Proyecto Control

INGENIERÍAELECTROMECÁNICA

INGENIERÍA DE CONTROLM.C. FERNANDO FIGUEROA GODOY

Equipo:

Proyecto:“Modelación de Análisis de

respuesta transitoria en un cable subterráneo mediante un cable

coaxial”

MAYO DE 2014INTRODUCCIÓN.

Al modelar un sistema lineal e invariante en el tiempo, con el fin de obtener una señal de transferencia del mismo sistema, la ingeniería de control emplea esta información a fin de analizar la respuesta transitoria y de estado estable, a fin de verificar si estas características cumplen el comportamiento deseado.

Al realizar la práctica de uno de estos sistemas, la señal de entrada para un sistema de control no es posible conocerla con anticipación, ya que generalmente es aleatoria, y por lo tanto no es posible obtener una señal analítica para tal entrada.

Por esta razón, se realizó un análisis de respuesta transitoria a un cable coaxial, simulando un cable de una línea de transmisión subterránea; al cual se le aplicó una señal de cc, y con ayuda de un osciloscopio se pudo observar una onda viajera el momento que el cable coaxial se descargaba.

OBJETIVO GENERAL.

Realizar un análisis de respuesta transitoria a un cable coaxial, aplicándole una señal de corriente continua, simulando en este un conductor de una línea de transmisión subterránea.

OBJETIVOS PARTICULARES.

Acondicionar el cable coaxial para la realización del análisis de respuesta transitoria.

Realizar mediciones como la resistencia y capacitancia en el cable coaxial. Observar con un osciloscopio el proceso de descarga del conductor.

MARCO TEORICO

RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE.

La respuesta completa de un sistema de control ante cualquier entrada tiene dos partes:

La respuesta transitoria o natural del sistema ( yn(t)), va desde el estado inicial hasta que la salida alcanza su valor final.

La estacionaria o de estado estable ( y f (t)), la cual corresponde al comportamiento que toma la salida cuando t tiende a infinito.

Por lo que la respuesta general del sistema es:

y ( t )=Y n (t )+Y f (t)

RESPUESTA IMPULSO

Considerando el comportamiento de un sistema de primer orden cuando está sujeto a una entrada impulso. Para un sistema de primer orden la relación puede adoptar la forma:

G (s )= Gτs+1

La transformada de Laplace de la salida es

G (S ) x transformadade laentrada

Gτs+1

x transformada de la place incersa

La transformada de Laplace para un impulso unitario en t=0es 1. Por lo tanto, para tal entrada

Transformada de ℒ de la salida= Gτs+1

x 1

¿G x (1/τ )[s+ (1/τ ) ]

La transformada es de la forma:

1s+a

Y está dada por la función e−at. De este modo

θ0=G (1 /τ ) e−at

Figura 9:θ0=G (1 /τ ) e−at para un impulso unitario en t=0.

Si el impulso tiene una magnitud A, entonces:

θ0=GA (1 /τ ) e−at

ANALISIS DEL LUGAR GEMOMETRICO DE LAS RAICES

La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema de lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia elegida. Por tanto es importante que se conozca cómo se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme varia la ganancia de lazo.

Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. Si esta tiene un grado superior a 3, es muy laborioso de encontrar sus raíces. Sin embargo, simplemente encontrar las raíces de la ecuación característica puede tener un valor limitado, debido q que, conforme varia la ganancia de la función de transferencia en lazo abierto, la ecuación característica cambia y deben repetirse los cálculos.

La idea básica detrás del método del lugar geométrico de las raíces es que los valores de s que hacen que la función de transferencia alrededor del lazo sea igual a -1 deben satisfacerse la ecuación característica del sistema.

El método debe su nombre al lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica de un sistema en lazo cerrado conforme la ganancia varia de cero a infinito. Dicha grafica muestra claramente cómo se distribuye cada polo o cero en el lazo abierto a las posiciones de los polos en lazo cerrado.

Lugares geométricos de las raíces de sistemas de primer orden.

Considerando el sistema de primer orden que se ilustra en la figura,

Figura 10: sistema de primer orden

La función de transferencia en lazo abierto, Go(s), es K / (s+1) y, como la realimentación es unitaria, el sistema tiene una función de transferencia G(s) de:

G (s )= K / (s+1)1+(K (s+1))

La cual puede rescribirse como:

G (s )= Ks+(1+k)

El sistema tiene un solo polo, en – (1+k). Cuando K=0, entonces el polo está en -1 y a medida que se incrementa el valor de k, el valor del polo se hace más negativo. Como se muestra en la figura.

Figura 11: lugar geométrico de las raíces para el sistema de la figura 10.

La línea muestra cómo cambia la posición del polo que se aleja desde k=0 a medida que K cambia, y se denomina lugar geométrico de las raíces.

Cuando K=0 la función de transferencia del sistema se convierte en función de transferencia de lazo abierto, y el valor de la raíz para el sistema cuando K=0 se denomina polo en lazo abierto.

Puesto que el valor de la raíz depende del valor K, la respuesta del sistema también depende del valor K.

DIAGRAMAS DE BODE

Los diagramas de Bode están formados por dos graficas distintas: una muestra la magnitud graficada contra la frecuencia, y la otra que muestra el ángulo de fase graficado contra la frecuencia. Donde la magnitud y la frecuencia se grafican usando escalas logarítmicas.

Para un sistema que tiene una función de transferencia que involucra varios términos la ecuación 2, indica que la magnitud resultante es el producto de las magnitudes de los elementos que la constituyen, es decir,

|G( jw)|=|G1( jw )||G2( jw )||G3( jw )|…

Al tomar logaritmos base 10 la ecuación se convierte en:

log|G( jw)|=log|G1( jw)|+ log|G2( jw)|+¿ log|G3( jw)|…¿

De esta manera, al trazar una gráfica de log|G( jw)| contra la frecuencia significa que solo se pueden sumar las contribuciones a los términos de magnitud individuales, por ejemplo si se desea obtener la traza de bode para:

G ( jw )=5(1+ jw)2+ jw

Entonces se pueden graficar por separado las siguientes logarítmicas para las magnitudes de los elementos 5,(1+ jw) y 1/(2+ jw) y solo para sumarlas para obtener la traza pura para |G( jw)|.

Es común expresar la magnitud en unidades de decibeles (dB).

magnitud en dB=20 log|G( jw)|

Así, si |G( jw)|=2.entonces, debido a que 20 log 2es 20 ,la magnitud es de 20dB.

Debido a que los diagramas de bode para un sistema se pueden formar a partir de los diagramas para elementos individuales, dentro de la función de transferencia para este sistema, es útil considerar los diagramas para elementos que por lo común se encuentran en las funciones de transferencia. Con estos elementos se pueden formar con rapidez los diagramas de bode para una amplia variedad de sistemas. Los elementos básicos que se consideran son:

Ganancia constante Un polo en el origen Un cero en el origen Un polo real Un cero real

Ganancia constante

Esto es donde

G ( jw )=K

Para dicho sistema la magnitud en decibeles es:

G ( jw )=20 log K

Y la fase es cero. Los diagramas de bode son, entonces, como se ilustra en la imagen 1. El diagrama de magnitud es una línea recta de magnitud constante. Al cambiar la ganancia, K, el diagrama de magnitud solo se recorre hacia arriba o hacia abajo cierto número de decibeles.

Figura 1: diagrama de bode para una ganancia constante.

Un polo en el origen

Esto es donde:

G ( jw )= 1jw

=− jw

Para dicho sistema la magnitud en decibeles es:

G ( jw )=20 log (1/w )=−20 log w

Cuando w=1 rad /s, entonces |G( jw)|=0, y cuando w=10 rad / s, entonces |G( jw)|=−20 dB. Para cada década de aumento en frecuencia la magnitud cae

-20 dB. El diagrama de bode en magnitud, es así, una línea recta de pendiente -20 dB por década de frecuencia, la cual pasa por 0 dB en w=1 rad /s. La fase de dicho sistema está dada por:

tan∅=(−1/w)0

=−∞

Por lo tanto, ∅ es constante para todas las frecuencias en -90°.

Figura 2: diagrama de bode para un polo en el origen.

Un cero en el origen

Esto es donde:

G ( jw )= jw

La magnitud en decibeles es, de esta manera, 20 log w. Así, cuando w=1 rad /s, entonces |G( jw)|=0 dB, y cuando w=10 rad / s, entonces |G( jw)|=20 dB. El diagrama de bode en magnitud es una línea recta de pendiente +20 dB por década de frecuencia, la cual pasa por 0 dB en w=1 rad /s. La fase del sistema está dada por:

tan∅=(−1/w)

0=+∞

Por lo tanto, la fase es constante en 90° sin considerar la frecuencia. Como se puede observar en la figura 3.

Figura 3: diagrama de bode para un cero en el origen.

Un polo real

Esto significa un sistema con un retraso de primer orden, donde

G ( jω )= 1jωτ +1

= 1− jωτ1+ω2 τ2

Donde la magnitud en decibeles es

20 log( 1√1+ω2 τ2 )

Y el ángulo de fase es

tan∅=−ωτ

Cuando ω≪1/τ , ω2 τ2 es despreciable respecto a 1y, de este modo, la magnitud es 0 dB. Por lo tanto, en frecuencias bajas los diagramas de magnitud es una línea recta constante de valor de 0 dB. Para frecuencias altas, cuando ω≫1/τ ,ω2 τ2 es mucho mayor que 1 y, de esta manera la magnitud se convierte en

20 log (1/ωτ )=−20 log ωτ

Esta es una línea recta de pendiente -20 dB por década de frecuencia, la cual intercepta la recta de cero decibeles cuando ωτ=1, es decir, cuando ω=1/τ .

Figura 4: diagrama de bode para un polo real.

Un cero real

Esto significa un sistema de primer orden que es un adelanto, donde

G ( jω )=1+ jωτ

La magnitud en decibeles es, de esta manera

20 log √1−ω2 τ2

Y la fase es

tan∅=ωτ

En frecuencias bajas, cuando ω≪1/τ ,entonces el termino ω2 τ2 es insignificante en comparación con 1 y, así, la magnitud es una línea recta de 0 dB. En frecuencias altas, cuando ω≫1/τ , entonces, 1 es insignificante en comparación con el termino ω2 τ2 así la magnitud es20 log ωτ y, por lo tanto, una línea de pendiente 20 dB por década de frecuencia con un punto de quiebre en ω=1/τ . Enseguida se muestra la imagen de este diagrama.

Figura 5: diagrama de bode para un cero real.

DIAGRAMAS DE NYQUIST

Para especificar el comportamiento de un sistema de entrada sinusoidal en una frecuencia angular particular, ω , se deben establecer tanto la magnitud, |G( jw)| como la fase, ∅ . Una forma de mostrar cómo se comporta un sistema sobre un intervalo de frecuencias angulares es trazar los datos de la respuesta para el sistema de un diagrama de Nyquist. El diagrama de Nyquist es una traza polar de la respuesta en frecuencia del sistema.

Un número complejo se puede representar mediante x+ jy, donde x es la parte real y y es la parte imaginaria. El número se puede trazar como un punto en un diagrama, que tiene un eje y el cual representa la parte imaginaria, y un eje x que representa la parte real. La versión polar del número complejo se representa mediante una línea √ x2+ y2 la cual se dibuja desde el origen y forman un ángulo ∅ con el eje real, donde tan∅= y /x. Ambos métodos terminan en el mismo punto especificado en el diagrama. Enseguida se muestra el diagrama.

Figura 6: trazado de un punto sobre un diagrama de Nyquist.

Al trazar diagramas de Nyquist existen cuatro puntos clave que se deben representar: el inicio de la traza, donde ω=0, el fin de la traza donde ω=∞; donde la traza cruza el eje real, es decir, ∅=0 ° o ± 180°, y donde esta cruza al eje imaginario, o sea, ∅=± 90 °. Para un sistema de primer orden. Donde la función de transferencia es de la forma

G ( jω )= 11+ jωτ

= 1− jωτ1+ω2 τ2

Donde la magnitud de la función |G ( jω )| es

|G ( jω )|=√ 1(1+ω2 τ2 )2

+ ω2τ2

(1+ω2τ2 )2= 1

√1+ω2 τ2

La fase, ∅ , está dada por el coeficiente de la parte imaginaria entre la parte real.

tan∅=−ωτ /(1+ω2 τ2)

1 /(1+ω2 τ2)

∅=−tan−1 ωτ

Figura 7: trazo de Nyquist para G ( jω ).

Sistema de segundo orden

Ahora considere una función de transferencia dada por

G ( jω )=ωn

2

s2+2 ζ ωn s+ωn2

La función de respuesta en la frecuencia G( jω), es

G ( jω )=[1−(ω /ωn)

2 ]− j [2 ζ (ω/ωn)][1−(ω /ωn)

2 ]2+ [2ζ (ω /ωn)]2

Y por ello la magnitud es

|G( jω)|= 1

√[1−(ω /ωn)2 ]2+[2 ζ (ω /ωn)]2

Y la fase es dada por

tan ϕ=−2ζ (ω /ωn)1−(ω /ωn)

2

ϕ=−tan−1[ 2 ζ (ω/ωn)

1−(ω /ωn)2 ]

Cuando ω=0 , entonces |G( jω)|=1 y ϕ=0. Cuando ω=∞, entonces |G( jω)|=0 y ϕ=tan−1 (0 /−∞ )=−180 °. Estos son los puntos en los que se cruza el eje real. Cuando ω /ωn, entonces |G( jω)|=1/2 y ϕ=tan−1 (2 ζ /0 )=−90 °, y es este el punto donde se cruza el eje imaginario. Y se representa en la figura.

Figura 8: trazado de Nyquist para un sistema de segundo orden.

PROCEDIMIENTO

Para la realización de esta práctica se necesitaron los siguientes materiales:

10m de cable coaxial 1 Fuente 1 Osciloscopio 1 Multímetro

1.- Se midió la resistencia del conductor y del apantallamiento, además de la capacitancia y se obtuvieron los siguientes resultados:

Resistencia del conductor Resistencia del apantallamiento

Capacitancia

1.7Ω 0.85Ω 0.83nF

2.- Se conectó el cable en un extremo a la fuente y por el otro extremo al osciloscopio.

3. Se le aplico un impulso de 30V al cable mediante un switcheo y se observó la respuesta en el osciloscopio

Resultados

Una vez realizado el experimento se pudo observar en el osciloscopio el impulso de una manera instantánea y una vez apagado, se fue observando cómo se iba descargando poco a poco en un aproximado de 12s, tiempo que duraba en descargar el cable. El transitorio presente en la onda de voltaje (onda viajera) también era observable y una vez pasado el tiempo se observaba como se estabilizaba el voltaje hasta llegar a cero (cable descargado).

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Una vez realizado un método analítico se llegó a esta función de transferencia, se consideró al cable subterráneo como un circuito RL como el de la figura siguiente, Se despreció la Capacitancia ya que en un cable de 10 m no es necesario considerarla, además como ya se sabe en líneas cortas y medias también se desprecia esta, hasta el momento no existen líneas de transmisión subterráneas largas. Por tal motivo no se consideró este efecto, una razón más es que este tipo de circuito modela perfectamente el comportamiento de este cable.

Circuito RL que modela el comportamiento del cable

Función de transferencia

SIMULACIÓN

Respuesta impulso

Grafica resultante de la respuesta impulso

Método de las raíces

Grafica resultante del método de las raíces

Método de bode

Gráfica resultante del método de bode

Método de Nyquist

Gráfica resultante del método de Nyquist

REFERENCIAS.

Bolton, w. “Ingeniería de control” 2ª.edicion P. 397.Editorial Alfaomega. México, 2008.

Ogata, Katsuhiko. “Ingeniería de control moderna”. 3ª Edición P. 997. Editorial Pearson. México. 1998.