PROYEKSIOleh:Dr. RIYADI, M.Si.PROGRAM PASCASARJANAUNIVERSITAS SEBELAS MARET
Misal g, dan g garis-garis sebidang dan berbeda, dan misal S keluarga garis-garis sejajar yang sebidang dengan g, dan g tetapi tidak memuat keduanya.
Jika P sebarang titik pada g, suatu garis dari keluarga garis S yang melalui titik P akan berpotongan dengan g di titik P.
Transformasi dari titik-titik pada g ke dalam titik-titik pada g disebut proyeksi sejajar dari g ke g.
Jika keluarga garis S tegak lurus garis g disebut dengan proyeksi ortogonal dari g ke g.
Definisi
Proyeksi Sejajar
Proyeksi Sejajar
Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut.
Proyeksi Sejajar
Torema
Proyeksi paralel dari g pada garis g memetakkan garis g pada (onto) g sehingga ada korespondensi satu-satu antara g dan g, mengalikan panjang ruas garis dengan faktor yang sama, yaitu k (k = 1 atau k ( 1), dan mengawetkan keantaraan.
Bukti:
Adanya korespondensi satu-satu dari g ke g mudah dibuktikan.
Pada kesempatan kali ini hanya akan dibuktikan bahwa proyeksi paralel mengalikan panjang ruas garis dengan faktor yang sama, yaitu k (k = 1 atau k ( 1) sebagai berikut.
Perhatikan gambar di atas. Buat garis melalui B dan sejajar g, misal memotong
di A, dan buat garis melalui C dan sejajar g, misal memotong
di B.
_1380776605.unknown
_1380776668.unknown
Diperoleh gambar berikut.
Proyeksi Sejajar
Perhatikan bahwa (ABA ( (BCB, akibatnya diperoleh:
Proyeksi Sejajar
(
(
sebab AB = AB dan BC = BC.
Jika
= k, maka AB = k . AB dan BC = k . BC.
_1380777118.unknown
Proyeksi Pusat
Diketahui titik P dan bidang V dengan P ( V. Didefinisikan fungsi proyeksi f dengan aturan
untuk setiap Q sehingga
tidak sejajar dengan V. Selanjutnya f disebut proyeksi Q pada V dan P disebut pusat proyeksi f.
_1336017303.unknown
_1336017304.unknown
Definisi
Proyeksi Pusat
Diberikan garis g sebidang dengan garis g, dan titik O di luar garis g dan g.
Ditinjau untuk kasus g // g, seperti nampak paga gambar di bawah ini.
Selanjutnya P disebut bayangan dari P oleh proyeksi pusat dengan titik pusat O.
Untuk sebarang titik P pada garis g, garis OP berpotongan dengan g di P, pengawanan seperti itu disebut proyeksi pusat dari g pada g dengan pusat O.
Proyeksi Pusat
Torema
Proyeksi pusat dari g pada garis yang sejajar g memetakkan garis g pada (onto) g sehingga ada korespondensi satu-satu antara g dan g, mengalikan panjang ruas garis dengan faktor yang sama, yaitu k (umumnya k ( 1), dan mengawetkan keantaraan.
Bukti:
Diambil sebarang garis g yang sejajar dengan garis g, dan titik O di luar g dan g.
Selanjutnya jika A, B, C sebarang tiga titik pada garis g, maka diperoleh titik-titik A, B, dan C pada g, dan dengan menggunakan segitiga-segitiga yang sebangun diperoleh perbandingan sebagai berikut:
Diambil sebarang titik P pada garis g, kemudian dibuat garis OP yang berpotongan dengan g di P. Pengawanan titik-titik dari garis g ke titik-titik pada g merupakan proyeksi pusat dengan pusat titik O.
Proyeksi Pusat
Jika
= k, maka jelas bahwa k ( 1, kecuali jika O terletak tepat di tengah-tengah antara g dan g.
_1380766040.unknown
Proyeksi Pusat
Torema
Jika A, B, C dan D adalah empat titik yang segaris, maka nilai
disebut perbandingan menyilang, dimana C dan D adalah pembagi ruas garis AB, dan disimbolkan dengan (AB, CD).
_1380786276.unknown
Definisi
Proyeksi pusat dari g pada garis yang berpotongan g memetakkan garis g pada (onto) g sehingga ada korespondensi satu-satu antara g dan g, kecuali pada satu titik pada setiap garis, mengawetkan perbandingan menyilang, tidak mengalikan panjang ruas dengan faktor yang sama dan tidak mengawetkan keantaran.
Proyeksi Pusat
Bukti:
Diambil sebarang titik-titik A, B, dan P pada garis g yang bukan vanishing point, dan misal bayangan hasil proyeksi A, B, dan P pada g secara berturut-turut adalah A, B dan P.
Misalkan:
dan
............................................................... (1)
_1381371905.unknown
_1381371932.unknown
dan diasumsikan A-P-B, yaitu A, B dan P berbeda, dan P terletak diantara A dan B seperti gambar berikut.
Proyeksi Pusat
Proyeksi Pusat
Selanjutnya diperhatikan (AOP, dengan aturan sinus diperoleh:
(
..................................... (2)
Selanjutnya berdasarkan (BOP, dan dengan aturan sinus diperoleh:
(
..................................... (3)
Proyeksi Pusat
Perhatikan bahwa
= 180o (
, sehingga diperoleh:
_1381372743.unknown
_1381372775.unknown
=
=
.......................... (4)
_1381372855.unknown
_1381372912.unknown
_1381372834.unknown
Berdasarkan (3) dan (4) diperoleh:
=
................................... (5)
_1381372665.unknown
_1381559470.unknown
Akibatnya berdasarkan (2) dan (5) diperoleh:
=
:
=
................................................ (6)
Proyeksi Pusat
Dengan cara yang sama, untuk (AOP dan (BOP diperoleh:
=
................................................ (7)
Perhatikan lagi gambar tersebut, berdasarkan gambar tersebut terlihat bahwa:
(AOP = (AOP dan (BOP = (BOP .................................... (8)
Berdasarkan (7) dan (8) diperoleh:
=
:
=
:
=
:
=
(
=
Proyeksi Pusat
Hal ini berakibat:
=
( r ............................................................ (9)
_1381377394.unknown
_1381377462.unknown
Perhatikan bahwa
, sebab andaikan
berakibat
= 1, atau ekuivalen dengan
.
_1381579314.unknown
_1381579356.unknown
_1381579412.unknown
_1381377394.unknown
Karena
berakibat (AOB ( (AOB.
_1381579466.unknown
Hal ini tidak mungkin, sebab garis g tidak sejajar dengan garis g.
Kontradiksi, jadi haruslah
.
_1381579314.unknown
Dengan kata lain, proyeksi pusat dari g pada garis yang berpotongan g tidak mengalikan panjang ruas garis dengan faktor yang sama.
Proyeksi Pusat
Dengan beberapa modifikasi seperlunya, persamaan (9) tersebut di atas juga berlaku untuk titik P yang tidak berada diantara A dan B, misal P di atas V (vanishing point) seperti gambar di bawah ini:
Proyeksi Pusat
Karena P di atas V (vanishing point), maka
bertanda negatif, yaitu:
_1381560798.unknown
= (
................................................ (10)
_1381373142.unknown
_1381373292.unknown
Akibatnya nilai perbandingan
juga bertanda negatif, yaitu:
_1381377017.unknown
= (
................................................. (11)
_1381373568.unknown
_1381373615.unknown
Berdasarkan persamaan (10) dan (11) diperoleh persamaan:
=
:
=
:
=
Proyeksi Pusat
Hal ini berakibat:
=
( r .......................................................... (12)
_1381377394.unknown
_1381377462.unknown
Berdasarkan persamaan (9) dan (12), nampak bahwa nilai
tidak bergantung dari posisi P, baik P terletak di antara A dan B maupun P tidak terletak di antara A dan B.
_1381377394.unknown
Dengan kata lain, nilai
konstan, dan misal:
_1381377394.unknown
= k ............................................................. (13)
_1381377394.unknown
Dengan mensubstitusikan kembali
dan
ke dalam persamaan (9) atau (12) dan menggabungkannya dengan persamaan (13) diperoleh:
_1381371905.unknown
_1381371932.unknown
= k ( r
_1381377462.unknown
(
= k (
................................... (14)
_1381561620.unknown
_1381561657.unknown
Proyeksi Pusat
Selanjutnya diambil sebarang titik-titik A, B, C, dan D pada g yang bukan merupakan vanishing point, seperti gambar berikut:
Proyeksi Pusat
Berdasakan persamaan (14) dan dengan mengambil secara berturut-turut P = C, dan kemudian P = D diperoleh:
= k (
_1381562136.unknown
_1381562168.unknown
dan
= k (
.
_1381562245.unknown
_1381562270.unknown
Akibatnya diperoleh:
:
_1381562136.unknown
_1381562330.unknown
=
:
_1381723844.unknown
_1381723883.unknown
=
:
_1381562168.unknown
_1381562270.unknown
Dengan kata lain proyeksi pusat dari g pada garis yang berpotongan g mengawetkan perbandingan menyilang.
***********************