Punto Fijo

INTEGRANTES:

Juana Malacatus

Ximena Quevedo

Verónica Soto

Belén Novillo

Francisco Carrillo

Milton Vargas

Karina Vásquez

Diana Amay

MÓDULO:

Octavo “B”

TEMA

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES.

MÉTODO DEL PUNTO FIJO x=f(x)

El método del punto fijo se lo conoce también como método de iteración simple de punto fijo; o, iteración de un punto por sustitución sucesiva, algunos autores e investigadores lo consideran como un método numérico abierto en el cual se utiliza una formula o expresión matemática para predecir la raíz, la misma que puede desarrollarse por una iteración simple, de allí su denominación.

• Describir el Método Numérico del Punto fijo, parahallar ceros de funciones (f(x)=0) y analizar suaplicación en el campo de la ciencias

•Estudiar y comprender el Método no lineal mediantela resolución de ejemplos planteados.

SUSTENTO TEÓRICO DEL MÉTODO

• Consiste en obtener una raíz, o solución, de una ecuación de la forma f(x) = 0,la misma que se debe ser transformada en una ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que al reordenar la ecuación f(x)=0, “x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación de manera que se defina: x= g(x).

Posteriormente, dado un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial (x0), del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: *xi

punto fijo de g si xi= g(xi)].xn+1 = g(xn).Entonces la ecuación anterior puede usarse para obtener una aproximación, para k=1, 2, 3,… hasta que convergen, y expresada por la formula iterativa xi+1= g(xi) que generalizando se tiene: xn+1 = g(xn).

Al realizar las aproximaciones iterativas, es posible establecer el error aproximado, para ello se lo calcula usando el error normalizado ( ) el mismo que se lo sintetiza con la expresión matemática:

TEOREMA DEL PUNTO FIJO

Datos

Estimación inicial: x0

Precisión deseada: tol

Tope de iteraciones: maxiter

Proceso: mientras no hay convergencia repetir

Nueva estimación: x = g(x0)

Incremento: incr = |x - x0|

Actualización: x0 = x

Resultado

Estimación final: x

Para encontrar las raíces de una ecuación algebraica se debe de analizar cada uno de los pasos, para posteriormente realizar la aplicación en las ecuaciones no lineales para ello se procede de acuerdo a lo señalado en lo anteriormente:

1. Dada la ecuación a la cual debemos encontrar la raíz,se la plantea de la forma f(x) = 0; es decir debemosconocer: f(x)=0

f(x) = x2 –2x – 3 = 0

2. Se transforma en una ecuación equivalente de punto fijog(x), de tal forma que al reordenar la ecuación f(x)=0,“x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación de maneraque se defina la nueva función de x llamada ahora g(x)

entonces se tiene: x= g(x).

EJERCICIO 1:

En este método se aplica para resolver ecuaciones de la formax= g(x). Si la ecuación es f(x)=0, entonces puededespejarse “x” ó bien sumar “x” en ambos lados de laecuación para ponerla en la forma adecuada, así tenemos en elcaso de las ecuaciones no lineales:

• a) La ecuación se puede transformar en

b) La ecuación se puede transformar en

3. Se procede a especificar un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial (x0), del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)].

xn+1 = g(xn) → → xo = 4

4. Al realizar las aproximaciones iterativas, se establece el erroraproximado, para ello se lo calcula usando el error normalizado ( )mediante la expresión matemática:

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

EJEMPLO 2

• 4. Al realizar las aproximaciones iterativas, se establece elerror aproximado, para ello se lo calcula usando el errornormalizado ( ) mediante la expresión matemática:

•Las aproximaciones iterativas se sintetizan en la siguiente tabla, previo elestablecimiento de la Precisión deseada o tolerancia menor al 1% (x0 = 0; Error< 1%)

• La raíz de

es aproximadamente de 0.741425087, con un errormenor al 1%. Para comprobar que el resultado escorrecto, en lo posible se debe graficar la función yverificar que aproximadamente en la coordenada(0,741425087) exista una raíz.

EJEMPLO 3

• 1.Dada la ecuación no lineal para encontrar la raíz, sela plantea de la forma f(x) = 0

• 2.Se transforma en una ecuación no linealequivalente de punto fijo g(x), de manera que sedefina la nueva función de x llamada ahora g(x)entonces se tiene: x= g(x); en este caso se debesumar “x” en ambos lados de la ecuación paraexpresar la ecuación reordenada de la siguiente

manera:

• 3. Se procede a especificar un valor inicial para la raízo al asignar una estimación inicial (x0), del punto fijoxi de “g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi=g(xi)].

xn+1 = g(xn) → x0 + sen (x0) = x1 → xo = 1

• Al analizar el ejemplo:

g(x)=sen(x) y claramente se cumple la condición deque <1. Por lo tanto el método sí converge a laraíz.

Al realizar las aproximaciones iterativas, se establece elerror aproximado, para ello se lo calcula usando elerror normalizado ( ) mediante la expresión

matemática:

•Las aproximaciones iterativas se sintetizan en la siguiente tabla, previoel establecimiento de la Precisión deseada o tolerancia menor al 1%(x0 = 1; Error < 1%)

EJEMPLO 4

f(x) = e-x-x = 0

2. Se transforma en una ecuación no lineal equivalente de punto fijog(x), de manera que se defina la nueva función de x llamada ahora g(x)entonces se tiene: x= g(x); en este caso se debe sumar “x” en amboslados de la ecuación para expresar la ecuación reordenada de lasiguiente manera:

x= g(x) → x + e-x - x = x

• 3. Se procede a especificar un valor inicial para la raíz o al asignar unaestimación inicial (x0), del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: [xi

punto fijo de g si xi= g(xi)].

xn+1 = g(xn) → e-x0 = x1 → xo = 0

g(x) = e-x

Ejercicios:

1.- e

2.-

R

S

A IA

C

G