Univerzitet u Zenici Filozofski fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 29.11.2013. Prvi parcijalni pismeni ispit iz Linearne algebre Pravila: Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i znaˇ cenja simbola iz formule. Ispit pisati iskljuˇ civo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rjeˇ senja prepisati postavku (tekst) zadatka. 1. U prostoru R 5 zadan je podprostor M razapet (generisan) vektorima (0, 0, 1, 0, 0) > i (0, 1, 0, 1, 0) > i podprostor L = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ) > ∈ R 5 | x 1 - x 2 + x 3 =0, 2x 1 - 2x 2 + x 3 + x 4 =0} (a) Odrediti bazu i dimenziju vektorskih prostora M i L. (b) Odrediti bazu i dimenziju vektorskih prostora M∩L i M + L. 2. Zadan je linearni operator T : Mat 2×2 (R) -→ Mat 2×2 (R) sa T a b c d = a - b -a + b +2c a - c - d -a +2c + d . (a) Odrediti po jednu bazu za ker(T ) i im(T ). (b) Odredite matricu koordinata od T u odnosu na standardnu bazu prostora Mat 2×2 (R). 3. Neka je T linearan operator na prostoru R 2 koji vektor najprije reflektuje (zrcali) s obzirom na pravac y = -x, zatim ga rotira za ugao π 4 oko koordinatnog poˇ cetka (oko izvoriˇ sta) u negativnom smjeru, te zatim reflektuje (zrcali) s obzirom na pravac y = x. Na´ ci matricu (matricu koordinata) operatora T u bazi B = 2 1 0 - 0 1 , - 1 0 +2 0 1 . 4. Neka je M = R n i neka je d funkcija sa M×M u R definisana sa d(x, y) = max{|x 1 - y 1 |, |x 2 - y 2 |, ..., |x n - y n |}. Provjeriti da li je (M,d) metriˇ cki prostor. Za sluˇ caj kada je n = 3 grafiˇ cki prikazati kugle B(1; 1) i B(0; 2).