Studiengang: Matrikelnummer: 1 2 3 4 5 6 7 8 Punkte Pr¨ ufungsklausur zum Modul H ¨ ohere Mathematik f ¨ ur Ingenieure 2 28. 7. 2014, 7.30 - 11.30 Uhr - Theorieteil (60 min.) - Mit den L¨osungen zum Theorieteil sind insgesamt 15 Punkte zu erzielen. Zugelassene Hilfsmittel: Keine ! Das Aufgabenblatt ist mit abzugeben . Vergessen Sie bitte nicht, auf dem Aufgabenblatt und jedem L¨ osungsblatt Ihre Matrikelnummer gut leserlich anzugeben. Aufgabe 1 : Untersuchen Sie, ob es sich bei −2xy + (4y − x 2 ) · y ′ =0 (bzw. in anderer Schreibweise −2xy dx + (4y − x 2 )dy = 0) um eine exakte Differentialgleichung handelt. (Die L¨ osung der Gleichung wird nicht verlangt.) L¨ osung: Die Gleichung ist von der Form P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 mit P (x, y)= −2xy und Q(x, y)=4y − x 2 . Die f¨ ur die Exaktheit der Differentialgleichung notwendige Integrabilit¨atsbedingung ist erf¨ ullt: P y = −2x = Q x . Da P und Q in ganz R 2 definiert sind und dieser einfach zusammenh¨ angend ist, ist die Bedingung auch hinreichend, d. h. die Differentialgleichung ist exakt. Aufgabe 2 : Bestimmen Sie a ∈ R so, dass die Funktion f (x, y)= sin(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 , (x, y) = (0, 0), a, (x, y) = (0, 0) stetig im Nullpunkt wird.
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Prufungsklausur zum Modul¨ Hohere ... - tu-freiberg.de · p 1−γ 6= 2, also γ 6= 0,gelten ... Es wird der Druck p betrachtet, welcher durch den K¨orper auf das Podest ausgeubt
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Studiengang: Matrikelnummer:
1 2 3 4 5 6 7 8 Punkte
Prufungsklausur zum Modul
Hohere Mathematik fur Ingenieure 2
28. 7. 2014, 7.30 - 11.30 Uhr
- Theorieteil (60 min.) -
Mit den Losungen zum Theorieteil sind insgesamt 15 Punkte zu erzielen.
Zugelassene Hilfsmittel: Keine!
Das Aufgabenblatt ist mit abzugeben. Vergessen Sie bitte nicht, auf dem Aufgabenblattund jedem Losungsblatt Ihre Matrikelnummer gut leserlich anzugeben.
Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob es sich bei
−2xy + (4y − x2) · y′ = 0
(bzw. in anderer Schreibweise −2xy dx + (4y − x2) dy = 0)um eine exakte Differentialgleichung handelt. (Die Losung der Gleichung wird nichtverlangt.)
Losung:
Die Gleichung ist von der Form P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 mit P (x, y) = −2xy undQ(x, y) = 4y − x2.
Die fur die Exaktheit der Differentialgleichung notwendige Integrabilitatsbedingung isterfullt:
Py = −2x = Qx.
Da P und Q in ganz R2 definiert sind und dieser einfach zusammenhangend ist, ist die
Bedingung auch hinreichend, d. h. die Differentialgleichung ist exakt.
Aufgabe 2: Bestimmen Sie a ∈ R so, dass die Funktion
f(x, y) =
sin(x2 + y2)
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0),
a, (x, y) = (0, 0)
stetig im Nullpunkt wird.
Losung:
Die Stetigkeit in (0, 0) bedeutet, dass f in (0, 0) definiert ist und dort einen Grenzwertbesitzt, der mit dem Funktionswert ubereinstimmt. Die Bestimmung des Grenzwerteskonnen wir auf den Fall einer Funktion von einer Variablen zuruckfuhren, indem wirt = |(x, y)|2 = x2 +y2 substituieren. Dann gilt (x, y) → (0, 0) genau dann, wenn t → 0.
Wir haben also den bekannten Grenzwert
lim(x,y)→(0,0)
sin(x2 + y2)
x2 + y2= lim
t→0
sin t
t= 1.
Stetigkeit liegt also genau im Falle a = 1 vor.
Aufgabe 3: Klassifizieren Sie die folgenden Differentialgleichungen (Ordnung, (Nicht-)Linearitat,ggf. (In-)Homogenitat, Art der Koeffizienten). Dabei gelte y = y(x).
a) lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit variablen Koeffizi-enten
b) lineare, inhomogene Differentialgleichung dritter Ordnung mit konstanten Koeffi-zienten
c) nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung
Aufgabe 4: Auf welche Punktmenge wird die Gerade ~x = t
1
2
, t ∈ R, von der linearen Abbil-
dung f(x, y) =
2x
x − 3y
abgebildet?
Losung:
Fur alle Punkte ~x auf der gegebenen Geraden ist wegen der vorausgesetzten Linearitatvon f
f(~x) = f
t
2t
=
2t
t − 6t
= t
2
−5
, t ∈ R,
d. h. die Menge der Bildpunkte ist die Gerade durch den Ursprung in Richtung des
Vektors
2
−5
.
Aufgabe 5: Was versteht man unter einem Fundamentalsystem einer homogenen linearen Differen-tialgleichung 2. Ordnung?
Prufen Sie, ob die Funktionen y1(x), y2(x) jeweils ein Fundamentalsystem von Losun-gen der linearen Differentialgleichung
x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0, x > 0
bilden:
(a) y1(x) =1
x, y2(x) = x,
(b) y1(x) =1
x, y2(x) =
1
x2.
Losung:
Ein Fundamentalsystem einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung istein System von zwei linear unabhangigen Funktionen y1, y2, die diese Differentialglei-chung erfullen.
Die lineare Unabhangigkeit kann anhand des Nichtverschwindens der Wronski-Determinante uberpruft werden.
(a) Wir haben y′
2 = 1, y′′
2 = 0. Damit gilt
x2y′′
2 + 4xy′
2 + 2y2 = 4x + 2x = 6x 6≡ 0 fur x > 0,
d. h. y2 erfullt die Differentialgleichung nicht, daher kann schon kein Fundamen-talsystem vorliegen.
(b) Wir haben y′
1 = − 1x2 , y′′
1 = 2x3 sowie y′
2 = − 2x3 , y′′
2 = 6x4 . Damit gilt
x2y′′
1 + 4xy′
1 + 2y1 =2
x− 4
x+
2
x≡ 0 und
x2y′′
2 + 4xy′
2 + 2y2 =6
x2− 8
x2+
2
x2≡ 0 fur x > 0,
d. h. beide Funktionen erfullen die Differentialgleichung.
Die lineare Unabhangigkeit folgt durch Betrachtung der Wronski-Determinante:
W =y1 y2
y′
1 y′
2
=1x
1x2
− 1x2 − 2
x3
= − 2
x4+
1
x4= − 1
x46= 0 fur x > 0.
Aufgabe 6: Bestimmen Sie a ∈ R so, dass (0, −1) ein stationarer Punkt von
f(x, y) = x(x − 2a) + x(y − a2)
ist.
Losung:
Ein stationarer Punkt (x, y) muss die Bedingungen
fx = 2x − 2a + y − a2 = 0
fy = x = 0
erfullen.
Einsetzen des Punktes (x, y) = (0, −1) liefert fur die erste Gleichung
fx(0, −1) = −2a − 1 − a2 = −(a + 1)2 = 0.
Dies gilt genau fur a = −1. Die zweite Gleichung ist ebenfalls erfullt. Also ist (0, −1)genau im Falle a = −1 stationarer Punkt.
Aufgabe 7: Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion
g(x, y) = ln(x2 + y2 − 1).
Skizzieren Sie diesen Definitionsbereich sowie die Niveaulinien von g zu den Niveausc1 = 0, c2 = ln 2 und c3 = ln 3.
Losung:
Die Funktion g(x, y) ist definiert, wenn das Argument des Logarithmus positiv ist, alsox2 + y2 > 1 gilt. Der Definitionsbereich ist also das Außere der Kreisscheibe mit demRadius 1 um den Ursprung.
Die Niveaulinie zum Niveau c hat die Gleichung
ln(x2 + y2 − 1) = c ⇐⇒ x2 + y2 = ec + 1,
es handelt sich also um einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius√
ec + 1. Diedrei gesuchten Niveaulinien sind demnach Kreise mit den Radien
√2,
√3 bzw. 2.
DHgL
-2 -1 1 2x
-2
-1
1
2
y
c1 = 0c2 = ln 2c3 = ln 3
Aufgabe 8: Skizzieren Sie den Bereich B, der von den Kreisen x2 + y2 = 1 und x2 + y2 = 9 sowieden Geraden y = x und y = −x begrenzt wird und den Punkt P = (−2, 0) enthalt.
Beschreiben Sie B mit Hilfe von Polarkoordinaten.
Losung:
B
P
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
B in Polarkoordinaten:x = r cos ϕ,y = r sin ϕ
mit3π
4≤ ϕ ≤ 5π
4,
1 ≤ r ≤ 3.
Studiengang: Matrikelnummer:
1 2 3 4 5 6 Z Aufgaben Theorie Gesamt Note
Prufungsklausur zum Modul
Hohere Mathematik fur Ingenieure 2
28. 7. 2014, 7.30 - 11.30 Uhr
- Aufgabenteil (180 min.) -
Zugelassene Hilfsmittel: 2 A4-Blatter eigene, handschriftliche Ausarbeitungen aber keine
Vorlesungs- oder Ubungsmitschriften, Formelsammlungen aber keine Lehrbucher, die vorgegebe-
ne Tabelle von Grenzwerten, Reihen, Grundintegralen und Integrationsformeln, Taschenrechner
(auch grafikfahig) aber ohne Computer-Algebra-System (CAS).
Bearbeiten Sie bitte jede Aufgabe auf einem separaten Blatt bzw. auf separaten Blattern. Das
Aufgabenblatt ist mit abzugeben. Vergessen Sie bitte nicht, auf dem Aufgabenblatt und jedem
Losungsblatt Ihre Matrikelnummer gut leserlich anzugeben.
Der Losungsweg ist stets anzugeben, er sollte in allen Schritten durch eigene Rechnungen deutlich
erkennbar, begrundet und nachvollziehbar sein. Das gilt insbesondere fur auftretende Integrale,
die durch Anwendung geeigneter Integrationsmethoden zu losen sind. Nur dann kann nach de-
taillierter Bewertung die volle Punktzahl erreicht werden. Viel Erfolg!
Aufgabe 1: Fur ein γ ∈ R sei A =
2 2 10 2 γ
0 −1 0
gegeben. 8 Punkte
(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A in Abhangigkeit von γ. Ermitteln Sie alleγ ∈ R, fur die die Matrix A drei verschiedene Eigenwerte hat.
(b) Geben Sie γ ∈ R so an, dass 5 ein Eigenwert von A ist.
(c) Fur den Fall γ = 1 berechne man die Eigenvektoren von A, gebe die algebrai-schen und geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte an und entscheide, obdie Matrix diagonalisierbar ist.
Losung:
(a) Wir berechnen∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 − λ 2 10 2 − λ γ
0 −1 −λ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −(λ − 2)
∣
∣
∣
∣
2 − λ γ
−1 −λ
∣
∣
∣
∣
= −(λ − 2)(λ2 − 2λ + γ).
Damit erhalten wir λ1 = 2 und
λ2,3 = 1 ±√
1 − γ.
Damit es drei verschiedene Eigenwerte gibt muss
1 +√
1 − γ 6= 1 −√
1 − γ,
also γ 6= 1, sowie
1 +√
1 − γ 6= 2,
also γ 6= 0, gelten. Folglich gibt es drei verschiedene Eigenwerte, falls γ ∈ R\{0, 1}.
(b) Wir haben
1 +√
1 − γ = 5.
Damit erhalten wir γ = −15.
(c) Fur γ = 1 ist λ1 = 2 Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 1 und λ2,3 = 1Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2. Wir haben fur λ1 = 2 nicht-trivialeLosungen zu
0 2 10 0 10 −1 −2
x1
x2
x3
=
000
zu finden. Fur p ∈ R \ {0} ist
v1 = p
100
Eigenvektor zu λ1 = 2. Die geometrische Vielfachheit von λ1 ist also 1.
Fur λ2,3 = 1 haben wir nicht-triviale Losungen zu
1 2 10 1 10 −1 −1
x1
x2
x3
=
000
zu finden. Fur p ∈ R \ {0} ist
v1 = p
1−11
Eigenvektor zu λ2,3 = 1. Einen weiteren gibt es nicht. Damit ist die geometrischeVielfachheit von λ2,3 = 1 nur 1.
Die Matrix A ist fur γ = 1 nicht diagonalisierbar ist, da es keine Basis fur R3 ausEigenvektoren von A gibt.
Aufgabe 2: Ein Stahlkorper der Masse m mit kreisformiger Grundflache steht senkrecht 5 Punkte
auf einem Podest. Es wird der Druck p betrachtet, welcher durch den Korper auf dasPodest ausgeubt wird. Der Radius r der Grundflache des Stahlkorpers und dessenMasse m ergeben sich durch Messungen. Fur die Masse wurde m = (1000 ± 0.02)kgund fur den Radius r = (0.3 ± 0.005)m gemessen. Der Druck p ergibt sich durch dieFormel
p =m · g
π · r2,
wobei die Fallbeschleunigung g = 9.81 ms2 als fest vorausgesetzt wird. Schatzen Sie den
absoluten Fehler des zu bestimmenden Druckes p in Pa und den relativen Fehler desDruckes mithilfe des vollstandigen (bzw. totalen) Differentials.