PROYECTO: MECANISMO DISCO-BIELA- PISTÓN IMPULSADO POR MOTOR ELÉCTRICO MAYO 2014

ITESM

CCM PROYECTO: MECANISMO DISCO-BIELA-PISTÓN IMPULSADO POR MOTOR ELÉCTRICO

MAYO 2014

INTEGRANTES

EDUARDO ANTONIO ANTONIO TREJO A01335670

JUAN ROBERTO LÓPEZ GUTIÉRREZ A01334289

JORGE BRAVO ESTRADA A01335496

1

Í N D I C E

RESUMEN: pág. 2

INTRODUCCIÓN pág. 2

OBJETIVOS pág. 2

OBJETIVO GENERAL

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

CONSTRUCCIÓN DEL MECANISMO págs. 3-4

CAPÍTULO 1: ANÁLISIS CINEMÁTICO pág. 5

CAPÍTULO 2: EQUILIBRIO pág. 5

2.1 SEGUNDA LEY DE NEWTON (SISTEMA EN REPOSO): pág. 5-7

CAPÍTULO 3: SEGUNDA LEY DE NEWTON pág. 8

CAPÍTULO 4: TRABAJO Y ENERGÍA pág. 9

CAPÍTULO 5: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO pág. 10

CONCLUSIONES pág. 11

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA pág. 12

2

RESUMEN

El proyecto consta de varios capítulos designados al análisis de cada una de las partes del

mecanismo desarrollado en maqueta. En específico, se determinó el torque mínimo que debe

ejercerse por el motor eléctrico sobre el mecanismo para romper la inercia y generar el

movimiento, se comprobó por medio de la Segunda Ley de Newton, Trabajo y Energía,

Impulsión e ímpetu que el torque mínimo debe ser de 0.052 Nm. Las aceleraciones se

determinaron mediante el planteamiento de las ecuaciones escalares y vectoriales de la

cinemática.

INTRODUCCIÓN

El uso de máquinas y mecanismos es necesario, y de mucha utilidad para facilitar el trabajo a

los operadores e ingenieros en una industria. La mayoría poseen un motor para transformar

toda la energía eléctrica en energía mecánica mediante los diversos mecanismos que

conforman a ese sistema, entre engranes, bandas, bielas, poleas, entre otros.

El movimiento de un motor genera que todo un sistema este constantemente cambiando debido

a varios factores. El voltaje suministrado altera las revoluciones que desarrollará en un

intervalo, la potencia y el momento par de torsión en caso de tener acoplado un mecanismo.

OBJETIVOS

GENERALES

o Diseñar un mecanismo biela-cilindro-pistón.

ESPECÍFICOS

o Ajustar un motor eléctrico al mecanismo para desarrollar el movimiento.

o Determinar las velocidades y aceleraciones del disco.

o Analizar el disco giratorio por segunda ley de Newton, trabajo y energía, y por principio

de impulso y cantidad de movimiento para determinar la torca mínima necesaria para

mover el mecanismo.

3

C O N S T R U C C I Ó N D E L M E C A N I S M O

Hecho por nosotros, hecho en el Tecnológico de Monterrey.

Este sistema fue desarrollado con restos materiales tales como madera por ser muy flexible al

diseño y corte. Tanto la base, como el disco y la biela que conforman el sistema están hechos de

este material. El pistón fue hecho de cera con el propósito de disminuir la fricción estática con

el riel de madera.

El motor eléctrico está acoplado al disco. Al disco se le ajustó un pivote cilíndrico (un taquete

de madera) el cual soporta la carga axial de la biela y pistón. Cada componente se “pesó” en una

balanza granataria, las dimensiones longitudinales de cada uno se midieron usando el Vernier.

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Ahora bien, el motor fue tomado de un taladro en desuso, al igual que las escobillas y el imán-

rotor. El motor es eléctrico C.D. (corriente directa), se le ajustaron unas escobillas de grafito

para facilitar la conexión y el flujo de corriente, de esta manera, el rotor y el estator crearán un

campo magnético de polos opuestos que hará girar el eje/flecha del motor con el propósito de

proporcionar rotación al sistema.

Este sistema está pensado como el motor de un automóvil, ya que análogamente el disco es

representativo al cigüeñal, la viga o barra de madera es la biela, y el émbolo de cera es el pistón

que está dentro de un cilindro.

Ilustración de http://4.bp.blogspot.com

Dados los objetivos, desarrollaremos todos los puntos a analizar de nuestro sistema sabiendo

que el motor eléctrico tiene un voltaje y recibe corriente eléctrica para comenzar el movimiento

calcularemos la cinemática que este proporciona, la mejor manera de hacerlo será analizando

el disco, que es directamente la representación del cigüeñal.

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C A P Í T U L O 1 : C I N E M Á T I C A

1.1 VELOCIDAD Y ACELERACIONES

Se analizará el sistema partiendo del reposo hasta alcanzar una velocidad angular ω = 600 rpm

en un intervalo de 20 segundos. La distancia entre B y G es de 2.5 cm.

Conversión de unidades

ω = 600rev

min∙

2𝜋 rad

1 rev∙

1 min

60 s= 62.8 rad/s

Ecuaciones cinemáticas

𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 (1.1)

𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼∆𝜃 (1.2)

��𝐵 = ��𝐺 + ��𝐵 𝐺⁄

��𝐵 = ��𝐺 + �� × 𝑟𝐵 𝐺⁄ − 𝜔2𝑟𝐵 𝐺⁄

Análisis Escalar. Dado que el disco empieza a rotar desde el reposo (t = 0) por el momento par

ejercido por el motor, podemos determinar su aceleración angular y el número de vueltas

recorridas a los 20 segundos.

Usando la ecuación 1.1 y la ecuación 1.2

Análisis vectorial. Calcularemos la velocidad en el punto B con respecto a G.

𝑣𝐵 = ��𝐺 + ��𝐵𝐺

= 0 + 𝜔k × 𝑟𝐵 𝐺⁄ = 62.8k × (0.025i)

��𝐵 = ��𝐺 + �� × 𝑟𝐵 𝐺⁄ − 𝜔2𝑟𝐵 𝐺⁄ = 0 + 3.14k × (0.025i) − 62.82(0.025i)

DIAGRAMA CINEMÁTICO

Solución cuando alcanza ω = 600 rpm.

��𝐵 = {1.57j} m s⁄ ��𝐵 = {−98.6i + 0.0785j} m s2⁄

+↺ |62.8 rad/s = 0 + (20 s)𝛼 +↺ |(62.8 rad/s)2 = 0 + 2𝛼∆𝜃

Solución 𝛼 = 3.14 rad/s2

∆𝜃 = 628 rad = 99.95 vueltas ≈ 100 vueltas

Solución cuando ω = 0

��𝐵 = {0} m s⁄ ��𝐵 = {0.0785j} m s2⁄

6

C A P Í T U L O 2 : E Q U I L I B R I O

Datos a considerar:

𝛼 = 3.14 rad/s2

𝜔 = 62.8 rad/s

∆𝜃 = 628 rad

∆𝑡 = 20

��𝐵 = {0.0785j} m s2⁄

𝐵𝑦 = 0.489 N

𝑔 = 9.78 m/s2

𝑚disco = 𝑚𝐷 = 0.2 kg

𝑚biela = 𝑚𝐴𝐵 = 0.1 kg

𝑚pivote = 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 0.01 kg

𝑚piston = 𝑚𝑃 = 0.05 kg

2.1 SEGUNDA LEY DE NEWTON (SISTEMA EN REPOSO)

Se desarrollarán las ecuaciones de equilibrio usando la segunda Ley de Newton para

determinar las reacciones en cada eslabón cuando el sistema está en reposo. Se necesita

encontrar el torque mínimo para romper esta inercia. La masa del disco, la biela, el pistón y los

pivotes son 0.2 kg, 0.1 kg, 0.05 kg, y 0.01 kg respectivamente. Dada nuestra posición geográfica,

la gravedad es 9.78 m/s2 (INEGI, 2014).

SISTEMA: DISCO, BIELA, PISTÓN

G B P A

7

DIA GRA MA S D E CUER PO LIBR E

Biela. Se consideran las reacciones que soportan el peso de la biela.

Pistón. Se considera el peso del pivote, la reacción Ay, el peso del pistón, la reacción normal de suelo y la fricción.

Ahora que ya se han calculado las reacciones del sistema en reposo, se calculará el torque

mínimo necesario que debe ejercer el motor eléctrico para poder romper la inercia de dicho

equilibrio y comenzar el movimiento del mecanismo.

En los siguientes capítulos se determinará este torque por distintos métodos. El capítulo tres

abarca la segunda ley de Newton, el capítulo cuatro se utiliza el Principio de Trabajo y Energía

y por último el Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento.

+↺ ∑𝑀𝑂 = 0; 𝐵𝑦(0.07) − 𝐴𝑦(0.07) = 0

+↑ ∑𝐹𝑦 = 0; 𝐵𝑦 + 𝐴𝑦 − 𝑊𝐴𝐵 = 0

𝐵𝑦 = 𝐴𝑦 =𝑊biela

2=

0.1 kg(9.78 m s2)⁄

2

Solución: 𝐵𝑦 = 𝐴𝑦 = 0.489 N

+→ ∑𝐹𝑥 = 0; 𝐹𝑓 = 0

+↑ ∑𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐴 − 𝐴𝑦 − 𝑊𝑃 − 𝑊𝐴 = 0

𝑁𝐴 = 𝐴𝑦 + 𝑊𝑃 + 𝑊𝐴

𝑁𝐴 = 0.489 N + (0.01 + 0.05 )kg(9.78 m s2⁄ )

Solución: 𝑁𝐴 = 1.0758 N

8

C A P Í T U L O 3 : S E G U N D A L E Y D E N E W T O N

Disco. Se consideran las reacciones que mantienen al disco rotando sobre su eje, el peso del

disco, el peso del pivote que se encuentra pegado al disco, la reacción con respecto a la biela. Se

toman en cuenta las aceleraciones calculadas en el capítulo 1.

Ecuaciones de movimiento: rotación alrededor de un eje fijo.

∑𝐹𝑛 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑛 = 𝑚𝜔2𝑟𝐺 ∑𝐹𝑡 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑡 = 𝑚𝛼𝑟𝐺

∑𝑀𝐺 = ∑(ℳ𝑘)𝐺

Recordemos que en el reposo ω = 0 rad/s, α = 3.14 m/s2, ��𝐵 = {0} m s⁄ y ��𝐵 = {0.0785j} m s2⁄

Relaciones geométricas: 𝐼𝐺 =1

2𝑚𝐷𝑟2 =

1

2(0.2kg)(0.04 m)2 = 1.6 × 10−4 kg ∙ m2

Ecuaciones de movimiento

+← ∑𝐹𝑛 = 𝑚𝜔2𝑟𝐺 −𝐺𝑥 = 𝑚𝜔2𝑟𝐺

+↑ ∑𝐹𝑡 = 𝑚𝛼𝑟𝐺 −𝑊𝐷 + 𝐺𝑦 − 𝐵𝑦 − 𝑊𝐵 = 𝑚𝐵𝛼𝑟𝐵/𝐺

+↺ ∑𝑀𝐺 = ∑(ℳ𝑘)𝐺 𝜏 − (𝑊𝐵 + 𝐵𝑦)𝑑 = 𝐼𝐺𝛼 + 𝑚𝐵𝛼𝑟𝐵/𝐺2

Resolviendo

−0.2 kg(9.78 m 𝑠2⁄ ) + 𝐺𝑦 − 0.489 N − 0.01 kg(9.78 m s2⁄ ) = 0.01 kg(3.14 rad/s2)0.025 m

𝜏 − (0.0978 N + 0.489)(0.025 m) = 1.6 × 10−4 kg ∙ m2(3.14 rad/s2) + 0.01 kg(3.14 rad/s2)(0.025 m)

Solución:

{𝐺𝑥 = 0

𝐺𝑦 = 2.544 N

𝜏 = 0.0152 N ∙ m

9

C A P Í T U L O 4 : T R A B A J O Y E N E R G Í A

Disco. Se considera el diagrama de cuerpo libre del disco y las relaciones de desplazamiento angular. Recordemos que ∆𝜃 = 628 rad.

Principio de trabajo y energía

Energía cinética. Como el disco gira alrededor de un eje fijo, e inicialmente está en reposo, entonces,

𝑇1 = 0

𝑇2 =1

2𝐼𝐺𝜔2 +

1

2𝑚𝐵𝑣2 =

1

2(

1

2𝑚𝐷𝑟𝐷

2) 𝜔2 +1

2𝑚𝐵𝜔2𝑑2

𝑇2 =1

2(

1

2(0.2 kg)(0.04 m)2) 62.82s−2 +

1

2(0.01 kg)(62.82s−2)(0.025 m)2 = 0.3278 J

Trabajo (diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en el diagrama ras reacciones Gx y Gy y el peso, no realizan trabajo, puesto que no se desplazan. El torque realiza un trabajo positivo y tanto el peso del pivote y la reacción de la biela hacen un trabajo negativo, ya que se oponen al movimiento relativo del disco.

𝑈𝜏 = 𝜏∆𝜃 = 628𝜏

𝑈𝑊𝐵= −𝑊𝐵𝑑∆𝜃 = 0.01 kg(9.78 m/s2)(0.025 m)(628 rad) = −1.53546 J

𝑈𝐵𝑦= −𝐵𝑦𝑑∆𝜃 = −0.489 N(0.025 m)(628 rad) = −7.6773 J

𝑻𝟏 + ∑𝑼𝟏−𝟐 = 𝑻𝟐

0 + [628𝜏 − 9.21276 J] = 0.3278 J

Solución: 𝜏 = 0.0152 N ∙ m

10

C A P Í T U L O 5 : I M P U L S O Y C A N T I D A D D E M O V I M I E N T O

Disco. Se considera el diagrama cinético del disco. Recordemos que ∆𝑇 = 20 s.

Diagrama cinético. El centro de masa del disco no se mueve; sin embargo, el torque provoca que el disco gire en contra de las manecillas del reloj. El momento de inercia del disco con respecto a su eje de rotación fijo es:

𝐼𝐺 =1

2𝑚𝐷𝑟2 =

1

2(0.2kg)(0.04 m)2 = 1.6 × 10−4 kg ∙ m2

Principio de impulso y cantidad de movimiento

+ 𝒎(𝒗𝑮𝒙

)𝟏

+ ∑ ∫ 𝑭𝒙𝒅𝒕𝒕𝟐

𝒕𝟏

= 𝒎(𝒗𝑮𝒙)

𝟐

0 + 𝐺𝑥∆𝑡 = 0

+↑ 𝒎 (𝒗𝑮𝒚

)𝟏

+ ∑ ∫ 𝑭𝒚𝒅𝒕𝒕𝟐

𝒕𝟏

= 𝒎 (𝒗𝑮𝒚)

𝟐

0 + (−𝑊𝐷 + 𝐺𝑦 − 𝐵𝑦 − 𝑊𝐵)∆𝑡 = 0

+↺ 𝑰𝑮𝝎𝟏 + ∑ ∫ 𝑴𝑮𝒅𝒕

𝒕𝟐

𝒕𝟏

= 𝑰𝑮𝝎𝟐 + 𝒎𝑩𝝎𝟐𝒅𝟐

0 + 𝜏∆𝑡 − 𝐵𝑦𝑑∆𝑡 − 𝑊𝐵𝑑∆𝑡 =1

2𝑚𝐷𝑟2𝜔2

Resolviendo

𝐺𝑥 = 0

𝐺𝑦 = 𝐵𝑦 + 𝑊𝐵 + 𝑊𝐷 = 0.489 N + 0.978 N + 1.956 N

𝜏 =1

2𝑚𝐷𝑟2

𝜔2

∆𝑡+ 𝑚𝐵

𝜔2

∆𝑡𝑑2 + 𝑊𝐵𝑑 + 𝐵𝑦𝑑 = 1.6 × 10−4 (

62.8

20) + 0.014689 Nm

Solución 𝐺𝑥 = 0 𝐺𝑦 = 2.544 N

𝜏 = 0.0152 N ∙ m

11

CONCLUSIONES

Se cumplieron los objetivos establecidos, los cuales fueron diseñar un mecanismo biela, cilindro

y pistón. Ajustándole un motor eléctrico de taladro para llevar acabo el movimiento debido al

torque del motor. Posteriormente, analizar el sistema y poder determinar: las velocidades y

aceleraciones del disco.

Los resultados que obtuvimos de la cinemática fueron los siguientes:

𝛼 = 3.14 rad/s2

𝜔 = 62.8 rad/s

∆𝜃 = 628 rad

∆𝑡 = 20

��𝐵 = {0.0785j} m s2⁄

Gracias esto, se pudo desarrollar toda la dinámica pertinente. Para la segunda ley se necesitó

la aceleración angular del disco y la aceleración del punto B - el pivote. Usando el principio de

trabajo y energía se necesitó del desplazamiento angular ya que el pivote y la carga axial By

desarrolla un trabajo opuesto al torque del motor. Con el análisis del principio de impulso y

cantidad de movimiento se requirió el tiempo que el sistema tarda en alcanzar la velocidad

angular de 600 rpm, esto se determinó en el laboratorio de física usando un cronómetro y

promediando intervalos.

La física, la ciencia de las aproximaciones, nos permitió comprobar por los tres métodos

aprendidos en el curso de dinámica, que el motor requiere de un torque de 0.052 Nm para

mover el sistema cuando este se encuentra en reposo.

No hay mejor manera de resolver estos problemas, la mejor es la que uno (como estudiante y

profesional) la vea como la más fácil y eficaz, para unos es mejor utilizar usar el principio del

trabajo y energía, mientras que para otros puede ser segunda ley de Newton o el principio de

impulsión e ímpetu. La evolución de estos métodos nos da no sólo una herramienta para

resolver distintos problemas sino un conocimiento amplio para resolver cualquier problema

por cualquier método.

La mayoría de los mecanismos se pueden comprender si se tiene la total comprensión del

sistema, cuando analizamos el hecho de que un motor tiene mucho torque y mucha velocidad;

esto requiere energía eléctrica para empezar a mover el mecanismo, una vez que empiece se

analizar las fuerzas en determinado instante y cómo la velocidad varía.

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REFERENCIAS

[1]. Beer Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinámica [Libro] = Cinemática de cuerpos rígidos. - México : [s.n.], 2011. - Novena.

[2]. Hennessy Kathryn El libro del automóviol: la guía histórica visual definitiva [Libro] = El libro del automóvil. - México : Ediciones ALTEA, 2011. - pág. 480.

[3]. Hibbeler Russel Dinámica [Libro] = Trabajo y Energía. - México : Pearson Education, 2010. - Octava.

[4]. Hibbeler Russel Dinámica [Libro] = Impulso y Cantidad de Movimiento. - México : Pearson Education, 2010. - Octava.

[5]. Hibberler Russel Dinámica [Libro] = Cinemática de cuerpos rígidos. - México : Pearson Education, 2010. - Octava.

[6]. Ojo Científico [En línea] // Batanga. - Bataranga Entretenimiento, 2012. - Mayo de 2014. - http://www.ojocientifico.com/2011/09/29/motor-electrico-como-funciona.

[7]. Todo Mecánica TM [En línea] // Todo Mecánica. - VERKIA, 2011. - Mayo de 2014. - http://www.foro.todomecanica.com/aprendizaje_y_capacitacion/diseno_de_ciguenales_3408.0.html.