République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université de Batna Faculté de Technologie Département d’Electrotechnique MEMOIRE Présenté en vue de l’obtention du diplôme de : MAGISTER EN ELECTROTECHNIQUE Option : Machines Electriques Et Commande Des Systèmes Présenté par Noureddine BEN SEDIRA (Ingénieur en Electrotechnique de l’Université de Batna) Thème Devant le jury composé de : Fatima-Zohra KAKID Prof Université de Batna Président Mohammed-Salah AGGOUNE M.C Université de Batna Rapporteur Abdelhamid BENAKCHA M.C Université de Biskra Examinateur Ilhem HOUARA M.C Université de Batna Examinateur Soufiane TAIBI Prof Université de Batna Examinateur ________ Année universitaire 2012-1013 ________ CONTRIBUTION À L’ÉTUDE DU COUPLAGE ELECTROMAGNETIQUE-THERMIQUE DANS UNE CHARGE À SYMETRIE AXIALE (Étude + Simulation)
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Présenté en vue de l’obtention du diplôme de : MAGISTER EN ...
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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université de Batna
Faculté de Technologie
Département d’Electrotechnique
MEMOIRE Présenté en vue de l’obtention du diplôme de :
MAGISTER EN ELECTROTECHNIQUE
Option : Machines Electriques Et Commande Des Systèmes
Présenté par
Noureddine BEN SEDIRA
(Ingénieur en Electrotechnique de l’Université de Batna)
Thème
Devant le jury composé de :
Fatima-Zohra KAKID Prof Université de Batna Président
Mohammed-Salah AGGOUNE M.C Université de Batna Rapporteur
Abdelhamid BENAKCHA M.C Université de Biskra Examinateur
Ilhem HOUARA M.C Université de Batna Examinateur
Soufiane TAIBI Prof Université de Batna Examinateur
________ Année universitaire 2012-1013 ________
CONTRIBUTION À L’ÉTUDE DU COUPLAGE
ELECTROMAGNETIQUE-THERMIQUE DANS UNE CHARGE À
SYMETRIE AXIALE (Étude + Simulation)
REMERCIEMENTREMERCIEMENTREMERCIEMENTREMERCIEMENT
Je tiens tout d’abord à remercier « Dieu » le tout puissant.
Je remercie vivement mon encadreur: Dr. Mohammed-Salah AGGOUNE qui a
un rôle important dans le déroulement de cette étude. Pour son aide, ainsi que pour
la confiance qu’il m’a prodiguée durant la réalisation de ce travail.
J'aimerais ensuite remercier Prof . Fatima-Zohra KAKID qui a contribué à ce
travail par ses multiples conseils et qui a accepté de présider le jury.
Mes plus vifs remerciements s’adressent également aux membres de jury qui
m’ont honoré en acceptant d’évaluer ce travail :
1- Dr . Abdelhamid BENAKCHA
2- Dr . Ilhem HOUARA
3- Prof . Soufiane TAIBI
Que tous les enseignants qui ont contribué à ma formation reçoivent ma
gratitude et en particulier ceux du département d’électrotechnique de l’université de
Batna.
J'aimerais à présent remercier mes proches et en premier lieu mes parents de
m'avoir soutenu et d'avoir cru en moi. Je remercie aussi mes frères, mes sœurs.
Sans oublier d’exprimer mes remerciements à tous mes amis et à tous ceux qui
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
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Les équations aux dérivées partielles qui décrivent les phénomènes électromagnétiques et
thermiques des systèmes présentés précédemment sont données par les expressions suivantes :
- Problème magnétique:
eJz
Ar
r
v
zr
Ar
r
v
rt
A ρρρρ=
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂ ∗∗∗
σ (III.49)
Avec :
( )tzrAA ,,ρρ
=
- Problème thermique:
t
TCQ
r
Tkr
rrz
Tk
z p ∂∂=+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂ ρ1 (III.50)
Avec :
( )tzrTT ,,=
r
Charge
Inducteur
z
θ
FigureIII-4- Système à symétrie de révolution
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 56 -
III-3-Méthodes de résolution des équations aux dérivées partielles
Les principales méthodes de résolution des EDP dans les milieux non linéaires les plus
généralement utilisées sont la méthode des différences finies (MDF), la méthode des éléments finis
(MEF), la méthode des volumes finis (MVF), la méthode analytique (MA) et la méthode intégrale au
frontière (MI) dans les régions linéaires (inducteur,…).
La détermination de la solution de l’équation thermique qui décrit le champ de température
dans un milieu non linéaire (pièce à chauffer) nécessite l’emploi de l’une de ces méthodes.
C’est la MEF qui est la plus généralement utilisée car elle s’adapte bien à la représentation des
géométries complexes et au traitement du comportement non linéaire des matériaux.
L’utilisation des méthodes numériques de discrétisation consiste à ramener la résolution du
système d’équations différentielles dans le domaine d’étude, compte tenu des conditions aux limites, à
celle d’un système d’équations algébriques dont les solutions conduit à la détermination des champs
électromagnétiques et de température [16, 17,18].
III-3-1- Méthode des différences finies :
La méthode des différences finies (MDF), est basée sur la discrétisation du domaine d’étude et
sur la transformation de l’opérateur différentiel en un opérateur aux différences, en utilisant un
développement en série de Taylor. Ainsi, l’équation différentielle est transformée en équation
algébrique en chacun des nœuds.
L’écriture de cette transformation pour tous les nœuds du maillage conduit à un système
algébrique dont la solution permet d’obtenir la distribution de l’inconnu dans le domaine d’étude.
Cette méthode donne une formulation directe et relativement simple à mettre en œuvre, elle
s’adapte mal aux objets de géométrie complexe à cause de la rigidité du maillage.
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 57 -
D’autre part, la prise en compte des conditions de symétrie, de passage d’un milieu physique à
un autre, et des non linéarités (saturation…), nécessite un traitement spécifique, aussi, cette méthode
ne permet pas de percevoir la signification physique des différents termes. Cette difficulté peut être
surmontée par l’utilisation de la méthode des volumes finis [16, 17,18].
III-3-2- Méthode des volumes finis :
La méthode des volumes finis se déduit de la méthode des différences finies pour le fait que le
domaine d’étude ou de calcul est subdivisé en nombre d’éléments finis. Chaque élément contient
quatre nœuds.
L’équation différentielle est projetée sur une fonction de projection bien déterminée et ensuite
intégrée dans chacun des volumes élémentaires. Pour calculer l’intégrale dans le volume élémentaire,
la fonction inconnue est représentée à l’aide d’une fonction d’approximation (linéaire, parabolique,
puissance, exponentielle,…etc.) entre deux nœuds consécutifs. Ensuite, la forme intégrale est
discrétisée dans le domaine d’étude.
L’équation discrétisée de cette façon exprime le principe de conservation pour l’inconnu dans
l’élément de volume et la solution obtenue est constituée uniquement par les valeurs nodales.
Cette méthode est utilisée, en particulier en mécanique des fluides (l’équation d’écoulement.),
où elle est apparue depuis une trentaine d’années; sa procédure donne une solution plus précise que
celle fournie par la méthode des différences finies [16, 17,18].
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 58 -
III-3-3- Méthode des éléments finis :
La méthode des éléments finis a pris un essor considérable avec le développement des moyens
informatiques des années 60. Elle est devenue, par sa souplesse d'emploi et sa très grande
généralité [24,25], la méthode la plus fréquemment utilisée.
1- Principe [16, 17,18]:
La méthode des éléments finis consiste à ramener la résolution de l’équation aux dérivées
partielles (compte tenu des conditions aux limites) au calcul de la fonction inconnue en un ensemble de
points considérés dans le domaine d’étude.
La méthode des éléments finis est basée sur une subdivision du domaine d’étude en parties
élémentaires adjacentes eΩ appelées éléments finis, comme le montre la figure ci-dessous, et à
approximer l’inconnue sur chaque élément par les fonctions d’interpolation simples en fonction des
valeurs de l’inconnue en chacun des sommets de cet élément.
Ces dernières sont généralement des polynômes de Lagrange de degré un ou deux.
2- Discrétisation du domaine (maillage):
Le domaine de résolution est discrétisé en sous domaine. Ces éléments dans l'analyse en
éléments finis sont les briques élémentaires dont le maillage va représenter le système géométrique à
simuler. Les éléments sont des représentations géométriques composant plusieurs noeuds, la figure
III-6- représente des exemples classiques à 1D, 2D, et 3D qu'on rencontre généralement dans le
maillage éléments finis [24,25].
FigureIII-5-Elément de calcul
1A
2A
3A4A
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 59 -
3- L'approximation nodale:
Dans chacun des éléments, l'inconnue est généralement approchée par une interpolation
polynomiale en fonction des variables nodales de l'inconnue en chacun des noeuds de l’élément.
Chaque élément est repéré par les coordonnées de ses sommets [24,25].
4- La transformation vers une équation matricielle:
La transformation en fonction intégrale suivie de discrétisation nous conduit à trouver un
ensemble de valeurs. La manière d'obtenir un système d'équations dépend de la méthode de retenue
pour se ramener à une intégrale [24,25].
5- Résolution du système matricielle
Suite à la transformation intégrale et la discrétisation, on obtient un système matriciel. La
résolution du système d'équations est la dernière étape dans la méthode des éléments finis.
Si le problème est linéaire, autrement dit si la matrice ne dépend pas de la solution, les
méthodes de résolution de système peuvent être classées en deux catégories:
- Les méthodes directes (GAUSS,CHOLESKY).
- Les méthodes itératives (JACOBI).
Si le problème est non linéaire, on doit mettre en place un processus interactif qui recalcule la
matrice pour chaque nouvelle valeur de la solution (NEWTON-RAPHSON) [24,25].
Elément à une dimension Elément rectangulaire Elément triangulaire deux dimensions deux dimensions Elément tétraédrique Prisme rectangulaire trois dimensions trois dimensions
FigureIII-6-Exemples d'éléments d'un maillage éléments finis
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
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III-3-4-Analyse du couplage magnéto-thermique par les éléments finis
Un dispositif de chauffage par induction peut être schématiquement représenté par un ensemble
de trois principales régions (inducteur – Charge - Espace environnant).
L’étude d’un tel système nécessite l’utilisation d’un modèle de représentation ou modélisation
(analytique, numérique); cette dernière constitue l’ensemble de base pour la conception et
l’optimisation du dispositif avant sa réalisation ou son amélioration après la simulation par le calcul de
la distribution des champs magnétique et thermique.
Pour ramener la résolution de l’équation aux dérivées partielles (compte tenu des conditions
aux limites) au calcul de la fonction inconnue en un ensemble de points considérés dans le domaine
d’étude, on utilise l’une des deux approches suivantes :
- La méthode variationnelle.
- La méthode des résidus pondérés ou méthode projective.
L’inconnue devra vérifie globalement les conditions de continuité à l’interface et au passage
d’un milieu physique à un autre [11,17].
L’inconnue I est exprimée par :
( ) ( )∑= Nn
j jj IzyxzyxI .,,,, α (III.51)
Nn : Le nombre de noeuds du domaine subdivisé.
iα : Fonctions polynomiales d’interpolation ( Nni ,...1= )
jI : Valeur de l’inconnue au nœud j
Si ( )jjj zyx ,, sont les coordonnées du nœud sur lequel l’inconnue I prend la valeur jI , les
fonctions iα vérifient les relations :
2Γ
1Γ
L’espace environnant 0Ω
0Γ
L’inducteur
2Ω La charge 1Ω
FigureIII-6-Régions constitutives d’un dispositif de chauffage par induction
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 61 -
=0
1jα
si
si
ji
ji
≠=
(III.52)
[08,11,20]
On dispose alors d’un système d’équations aux dérivées partielles de la forme :
∫∫∫ =Ω
∂∂
∂∂
0,...,...,, dt
I
x
IIFWi (III.53)
Avec :
0,...,...,, =
∂∂
∂∂
t
I
x
IIF : est l’équation à résoudre
Ω : Domaine d’étude.
iW : Fonction de projection pouvant être scalaire ou vectorielle [11,17].
Dans le cas particulier òu les fonctions de pondération iW sont identiques aux fonctions
d’interpolation de l’inconnue jα , cette méthode est appelée méthode de Galerkine [11]. C’est cette
méthode qui sera employée pour le traitement des équations étudiées.
- Formulation du modèle magnétique
( ) eJAtovrtort
A ρρρρρ
=+∂
∂ ∗∗
σ (III.54)
Par l’application de la méthode de Galerkine on obtient :
( )∫∫∫ ∫∫∫Ω Ω
∗∗ Ω=Ω
∂∂+ dJWd
t
AAtovrtorW e
ii
ρρρρρρρ.. σ (III.55)
Si en utilisant l’identité vectorielle :
( ) VtorUUtorVVUdivρρρρρρρρ
.. −=× (III.56)
L’équation (III.55) devient:
( ) ( )( )∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫Ω Ω Ω
∗∗
∗ Ω=Ω×−Ω
∂∂+ dJWdAtovrWdivd
t
AWAtovrWtor e
iii ....ρρρρρρρϖρρρ σ (III.57)
D’après le théorème de la divergence, on peut écrire :
( ) ( )( )∫∫∫ ∫ ∫∫∫Ω Γ Ω
∗∗
∗ Ω=Γ×−Ω
∂∂+ dJWdnAtovrWd
t
AWAtovrWtor exiiii
ϖρρρρρρρρρρρ.... σ (III.58)
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 62 -
On peut exprimer l’inconnue ∗Aρ
par :
∑=
∗∗ =Nn
j
jj AA1
.ρρ
α (III.59)
En remplaçant Aρ
par son expression, l’équation conduit à un système matriciel de la forme :
[ ][ ] [ ]FAM =.
La résolution de ce système permet la détermination du potentiel vecteur Aρ
et des grandeurs
physiques qui en dépendent (JBρρ
, ).
- Formulation du modèle thermique
( ) QdTakgrdivt
TCp =−+
∂∂ ρρ (III.60)
On applique la méthode projective de Galerkine sur l’équation du modèle thermique on obtient:
( )∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫Ω Ω Ω=Ω−Ω−+Ω
∂∂
0QdddTakgrdivdt
TC iipi ααρα ρ
(III.61)
D’autre part, le terme :
( )∫∫∫Ω Ω− ddTakgrdivi
ρα peut être intégré par partie et conduit à deux termes :
( )∫∫∫Ω ΩddTagrdakgr i
ρρ.α (III.62)
Et
( )∫∫∫Ω Ω− ddTakgrdiv i
ρα (III.63)
Ce dernier terme, par le théorème d’Ostrogradsky, conduit au terme :
∫∫
∂∂−
S i dSn
Tkα (III.64)
Qui fait intervenir l’expression de la quantité de la chaleur échangée avec l’extérieur au travers
de la limite S du domaine d’étude. On aura donc:
( )∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ Ω ΩΩ=Ω−
∂∂−Ω+Ω
∂∂
0. QddSn
TkddTagrdakgrd
t
TC iS iiPi αααρα ρρ
(III.65)
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 63 -
Dans le cas d’échanges convectifs et radiatifs :
( ) ( )dSTTdSTThdSn
Tk
S S Sabiaii∫∫ ∫∫ ∫∫ −+−=
∂∂− 44εσααα (III.66)
En remplaçant l’expression (III.66) dans (III.65), nous obtenons :
( ) ( ) ( )∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫Ω ΩΩ=Ω−−+−+Ω+Ω
∂∂
0. 44 QddSTTdSTThddTagrdakgrdt
TC iS S abiaiipi αεσαααρα ρρ
(III.67)
On obtient un système d’équations différentielles qui dépend du temps.
La discrétisation de t
T
∂∂
peut être traitée par une méthode de différences finies :
( )t
TT
n
T nn
n ∆−
=
∂∂ −1 (III.68)
Dans laquelle nest l’indice du pas de temps ou l’on calcule l’inconnueT .
Posons:
∑=
=Nn
jjjTT
1
α (III.69)
En remplaçant T par son expression, on obtient un système de la forme :
[ ][ ] [ ]FTM ′=′ . (III.70)
En remplaçant le terme
∂∂
t
T par la valeur approchée donnée dans l’équation (III.68), on
obtient alors un système d’équations algébriques non linéaire à résoudre.
La forte non linéarité, due au terme en 4T et à la dépendance de toute les propriétés en fonction
de la température, nécessite une méthode numérique qui converge rapidement, la méthode de Newton-
Raphson sera appropriée dans ce cas (voir Annexe -03-).
Le principe de cette méthode consiste à développer en série la fonction vectorielle dont on
cherche la solution.
L’équation (III.67) peut être écrite sous forme :
( ) 0=τF (III.70)
Où τ est le vecteur constitué par l’ensemble des températures aux nœuds du découpage en
élément finis.
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 64 -
Si 0τ est la solution cherchée, on peut donc écrire :
( ) ( ) ( )...0
00 +∆
∂∂
+= ττττT
FFF (III.71)
Soit kτ un estimé proche de la solution, en négligeant les termes de degré supérieur à deux et
en limitant ce développement en série aux premiers termes, on obtient l’algorithme vectoriel suivant :
kkk τττ ∆+=+1 (III.72)
Avec:
( ) ( )kkk F
T
F τττ−=∆
∂∂
(III.73)
( )
∂∂
T
F kτ : La matrice Jacobienne.
k : Le nombre d’itérations.
-Terme de couplage :
Le terme de couplage des deux phénomènes physiques, représentant comme la densité de
puissance moyenne dissipée sur une période, s’écrit comme suit :
( ) ( ) AATTQ .2
1 2ϖσ= (III.70)
Il est claire que le terme source thermique dépend de façon indirecte de la température par le
biais de la conductivité électrique.
Dans le couplage magnéto-thermique, ce terme est désigné par la densité de puissance ( )TQ
qui représente un apport d’énergie en thermique du aux courants induits.
Les sources de chaleurs peuvent avoir été calculées au préalable (du problème magnétique). Ces
valeurs sont calculées en chaque noeud du découpage et sont approchées par une formule
d’interpolation polynomiale de la forme:
∑ == Nn
j jj qQ1
.α (III.71)
Grâce à cette possibilité, on peut tenir compte du couplage magnétothermique qui caractérisé
les problèmes de chauffage par induction.
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 65 -
III-4-Les modes de couplage existants :
Dans un chauffage par induction la bobine génère un champ magnétique dans l’espace. Ce
champ agit sur la charge. Il se crée dans le métal un courant électrique induit dont l’effet tend à
s’opposer au champ magnétique qui lui a donné naissance. Ce courant induit, par la loi d’Ohm, crée
une dissipation thermique. Celle-ci est responsable de l’élévation de température de la pièce.
Les propriétés physiques des matériaux dépendent de l’état thermique de celui-ci. Par
conséquent, cette variation de température entraîne une modification du champ magnétique. Le
processus de chauffage par induction se caractérise donc par une interaction entre le champ
magnétique et la température [22].
Les trois principaux modes de résolution des problèmes couplés sont :
1- couplage alterné (MCA) qui est réalisé par le transfert des données d’un problème à l’autre.
2- couplage direct (MCD) qui est consiste à résoudre les deux problèmes simultanément.
3- couplage paramétré (MCP) qui est consiste à paramétrer le terme de couplage Q par la
méthode des élément finis pour une gamme de température et pour un courant d’excitation donné, pour
servir de source au problème thermique [16,17]
Champ magnétique généré par l’inducteur
Propriétés physiques modifiées
Corps à chauffer par effet Joule par l’inducteur
Action des propriétés physiques sur le champ magnétique initial
Action de la température sur le corps chauffé
Action du champ magnétique sur les propriétés physiques
du corps
Figure III- 7- Schéma d’interaction
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 66 -
III-4-1- Mode de couplage alterné:
Dans les dispositifs de chauffage par induction, la modélisation des phénomènes magnéto-
thermiques par le mode de couplage alterné (MCA) permet de résoudre les équations
électromagnétiques et thermiques séparément et couplées par le terme sourceQ . Les propriétés σ et v
qui varient en fonction de la température sont prises en considération dans la détermination du
champAρ
. Le couplage se fait alors par le transfert des données de l’un des deux problèmes vers
l’autre. Donc, on a besoin d’une procédure itérative pour calculer les densités de puissance et la
température [13,16,17].
Les variations lentes des grandeurs thermiques par rapport aux variations des grandeurs
électromagnétiques, permettent alors de considérer, à chaque instant du calcul thermique, un régime
permanent du champ électromagnétique. Ainsi, les sources d’échauffement peuvent être représentées
par la moyenne des puissances Joule déterminée sur une période de variation des phénomènes
électromagnétiques.
L’avantage de cette méthode c’est qu’elle nous permet d’utiliser plusieurs maillages adaptés à
chaque domaine physique. Dans l’exemple de l’étude magnéto-thermique, le maillage thermique doit
être assez affiné pour représenter la variation importante du gradient de température, par contre le
maillage magnétique ne nécessite pas d’affinage et donc, peu d’éléments sont nécessaires lors de la
résolution du problème magnétique. Cet avantage nous permet de réduire la taille des systèmes
d’équations à résoudre.
L’inconvénient de cette méthode est lié au transfert des informations de couplage qui engendre
des erreurs d’interpolation. Donc, au voisinage de la température de Curie, où la variation des
propriétés physiques est rapide, le pas de temps de discrétisation doit être relativement petit. D’un
autre coté, le MCA ne tient pas compte du couplage réel qui existe entre les deux phénomènes
physiques [17].
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 67 -
III-4-2- Mode de couplage direct:
Dans ce mode de couplage, l’ensemble des équations régissant le problème magnéto-thermique
est résolu dans un même et unique système d’équations, où les propriétés physiques et les inconnus
sont calculés au même instant (à chaque itération et à chaque pas du temps). Donc, la précision de la
solution est améliorée dans ce cas [13,17].
Le MCD peut être avantageusement utilisé dans le cas de problème fortement couplés,
cependant, le nombre d’itérations est plus important que dans le cas d’utilisation du MCA.
D’autre part, la matrice de couplage électromagnétique et thermique du système algébrique
obtenue par la formulation éléments finis présente une taille relativement importante et n’est pas bien
conditionnée. Son inversion nécessite l’utilisation d’une méthode directe comme la méthode de Gauss,
alors que cette dernière est coûteuse en temps de calcul. Pour cette raison, que la résolution du système
Résolution de l’équation électromagnétique
Calcule de la densité de puissance
Résolution de l’équation thermique
Réactualisation des propriétés
( )Tµ et ( )Tσ
t final
Fin
Non
Oui
Figure III-7-Mode de couplage alterné MCA [17]
Initialisation
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 68 -
par MCD exige un temps de calcul très long et une occupation mémoire importante; ces facteurs se
présentent comme inconvénients majeurs de cette méthode.
Cette méthode est basée sur un maillage unique, représentant l’ensemble du problème, réalisé
pour que toutes les particularités physiques, comme celles de fort gradient, soient considérées.
L’utilisation d’un maillage unique global conduit à un système de taille importante [17].
III-4-3- Mode de couplage paramétré :
L’objectif de ce mode de couplage est de considérer, en terme source de l’équation thermique
la fonction ( )eJTq , décrivant les variations de la densité de puissance dissipée par effet Joule en
fonction de la température et la densité du courant d’excitation.
Ce mode de couplage permet d’éviter l’alternance des résolutions des équations couplées
(électromagnétique-thermique) et de supprimer le transfert des données d’un problème à l’autre.
Figure III- 8-Mode de couplage direct MCD [17]
Evaluation des propriétés physiques non-linéaires
Calcule de Aρ
et T par la méthode des éléments finis
t final
Fin
Non
Oui
Initialisation
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 69 -
Ce mode de couplage est basé sur la détermination d’une densité moyenne de puissance (mdp )
localisée dans une épaisseur de peau de la pièce. Cette fonction est calculée à partir de la résolution de
l’équation électromagnétique par la méthode des éléments finis pour une gamme de température
donnée et correspondant à une alimentation électrique fixée (courant ou tension). Ensuite, la fonction
mdp servira de terme source pour l’équation thermique.
Le couplage paramétré permet d’utiliser des maillages différents, du domaine représentant la
charge, pour les problèmes électromagnétique et thermique.
On fixe une valeur de densité de courant d’excitation au préalable ee JJ 0= , la résolution de
l’équation électromagnétique, est effectuée pour une température donnéeiT . De ce premier résultat est
alors déduite la puissance totale évaluée sur toute la pièce à chauffer à partir de laquelle est estimée
une densité volumique de puissance moyenne iQ , qui est utilisé comme terme source dans le problème
thermique. On applique la même démarche pour différentes valeurs de la températureiT .
Cette méthode de couplage permet ainsi de découper entièrement les deux phénomènes
physiques et de ne s’intéresser plus qu’au problème thermique après l’exploitation du problème
magnétodynamique en terme de densité de puissance qui est une fonction de la température. Ainsi, une
modélisation des propriétés thermiques (capacité calorifique, conductivité thermique,…) ne concerne
que le problème et ne nécessite pas un nouveau calcul électromagnétique [16,17].
Figure III- 9-Mode de couplage paramétré MCP [17]
Résolution de l’équation électromagnétique pour une gamme de température
Calcul de la fonction ( mdp )
Résolution de l’équation thermique
Fin
Initialisation
CHAPITRE III: Modèles numériques et modes de couplage magnéto-thermique
- 70 -
Conclusion
Dans ce chapitre nous avons présenté les modèles mathématiques régissant les phénomènes
physiques concernant le fonctionnement du procédé de chauffage par induction et en particulier le cas
des structures axisymétriques.
Les principales méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles sont
ensuite passées en revue et nous avons mis l’accent sur le guide méthodologique pour la formulation
magnétothermique par la méthode des éléments finis.
Finalement nous avons cité le principe de chaque mode de couplage parmi les trois modes
existants (couplage alterné, le couplage direct et le couplage paramétré) avec leur algorithme ainsi que
les avantages et les inconvénients de chaque type de couplage.
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
- 71 -
Introduction
Le chauffage par induction est une méthode couramment employée pour fuser les métaux
grâce à ses nombreux avantages. Ce chapitre sera consacré à la simulation d’un système de chauffage
par induction utilisé pour fuser l’or où on utilise le logiciel "Comsol Multiphysics" comme outil de
simulation.
La première partie de la simulation sera consacrée à l’influence des paramètres physiques du
modèle tels que le couplage inducteur-charge et l’effet de l’épaisseur du creuset puis la position
verticale de l’inducteur. En suite on vérifie l’homogénéité de la fusion, puis on voit l’influence de la
densité de courant d’alimentation et sa fréquence sur la chaleur produite au sein de la charge.
Finalement ce chapitre se termine par une fiche d'observations les plus importantes et une conclusion.
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
- 72 -
IV-1-Présentation de COMSOL Multiphysics
IV-1-1- Méthodes numériques et l’outil informatique :
Le développement des méthodes numériques (différences finies, volumes finis, éléments finis,
intégrales de frontière, etc.) est heureusement accompagné par les avancées du matériel informatique.
Des programmes qui nécessitaient autrefois des calculateurs complexes et onéreux tournent à présent
sur les PC d’un coût modeste. Cela a contribué à faciliter la mise au point de logiciels [26].
Nous avons présenté dans la section précédente les différentes formulations des équations de
Maxwell et élaborons dans ce chapitre la présentation du logiciel utilisé dans ce travail.
IV-1-2- Logiciels utilisant les éléments finis [26]:
Parmi les Logiciels utilisant éléments finis on peut citer :
1- ABAQUS
2- ANSYS
3- CAST3M
4- ASTER
5- COMSOL MULTIPHYSICS
6- CosmosWorks
7- Dytran
8- EuroPlexus
9- Flux2D/ 3D.
Tous ces logiciels sont performants et adaptables aux différents problèmes rencontrés en physique.
Pour le chauffage par induction, on a choisi "Comsol Multiphysics" à cause de sa souplesse et sa
rapidité d’exécution.
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
- 73 -
IV-1-3- COMSOL Multiphysics [27]:
COMSOL Multiphysics, anciennement appelé FEMLab, est un logiciel de simulation qui
permet de résoudre des systèmes d'équations différentielles partielles en utilisant la méthode des
éléments finis en une, deux et trois dimensions. Il peut relever les défis du domaine de
l'électromagnétisme, l'élasticité dynamique des fluides et la dynamique des gaz. Femlab permet
également de résoudre le problème comme une formulation mathématique (sous la forme d'équations)
et physiques (le choix des modèles physiques, tels que les processus de diffusion). Dans le mode dit
physique, on peut aussi utiliser les équations pré-définies pour la majorité des phénomènes qui ont lieu
dans les sciences et la technologie, tels que le transfert de chaleur et d'électricité, la théorie de
l'élasticité, la propagation des ondes de diffusion, l'écoulement du fluide…
Dans notre travail nous utilisons La version 3.5. Elle se distingue, entre autres, par le support
généralisé pour les fichiers de géométrie au format Parasolid, une nouvelle interface bidirectionnelle et
des moteurs de calcul plus rapides par rapport aux versions précédentes. L'exécution des modèles
d'écoulement de grande taille dans Multiphysics 3.5 est par exemple trois fois plus rapide que dans la
version 3.4 et les simulations temporelles sont jusqu'à quatre fois plus rapides avec le nouveau solveur
temporel. On trouve également désormais un mailleur plus avancé. De front qui assure la création de
maillages 2D et 3D de qualité….
IV 2- -Présentation du problème
IV 2- -1- Définition du système :
On propose un système de chauffage par induction pour fuser l’or (bon conducteur), qui
s’effectue en chauffant ce dernier dans un creuset fabriqué à partir de l’alumine (matériau réfractaire
non conducteur : voir Annexes -01-). La masse de l’or placée dans le creuset est fondue jusqu’à
atteindre sa forme liquide (Température de fusion KT fο1337= ) [28 ,29]; l’inducteur utilisé est
formé d’une seule spire de section rectangulaire.
L’application proposée consiste à utiliser un creuset contenant une quantité d’or de diamètre
intérieur 0.1m et de hauteur 0.1m et un inducteur de hauteur 0.05m et d’épaisseur 0.01m; ces
dimensions restent constantes durant le déroulement du travail (voir la figure IV-01-).
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
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0. 1m
IV -2- 2- Hypothèses et données d’étude :
1- Surfaces d’inducteur adiabatiques : Afin de limiter les pertes électriques dans l’inducteur,
on considère qu’il possède un système de refroidissement assure sa stabilité thermique (le flux est nul
en tout point des ses surfaces).
2- Vecteur de polarisation du creuset nul : Nous avons noté déjà que la forme générale de la
loi de polarisation : PEDϖϖϖ
+= ε , où on néglige le vecteur de polarisation électrique de
l’alumine: 0ρϖ
=P (IV.1)
3- On néglige également le phénomène hydrodynamique qui apparaît dans le domaine liquide
du matériau élaboré ( les vitesses des particules formant la charge sont considérées nulles )
4- Propriétés électromagnétiques et thermiques :
- la résistivité électrique de l’or répond à la loi de variation de la température qui suit [28,29]:
( ) ( )[ ]aTTT −+= αρρ 10 (IV.2)
Avec :
- La résistivité de l’or à la température de l’ambiante aT : m.10.14.22 90 Ω= −ρ
- Coefficient de température de l’or : 003.0=α
- Toutes les autres propriétés électromagnétiques et thermiques sont constantes et prennent
leurs valeurs à la température ambiante kTaο293= (voir Annexe 01).
Figue IV-01- Présentation du système
0.1m
0.05m
0.01m
d
e
SJ
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5- Coefficients d’échanges convectif et radiatifs :
- Convectif : kmWh ο//10 2= [30,31].
- Radiatif :
Or-Air : 4281 //1067.502.0 kmWb
ο−××=σε soit une émissivité 02.01 =ε
Alumine-Air : 4282 //1067.58.0 kmWb
ο−××=σε soit une émissivité 8.02 =ε [32, 33,34].
Nous avons noté précédemment que le terme de couplage entre les deux phénomènes
électromagnétique et thermique s’écrit comme suite :
( ) ( ) AATTQ .2
1 2ϖσ= (IV.3)
IV -2- 3- Domaine d’étude et conditions aux limites :
1- domaine d’étude : La prise en compte du plan de symétrie représenté sur la figure IV-02- et
de l’axe de révolution permet de réduire le domaine d’étude sur la moitié du système. L’espace
environnant est représenté par une boite d’air (voir les figures IV-03 et IV-04).
r
z
Figue IV-03-Domaine d’étude en 2D
Or Alumine
Figue IV-02-Présentation du plan de symétrie
Air
Or
Cuivre
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
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2- Conditions aux limites :
Rappelons que pour représenter l’état électromagnétique en un point, en tenant compte des
hypothèses simplificatrices le modèle se réduit alors à :
( ) eJAtovrtort
A ρρρρρ
=+∂
∂ ∗∗
σ (IV.4)
La figure (IV-05-) représente les conditions de passage et aux limites du système
électromagnétique se réduit en 2D (voir annexe -2- ) [35, 36,37]
Figue IV-04 -Domaine d’étude en 3D
y
x
z
r
z
Figure IV-05- Conditions aux limites du système électromagnétique
( ) 0
Continuité
21 =−× HHnρρρ
0
magnétiqueIsolation ρρρ =× An
( ) sJHHn =−× 21
surface deCourant ρρρ
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
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En thermique, le modèle mathématique est régi par la loi de Fourier donnée précédemment. Le
champ de la température T doit vérifier le modèle classique de diffusion de la chaleur suivant
l’équation : ( )t
TCQdTakgrdiv p ∂
∂=+ ρρ (IV.5)
La figure (IV-06-) représente les conditions de passage et aux limites du système thermique.
En tenant compte les trois modes de transfert de chaleur (conduction convection et rayonnement) (voir
annexe -2- ).
IV 2- -4- Construction de système sur COMSOL Multiphysics [37, 38]
1-Choix de la dimension: 3D,2D,1D (nous faisons notre étude dans un système de coordonnées3D)
2- Choix des modules physique : (dans notre cas : électromagnétique et Transfert de chaleur).
3- Choix du type d’étude: Stationnaire, Temporelle, Fréquentielle (nous faisons notre travail sur le
régime Temporelle).
4- Construction de la géométrie et choix des matériaux : (nous avons quatre sous domaine) :
a- L’air ;
b- L’inducteur en cuivre ;
c- Le creuset en alumine ;
d- La charge en or.
5- Paramétrage des modules physiques (propriétés électromagnétiques et thermiques ainsi que les
conditions aux limites) (voir Annexes -1- et -2-)
r
z
Figure IV-06 - Conditions aux limites du système thermique
0
eTempératur
TT =
( ) 0.
thermiqueIsolation
=∇−− Tknρρ
)()().().(
chaleur de Source44
1222111 aba TTTThTknTkn −−−−=∇−−∇−− σερρρρ
)()().().(
chaleur de Source44
2222111 aba TTTThTknTkn −−−−=∇−−∇−− σερρρρ
( ) 0. =∇−− Tknρρ
( ) 0).(.
Continuité
111111 =∇−−∇−− TknTknρρρρ
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
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6- Choix du maillage : une des spécificités de la modélisation à éléments finis est que plus le
nombre d'éléments croit plus les résultats obtenus s'approchent d'une solution réel. Cependant le temps
de calcul nécessaire augmente considérablement avec le nombre d'éléments; en ce qui concerne notre
travail ces éléments sont choisis comme des tétraédriques. Le Comsol Multiphysics propose neuf types
de maillage de l’extrêmement fin à l’extrêmement grossier; dans ce travail il suffit d’utiliser le
maillage normal (voir la figure IV-07-) car il possède le nombre d'éléments minimum mais permettant
une précision suffisante. Ce maillage est le moins raffiné, mais encore suffisant pour obtenir un
résultat acceptable.
7- Choix du solveur: le logiciel Comsol propose un ensemble de solveurs pouvant simuler les
aspects électromagnétiques et thermiques et leur couplage; dans notre travail la résolution numérique
des systèmes matriciels résultants des calculs électromagnétiques et thermiques est effectuée par un
solveur direct : SPOOLES ( SParse Object Oriented Linear Equations Solver ).
8- Résultat de la simulation:
Figure IV-07 – Présentation du maillage
Figure IV-08 - Distribution de la température dans le domaine d’étude
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
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IV-3-Représentation et exploitation des résultats
On a besoin d’abord de voir l’influence du couplage inducteur-charge et d’épaisseur du creuset
puis la position verticale d’inducteur sur la température transmise vers la charge, pour voir ça on prend
le point [P03 (0 0 0.05)] comme un point de référence choisi pour faire la comparaison entre les
différents modèles étudiés, Cela nous amène à choisir le modèle optimal parmi ceux étudiés. Plus tard
être notre objectif de se concentrer uniquement sur ce modèle choisi.
V-3- 1- Influence du couplage sur la température transmise:
Le couplage est la distance entre le diamètre intérieur d’inducteur et la charge (l’or), pour
pouvoir d’étudier son influence sur la température transmise, il est donc possible de faire varier les
diamètres d’inducteur (voir la figure IV-09-), on fait la simulation sur trois modèles, chaque fois on
change la distance entre l’inducteur et le creuset.
On visualise l’évolution de la température transmise dans le point P03 pour chaque modèle on
trouve les résultats suivants :
Figure IV-10-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [d01=0.015m et e=0.01m]
d01=0.015m
- Densité de courant de surface: mAJs /107=
- Fréquence d’alimentation : f Hz310=
Figure IV-09- Schéma explicatif de la variation du couplage en modifiant les diamètres d’inducteur On prend l’épaisseur du creuset e=0.01m.
d03
d02
d01
0.05m P03 (0 0 0.05)
0.05m
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
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Figure IV-11-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [d01=0.01m et e=0.01m]
Figure IV-12-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [d01=0.005m et e=0.01m]
Référence Modèle d01 Modèle d02 Modèle d03
Couplage (m) 0.015 0.01 0.005
Temps de fusion (s) 70 46 27
Tableau IV-1- Le temps de fusion dans le point P03 pour les modèles [d01-d02-d03].
Grâce aux résultats présentés dans le tableau ci-dessus, c’est évidemment d'adopter le modèle
[d03], parce qu'il est le plus rapide de fuser l’or devant les deux autre [d01- d02]. Cette remarque montre
clairement que pour un couplage de valeur plus élevée (lâche: distance de séparation élevée) nous
avons une température transmise dans la charge moins élevée. Finalement nous pouvons noter qu’un
couplage plus petit (série) permet une meilleure température transmise vers la charge [39,40].
d01=0.005m
d01=0.01m
- Densité de courant de surface: mAJs /107=
- Fréquence d’alimentation : f Hz310=
- Densité de courant de surface: mAJs /107=
- Fréquence d’alimentation : f Hz310=
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
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IV-3-2- Influence de l’épaisseur du creuset sur la température transmise
Pour étudier l’influence de l’épaisseur du creuset, il est possible de faire deux variations
simultanément de même valeur et de même sens, la première sur son diamètre extérieur et la deuxième
sur la position d’inducteur (voir la figure IV-13-).
La simulation des modèles sélectionnés dans le paragraphe précédent permet de choisir le
couplage d03 comme un couplage optimal, avec lui même on fait la simulation sur trois modèles,
chaque fois on change l’épaisseur du creuset, (voir les figure : IV-14-15-16-).
Référence Modèle e01 Modèle e02 Modèle e03
Epaisseur (m) 0.01 0.009 0.008
Temps de fusion (s) 27 25 21.2
Tableau IV-2- Le temps de fusion dans le point P03 pour les modèles [e01-e02-e03].
Les résultats obtenus et présentés dans le tableau montrent que le modèle [e03] est préférable
aux deux autres [e01-e02], car il a la capacité de la fusion la plus rapide. Cette remarque montre
clairement que pour une épaisseur du creuset de valeur plus élevée nous avons une température
transmise dans la charge moins élevée. Pour cela on peut dire qu’une épaisseur du creuset plus petit
permet une meilleure température transmise vers la charge [39,40].
Figure IV-13- Schéma explicatif de la variation d’épaisseur du creuset
e1 d e2 d e3 d
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Figure IV-14-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [e01=0.01m et d01=0.005m]
Figure IV-15-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [e02=0.009m et d01=0.005m]
Figure IV-16-L’évolution de la température transmise dans le point P03 pour [e03=0.008m etd01=0.005m]
e2=0.009m
e1 =0.01m
e3=0.008m
- Densité de courant de surface: mAJs /107=
- Fréquence d’alimentation : f Hz310=
- Densité de courant de surface: mAJs /107=
- Fréquence d’alimentation : f Hz310=
- Densité de courant de surface: mAJs /107=
- Fréquence d’alimentation : f Hz310=
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale
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IV-3-3-Vérification de l’homogénéité de la fusion
La vérification de l’homogénéité de la fusion entre les différents points constituant la charge est
nécessaire pour vérifier la disponibilité du modèle. Si le degré de l’homogénéité est moins faible le
système est non disponible car l’avancement de fusion dans les points de fusion plus rapide signifie
que le creuset est non protégé contre les claquages thermiques ( KT ο2072⟩ ) [41, 42,43] (voir
annexe-01-) qui on veut de les éviter.
Avec le modèle e03 sélectionné dans la section précédente on fait la simulation sur quatre
points appartiennent à l’axe z ont les coordonnées cités dans le tableau IV-3-, ceci nous permet de
définir le plan de fusion plus rapide et l’autre de fusion plus lente.
Figure IV-18- Comparaison du chauffage en différents points de la charge
Figure IV-17- Schéma explicatif indiquant les coordonnées des points
0.005 m
0.008 m P04
P03
P02
P01
- Densité de courant de surface:
mAJs /107=
- Fréquence d’alimentation
f Hz310=
CHAPITRE IV: Simulation du couplage magnéto-thermique dans une charge à symétrie axiale