Puig-Pey Jaime MetNumEjResueltosExam 1996 (1)

8/16/2019 Puig-Pey Jaime MetNumEjResueltosExam 1996 (1)

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Métodos Numéricos : ejercicios resueltos deexamen

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Jaime Puig-Pey

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U NIVERSIDAD DE CANTABRIA. SANTANDER

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE I NGENIEROS DECAMINOS, CANALES Y PUERTOS

P·A = L·U, A = Q·R

d )x( pd )x(f ,)x( p)x(f )x(E ∫∫ ≈−=

METODOS NUMERICOS:

EJERCICIOS RESUELTOS DE EXAMEN

JAIME PUIG-PEY ECHEBESTE

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA

Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

p,xEscribir

iSigte

ax* p p

1en1de,0hasta1niDesde

a p

n,...,0i,a,xLeer

i

n

i

+=

−−−=

=

=


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Indice. Métodos Numéricos: Ejercicios Resueltos de Examen pg i

INDICE

página

Indice ...................................................................................................... i

Prefacio y Bibliografía ............................................................................ iv

1992-93. Final. Febrero de 1993. Parte 1ª................................................ 1


1992-93. Septiembre, 1993. Parte 1ª........................................................ 12

1992-93. Septiembre, 1993. Parte 2ª........................................................ 17

1993-94. 1er. Examen Parcial................................................................... 21

1993-94. 2º Examen Parcial...................................................................... 26



1993-94. Septiembre, 1994. Parte 1ª......................................................... 39


1994-95. 1er. Examen Parcial................................................................... 48

1994-95. 2º Examen Parcial...................................................................... 53

1994-95. Final. Febrero de 1995. Parte 1ª................................................. 57

1994-95. Final. Febrero de 1995. Parte 2ª................................................. 61



1995-96. 1er. Examen Parcial.................................................................. 77

1995-96. 2º Examen Parcial.................................................................... 83






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Referencias de ejercicios y soluciones. Métodos Numéricos: Ejercicios Resueltos de Examen pg ii

Referencia de Ejercicios y Solucionesen el Libro de Ejercicios de Examen (1993-1996):

ERRORES

Feb93 p1, Sep93 p12, Par Dic93 p21 Feb94 p31, Sep94 p39, Par Dic94 p48, Feb95p57, Sep95 p67, Par Dic95 p77, Sep96 p100

Numeración: Sep94 p39, Par Dic94 p48, Sep95 p67

Nº Condicionamiento: Feb95 p57

Número de Operaciones: Par Dic95 p77

MATRICES, SISTEMAS LINEALES

Factor ización LU: Feb93 p1, Sep93 p12, Par Dic93 p21, Par Dic94 p48, Feb95 p58,Feb96 p89 (Matriz tridiagonal)

Factor ización de Cholesky: Feb 93 p1, Feb94 p32, Feb95 p59, Feb96 p89

Matrices de Householder: Sep93 p14, Par Dic93 p23, Feb94 p31, Sep94 p39, ParDic94 p50, Sep91 p69

Nº de condic ionamiento: Par Dic93 p21, Feb95 p57

Factorización QR: Feb95 p59, Par Dic95 p78

Inversión por Gauss-Jordan: Sep96 p101

Métodos iterativos: Feb94 p31 (Jacobi), Sep94 p40 (Jacobi, Gauss-Seidel), Sep95

p68 (Relajación), Feb96 p91 (Jacobi, Relajación)

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES MATRICIALES

Potencia iterada: Feb93 p3, Par Dic94 p51

Acotación: Sep93 p14, Sep94 p40, Par Dic96 p51, Par Dic95 p79

Descomposición espectral: Par Dic93 p23

Potencia iterada inversa: Feb94 p32, Feb95 p58, Par Dic95 p80

Radio espectral: Feb 96 p91

Jacobi: Sep96 102

PROGRAMACIÓN LINEAL

Sep96 p103, Sep93 p15 (Combinatorio)

Dim4: Feb93 p5, Sep95 p70

Dim3: Feb94 p33, Sep94 p41, Par Dic94 p51, Feb96 p92

Paramétricos: Par Dic9 p24, Feb95 p60, Par Dic95 p81, Feb96 p93


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Referencias de ejercicios y soluciones. Métodos Numéricos: Ejercicios Resueltos de Examen pg iii

Referencia de Ejercicios y Solucionesen el Libro de Ejercicios de Examen (1993-1996):

INTERPOLACIÓN

Osculatoria: Feb93 p8, Sep93 p17

Lagrange: Feb93 p8

2Var: Par Feb94 p26, Feb95 p61, Par Ene96 p83 (Producto tensorial)3Var: Sep94 p46.

Newton: Feb94 p35, Par Ene95 p53

Hermite: Par Ene95 p53

Interpolación a trozos: Sep95 p72

Error: Sep95 p72

Triángulo: Sep95 p73, Feb96 p94

DERIVACIÓN NUMÉRICA

Feb93 p9, Sep93 p17, Feb94 p35, Par Ene96 p83

Error: Feb93 p9, Sep93 p17

Deriv. Parcial: Par Feb94, Feb95 p65

Error deriv. parcial: Par Feb94 p27, Par Ene95 p54, Par Ene96 p83

Error Taylor: Feb94 p36, Par Ene95 p54

Error Diferencias divididas: Feb94 p36, Par Ene95 p53

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Gauss-Legendre: Feb93 p6, Par Ene95 p55, Par Ene96 p85

Integral triple Gauss-Legendre: Par Feb94 p28

Integral doble: Feb95 p62

Integral curvilínea: Sep94 p43

Error: Sep94 p43

Error en integral doble: Sep95 p73, Feb96 p95

Integral en triángulo: Sep95 p73, Feb96 p94, Sep96 p105

Error en integral en triángulo: Sep96 p105

Extrapolación al límite: Sep96 p106

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINAR IAS

Valor inic ial :Multipaso: Sep93 p18Error truncatura local: Sep93 p19, Par Feb94 p29Taylor: Par Feb94 p30, Feb94 p37, Par Ene95 p55, Feb96 p98Runge-Kutta 2: Par Feb94 p30Sistema por Runge-Kutta 2: Sep96 p108Sistema por Runge-Kutta 4: Feb95 p64

Contorno:Tiro: Sep95 p74Diferencias finitas: Par Ene96 p87, Feb96 p97

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Diferencias finitas en problemas estacionarios: Feb93 p10, Sep94 p45


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Prefacio y Bibliografía. Métodos Numéricos: Ejercicios Resueltos de Examen pg iv

PREFACIO

Esta publicación ha nacido con la idea de ayudar a comprender mejor los fundamentos y los modos deaplicación de los Métodos Numéricos, de gran relevancia como instrumentos de trabajo en los diversos ámbitosde la Tecnología y de la Ciencia.

La idea se fraguó tras la iniciativa de la E.T.S. de Ingenieros de Caminos de Santander de que los profesores

dieran difusión a las soluciones de los ejercicios propuestos en examen. La recopilación aquí contenidaresponde a evaluaciones sobre los temas desarrollados en las clases de la asignatura Métodos Numéricos en el

plan de estudios de Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos en los períodos indicados. En un curso de Métodos Numéricos de orientación general se abordan problemas matemáticos clásicos pero desde la perspectiva detrabajar numéricamente con el computador. Por eso es conveniente estar familiarizado con los conceptosestudiados en Algebra, Geometría, Cálculo Diferencial e Integral y Programación de Computadores. Unatractivo especial de los Métodos Numéricos es que pueden ser objeto de experimentación en computador, conun gran campo abierto a nuestra creatividad. Es muy provechoso realizar prácticas sobre una máquina para veren directo tanto la potencia en la resolución de problemas numéricos complejos, como las dificultades ylimitaciones que surgen. Existe cada vez más software accesible y de calidad, que asimismo conviene habituarsea utilizar.

Un estudio más sistemático de los Métodos Numéricos exige participar activamente en un curso reglado y/o

trabajar algún libro. Se incluyen varios en la Bibliografía. Ellos y otros son fuentes e inspiración de ideas paraesta obra.

El autor desea a los lectores un entretenido recorrido por estos ejercicios, confiando en que les sean sugerentes yclarificadores. Se agradecerán los comentarios y las críticas, para que desde esa participación activa tratemostodos de mejorar en nuestra labor de cada día.

Jaime Puig-Pey Echebeste

Santander, Septiembre de 1995

ALGUNA BIBLIOGRAFÍA

- Burden, R. L., Faires, J.D. “Análisis numérico”. 7a ed. Edit. Thompson. México. 2002

- Chapra, S.C., Canale, R.P.“ Métodos numéricos para ingenieros con aplicaciones en computadoras personales”. 4a ed. Edit. Mc Graw Hill, 2003.- Gasca, M. “Cálculo Numérico I” y “Cálculo Numérico II”. Edita UNED (Univ. a Distancia). Madrid. 1993.- Kincaid, D., Cheney, W. "Análisis Numérico. Las Matemáticas del Cálculo Científico". Ed. Addison -Wesley

Iberoamericana. 1994.- Aubanell, A. Benseny, A. Delshams, A. “Utiles Básicos de Cálculo Numérico”. Ed. Labor Barcelona, 1993.- Scheid, F., Di Costanzo,R.E."Métodos Numéricos"(Schaum). Ed. McGraw Hill Interamericana. México.1991.- Conte S.D., de Boor, C. “Elementary Numerical Analysis. An Algorithmic Approach”. 3a. Ed. 1981. Mc Graw

Hill. Hay versión en castellano de la 2a. edición de 1972.- Dahlquist, G., Bjorck, A. "Numerical Methods". Ed. Prentice-Hall. 1974.- Stoer, J., Bulirsch, R. "Introduction to Numerical Analysis". Ed. Springer Verlag. 2nd ed. 1992.- Quarteroni, A., Sacco, R., Saleri, F. “Numerical Mathematics”, Ed. Springer Verlag, 2nd ed 2007

. Obras que junto a la teoría ofrecen software numérico:- Quarteroni, A., Saleri, F. "Cálculo Científico con MATLAB y Octave". Springer Verlag. 2006.

- Press W.H. Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., Flannery, B.P. “ NUMERICAL RECIPES. The Art of

Scientific Computing”, 1ª ed.1985, 2ª ed,1992. Hay versiones para Pascal, Fortran y C. Ed. Cambridge

University Press. Se complementa con “NUMERICAL RECIPES. Example Book”, en Pascal, Fortran o C. Se

pueden adquirir aparte los códigos. Disponibles con libre acceso libro y códigos: http://www.nr.com/ - Kahaner D., Moler C., Nash. S. "Numerical Methods and Software". Ed. Prentice Hall. 1989. Incluye disquete

con software en Fortran 77.- Puy, J. "Algoritmos numéricos en Pascal. Teoría y Aplicación del Análisis Numérico". Serv. Publicac. ETSI

Caminos. Madrid. 1985. Existen disquetes con el software.

. Software: Matlab, NAG, IMSL, (numéricos), Mathematica, Maple, Derive (simbólicos, numéricos).

. A través de Internet: NA-Net (Numerical Analysis Net). Es una red de dominio público accesible desdeInternet donde pueden acudir los interesados en el Análisis Numérico. En ella hay disponible informaciónespecializada y software de dominio público. Dirección Internet: http://www.netlib.org


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_________________________________________________________________________________________ETSI Caminos, C. y P. Santander. Métodos Numéricos. Curso 3º. Final 1a Parte. 9 Feb 93 pg 1

1992-93

Final. Feb 93. 1ª Parte.

ETSICCP. SANTANDER. METODOS NUMERICOS. Curso 3º. Final, 1a. parte. 9 Feb 1993

Se desea construir un depósito cilíndrico de modo que el valor de su volumen quede garantizado con un errorrelativo menor o igual que 0.001.SE PIDE:1.- Calcular el máximo error relativo Cr admisible tanto para el radio R del depósito como para su altura h, demodo que se garantice el error relativo citado para el volumen. Se trabajará con la misma cota de error relativoadmisible Cr para las magnitudes de R y de h. El número π se tomará con valor 3.1415927, que tiene un error

relativo menor que 0.5 10-7. (1 p.)

2.- Supuesto que el depósito debe tener una altura nominal de 3 metros y que su volumen nominal es 1000 litros,calcular las cotas de error absoluto admisibles para h y R, como consecuencia de los resultados del apartado

anterior. (1 p.)

Solución

1.- V=π R 2·hTeniendo en cuenta que aproximadamente la cota de eror relativo de un producto es la sumade las cotas de error relativo de los factoresCEr(V) = CEr(π)+CEr(R 2)+CEr(h) = CEr(π)+CEr(R)+CEr(R)+CEr(h) = 0.5 10-7 + 3·Cr

Una cota de error relativo más desfavorable en este esquema se deduce de0.5 10-7 + 3·Cr ≤ 0.001 , Cr ≤ (0.001- 0.5 10-7)/3,

despreciando 0.5 10-7

frente a 0.001 , se tiene la cota Cr≤

0.001/3 = 3.3333333 10-4

Sin despreciarlo: 3.333166710-4.

2.- πR 2·h = 1000 , R= )30·π/(1000 = 3.2573501 dm.

Cr= CE(R) / 3.2573501... , CE (R) = 3.2573501· Cr = 3.2573501·3.3333333·10-4 == 1.086 10-3 dm. = 0.1086 mm.

Cr= CE(h) / 30 , CE (h) = 30·Cr = 30·3.3333333 10-4 = 0.01 dm. = 1 mm.


Sea la matriz 1 1/2 1/3A = 1/2 1/3 1/4

1/3 1/4 1/5SE PIDE:1.- Obtener una factorización LU asociada a la matriz A a partir del proceso de eliminación de Gauss conmáximo pivote parcial. Calcular su determinante a partir del proceso anterior. (1.5 p.)

2.- Obtener la factorización de Cholesky de A.¿Qué se puede decir de los signos de los autovalores de A? (1.5

p.) A partir de esta factorización resolver el sistema Ax=b, con A la matriz dada y bT=(1,0,0) (1 p.)

Solución

1.- Operando con máximo pivote parcial sin escalado:


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A = A0 =1 1/2 1/3

1/2 1/3 1/41/3 1/4 1/5

1ª etapa, pivote :a110

m211 =-1/2

m311 =-1/3

1 1/2 1/31/2 1/12 1/121/3 1/12 4/45

= A1

2ª etapa, pivote :a221

m322 =-1

1 1/2 1/31/2 1/12 1/121/3 1 1/180

= U

Con lo que la factorización queda A=LU (pues no ha habido que hacer permuta de filas)resultando:

1 1/2 1/31/2 1/3 1/41/3 1/4 1/5

=1 0 0

1/2 1 01/3 1 1

·1 1/2 1/30 1/12 1/120 0 1/180

Si se hubiera operado por pivoteo parcial con escalado, se habría calculado el vector d detamaños de filas de la matriz A , resultando (norma del máximo para los vectores filas): d=[1,1/2, 1/3]

En la 1ª etapa, se podría haber tomado el mismo elemento pivote: (1/1=1, (1/2)/(1/2)=1,(1/3)/(1/3)=1 ). En la segunda etapa: como (1/12)/(1/2)=1/6, (1/12)/(1/3)=1/4, se habríatomado como fila pivote la tercera, obteniéndose la siguiente factorización P·A=L·U :

El determinante de A resulta: 1· (1/12) · (1/180) = 1/2160

2.- Factorización de Cholesky de A:Sin recordar las fórmulas que se utilizarían para la realización de un código por ordenador,

se pude operar identificando uno a uno los elementos en la igualdad matricial: A=L·LT .

l11 0 0l21 l22 0l31 l32 l33

l11 l21 l310 l22 l320 0 l33

=1 1/2 1/3

1/2 1/3 1/41/3 1/4 1/5

l112 = 1, l11 = 1 l21

2 + l222 = 1/3, l22 = 1/(2 3)

l11 l21= 1/2, l21= 1/2 l31l21 + l32l22 = 1/4, l32 = 3/6l11 l31= 1/3, l31= 1/3 l31

2+ l322+ l33

2 =1/5, l33 = 1/(6 5)

1 0 0

1/2 1/(2 3 0

1/3 1/(2 3 1/(6 5)

1 1/2 1/3

0 1/(2 3) 1/(2 3

0 0 1/(6 5)

=1 1/2 1/3

1/2 1/3 1/4

1/3 1/4 1/5

Puesto que la matriz admite la factorización de Cholesky, se puede afirmar que es definida positiva, y por tanto todos los autovalores de A son positivos estrictamente.

Para resolver Ax=b, se plantea LLT x = b, que se trata en dos fases: llamando LT x=y, seresuelve Ly=b; obtenido y, se resuelve LT x=y, que da la solución x buscada. En la primera


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fase se tiene un sistema triangular inferior y en la segunda uno triangular superior. Se opera:

1 0 01/2 1/(2 3 01/3 1/(2 3 1/(6 5)

y1y2y3

=100

, resulta: y =1

- 35

1 1/2 1/30 1/(2 3) 1/(2 30 0 1/(6 5)

x1x2x3

=1

- 35

, finalmente: x =9

-3630


Entre las técnicas numéricas de trabajo con valores y vectores propios destaca el método de las potencias o de la potencia iterada. Demostrar la convergencia de dicha técnica iterativa. (Hipótesis previas y tesis: 1 p. Demostración: 1 p.)

Solución

El método de las potencias se puede enunciar como sigue:Hipótesis:- Sea una matriz A con n autovalores |λ1| > |λ2| ≥ ... |λn| y n autovectores asociados ui,

i=1,...,n, respectivamente, y que son linealmente independientes (L.I.)- Considérese la siguiente sucesión de vectores a partir de un y0 “arbitrario” (la única

condición para y0 es que su 1a. componente, si se expresa y0 en la base de los autovectores ui

sea no nula):xq+1=A yq ,

yq+1=xq+1/||xq+1||, q=0,1,2,...

Tesis:- Entonces, se tiene que lim (q →∞) de yq = u1, dirección propia asociada al autovalor de

módulo máximo.

Demostración:

Expresando y0 “arbitrario”, en la base de autovectores: y0 = ∑=

n

1i

ai ui , suponiendo que a1 ≠

0,yq = xq /||xq || = A·yq-1/ ||xq || = A·xq-1/( ||xq || · ||xq-1||) = A2 yq-2/( ||xq || · ||xq-1||) =

= A2 xq-2/( ||xq || · ||xq-1||·||x q-2 ||) = ... =Aq y0/ ||x i||Πi=1

q

= ai Aq ui / ||x i||Πi=1

q

Σi=1

n

=

= a1u1+ ai(λi/λ1)q uiΣ

i=2

n

λ1q / ||x i||Πi=1

q

se observa que yq tiende a la dirección de u1, ya que (λi/λ1)q , i1, tiende a cero al tender q

a infinito.

Por otro lado,


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xq+1 = Ayq = Aq+1 y0/ ||x i||Πi=1

q

= ai Aq+1 ui / ||x i||Πi=1

q

Πi=1

n

=

= a1u1+ ai(λi/λ1)q+1

uiΣi=2

n

λ1q+1

/ ||x i||Πi=1

q

y eligiendo una componente, la k por ejemplo, de yq , que no sea nula, de modo que tampoco

sea nula la componente k de u1, construyamos el cociente entre las componentes sub-k de

xq+1 y de yq :

sq+1,k = (xq+1)k / (yq )k = λ1·

a1(u1)k + ai(λi/λ1)q+1

(ui)k Σi=2

n

a1(u1)k + ai(λi/λ1)q

(ui)k Σi=2

n

de donde, lim (q → ∞) sq,k = λ1. Ello permite asimismo aproximar el autovalor de módulomáximo λ1.


1.- Sea el problema de programación lineal min x1 - x2 + x3 + 2x4 ,

con las coacciones x1 - 2x2 + x3 - x4 ≤ 2 , xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4

Aplicando el método combinatorio de selección de coacciones, obtener la solución del problema, incluyendo elvalor óptimo de la función objetivo y la región donde se alcanza. (1 p.)

2.- Con las mismas coacciones del caso anterior, considérese como objetivo:max x1 - x2 + x3 - 2x4 ,

Soluciónese el problema, dando valor óptimo de la función objetivo y región donde se alcanza. (1 p.)

Solución

1.- Los vectores factibles básicos, que son vértices del politopo convexo que limita la regiónadmisible se pueden obtener mediante el método combinatorio de 5 ecuaciones tomadas de 4en 4 (5 sistemas) asocadas a las restriciones del problema.

Así se tiene:

Sistema 1: x1=0, x2=0, x3=0 , x1 - 2x2 + x3 - x4 = 2 con solución (0,0,0,-2), no válido como

vértice pues no se cumple la no negatividad para x4.

Sistema 2: x1=0, x3=0, x4=0 , x1 - 2x2 + x3 - x4 = 2 con solución (0,-1,0,0), no válido como

vértice pues no se cumple la no negatividad para x2.

Sistema 3: x1 =0, x2=0, x3=0, x4=0 , con solución (0,0,0,0), válida como vértice pues se

cumplen las 5 restricciones. Valor en el vértice de la Función 0bjetivo: 0-0+0+2·0=0

Sistema 4: x2=0, x3=0, x4=0 , x1 - 2x2 + x3 - x4 = 2 con solución (2,0,0,0), válida como


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vértice pues se cumplen las 5 restricciones. Valor en el vértice de la Función 0bjetivo: 2

Sistema 5: x1=0, x2=0, x4=0 , x1 - 2x2 + x3 - x4 = 2 con solución (0,0,2,0), válida como

vértice pues se cumplen las 5 restricciones. Valor en el vértice de la Función 0bjetivo: 2

El teorema fundamental de la programación lineal afirma que si existe solución se debealcanzar en algún vértice. El condicional “si existe solución” es crucial.

En este caso no existe solución. En efecto, tomando cualquier valor finito no negativo parax1,x3,x4 , y dando a x2 un valor suficientemente grande (positivo) se puede hacer decrecer

tanto como se quiera la función objetivo, cumpliendo todas las restricciones. Luego no haysolución acotada.

Si la región admisible está acotada, siempre hay solución en algún vértice. La región delejercicio no está acotada.

2.- En este caso en que la región admisible es la misma, se puede ver que tampoco haysolución acotada. En efecto, si por ejemplo se toman valores para las variables queverifiquen:x1=4·x3 , x2=2·x3, x4=x3 , con un valor arbitrario para x3 (no negativo) se verifican todas las

coacciones y por otro lado la función objetivo vale: x3 . Es decir, que haciendo crecer x3, y

manteniendo los valores indicados para x1 , x2 , x4 en función de x3 , se puede hacer crecer

tanto como se quiera la función objetivo, no habiendo solución óptima acotada en ningúnvértice.


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1992-93

Final. Feb 93. 2ª Parte.

ETSICCP. SANTANDER. METODOS NUMERICOS. 3er.curso. Final, 2a. parte. 9 Feb 1993

Tabla de abscisas xi y pesos wi para la integración de Gauss-Legendre unidimensional en (-1,1)

Nº de puntos base xi wi

1 0 2

2 +1/ 3 +1

- 1/ 3 +1

3 0 8/9

+ 15/5 5/9

- 15/5 5/9

4 +0.861 136 31 0.347 854 85-0.861 136 31 0.347 854 85+0.339 981 04 0.652 145 15

-0.339 981 04 0.652 145 15

1.- Dada la tabla adjunta de pesos y abscisas base para la integración unidimensional simple de Gauss-Legendre en(-1,1), y apoyándose en reglas simples unidimensionales de Gauss-Legendre, deducir una regla simple de integración

bidimensional en un rectángulo de vértices (a, b), (a+h, b), (a+h, b+k), (a, b+k), (1p.) que se pueda aplicar adecuadamente

para integrar la función f(x,y) = x3y - xy + 1 en el recinto Ω de la figura, de modo que no se produzca ningún error en laintegración. Se deberán elegir necesariamente los menores números posibles de puntos base en las reglas simples

unidimensionales de integración en que se base la regla bidimensional deducida.(1 p.) Deberá calcularse la integral de la

f(x,y) anterior extendida al recinto Ω de la figura. (1 p.) aplicando la regla obtenida.

2.- Indicar en qué abscisas se basarían las reglas simples unidimensionales para integrar exactamente en un rectángulo de

lados paralelos a los ejes la función f(x,y) = x3y5 - xy4 + 7 con un número mínimo de puntos base. Señalar en el rectángulo

(a,b), (a+h,b), (a+h, b+k), (a, b+k) los puntos del plano XY en que se realizaría la evaluación de f(x,y) en este caso. (1 p.)

Solución 1.- Cuando se tiene un integrando polinómico en x,y y un dominio rectangular de lados

paralelos a los ejes, las integrales iteradas se separan en integrales unidimensionales, siendosus límites de integración unas constantes asociadas a las coordenadas de los vértices del

rectángulo. En este caso, el número de puntos base de integración de Gauss-Legendre a

utilizar se decide, para la dirección x, fijándose en el máximo grado de polinomio en x presente en el integrando, y para la dirección y fijándose en el máximo grado de polinomio

en y presente en el integrando.

De este modo, puesto que se tiene grado 3 en “x”: 2·nx-1=3, nx=2, esto es 2 puntos base en la

dirección x. Para el intervalo [-1,1], los abscisas de Gauss son +1/ 3 y -1/ 3 y 1 es el

peso para ambos puntos.

Como el grado 1 en “y” es 1: 2·ny-1=1, se tiene ny=1, esto es , 1 punto base en la dirección


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y. Para el intervalo [-1,1], la abscisa de Gauss es 0 y 2 es el peso correspondiente.

Se entiende que este es el menor número de puntos base en cada dirección. Si se eligiesenmás, la integración también sería exacta.

Veamos la expresión de la regla simple de integración buscada;

f(x,y) dx dy =

Ω a

a+h

f(x,y) dx dy

b

b+k

≈

{iterada en y, regla simple Gauss-Legendre, 1 punto base}

≈ k 2

a

a+h

f(x, b+b+k 2

+ b+k-b2

·0)·2 dx = k· f(x,b+k 2

) dx

a

a+h

{iterada en x, regla simple Gauss-Legendre, 2 puntos base}

≈kh2

· 1·f(a+a+h2

+a+h-a2

· 13

, b+k 2

) + 1·f(a+a+h2

+a+h-a2

·(-1)

3, b+k

2) ≈

≈ kh2 · f(a+h2+ h2· 3 , b+ k 2) + f(a+h2 - h2· 3 , b+ k 2)

En el recinto dado, se tiene:

Integral en Ω = Integral en cuadrado de vértices (0,0), (2,0), (2,2), (0,2) -

- Integral en cuadrado de vértices (1,1), (2,1), (2,2), (0,2).

(a=0, b=0, h=2, k=2)

Para el cuadrado de vértices (0,0), (2,0), (2,2), (0,2) la integral vale, aplicando la fórmula:

Integral cuadrado grande ≈ 2 1+ 1

3

3 ·1 - 1+ 1

3

· 1 + 1 + 1- 1

3

3 ·1 - 1- 1

3

· 1 + 1 = 8

Integral cuadrado chico≈ 12

· 32

+ 12 3

3 ·32

- 32

+ 12 3

· 32

+1+ 32

- 12 3

3 ·32

- 32

- 12 3

· 32

+ 1 = 358

Resultando: Integral en Ω ≈ 8 - 35/8 = 29/8 = 3.625

2.- Para integrar exactamente en un rectángulo de lados paralelos a los ejes la función

polinómica f(x,y) = x3y5 - xy4 + 7 basta con:

. 2·nx-1 = 3, nx=2 puntos base en la dirección x

. 2·ny-1 = 5, ny=3 puntos base en la dirección y

En el intervalo (-1,1):Dir x: P. base: -1/ 3 , +1/ 3 , pesos: +1 , +1 respec.Dir y: P. base: - 15/5 , 0 , + 15/5 , pesos: 5/9 , 8/9, 5/9 respec.

En el intervalo (a,a+h), Dir x:

Puntos base: a + h2

- h2

· 13

, a + h2

+ h2

· 13

, pesos +1 , +1 respec.

En el intervalo (b,b+k), Dir y:

Puntos base: b + k 2

- k 2

· 155

, b + k 2

, b + k 2

+ k 2

· 155

pesos +59

, 89

, - 59

respec.

Al considerar la función de dos variables f(x,y) los puntos del plano XY en que se evalúa coneste tipo de integral son los 6 señalados en la figura.


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X

Y

O

(a+h,b+k)

(a,b)

b + k 2

+ k 2

· 155

b + k

2

b + k 2

- k 2

· 155

a + h2

- h2

· 13

a + h2

+ h2

· 13


Se considera el problema de interpolación osculatoria de una función f(x) en dos abscisas 0 , h:

f(0)=f 0 , df(x=0)/dx=f’0 , f(h)=f 1 , donde f 0, f’0, f 1 son valores conocidos.

SE PIDE:1) Demostrar la existencia y unicidad de solución de este problema de interpolación dentro del conjunto de polinomios de

grado ≤ k, (siendo k el nº natural menor posible y no siendo los polinomios a trozos), dando el valor de k. (1 p.) 2) Construir las funciones básicas de Lagrange para este problema de interpolación, y la expresión en esta base del

polinomio interpolador. (1 p.) 3) Obtener una expresión aproximada para la derivada segunda de f(x) en x=0, a partir de la expresión obtenida del

polinomio interpolador. (0.5 p.) Obtener el error de dicha fórmula de derivación aproximada. (1 p.)

Solución

1) Puesto que hay 3 coacciones en la interpolación, se estudiará un polinomio interpolador de

grado k ≤2 (3 coeficientes o grados de libertad a determinar con las 3 coacciones)Existencia y unicidad de la solución:

p2(x)= a + bx + cx2 , que debe cumplir: p2(0)=f 0 , p2’0)=f’0 , p2(h)=f 1 que se puede escribir

matricialmente:

1 0 0

0 1 0

1 h h2

a

b

c

=

f 0

f 0,

f 1

La existencia y unicidad de la solución del problema de interpolación equivale a que las tenga

este sistema de ecuaciones lineales. Por ser un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas cuya

matriz de coeficientes tiene un determinante de valor h2 , se puede afirmar que el problema planteado con un polinomio de grado k ≤2 tiene solución única.

2) Funciones de Lagrange y polinomio interpolador

Se deducirán 3 funciones de Lagrange, cada una asociada a cada una de las coacciones:- Asociada a f(0)=f 0 , la función l0(x), que debe verificar:

l0(0)=1; [dl0(x) / dx ] x=0 =0; l0(h)=0;

Resulta: l0(x) = 1 - (x2 / h2)

que se obtiene de un sistema análogo al anterior pero con vector independiente (1,0,0)T.

- Asociada a f’(0)=f’0, la función l01(x), que debe verificar:


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l01(0)=0; [dl01(x) / dx ] x=0 =1; l01(h)=0;

Resulta: l01(x) = x - (x2 / h)

- Asociada a f(h)=f 1, la función l1(x), que debe verificar:

l1(0)=0; [dl1(x) / dx ] x=0 =0; l1(h)=1;

Resulta: l1(x) = x2 / h2

Los tres sistemas se podía haber integrado matricialmente, si se llama l0(x)= a0 + b0x + c0x2,

l01(x)= a01 + b01x + c01x2 , l1(x)= a1 + b1x + c1x2 :

1 0 0

0 1 0

1 h h2

a0 a01 a1

b0 b01 b1c0 c01 c1

=1 0 0

0 1 0

0 0 1

resultando los coeficientes por inversión de la matriz de la izquierda.

La expresión del polinomio interpolador en la base de Lagrange es:

p2(x) = f 0·[1 - (x2 / h2 )] + f’0·[x - (x2 / h) )] + f 1·x2 / h2

3) Para aproximar la derivada segunda de f(x) se deriva el polinomio:

p’2(x) = f 0·(-2x / h2 ) + f’0·[1- (2x / h)] + f 1·(2x / h2)

p’’2(x) = f 0·(-2 / h2 ) + f’0·(- 2 / h) + f 1·(2 / h2), que resulta constante para todo x. Por tanto:

f’’(0) ≈ p’’2(0) = f 0·(-2 / h2 ) + f’0·(- 2 / h) + f 1·(2 / h2)

El error de la fórmula de derivación se deducirá por la técnica de desarrollo en serie de Taylor

y por la de las diferencias divididas.

Por Taylor: introduciendo en la fórmula de derivación la expresión de f 1 en forma de

desarrollo en serie en el entorno de x=0:

p’’2(0) = f 0·(-2 / h2 ) + f’0·(- 2 / h) + [f 0+ h·f’0+(h2/ 2)·f’’0 + (h3/ 6)·f’’’0 +...]·(2 / h2) =

= f 0·(-2 / h2 ) + f’0·(- 2 / h) + f 0·(2 / h2 ) + f’0·(2 / h) + f’’0 + (h/ 3)·f’’’0 +...

Es decir,

Error deriv.= f’’0 - p’’2(0) = -(h/ 3)·f’’’0 +... = - (h/ 3)·f’’’(ξ) , ξ∈[0,h]

Por diferencias divididas, a partir del error de interpolación del problema, derivándolo

sucesivamente, suponiendo que f(x) es suficientemente suave:

E(x) = f(x)-p(x) = f[0,0,h,x] · x2 ·(x-h)

E’(x) = f’(x)-p’(x) = f[0,0,h,x,x] · x2 · (x-h) + f[0,0,h,x] · [2x·(x-h) + x2]

E’’(x) = f’’(x)-p’’(x) = 2· f[0,0,h,x,x,x] · x2·(x-h) + f[0,0,h,x,x]·[2x· (x-h) + x2] +

+ f[0,0,h,x,x] ·[2x·(x-h) + x2] + f[0,0,h,x] · [6x-2h]

E’’(0) = 0 + 0 + 0 + f[0,0,h,0]·(-2h) = f’’’(ξ) / (3!) ·(-2h) = - (h/ 3)·f’’’(ξ) , ξ ∈ [0,h]


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En un laboratorio de Hidráulica se experimenta con un tubo en U como el de la figura, relleno en su parte inferior de unmaterial permeable isotrópico, enrasado hasta las líneas A...A’ y B...B’. El sistema se alimenta de agua por la rama izquierdamanteniéndose el nivel en una altura de valor 2 unidades sobre la línea A...A’, y en la rama derecha se mantiene el nivel deagua en 1 unidad por encima de la línea B...B’, de manera que la situación se mantiene en estado estacionario.

La filtración viene regulada por la ecuación de Laplace

∂2 P / ∂ x2 + ∂2 P / ∂ y2 = 0

donde P representa el potencial hidráulico.

Se supone la discretización de la figura, con cuadrados de igual lado, para estudiar la distribución del potencial en los nodosde la malla. Las paredes del tubo en U se suponen impermeables. En todos los puntos sobre A...A’, incluyendo esquinas, setomará P=2 , y en los de BB’, incluyendo esquinas, se considerará que el potencial vale 1. Se supondrá que la normal alcontorno en los nodos 3 y 7 es paralela al eje OY.

Realizando las derivaciones aproximadas a partir de la fórmulas unidimensionales:

f’(a) ≈ (f(a+h)-f(a))/h , f’(a) ≈ (f(a)-f(a-h))/h , f’’(a) ≈ (f(a+h)-2f(a)+f(a-h))/h2 ,

SE PIDE:

1.- Obtener el sistema de ecuaciones que teniendo en cuenta las condiciones de contorno (1 p.) y la discretización adecuada

de la ecuación diferencial (1 p.) permite aproximar la distribución del potencial en la malla.

2.- Obtener el potencial aproximado en los nodos (0.5 p.)

Solución1.- Se trata de obtener el valor de la función incógnita, el potencial P(x,y) en los puntos de la

malla en que se ha discretizado el medio poroso donde se plantea la ecuación de Laplace. Enconcreto, se desconoce el valor de P en lo 9 nodos numerados.

Las ecuaciones que se pueden plantear son:. La ecuación diferencial particularizada en los puntos del medio.

. Las ecuaciones representativas de las condiciones de contorno, que son de dos tipos:

- En los bordes A...A’ y B...B’ de tipo Dirichlet, con el potencial de valor P=2 enA...A’ y P=1 en B...B .

- De tipo Neumann, que afectan a las derivadas, y que consisten que el flujo normal a

la superficie del borde es nulo, por ser impermeable, es decir, que el vector velocidad delfluido normalmente al contorno es nulo; lo que se expresa mediante la ecuación

grad P · n=0 , grad P = (∂P/∂x , ∂P/∂ y)

donde grad P es el vector gradiente de la función potencial P, y n es el vector normal al

contorno en el punto que se considere. En concreto esta condición se puede plantear en losnodos 1,3,6,7,9,5.

Es conveniente hacer un balance de ecuaciones y de incógnitas en el problema con ladiscretizacón señalada. Hay 9 incógnitas: los valores de P en los nodos numerados. Por otro

lado hay 6 ecuaciones, que resultan de imponer la condición de impermeabilidad en el borde

en los nodos 1,3,6,7,9,5. Son necesarias 3 ecuaciones más, que se pueden construir

particularizando la ecuación diferencial en los nodos 2, 4, 8 del interior de la zona porosa.


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Las derivadas que intervienen en el gradiente y en la ecuación diferencial, se representan

mediante fórmulas aproximadas, en función de los valores de P en nodos de la malla. Así sellega a un sistema de ecuaciones que representa el comportamiento del problema de un modo

discretizado sobre los nodos.

Suponiendo que el lado de todos los cuadrados de la malla vale h:

Nodo 1. grad P · n = 0

[(P2-P1)/h, (2-P1)/h] · (1/ 2, 1/ 2)T = 0, esto es P2 - 2·P1 +2 = 0


[(1-P5)/h, (P5-P4)/h] · (0, 1)T = 0, esto es P5 - P4 = 0 , P4 = P5


[(P6-P3)/h, (P2-P3)/h] · (0,1)T = 0, esto es P2 - P3 = 0 , P2 = P3


[(P7-P6)/h, (P4-P6)/h] · (0,1)T = 0, esto es P4 - P6 = 0 , P4 = P6

Nodo 7. grad P · n = 0[(P7-P6)/h, (P8-P7)/h]· (0,1)T = 0, esto es P8 - P7 = 0 , P8 = P7


[(P9-P8)/h, (1-P9)/h] · (- 1/ 2, 1/ 2)T = 0, esto es P8 - 2·P9 + 1 = 0

Nodo 2. ∆P = 0 , donde ∆P es el Laplaciano de P:

(P4 - 2P2 + P1)/h2 + (2 - 2P2 + P3)/h2 = 0, esto es: P1 - 4P2 + P3 + P4 + 2= 0

Nodo 4. ∆P = 0 :

(P2 - 2P4 + P8)/h2 + (P5 - 2P4 + P6)/h2 = 0, esto es: P2 - 4P4 + P5 + P6 + P8= 0

Nodo 8. ∆P = 0 :

(P4 - 2P8 + P9)/h2 + (1 - 2P8 + P7)/h2 = 0, esto es: P4 + P7 - 4P8 + P9 + 1= 0

El sistema resultante se puede escribir matricialmente; si se hace de modo que el orden de las

ecuaciones se corresponda con el de los nodos en que se plantean, se tiene :

-2 1 0

1 -4 1

0 1 -1

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 0

-4 1 1

1 -1 0

1 0 -1

0 1 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

1 -1 0

1 -4 1

0 1 -2

·

P1P2P3P4P5P6P7P8P9

=

-2

-2

0

0

0

0

0

-1

-1

observándose que la matriz de coeficientes es una matriz dispersa o hueca, esto es, con

muchos ceros, y que además se puede ver en ella una estructura en banda. Obsérvese también

que la numeración de los nodos puede cambiar el patrón de ceros de la matriz de coeficientes.

2.- Las 3 igualdades: P2 = P3 , P4 = P6 , P8 = P7 reducen a 5 el número de

ecuaciones, y operando sobre ellas, se obtiene finalmente:P

1 =1.9 , P

2 = P

3 = 1.8 , P

4 = P

5 = P

6 = 1.5 , P

7 = P

8 = 1.2 , P

9 = 1.1


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1992-93

Septiembre 93. 1ª Parte.

ETSICCP. Santander. METODOS NUMERICOS.Curso 3º. Examen Extraord.Parte 1ª. 13 Sep 1993Considérense dos secciones S1 y S2 de diferente área de una misma tubería, por la que circula agua sin que se produzcan pérdidas, es

decir, el caudal de agua es el mismo en ambas secciones. Las áreas de las secciones S1 y S2 se conocen con errores relativos no mayoresque rs1 y rs2 respectivamente.Se ha medido con error relativo no mayor que rv1 la velocidad v1 en un punto de S1 tal que permite calcular el caudal C=v1 · s1 . Sesupone que la velocidad del agua es uniforme en toda la sección. Con la información disponible se desea calcular una cota del errorrelativo de la velocidad correspondiente a la sección S2. Hacerlo empleando:1º) Una formulación aproximada (0.5 p.).2º) Una fórmula exacta (1 p.).

Solución

Igualando caudales: v1 · s1 = v2 · s2 , v2 = (v1 · s1) / s2

1º) Procedimiento aproximado:

Llamando v2’ a la magnitud aproximada de v2, empleando esa notación para el resto de magnitudes, se puede escribir como cota de error relativo de v2’:

CEr(v2’) ≈ CEr(v1’ · s1’) + CEr(s2’) ≈ CEr(v1’) + CEr(s1’) + CEr(v2’) = rv1+ rs1+ rs2

2º) Procedimiento exacto:Hay que aplicar la expresion para una cota de error relativo de un cociente, en el que el dividendo es un

producto:

CEr(v2’) =CEr( (v1’ · s1’) / s2’) = [CEr(v1’ · s1’) + CEr(s2’)] / [1-CEr(s2’)] == [CEr(v1’) + CEr(s1’) + CEr(v1’) · CEr(s1’) + CEr(s2’)] / [1-CEr(s2’)] == ( rv1+ rs1+ rv1 · rs1+ rs2 ) / (1 - rs2)

ETSICCP. Santander. METODOS NUMERICOS.Curso 3º. Examen Extraord.Parte 1ª. 13 Sep 1993Sea la matriz de símbolos

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 SE PIDE:

a31 a32 a33

1) Construir su factorización LU suponiendo que no se hace pivoteo, y empleando la técnica de eliminación de Gauss. Se deberánescribir las matrices manipuladoras que posibilitan el proceso (1 p.), y se obtendrá la factorización a partir de operar con esas matricesmanipuladoras (1.5 p.), llamadas matrices de Frobenius.2) Calcular el determinante de A a partir de la factorización (0.5 p.).

Solución

1) En la primera etapa de eliminación, mediante la matriz F1, resultará :F1·A = F1·A0 = A1, que en detalle se representa:

1 0 0

-a21a11

1 0

-a31

a110 1

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a11 a12 a13

0 -a21a11

a12+a22 -a21a11

a13+a23

0 -a31

a11 a12+a32 -

a31

a11 a13+a33

En la segunda etapa, mediante la matriz de Frobenius F2, premultiplicándola por A1, se obtiene lamatriz triangular U:


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F2 · A1 = U, lo que en detalle es:

1 0 0

0 1 0

0 -

-a31a11

a12+a32

-a21a11

a12+a22

1

·

a11 a12 a13

0-a21a11

a12+a22-a21a11

a13+a23

0-a31a11

a12+a32-a31a11

a13+a33

=

=

a11 a12 a13

0-a21a11

a12+a22-a21a11

a13+a23

0 0 e33

= U

e33 = - -a21a11

a13+a23 ·

-a31a11

a12+a32

a21a11

a12+a22

+-a31a11

a13+a33

En resumen, se ha obtenido: F2 · F1 · A = U . Despejando A = F1-1 · F2-1 · U .

Las inversas F1-1 y F2-1 y el producto F1-1 · F2-1 se obtienen fácilmente:

F1-1 =

1 0 0

a21a11

1 0

a31a11

0 1

, F2-1 =

1 0 0

0 1 0

0

-a31a11

a12+a32

-a21a11

a12+a221

F1-1 ·F2-1 =

1 0 0

a21a11

1 0

a31a11

-a31a11

a12+a32

-a21a11

a12+a221

= L

quedando por tanto expresada la factorización A=L·U.


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2) Para calcular el determinante de A a partir de la factorización, teniendo en cuenta que det(L)=1, setiene que det (A) = det(U), y det(U) es simplemente el producto de sus elementos diagonales.

Hallando dicho producto, se llega a la clásica expresión para el determinante de una matriz 33:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32

ETSICCP. Santander. METODOS NUMERICOS.Curso 3º. Examen Extraordi.Parte 1ª. 13 Sep 1993

a.- Construir una matriz de Householder de dimensión 33 asociada al vector (1/ 3 ,1/ 3 ,1/ 3 ). Hallar el “reflejado” del vector (1,0,1)(1 p.).

b.- Construir una matriz triangular que tenga como autovalores los números -1, 2, 1. Con ella y la matriz de Householder construídaanteriormente, deducir, emplendo la relación de semejanza, una matriz que tenga como autovalores los números antes citados. (1 p.)

c.- Construir una matriz cuadrada de dimensión 44, no simétrica, tal que todos sus autovalores estén en un círculo de centro el origen yradio 8. Justificar debidamente la respuesta (1 p.).

Solución

a.- Puesto que el vector w = (1/ 3 ,1/ 3 ,1/ 3) tiene norma euclídea unidad, la matriz de Householder aél asociada es: H= I - 2 w wT , es decir:

H=I-2wwT=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

- 2

1/ 3

1/ 3

1/ 3

1/ 3 1/ 3 1/ 3 =

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-2

1/3 1/3 1/3

1/3 1/3 1/3

1/3 1/3 1/3

=

1/3 -2/3 -2/3

-2/3 1/3 -2/3

-2/3 -2/3 1/3

siendo el reflejado de v = (1,0,1) el vector : H·v = (-1/3, -4/3, -1/3)

b.- Cualquier matriz triangular con los números -1, 2, 1 en su diagonal tiene esos números comoautovalores. Por ejemplo:

M =

-1 0 1

0 2 0

0 0 1

Aplicando la semejanza, resulta la matriz N= H-1MH= HMH con los mismos autovalores que M:

N = H M H =1/3 -2/3 -2/3-2/3 1/3 -2/3

-2/3 -2/3 1/3

1 0 10 -2 0

0 0 1

1/3 -2/3 -2/3-2/3 1/3 -2/3

-2/3 -2/3 1/3

=

=

-5/9 4/9 -11/9

-10/9 -10/9 4/9

-8/9 10/9 -5/9

c.- Recordando la definición de norma subinfinito de ua matriz A, y que todos sus autovalores están enun círculo de centro el origen y radio una norma matricial de A, todos los autovalores de la siguientematriz A están en un círculo de radio 8, pues su norma matricial subinfinito es 8.


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A =

4 -1

1 1

2 0

1 1

2 2

3 0

2 2

-1 -3

||A ||∞

= max (4+1+2, 1+1+1+1, 2+2+2+2, 3+1+3) = 8 .

ETSICCP. Santander. METODOS NUMERICOS.Curso 3º. Examen Extraord. Parte 1ª. 13 Sep 1993

Sea la región admisible A de un problema de programación lineal bidimensional, rayada en la figura incluyendo el borde regruesado. SEPIDE:

1º) Escribir TODAS las inecuaciones que reflejan las restricciones del problema (0.5 p.).2º) Inventar una función objetivo que alcance su mínimo valor para infinitos puntos de la región A. Se indicará dicho conjunto deinfinitos puntos y el valor mínimo alcanzado por la función inventada (1 p.).3º) Empleando el método combinatorio de restricciones, obtener la solución del problema de minimizar

z(x1 , x2 ) = 2x1 + 7x2 (1 p.). (No vale dar la solución por cálculo geométrico)

Solución

1º) Además de las restricciones primarias: x1 =0 , x2 = 0

las restantes restricciones se deducen de la geometría del contorno de la región admisible A:

. recta por (0,6), (1,3): x2-6= (x1-0) (6-3)/(0-1) , y de aquí 3x1 + x2 – 6 ≥ 0 [(0,0) no está]

. recta por (1,3), (3,1): x2-3= (x1-1) (3-1)/(1-3) , y de aquí x1 + x2 – 4 ≥ 0

. recta por (3,1), (6,0): x2-1= (x1-3) (0-1)/(6-3) , y de aquí x1 +3 x2 – 6 ≥0

2º) La función objetivo z = x1 + x2 alcanza el mínimo valor en todos los puntos del segmento que une

los puntos (1,3) y (3,1), tomando el valor z=4 .

La función z= x2 alcanza el mínimo en todos los puntos del eje x1 desde (6,0) hacia la derecha,

tomando el valor z=0 .

3º) Número de sistemas posibles: combinaciones de 5 ecuaciones (del número de restricciones totales)tomados de 2 en 2 (hay dos variables independientes) = 5·4 / (2) = 10

1.- x1 =0 , x2 = 0 resulta (0,0) incumple restricciones.

2.- x1 =0 , 3x1 + x2 - 6 = 0 resulta (0,6), cumple todas las restricciones.

3.- x1 =0 , x1 + x2 - 4 = 0 resulta (0,4), incumple restricciones.

4.- x1 =0 , x1 +3 x2 - 6 = 0 resulta (0,2), incumple restricciones.

5.- x2 =0 , 3x1 + x2 - 6 = 0 resulta (2,0), incumple restricciones.

6.- x2 =0 , x1 + x2 - 4 = 0 resulta (4,0), incumple restricciones.

7.- x2 =0 , x1 + 3x2 - 6 = 0 resulta (6,0), cumple todas las restricciones.


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8.- 3x1 + x2 - 6 = 0 , x1 + x2 - 4 = 0 resulta (1,3), cumple todas las restricciones.

9.- 3x1 + x2 - 6 = 0 , x1 + 3x2 - 6 = 0 resulta (3/2,3/2), incumple restricciones.

10.- x1 + x2 - 4 = 0 , x1 + 3x2 - 6 = 0 resulta (3,1), cumple todas las restricciones.

Los puntos obtenidos que cumplen todas las restriciones son vértices, vectores factibles básicos. Enalguno de ellos se alcanzará el óptimo caso de que exista. Aunque la región no está acotada , la funciónobjetivo no decrece indefinidamente en ella, sino que está acotada inferiormente, y entonces se alcanzamínimo para z en algún vértice.

Evaluando la función objetivo z(x1 , x2 ) = 2x1 + 7x2 en esos puntos :

z(0,6) = 42 , z(6,0) = 12 , z(1,3) = 23 , z(3,1) = 13 .

Luego z alcanza su mínimo valor z=12 en el punto (6,0).


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_____________________________________________________________________________________________________ETSI Caminos, C.P. Santander. Métodos Numéricos.Curso 3º. Septiembre. 2a Parte. 13 Sep 93 pg 17

1992-93

Septiembre 93. 2ª Parte.


Se conoce la siguiente información de una función f(x), genérica y suficientemente suave:

En x= x0 , f(x0)=f 0

En x= x1= x0 +h , f(x1)=f 1 , f’(x1)=f’1

En x= x2= x1 +h , f(x2)=f 2

SE PIDE:

1.- Construir la tabla de diferencias divididas y la expresión del polinomio interpolador en la forma de Newton para este problema de

interpolación osculatoria con un polinomio de grado menor o igual que tres, que se puede demostrar que es único para h no nulo (1.5

p.).

2.- Construir una fórmula aproximada para la derivada tercera de f(x) en x= x1= x0+h (1 p.).

3.- Deducir el error de la fórmula de derivación anterior (1 p.).

Solución

1.- La expresión del polinomio interpolador de este problema con la formulación de Newton se puedeescribir:

p(x) = f 0 + f[x0,x1]·(x-x0) + f[x0,x1,x1]·(x-x0)·(x-x1)+ f[x0,x1,x1,x2]·(x-x0)·(x-x1)2 =

Tabla de diferencias divididas de este problema de interpolación osculatoria:

Puesto que en x1= x0 +h la interpolación alcanza al valor de la función y sus derivada 1a. , la tabla se

construye tomando x0 +h como un punto ‘‘doble’’.

x f[] f[ , ] f[ , , ]x0 f 0

f[x0,x1] = (f 0 - f 1 )/(-h)

x1= x0+h f 1 f[x0,x1,x1]= (f 0 - f 1 + h·f’1) / h2f[x1,x1] = f’1

x1= x0+h f 1 f[x1,x1,x2] = (- h·f’1 - f 1 + f 2) / h2

f[x1,x2] = (f 1- f 2 )/(-h)

x2= x0+2h f 2

f[x0,x1,x1,x2] = ( f 0 +2h·f’1 - f 2 ) / (-2h3)

Quedando la representación de Newton:

p(x) = f 0 - (x-x0)·(f 0 - f 1 )/h + (x-x0)·(x-x1)·(f 0 - f 1 + h·f’1) / h2 -

- (x-x0)·(x-x1)2 ·( f 0 +2h·f’1 - f 2 ) / (2h3)

2.- Derivada tercera en x= x0+h a partir de p(x) (en este caso es 3! por el coeficiente de x3 en la

expresión de p(x), resultando una constante independiente de x):

f’’’(x0+h) ≈ p’’’(x0+h) = - (3/ h3 )·( f 0 +2h·f’1 - f 2 )

3.- El error de la fórmula de derivación anterior se deducirá empleando la técnica del desarrollo de

Taylor:

. Se desarrollará en el entorno de x=x1 (Se puede hacer en el entorno de otro punto; conviene algo

cómodo)

. Representación en serie de Taylor de la aproximación dada por p’’’(x1):

f’’’aprox (x1) = p’’’(x1) =


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- (3/ h3 )·[ f(x1) - f’(x1) h + f’’(x1) (h2/2) - f’’’(x1) (h3/6) + f iv(x1) (h4 /24) - f v(x1) (h5/120)+ ... +...

+ 2h·f’(x1) -

- f(x1) - f’(x1) h - f’’(x1) ( h2/2) - f’’’(x1) (h3/6) - f iv(x1) (h4 /24) - f v(x1) (h5/120) - ... ] =

= - (3/ h3 )·[- f’’’(x1) (h3/3) - f v(x1) (h5/60) -...] = f’’’(x1) + f v(x1) (h2/20) + ...

Error = f’’’(x1) - f’’’aprox (x1) = - f v(x1) (h2/20) +... = - f v(ξ) (h2/20) , ξ ∈ [x0,x2]


El problema de valor inicial y’=f(x,y), x ∈ [a,b] , y (a) = y0 , se puede tratar numéricamente como sigue.

Considérese una discretización en abscisas x0=a, x1, ..., xi, xi+1, ..., xn=b , de modo que entre cada pareja de abscisas consecutivas de

la discretización se mantiene una distancia constante h.

Si se integran entre xi y xi+1 los 2 miembros de la ecuación diferencial resulta:

y' dx

xi

xi+1

= f(x,y) dx

xi

xi+1

, y (xi+1) - y (xi) = f(x,y) dx

xi

xi+1

1.- El integrando del segundo miembro se puede aproximar interpolando en x la función f(x,y) en tres puntos (x i+1,yi+1), (xi,yi), (xi-

1,yi-1), mediante un polinomio en x , que para xi+1, xi, xi-1, toma los valores f(xi+1, yi+1), f (xi, yi), f(xi-1, yi-1), respectivamente,con lo que ya es posible integrar el segundo miembro. De este modo se construye un método de integración del problema de valor

inicial , de tipo multipaso implícito, cuya formulación se pide obtener. (2 p.)

La fórmulación que se pide corresponde al denominado método de Adams-Moulton implícito de 2 pasos. Resulta la expresión:yi+1 = yi + (h / 12) (5 f(xi+1, yi+1) + 8 f (xi, yi) - f(xi-1, yi-1))

2.- Recordando que el método de Adams-Bashforth explícito de 3 pasos es:yi+1 = yi + (h / 12) (23 f(xi, yi) - 16 f (xi-1, yi-1) + 5 f(xi-2, yi-2)) ,

explicar cómo se formula y se aplica el método predictor-corrector basado en el método de Adams -Moulton implícito de 2 pasos y el

método Adams-Bashforth explícito de 3 pasos citado (0.5 p.).¿Cuántas evaluaciones adicionales de la función f(x,y) hay que hacer para pasar de yi a yi+1 , respecto de las ya hechas en el paso

anterior, de yi-1 a yi ? (0.5 p.)

¿Es preciso combinar un método multipaso con uno monopaso ? Justificarlo. (0.5 p.)

3.- Teniendo en cuenta que y’k = f(xk , yk ) , k = 0, 1, 2, ... y aplicando adecuadamente el desarrollo de Taylor como técnica de trabajo,

se puede puede deducir fácilmente el error de truncatura local de estos métodos paso a paso. Deducir el error de truncatura local del

método de Adams-Moulton implícito de 2 pasos y el del Adams-Bashforth explícito de 3 pasos (2 p.).

4.-Deducir para qué valor natural de n se podría integrar exactamente y’ = xn , x ∈ [a,b] , y (a) = y0 con el método predictor-corrector

anterior, y qué valor mínimo del orden de un método de Taylor monopaso se debería utilizar (1 p.)

Solución

1.- El polinomio interpolador del que se habla en el enunciado se puede escribir en la base de

Lagrange como sigue:

p2(x)= f(xi-1 ,yi-1)(x-xi)(x-xi+1)

(xi-1-xi)(xi-1-xi+1) +f(xi,yi)

(x-xi-1)(x-xi+1)

(xi-xi-1)(xi-xi+1) +f(xi+1,yi+1)

(x-xi-1)(x-xi)

(xi+1-xi-1)(xi+1-xi)

Integrando este polinomio interpolador en x que interpola los valores señalados de f(x,y), resultará la

fórmula pedida. Hay que hacer las integrales de las funciones de Lagrange de la expresión anterior enel intervalo (xi, xi+1). No conviene hacer las integrales desarollando los polinomios que aparecen en

los numeradores en la base canónica 1, x, x2 porque las operaciones están más sujetas a errores y son

más laboriosas. Conviene, bien emplear la regla de Simpson, que es exacta para este caso, o bienintegrar por partes manteniendo la estructura de los polinomios como producto de binomios. Se

actuará aquí por Simpson:{ debe tenerse presente para que se simplifiquen los cálculos que (x i - xi-1) = h = (xi+1-xi) }


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(x-xi)(x-xi+1)

(-h) (-2h)dx

xi

xi+1= 1

2h2 ·h

6[0+0+4·(

xi+xi+12

- xi)·(xi+xi+1

2 - xi+1)]= -

h12

(x-xi-1)(x-xi+1)

h·(-h)dx

xi

xi+1= -1

h2 ·h

6[0+h·(-h)+4·(

xi+xi+12

- xi-1)·(xi+xi+1

2 - xi+1)]=

2h3

(x-xi-1)(x-xi)

2h·hdx

xi

xi+1= 1

2h2 ·h

6[0+2h·h+4·(

xi+xi+12

- xi-1)·(xi+xi+1

2 - xi)]=

5h12

resultando entonces:

y (xi+1) - y (xi) = f(x,y) dx

xi

xi+1

- p2(x) dx

xi

xi+1

= -h12

f (xi-1 ,yi-1) + 2h3

f(xi,yi) + 5h12

f(xi+1 ,yi+1)

y de aquí la formulación del método de Adams-Moulton implícito de 2 pasos:

yi+1 = yi + (h / 12) (5 f(xi+1, yi+1) + 8 f (xi, yi) - f(xi-1, yi-1))

2.- El método predictor-corrector pedido, que se hace en dos fases por etapa, se obtiene aplicando el

método Adams-Bashforth explícito de 3 pasos en la fase predictora, introduciendo la aproximación

obtenida para la segunda fase correctora mediante la formulación implícita de Adams-Moultonimplícito de 2 pasos:

yi+1 p =yi +

h12

[ 23 f (xi,yi) - 16 f(xi-1 ,yi-1) + 5 f(xi-2 ,yi-2) ]

yi+1c =yi +

h12

[ 5 f (xi+1 ,yi+1 p

) + 8 f(xi,yi) - f(xi-1 ,yi-1) ]

y se toma como aproximación yi+1 este resultadoc

1iy + de la fase correctora.

- Hecho el paso completo de yi-1 a yi para pasar de yi a yi+1 hay que hacer una evaluación f(xi,yi) enla fase predictora, y otra f(x i+1 ,

p

1iy + ) en la correctora, es decir, 2 evaluaciones.

- Para aproximar lo que ocurre en i+1 hay que apoyarse en lo que pasa en i-2, i-1, i . Por lo tanto,

hasta no tener valores para y0, y1, y2 no se puede aplicar predictor corrector para aproximar y3. Así

que es preciso aplicar un método monopaso para aproximar y1, y2 , ya que un método de ese tipo no

precisa más que de la información del paso anterior.

3.- Se actuará comparando la representación en forma de desarrollo en serie del valor de la y exacta

en un punto de la discretización con la y aproximada por el método de que se trate.

La representación exacta de yi+1 mediante desarrollo de Taylor en el entorno de xi se puede escribir:

yi+1exacto = yi + h y ’i +

h2

2 y ’’i +

h3

6 y ’’ ’i +

h4

24 y ivi +...

Se analiza primero el método de Adams Moulton de 2 pasos (A.M.2), estudiando el desarrollo deTaylor en el entorno de xi de cada uno de los términos que intervienen en su formulación:

5h12

f(xi+1,yi+1) =5h12

yi+1 , = 5h

12 (yi

, + hyi ,, + h

2

2 yi

,,, + h3

6 yi

iv +...) =

= 5h

12

yi

, + 5h2

12

yi

,, + 5h3

24

yi

,,, + 5h4

72

yi iv +...

2h3

yi,


26/117


-h12

f(xi-1 ,yi-1) =-h12

yi-1 , = -h

12(yi

, - hyi ,,+ h

2

2 yi

,,, -h3

6 yi

iv+...) =

=-h12

yi , + h

2

12yi

,, - h3

24 yi

,,, +h4

72 yi

iv+...

luego la representación en desarrollo en serie de Taylor en torno a xi de la yi+1 dada por el método

A.M.2 es:

yi+1A.M.2= yi+h yi

, + h2

2 yi

,,+h3

6 yi

,,, +h4

12 yi

iv+...

Luego comparando el desarrollo de la y exacta con el desarrollo de la aproximación, el error de

trunctura local será:

h4

24 yi

iv+... - h4

12 yi

iv+... = - h4

24yiv(ξ) , con ξ en [xi,xi+1]

Para el cálculo del error para el método de Adams Bashforth explícito de 3 pasos (A.B.3) se procede

análogamente. Considérense los desarrollos en serie de los términos que integran la formulación delmétodo:

23h

12f(xi,yi) =

23h

12 y

i

,

-16h12

f(xi-1 ,yi-1) =-16h12

yi-1 , = -16h

12(yi

, - hyi ,,+ h

2

2 yi

,,, -h3

6 yi

iv+...) =

= -16h12

yi , + 16h

3

12yi

,,- 16h3

24 yi

,,, +16h4

72 yi

iv+...

5h12

f(xi-2,yi-2) =5h12

yi-2 , = 5h

12(yi

, - 2hyi ,,+ 4h

2

2 yi

,,, -8h3

6 yi

iv+...) =

=5h12

yi , - 10h

2

12yi

,,+ 20h3

24 yi

,,, +40h4

72 yi

iv+...

luego la representación en desarrollo en serie de Taylor en torno a xi de la yi+1 dada por el método

A.B.3 es:

yi+1A.B.3 = yi + h yi

, + h2

2 yi

,, + h3

6 yi

,,, - h4

3 yi

iv+...

Luego comparando el desarrollo de la y exacta con el desarrollo de la aproximación, el error de

trunctura local para A.B.3 será:

h4

24 yi

iv+... - (- h4

3 yi

iv+...) = 3h4

8 yiv(ζ) , con ζ en [xi,xi+1]

Se observa que estos dos métodos tienen el error de truncatura local del mismo orden, lo que justificasu uso conjunto en un método predictor-corrector.

4.- Por aparecer en el error de truncatura local yiv, si la función y(x) del problema tiene su cuarta

derivada nula para cualquier x, no se producirán errores de truncatura en el proceso numérico,

únicamente los de redondeo. Así que si n=2, puesto que y'(x)=xn , la cuarta derivada de y(x) será

idénticamente nula y no habrá error de truncatura.

El mínimo orden del método de Taylor monopaso a utilizar es 3 ya que interviniendo en su error de

truncatura local el factor yiv

, se anulará dicho error para y’ = x2


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____________________________________________________________________________________________________________ETSI CCP. Santander. Métodos Numéricos. 3er. Curso 1er Parcial. 2 Dic 93 pg 21

1993-94

1er. Examen Parcial

ETSI CAMINOS. SANTANDER. METODOS NUMERICOS, 3er Curso. 1a. Eval 2 Dic 1993- Determinar por un procedimiento aproximado qué cota de error relativo se debe garantizar en la medición del radio de un círculo para

garantizar que el área del mismo se obtiene con error relativo menor que 0.001. ¿Qué pasa si el valor que se toma para π tiene une errorrelativo mayor que 0.001? (1 p.)

- Dar un valor aproximado de π con el menor número de dígitos de modo que el error relativo en su aproximación sea menor que 10 -4.(0.5 p.) ( El valor de π con 15 dígitos significativos por redondeo es 3.14159265358979)

Solución:

- Puesto que A = πR 2. CEr(A) | ±CEr(π) ± 2 CEr(R) | ≤ 0.001 , analizando las diversas opcionesasociadas a los posibles signos ±, la más desfavorable, que lleva a un menor valor para la cota a exigiren la valoración de R, es CEr(π) + 2 CEr(R) ≤ 0.001 , luego

CEr(R) ≤ (0.001-CEr(π)) / 2Si se toma π con error relativo mayor que 0.001, no se puede resolver el problema en las condicionesindicadas.

- Para estudiar el valor de π a elegir con el menor número de dígitos, podemos actuar:Si se toman 4 decimales "exactos" por redondeo, esto es 3.1416, se tiene:Ea ≤ 0.5 10-4 , Er ≤ 0.5 10-4 / π < 0.5 ·10-4 < 1 ·10-4

Si se toman 3 decimales "exactos" por redondeo, esto es 3.142, se tiene:Ea ≤ 0.5 10-3, Er ≤ 0.5 10-3 / π > 0.1 ·10-3 = 1·10-4 , no se puede garantizar Er < 10-4

Con 3.142:Ea= |3.142-3.14159265358979...| = 0.0004073464102..., Er = 0.0004073464102.../ π > 10-4

Con 3.1416:Ea=|3.1416-3.14159265358979...| = 0.0001073464102..., Er = 0.0001673464102.../π < 10-4

ETSI CAMINOS. SANTANDER. METODOS NUMERICOS. 1a. Parte. 2 de Diciembre de 1993 Dada la matriz 2 4 6

A = 8 10 1214 16 10 SE PIDE:

-Obtener la factorización LU de una matriz posiblemente permutada de A en filas, por la técnica del máximo pivote parcial con escalado.

(1p)

- Aplicar la factorización anterior para calcular la matriz inversa de A, resolviendo adecuadamente las diversas secuencias de sistemastriangulares que se pueden establecer. (No vale hacerlo por inversión de las matrices triangulares ni por Gauss-Jordan) (1p.)

- Calcular los números de condicionamiento de la matriz A con la norma sub-infinito y la sub-uno. (1p.)

Se deberá dejar reflejado cada paso operativo realizado, y no se admitirá dar sólo los resultados finales.

Solución:

Vector de tamaños: (6,12,16) Vector de índices de filas (1,2,3)

max(2/6, 8/12, 14/16) = max (16/48, 32/48, 42/48) pivote fila 3 para la 1ª etapa


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16

12

6

3

2

1

141610

8 10 12

2 4 6

m21= -8/14

m31= -2/14

14 16 10

+4/7 6/7 44/7

+1/7 12/7 32/7

pivote 2ª etapa ? max ( (6/7)/12 , (12/7)/6) = (12/7)/6 Fila pivote: la fila 1 (inicial)

16612

312

14 16 10+1/7 12/7 32/7+4/7 6/7 44/7

m32= (-6/7)/(12/7) = -1/2

14 16 10+1/7 12/7 32/7+4/7 +1/2 4

P =0 0 11 0 00 1 0

L =1 0 0

1/7 1 04/7 1/2 1

U =14 16 100 12/7 32/70 0 4

P A =1416102 4 6

8 10 12

= L U

- Proceso de inversión:A A-1 = I ; P A A-1= P ; L U A-1= P

LUi11i21i21

i12i22i32

i13i23i33

=010

001

100

i1 i2 i3

Identificando por columnas, se tienen 3 sistemas de ecuaciones, cada uno de las cuales supone laresolución de dos sistemas triangulares.

1er. sistema:

1 0 0

1/7 1 0

4/7 1/2 1

14 16 10

0 12/7 32/7

0 0 4

i1 =010

llamando a = U i1

1 0 01/7 1 0

4/7 1/2 1

a = 010

y resulta, a = 01-1/2

Resolviendo el 2º sistema triangular:

14 16 10

0 12/7 32/7

0 0 4

i11i21i31

=01

-1/2, con lo que i1=

-23/2411/12-1/8

Análogamente,LU i

2 = (0,0,1)T, llamando, b = U i

2

, se tiene L b=(0,0,1)T obteniéndose b = (0,0,1)T

continuando con U i2 = b, se tiene la segunda columna de la inversa i2 = (7/12, -2/3, 1/4)T.


29/117


Finalmente, el tercer sistema:LU i3 = (1,0,0)T, llamando, c = U i3, se tiene L c =(1,0,0)T obteniéndose c = (1,-1/7,-1/2)T

resultando de U i3 = c, la tercera columna de la inversa i3 = (-1/8, 1/4, -1/8)T.

- Números de condicionamiento:

sub-∞: || A ||∞ = max(12,30,40) = 40

|| A-1 ||∞ = max((23+14+3)/24,(11+8+3)/12,(1+2+1)/8) = 44/24=11/6 Nº de condicionamiento sub-∞: || A ||∞ || A-1||∞ = 40·44/24 = 220/3 = 73.33...

sub-1: || A ||1 = max(24,30,28) = 30|| A-1||1 = max((23+22+3)/24,(7+8+3)/12,(1+2+1)/8) = 2

Nº de condicionamiento sub-1: || A ||1 · || A-1||1 = 30·2 = 60

ETSI CAMINOS. SANTANDER. METODOS NUMERICOS. 3er. Curso. 1ª Evaluación. 2 Dic 1993

- Demostrar que el vector u asociado a toda matriz de Householder H (H=I-2uuT, uTu=1), es un autovector de H. Calcular el autovalor

asociado. Demostrar que todo vector v ortogonal al u anterior para la norma euclídea (vTu=0) es autovector de H. Obtener el

correspondiente autovalor. Dado un vector n-dimensional x arbitrario, ¿cuánto vale la norma euclídea ||Hx||2 en relación con la ||x||2 ?

(1 p.)

- Calcular la matriz H0 que permite obtener el punto xs del espacio tridimensional que sea simétrico de uno dado x, respecto al plano

x/ 2 + y 2 = 0 mediante xs = H0x. Aplicarla al cálculo del simétrico del punto (0,4,0)T. (1p.)

- Escribir la descomposición espectral de la matriz H0 anterior, deduciendo autovectores ortogonales al vector u asociado a H0 por

observación de la situación geométrica. ¿Tendría sentido calcular autovectores y autovalores de una matriz de este tipo empleando elmétodo de las potencias? Justificar la respuesta. (1.5 p.)

Solución:

. H u = (I-2uuT) u = u - 2 (uT u ) u = u - 2 (1) u = - u . El autovalor asociado es -1.

. Sea v tal que vT u = 0. H v= (I-2uuT) v = v - 2 (uT v ) u = v - 2 (0) u = v . El autovalor asociado es 1.

. ||Hx||22 = (H x)T(H x) = xT HT H x = xT I x = xTx = || x ||22. Es decir, la norma sub-2 no se

modifica. Ello es bueno, ya que el no aumentar el tamaño del vector tras la operación, hace que lascondiciones de estabilidad numérica sean más favorables.

. Recordando la interpretación geométrica de la matriz de Householder, que permite obtener medianteH0x el vector simétrico del x respecto del plano que pasa por el origen y tiene como vector normal el u

asociado a H0, se debe elegir u = (1/ 2 , 1/ 2 , 0)T

. Calculando H0,

H0 =1 0 0

0 1 0

0 0 1

- 21/ 21/ 2

0 1/ 2 1/ 2 0 =

0 -1 0

-1 0 0

0 0 1 el simétrico de (0,4,0)Tresulta ser :

xs = H0x =0 -1 0-1 0 00 0 1

040

=-400

. Para la descomposición espectral de H0, hará falta conocer los autovalores y autovectores de la matriz

H0.

Ya se sabe que u=u1=(1/ 2 ,1/ 2 ,0)T es autovector,ya normalizado, y que su autovalor asociado es (-1).


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Por tratarse de una matriz simétrica, las tres direcciones propias son ortogonales. Observando lasituación geométrica, se pueden tomar los otros dos autovectores ortogonales (y normalizados connorma euclídea),

u2 = (-1/ 2 , 1/ 2 , 0)T y el u3 = (0, 0, 1)T

, que tienen ambos como autovalores a 1.

La descomposición espectral resulta:

H0 = λ1u1 u1T + λ2u2 u2T + λ3u3 u3T=

= - 1 ·1/ 21/ 2

0 1/ 2 1/ 2 2 0 + 1 ·

-1/ 21/ 2

0 -1/ 2 1/ 2 0 + 1·

001

0 0 1 =

= -1·1/2 1/2 0

1/2 1/2 0

0 0 0

+ 1·1/2 -1/2 0

-1/2 1/2 0

0 0 0

+ 1·0 0 0

0 0 0

0 0 1

=0 -1 0

-1 0 0

0 0 1

- No tiene sentido calcular los autovectores de H0 por potencia iterada ya que no hay un únicoautovalor de módulo máximo.

ETSI CAMINOS. SANTANDER. METODOS NUMERICOS. 1a. Parte. 2 de Diciembre de 1993Se tiene el problema de programación lineal con tres variables x, y, z, definido por la función objetivo: f = x + z ,con las restricciones: x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ 2 , z ≥ 0 , z - 2 - λ x ≤ 0.

En este problema interviene el parámetro λ, que varía entre -∞ y +∞. Se pide:- Construir una tabla en la que se indique, para valores o intervalos significativos de λ dentro de su dominio de variación, en qué puntosdel espacio tridimensional se alcanzan los valores máximo y mínimo de f, expresando asimismo dichos valores extremos de f. (2 p.)

Solución

El problema se reduce a un estudio bidimensional analizando la variación del parámetro λ. Debe recordarse también que hay restricciones en y. Se distinguen 4 casos:


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2

2O

z

x

Caso 1: λ∈ (-∞, -1)

x+z=22

2O

z

x

Caso 3: λ∈ (-1,0)

z=2

x+z=2 Caso 4: λ∈ [0, ∞)

z=2

2

x

z

O

Max f Min fλ(-∞, -1) segmento 2 segmento 0

(0,0,2) a (0,2,2) (0,0,0) a (0,2,0)λ= -1 rectángulo 2 segmento 0

(0,0,2), (2,0,0) (0,0,0) a (0,2,0)(2,2,0), (0,2,2)

λ(-1, 0) segmento -2/λ segmento 0

(-2/λ,0,0) a (-2/λ, 2,0) (0,0,0), a (0,2,0) λ[0,∞) Ilimitado ∞ segmento 0

f puede crecer ilim. (0,0,0) a (0,2,0)

Caso 1: λ∈(-∞, -1)- El máximo, de valor f=2, se alcanza en el segmento desde el punto, (x=0, y=0, z=2) hasta el (x=0,y=2, z=2).- El mínimo, de valor f=0, se alcanza en el segmento desde el punto, (x=0, y=0, z=0) hasta el (x=0,y=2, z=0).

Caso 2: λ= -1.- El máximo, de valor f=2, se alcanza en todos los puntos del rectángulo delimitado por

(0,0,2), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,2)- El mínimo, de valor f=0, se alcanza en todos los puntos del segmento delimitado por

(0,0,0), (0,2,0).

Caso 3: λ∈(-1, 0)- El máximo, de valor f=-2/λ, se alcanza en todos los puntos del segmento delimitado por los puntos

(x=-2/λ, y=0, z=0) y (x=-2/λ, y=2, z=0)- El mínimo , de valor f=0, se alcanza todos los puntos del segmento delimitado por

(0,0,0), (0,2,0)

Caso 4: λ∈[0, ∞)- Máximo para f ilimitado. Se puede hacer crecer f tanto como se quiera.- El mínimo , de valor f=0, se alcanza todos los puntos del segmento delimitado por

(0,0,0), (0,2,0)


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____________________________________________________________________________________________________________ _ETSI CCP. Santander. Métodos Numéricos. Curso 3º. 2ª Eval 04.02.94. pg 26

1993-94

2º Examen Parcial

E.T.S.I. Caminos. Santander.Curso 3º . METODOS NUMERICOS. 2a. Eval.4 Feb 1994

Considérese la retícula de 9 puntos de la figura, de estructura paralela a los ejes coordenados X,Y, construída en torno al punto (a,b) conel entramado que tiene lado de tamaño h.

h h

h

h

b-h

b+h

a+ha-h a

b

X

Y

O

Se desea interpolar una función f(x,y), de valor conocido en esos 9 puntos, mediante un polinomio interpolador p(x,y) que, si seexpresase en la base canónica tendría la estructura

cij x iSi,j=0

2

y j

es decir, que los exponentes de x e y en los diversos términos serían no mayores que dos.

Debido a esta especial estructura del dominio en XY y del polinomio interpolador, las funciones de Lagrange bidimensionalesse pueden construir muy fácilmente a partir de las unidimensionales. SE PIDE:

a) Escribir las funciones de Lagrange de este problema de interpolación bidimensional (1 p.). Escribir la expresión del polinomio

interpolador en esa base de Lagrange. (0.5 p.)

b) Construir una fórmula aproximada para ∂2f/∂x2 en (a,b), basándose en la interpolación bidimensional anterior (0.5 p.) Calcular el

error de dicha fórmula de derivación aproximada (1p.)

c) Construir una fórmula aproximada para ∂2f/∂x∂y en (a,b), también basada en el polinomio interpolador citado (0.5 p.) NOTA: Las operaciones resultan muy simples si se mantienen presentes en el proceso operativo la funciones de Lagrange

unidimensionales y se consideran sus propiedades.

Solución

a) Los puntos de la retícula son (a + ih, b+jh), de modo que i, j toman valores -1, 0, 1

Las funciones de Lagrange unidimensionales son (es útil pintarlas):

l-1,x (x) =(x-a)(x-a-h)

(a-h-a)(a-h-a-h) =

(x-a)(x-a-h)

2h2

l0,x (x) =(x-a-h)(x-a+h)

(a-a+h)(a-a-h) =

(x-a-h)(x-a+h)

-h2

l1,x (x) = (x-a)(x-a+h)(a+h-a)(a+h-a+h)

= (x-a)(x-a+h)2h2

l-1,y (y) =(y-b)(y-b-h)

(b-h-b)(b-h-b-h) =

(y-b)(y-b-h)

2h2

l0,y (y) =(y-b-h)(y-b+h)

(b-b+h)(b-b-h) =

(y-b-h)(y-b+h)

-h2

l1,y (y) = (y-b)(y-b-h)(b+h-b)(b+h-b+h)

= (y-b)(y-b+h)2h2

y las funciones de Lagrange bidimensionales para el problema planteado son :

l i j (x,y) = li,x (x) l j,y (y) , i, j= -1, 0, 1.

Que verifican: l i j (a + m h, b+n h) = 1 si i=m y j=n

l i j (a + m h, b+n h) = 0 si i m ó j n

Con lo que el polinomio interpolador en la base de Lagrange se expresa:

p(x,y)= ∑−= 1,0,1 j,i

(f a+ih, b+jh) lij(x,y)


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b)

¶2 p

¶x2 (a,b) = f S

i,j= -1,0,1

(a + ih, b+jh) l j,y (y)d 2li,x (x)

d x2 (a,b)=

= f (a -h, b)d 2l-1,x (x)

d x2 x=a + f (a, b)

d 2l0,x (x)

d x2 x=a + f (a+h, b)

d 2l1,x (x)

d x2 x=a

En la expresión anterior se ha utilizado que l j,y (b) = 0 si j =-1, 1 , y l0,y (b)=1, por ser polinomios

de Lagrange. Por otro lado:

d 2l-1,x (x)

d x2 x=a= 1

h2 ;

d 2l0,x (x)

d x2 x=a= -2

h2 ;

d 2l1,x (x)

d x2 x=a= 1

h2

luego,

¶2f

¶x2 (a,b)≈ ¶2 p

¶x2 (a,b)=

f (a -h, b) - 2 f (a, b) + f (a+h, b)

h2

Haciendo referencia con los índices i, j a los puntos (a + ih, b+jh), de modo que i, j toman valores -1,0, 1:

(f)-10 = (f)00 - h (∂f/∂x)00 + h2/2 (∂2f/∂x2)00 - h

3/6 (∂3f/∂x3)00 + h4/24 (∂4f/∂x4)00 + ...

-2 (f) 00 = -2 (f)00

(f) 10 = (f)00 + h (∂f/∂x)00 + h2/2 (∂2f/∂x2)00 + h

3/6 (∂3f/∂x3)00 + h4/24 (∂4f/∂x4)00 +...

Sumando miembro a miembro, resulta:

h2(∂2 p/∂x2)00

= h2(∂2f/∂x2)00

+ h4/12 (∂4f/∂x4)00

+ ...

Luego,

Error de la fórmula de derivación = Valor exacto - Valor aproximado =

= (∂2f/∂x2)00 - (∂2 p∂x2)00 = - h

2/12 (∂4f/∂x4)00 +... = - h2/12 (∂4f (a+∆h, b)/ ∂x4) ,

-1


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E.T.S.I. Caminos. Santander.Curso 3º . METODOS NUMERICOS. 2a. Eval.4 Feb 1994

a) Deducir las abscisas base y pesos de una regla de integración simple de Gauss-Legendre en el intervalo (-1,1) que adecuadamenteaplicados al cálculo de la integral triple

a1

a2

b1

b2

xm

c1

c2

yn z p dx dy dz

con m, n, p, enteros no negativos menores o iguales que 3, y (a1, a2), (b1, b2), (c1, c2), intervalos reales finitos, permitan su cálculo sinerror. (1 p.)

b) Escribir la regla de integración resultante para esa integral (1p.)

c) Aplicarla al cálculo de la integral

x3

D

y2 z dx dy dz

donde D es el dominio de la figura, una “rosquilla cuadrada” formada por un paralelepípedo de aristas ortogonales, base cuadrada delado 3, con altura 1, que tiene un agujero pasante en el centro de caras laterales paralelas a las del paralelepípedo. La sección del hueco

es cuadrada de lado 1 ( 1 p.)

O

Y

= =11 1

1

1

1

1

1

3

3

Z

(3,3,1)

1

Solución

a) Cálculo de puntos base y pesos . Puesto que

a1

a2

b1

b2

xm

c1

c2

yn z p dx dy dz = xm dx

a1

a2

yn dy

b1

b2

z p dz

c1

c2

la integral triple se estudia como tres integrales simples. Como el grado de los integrandos polinómicos

es


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Como la integración de Gauss-Legendre corresponde a una interpolación en los puntos base:

f(x) dx

-1

1

≈ p(x) dx

-1

1

= (f(x0) l0(x)+f(x1) l1(x))dx

-1

1

= f(x0) l0(x)dx

-1

1

+ f(x1) l1(x))dx

-1

1

Luego los pesos son justamente las integrales de las funciones de Lagrange asociadas a los puntos

base. Así:

w0= l0(x) dx

-1

1

=x- 1

3

- 13

- 13

dx

-1

1

= 1 w1= l1(x) dx

-1

1

=x+ 1

3

13

+ 13

dx

-1

1

= 1

b) La regla de integración resultante para la integral pedida es

a1

a2

b1

b2

xm

c1

c2

yn z p dx dy dz = xm dx

a1

a2

yn dy

b1

b2

z p dz

c1

c2

=

= a2-a12 a2+a12 +a

2-a12 3

m

+ a2+a12 - a2-a12 3

m

·

· b2-b1

2

b2+b12

+ b2-b1

2 3

n+

b2+b12

- b2-b1

2 3

Puig-Pey Jaime MetNumEjResueltosExam 1996 (1)

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