-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Puncte, directii si plane cristalografice.
Aspecte abordate...
Cum sa definim punctele, directiile, planele, precum si
densitatile liniare, planare, volumice
definirea termenilor de baza si exemplificarea acestora: Puncte
(pozitii atomice) Vectori (defineste o directie particulara)
Indicii Miller (definesc un plan particular)
relatia cu difractia
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
a!
b!
c!
Puncte, directii si plane raportati la vectorii celulei
elementare
Toate celulele unitare periodice pot fi descrise prin
intermediul acestor vectori daca si numai daca a, b, si c definesc
axele unui sistem de coordonate 3D. sistemul de coordonate este
intotdeauna spre dreapta! Dar, putem defini puncte, directii si
plane folosind un triplet de numere in unitati de vectori ai
celulei elementare a, b, si c. Pentru HCP avem nevoie de patru
numere, dupa cum vom vedea.
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Coordonatele punctului
Pentru a defini un punct al celulei elementare. Se exprima
coordonatele uvw ca fractii ale vectorilor celulei elementare a, b,
si c (axele x, y, si z nu trebuie sa fie ortogonale).
a!
b!
c!
origine
pt. coord.
x (a) y (b) z (c)
0 0 0
1 0 0
1 1 1
1/2 0 1/2
pt.
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Directii cristalografice
Procedura: 1. Orice linie (directie vectoriala) este definita de
2 puncte.
Primul punct este, de obicei, originea (000).
2. Se determina lungimea proiectiei vectorului pe fiecare din
cele 3 axe in unitati (sau fractii) de a, b, and c. X (a), Y(b),
Z(c) 1 1 0
3. Se multiplica sau divid cu un factor pentru a reduce lungimea
la cea mai mica valoare intreaga, u v w.
4. Se pune intre paranteze drepte: [u v w]: [110] directie.
a b
c
DIRECTIILE ajuta la definirea PLANELOR (Indicii Miller Indices
sau plan normali).
!
[1 1 0]5. Se indica numerele negative cu o linie Se pronunta
directia minus 1, minus 1, zero.
6. Familia directiilor [110] se noteaza cu .
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Exercitiu 1: Care este directia cristalografica?
a b
c De-a lungul lui x: 1 a
De-a lungul lui y: 1 b
De-a lungul lui z: 1 c
[1 1 1] DIRECTIA =
Marimea de-a lungul lui X Y Z
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Exercitiul 2:
(a) Care estepunctulreeleidat depunctul P?
(b) Care este directia cristalografica de la origine la P?
Directiei [132] din origine.
Exemplul 3: Carei directii ii corespunde punctul 264?
!
[1 12]
!
"112
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Directiiechivalentede simetrie
Nota: pentru unelestructuricristaline,direciidiferite
potfiechivalente. ex.Pentru cristale cubice, direciile sunt
echivalente prin simetrie : [1 0 0], [ 0 0], [0 1 0], [0 0], [0 0
1], [0 0 ]
111
Familii de directii cristalografice ex.
Modul de reprezentare a famillilor de directii
cristalografice.
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Familii si simetrii: Simetria cubica
x
y
z
(100)
Rotire 90o dupa axa z
x
y
z
(010)
x
y
z
(001) Rotire 90o dupa axa y
Similar pentru alte directii echivalente
Operaiade simetrie poategeneratoate direciilen cadrulunei
familii.
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Desemnarea planelor retelei
De ce sunt importante planele retelei?
(A) Determina structura cristalina * Metodele
dedifractiemsoardistanadintreplanurilede atomi paralele ale reelei.
Aceast informaieesteutilizat pentru a
determinaparametriireeleintr-un cristal.
*metodele dedifracie, de asemenea,msoarunghiurile
dintreplanurilereelei. (B) Deformarea plastica *
Deformareaplasticalametaleare loc prinalunecareaatomilorunii peste
altii ncristal.. * Aceastalunecaretindes aparde preferinde-a
lungulunor plane specifice alecristalului. (C) Proprietati de
transport * nanumite
materiale,structuraatomic,determinatransportulrapid de
electronii/saucaldura nacestplan,irelativlentpe altplan. Exemplu:
Grafitul: contuctia termica este mai mare pe planul sp2-bonded
plane.
Exemplu : superconductori YBa2Cu3O7 : planele Cu-O conduc
perechi de electroni (perechi de Cu) responsabile de
supraconductibilitate, dar perpendicular sunt izolatori.
+ unele plane ale retelei contin numai Cu sau numai O
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Cum indicam planurile retelei?
Exemplul 1
Planele interescteaza axele : axa a la r= 2 axa a la s= 4/3 axa
a la t= 1/2
Cum indicam simbolic planele intr-o retea?
Posibilitatea #1: Punem valorile r, s, si t in parenteze (r s t)
Avantaje:
r, s, si t specifica in mod unic planul din retea relativ la
origine. Parentezele indica plane, spre deosebire de directii
indicate prin [...]
Dezavantaje:
Ce se intampla daca planul este paralel cu --- nu intersecteaza
una dintre axe? Vom fi obligati sa spunem ca intersecteaza acea axa
la ! Aceasta indicare este greoaie si inconvenienta.
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Cum indicam planurile retelei?
Planele interescteaza axele : axa a la r= 2 axa a la s= 4/3 axa
a la t= 1/2
Cum indicam simbolic planele intr-o retea?
Posibilitatea #2: CEA ACCEPTATA
1. Luam reciprocile lui r, s, si t. Adica: 1/r = 1/2 , 1/s = 3/4
, and 1/r = 2
2. Gasim cel mai mic multiplu care converteste toate reciprocele
in intregi. Cu CMM = 4, h = 4/r = 2 , k= 4/s = 3 , and l= 4/r =
8
3. Punem noua tripleta (h,k,l) in pareneze: (238) 4. Aceasta
notatie se numeste Indice Miller. * Nota: Daca un plan nu
intersecteaza axele (ex., la ), atunci vom obtine 0. * Nota: Vom
avea plane paralele cu aceiasi indici Miller.
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Exercitiu
Care este notatia acestui plan in notatia cu indici Miller?
Care este notatia fetei de sus a celulei folosind Indici
Miller?
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Familii de plane ale retelei
Indicii Miller (hkl) re refera de obicei la planul care se afla
cel mai aproape de origine dar nu trece prin ea. Trebuie deci ca
intotdeauna sa mutam originea sau planul paralel, altfel intregul
indicelui Miller va fi 1/0, adica,! Cateodata (hkl) se foloseste
pentru a face referire la oricare plan al familiei, sau la intreaga
familie de plane.
Cel mai important, indicii Miller (hkl) reprezinta acelai vector
ca planul normal!
Daca se cunoaste orice plan dintr-o retea, exista o infinitate
de plane paralele (sau familie de plane) la distante egale unele de
celelalte.
Unul dintre plane apartinand orcarei familii trece prin
origine.
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
z
x
y
Priviti in aceasta directie (perpendiculara pe plan)
Plane cristalografice in CFC: (100)
d100 = aDistanta dintre planele (100)
Distanta pana la planul (200) d200 =a2
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Plane cristalografice in CFC : (110)
d110 =a 22
Distanta dintre planele (110)
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Plane cristalografice in CFC: (111)
z
x
y
d111 =a 33Distanta dintre planele (111)
Priviti in aceasta directie (perpendiculara pe plan)
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Nota: la fel ca si directiile cristalografice, planele paralele
intre ele sunt echivalente
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Comparatie intre diverse plane cristalografice
-1
1
Pentru planul indexat Miller (220) avem plane la 1/2, 1/2, .
Planele (110) nu sunt neaparat plane (220)!
Pentru cristale cubice: Indicii Miller reprezinta o metoda
simpla de determinare a distantelor dintre plane.
d110 =a
12 +12 + 02=
a2 =
a 22
Distanta dintre planele (110)
Pentru orice vector, v
cos(vx)+cos(vy)+cos(vz)=1
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Directii in cristale HC
1. Pentru a sublinia ca sunt egale, a si b se inlocuiesc cu a1
si a2. 2. Celula elementara este marcata cu albastru. 3. Se
introduce a patra axa (a3) pentru demonstrarea simetriei.
Simetria dupa axa c face a3 echivalent cu a1 si a2. Aceasta
adaugare a vectorului face ca a3 = ( a1 + a2).
4. Rezulta acest sistem de coordonate: [a1 a2 ( a1 + a2) c]
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Directii in cristale HC: notare cu 4 indici
Exemplu Care este notatia cu 4 indici a vectorului D?
Proiectand vectorul pe planul bazei, rezulta priectia intre a1
si a2 (vectorul B). Vectorul B = (a1 + a2), deci directia este
[110] in coordonate [a1 a2 c], unde intersectia cu c este 0. in
notatia cu 4-indici deoarece a3 = ( a1 + a2), vectorul B este
deoarece este de 3x in afara.
in notatia cu 4-indici c = [0001], care trebuie adaugat pentru
a-l rezulta pe D (redus la numere intregi) D = [1123]
Exercitiu: Care este vectorul C?
Cel mai usor de memorat: Gasiti axele de coordonate care
intersecteaza vectorul de interes, si urmariti de-a lungul acestor
axe (dar impartiti a1, a2, a3 la 3 deoarece sunteti de 3 ori in
afara!).
!
1
3[112 0]
a2 2a3
B intreg
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Indici Miller pentru plane in sistemul HC
Cand observati [1100], veti sti ca este HC, si nu [110]
cubic!
Notatia utilizand 4 indecsi este mai importanta pentru planele
din HC pentru a distinge palne similare rotite cu 120o.
1. Gasiti intersectiile, r si s, ale planului cu oricare doua
axe ale planului bazal (a1, a2, sau a3), precum si intersectia, t,
cu axa c.
2. Determinati reciprocele 1/r, 1/s, si 1/t. 3. Convertiti
reciprocele la cel mai mic intreg comun. 4. Obtineti h, k, i , l
dupa relatia i = - (h+k), unde h este
asociat cu a1, k cu a2, i cu a3, si l cu c. 5. Puneti cei patru
indici intre paranteze rotunde: (h k i
l) .
Cum descoperim Indicii Miller pentru HC:
r
s
t
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Indici Miller pentru plane in sistemul HC
Care este indicele Miller al planului roz?
1. Planul intersecteaza a1, a3 si c la r=1, s=1 si t= .
1. Reciprocele sunt 1/r = 1, 1/s = 1, si1/t = 0.
2. Sunt deja cei mai mici intregi.
3. Putem deci scrie (h k i l) = (1 ? 1 0).
4. utilizand relatia i = - (h+k), k=2.
5. Indicele Miller este (1210)
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Da, Da.se poate obtine fara a3!
1. Planul intersecteaza a1, a2 si c la r=1, s=1/2 si t= .
2. Reciprocele sunt 1/r = 1, 1/s = 2, si 1/t = 0.
3. Sunt deja cei mai mici intregi.
4. Putem scrie (h k i l) =
5. Utilizand relatia i = - (h+k), i=1.
6. Indicele Miller
!
(12 10)
!
(12 ?0)
Dar retineti ca notatia cu 4-indici este unica.considerand toate
cele 4 intersectii: planul intersecteaza a1, a2, a3 si c la 1, 1/2,
1, si . Reciprocele sunt 1, 2, 1, si 0. Deci, exista un singur
Indice Miller posibil
!
(12 10)
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
a1
a2
a3
Paralel cu a1, a2 si a3 deci, h = k = i = 0
Intersecteaza c la z = 1
Numiti acest plan
Planul Bazal in HC
)0001(=planul
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
z
a1
a2
a3
planul(1 1 0 0)
+1 in a1
-1 in a2
h = 1, l = 0 i = -(1+-1) = 0, k = -1,
Alt Plan in HC
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
Planul (1 1 1) in CFC z
x
y
z
a1
a2
a3
Planul (0 0 0 1) in HC E ACELASI LUCRU!*
-
MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson
2004, 2006-10!
SUMAR
Structura cristalina poate fi definita prin reteaua spatiala si
atomi de baza (decoratii sau motive).
Doar 14 Retele Bravais sunt posibile. Ne referim in special la
CFC, HC, si CVC, pentru ca sunt majoritare in tabelul periodic.
Acum putem identifica si determina: pozitiile atomice, planele
atomice (Indicii Miller), impachetari de-a lungul directiilor (LD)
si planelor (PD). Stim cum sa determinam structura matematic. Deci,
cum o facem experimental? DIFRACTIE.