-
Aleksandar Karač
zgrada MF, kancelarija 1111
tel: 032 44 91 20
[email protected]
www.ptf.unze.ba
http://ptf.unze.ba/mehanika-materijala-i/
https://classroom.google.com/u/3/c/MTUwNTIzODQ4NTIy
Alma Žiga
Kancelarija 1102
tel: 449 120, lok 141
[email protected]
MEHANIKA MATERIJALA I
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 1
Izvođenje nastave• predavanja: 3 časa sedmično
• vježbe (auditorne) : 2 časa sedmično
Obaveze studenata• redovno prisustvo na predavanjima i
vježbama
• urađene zadaće (ukupno 2 zadaće) – PREDATE U ZADANOM
ROKU!!!
O kursu Mehanika Materijala I .....
Cilj predmeta • Razviti analitičke vještine i vještine
rješavanja problema• Uspostaviti vezu između vanjskih opterećenja
koja djeluju na deformabilna tijela i
napona i deformacija koje ta opterećenja izazivaju,• Dati
osnovne izraze za računanje napona i deformacija uzrokovanih raznim
vrstama
opterećenja
Kompetencije (Ishodi učenja)
Po završetku kursa studenti će biti u stanju:•razlikovati
različite vrste opterećenja, te izračunavati odgovarajuće napone
ideformacije koje oni uzrokuju,•dizajnirati i analizirati
jednostavnije konstrukcije na osnovu kriterija čvrstoće
ikrutosti,•izračunavati glavne normalne i maksimalne tangencijalne
napone u tijelu, koristećianalitičke izraze i Mohrov krug
napona,•razlikovati statički određene i neodređene probleme, te
primijeniti odgovarajućemetode za njihovo rješavanje.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 2
Provjera znanja
Konačna ocjena
• dvije zadaće u toku semestra (zadaci)
• dva testa/kolokvija u toku semestra (teorija, kviz
pitanja)
• pismeni ispit (zadaci)
• prisustvo nastavi: 0 %
• zadaća: 30 %
• testovi/seminarski: 20 %
• pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela
dostupna na stranici kursa)!!!
Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno
51%!!!
O kursu Mehanika Materijala I .....
Ocjena 6 55-65%
Ocjena 7 65-75%
Ocjena 8 75-85%
Ocjena 9 85-95%
Ocjena 10 95-100%
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 3
Sadržaj/program kursa
(1) Naponi i deformacije, osobine materijala 2 sedmice
(2) Aksijalno naprezanje 2 sedmice
(3) Uvijanje 2 sedmice
TEST I
(4) Savijanje 3 sedmice
(5) Ravno stanje napona i primjena 3 sedmice
(6) Hipoteze o razaranju materijala 1 sedmica
TEST II/integralni
O kursu Mehanika Materijala I .....
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 44
LITERATURA
dodatna
osnovna • Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici)•
Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003. •
Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2004.•
Rašković D., Otpornost materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.•
Rašković D., Tablice iz otpornosti materijala, Naučna knjiga,
Beograd, 1990.• Dž. Kudumović, S. Alagić, Zbirka Rješenih Zadataka
iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 2000.• A. Karač, Riješeni
ispitni zadaci iz Otpornosti materijala, MF-UNZE, e-izdanje,
2014.
• RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight
Edition, 2011.• JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage
Learning, Seventh Edition, 2009.• JM Gere, BJ Goodno, An
Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials,
Cengage
Learning, Seventh Edition, 2009.• FP Beer, ER Johnson Jr., JT
DeWolf, DF Mazurek, Mechanics of materials, McGraw-Hill Education,
Seventh
Edition, 2015.• WA Nash, Theory and Problems of Strength of
Materials, Schaum’s outline series, McGraw-Hill, 1998.• WC Young,
RG Budynas, Roark’s formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill,
Seventh Edition, 2002.
O kursu Mehanika Materijala I .....
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 5
ZADAĆA 1: (1) + (2) + (3)
Zadata: 29. oktobar 2020.Rok za predaju: 18. decembar 2020.
(petak)
ZADAĆA 2: (4) + (5) + (6)
Zadata: 10. decembar 2020. Rok za predaju: 29. januar 2021.
(petak)
Obaveze studenata
Provjera znanja
TEST 1: (1) + (2) + (3) 10. decembar 2020.
TEST 2 (ili integralni): (4) + (5) + (6) 28. januar 2021.
Konsultacije
Radnim danom od 10.00-11.00
O kursu Mehanika Materijala I .....
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 6
Korisne web stranice
• MecMovies to Accompany Mechanics of
Materialshttp://web.mst.edu/~mecmovie/
• Strength of Materials (SOM) - Notes,
Tutorialshttp://www.onesmartclick.com/engineering/strength-of-material.html
• CosmoLearning, Strength of
Materialshttp://www.cosmolearning.com/courses/strength-of-materials/
• Elastic Beam Deflection
Calculatorhttp://www.aps.anl.gov/APS_Engineering_Support_Division/Mechanical_Operations_and_
Maintenance/Calculators/ElasticBeam2.html
• Free Mechanical Engineering Online
Calculatorshttp://www.freebyte.com/cad/calculator.htm
• FREE STRUCTURAL
SOFTWAREShttp://www.taxlians.com/html/freesoft.html
O kursu Mehanika Materijala I .....
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 7
Mehanika materijala – grana primijenjene mehanike koja se bavi
ponašanjem čvrstih tijela izloženih različitim tipovima
opterećenja.
Osnovni cilj: određivanje napona, deformacija i pomjeranja u
konstrukcijama i njihovim komponentama usljed opterećenja koja na
njih djeluju.
Otpornost materijalaNauka o čvrstoćiMehanika materijala
Strength of MaterialsMechanics of MaterialsMechanics of
Deformable Bodies
FestigkeitslehreStärke von Materialien
Résistance des matériaux
forca e materialeve
sterkte van materiale
супраціў матэрыялаў
съпротивление на материалите
材料强度
styrken af materialer
sterkte van de materialen
lakas ng mga materyales
lujuusopin
αντοχή των υλικών
חוזק חומרים
Szilárdságtanقوة المواد
силата на материјали
fasthetslæreresistenza dei materiali
材料の強さ
vires materiae
Отпорност материјала
trdnost materiala
resistencia de los materiales
nguvu ya vifaa
Mukavemet
שטַארקייַט פון מַאטעריַאלס
сопротивление материалов
O kursu Mehanika Materijala I .....
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 8
Istorijat otpornosti materijala*
Leonardo da Vinci
XVII vijek: Galileo, Robert Hooke, Marriote
Elastične linije: (Jacob) Bernoulli, Euler, Lagrange,
XVIII vijek: Parent, Coulomb - mehaničke osobine materijala
1800-1830: Navier, Poncelet, Young,
Teorija elastičnosti: Cauchy, Poisson, Lamé, Clapeyron, Teorija
ploča: (Jaques) Bernoulli, Germain
* SP Timoshenko, History of Strength of Materials, McGraw-Hill,
1953.
O kursu Mehanika Materijala I .....
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 9
Istorijat mehanike materijala
1830-1870: Fairbairn, Hodgkinson, Weisbach, Redtenbacher,
Grashof, Saint-Venant, Jourawski, Bresse, Winkler, Culmann,
Rankine, Maxwell, Stokes, Duhamel, Phillips, Neumann, Clebsch,
Kelvin,
kontinuirane grede – neodređeni nosači (Navier)
jednačina tri momenta (Bertot, Clapeyron)
razvoj željeznica, zamor materijala (Wöhler), udarna
opterećenja, rešetkasti nosači (Ritter)
Teorija elastičnosti: Green, Wertheim, Kupffer
1870-1900 Baushinger, Mohr, Castigliano, Jasinsky, Föppl,
Joukowski, Boussinesq, Reyleigh, Lamb, Love, Pearson, Voigt,
Hertz,
laboratorije za mehanička ispitivanja
energija deformacije
statiči određeni i neodređeni rešetkasti nosači, ugibi
O kursu Mehanika Materijala I .....
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 10
Istorijat mehanike materijala
XX(I) vijek: Griffith, Klein, Prandtl,
lom krtih materijala, testiranja duktilnih materijala
teorije čvrstoće
puzanje, zamor metala
eksperimentalna naponska analiza, približne metode
rješavanja
trodimezionalni problemi
savijanje ploča i ljuski, vibracije
brodske konstrukcije (Krylov)
computer-aided design (CAD),
computer-aided engineering (CAE)
O kursu Mehanika Materijala I .....
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 11
Napon, deformacija, osobine materijala *Ravnoteža u
deformabilnom tijelu
• Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile
• Reakcije oslonaca
• Jednačine ravnoteže
Koncentrisana sila(idealizacija)
Zapreminska sila
Površinskasila
Linearna raspodjelaopterećenja • unutrašnja opterećenja
*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning,
Seventh Edition, 2009.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 12
Vrste opterećenja:
• Aksijalno oterećenje
• Smicanje
• Uvijanje
• Savijanje
• Izvijanje*
Napon, deformacija, osobine materijala Ravnoteža u deformabilnom
tijelu
• unutrašnja opterećenja
Moment uvijanja
Moment savijanja
Smicajnasila
Normalnasila
Čvrstoća konstrukcije – sposobnost prenošenja određenog
opterećenja bez loma, oštećenja ili plastičnih deformacija.
Krutost konstrukcija – otpornost konstrukcije prema
deformisanju.
*Elastična stabilnost konstrukcije – sposobnost konstrukcije da
izdrži početni ravnotežni oblik pod određenim opterećenjem.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 13
Napon, deformacija, osobine materijalaPojam napona
20
Nlim =PamA
FA
Pretpostavke:
• Materijal je kontinuum
• Materijal je kohezivan
Normalni napon – djeluje normalno na površinu
0lim zz A
FA
Smičući (tangencijalni) napon – djeluje po površini
0
0
lim
lim
xzx A
yzy A
FAFA
(1.1)
(1.2)
(1.3)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 14
Napon, deformacija, osobine materijalaSrednji normalni napon
sr 2
N =Pam
FA
Istezanje – pozitivan napon
Pritisak – negativan napon
Ograničenja jednačine (1.4):
• vrijedi samo ako je napon jednoliko raspoređen po poprečnom
presjeku (ukoliko sila P prolazi kroz težište!)
• bilo koji poprečni presjek udaljen od koncentracije napona za
veličinu najveće dimenzije
(1.4)
Normalni naponi teže da promijene dužinu/volumen elementa na
koji djeluju, ne mijenjajući pri tome njegov oblik!!!
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 15
Napon, deformacija, osobine materijalaSrednji tangencijalni i
noseći napon
Sila P se prenosi s ‘viljuške’ na ploču preko vijka kontaktom
(tzv. noseći naponi) između vijka i viljuške (1 i 3, sl. (c)), te
vijka i ploče (2, sl. (c)) .
• noseći napon
Pabbb
FA
(1.5)
Površina Ab je projektovana površina na kojoj djeluje sila (za
zakrivljenu površinu vijka predstavlja pravougaonik stranica d
(prečnik vijka) i l (dužina dodirne površine))
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 16
sr PaVA
Tangencijalni naponi teže da promijene oblik elementa na koji
djeluju!
(1.6)
Napon, deformacija, osobine materijalaSrednji tangencijalni i
noseći napon
• srednji smičući (tangencijalni) napon
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 17
Napon, deformacija, osobine materijalaDozvoljeni napon i
opterećenje
Čvrstoća konstrukcije – sposobnost konstrukcije da izdrži ili
prenese opterećenje
Stepeni sigurnosti
Obično odnos dvije kvantitativne veličine sa istom jedinicom
(čvrstoća/napon, kritični napon/primijenjen napon, maksimalna
brzina/brzina rada, ...)
Izbor zavisi od mnogo faktora i predstavlja mjeru nesigurnosti
dizajnera u analitički model, teoriju razaranja, podataka o
osobinama materijala, vrste materijala (krt, duktilan)
Za krte materijale važi da se dizajniraju prema najvećoj
čvrstoći, tj. lomu, dok se duktilni materijali pod statičkim
naponom dizajniraju prema granici tečenja. Zato je faktor
sigurnosti krtih materijala dva puta veći od onih za duktilne pod
istim uslovima.
stvarna čvrstoćazahtjevana čvrstoća
S (1.7)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 18
Napon, deformacija, osobine materijalaDozvoljeni napon i
opterećenje
Podaci o osobinama materijala iz testiranja
Uslovi okoline u kojima se proizvod koristi
Analitički modeli opterećenja i napona
Stvarni materijal koji se koristi je testiran 1.3Osobine
materijala (iz tablica) su na raspolaganju 2Približne osobine
materijala (iz tablica) su na raspolaganju 3Loše osobine materijala
(iz tablica) su na raspolaganju 5+
Identični sa uslovima testa 1.3U osnovi okolina na sobnoj
temperaturi 2Srednje teški uslovi okoline 3Veoma zahtijevne osobine
okoline 5+
Modeli poređeni sa eksperimentima 1.3Modeli tačno predstavljaju
sistem 2Modeli približno predstavljaju sistem 3Modeli su gruba
aproksimacija sistema 5+
S1
S2
S3
S=MAX(S1,S2,S3)Za duktilne materijale
S=2MAX(S1,S2,S3)Za krte materijale
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 19
Napon, deformacija, osobine materijalaDozvoljeni napon i
opterećenje
napon pri otkazudozvoljeni naponstepen sigurnosti
( )eH ydoz
RS
( )eH y
doz
RS
Duktilni materijali
( )mdoz
RS
( )mdoz
RS Krti materijali
dozvoljeno opterećenje dozvoljeni napon površina
doz dozP A doz dozP A
(1.8)
(1.9)
(1.10)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 20
Napon, deformacija, osobine materijala
Primjer 1.1: Čelična šipka (vješalo) konstrukcije na slici,
prikačena je na oslonac pomoću vijčane veze. Glavni dio šipke ima
pravougaoni oblik širine b1=38mm i debljine t=12mm. U području
veze, šipka je proširena na b2=75 mm. Vijak, koji prenosi
opterećenje sa vješala na dva držača, ima prečnik d= 25mm. Odrediti
vrijednosti dozvoljenog opterećenja P za sljedeće slučajeve:
a) Dozvoljeni zatezni napon u glavnom dijelu je 110 MPa
b) Dozvoljeni zatezni napon u vješalu u poprečnompresjeku kroz
rupu vijeka je 75 MPa (dozvoljeninapon u ovom dijelu je manji zbog
koncentracijenapona oko rupe)
c) Dozvoljeni noseći napon između vješala i vijkaje 180 MPa
d) Dozvoljeni smicajni napon je 45 MPa
vijakpodloška
držač
vješalo
b1=38mmt=12mm
d=25mmb2=75mm
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 21
Primjer 1.2: Na slici je dat probijač za pravljenje rupa u
čeličnoj ploči. Pod pretpostavkom da je prečnik probijača d=20 mm,
ploča debljine 8 mm (kao na slici), a sila probijanja P=110 kN
izračunati prosječni tangencijalni (smicajni) napon u ploči, te
prosječni pritisni napon.
Napon, deformacija, osobine materijala
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 22
Napon, deformacija, osobine materijalaPojam deformacije
Deformacija – promjena veličine i oblika tijela usljed
djelovanja vanjskih sila.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 23
Napon, deformacija, osobine materijala
-L
(1.11)
Normalne deformacije
Prije deformacije Poslije deformacije
sr duž 'lim -
B A n
s ss
(1.12)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 24
Napon, deformacija, osobine materijalaTangencijalne
deformacije
Prije deformacije Poslije deformacije
(1.13) duž duž
lim ' -2nt B A n
C A t
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 25
Primjer 1.3: Dio od gume početnog pravougaonog oblika ABCD
deformiše se u oblik prikazan isprekidanim linijama na slici dole.
Odrediti srednju tangencijalnu deformaciju u tačkama A, B i C, te
srednje normalne deformacije dužina AB , AC i AD.
Napon, deformacija, osobine materijala
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 26
Mehaničke osobine materijala
Uređaji za određivanje mehaničkih osobina
Kidalicazatezanje pritisak
Epruvete za ispitivanje na zatezanje/pritisak
Napon, deformacija, osobine materijala
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021.
Mehaničke osobine materijala
Dijagram napon-deformacija (zatezanje)
Granicačvrstoće
Granica tečenja
Granica proporcionalnosti
Linearnopodručje
Idealna plastičnost ilitečenje
Očvršćavanje Pojava vrata
Lommaterijala
Područjeloma
Pojavavrata
Napon, deformacija, osobine materijala
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 28
Mehaničke osobine materijala
Dijagram napon-deformacija (zatezanje)
Konstrukcioni čelik Legura aluminija
Guma Krti materijal
Napon, deformacija, osobine materijala
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 29
Mehaničke osobine materijalaNapon, deformacija, osobine
materijala
Beton Drvo (crveni hrast)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 30
Mehaničke osobine materijala
Dijagram napon-deformacija (zatezanje)
Napon, deformacija, osobine materijala
Jabuka i krompir Čokolada
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 31
Mehaničke osobine materijala
Dijagram napon-deformacija (pritisak)
Napon, deformacija, osobine materijala
Bakar Sivi Liv
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 32
Mehaničke osobine materijala
Dijagram napon-deformacija
Elastično ponašanje Plastično ponašanje
Napon, deformacija, osobine materijala
Elastično plastično Zaostala deformacija
Elastičnarelaksacija
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 33
Mehaničke osobine materijala
Hooke-ov (Hukov) zakon
Linearna zavisnost između napona i deformacije za šipku
opterećenu na zatezanje:
Pa E
– napon – deformacija E – konstanta proporcionalnosti, (Young
(Jang)-ov) modul elastičnosti
čelik: 210 GPaliveno gvožđe: 83-170 GPalegure aluminijuma: 70-79
GPabeton (pritisak): 17-31 GPadrvo: 11-13 GPaplastični materijali:
0.7-14 GPa
E)( tg:
Napon, deformacija, osobine materijala
(1.14)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 34
Mehaničke osobine materijala
Poisson-ov (Poasonov) koeficijent
Prije opterećenja
Poslije opterećenja
Za linearno elastične materijale vrijedi da je poprečna
deformacija proporcionalna uzdužnoj i predstavlja osobinu
materijala poznatu kao Poisson-ov koeficijent
'
adeformacij uzdužnaadeformacij poprecna
Poprečna deformacija
'
čelik: 0.3 beton (pritisak): 0.1-0.2guma: 0.5pluto: 0auksetični
‘materijali’ < 0!!!
Napon, deformacija, osobine materijala
(1.15)
(1.16)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 35
Primjer 1.4: Čelična cijev dužine L=1 m, vanjskog prečnika d2=15
mm i unutrašnjeg prečnika d1= 10 mm, opterećena je na pritisak
aksijalnom silom P=60 kN.Treba odrediti: a) napon,
b) uzužnu deformaciju, c) skraćenje , d) poprečnu deformaciju,e)
promjenu unutrašnjeg i vanjskog prečnikaf) promjenu debljine
cijevi
Osobine materijala: E=210 Gpa, =0.3
Napon, deformacija, osobine materijala
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 36
Napon, deformacija, osobine materijala
Hooke-ov (Hukov) zakon u smicanju
Pa G
– tangencijalni napon – tangencijalna (ugaona) deformacija G –
konstanta proporcionalnosti, modul klizanja
)1(2
EG
(1.17)
(1.18)
Mehaničke osobine materijala
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 37
Napon, deformacija, osobine materijala
Primjer 1.5: Na slici je dat noseći pometač, koji se koristi za
oslanjanje mašina i mosnih nosača. Sastoji se od linearnog
elastičnog materijala (elastomer kao guma) poklopljenog čeličnom
pločom. Ako pretpostavimo da je visina elastomera h, a dimenzije
ploče a×b, te da je čelična ploča izložena tangencijalnoj sili V,
odrediti prosječni tangencijalni napon u elastomeru i horizontalno
pomjeranje ploče, d.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 38
Mehaničke osobine materijala
U toku kursa, ukoliko se to ne naglasi, materijal će se
smatrati:
- linearno elastičan- homogen – jednak sastav- izotropan – sve
osobine su jednake u svim pravcima.
Napon, deformacija, osobine materijala
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 39
Aksijalno naprezanje*
Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na
zatezanje ili pritisak.
*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight
Edition, 2011.JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage
Learning, Seventh Edition, 2009.
IV
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 40
Aksijalno naprezanjeSaint-Venant-ov (Sen-Venan) princip
Opterećenje iskrivljuje linije u blizininjegove primjene
a-a
Opterećenje iskrivljuje linije u blizini oslonaca
Linije koje su daleko od primjene opterećenjai oslonaca su
prave
b-b c-c
Napon i deformacija koji se javljaju u tačkama tijela koje su
dovoljno daleko od područja primjene tog opterećenja biće isti kao
napon i deformacija bilo kojeg opterećenja koje ima istu,statički
ekvivalentnu, rezultantu i koji su primijenjeni u istoj
oblasti.
⇔
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 4141
Aksijalno naprezanje*
I) konstantan poprečni presjek i opterećenje
FA
E L
*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight
Edition, 2011.
L LE (2.1)
Izduženje aksijalno opterećenog elementa
FLEA
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 4242
Aksijalno naprezanje
II) promjena parametara po segmentima
i i
i i i
F LA E
Ukoliko je šipka podijeljena na nekoliko aksijalnih sila
uzdužno, ili se mijenja poprečni presjek ili modul elastičnosti,
ukupno izduženje je jednako zbiru izduženja pojedinačnih segmenata
u kojima su ove veličine konstantne.
(2.2)
Čelična cijev
Al – cijev
Izduženje aksijalno opterećenog elementa
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 43
Aksijalno naprezanje
III) proizvoljan poprečni presjek i/ili opterećenje
( )( )
F xA x
E
ddx
( )( )
F x dxdA x E
0
( )( )
L F x dxA x E
(2.3)
F(x)F(x)
Izduženje aksijalno opterećenog elementa
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 44
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.1: Stub za jednu zgradu je napravljen od čelične
cijevi (E=200 GPa, =12×10-6 1/°C) kvadratnog poprečnog presjeka
dimenzija na slici (b). Na stub djeluju sile PA i PB kao što je
prikazano na slici (a). Treba odrediti:a) napon, izduženje i
deformaciju u pojedinim segmentima stuba,b) vertikalno pomjeranje
kraja A i B,c) maksimalnu silu PA, ako je dozvoljeni napon
materijala 300 Mpa,d) promjenu temperature dijela AB tako da ukupno
izduženje usljed djelovanja temperature i opterećenja bude jednako
nuli.
Ostali podaci: LAB=LBC=0.8 m.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 45
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.2: Element ABC na slici, dužine L, sastavljen je od
dva dijela iste dužine (0.6 m), ali različitih prečnika, i izložen
sili od P=110 kN. Dio AB ima prečnik d1=100 mm, a segment BC d2=60
mm. Segment AB je uzužno izbušen do polovine dužine (0.3 m). Dio je
napravljen od plastike modula elastičnosti E=4 MPa.
a) Ukoliko je dozvoljeno sabijanje dijela 8mm, koliko je
maksimalno dozvoljeni prečnik rupe?b) Ako je maksimalni prečnik
rupe jednak d2/2, na kojoj udaljenosti od tačke C treba primijeniti
silu P da se šipka ne skrati 8 mm.c) Ako je maksimalni prečnik rupe
jednak d2/2, a sila primijenjena na krajevima, koja je dozvoljena
dubina rupe ako je skraćenje ograničeno na 8 mm.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 46
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.3: Stub koji se koristi kao oslonac za opremu u
laboratoriji je obrađen uniformno kao na slici čitavom dužinom H.
Svaki poprečni presjek stuba je kvadrat, pri čemu je vrh dimenzija
bb, a baza 1.5b1.5b.
Izvesti formulu za deformaciju d usljed sile P koja djeluje na
vrh. Pri tome pretpostaviti da je ugao zakošenja mali i da težina
stuba nema uticaj na deformaciju.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021.
Aksijalno naprezanjeStatički neodređeni aksijalno opterećeni
elementi
Dodatni uslov za određivanje sile reakcije su:
uslovi kompatibilnosti ili kinematski uslovi
specificiraju ograničenja u pomjeranju koja se javljaju u
osloncima ili bilo kojoj drugoj tački u elementu.
Problem je statički naodređen ako jednačine ravnoteže nisu
dovoljne da bi se odredile sile reakcije.
0 0B AF F F P
47
Nedovoljno da bi se odredile reakcije!!!
0A B
Zadatak možemo riješiti koristeći dijagram sila u štapu, ili
pomoću metode superpozicije.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 48
Aksijalno naprezanjeStatički neodređeni aksijalno opterećeni
elementi
⇔ ⇔
0 0B AF F F P
0A B
0A AC B CBF L F LAE AE
CB ACA BL LF P F PL L
Dijagram aksijalnih sila
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 49
Aksijalno naprezanje
Princip superpozicije
Princip superpozicije: rezultujući naponi ili pomjeranja u nekoj
tački mogu se odrediti algebarskim sabiranjem napona ili pomjeranja
koja su uzrokovana svakom komponentom pojedinačno.
Uslovi za primjenu uslova superpozicije:
1. Opterećenje mora biti linearno u odnosu na napon ili
pomjeranje koje treba odrediti
2. Opterećenje ne smije značajno promijeniti početnu geometriju
ili konfiguraciju elementa na koji djeluje
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 50
Aksijalno naprezanje
Metod fleksibilnosti ili metod sila (jednačina kopatibilnosti
predstavljena principom superpozicije)
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi
⇔ +
ACP
PLEA
B CBBF L
EA
0 0 ACP B AC B BLPL F L F PL
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 51
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.4: Dio ABCD s fiksiranim krajevima sastoji se od tri
prizmatična segmenta, kao na slici. Krajnji segmenti imaju površinu
poprečnog presjeka od A1=840 mm2 i dužinu L1=200 mm. Srednji
segment ima površinu poprečnog presjeka od A2=1260 mm2 i dužinu
L2=250 mm. Opterećenja su: PB=25.5 kN i PC=17.0 kN.
a) Odrediti reakcije RA i RD u fiksiranim osloncima. b) Odrediti
pritisnu aksijalnu silu FBC u srednjem segmentu.
V
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 52
Aksijalno naprezanje
(Villot-ov) Plan pomjeranja (rešetkasti nosači)
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi
Za male uglove rotacije dužina luka može se zamijeniti tangentom
dijela kružnice
• pomjeranje se nanosi pod uglom 90º.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 53
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.5: Kruta šipka AB dužine L oslonjena je u tački A i
ovješana pomoću dvije vertikalne žice u tačkama C i D. Obe žice
imaju isti poprečni presjek A, i izrađene su od istog materijala
modula elastičnosti E. a) Odrediti napone C i D u žicama usljed
opterećenja P koje djeluje u tački B.b) Naći pomjeranje tačke B,c)
temperaturu u užetu C tako da kruta poluga ostane u horizontalnom
položaju.d) uraditi a-c, ako nema štapa D.
Podaci: L=1700 mm, A=18 mm2, E=210GPa, h=450 mm, c=500 mm,
d=1250 mm, P=750 N.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 54
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.6: Kruta poluga ABC, okačena o uže CD i oslonjena na
elastični štap BE, nosi kontinuiranoopterećenje, kao što je
prikazano na slici desno. Odrediti:
a) sile i napone u štapu BE i užetu CD,b) deformaciju užeta CD i
štapa BE,c) vertikalno pomjeranje tačke C.d) temperaturu u užetu
tako da kruta poluga ostane u horizontalnom položaju.e) uraditi
a-c, ako nema štapa BE.
Podaci: poluga ABC – LAB = 1.5 m, LAC = 2 m; uže CD – ECD = 200
GPa, ACD = 3 cm2, LCD = 2.5 m, = 30º; štap BE – EBE = 20 GPa, ABE =
20 cm2, LBE = 200 mm; q = 20 kN/m.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 55
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.7: Za sistem štapova na slici odrediti sile u
štapovima, te pomjeranje tačke C pod djelovanjem sile F.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 56
Aksijalno naprezanjeIzduženje aksijalno opterećenog elementa:
utjecaj temperature
Promjene temperature u elementu proizvode širenje ili skupljanje
elementa, stvarajući tako tzv. termičke deformacije i napone.
T T
– koeficijent termalnog širenja materijala, [1/K]
(2.4)
( )T T E T E (2.5)
Deformacija:
Napon:
( )T T L T L (2.6)Izduženje:
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021.
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.8: Plastična šipka ACB sačinjena od dva različita puna
dijela cilindričnog poprečnog presjeka nalazi se između dva kruta
oslonca kao na slici. Šipka je izložena povećanju temperature od
30C.
a) Odrediti silu koja vlada u šipki,b) maksimalni napon u tački
C,c) pomjeranje u tački C.
Podaci: E=6 GPa, =100·10-6 1/C.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 58
Aksijalno naprezanjeStatički neodređeni aksijalno opterećeni
elementi – problemi
Opšti princip rješavanja statički neodređenih aksijalno
opterećenih elemenata
1. Postaviti jednačine ravnoteže (statičke, kinetičke
jednačine)
2. Postaviti jednačine kompatibilnosti (geometrijske,
kinematičke jednačine, jednačine konzistentne deformacije)
3. Postaviti relacije sila-deformacija (konstitutivne
relacije)
4. Riješiti sistem jednačine dobiven kroz korake 1-3
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 59
Aksijalno naprezanjeStatički neodređeni aksijalno opterećeni
elementi – problemi
M1 M2
M3
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 60
Aksijalno naprezanjeNapon u kosom presjeku
Pojam elementa napona – izolovani segment nekog elementa s
ucrtanim naponima koji djeluju na njegove površine/stranice.
Element napona
VI
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 61
Aksijalno naprezanjeNapon u kosom presjeku
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 62
Aksijalno naprezanjeNapon u kosom presjeku
cos sinN P V P
2
1
P= cosA
NA
1
P= sin cosA
VA
Istezanje – pozitivan znakPritisak – negativan znak
Pozitivan znak ako tangencijalni napon teži rotirati materijal
suprotno kretanju kazaljke na satu.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 63
Aksijalno naprezanjeNapon u kosom presjeku
2 2
1
P= cos cosA x
NA
1
P= sin cos sin cosA x
VA
2 1cos (1 cos 2 )2
1sin cos sin 22
(1 cos 2 )2
x
sin 22
x
(2.7)
(2.8)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 64
Aksijalno naprezanjeNapon u kosom presjeku
Maksimalni normalni i tangencijalni napon
max
min
za 0 ( 0)0 za 90 ( 0)
x
max
min
za 45 ( )2 2
za 45 ( )2 2
x x
x x
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 65
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.9: Plastična šipka, pravougaonog poprečnog presjeka,
je ugrađena između krutih oslonaca, ali bez početnog napona. Kada
se temperatura u šipki poveća 40 C, u ravni pq se javi pritisni
napon od 12 MPa.
a) izračunati tangencijalni napon u ravni pq.b) nacrtaj element
napona orijentisan prema ravni pq i pokaži napone koji djeluju na
sve površi elementa.
Podaci: =108·10-6 1/K, E=3 GPa, b=37.5 mm, h=75mm
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 66
Aksijalno naprezanje
Primjer 2.10: Dvije ploče su spojene ljepljenjem, kao što je
prikazano na slici. Radi lakšeg rezanja i ljepljenja, ugao između
ljepljene površine i površine ploča mora biti između 10 i 40.
Normalni napon u ploči pod djejstvom sile P je 4.9 MPa. Treba
uraditi sljedeće:
a) izračunati normalne i tangencijalne napone u ljepljenom spoju
ako je =20,
b) Ako je dozvoljeni tangencijalni napon u spoju 2.25 MPa, koji
je najveći dopušteni ugao ,
c) Koji ugao bi se trebao koristiti da bi tangencijalni napon u
ljepljenom spoju bio dvostruko veći od normalnog.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 67
Aksijalno naprezanjeDeformacioni rad
1 10W Pd
Izduženje šipke proizvodi deformaciju, čime se povećava energija
šipke, tzv. energiju deformacije ili deformacioni rad.
1 10U W Pd
(2.9)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 68
Aksijalno naprezanje
1 10
12
U W Pd P
Linearno elastično ponašanje materijala
Deformacioni rad
(2.10)
2
2P LUEA
(2.11)
2
2EAU
L
(2.12)
Nejednake šipke
2
2i i
ii i i
P LU UA E
2
0
( )2 ( )
L P x dxU
A x E (2.13)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 69
Uvijanje
*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning,
Seventh Edition, 2009.*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički
fakultet, Bihać, 2003
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 70
UvijanjeOsnovni pojmovi
Moment sprega sila, [Nm]
1 1 1 2 2 2 T Pd T P d
Moment sprega sila – vektorska reprezenacija
(pravilo desne ruke)
Moment sprega sila – reprezentacija uvijenom strelicom
Momenti koji uvijaju neki element nazivaju se uvojni ili
torzioni momenti.
(3.1)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 71
Uvijanje
Čisto uvijanje – svi jednaki poprečni presjeci opterećeni istim
momentom uvijanja– ugao uvijanja (rotacije)
Element abcd postaje ab’c’d, kojem se ne mijenjaju stranice, ali
se mijenja ugao između njih – čisto smicanje (element izložen samo
tangencijalnim deformacijama)!
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 72
Uvijanje
max'bb rd
ab dx
ddx
maxrrL
maxr
Maksimalan ugao uvijanja
Odnos tangencijalne deformacije i ugla uvijanja na površini
šipke
Promjena ugla uvijanja
Za čisto uvijanje
Tangencijalna deformacija
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 73
UvijanjeDeformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
2max
rL
1 1min max
2
r rr L
(3.5)
Sve prethodne relacije važe za sve materijale, bez obzira da li
su linearni ili nelinearni, elastični ili neelastični, ali za male
uglove uvijanja i male deformacije!
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 74
Uvijanje
Veza deformacija i napona
max Gr
maxr
G
Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!!
Uzdužni i transferzalni naponiUvijanje = čisto smicanje =
dvoosno naponsko stanje bez tangencijalnih napona
(3.6)
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
VII
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 75
Uvijanje
Formula uvijanja2maxdM dA dA
r
maxr
(3.6)2 2max maxA A A A
T dM dA dA dAr r
2 4 mo
A
I dA – polarni moment inercije poprečnog presjeka4
32odI – za kružni poprečni presjek
maxo o
Tr TI W
(3.7)
oW – polarni moment otpora presjeka
3
16odW – za kružni poprečni presjek
Formula uvijanja
maxo
Tr I (3.8)Opšta formula uvijanja
Veza deformacija i napona
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 76
Uvijanje
Veza deformacija i napona
Ugao uvijanja – konstantni parametri
o
TGI
o
TLLGI
(3.8)
i
i ii
i i i o
T LG I
(3.9)
Promjena parametera po segmentima
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjekamax Gr max
o o
Tr TI W
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 77
Uvijanje
( )( ) ( )oL
T x dxG x I x
(3.10)
Proizvoljan uzdužni (kružni) poprečni presjek i/ili
opterećenje
max Gr maxo o
Tr TI W
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
Veza deformacija i napona
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 78
Uvijanje
Primjer 3.1: Puni štap kružnog poprečnog presjeka, prečnika 40
mm, dužine 1350 mm i modula klizanja 80 GPa, opterećen je momentom
uvijanja na svojim krajevima, kao što je dato na slici.
Odrediti:
a) Maksimalan tangencijalni napon u šipki, te ugao uvijanja ako
je moment uvijanja 340 Nm
b) Maksimalan mogući moment uvijanja, ako je dozvoljeni
tangencijalni napon 40 MPa, a maksimalni dozvoljeni ugao uvijanja
2.5
40 mm
1350 mm
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight
Edition, 2011.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 79
Uvijanje
Primjer 3.2: Vratilo cilindričnog poprečnog presjeka od čelika,
izrađeno u dvije varijante, kao puno i šuplje (slika), treba
prenese moment uvijanja od 1200 Nm bez prekoračenja dozvoljenog
tangencijalnog napona od 40MPa i dozvoljenog uzdužnog uvijanja od
0.75/m. Treba odraditi:
a) Prečnik punog vratila
b) Potrebni vanjski prečnik šupljeg vratila ako je debljina
stjenke vratila jedna desetina vanjskog prečnika
c) Odnos prečnika (d2/d1) i težina oba vratila
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight
Edition, 2011.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 80
Uvijanje
Primjer 3.3: Momenti uvijanja djeluju na puno čelično vratilo
kao što je prikazano na slici desno. Odrediti:a) Ugao uvijanja
diskova A i B u odnosu na disk C,b) Maksimalni napon u vratilu
BC,c) Dimenzije šupljeg vratila od aluminijuma koje bi trebalo
zamijeniti dio CD, ako se zna da je odnos vanjskog i unutrašnjeg
prečnika 1.2. Proračun uraditi prema kriterijumu čvrstoće.
Podaci: TA = 200 Nm, TB = 400 Nm, TC = 100 Nm, dAB = 20 mm, dBC
= 30 mm, dCD = 25 mm, LAB = 200 mm, LBC = 300 mm, LCD = 250 mm.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 81
Uvijanje
Ograničenja u korištenju prethodnih jednačina
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
• Samo za kružne poprečne presjeke (pune ili šuplje)
• Linearno elastični materijali
• Za dijelove vratila udaljene od koncentracija napona
• Ne mogu se koristiti za druge poprečne presjeke jer:
Poprečni presjek ne ostaje u ravni
Maksimalni naponi nisu uvijek u najudaljenijim tačkama
presjeka
Naprednije metode analize napona neophodne za rješavanje
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 82
UvijanjeStatički neodređeni problemi
Šipka (1)
Cijev (2)
Cijev (2)
Cijev (2)
Šipka (1)
Šipka (1)
Fiksna
ploča
1 2T T T
1 2
Jednačine ravnoteže
Jednačine kompatibilnosti
Konstitutivne relacije
1
11
1 0
T LG I
2
22
2 0
T LG I
1
1 2
1 01
1 0 2 0
G IT T
G I G I
2
1 2
2 02
1 0 2 0
G IT T
G I G I
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 83
UvijanjeStatički neodređeni problemi
1. Postaviti jednačine ravnoteže (statičke, kinetičke jednačine)
– moment uvijanja
2. Postaviti jednačine kompatibilnosti (geometrijske,
kinematičke jednačine, jednačine konzistentne deformacije) – ugao
uvijanja
3. Postaviti relacije moment uvijanja-ugao uvijanja
(konstitutivne relacije)
4. Riješiti sistem jednačine dobiven kroz korake 1-3
Opšti princip rješavanja statički neodređenih elemenata
opterećenih na uvijanje
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 84
Uvijanje
Primjer 3.5: Vratilo ABC je uklješteno na oba kraja i opterećeno
momentom uvijanja T0 u tački C. Segmenti AC i CB vratila imaju
prečnike dA i dB dužina LA i LB i polarnih momenata inercije I0A i
I0B, respektivno. Potrebno je izvesti formule:a) za momente u
uklještenjima A i Bb) za maksimalan tangencijalni napon AC i CB u
svakom segmentu vratilac) ugao rotacije C u poprečnom presjeku gdje
je primijenjen moment uvijanja T0
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 85
UvijanjeDeformacioni rad
2TU W
220
02 2GIT LU
GI L
V ht
h
2VU W
2
2h tU
2 2
2 2 2Gu
G
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 86
Savijanje*
*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning,
Seventh Edition, 2009.*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički
fakultet, Bihać, 2003
VIII
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 87
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka*Savijanje
*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać,
2003
Karakteristike poprečnih presjeka neophodnih za proračun
napona:
1. Površina poprečnog presjeka – aksijalno neprezanje
2. Moment površine prvog reda – statički moment površine –
raspodjela tangencijalnih napona u poprečnim presjecima grede
izložene savijanju silama
3. Momenti površine drugog reda (momenti inercije):
a. Aksijalni moment inercije – računanje normalnih napona i
deformacija greda izloženih savijanju
b. Polarni moment inercije – računanje napona pri uvijanju
c. Centrifugalni momenti inercije – određivanje ekstremnih
vrijednosti aksijalnih momenata inercije ravne površine
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 88
Savijanje
Težište – geometrijski centar površine
yA
A
xdAS
xAdA
xA
A
ydASyAdA
Konačan broj jednostavnih oblika
i ii
ii
x Ax
A
i ii
ii
y Ay
A
Sx – statički moment inercije s obzirom na x osu
Sy – statički moment inercije s obzirom na y osu
xA
S ydA
yA
S xdA
Centralne (težišne) ose – prolaze kroz težište -centralni
momenti jednaki nuli!!!
(4.1)
(4.2)
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 89
Savijanje
Momenti inercije – momenti inercije drugog reda
2x
A
I y dA
2y
A
I x dA
xyA
I xydA
– aksijalni moment inercije s obzirom na x osu
– aksijalni moment inercije s obzirom na y osu
– centrifugalni moment inercije s obzirom na x i y osu
20
A
I r dA – polarni moment inercije s obzirom na tačku 0
2 2 20 ( ) x y
A A
I r dA x y dA I I
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 90
Savijanje
Momenti inercije – momenti inercije drugog reda
• Polarni moment inercije za tačku se ne mijenja s rotacijom
koordinatnog sistema – zbir centralnih momenata inercije je
konstantan
• Centralni momenti inercije su pozitivne veličine
• Centrifuglani moment inercije može biti pozitivan, negativan
ili nula; jednak je nuli u odnosu na ravan simetrije, ako se jedna
od težišnih osa podudara s ravni simetrije
• Momenti inercije u odnosu na težišne ose su centralni ili
sopstveni momenti inercije
Poluprečnici inercije
xx
IiA
yyI
iA
(4.8)
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 91
SavijanjeGeometrijske karakteristike poprečnih presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 92
SavijanjeGeometrijske karakteristike poprečnih presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 93
Savijanje
Steiner-ova (Štajner) teorema – teorema paralelnih osa –
promjena momenata inercije s translacijom koordinatnog sistema
2 2 2 21 1 1 1( ) 2 Cx C C C x
A A A A
I y d dA y dA d y dA d dA I Ad 2
1Cx xI I Ad
22Cy y
I I Ad
Moment inercije površine u odnosu na bilo koju osu u ravni
jednak je momentu inercije u odnosu na paralelnu težišnu osu i
proizvoda površine i kvadrata udaljenosti između dvije ose
1 2
1 2 1 2
( )( )
xy C CA
C C C CA A A A
I x d y d dA
x y dA d y dA d x dA d d dA
1 2Cxy xyI I Ad d
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 94
Savijanje
Promjena momenata inercije s rotacijom koordinatnog sistema
2x
A
I y dA 2yA
I x dA xyA
I xydA
1 cos sinx x y
1 sin cosy x y
1
1
1
2 21
2 2 2 2
2 2
( sin cos )
sin cos 2sin cos
cos sin sin 2
xA A
xA A A
x x y xy
I y dA x y dA
I x dA y dA xydA
I I I I
2 1cos ( ) (1 cos(2 ))2
21sin ( ) (1 cos(2 ))2
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
I I I II I
(4.12)
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 95
Savijanje
Promjena momenata inercije s rotacijom koordinatnog sistema
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
I I I II I
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
y xy
I I I II I
1 1
1 1
1 1
2 2 2 2
( cos sin )( sin cos )
cos sin sin cos sin cos
x yA A
x yA A A A
I x y dA x y x y dA
I xydA xydA x dA y dA
1 1
1 ( )sin 2 cos 22x y x y xy
I I I I
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 96
Savijanje
Invarijante momenata inercije
(4.12) + (4.13) + (4.14) 1 1I o x y x y
I I I I I I - prva invarijanta momenta inercije
- druga invarijanta momenta inercije2II x y xyI I I I
Glavni momenti inercije
1 ( )sin(2 ) 2 cos(2 ) 0x x y xydI
I I Id
2tg xy
x y
II I
(4.15)
• Ugao određuje ravan maksimalnog/minimalnog momenta inercije•
Jednačina (4.15) ima dva korijena u domenu (0,2), a oni ovise od
predznaka xy i (x-y) – ovi korijeni se nazivaju i uglovi glavnih
momenata inercije
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 97
Savijanje
22
1 2 2x y x y
xy
I I I II I
22
2 2 2x y x y
xy
I I I II I
12 0I
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka
Glavni momenti inercije
(4.16)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 98
Savijanje
Primjer 4.1: Za ravni presjek dat na slici odrediti glavne
centralne momente inercije i položaj glavnih centralnih osa
inercije.
Primjeri D.1-D.5 (str. 307-310), Grupa autora, Elastostatika I,
Tehnički fakultet, Bihać, 2003.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 99
Savijanje
Jednostavno oslonjena greda
Konzolna greda
Greda s prepostom
Usljed primijenjenog opterećenja u gredi se razvijaju
tangencijalne (transferzalne) sile i momenti savijanja. U svrhu
dimenzionisanja neophodno je odrediti maksimalne tangencijalne
napone i momente!
Vrste greda Konvencija o predznaku opterećenja
Pozitivno orijentisano kontinuirano opterećenje
Pozitivno unutrašnje tangencijalno opterećenje
Pozitivni unutrašnji moment savijanja
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight
Edition, 2011.
Dijagrami transferzalnih sila i momenta savijanja
IX
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 100
SavijanjeVeze opterećenja, transferzalnih sila i momenata
savijanja
Područje kontinuiranog opterećenja
02
0, ( ) ( ) 0
( )
0, ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
i
i
yi
i
F V w x x V V
V w x x
M V x M w x x k x M M
M V x w x k x
( ) dV w xdx
(4.17)
(4.18)
(4.17)
dM Vdx
(4.18)
Nagib dijagrama transferzalnih sila = intenzitetu kontinutiranog
opterećenja
Nagib dijagrama momenta savijanja = transferzalna sila
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 101
Savijanje
Područje koncentrisanih sila i momenata
0, ( ) 0
iyi
F V F V V
V F
(4.19)
(4.20)
Ukoliko sila F djeluje nadole, transferzalna sila na dijagramu
‘skače’ nadole!
0 0
0
0, 0
0,
ii
M M M M V x M
x M M
Ukoliko moment M djeluje u smjeru kazaljke na satu, moment na
dijagramu momenata ‘skače’ nagore!
Veze opterećenja, transferzalnih sila i momenata savijanja
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 102
SavijanjeČisto savijanje
Čisto savijanje se odnosi na savijanje grede pod konstantnim
momentom savijanja; dešava se samo tamo gdje su transferzalne sile
jednake nuli!!!
Centralni dio grede u čistom savijanju, a krajevi u nejednakom
savijanju!!!
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 103
SavijanjeČisto savijanje
Vertikalne linijeostaju ravne
Horizontalne linijesu zakrivljene
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 104
SavijanjeZakrivljenjost grede
1
– zakrivljenost grede
– radijus zakrivljenja grede
1 dd dsds
1za male deformacije(ugibe): ddx
(4.21)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 105
SavijanjeČisto savijanje – uzdužne deformacije u gredi
Neutralna površina – s profilom se siječe u neutralnoj osi
(d=dx)
' ( )efdx yL y d d dx dx
Uzdužna deformacija je sada:
' 'ef ef efx
ef
L L L dx y yL dx
Deformacije grede pri čistom savijanju mijenjaju se linearno s
udaljenošću od neutralne površine bez obzira na model materijala
(njegovu zavisnost napon-deformacija)
Uzdužni elementi grede pri čistom savijanju su izloženi
jednoosnom naponskom stanju.
(4.22)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 106
SavijanjeČisto savijanje – normalni naponi u gredi
x xEyE E y
Gdje se nalazi neutralna osa u odnosu na koju se računa y?!
Kod čistog savijanja aksijalna sila je nula rezultantna sila u
xpravcu je nula
Neutralna osa prolazi kroz težište poprečnog presjeka grede za
materijal koji se ponaša po Hooke-ovom zakonu i ukoliko na njega ne
djeluju aksijalne sile
0xA A
dA E ydA
0xA
ydA S z-osa mora proći kroz težište!!!
X
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 107
Savijanje
Rezultantni moment jednak je momentu M
Relacija moment savijanja – zakrivljenost grede
2
1
x
xA A A
zz
dM ydA
M ydA EyydA E y dA
MM EIEI
x E y
EI – savojna krutost!!!
xz
MyI
Formula savijanja!!!! (4.23)
Čisto savijanje – normalni naponi u gredi
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 108
SavijanjeČisto savijanje – normalni naponi u gredi
Maksimalni naponi u poprečnom presjeku
Zatezni naponiPritisni naponi
Pritisni naponiZatezni naponi
11
1x
Mc MI S
22
2x
Mc MI S
S1 i S2 – sekcijski moduli poprečnog presjeka
(4.24)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 109
Savijanje
Ograničenja u korištenju formule savijanja
• važi samo za homogene, linearno elastične materijale izložene
čistom savijanju• ne važi za nejednako savijanje, jer transferzalne
sile uzrokuju deformaciju poprečnog presjeka izvan ravni
• ne daje tačne rezultate za područja oko oslonaca, promjena
poprečnog presjeka, diskontinuiteta u opterećenju (koncentracija
napona!!!)
IPAK, i u slučaju nejednakih momenata savijanja formula
savijanja se može koristiti!!!
Čisto savijanje – normalni naponi u gredi
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 110
Savijanje
Primjer 4.2: Za gredu datu na slici odrediti maksimalne zatezne
i pritisne napon u gredi usljed kontinuiranog opterećenja.Zadatak
prvo uraditi za gredu pravougaonog poprečnog presjeka vanjskih
dimenzija presjeka na slici.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 111
Savijanje
Primjer 4.3: Privremena drvena brana napravljena je od
horizontalnih dasaka A oslonjenih na dva vertikalna stuba B.
Stubovi su kvadratnog poprečnog presjeka (bb) postavljeni na
udaljenosti 0.8 m, kao na slici. Pretpostaviti da je dubina vode do
vrha brane, h=2 m. Odrediti najmanju dimenziju b stuba ako je
dozvoljeni napon drveta doz=8 MPa.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 112
SavijanjeTangencijalni naponi u gredi
Pretpostavke:
• Tangencijalni naponi su paralelni s transferzalnim silama•
Tangencijalni naponi su uniformno raspoređeni po širini grede (ali
mogu da se mijenjaju po visini)
Vrijedi:
• Tangencijalnim naponima na elementu odgovaraju uzdužni naponi•
na gornjem i donjem rubu tangencijalni naponi su nula
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 113
Savijanje
1z
MyI
2( )
z
M dM yI
1z
MydA dAI
1 1
zA A
MyF dA dAI
2 2( )
zA A
M dM yF dA dAI
3A
dMF ydAI
3F bdx
3 2 1F F F
1
A
dM ydAdx Ib
A
Q ydA
VQIb
Formulatangencijalnih napona!!!
Tangencijalni naponi u gredi
(4.25)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 114
Savijanje
Pravougaoni poprečni presjek
1
A
dM ydAdx Ib
A
Q ydA
VQIb
1
/ 2 22
12 4
h
A y
b hQ ydA bydy y
22
12 4VQ V h yIb I
1
2 22
max 1
0
32 4 8 2
y
V h Vh VyI I A
Tangencijalni naponi u gredi
(4.26)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 115
SavijanjeTangencijalni naponi u gredi
Ograničenja u korištenju formule tangencijalnih napona
• važi samo za homogene, linearno elastične materijale s malim
deformacijama• za pravougaone poprečne presjeke tačnost zavisi i od
odnosa širina-visina – što je presjek uži, tačnija je: za
kvadratni poprečni presjek maksimalan napon je 13% viši od onog
datog izrazom (4.26)• izraz (4.25) ne važi za mnoge poprečne
presjeke (trouglasti, polukrug, ...)• izraz (4.25) važi samo ako su
ivice paralelne s y-osom (tangencijalni naponi djeluju paralelno
y-osi)• izraz (4.25) važi samo ako je tangencijalni napon
ravnomjeran po širini poprečnog presjeka• formula je primjenjiva
samo na prizmatične poprečne presjeke
I u slučaju nejednakih momenata savijanja formula savijanja se
može koristiti!!!
• parabolička promjena tangencijalnih napona uzrokuje
paraboličku promjenu tangencijalnih deformacija = vitoperenje
• pokazuje se da ‘vitoperenje’ usljed tangencijalnih napona ne
mijenja značajnije uzdužne deformacije čak i kada se tangencijalne
sile mijenjaju duž grede
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 116
Savijanje
Primjer 4.4: Drvena greda, pravougaonog poprečnog presjeka
bh=100150 mm, AB je opterećena kao na slici. Koncentrisana sila
djeluje na udaljenosti a=0.5 m od svakog oslonca.Odrediti
maksimalnu dozvoljenu silu P ako je dozvoljeni napon na savijanje
11 MPa (i za zatezanje i za pritisak), a dozvoljeni napon na
tangencijalni napon 1.2 MPa. Uticaj težine grede zanemariti.
XI
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 117
Savijanje
Kružni poprečni presjek – približan proračun
Tangencijalni naponi u gredi
• Tangencijalni naponi nisu paralelni s y-osom (vidi tačku m)•
Ipak, tangencijalni naponi su najveći na neutralnoj osi, i
pretpostavimo
da su uzduž p-q jednaki – moguće koristiti formulu (4.25)
VQIb
4
4rI
2 34 22 3 3cr r rQ Ay
2b r
max43
VQ VIb A
(4.27)
Kružni prsten
4 42 1( )
4r rI 3 32 1
2 ( )3
Q r r 2 12( )b r r
2 22 2 1 1
max 2 22 1
4 ( )3
r r r rVQ VIb A r r
(4.28)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 118
Savijanje
Profili
Tangencijalni naponi u gredi
Javljaju se tangencijalni naponi i u horizontalnom (mnogo veći)
i u vertikalnom pravcu
Javljaju se tangencijalni naponi samo vertikalnom pravcu (kao za
pravougaoni poprečni presjek)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021.
Savijanje
Profili
Tangencijalni naponi u gredi
11 2 2
hhA b
12 12
hA t y
1 11
11 2 1
2 2 2 21 1 1
2 2 22 2 2
48 8
h hh yhQ A A y
b tQ h h h y
2 2 2 21 1 148VQ V b h h t h yIb It
333 3 31
1 1( ) 1 ( )
12 12 12b t hbhI bh bh th
2 2 2max 1 1( )8
V bh bh thIt
2 2min 1 max min( ) (1.1 1.6)8
Vb h bhIt
(4.29)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 120
Savijanje
Profili – tangencijalna sila
Tangencijalni naponi u gredi
1 min 1 max min
1max min
2 ( )3
23
dijagramV A t h h t
thV
Tangencijalna sila u vertikalnom dijelu nosi 90-98% ukupne
tangencijalne sile!!!
1sr
Vth
Obično se koristi pojednostavljena formula koja daje 10% grešku
u odnosu na izraz (4.29)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 121
Savijanje
Primjer 4.5: Greda s poprečnim presjekom kao na slici izložena
je transferzalnoj sili V=45 kN. Odrediti maksimalan i minimalan
tangencijalni napon, te ukupnu silu koja djeluje na vertikalni dio
profila. Dimenzije poprečnog presjeka su: b=165 mm, t=7.5 mm, h=320
mm i h1=290 mm.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 122
Savijanje
Primjer 4.6: Greda s poprečnim presjekom kao na slici izložena
je transferzalnoj sili V=45 kN. Odrediti tangencijalni napon u
presjeku n-n, te maskimalan tangencijalni napon. Dimenzije
poprečnog presjeka su: b=100 mm, t=25 mm, h=200 mm i h1=175 mm.
h=200 mmh1=175 mm
b=100 mm
t=25 mm
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 123
Maksimalni naponi u grediSavijanje
xz
MyI
Formula savijanja!!!! (4.23)
VQIb
Formula tangencijalnih napona!!! (4.25)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 124
SavijanjeDimenzionisanje
• Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone•
Grede su obično duge, pa su momenti savijanja veliki, a
tangencijalni naponi služe kao konačna provjera.• Sekcijski modul
treba ispunjavati:
• Za jednostavne poprečne presjeke jednostavno je naći potrebne
dimenzije, dok se za složene izabere oblik, pa onda dimenzije.
• Nakon izbora provjerava se tangencijalni napon koristeći jedan
od izraza
• Iako prethodni izraz ne predstavlja problem, za kratke i grede
opterećene velikim tangencijalnim silama, te grede od drveta,
neophodno je uzeti u obzir tangencijalne napone.
maxz gr
doz
MS S
maxdoz
VQIt S
max maxdoz
M yI S
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 125
Savijanje
Primjer 4.7: Slojevita drvena greda data na slici izložena je
kontinuiranom opterećenju od 12 kN/m. Ako odnos visine i širine
grede mora biti 1.5, odraditi najmanju širinu koja može izdržati
opterećenje. Dozvoljeni napon na savijanje je 9 MPa, a na smicanje
0.6 MPa. Težinu grede zanemariti.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 126
Savijanje
Primjer 4.8: Za gredu kružnog prstenastog poprečnog presjeka
vanjskog prečnika d=50 mm, opterećenu kao na slici, odredi
dimenzije poprečnog presjeka, ako je dozvoljeni napon na savijanje
100 MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon je 50 Mpa
Podaci: LAB=0.4 m, LAC=1 m, LAD=1.2 m, FB=5 kN, MD=1 kNm.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 127
SavijanjeDeformacioni radČisto savijanje Transferzalna sila
22 12 2V V
MyU dV dAdxE E I
2
0 2
L M dxUEI
22 12 2V V
VQU dV dAdxG G It
2 2
2 20 2
L
A
V QU dA dxGI t
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 128
*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning,
Seventh Edition, 2009.
Ravno stanje napona i primjena*
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 129
*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać,
2003
Tenzor napona
Opšte stanje napona
Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa
smjerom vanjske normale na elementu površine
Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj i desnoj
površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose.
Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje.
Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon
djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje.
Značenje indeksa
Konvencija o predznaku napona
Ravno stanje napona i primjena*
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 130
Ravno stanje napona
Ravno stanje napona – jedinstveno predstavljeno s dvije
komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog
napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački
elementa.
xy yx 1 1 1 1x y y x
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 131
Naponi na kosoj ravni
1 0 0 0
0 0
sec( ) cos( ) sin( )
tg( )sin( ) tg( ) cos( ) 0x x xy
y yx
A A A
A A
10x i
iF
(5.1)
1 1 0 0 0
0 0
sec( ) sin( ) cos( )
tg( ) cos( ) tg( )sin( ) 0x y x xy
y yx
A A A
A A
10y i
iF
(5.2)
1
2 2cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )x x y yx
1 1
2 2( )sin( )cos( ) 2 (cos ( ) sin ( ))x y x y yx
(5.3)
(5.4)
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 132
1
2 2cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )x x y yx
1 1
2 2( )sin( )cos( ) 2 (cos ( ) sin ( ))x y x y yx
(5.3)
(5.4)
2 1cos ( ) (1 cos(2 ))2
21sin ( ) (1 cos(2 ))2
1sin( )cos( ) sin(2 )2
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
(5.5)
(5.6)
Naponi na kosoj ravni
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 133
2cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
(5.7)
1 1x y x y (5.8)
Naponi na kosoj ravni
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 134
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
1 ( ) sin(2 ) 2 cos(2 ) 0x x y xydd
(5.8)
2tg(2 ) xy
x y
(5.8) (5.9)
• Ugao određuje ravan maksimalnog/minimalnog normalnog napona•
Jednačina (3.9) ima dva korijena u domenu (0,2), a oni ovise od
predznaka xy i (x-y) – ovi korijeni se nazivaju i uglovi glavnih
ravni
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
(5.5)
Ravno stanje napona i primjenaXII
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 135
22
2x y
xyR
cos(2 )2
x y
R
sin(2 ) xyR
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
(5.5)
(5.6)
22
1 2 2x y x y
xy
22
2 2 2x y x y
xy
1 1 1 2x y x y (5.7)
U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni
naponi, tj. 12=0
(5.10)
(5.11)
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 136
1 1 ( ) cos(2 ) 2 sin(2 ) 0x y x y xydd
(5.12)
1tg(2 )2 tg(2 )x y
xy
(5.12) (5.13)
• Ugao određuje ravan maksimalnog/minimalnog tangencijalnog
napona• Jednačina (3.13) ima dva korijena u domenu (0,2), a oni
ovise od predznaka xy i (x-y) – za ugao prema (3.13) vrijedi
= 45
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
(5.6)
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 137
22
2x y
xyR
cos(2 )2
xy
R
sin(2 ) x yR
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
(5.5)
(5.6)
1 1 1 2x y x y (5.7)
22 1 2
max,min 2 2x y
xy
(5.14)
U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni
naponi
1 2
2 2x y
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
(5.15)
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 138
Mohr-ov (Mor) krug napona (grafičko određivanje naponskog
stanja)
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
(5.5)
(5.6)
Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički
pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se
eliminiše ugao 2
Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički
pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se
eliminiše ugao tako što se obje jednačine kvadriraju i saberu, pa
se dobije:
1 1 1
2 22 2
2 2x y x y
x x y xy
(5.16)
1 1 12 2 2
srx x y R (5.16a)
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 139
Mohr-ov (Mor) krug napona – konstrukcija
Dva načina crtanja Mohr-ovog kruga napona
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 140
Mohr-ov (Mor) krug napona – konstrukcija
• Nacrta se koordinatni sistem s abscisom x1 (n), pozitivna na
desno, i ordinatom xy (n), pozitivna na dole
• U dijagramu se ucrta tačka A s koordinatama (x,xy) –
predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj x površi (površ A)
• U dijagramu se ucrta tačka B s koordinatama (y,-xy) –
predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj y površi (površ B)
• Povuče se duž od AB koja predstavlja prečnik kruga napona s
centrom u tački C.
• Koristeći tačku C kao centar nacrta se kružnica koja prolaziu
kroz tačke A i B.
• Ugao koji određuje ravan normalnih napona određuje se na
osnovu ugla 22p
• Ugao koji određuje ravan maksimalnih tangencijalnih napona
određuje se na osnovu ugla 2 2s
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 141
Mohr-ov (Mor) krug napona – konstrukcija
JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning,
Seventh Edition, 2009.
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 142
Mohr-ov (Mor) krug napona – određivanje napona za proizvoljnu
ravan
*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać,
2003
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 143
Primjer 5.1: Element je izložen naponima kao na slici: x=85 MPa,
y=-29 MPa, xy=-32.5 MPa.a) Odrediti glavne napone i prikaži na
skici elementa naponab) Odrediti maksimalni tangencijalni napon i
pokaži na elementu naponac) rezultate pod a) i b) potvrdi
konstrukcijom Mohr-ovog kruga napona
-32.5MPa
85MPa
-29MPa
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 144
Hooke-ov zakon za ravno stanje napona
⇔ + +
xx E
xy E
yx E
yy E
xy yx G
2(1 )EG
1 ( )x x yE
1 ( )y y xE + utjecaj temperature
1 ( )x x y TE
1 ( )y y x TE (5.17)
xz E
yz E
( )z x yE ( )z x y TE
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 145
Hooke-ov zakon za ravno stanje napona
1 ( )x x yE
1 ( )y y xE + utjecaj temperature
1 ( )x x y TE
1 ( )y y x TE
(5.17)
2 ( )1x x yE
+ utjecaj temperature (5.18)2 ( )1 1x x y
E E T
2 ( )1 1y y xE E T
2 ( )1y y xE
( )z x yE ( )z x y TE
0z
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 146
Promjena zapremine i deformacioni rad
0V abc
1 ( )( )( ) (1 )(1 )(1 )x y z x y zV a a b b c c abc
1 0 (1 )(1 )(1 )x y zV V
1 0 (1 )x y zV V
1 0 0 ( )x y zV V V V
22 2
1 ( )21 ( 2 )
2 2
x x y y xy xy
xyx y x y
W
WE G
Promjena zapremine
Deformacioni rad
Specifična promjena zapremine (dilatacija):0
1 2 ( )x y z x yVe
V E
(5.19)
(5.20)
(5.21)
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 147
Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja
Aksijalno naprezanje
1
12
2x
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
1(1 cos(2 ))
2x
x
1 1sin(2 )
2x
x y
Ravno stanje napona i primjenaXIII
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 148
Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja
Čisto smicanje (bez normalnih napona)
12
12
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
1sin(2 )x xy
1 1cos(2 )x y xy
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 149
Element izložen čistom smicanju (nema normalnih napona)
Naponi na kosoj ravni
1sin(2 )x
1 1cos(2 )x y
Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja
Čisto smicanje (bez normalnih napona)
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 150
G max (1 )E E E
Tangencijalna deformacija je promjena ugla između dvije linije
koje su prije opterećenja zaklapale ugao od 90 stepeni.
Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja
Čisto smicanje (bez normalnih napona)
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 151
Veza modula elastičnosti i modula klizanja
max2 (1 )bdL h
2 2 2 22 cos( )2bd
L h h h
2 2max max max(1 ) 1 cos( ) 1 2 1 sin2
max 2
max (1 )E E E
G
)1(2
EG(3.12)
Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja
Čisto smicanje (bez normalnih napona)
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 152
Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja
Dvoosno naprezanje, bez tangencijalnih napona
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
1cos(2 )
2 2x y x y
x
1 1sin(2 )
2x y
x y
1
12
12
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 153
Maksimalni naponi u grediPravougaoni poprečni presjek
Normalni i tang. naponi Glavni normalni naponi Maksimalni tang.
naponi
22
1,2 2 2x y x y
xy
22
max,min 2x y
xy
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 154
Maksimalni naponi u grediProfili
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 155
Primjer 5.2: Prosta greda AB dužine L=1.8 m opterećena je
koncentričnom silom P= 48 kN koja djeluje na udaljenosti c=0.6 m od
desnog oslonca. Greda je izrađena od čelika pravougaonog poprečnog
presjeka bh=50 150 mm. Analiziraj glavne normalne i maksimalni
tangencijalni napon u presjeku m-n koji se nalazi na udaljenosti x=
225 mm od lijevog oslonca.
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 156
Kombinovana opterećenja - općenito
Postupak rješavanja:
• Odabrati (kritičnu) tačku u kojoj želimo odrediti napone i
deformacije. Kritične tačke su one u kojima se nalaze najveći
normalni ili tangencijalni naponi preko formule za savijanje ili
formule za tangencijalne napone.
• Za svako opterećenje, odrediti rezultante opterećenja u
poprečnom presjeku u kojem se nalazi odabrana tačka• Izračunati
normalne i tangencijalne napone u izabranoj tački za svaku od
rezultanti opterećenja• Kombinovati pojedinačne napone kako bi se
dobile komponente napona, tj. x, y, xy• Odrediti glavne normalne i
najveće tangencijalne napone za izabranu tačku• Odrediti
deformacije u izabranoj tački, koristeći Hooke-ov zakon• Izabrati
dodatne tačke i ponoviti proces. Proces ponavljati sve dok se ne
analizira neophodan broj tačaka.
Ravno stanje napona i primjenaXIV
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 157
Postupak rješavanja – primjer: analizirati napone u tačkama A i
B (+ C i D)
Kombinovana opterećenja - općenito
1 3
2
o
Tr TI r
3
4A
Mr MI r
2 2
4 43 3V VA r
Tačka A
Tačka B
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 158
Primjer 5.3: Vratilo elise helikoptera pokreće elisu koja
obezbjeđuje podižuću silu kako bi se helikopter održao u zraku. Kao
posljedica se javlja kombinacija uvijanja i aksijalnog naprezanja.
Ako je prečnik vratila 50 mm, moment uvijanja 2.4 kNm i zatežuća
sila 125 kN, odrediti maksimalan zatežući, maksimalan pritisni
napon te maksimalan tangencijalni napon vratila.
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 159
Primjer 5.4: Tabla dimenzija 2 x 1.2 m, kao na slici,
postavljena je na stub u obliku cijevi unutrašnjeg prečnika 220 mm
i vanjskog prečnika 180 mm. Početak znaka je 0.5 m od ose cijevi
stuba, te 6 m iznad zemlje. Odrediti glavne napone i maksimalan
tangencijalni napon u tačkama A i B na dnu stuba ako na znak
djeluje vjetar koji izaziva pritisak 2 kPa.
Ravno stanje napona i primjenaXIV
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 160
Primjer 5.5: Stub od cijevi kvadratnog poprečnog presjeka služi
kao nosač horizontalne platforme. Vanjska dimezija cijevi je 150 mm
a debljina stjenke je 12.5 mm. Platforma ima dimenzije 170 x 610 mm
i nosi kontinuirano opterećenje od 140 kPa koje djeluje na gornjoj
površini. Rezultanta ovog opterećenja je vertikalna sila od 14.5 kN
i djeluje na sredini platforme, udaljenom 230 mm od ose cijevi.
Druga sila od 3.5 kN djeluje horizontalno na stub 1.3 m od osnove.
Odrediti glavne normalne napone i maksimalan tangencijalni napon u
tačkama A i B na osnovi.
75 mm
75 mm
12.5 mm
b=150 mm
t=12.5 mm
1.4 kNd=230 mm
h=1.3 m
P2=3.5 kN
Ravno stanje napona i primjena
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 161
Primjer 5.6: Pravougaoni blok izložen je vertikalnoj sili od 40
kN, s napadnom tačkom u uglu bloka (slika). Odrediti najveći napon
koji djeluje u presjeku ABCD. Težinu bloka zanemariti.
Ravno stanje napona i primjenaXV
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 162
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)*
*Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać,
2003*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning,
Seventh Edition, 2009.
Granica napona koja definiše slom materijala:• Duktilni/žilavi
materijali – početak tečenja materijala• Krti materijali – čvrstoća
materijala
• Jednostavno za jednostavna opterećenja; za kompleksna
opterećenja koriste se teorije o razaranju• Nijedna teorija se ne
može primijeniti na sve materijale niti na isti materijal pod
različitim uslovima
(temperatura, brzina deformacije, ..)• Prvo se odrede normalni i
tangencijalni naponi tamo gdje su najveći, pa se odrede glavni
naponi, a onda odredi
ekvivalentni napon zavisno od teorije koja se primjenjuje!!!
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 163
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Duktilni
materijali
Teorija (hipoteza) maksimalnog tangencijalnog napona
(Tresca)
Lüderove linije pri ispitivanju čelika
max 2eHR ReH se uzima iz testa na zatezanje
1
2
1 2
eH
eH
eH
R
R
R
Kada 1 i 2 imaju isti znak
Kada su 1 i 2 različitog znaka
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 164
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Duktilni
materijali
Teorija (hipoteza) najvećeg specifičnog deformacionog rada
(Huber, von Mises, Hencky)
1 1 2 2 3 3
2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3
1 1 1 12 2 2 21 2
2
U
UE
2 2 21 2 1 3 2 316d
UE
Test na zatezanje 213d eH
U RE
Biaksijalno opterećenje 2 2 21 1 2 2 eHR
Čisto smicanje Y eH
R
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 165
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Krti
materijali
Teorija (hipoteza) najvećeg normalnog napona (Rankine)
Test na zatezanje Test na uvijanje
1
2
m
m
R
R
ult mR
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 166
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Krti
materijali
Mohr-ov kriterij (hipoteza)
• Za materijal s različitim osobinama na zatezanje i pritisak•
Neophodno uraditi tri testa (jednoosno zatezanje, jednoosni
pritisak,
test na uvijanje)
Kriva loma
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 167
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)Krti
materijaliKrti materijali
Mohr-ov kriterij (hipoteza) – pojednostavljeni model
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 168
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)
• Otkaz duktilnih (žilavih) materijala određen je tečenjem
materijala (granica tečenja) – definiše se klizanjem između
kristala koji čine materijal, a koje se dešava usljed
tangancijalnih napona, a teorija maksimalnog tangencijalnog napona
se zasniva na ovoj ideji
• Otkaz krtih materijala određen je lomom materijala (čvrstoća)
–dešava se samo usljed maksimalnih normalnih zateznih napona, a ne
pritisnih, pa se koristi teorija najvećih normalnih napona (ukoliko
je dijagram napon-deformacija isti za zatezanje i pritisak).
Ukoliko materijal ima različite dijagame napon-deformacija, koristi
se Mohr-ova teorija. Ipak, zbog nesavršenosti materijala, teško je
predvidjeti lom krtih materijala, pa se rezultati moraju uzeti s
oprezom!
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 169
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)
Primjer 6.1: Puno vratilo od sivog liva izloženo je momentu
uvijanja od 550 Nm. Odrediti najmanji poluprečnik pri kojem vratilo
neće otkazati. Epruveta sivog liva izložena zatezanju ima zateznu
čvrstoću od 140MPa.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 170
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)
Primjer 6.2: Puno vratilo izrađeno od čelika s granicom tečenja
ReH =250 MPa ima poluprečnik 12.5mm. Odrediti da li će vratilo
otkazati koristeći hipoteze sloma za duktilne materijale, ukoliko
je izloženo aksijalnoj sili od 65kN i momentu uvijanja od 360
Nm.
132.4 MPa
117.3 MPa
12.5 mm
65 kN
T=360Nm
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 171
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)
Primjer 6.3: Šipka od livenog aluminijuma izrađena je od legure
s čvrstoćom na zatezanje od 60 MPa i čvrstoćom na pritisak od 120
MPa. Koristeći Mohrovu hipotezu odredi moment uvijanja pri kojem se
može očekivati lom.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021. 172
Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)
Primjer 6.4: Element od legure aluminijuma kvadratnog poprečnog
presjeka stranice 20 mm, opterećen je silom pritiska od 10 kN i
smicanjem silom 5 kN. Za najugroženiji dio poprečnog presjeka
odrediti:
• glavne normalne i maksimalni tangencijalni napon,
• stepen sigurnosti koristeći von Mises hipotezu,
• najveću silu smicanja, koja se može primijeniti uz konstantnu
silu pritiska, a da ne dođe do otkaza materijala. Stepen sigurnosti
protiv plastičnih deformacija je 2. Koristiti Tresca kriterij.
Granica tečenja materijala je ReH=150 MPa.
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021.
Informacije o polaganju pismenog dijela ispita
1. Ispit sadrži 4-5 zadataka, od kojih svaki nosi 15-35%
bodova.
2. Na ispitu je dozvoljeno koristiti Listu formula (može se naći
na web-stranici kursa), kalkulator i pribor za pisanje.
3. Uz kalkulator i pribor za pisanje, obavezno ponijeti 2-3
prazne dvolisnice A4 format.
4. Mobiteli se ne mogu koristiti umjesto kalkulatora.
5. Ne mogu se koristiti urađeni zadaci, zbirke zadataka i sl.,
niti se oni mogu dodati na Listu formula.
3. Studenti koji budu ‘uhvaćeni’ u prepisivanju ili korištenju
nedozvoljenih sredstava, biće udaljeni s ispita sa zabranom izlaska
na pismeni ispit na dva sljedeća termina.
3. Minimalan prolaz na pismenom ispitu je 51%, ali može biti i
veći zavisno od broja osvojenih bodova u zadaćama i testovima
(učešće pojedinih provjera znanja u konačnoj ocjeni:
zadaće/programi 30%, testovi 20%, pismeni ispit 50%)
-
MEHANIKA MATERIJALA I 2020/2021.
S R E T N O !!!