JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 20 do 24. 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 20 do 24.
1
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
1. Prostorno stanje napona
Zadatak 1.1 Za prizmu prikazanu na slici 1. odrediti sile koje djeluju u pravcu osa (x,y,z), ako su poznate dilatacije u pravcu ovih osa (x,y,z). εy=0,718⋅εx εz=0,155⋅εx εx=0,000224 a=10cm E=21000kN/cm2 µ=0,33 εx=0,000224 εy=0,718⋅εx=0,718⋅0,000224=0,000161 εz=0,155⋅εx=0,155⋅0,000224=0,0000348
Slika 1. Određivanje napona u prizmi: εx⋅E=σx-µσy-µσz εy⋅E=σy-µσx-µσz εz⋅E=σz-µσx-µσy σx-µσy-µσz=εx⋅E σy-µσx-µσz=εy⋅E σz-µσx-µσy=εz⋅E
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
2/97,66015,0194,4 cmkN
DDz
z ===σ
kNaFaa
F
kNaFaa
FkNaF
aaF
zz
zz
yy
yy
xx
xx
69710297,622
18401022,922
199010295,922
22
22
22
=⋅⋅=⋅=⋅
=
=⋅⋅=⋅=⋅
=
=⋅⋅=⋅=⋅
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Zadatak 1.2 U nekoj tački napregnutog tijela imamo napone: σx=2kN/cm2; τxy=0; τxz=1kN/cm2; τyx=0; σy=2kN/cm2; τyz=1kN/cm2; τzx=1kN/cm2; τzy=1kN/cm2; σz=1kN/cm2. -Utvrditi o kakvom se stanju napona radi, tj. dokazati da li je naponsko stanje ravno ili je prostorno. -Odrediti pravce i veličine glavnih napona. -Odrediti kosinuse pravaca glavnih napona. -Odrediti maksimalni napon smicanja. Formiramo tenzor napona:
=
111120102
S
Ako je veličina determinante matrice tenzora napona različita od nule, stanje napona je prostorno, a ako je jednaka nuli, radi se o ravnom naponskom stanju. Pored toga bar jedan od njenih minora mora biti različit od nule.
0
0220004112002
111120102
=
=−−−++==
D
D
4042002
1 =−==D
Dakle, vrijednost determinante je jednaka nuli, a jedan od minora je različit od nule. Prema tome u pitanju je ravno stanje napona.
4
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Veličine glavnih napona σi (i=1,2,3), dobijamo rješavanjem sekularne jednačine karakteristične jednačine (*).
.....(*)....................0322
13 =−⋅+⋅− III iii σσσ
Ovdje su I1, I2 i I3, invarijante stanja napona.
21 5122cmkNI zyx =++=++= σσσ
4
2
2
2222
6110211222cmkNI
I zxyzxyxzzyyx
=−−−⋅+⋅+⋅=
−−−⋅+⋅+⋅= τττσσσσσσ
0001212122
2
3
2223
=+−⋅−⋅−⋅⋅=
⋅⋅⋅+⋅−⋅−⋅−⋅⋅=
I
I yzxzxyxyzzxyyzxzyx ττττστστσσσσ
Uvrštavanjem invarijanti u karakterističnu jednačinu, dobijamo:
22
21
2
2,1
2
23
224
326
21
256
25
25
065
1065
cmkN
cmkN
ii
iiii
==
==
±=−
±=
=+⋅−
⋅=⋅+⋅−
σ
σ
σ
σσ
σσσσ
03 =σ jer je u pitanju ravno naponsko stanje. Da bi našli kosinuse uglova koje glavni napon σi zatvara sa koordinatnim osama, postavljamo uvjet u vidu proporcije:
( )( ) ( )
( )
( )( )izzy
yziyi
zyzx
iyyx
izzx
yzyx
izzy
yziy
A
k
σσττσσ
ττσστ
γ
σστττβ
σσττσσ
α
−−
=
=−
=
−
=
−−
111 coscoscos
5
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
( )( )
222
1
iii
zyzx
iyyxi
izzx
yzyxi
CBAk
C
B
++±=
−=
−=
ττσστ
σστττ
Pošto je i=1,2,3, najpogodnije je da se račun predstavi tabelarno (nakon izračunavanja) za
23cmkN
=σ računamo Ai, Bi i Ci.
( )
( )
( )( )
111
320
1311
10
112311
132
1
1
1
−=−
=
−=−
=
=−=−
−=
C
B
A
22 2cmkN
=σ
( )
( )
( )( )
011
220
1211
10
1211
122
2
2
2
=−
=
−=−
=
−=−
−=
C
B
A
03 =σ ( )
( )
( )( )
211
020
1011
10
1011
102
3
3
3
−=−
=
−=−
=
=−
−=
C
B
A
6
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Tabela 1. Kosinusi pravaca glavnih napona
i Ai Bi Ci 2iA 2
iB 2iC 222
iii CBA ++ cosαi cosβi cosγi 1 1 -1 -1 1 1 1 3
31
± 3
1±
31
±
2 -1 -1 0 1 1 0 2 2
1±
21
± 0
3 1 -1 -2 1 1 4 6 6
1±
61
± 6
2±
Maksimalni napon smicanja:
( ) ( ) 231max 5,10321
21
cmkN
=−⋅=−⋅= σστ
Stanje glavnih napona u posmatranoj tački, predstavljeno je Morovim krugovima.
Slika 2.
Uσ =1(kN/cm )=2cm2τ (kN/cm2)
σ (kN/cm2) σ3
σ1
τ max
σ2
Zadatak 1.3 U nekoj tački napregnutog tijela, date su komponente deformacije:
555
555
108110011050
105010021001−−−
−−−
⋅=⋅−=⋅=
⋅=⋅=⋅−=
,γ;,γ;,γ
;,ε;,ε;,ε
zxyzxy
zyx
Traži se: -Tenzor deformacija. -Veličine i pravci glavnih dilatacija. -Stanje glavnih dilatacija prikazati grafički preko Morovih krugova dilatacija.
7
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Tenzor deformacija:
−−
−=
= −
5,05,09,05,0225,0
9,025,00,110
21
21
21
21
21
21
5
zzyzx
yzyyx
xzxyx
D
εγγ
γεγ
γγε
Karakteristična jednačina glasi:
*).........(....................0322
13 =−⋅+⋅− III iii εεε
I1, I2 i I3 su prva, druga i treća invarijanta stanja deformacija.
Za rješavanje prethodne sekularne jednačine trećeg stepena, slijede matematske upute.
8
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Matematske osnove potrebne za rješavanje zadatka. Tabela 2. Tabela smijena
pr = p<0
032 ≤+ pq
3cosrq
=ϕ
3cos23
ϕ⋅⋅−= ry
−°⋅⋅=
360cos21
ϕry
+°⋅⋅=
360cos22
ϕry
Jednačina trećeg stepena u obliku:
03 =+⋅+⋅+⋅ dxcxbxa rješava se uvođenjem nove varijable:
abxy⋅
+=3
Zatim vršimo zamjenu:
32
2
2
23
3
333
32722
pqDa
bcap
ad
acb
abq
+=⋅−⋅⋅
=⋅
+⋅⋅
−⋅⋅
=⋅
Za diskriminantu D 0, postoje 3 realna rješenja. Kako za probleme rješavanja «karakteristične jednačine (*)» imamo uvijek takav slučaj, dalje rješavanje jednačine će se odvijati uz ovu predpostavku (D<0) i (p<0).
≤
Kada izračunamo y1; y2 i y3, vratimo se na «staru» varijablu: a
bxy⋅
+=3
, te za (y1), izračunamo
(x1), za (y2), izračunamo (x2) i za (y3), izračunamo (x3), i to su konačna rješenja.
15
10
5
23
3
10626,2106225,2
105,11
32722
−
−
−
⋅=
⋅−=
⋅−=
=
+⋅⋅
−⋅⋅
=⋅
dcba
ad
acb
abq
( ) ( ) ( )[ ]
( )15
1515
1510535
1053237,01006475,110626,231125,125,02
10626,23
106225,2105,127
105,122
−
−−
−−−−
⋅=
⋅=⋅+−−=⋅
⋅+⋅−⋅⋅−
−⋅−⋅
=⋅
qq
q
Nova varijabla:
aby ii ⋅
+=3
ε
( ) ( )
1010
102510
2
2
10124167,13
103725,33
101175,103
105,1106225,233
33
−−
−−−
⋅−=⋅
−=
⋅−=
⋅−−⋅⋅−=
⋅−⋅⋅
=⋅
p
abcap
9
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Diskriminanta:
0101372,11042064,1102834,0 30303032 <⋅−=⋅−⋅=+= −−−pqD Pošto je diskriminanta manja od nule, sekularna jednačina ima tri realna korjena:
510 10060267,110124167,1 −− ⋅=⋅== pr
°=
=⋅⋅
== −
−
47,63
44665,0101919176,1
1053237,0cos 15
15
3
ϕ
ϕrq
5533
553
104776,11035,19776,1
3
109776,1347,63cos10060267,12
3cos2
−−
−−
⋅−=⋅
+−=−=
⋅−=°
⋅⋅⋅−=⋅⋅−=
by
ry
ε
ϕ
55522
552
55511
551
10826,01035,110326,0
3
10326,0347,6360cos10060267,12
360cos2
101514,21035,11065145,1
3
1065145,1347,6360cos10060267,12
360cos2
−−−
−−
−−−
−−
⋅=⋅+⋅=−=
⋅=
°
+°⋅⋅⋅=
+°⋅⋅=
⋅=⋅+⋅=−=
⋅=
°
−°⋅⋅⋅=
−°⋅⋅=
by
ry
by
ry
ε
ϕ
ε
ϕ
Dakle, glavne dilatacije iznose: ε1=2,1514⋅10-5 ε2=0,826⋅10-5 ε3=-1,4776⋅10-5 Prethodna 3 rješenja su korijeni karakteristične (sekularne) jednačine. Određivanje kosinusa smijerova glavnih dilatacija:
( )
( )( )
−
−
−
=
izzyzx
yziyyx
xzxyix
D
εεγγ
γεεγ
γγεε
21
21
21
21
21
21
Minore Ai, Bi i Ci, određivat ćemo za i=1,2,3; tj. ε1, ε2 i ε3.
10
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Zadatak 1.4 Stanje deformacije u nekoj tački kvadra, ima tenzor deformacije:
00005,000005,000009,000005,00002,0000025,0
00009,0000025,00001,0
−−
−=D
Elasične konstante materijala su: E=21000kN/cm2, µ=1/3. Napisati tenzor napona za istu tačku, i odrediti prvu invarijantu tenzora napona. Modul klizanja:
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
17
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 9 do 20.
18
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
2. Dvoosno naponsko stanje
Zadatak 2.1 Kvadar prikazan na slici 4. opterećen je silama: Fx; Fy; FT. Odrediti normalne i napone smicanja u presjeku koji stoji pod uglom: ϕ=43,5o. Odrediti pravce i intenzitete glavnih napona. Analitički dobijene rezultate provjeriti preko Morovog naponskog kruga. a=10cm
a/2
FTFx
Fy
ϕ
y
z
Fy=100kN
Fx=333kN =100kN
a
2/3a
Slika 4.
Analitičko rješenje zadatka
22
1
22
3
502
10022
33,333
10033
22
cmaaaA
cmaaaA
===⋅=
===⋅=
2223
2221
2223
3100300300
3
100
2100200200
2
100
10100
10001000
3
333
cmkN
aaAF
cmkN
aaAF
cmkN
aaAF
Txy
yy
xx
=====
−=−
=−
=−
=−
=
=====
τ
σ
σ
19
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Za pozitivan smičući napon:
( ) ( )
2222222 282,7100
2,7282,72899,0300052,02001000212001000
21
2sin2cos21
21
cmkN
aaaaaan
xyyxyxn
===⋅+
++
−=
+−++=
σ
ϕτϕσσσσσ
99,05,43cos2sin052,05,43cos2cos
==
==o
o
ϕ
ϕ
( ) ϕτϕσστ 2cos2sin21
xyyxnl +−−=
2222222 784,5100
4,5784,5786,15594052,030099,0200100021
cmkN
aaaaaanl −=−=−=+−=⋅+
+−=τ
o
o
yx
xy
arctg
tg
28,13;56,262
5,02
2
=
=
=+
=
α
α
σστ
α
22424
2
4
2
22,18,670400
26,134140030041200
21400
aaaaaaa±=±=
⋅+±=σ
221 78,10100
8,10708,1070cmkN
a===σ
222 708,2100
8,2708,270cmkN
a−=−=−=σ
20
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
21
Provjera preko Morovog kruga
Grafičko rješenje τ σ2=-2,7kN/cm2 σ1=10,7kN/cm2
Uσ=1kN/cm2=1cm
-σy=2kN/cm2 σx=10kN/cm2
(2)
(1)
τxy α=13,28o
ϕ σ -τxy
τnl=-5,8kN/cm2 (2)
σn=7,3kN/cm2
Slika 5. Zadatak 2.2 Tanka ploča (slika 6.) je zategnuta u pravcu ose x i u pravcu ose y. Glavna naponska osa (1), stoji pod uglom α=26,5°, u odnosu na osu (x). U nekom kosom presjeku ove ploče poznati su naponi: σn=13,9kN/cm2; τnl=-0,95kN/cm2. Takođe je poznat napon smicanja: τxy=4kN/cm2. Odrediti: -Glavne napone σ1 i σ2. -Ugao (ϕ), pod kojim stoji kosi presjek. -Napone u pravcu osa x i y (σx i σy). Izvršiti provjeru alternativnom metodom.
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
22
y σy
τyx
τxy
ϕ σx σx x
Slika 6. σy z
Grafičko rješenje Polupriječnik Morovog kruga može se izraziti i preko relacije: τxy/R=2sinα R=τxy/2sinα=4/0,798=5kN/cm2. AO =R Pošto su zadati: τnl i σn; nanesemo σn i na kraju iz tačke A/
nanesemo -τnl. Pošto smo izračunali «R», uzmemo u šestar dužinu «R», i iz tačke A presječemo osu σ. To je tačka «O» centar Morovog kruga, koji sada možemo nacrtati, a sa njega dobiti tražene veličine.
σ O
Uσ=1kN/1cm2=1cm
σn=13,9kN/cm2
σ1=14kN/cm2
σx=12kN/cm2
σy=6kN/cm2 σ2=4kN/cm2
τ nl
A
A/
β
-τxy
τ xy=
4kN
/cm
2
(2)
(1)
2αϕ=32o
α=26,5o
R
τ
Slika 7. Odgovor: σx=12kN/cm2; σy=6kN/cm2; σ1=14kN/cm2; σ2=4kN/cm2; ϕ=32o
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
9,0438,033,1317,02sin =⋅+=ϕ što zadovoljava jednačinu (1)
23
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Iz jednačine (a) : yx σσ += 6
( ) ( )
( ) ( )
( ) yyy
yyyy
xyyxyxn
σσσ
σσσσ
ϕτϕσσσσσ
+=+++=++⋅+⋅=
⋅+⋅−+⋅+++⋅=
⋅+⋅−⋅++⋅=
9,76,33,136,33,126219,13
9,0444,06216
219,13
2sin2cos21
21
269,79,13cmkN
y =−=σ
Pošto je: 212666cmkN
yx =+=+= σσ
Dakle: σx=12kN/cm2; σy=6kN/cm2; ϕ=32o; što se u potpunosti slaže sa grafičkim rješenjem. Provjera glavnih napona:
( ) ( )
( ) ( ) 594461221612
21
421
21
222,1
222,1
±=⋅+−±+=
+−±+=
σ
τσσσσσ xyyxyx
;4;14 2221 cmkN
cmkN
== σσ
Dakle, i glavni naponi se u potpunosti slažu sa grafičkim rješenjem. Zadatak 2.3 Zadate su veličine glavnih napona: σ1=12,9kN/cm2; σ2=-4,9kN/cm2 i napona smicanja koji leži u kosoj ravnini pod uglom ϕ=30o. τnl=-4,9 kN/cm2 -Odrediti najpogodnijom metodom napone: σx, σy, τxy i σn. -Odrediti ugao (α) i odrediti ose (1) i (2) -Provjeriti drugom metodom tačnost rezultata dobijenih po prvoj metodi. Najpovoljnija metoda je grafička metoda, primjenom Morovog naponskog kruga. Očitane tražene veličine: σx=12kN/cm2; σy=-4kN/cm2; σn=11,4kN/cm2; τxy=4kN/cm2; α=13,35o
24
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
25
τ
Uσ=2kN/cm2=1cm
(1)
τ xy=
4kN
/cm
2
α=13,35° σ
τ nl=
-4,9
kN/c
m2
ϕ=30°
σn=11,4kN/cm2
σy=-4kN/cm2 σx=12kN/cm2
σ2=-4,9kN/cm2 σ1=12,9kN/cm2
(2)
Slika 8.
Analitička provjera
Unesene su očitane veličine: σx=12kN/cm2; σy=-4kN/cm2; τxy=4kN/cm2
( ) ( )
( ) ( ) 9,844441221412
21
421
21
222,1
222,1
±=⋅++±−=
+−±+=
σ
τσσσσσ xyyxyx
;9,49,84;9,129,84 2221 cmkN
cmkN
−=−==+= σσ
S obzirom da smo dobili zadate veličine za σ1 i σ2, dobijeni parametri grafičkom metodom su tačni.
( )
( ) 29,45,04866,041221
2cos2sin21
cmkN
nl
xyyxnl
−=⋅+⋅+−=
+−−=
τ
ϕτϕσστ
Iz prethodnog zaključujemo, da je i po drugoj provjeri tačan grafički način određenih, traženih veličina. Provjera očitanog ugla “α”
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
o
o
yx
xy
arctg
tg
3,136,262
5,0412
4222
=
=
=+⋅
=−
=
α
α
σστ
α
što se takođe slaže sa očitanom veličinom.
( ) ( )
( ) ( ) 246,11866,045,041221412
21
2sin2cos21
21
cmkN
n
xyyxyxn
=⋅+⋅+⋅+−⋅=
⋅+⋅−⋅++⋅=
σ
ϕτασσσσσ
Dakle, očitana veličina i izračunata veličina (σn) na bazi očitanja, identične su, pa je zaključak, da su sve tražene veličine, dobijene grafičkom metodom, tačne. Zadatak 2.4 Mjernim trakama postavljenim po pravcima (a), (b) i (c) na čeličnoj ploči (slika 9. ) ustanovljene su dilatacije: εa=0,00097 εb= 0,00103 εc=0 ,0011 Prema pravcima sila, očekuju se normalna naprezanja na zatezanje, a naprezanje na smicanje će takođe imati pozitivan predznak. Odrediti naprezanja u pravcu ose (x) σx, u pravcu ose (y) σy i naprezanje na smicanje τxy. takođe odrediti glavne napone, kao i njihov položaj. E=21000kN/cm2; G=7875kN/cm2
26
Slika 9.
θ1=17° θ2=22,5° θ3=45°
(c)
(b)
(a)
θ3
θ2
θ1
x
y
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Formiramo determinante i razvijemo ih po Sarusu, te određujemo dilatacije εx i εy, kao i ugao smicanja (klizanja) (γ).
138,01638,0293,1292,0954,0121,05359,01293,0171,0
1707,1829,1
111707,0293,0707,1559,0171,0829,1
111707,0293,0707,1559,0171,0829,1
−=−−−++=
==
D
D
000098,01293,0171,0
0022,000206,000194,0
110022,0707,0293,000206,0559,0171,000194,0
110022,0707,0293,000206,0559,0171,000194,0
−=
==
x
x
D
D
00071,0138,0
000098,0=
−−
==DDx
xε
27
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
28
00006,00022,0100206,0707,100194,0829,1
10022,01707,000206,0707,1559,000194,0829,1
10022,01707,000206,0707,1559,000194,0829,1
−=
==
y
y
D
D
00044,0138,0
00006,0=
−−
==DDy
yε
000139,011293,0707,1171,0829,1
0022,01100206,0293,0707,100194,0171,0829,1
0022,01100206,0293,0707,100194,0171,0829,1
−=
==
γ
γ
D
D
001,0138,0
000139,0=
−−
==DDyγ
Naponi:
( ) ( )
( ) ( )
2
222
222
87,7001,07875
89,1533,01
00071,033,000044,0210001
15,2033,01
00044,033,000071,0210001
cmkNG
cmkNEcmkNE
xy
xyy
yxx
=⋅=⋅=
=−
⋅+⋅=
−
⋅+=
=−
⋅+⋅=
−
⋅+=
γτ
µεµε
σ
µεµε
σ
Položaj glavnih osa napona:
0
0
42,3785,742
69,389,1515,20
87,7222
=
=
=−⋅
=−
=
α
α
σστ
α
arctg
tgyx
xy
( ) ( )
( ) ( ) 15,802,1887,7489,1515,202189,1515,20
21
421
21
222,1
222,1
±=⋅+−±+=
+−±+=
σ
τσσσσσ xyyxyx
;87,915,802,18;17,2615,802,18 2221 cmkN
cmkN
=−==+= σσ
;87,9;17,26 2min22max1 cmkN
cmkN
==== σσσσ
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Zadatak 2.5 Odrediti prvu, drugu i treću invarijantu tenzora napona, napisati matricu (tenzor napona) za kvadar, opterećen kao na slici. a=10cm
FT
A3
A2 A1
Fx
Fy
y
z
Fy=50kN
=50kN Fx=100kN
3a
2a
0,75a
Slika 10.
2221
2222
2221
2251025,225,275,03
150105,15,1275,0
600106632
cmaaaA
cmaaaA
cmaaaA
=⋅==⋅=
=⋅==⋅=
=⋅==⋅=
Naponi:
2222
2223
2222
333,0100
3,333,335,150
222,0100
2,222,2225,2
50
667,0100
7,667,665,1
100
cmkN
aaAF
cmkN
aaAF
cmkN
aaAF
Txy
yy
xx
=====
−=−
=−
=−
=−
=
=====
τ
σ
σ
−=
−=
0000222,0333,00333,0667,0
000
02,223,33
03,337,66
22
22
aa
aaS
29
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
0;0;0;0 ==== zxyzxyz τττσ
22221
1
445,0100
5,445,442,227,66cmkN
aaaI
I yxzyx
===−=
+=++= σσσσσ
4
2
4
2
2222
22222
258964,010000
64,258964,25893,332,227,66cmkN
aaaaI
I xyyxzxyzxyxzzyyx
−=−
=−
=
−
−⋅=
−⋅=−−−⋅+⋅+⋅= τσστττσσσσσσ
02222
3 =⋅⋅⋅+⋅−⋅−⋅−⋅⋅= yzxzxyxyzzxyyzxzyxI ττττστστσσσσ
30
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 62 do 73.
31
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
3. Jednoosno naponsko stanje
Zadatak 3.1 Za štapni sistem prikazan na slici 11. odrediti sile u štapovima (1), (2) i (3). Poprečni presjeci štapova su: A1=2,075cm2; A2=5cm2; A3=2cm2. Takođe odrediti pomijeranje tačke (C), pod djelovanjem sile G=100kN. Štapovi su od čelika. Težinu štapova zanemariti. l2=200cm.
3 2 1
B A
C
G
35o 30o
l 3
l 2
l1
S3
S2
S1
y
321
BA
C
G=100kN
35o30o
x
Slika 11. Slika 12.
331
31
15,130sin35sin
035sin30sin
SSS
SSS
o
o
oox
⋅=⋅=
=⋅−⋅=Σ
0819,0866,0035cos30sin
0
321
321
=−⋅++⋅=−⋅++⋅
=Σ
GSSSGSSS
Soo
y
GSSGSSS
=+⋅=⋅++⋅⋅
23
323
81,1819,0866,015,1
C/
Slika 13.
∆l2
∆l3
S3
S2
S1
C
35o30o
x35o
23 552,025,55 SS ⋅−=
23
2
3
0
2
3
819,0
819,0
35cos
llllll
∆⋅=∆
=∆∆
=∆∆
2
222
3
333 ;
AElSl
AElSl
⋅⋅
=∆⋅⋅
=∆
32
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
a statički sistem prikazan na slici 15., odrediti dilatacije u štapovima
Z Z CA i CB , ako su isti od
g na eza :
z
Slika 14.
čelika. Štapove dimenzionirati na osnovu sila u štapovima i dozvoljeno pr nja na istezanjeσde=12kN/cm2. Štapovi su okruglog popriječnog presjeka. Greda A-B, čiju težinu treba anemariti, opterećena je silama F1=60kN i F2=30kN.
lA
B
C
l/2l/2
l
α
α=60o
1
2 l=2m
α
F2 F1
33
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
roz tačku (A) postavimo koordinatni sistem i postavimo uvjete ravnoteže:
prva dva uvjeta odredimo sile u štapovima (kao funkcije ugla ϕ), a iz trećeg odredimo ugao (ϕ).
Slika 15.
K
0;0;0 =Σ=Σ= Byx MFF Σ
IzUgao (ϕ) je ravnotežni ugao. Zatim izračunamo sile FA i FB, i izvršimo dimenzioniranje štapova. Kada su poznati popriječni presjeci štapova, određuje se njihova deformacija (∆li) i dilatacija (εi).
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Izduženje štapa (1):
cmAElFl A 216,0
3,5210004003,60
1
11 =
⋅⋅
=⋅⋅
=∆
2
2
1 3,54
6,2 cmA =⋅
=π
cmAElFl B 216,0
8,3210004002,43
2
22 =
⋅⋅
=⋅⋅
=∆
2
2
2 8,34
2,2 cmA =⋅
=π
4
1
121 104,5
400216,0 −⋅==
∆==
llεε
Zadatak 3.3 Zarubljena kupa prikazana na slici 16., opterećena je silom F=10000kN. Nacrtati dijagram napona po visini kupe, i odrediti zakonitost promjene napona po visini. Težinu kupe zanemariti.
r=20cm; R=40cm: h=100cm z
x
r
R
h
z
R
h
F
r
Slika 16. Slika 17.
37
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
38
( )
( )
( )
( )
z⋅=− 2,0
1002040
( )( )
)(126,0
14,304,
14,32,020
22
2
2
cmzz
z
z
⋅+
⋅⋅
⋅⋅+
zh
rRzx
zx
hrR
dzh
rRx
dzh
rRdx
⋅=−
⋅=
=−
⋅−
=
⋅−
=
∫
Tabela 4. Tabela izračunatog pritiska za z→0 do 100
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Zadatak 3.4 Stub od betona u obliku zarubljene kupe prikazane na slici 19., opterećen je silom F=40kN. zapreminska masa stuba: ρ=2,5t/m3. Stub se oslanja na čvrstu podlogu koja je od istog materijala kao i stub. Postaviti jednačinu za napon u proizvoljnom presjeku, a zatim nacrtati dijagram napona za čitav stub, po visini.
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Zapremina posmatranog dijela:
32 00098,00157,0126,0 zzzzAV sr ⋅+⋅+⋅=⋅= Težina:
32 024,038,01,35,2481,95,2
zzzGVVVgG
⋅+⋅+⋅=
⋅=⋅⋅=⋅⋅= ρ
Opća formula napona za bilo koju veličinu (z)
( )
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
−=+
−= 22
32
00196,00314,0126,0024,038,01,340
mkN
zzzzz
AGF
pσ
Za dijagram napona, uzete su veličine za (z). z=0; 2; 4; 6; 7 i 8m, i izračunati su naponi koji su prikazani tabelarno i nacrtani na dijagramu napona. Tabela 5.
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 81 do 95.
41
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
4. Momenti inercije
Zadatak 4.1 Za lik prikazan na slici 22. odrediti glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije, glavne polupriječnike inercije i nacrtati elipsu inercije. Slika 22. Slika 23.
10
15cm
15
cm
60cm
20cm
30cm
x
y
X3=33,3
X2=25
A3
A2
A1
X1=13,3
y 3=5
5
y 2=3
0
y 1=5
Određivanje položaja težišta lika: Tabela 6. Br. Površina
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )4
22
22
2,5529878585,248512505,350713381106825,3127,19860
85,132,33,17772
152085,138,17,99
7,223,1015015,168,13,11615,162,37,20672
15103,277,975
cmI
I
xy
xy
=−+−+−+−=
−⋅⋅+⋅
−−⋅−⋅+
+−⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅
−⋅⋅=
Položaj glavnih osa inercije:
o
o
yx
xy
III
tg
5,10;12,212
386,032896319175
2,55298222
−=
−=
−=−
⋅−=
−−
=
α
α
α
Glavni momenti inercije:
( ) ( )
( ) ( )
153450176035
2,552984328963191752132896319175
21
421
21
2,1
222,1
222,1
±=
⋅+−⋅±+⋅=
⋅+−⋅±+⋅=
I
I
IIIIII xyyxyx
44
;22585;329485 4
24
1 cmIcmI ==
cmA
Ii
cmA
Ii
2,5825
22585
;20825
329485
22
11
==Σ
=
==Σ
=
Elipsa inercije:
Slika 25
0
(2)
(1)
i2 D
C
B
A
i 1
x
y
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Zadatak 4.2 Za lik prikazan na slici 26. odrediti glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije, glavne polupriječnike inercije i nacrtati elipsu inercije. R=10cm Slika 26. Slika 27.
A3
y
A2
A4
3R
4R
xA1 R
R
3R
4R
Određujemo težište i zadati lik postavljamo u koordinatni sistem Tabela 7.
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Za težišne ose x i y određujemo momente inercije:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
444
44444444
224
22
32
24
33
832000103,823,82
7,34,01426,2311,06,279,10
54,128
54,16
122388,3
211,0
346,32
354,22
cmRI
RRRRRRRRI
RRRRR
RRRRRRRRRI
x
x
x
=⋅=⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅⋅⋅
+⋅
+⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
+⋅+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
=
ππ
π
TA2
A3 A4
3R
3,88
R x
y
2,54
R
1,54
R
3,42R
4,46
R
R
3,46
R
A1
Slika 29.
( ) ( ) ( )
444
444444
42
22
24
33
545000105,545,54
4,057,14,1811,0181682
42,32
11,0332
326
cmRI
RRRRRRI
RRRRRRRRRRI
y
y
y
=⋅=⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅
⋅+⋅⋅
⋅+⋅+
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅=
πππ
( ) ( ) ( )
444
44444
2
22
337000107,337,33
61245,63,886,13
88,32
73,1)(46,32
27,1)(254,242,354,12
5,154,16
cmRI
RRRRRI
RRRRRRR
RRRRRRRRRRI
xy
xy
xy
=⋅=⋅=
⋅+⋅+⋅−⋅+⋅=
⋅−⋅−⋅⋅
+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅⋅⋅=
π
π
46
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Položaj glavnih osa simetrije:
o
o
o
yx
xy
arctg
RRR
III
tg
8,33;58,672
58,672
42,25,543,82
7,33222 44
4
−=
−=
−=
−=⋅−⋅
⋅⋅−=
−⋅−
=
α
α
α
α
Glavni momenti inercije:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
;319000109,319,31;1049000109,1049,104
5,364,680,732
5,543,822
7,3345,543,82215,543,82
21
421
21
4442
4441
4444
2,1
24244442,1
222,1
cmRIcmRI
RRRRI
RRRRRI
IIIIII xyyxyx
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
⋅±⋅=⋅±+⋅=
⋅⋅+⋅−⋅⋅±⋅+⋅⋅=
+−⋅±+⋅=
cm28,12
2114=
AIi
cmA
Ii
319000
;27,222114
1049000
22
11
=Σ
=
==Σ
=
Elipsa inercije: (2) i 2
α=-33,8° i1
(1)
Slika 30.
47
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Zadatak 4.3 Za lik prikazan na slici31. odrediti glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije, glavne polupriječnike inercije i nacrtati elipsu inercije. δ=1cm