PYTHAGORE ! VOUS AVEZ DIT THEOREME DE PYTHAGORE
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Transcript
PYTHAGORE !VOUS AVEZ DIT THEOREME DE PYTHAGORE
ACTIVITE PREPARATOIRE
Construire un triangle ABC rectangle en A tel queAB = 7 cm et AC = 4 cm
Mesurer la longueur BC : BC 8 cmCalculer BC2 et AB2 + AC2 :
BC2 64 cm2
AB2 + AC2 = 49 + 16 = 65 cm2BC2 AB2 + AC2
C
A B
CLIQUEZ ICI : GEOPLANW
UTILITE DU THEOREME DE PYTHAGORE
Le théorème de PYTHAGORE permet de déterminer la longueur du coté d’un triangle rectangle connaissant la longueur des deux
autres cotés.
A
B
C
UTILITE DU THEOREME DE PYTHAGORE
Exemple :
soit le triangle ABC rectangle en A,
si je connais les longueurs AC et BC,
je vais pouvoir déterminer la longueur AB.
A
B
C
L’HYPOTENUSE ?
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
C’est toujours le côté le plus long.
BC est l’hypoténuse
A
B
C
ENONCE DU THEOREME DE PYTHAGORE
Si un triangle ABC est rectangle en A
Alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.
A
B
C
ENONCE DU THEOREME DE PYTHAGORE
Si un triangle ABC est rectangle en A
Alors : BC2 = BA2 + AC2
A
B
C
APPLICATION 1
Soit le triangle ABC rectangle en B.
On donne AB = 4 cm et BC = 3 cm
Calculer AC.C
A B
APPLICATION 1
C
AB = 4 cm
BC = 3 cmAC = ?
A B
APPLICATION 1
Le triangle ABC est rectangle en B. D’après l’énoncé du théorème de PYTHAGORE on
peut écrire :
AC2 = AB2 + BC2
C
AB = 4 cm
BC = 3 cmAC = ?
A B
APPLICATION 1
AC2 = AB2 +BC2
AC2 = 42 + 32
AC2 = 16 + 9
C
AB = 4 cm
BC = 3 cmAC = ?
A B
APPLICATION 1
AC2 = 25
C
AB = 4 cm
BC = 3 cmAC = ?
A B
APPLICATION 1
AC2 = 25
AC = 25
C
AB = 4 cm
BC = 3 cmAC = ?
A B
APPLICATION 1
AC2 = 25
AC = 25
AC = 5 cm
C
AB = 4 cm
BC = 3 cmAC = ?
A B
APPLICATION 2
Soit le triangle ABC rectangle en B.
On donne AB = 3 cm et AC = 7 cm.
Calculer BC. AB
C
APPLICATION 2
AB = 3 cm
AC = 7 cmBC = ?
AB
C
AB = 3 cm
BC = ?
APPLICATION 2
Le triangle ABC est rectangle en B. D’après l’énoncé du théorème de PYTHAGORE :
AC2 = AB2 + BC2
AC = 7 cm
AB
C
AB
C
AB = 3 cm
BC = ?
APPLICATION 2
AC2 = AB2 + BC2
72 = 32 + BC2
49 = 9 + BC2
49 - 9 = BC2
40 = BC2
BC2 = 4O
AC = 7 cm
AB
C
AB = 3 cm
BC = ?
APPLICATION 2
AC2 = AB2 + BC2
72 = 32 + BC2
49 = 9 + BC2
49 - 9 = BC2
40 = BC2
BC2 = 4O
BC = 40
AC = 7 cm
AB
C
AB = 3 cm
BC = ?
APPLICATION 2
AC2 = AB2 + BC2
72 = 32 + BC2
49 = 9 + BC2
49 - 9 = BC2
40 = BC2
BC2 = 4O
BC = 40
BC 6,32 cm
AC = 7 cm
APPLICATION 3
Soit la grue ci dessous :
détermination de la longueur du tirant d’une grue
C
A
BD
APPLICATION 3
Soit la grue ci dessous :
détermination de la longueur du tirant d’une grue
C
A
BD
On donne AD = 3 m, CD =2 mBC = 12,5 mCALCULER AB
APPLICATION 3
C
A
BD3 m
2 m 12,5 m
AB = ?
On calcule d’abord AC
C
A
D
3 m
2 m
AC = ?
APPLICATION 3
Le triangle ACD est rectangle en C, on peut appliquer le théorème de Pythagore :
AD2 = DC2 + AC2
C
A
D
3 m
2 m
AC = ?
APPLICATION 3
AD2 = DC2 + AC2
32 = 22 + AC2
9 = 4 + AC2
C
A
D
3 m
2 m
AC = ?
APPLICATION 3
9 - 4 = AC2
5 = AC2
AC2 = 5
C
A
D
3 m
2 m
AC = ?
APPLICATION 3
9 - 4 = AC2
5 = AC2
AC2 = 5
AC = 5
C
A
D
3 m
2 m
AC = ?
APPLICATION 3
9 - 4 = AC2
5 = AC2
AC2 = 5
AC = 5
AC 2,24 m
APPLICATION 3
Le triangle ACB est rectangle en C, on peut utiliser le théorème de Pythagore :
AB2 = BC2 + AC2
A
C B
5 m
12,5 m
APPLICATION 3
AB2 = BC2 + AC2
AB2 = 12,52 +5
AB2 = 156,25 + 5
AB2 = 161,25
A
C B
5 m
12,5 m
AB = ?
APPLICATION 3
AB2 = BC2 + AC2
AB2 = 12,52 +5
AB2 = 156,25 + 5
AB2 = 161,25
AB = 161,25
A
C B
5 m
12,5 m
AB = ?
APPLICATION 3
AB2 = BC2 + AC2
AB2 = 12,52 +5
AB2 = 156,25 + 5
AB2 = 161,25
AB = 161,25
AB 12,7 m
A
C B
5 m
12,5 m
AB = ?
POUR EN SAVOIR PLUS
Pour démontrer le théorème de Pythagore on peut utiliser la méthode suivante :
Soit deux carrés de cotés différents placés comme indiqué sur la figure ci-contre :
POUR EN SAVOIR PLUS
La surface du carré bleu est :
a b
c
POUR EN SAVOIR PLUS
La surface du carré bleu est :
S = c2
a b
c
POUR EN SAVOIR PLUS
Cette surface peut également se calculer à l’aide de l’aire du carré gris et celles des quatre triangles de cotés a,b,c.
a
b c
POUR EN SAVOIR PLUS
Surface du carré gris :a
b c
b
POUR EN SAVOIR PLUS
Surface du carré gris :
(a + b)2 =
a
b c
b
POUR EN SAVOIR PLUS
Surface du carré gris :
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
a
b c
b
POUR EN SAVOIR PLUS
Surface du carré gris :
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Surface des quatre triangles :
a
b c
b
POUR EN SAVOIR PLUS
Surface du carré gris :
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Surface des quatre triangles :
4(ab)2 =
a
b c
b
POUR EN SAVOIR PLUS
Surface du carré gris :
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Surface des quatre triangles :
4(ab)2 = 2ab
a
b c
b
POUR EN SAVOIR PLUS
Surface du carré bleu :
S = a2 + b2 + 2ab - 2ab
S = a2 + b2
a
b c
b
POUR EN SAVOIR PLUS
Conclusion :
a2 + b2 = c2
a
b c
b
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