a) ¿En qué días la cisterna tenía agua cuando inició el suministro? ___________________________________

b) ¿En qué día salió el agua con más presión? ____________________________________________ ¿Cómo se manifiesta esto en la gráfica? ____________________________________________

c) ¿En qué día el suministro no fue constante durante las 5 horas? _______________________________________

d) ¿En qué días la cantidad de agua en la cisterna es directamente proporcional al tiempo de suministro? ____________________________________________

e) ¿Qué características tienen las gráficas que representan una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de agua en la cisterna y el tiempo del servicio? ____________________________________________

f) Escriban las expresiones algebraicas de las relaciones que son de proporcionalidad. __________________________________________

g) ¿En qué son diferentes? ___________________________________________________________________________________________

¿Qué representan esas diferencias? ______________________________________________________________________________________

Intenciones didácticas: Que el alumno analice una gráfica que representa una relación de proporcionalidad y que la vinculen con su expresión algebraica y con el conjunto de valores que representa.

4. Consigna: Analice la siguiente gráfica que representa la relación entre tiempo y distancia recorrida en una caminata que realizó Ernesto. Posteriormente conteste lo que se pide.

f) Si x es el tiempo y y la distancia recorrida, ¿qué expresión algebraica representa esta situación? ___________________

g) Representa en el mismo plano cartesiano la recta resultante si Ernesto se hubiera desplazado 5 km por cada hora. Escribe la expresión algebraica de esta situación: _______________________________________________________

0123456789

1011121314151617181920

0 1 2 3 4

Dis

tancia

(km

)

Tiempo (h)

Día 4

a) Si la velocidad de Ernesto hubiera sido mayor, ¿qué diferencia habría tenido la gráfica respecto a ésta? _____________________________________________________

b) ¿Podría cortar la recta al eje vertical por un punto diferente al origen? ______________________________________ ¿Por qué? _____________________________________________________

c) Si la velocidad de Ernesto no hubiera sido constante, ¿cómo se reflejaría este hecho en la gráfica? __________________________ _____________________________________________________

d) ¿A qué velocidad se desplazó Ernesto? ______________________

e) Registra en la siguiente tabla los valores que faltan:

Tiempo (h) 0.5 1 3

Distancia (km) 6 7.5 10.5


Grado 3º

Se

cun

da

ria


Intenciones didácticas: Que el alumno establezca la relación entre dos conjuntos de cantidades que varían linealmente y expresen dicha relación mediante una expresión algebraica.

5. Consigna. Analice el siguiente experimento, luego realice lo que se pide.

De un resorte de 13 centímetros de longitud, se han suspendido varios pesos y se han medido las respectivas longitudes del resorte, registrándose en la siguiente tabla:

Peso (kg) 0 1 2 3 3.5

Longitud del resorte (cm) 13 15 17 19 20

a) ¿De qué depende la longitud del resorte? ________________________________________

b) ¿Cuál es la elongación del resorte por cada kilogramo de peso? ______________________

c) Encuentren una expresión algebraica que modele esta situación. _____________________

Intención didáctica: Que el alumno establezca las relaciones entre variables y la expresen algebraicamente y que reconozcan la dependencia entre las variables y la variación conjunta.

6. Consigna. Analice la siguiente situación, luego conteste lo que se pregunta. Una compañía arrendadora de autos ofrece la siguiente tarifa: una cuota fija de $500.00, más $5.00 por cada kilómetro recorrido.

a) ¿Cuánto habría que pagar si se recorren 800 kilómetros? _____________ ___________________________________________________________ ¿Y si se recorren 1720 kilómetros? _______________________________

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular el costo para cualquier cantidad de kilómetros recorridos? ________________________

c) Si una persona pagó $5 075.00, ¿cuántos kilómetros recorrió? __________

___________________________________________________________

d) Otra compañía arrendadora de autos ofrece la siguiente tarifa: $6.00 por kilómetro recorrido, sin cuota fija. Una persona quiere rentar un auto para hacer un viaje de 300 kilómetros. ¿Cuál de las dos tarifas le conviene? ___________________________________________________________ ¿Por qué? __________________________________________________ ___________________________________________________________

Elabore las tablas y grafiquen las expresiones para que vean lo que sucede.

Compañía 1 Variable

independiente Variable dependiente

x y=5x + 500

1

5

10

14

300

800

1720

Compañía 2 Variable

independiente Variable dependiente

x y=6x

1

5

10

14

300

800

1720

Repaso y practico Enviar trabajo: Viernes 16 de octubre 2020


Grado 3º

Se

cun

da

ria


7. Consigna: Completa la tabla, traza la gráfica de la función siguiente y contesta las preguntas:

En el bióxido de carbono, CO2, por cada átomo de carbono hay dos de oxígeno, así que el número de átomos de oxígeno en el CO2 está en función de los átomos de carbono que haya.

Variable independiente Variable dependiente


Número de átomos de carbono

Número de átomos de oxígeno

x y= 2x

0 y= 2(0)=0

2 y= 2(2)=4

6

10

En la expresión algebraica de la función anterior, la variable independiente es el número de átomos de carbono, x y la dependiente es ___________________________ . El factor constante es _____ . La regla o fórmula que define la función es _________________________ . 8. Consigna: Completa la tabla y elabora la gráfica de la función que representa el siguiente problema.

¿Cuáles serán las diferentes distancias a las que se encuentra una pelota que se suelta hacia abajo?



Dominio Tiempo (segundos)

Contradominio distancia

x y=5t2

0.5

1

2

3 y=5(3)2=5(9)= 45

4

A manera de autoevaluación que le permita reflexionar sobre lo aprendido y lo que falta por aprender; rellene los círculos de los aspectos en los que se cumplió.

o Analizó y comparó diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

o Realizó el análisis de tablas, gráficas y expresiones algebraicas. o Reforzó sus conocimientos consultando la información del libro de texto. o Realizó los ejercicios de la ficha de manera autónoma. o Resolvió los ejercicios de la ficha con ayuda. o Tuvo oportunidad de profundizar sobre el tema con el apoyo de los videos.

Lo que aprendí

Qué vamos a aprender tabular, gráfica y algebraica ia

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