GEOMETRIA COMPUTACIONAL
SISTEMA COMPUTACIONAL PARA OBTENER LA ILUMINACIN Y VIGILANCIA
PTIMA DE CENTROS COMERCIALES MEDIANTE ALGORITMOS
GEOMTRICOSRESUMEN:En el presente proyecto se intenta hacer una
transferencia tecnolgica de unos nuevos conceptos en el estudio de
la iluminacin, visualizacin y vigilancia. Gracias a los diferentes
algoritmos que se implementan, basados todos ellos en La Geometra
Computacional, se trata de dar solucin a diversos escenarios en lo
referente a la iluminacin, visualizacin y vigilancia. Teniendo en
cuenta la disposicin de los focos, en sitios cerrados o con
obstculos que dificulten la propagacin de la luz, se debe tener una
manera matemtica y procedural de poder calcular la calidad de la
iluminacin para su respectiva visibilidad y por consiguiente poder
poner en puntos especficos las cmaras para su vigilancia.El
planteamiento y objetivo inicial es, adems de tener una herramienta
de clculo de la calidad de la iluminacin, de la visualizacin y su
vigilancia, cuya complejidad NP-duro. Por ello no permite el diseo
de algoritmos que encuentran soluciones exactas u optimas en tiempo
razonable, se propone una solucin aproximada utilizando las
siguientes tcnicas: t-buena iluminacin para el concepto de
iluminacin y visualizacin, y la galera de arte para el concepto de
vigilancia.Con dicho planteamiento, se ha desarrollado una
herramienta grfica en lenguaje Java, donde se exponga un escenario
donde sea capaz mediante algoritmos, calcular las propiedades de
iluminacin, las regiones visibles y de vigilancia.
ABSTRACT:In this project we seek to make technology transfer a
few new concepts in the study of lighting, visualization and
monitoring. Thanks to the different algorithms that are
implemented, all based on computational geometry, it is a solution
to various scenarios in terms of lighting, visualization and
monitoring. Given the arrangement of bulbs, in enclosed or
obstacles to the propagation of light, must be a mathematical way
of calculating and procedural quality lighting to their respective
visibility and therefore be able to take points specific cameras
for surveillance.The initial objective approach and is, in addition
to having a tool for calculating the quality of lighting,
visualization and monitoring, the complexity of NP-hard. Why not
allow the design of algorithms that are exact or optimal solutions
in reasonable time, we propose an approximate solution using the
following techniques: t-good illumination for the lighting concept
and visualization, and art gallery to the concept of surveillance.
With this approach, we have developed a graphical tool in Java,
where exposed a scenario where you can algorithmically, calculate
the properties of light, the visible and surveillance.
INDICEI. INTRODUCCIN. ....5II. ANTECEDENTES. ...6III. REALIDAD
PROBLEMTICA..7IV. JUSTIFICACIN. ......9V. OBJETIVOS.
...............9VI. MARCO TERICO ..101. CONCEPTOS GENERALES DE
ILUMINACIN. .102. VISIBILIDAD DE ALCANCE LIMITADO. ...112.1.
ILUMINACIN DE ALCANCE LIMITADO EN ESCALERAS ...112.1.1. ALCANCE
MNIMO. ...12 2.1.2. LUCES VRTICE CON ALCANCE L ..122.2. ILUMINACIN
DE ALCANCE LIMITADO EN PIRMIDES ..132.2.1. ALCANCE MNIMO.
...142.2.2. LUCES VRTICE CON ALCANCE L 15 3. T-BUENA ILUMINACIN.
......153.1. TBUENA ILUMINACIN SIN OBSTCULOS .........153.2. TBUENA
ILUMINACIN EN UN POLGONO .163.2.1. POLGONO CONVEXO ...163.2.2.
POLGONO NO CONVEXO..163.3. 1BUENA ILUMINACIN CON OBSTCULO
CONVEXO184. ILUMINACIN MLTIPLE EN UN POLGONO...204.1. DEFINICIONES
Y PROPIEDADES .204.2. ALGORITMO INCREMENTAL .214.2.1. ALGORITMO DE
INTERSECCIN.215. VISIBILIDAD .... ..235.1. GALERAS DE
ARTE............236. Procesamiento de Imgenes. ...........6.1
Adquisicin de la Imagen..........6.2 Pre procesamiento de la
Imagen.........6.2.1 Pasos.........6.2.2 Obtencion del
Borde.........7. METODOLOGA DE DESARROLLO DEL SOFTWARE: ..KENDALL
& KENDAL..28 7.1. IDENTIFICACION DE PROBLEMAS, OPORTUNIDADES Y
OBJETIVOS 287.2. DETERMINACION DE LOS REQUERIMIENTOS DE
INFORMACION.... 287.3. ANALISIS DE LAS NECESIDADES .. 297.4. DISEO
DEL SISTEMA RECOMENDADO . 307.5. DESARROLLO Y DOCUMENTACION DEL
SOFTWARE . 317.6. PRUEBA Y MANTENIMIENTO DEL SISTEMA . 327.7.
IMPLEMENTACION Y EVALUACION DEL SISTEMA 32VII.
DESARROLLO..........1. ANLISIS DE LA SOLUCIN.........2. DISEO DE LA
SOLUCIN.........VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS.........IX.
ANEXOS.........1. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES. .......
I. INTRODUCCIN:La visibilidad es un fenmeno natural en la vida
cotidiana. Las personas observan los objetos ubicados a su
alrededor y luego deciden cmo moverse en ese entorno. Observar un
objeto significa identificar sus partes visibles desde una posicin
establecida. Un objeto puede no ser completamente visible, algunas
de sus partes pueden estar ocultas. Durante la observacin se
determinan las formas y el tamao de las partes visibles de los
objetos, las cuales pueden cambiar cuando el observador cambia de
una posicin a otra. Incluso, desde una posicin se pueden observar
varios objetos ubicados en diferentes lugares de modo tal que las
partes visibles de estos objetos conforman un entorno para el
observador. Este es un procedimiento natural para el observador
humano y su sistema visual realiza esta tarea sin ningn esfuerzo.
El problema de calcular las porciones visibles de un objeto desde
una posicin determinada se ha estudiado ampliamente en informtica
grfica. En este mbito, la construccin de un entorno puede
involucrar la identificacin de miles de objetos de diferentes
formas y tamaos ubicados en distintas posiciones. sta s es una
tarea compleja desde el punto de vista computacional.Uno de los
principales problemas que se haba encontrado, en su afn por la
investigacin en los conceptos de iluminacin y vigilancia para la
resolucin de problemas de ingeniera y la fsica, era que los
resultados hasta ahora obtenidos no reflejaban totalmente
circunstancias reales, y por tanto no eran normalmente
aplicables.En el intento de buscar unas definiciones ms prximas a
la realidad en los campos de iluminacin y vigilancia, se define el
concepto de t-buena iluminacin y el de galera de arte.La idea de la
que parten los postulados de la t-buena iluminacin son las de
estudiar la iluminacin y la calidad de la misma en puntos y reas
del espacio bidimensional, para poder as tener unos conceptos
claros de las propiedades de iluminacin.El otro problema en la
geometra computacional es el concepto de la vigilancia de galeras
de arte. En 1973, V. Klee propuso el problema original de la Galera
de Arte a travs del siguiente planteo: Cuntos guardias son
suficientes para vigilar completamente el interior de una galera de
arte?ste problemas abrieron un nuevo campo de investigacin en el
mbito de la Geometra Computacional, donde se engloban todos los
problemas que estn relacionados con la iluminacin y vigilancia de
cualquier estructura o elemento geomtrico. Estos problemas estn
presentes en multitud de campos, tales como la Robtica,
Planificacin de Trayectorias, Visin Artificial, Informtica Grfica,
Diseo y Fabricacin Asistidas por Computadora, entre otros.Sin
embargo en ocasiones, los resultados obtenidos en Geometra
Computacional no pueden ser utilizados de forma prctica en estos
campos al no reflejar totalmente circunstancias reales.
II. ANTECEDENTES:
1. MTODOS HEURSTICOS EN PROBLEMAS GEOMTRICOS VISIBILIDAD,
ILUMINACIN Y VIGILANCIA.
UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID - FACULTAD DE INFORMTICATESIS
DOCTORALAUTOR: SANTIAGO CANALES CANO - LDO. EN CIENCIAS MATEMTICAS
2004.
Resumen: En este trabajose presentan resultados combinatorios y
algortmicos utilizando dos definiciones de iluminacin que aaden
condiciones a los conceptos de vigilancia utilizados
tradicionalmente: la primera de estas se denomina visibilidad de
alcance limitado y aade una restriccin a la distancia mxima de
iluminacin desde un determinado punto; la segunda que hemos
denominado tbuena iluminacin, se basa en que una estructura
geomtrica slo est bien iluminada si todos los puntos que la
iluminan estn bien distribuidos alrededor de ella. Respecto a la
visibilidad de alcance limitado presentamos resultados
combinatorios para polgonos escalera y polgonos pirmide, mientras
para la tbuena iluminacin se presentan resultados algoritmos que
permiten calcular las regiones iluminadas con esta definicin, por
luces situadas en diferentes posiciones respecto a un polgono
P.
Aporte: Cabe destacar que esta tesis muestra de manera ordenada
y concisa los temas relacionados con la t-buena iluminacin. Es a
partir de esos temas que rescatamos los conceptos e ideas generales
sobre la t-buena iluminacin que utilizaremos en el presente
proyecto. Adems de los conceptos aportados de esta tesis, tambin
aprovechamos los algoritmos y la gran variedad de soluciones que se
dan a los diferentes tipos de problemas sobre iluminacin.
2. T-Buena Iluminacin en el Plano.
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS - ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE
INGENIERA (ICAI) - INGENIERO EN INFORMTICAAUTOR: RODRIGO ECHVARRI
YEPES - MADRID, JUNIO DE 2007.
Resumen:En el presente proyecto se intenta hacer una
transferencia tecnolgica de unos nuevos conceptos en el estudio de
la iluminacin. Se trata de dar solucin a diversos escenarios en lo
referente a la iluminacin. Teniendo en cuenta la disposicin de los
focos, en sitios cerrados o con obstculos que dificulten la
propagacin de la luz, se debe tener una manera matemtica y
procedural de poder calcular la calidad de la iluminacin. Tambin se
trata de poder contrastar de una manera fidedigna los resultados
obtenidos por los diferentes algoritmos de la t-buena iluminacin
(entendiendo t como una variable que mide la calidad de la
iluminacin en un punto) desarrollados conceptualmente con los
resultados reales de la definicin de la t-buena iluminacin.
Aporte: En ese proyecto se presenta la definicin practica y
aplicable de la t-buena iluminacin, es decir, nos ayudara a plasmar
y aplicar de los conceptos de dicho tema de manera practica y
eficaz, en nuestro proyecto. Con todo esto podemos afirmar que las
aplicaciones que se muestran en ese proyecto se pueden hacer
propias ya que sus ejemplos se orientan hacia temas como nuestro
proyecto.
3. El Problema de la Galera del Arte.
UNIVERSIDAD AUTNOMA DE QUERTAROESTUDIANTE DE POSGRADO, FACULTAD
DE INFORMTICAQUERTARO, MXICOGONZALO MENA MENDOZA
Resumen:Se describe el problema de encontrar el nmero deguardias
necesarios para vigilar un polgono simple. Sepresenta el problema
original, los resultados actualessobre la familia de problemas
relacionados, sus variantes,los problemas abiertos y sus posibles
aplicaciones.
Aporte: En nuestro proyecto tambin se aplica a problemas sobre
triangulacin, es por ello que este proyecto sobre el problema de la
galera del arte es apropiado para la conceptualizacin y aplicacin
de temas referentes a este tipo de problema, ya que nos ayudara en
gran manera en el tema de la vigilancia del centro comercial.
III. REALIDAD PROBLEMTICA: Actualmente se ha acrecentado en gran
medida el porcentaje de robos en los centros comerciales, por
ejemplo, a continuacin se muestran algunos ndices alarmantes sobre
los delitos en centros comerciales:El promedio de incidentes
relacionados con hurtos en tiendas es de 550.000 por da,En los
Estados Unidos, se roban mercaderas por mas de 25.000.000 de dlares
diarios,El ao pasado, los comerciantes de Estados Unidos perdieron
un estimado de 37.400 millones de dlares (19,5 mil millones de
libras) en mercaderas, lo cual representa el 1,6 por ciento del
total de las ventas. Estas perdidas son habitualmente conocidas
como shrinkage. Resulta muy difcil comparar las tendencias en los
diferentes pases del mundo porque las personas encargadas de
recolectar y publicar la informacin utilizan distintos mtodos y
criterios. Pero este ao, por primera vez, el Informe Baromtrico de
Hurtos en Tiendas Minoristas de Europa ha podido efectuar estas
comparaciones. Los resultados obtenidos de estas investigaciones
incluyen a 24 pases y representan el 18 por ciento de los comercios
minoristas de Europa. Del informe surge que el costo de estas
perdidas por hurtos en los ltimos doce meses en Europa ha sido de
32.867 millones de euros (22.000 millones de libras). Esta cifra
combina el valor de los objetos robados con los costos de seguridad
asociados.El porcentaje de perdidas por hurtos en Europa es
inferior al mismo porcentaje en los Estados Unidos de Amrica, en un
1,24 por ciento y, el ao pasado cay aproximadamente un 0,01. El
Reino Unido, por segundo ao consecutivo registr la cada ms grande,
por debajo del 1,77 por ciento en 2002 a 1,33 por ciento en 2006,
pero aun contina por encima del promedio. Suiza, Irlanda y Suecia,
por otro lado, registraron significativos aumentos en este tipo de
delitos.Muchos gerentes de centros comerciales al observar estos
ndices alarmantes sobre robos y hurtos en tales, se han convencido
que la vigilancia en sus locales debe ser mxima, es decir que no
debe quedar ni un solo punto en todo el centro comercial sin ser
observado ni correctamente iluminado.Estos son algunos de los temas
que nos motivan a proyectarnos hacia una solucin para este tipo de
problemas, por ello hacemos un estudio para la solucin mas optima
que podamos realizar, pero no todos los centros comerciales constan
de un solo patio el cual se deba vigilar, y esto nos lleva a otros
problemas de la realidad.Hoy en da las salas de los nuevos museos,
galeras, centros comerciales, etc.No tienen, en general, formas que
regularicen sus plantas, lo que da lugar a interesantes problemas
de iluminacin. Si laplanta fuera un polgono convexo, una nica
fuente de iluminacin bastara parailuminar toda la sala, pero la
irregularidad impide esta solucin econmica. Asse plantea el
problema de minimizar el n de luces que son necesarias parailuminar
la planta entera.Los problemas de iluminacin han atrado la mirada
de los matemticos desdehace tiempo. Mencionemos aqu tres de
ellos:Problema de la Galera de Arte. La cuestin fueplanteada por V.
Klee en 1973 en estos trminos: Determinar el mnimo nmerode puntos
de un polgono suficientes para ver a todos los restantes. Se
puedeinterpretar tambin en trminos de vigilancia de una sala
poligonal: Cuntosguardias (o cmaras de vigilancia que cubran 360)
son suficientes para vigilar elinterior de un polgono de n
lados?Problema de Hadwiger,Cuntos reflectores se necesitan para
iluminar el contorno exterior de una figuraplana, compacta, convexa
y de borde liso? Boltyanski prob en 1960 que tresreflectores son
siempre suficientes.Problema de Strauss, Pensemos en una sala de
planta poligonal cuyas paredes son espejos. Es ciertoque basta
colocar una fuente luminosa en cualquier punto de la sala para
iluminarla completamente?, Habr siempre un punto con esa propiedad?
Recientemente Tokarsky [To] ha probado que la respuesta a la
primera preguntaes negativa. Pero la segunda parte de la conjetura
permanece abierta.Proponemos para ello utilizar mtodos geomtricos
primero tenemos que realizar una buena iluminacin, utilizaremos el
mtodo de t-Buena Iluminacin, luego verificaremos que dicha
iluminacin sea la correcta, y por ltimo se colocaran las cmaras de
vigilancia utilizando la triangulacin de polgonos y el coloreado de
grafos.
IV. JUSTIFICACIN:
Justificacin Social: Este proyecto servir de ayuda donde se
requiera aplicar iluminacin y vigilancia ya sea para cualquier
centro comercial, empresas, etc. Y en la reduccin de robos y hurtos
que actualmente existen, en centros comerciales como el que se
trata en este proyecto, muchas veces por falta una buena
vigilancia.
Justificacin Acadmica: Servir de apoyo para posteriores
proyectos similares que deseen desarrollar tanto en esta
universidad como en otras instituciones, ya sean publicas o
privadas, para estudiantes o para trabajadores.
Justificacin Econmica: El presente proyecto se justifica
econmicamente porque ayudar a reducir el gasto en la compra de
productos de iluminacin (focos) y colocacin de cmaras de
vigilancia, porque utilizaremos mtodos (Algoritmos) eficientes que
ubicaran de forma correcta y utilizando la menor cantidad de dichos
elementos a comparacin con otros mtodos. Justificacin Tcnica: El
presente proyecto se justifica tcnicamente porque va a proporcionar
una herramienta de apoyo a los especialistas aplicados en esta
rama, constituyndose en una importante ayuda para ellos y para el
avance tecnolgico.
V. OBJETIVOS:1. Objetivo General:
Desarrollo de un Sistema computacional para obtener la
iluminacin y vigilancia optima de centros comerciales mediante
algoritmos geomtricos.
2. Objetivos Especficos:
Analizar y adquirir conocimientos del tema a investigar, revisar
los planos, imgenes del local para extraer el polgono de la parte
del techo. Disear el software y los algoritmos, en base a los datos
obtenidos sobre el tema, estructurarlo y formalizarlo de manera que
pueda ser usado correctamente. Implementar el software que nos
permita realizar una adecuada iluminacin y vigilancia del local.
Verificar y realizar pruebas al software de tal manera que funcione
correctamente.
VI. Marco Terico:
1. Conceptos Generales de Iluminacin:
Uno de los campos ms estudiados en la Geometra Computacional es
el de la Visibilidad, es decir, el conjunto de problemas que estn
relacionados con los conceptos de iluminacin y vigilancia en su
concepcin ms general. Existe una gran variedad de problemas en este
sentido respecto a la zona a iluminar: polgonos convexos, polgonos
montonos, polgonos generales, semiplanos etc., y tambin respecto a
los objetos que iluminan: luces vrtice, luces-punto, luces-lado,
etc.La Visibilidad es una disciplina en la que se combinan la
geometra, la informtica y la combinatoria y cuyos resultados tienen
aplicaciones en multitud de campos como la robtica, planificacin de
trayectorias, visin por ordenador, grficos y arquitectura asistida
por ordenador.Bsicamente la idea de visibilidad mantiene el
concepto clsico del mismo. Dado un conjunto D en se dice que dos
puntos x, y pertenecientes a D son visibles en D cuando el segmento
que une x e y est completamente contenido en D. El conjunto D se
llamar convexo si cualquier par de puntos del mismo se ven. Un
conjunto se dice estrellado si existe un punto que ve a todos los
dems. El conjunto de puntos con tal propiedad es el ncleo del
mismo. Por tanto un conjunto es estrellado si tiene ncleo no
vaco.Se puede entender el concepto de visibilidad de puntos a
conjuntos: si U y V son regiones contenidas en D, se dir que U ve
fuertemente a V si todo punto de V es visible desde todo punto de
U; se dir que U ve dbilmente a V si todo punto de V es visible
desde algn punto de U.El concepto de visibilidad clsico en el que
aparece el segmento que une dos puntos puede generalizarse o
variarse cambiando dicho segmento por otros conjuntos. Asimismo una
variante importante del concepto de visibilidad es la visibilidad
segn cadenas de k eslabones, denominada Lk-visibilidad: dos puntos
x e y son Lk-visibles en D si existe una poligonal de k lados
contenida en D que conecta ambos puntos.Una parte importante dentro
de la Visibilidad es la que se ha venido llamando Galeras de Arte y
que se inicia en 1973 con un problema planteado por Vctor Klee:
determinar el mnimo nmero de puntos de un polgono suficientes para
ver a todos los dems. Considerando el polgono como planta de una
galera de arte y los puntos buscados como guardias o focos, se
tiene el nombre de esta importante rama de la Geometra
Computacional. Chvtal obtiene la primera respuesta en 1975: [n/3]
es el nmero de guardias a veces necesarios y siempre suficientes
para iluminar un polgono P con n vrtices. Este resultado se conoce
como Teorema de Galeras de Arte y el primer tratado monogrfico fue
presentado por ORourke en 1987.
Por tanto [n/3] luces son siempre suficientes para iluminar un
polgono P de n vrtices, pero en muchas ocasiones basta con menos.
As tiene sentido plantear el problema algortmico siguiente: dado un
polgono calcular el mnimo nmero de luces que lo vigilan. Este
problema fue estudiado por Lee y Lin.
2. Visibilidad de Alcance Limitado:
2.1. Definiciones:Definiremos en primer lugar lo que se entiende
por puntos visibles con alcance L y despus daremos algunas
definiciones particulares para polgonos escalera, que nos ayudaran
en el desarrollo de este captulo respecto a este tipo de
polgonos.a) Definicin Visibilidad de Alcance L:Dos puntos x e y se
dicen visibles con alcance L en un polgono P, si el segmento xy est
contenido completamente en P y la distancia d (x, y) L, (ver Figura
3).Una vez que conocemos el concepto de visibilidad limitada o de
alcance limitado veamos las definiciones propias de los polgonos
escalera.
Figura 3: Visibilidad de alcance L
b) Definicin Polgono escalera:Se denomina polgono escalera a
todo polgono ortogonal P, tal que existe un lado horizontal h,
(respectivamente vertical v), cuya longitud es igual a la suma de
las longitudes de los restantes lados horizontales,
(respectivamente verticales).Designaremos con la notacin P(V, a1,
a2,...., am), al polgono escalera en el que V es la interseccin de
h y v y a1, a2,...., am son los restantes vrtices convexos.As si
llamamos bi, i = 1, 2,...,m 3 al vrtice cncavo cuya abscisa es la
abscisa del vrtice ai1 y cuya ordenada es la del vrtice ai+2, se
tiene:a1a2 + mP3 i=1 biai+2 = V am y mP3 i=1 biai+1 + am1am = V a1
(3.1.1)como se muestra en la Figura 4.c) Definicin Radio de una
escalera:Dado un polgono escalera P (V, a1, a2,...., am) se llaman
radios exteriores de P y se denotan por rk a los segmentos V ak k =
1, 2,..., m. Se llama radio de P y se denota por r al mximo de los
radios exteriores de P.r = max (rk) k = 1, 2,..., m. (3.1.2)Para
comprender bien la definicin anterior podemos ver la Figura 4,
donde se dibujan los radios exteriores de un polgono escalera.
Pasemos a estudiar ahora la iluminacin de alcance limitado en este
tipo de polgonos, considerando que las luces se sitan sobre los
vrtices, es decir considerando luces-vrtice y no luces punto.
Figura 4: Polgono Escalera.2.2. Iluminacin de Alcance Limitado
en EscalerasEl problema combinatorio que planteamos en este captulo
respecto a los polgonos, escalera consiste bsicamente en encontrar
el nmero mnimo de luces-vrtice necesarias para iluminar el polgono.
Evidentemente, dado que estamos estudiando la visibilidad de
alcance limitado, esta cota depender del alcance L de iluminacin.
Formalmente el problema se puede enunciar de la siguiente
manera:Nmero de luces-vrtice de alcance L que iluminan un polgono
escaleraCombN-v-Es (P,L):ENTRADA: Un polgono P de n vrtices y un
alcance de iluminacin L.PREGUNTA: Cul es el nmero mnimo k de
luces-vrtice de alcance L necesarias para iluminar el polgono P?Es
evidente que si el alcance de iluminacin L es suficientemente
grande el polgono se podr iluminar con una sola luz. As si tomamos
L r, donde r es el radio del polgono, colocando una luz en el
vrtice V tendremos iluminado todo el polgono. Planteamos ahora otro
problema distinto, permitiendo colocar una luz en cada vrtice y
preguntndonos por el mnimo alcance de iluminacin, (Lmin), necesario
para iluminar todo el polgono.
2.2.1. Alcance Mnimo:Dado un polgono P, se define Lmin como el
valor ms pequeo para el que colocando luces de alcance Lmin en
todos los vrtices del polgono P, ste quede totalmente iluminado.
Por tanto,el intervalo de valores significativos para el alcance L
resulta ser [Lmin, r]. El primer problemaque se plantea es el
clculo de Lmin. Damos respuesta a esta cuestin en la siguiente
proposicin.2.2.2. Luces Vrtice con alcance L:Todo polgono escalera
P con n vrtices, se puede iluminar con una sola luz de alcance r.
Qu ocurre si disminuimos una cantidad pequea el alcance L? Esta
cuestin la estudiaremos en el Lema 1.Lema 1: Los vrtices V, a1 y am
son necesarios en algunos casos para iluminar el polgono P con
luces de alcance r/2.Lema 2: Si es suficientemente pequeo, n 8 y L
= r , entonces existe un polgono escalera P (V, a1, a2,...., am) de
n vrtices que necesita [n/4] + 2 luces de alcance L para ser
iluminado.Lema 3: Si L = r/2, entonces existe un polgono escalera P
(V, a1,..., am) de n vrtices que necesita [n/4] +4 luces de alcance
L para ser iluminado.Teorema 1: Para todo polgono escalera P con n
vrtices, el nmero de luces vrtice de alcance L, a veces necesarias
y siempre suficientes para iluminarlo son:
2.3. Iluminacin de Alcance Limitado en Pirmides:Un polgono
pirmide puede considerarse una generalizacin de un polgono
escalera. Por tanto, tiene sentido plantearse el mismo problema
combinatorio estudiado para escaleras. Formalmente el problema que
nos planteamos en esta seccin es el siguiente:Nmero de luces-vrtice
de alcance L que iluminan un polgono pirmide
CombN-v-Pi(P,L):ENTRADA: Un polgono P pirmide de n vrtices y un
alcance de iluminacin L..PREGUNTA: Cul es el nmero mnimo k de
luces-vrtice de alcance L necesarias para iluminar el polgono
P?Para atacar este problema necesitamos tambin un conjunto de
definiciones similares a las dadas para polgonos escalera, tales
como el radio de una pirmide. Estas definiciones se exponen en la
seccin siguiente.a) Definicin Polgono Pirmide: Se denomina polgono
pirmide a todo polgono ortogonal tal que existe un lado horizontal
cuya longitud es igual a la suma de las longitudes de losrestantes
lados horizontales. Si a1,..., am son los vrtices convexos de un
polgono pirmideP, lo designaremos por P (a1, a2,...., am).
Figura 5: Un polgono y su grafo de visibilidad.
De forma anloga a como definamos el concepto de radio en un
polgono escalera, definiremos radio de una pirmide. Para ello
utilizamos el concepto de grafo de visibilidad de un polgono
pirmide.b) Definicin Grafo de Visibilidad de una Pirmide: Dado un
polgono pirmide P (a1, a2,...., am) se llama grafo de visibilidad
de P y de denota por GVP (a1, a2,...., am) al grafo cuyas aristas
unen los vrtices visibles de P. Se llama radio de P y se denota r
al mximo de la longitud de la aristas del grafo de visibilidad GVP
(a1, a2,...., am).
2.3.1. Alcance Mnimo:Dado un polgono escalera P, se define Lmin
como el valor ms pequeo para el que colocando luces de alcance Lmin
en todos los vrtices del polgono P, ste quede totalmente iluminado.
Veremos ms adelante que el intervalo de valores significativos para
el alcance L resulta ser [Lmin, r]. Tambin se verifica ahora que
Lmin = 1 2r, como probamos a continuacin.Proposicin 2.3.1: Dado un
polgono pirmide P(a1, a2,...., am) de radio r, se tiene que Lmin =
() r.
2.3.2. Luces Vrtice con Alcance L:Igual que se estudi en los
polgonos escalera, analizamos a continuacin el nmero de luces
necesarias y suficientes para iluminar el polgono pirmide. En este
caso nos restringimos a luces vrtice con alcance L r.Proposicin
2.3.2: Para todo polgono pirmide P con n vrtices, el nmero de luces
vrtice de alcance L r, a veces necesarias y siempre suficientes
para iluminarlo es [n/6].Proposicin 2.3.3: Todo polgono pirmide P
de n vrtices se puede iluminar con n luces de alcance r/2.Por otra
parte, como todo polgono escalera se puede considerar un caso
particular de polgono pirmide, tomando el ejemplo descrito en el
Lema 3.2.3 es evidente que:Proposicin 2.3.4:Si es suficientemente
pequeo y L = r , entonces existe un polgono pirmide P de n vrtices
que necesita [n/4] + 2 luces de alcance L para ser iluminado.3.
T-Buena Iluminacin:
Sea F = {f1, f2,..., fk} un conjunto de k luces o focos en el
plano y O un conjunto de obstculos. Un punto p est tbien iluminado
por L, 1 t k/2, si todo semiplano con borde en p contiene al menos
t focos de L que lo iluminan.
Como se puede observar en la Figura 6 el punto p est 1bien
iluminado por los focos f1, f2 y f3, ya que ninguno de los
obstculos evita que cualquier semiplano que pasa por p deje focos a
ambos lados del mismo. Sin embargo, el punto q no est 1bien
iluminado ya que dibujando un semiplano con borde en q que deje a
los focos f2 y f3 a un lado y f1 al otro, ste no iluminar a q. Segn
la definicin anterior puede darse el caso que un foco fi pertenezca
a la recta que genera los semiplanos. En este caso consideraremos
que fi ilumina ambos semiplanos.
Figura 6: Un ejemplo de 1-buena iluminacin
El conjunto de puntos del plano tbien iluminados por F en
presencia de un conjunto de obstculos O lo llamaremos regin tbien
iluminada por F con respecto a O y lo denotaremos con Wt (F, O).
Evidentemente la regin tbien iluminada puede ser no conexa. Por
tanto hablaremos indistintamente de las regiones o la regin tbien
iluminada por un conjunto F de focos.
Ahora bien, qu forma tienen las regiones tbien iluminadas? En la
siguiente proposicin demostramos que estas regiones son siempre
convexas, independientemente de la posicin de los focos, si el
conjunto de obstculos O es vaco.
3.1. T-Buena Iluminacin sin Obstculos:Si no hay obstculos, o los
obstculos no intersecan al cierre convexo de F, CH (F), la regin
tbien iluminada coincide con el nivel de profundidad t del conjunto
F, (tambin llamados niveles de profundidad de Tukey, (depthlevels);
ver [98] para los artculos originales de Tukey). En la Figura 4.3
mostramos un ejemplo de esta regin.
Figura 7: Zona 3bien iluminada por focos en posicin general.
Claverol en [1] demostr que se pueden calcular los niveles de
profundidad en tiempo ptimo O (n2). Podemos aplicar este resultado
para calcular las regiones tbien iluminadas por F, cuando el
conjunto de obstculos O no intersecan a CH (F), en tiempo ptimo O
(k^2).
3.2. T-Buena Iluminacin en un Polgono:Consideremos un polgono P
con un foco en cada uno de sus vrtices {v1, v2,..., vn} y
supongamos que queremos calcular la regin de P tbien iluminada por
esos focos. Distinguiremos dos casos: que P sea un polgono convexo
o que no lo sea. Veremos en el caso convexo que la regin tbien
iluminada coincide con el (t 1)-ncleo de P y por tanto se podr
calcular en tiempo (n).
3.2.1. Polgono Convexo:Nos planteamos ahora la bsqueda de un
algoritmo para el problema BtICon (P), es decir, buscamos la regin
tbien iluminada por un conjunto F de focos situados en los vrtices
de un polgono convexo P. En [1] se define el r-ncleo de un polgono
convexo P de n vrtices en los siguientes trminos:Definicin 3.3.1:
Si P es un polgono convexo de vrtices V = {v1,..., vn} y r Z, 0 r
n, llamamos r-ncleo de P y lo designamos por Kerr (P) al
conjunto
donde la interseccin recorre todos los subconjuntos de r
elementos de {1, ..., n} y CH(A) indica el cierre convexo de
A.3.2.2. Polgono No Convexo:Si el polgono P no es convexo y t = 2
debemos sustituir la diagonal vivi+2 por el camino geodsico que une
vi con vi+2 en el interior de P. Los puntos de la regin poligonal
Hi determinada por el camino geodsico de vi a vi+2 y el vrtice
vi+1no estn 2bien iluminados, (ver Figura 8). Si z Hi, un semiplano
cuyo borde pasa por z y no corta al camino geodsico de vi a vi+2
contiene menos de 2 focos, por lo que no est 2bien iluminado.
Figura 8: Regin Hi sin 2buena iluminacin.
As, la regin 2bien iluminada est contenida en la interseccin de
las regiones P \Hi para i = 1, 2,..., n. Pero no coincide con ella
segn muestra el siguiente ejemplo: en el polgono de la Figura 4.6,
tomando z un punto del tringulo (axd), el semiplano determinado por
la recta paralela a da que pasa por z solamente contiene al foco x,
por lo que z no es un punto 2bien iluminado. Un tringulo no bien
iluminado aparece en cada lado del polgono incidente con el vrtice
cncavo.Algoritmo de 2buena iluminacin en un polgono no convexo
ENTRADA:Un polgono P con n vrtices y un conjunto F = {f1,...,
fn} de n focos situados en los vrtices de P.
SALIDA:La regin 2bien iluminada en el interior de P por F, W2
(F, P).
1. Construccin de las regiones Hi. Para cada vrtice i trazamos
las diagonales correspondientes al camino mnimo desde i al vrtice i
+ 2. La regin comprendida entre el camino y el vrtice i +1 no est
2bien iluminada, (ver Figura 4.6).2. Construccin de tringulos
asociados a lados cncavos. Por cada arista ax incidente en el
vrtice cncavo x se elimina una zona no 2bien iluminada construida
del siguiente modo, (ver Figura 4.6): Prolongando el lado ax hacia
el interior del polgono cortar a un lado de P en un punto t.
Girando los segmentos at con centro en a y xt con centro en x y en
sentidos contrarios, encontramos los primeros vrtices visibles en
ambos casos, que llamaremos i y j respectivamente. Si calculamos
ahora el punto de interseccin d de las rectas xj y ai, podemos
construir el tringulo (adx) que segn se justifico anteriormente es
una regin no bien 2iluminada. En la figura se muestra tambin la
otra regin no bien 2iluminada que se obtiene con el otro lado
incidente en el vrtice cncavo x.3. Eliminacin de las regiones no
2bien iluminadas. Eliminar de P las regiones Hi construidas en el
Paso 1 y los dos tringulos adyacentes a cada vrtice cncavo de P,
construidos en el Paso 2.
3.3. T-Buena Iluminacin con Obstculo Convexo:Todo polgono
convexo tiene buenas propiedades respecto a la iluminacin o
vigilancia. En este sentido podemos aprovechar dichas propiedades
en el diseo de un algoritmo que calcule la zona 1bien iluminada por
k focos exteriores a l.
Figura 9: Pre proceso para un convexo
Figura 10: Buena 1iluminacin con un obstculo convexo
Algoritmo de 1buena iluminacin para un convexo.
ENTRADA:Un polgono convexo C con n vrtices y un conjunto F =
{f1, ...,fn} de n focos exteriores a l.SALIDA:La regin 2bien
iluminada por F, W1(F,C).
1. Pre proceso. Determinar las cuas que producen la prolongacin
de los lados del convexoy estudiar los focos que pertenecen a cada
cua. Este pre proceso se debe realizar tanto enlas cuas hacia la
derecha como las cuas hacia la izquierda, (es decir, cuando
recorremosC en sentido derecho e izquierdo). En la Figura
9presentamos un ejemplo de ordenacinde focos alrededor del convexo
en sentido derecho.Obsrvese que una vez realizada las dos
ordenaciones, (en sentido derecho e izquierdo),quedan determinados
los focos que vamos encontrando y abandonando al realizar unbarrido
por una recta que contiene a cualquier lado de C y gira en sentido
negativo alrededor de l. Los focos que aparecern vienen dados por
la ordenacin de las cuas derechasy los que desaparecern por la
ordenacin de las cuas izquierdas.
2. Clculo: El algoritmo consta de dos partes. La primera de
ellas consiste en el clculo deuna zona poligonal A, que es la unin
de los cierres convexos dinmicos de los subconjuntosde F
linealmente separados de C. La segunda parte consiste en completar
A con sectoresinternos de buena iluminacin Si, que no aparecen en
la unin de los cierres convexos. As,la zona bien iluminada por los
focos de F = {f1, f2,..., fk} ser .Detalladamenteestos son los
pasos de esta parte de clculo.
(a) Construccin del primer convexo: Trazar una recta t que
contiene a un lado cualquiera de C. Construir el cierre convexo de
todos los puntos exteriores a t.(b) Clculo de A. Unin de los
cierres convexos dinmicosGirar en sentido negativo la recta t y
construir de forma dinmica la unin delos cierres convexos que irn
apareciendo en sentido negativo y desapareciendoen sentido
izquierdo, (ver Figura 10).(c) Completar con sectores internos S^i:
Para cada foco fi construir su recta soporte ri a C. Girar ri en
sentido negativo alrededor de C hasta encontrar el primer foco
queaparece, fj . Calcular lar recta soporte rj de fj a C. Hallar el
sector Si y unirlo a la zona bien iluminada A.
4. Iluminacin Mltiple en un Polgono:
4.1. Definiciones y Propiedades:Damos a continuacin las
definiciones bsicas sobre visibilidad que nos ocuparn en el
transcurso de este captulo.Definicin 4.1.1: Dado un conjunto D de
=4, se traza una diagonal cualquiera que descompone el polgono P en
otros dos con menor n de vrtices. Por hiptesis de induccin cada uno
de estos polgonos admite una triangulacin lo que proporciona una
triangulacin de todo P.
Lema 5. Todo polgono de n vrtices, n>=4 admite una diagonal
interna.
a) Demostracin.En primer lugar observamos que todo polgono tiene
algn vrtice convexo (por ejemplo, el situado ms a la izquierda).
Llamemos A a dicho vrtice y B y C a sus adyacentes. Si el segmento
BC est contenido en el polgono P ser la diagonal buscada. Si no es
as, en el tringulo ABC habr vrtices de P. Tomamos el ms alejado X
de la recta BC. As AX est contenido en P y es la diagonal
buscada.
Propiedad 2.Cualquier triangulacin de un polgono es un grafo
plano 3-coloreable.a) Demostracin.Sea P un polgono y T(P) una
triangulacin de P. Demostraremos el resultado por induccin sobre n,
nmero de vrtices de polgono P.Si n=3, la triangulacin coincide con
P y la 3-coloracin es obvia.Si n>3 se toma una diagonal uv que
parte T(P) en dos polgonos triangulados T(P) y T(P) cuyo n de
vrtices es menor que n. Por induccin podemos colorear las
triangulaciones de Py P asignando en ambas el color 1 al vrtice u y
el color 2 a v. As tenemos una 3-coloracin de T(P).
Este tipo de problema para los diferentes tipos de guardias
(cmaras) y los diferentes tipos de polgonos (galeras) pertenece al
rea de estudio conocida como Teoremas y Algoritmos de las Galeras
de Arte.
6. PROCESAMIENTO DE IMGENES.6.1. Adquisicin de la Imagen. Para
la adquisicin de imgenes se utilizan diversos dispositivos como
cmaras fotogrficas, cmaras de video, satlites, entre otros,
dependiendo del tamao, resolucin de la imagen que necesitamos.
Figuras 18. Instrumentos de captura de de Imgenes
Una imagen natural capturada con una cmara, un telescopio, un
microscopio o cualquier otro tipo de instrumento ptico presenta una
variacin de sombras y tonos continua. Imgenes de este tipo se
llaman imgenes analgicas.
Para que una imagen analgica, en blanco y negro, en escala de
grises o a color, pueda ser "manipulada" usando un ordenador,
primero debe convertirse a un formato adecuado. Este formato es la
imagen digital correspondiente.
Figura 19. Transformacin de Imagen Analgica a Digital.
La transformacin de una imagen analgica a otra discreta se llama
digitalizacin y es el primer paso en cualquier aplicacin de
procesamiento de imgenes digitales.
6.2. Pre procesamiento de la Imagen6.2.1. Casi todas las imgenes
al momento de ser convertidas en Imgenes digitales, poseen una
cierta distorsin, ruido para ello se utilizan mtodos de eliminado
de ruido, entonces tenemos que hacer un pre procesado de la imagen
para dejarla lista solo para utilizar, en nuestro proyecto
necesitaremos obtener los bordes de una imagen, entonces cualquier
ruido puede modificar la estructura que deseamos.
6.2.2. Obtencin de Bordes.Dada una imagen con la
(p,q)-adyacencia (p-adyacencia para negro y q-adyacencia para
blanco). El borde de la imagen (en negro) es el conjunto de pxeles
en negro que tienen, al menos un q-vecino en blanco. Anlogamente,
el borde de la imagen (en blanco), es el conjunto de pxeles en
blanco que tienen, al menos, un p-vecino en negro, algunos tipos
son:
a) Borde ideal: forman un camino de un pxel de ancho, los que se
produce, perpendicularmente, una un cambio en el nivel de gris.b)
Borde rampa: forman un conjunto de pxeles conexos en los que se
produce, en una determinada direccin, variacin gradual en el nivel
de gris. Un punto se dice que es del borde si su derivada primera
es mayor que un cierto valor umbral.La idea que subyace en la mayor
parte de las tcnicas de deteccin de bordes es el clculo de un
operador local de derivacin ya que un pxel pertenece a un borde si
se produce un cambio brusco entre niveles de grises con sus
vecinos. Incidiremos en las propiedades de los operadores de
derivacin que vimos para realce de la imagen, para con la deteccin
de bordes y estudiaremos otros no vistos hasta ahora. Un problema a
tener en cuenta es que en la bsqueda de los cambios bruscos para
detectar los bordes, tambin se detectar, colateralmente, el ruido.
En general, podemos decir que los pasos fundamentales en la
deteccin de bordes son: Realizar un suavizado de la imagen para
reducir el ruido; Detectar los posibles candidatos a ser puntos del
borde; Seleccionar, de entre los candidatos, aqullos que pertenecen
realmente al borde.
En general, no hay forma de conocer si los pxeles detectados
como parte del borde son correctos o no (intuitivamente hablando).
Es lo que se llama falso positivo (el detector devuelve un pxel
cuando en realidad no perteneca a ningn borde) y falso negativo (el
detector no devuelve un pxel cuando en realidad perteneca a un
borde). Una manera posible de evaluar si un detector de bordes es
bueno o no sera comparando el borde obtenido por el detector con el
borde real de la imagen (para lo que, evidentemente, necesitamos
conocerlo de antemano). Existen parmetros, como el denominado
Figure of Merit, que miden la bondad de un detector de bordes en
este sentido. Existen otras aproximaciones que se basan en la
"coherencia local". En este caso, no se compara con el borde real
de la imagen, sino que se compara cada pxel detectado con sus
vecinos.
A) Deteccin de bordes en imgenes en escala de grises: Canny Es
el detector de bordes ms potente que existe actualmente. Los pasos
principales del algoritmo son: 1. Se realiza una convolucin con un
filtro gaussiano. De esta forma la imagen se suaviza (eliminacin de
ruidos). 2. Se calcula el gradiente de la imagen suavizada, para
determinar los pxeles donde se produce mxima variacin (mayor mdulo
del vector gradiente). Tambin se determina la direccin del vector
gradiente. 3. La matriz M correspondiente al mdulo del gradiente de
la funcin gaussiana tendr valores grandes donde la variacin de la
intensidad sea grande. Se eliminan (igualan a cero) aquellos pxeles
que no son mximos locales en la direccin del gradiente (que es
perpendicular al borde). 4. Se realiza un proceso de doble
umbralizacin para determinar los pxeles del borde: se marcan los
pxeles con valor por encima de un umbral T1; se marcan aquellos
pxeles conectados a los primeros cuyo valor est por encima de un
segundo umbral T2 (T2