3 MATEMÁTICA PROVA AMARELA QUESTÕES OBJETIVAS 1 O dono de um restaurante resolveu modificar o tipo de cobrança, misturando o sistema a quilo com o de preço fixo. Ele instituiu o seguinte sistema de preços para as refeições: Até 300 g –– R$ 3,00 por refeição Entre 300 g e 1 kg –– R$ 10,00 por quilo Acima de 1 kg –– R$ 10,00 por refeição O gráfico que melhor representa o preço das refeições nesse restaurante é: (A) (B) (C) (D) (E) 2 Para analisar o desempenho de seus alunos em uma prova, um professor dividiu as notas obtidas em classes de 3 (inclusive) a 4 (exclusive), de 4 (inclusive) a 5 (exclusive), e assim por diante. Com os resultados, ele produziu o histograma da figura acima. Analisando esse histograma, pode-se afirmar que: (A) a maior nota na prova foi 7. (B) a nota média foi 6. (C) 50% dos alunos obtiveram nota menor que 5. (D) um dos alunos obteve nota maior que 9. (E) exatamente 5 alunos obtiveram nota menor que 6. 3 Sobre a dízima periódica 0,999... , pode-se afirmar que: (A) é um número irracional. (B) 0,333... = 0,999... (C) 0,999... = 1. (D) 0 999 999 1000 , ... = (E) 0,999... não pode ser igual a 1, porque sua geratriz não pode ser um número inteiro. 4 Na circunferência acima, de raio r, considera-se o arco AP, no sentido anti-horário, que mede 2 radianos. Sobre a posição de P, pode-se afirmar que: (A) está no 1º quadrante. (B) está no 2º quadrante. (C) está no 3º quadrante. (D) coincide com A. (E) depende do raio r. 5 Uma função polinomial do segundo grau, f(x), se anula nos pontos x = 1 e x = 5. Então, pode-se afirmar que: (A) f(x) = x 2 - 5x + 6. (B) f(x) = x 2 + 6x + 5. (C) f(x) = ax 2 - 6ax + 5a , para algum a ∈ . (D) f tem um máximo no ponto x = 3. (E) f tem um mínimo no ponto x = 3. 6 Sendo A = (1, 11); B = (-2, -7) e C = (12, 1), o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC é: (A) 14 (B) 5 4 (C) 5 6 (D) 53 2 (E) 210
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Prova de Matem tica AMARELA - Professor … dividiu as notas obtidas em classes de 3 (inclusive) a 4 (exclusive), de 4 (inclusive) a 5 (exclusive), e assim por diante. Com os resultados,
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3MATEMÁTICA PROVA AMARELA
QUESTÕES OBJETIVAS
1O dono de um restaurante resolveu modificar o tipo de cobrança,misturando o sistema a quilo com o de preço fixo. Ele instituiuo seguinte sistema de preços para as refeições:
Até 300 g –– R$ 3,00 por refeiçãoEntre 300 g e 1 kg –– R$ 10,00 por quiloAcima de 1 kg –– R$ 10,00 por refeição
O gráfico que melhor representa o preço das refeições nesserestaurante é:
(A) (B)
(C) (D)
(E)
2
Para analisar o desempenho de seus alunos em uma prova, umprofessor dividiu as notas obtidas em classes de 3 (inclusive) a4 (exclusive), de 4 (inclusive) a 5 (exclusive), e assim por diante.Com os resultados, ele produziu o histograma da figura acima.Analisando esse histograma, pode-se afirmar que:(A) a maior nota na prova foi 7.(B) a nota média foi 6.(C) 50% dos alunos obtiveram nota menor que 5.(D) um dos alunos obteve nota maior que 9.(E) exatamente 5 alunos obtiveram nota menor que 6.
3Sobre a dízima periódica 0,999... , pode-se afirmar que:
(A) é um número irracional.
(B) 0,333...= 0,999...
(C) 0,999... = 1.
(D) 0 999 9991000
, ... =
(E) 0,999... não pode ser igual a 1, porque sua geratriz não pode
ser um número inteiro.
4
Na circunferência acima, de raio r, considera-se o arco AP, no
sentido anti-horário, que mede 2 radianos.
Sobre a posição de P, pode-se afirmar que:
(A) está no 1º quadrante.
(B) está no 2º quadrante.
(C) está no 3º quadrante.
(D) coincide com A.
(E) depende do raio r.
5Uma função polinomial do segundo grau, f(x), se anula nos
pontos x = 1 e x = 5.
Então, pode-se afirmar que:
(A) f(x) = x2 − 5x + 6.
(B) f(x) = x2 + 6x + 5.
(C) f(x) = ax2 − 6ax + 5a , para algum a ∈ .
(D) f tem um máximo no ponto x = 3.
(E) f tem um mínimo no ponto x = 3.
6Sendo A = (1, 11); B = (−2, −7) e C = (12, 1), o comprimento da
mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC é:
(A) 14
(B) 54
(C) 56
(D) 532
(E) 210
4MATEMÁTICAPROVA AMARELA
7O gráfico da função f(x) = ln(x + 1) é:
(A) (B)
(C) (D)
(E)
8Um polinômio p(x), quando dividido por d(x) = x2 − 1, deixa resto
r(x) = 2x + 3. Então, p(1) é igual a:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
9
O círculo da figura acima tem centro O = (0,0) e passa pelo
ponto (2,0). Então:
(A) a circunferência do círculo é representada pela equação
x2 + y2 = 2.
(B) o interior do círculo é representado pela inequação x2 + y2 < 2.
(C) o interior do círculo é representado pela inequação x2 + y2 < 4.
(D) o exterior do círculo é representado pela inequação x2 + y2 > 2.
(E) o ponto (1,1) pertence à circunferência.
10
O sistema
=−−
=+−
=++
0
0
02
zypx
zpyx
zyx
admite solução diferente de
(0,0,0) se e somente se:
(A) p = 1
(B) p ≠ 0
(C) p = 0
(D) p = 0 ou p = − 1
(E) p2 − p ≠ 0
11
Na figura acima, o bloco de massa M repousa, sem atrito, sobre
o plano inclinado e está ligado, por um fio inextensível, ao corpo
de massa m.
Se o sistema está em equilíbrio, então a razão m/M é igual a:
(A) 1
2
(B) 3
3
(C) 2
3
(D) 3
(E) 1
12
Considere a afirmação:
“Dados quaisquer k números inteiros pares consecutivos, um
deles é múltiplo de 3”.
Sobre os valores de k, pode-se afirmar que:
(A) o menor valor positivo de k que torna a afirmação verdadeira é 2.
(B) o menor valor positivo de k que torna a afirmação verdadeira é 3.
(C) o menor valor positivo de k que torna a afirmação verdadeira é 4.
(D) a afirmação é verdadeira para qualquer valor positivo de k.
(E) não existe k positivo que torne a afirmação verdadeira.
5MATEMÁTICA PROVA AMARELA
13
Um "tangram" é um quebra-cabeça geométrico de 7 peças,
construído a partir de um quadrado, como mostra a figura acima.
Se um "tangram" é construído a partir de um quadrado de 10 cm
de lado, a área do quadrado sombreado mede:
(A) 2cm 225
(B) 2cm 25
(C) 2cm 24
25
(D) 12 5, cm2
(E) 25 cm2
14
A unidade de informação nos computadores digitais é o bit
(abreviatura de binary digit, ou seja, dígito binário), que pode
estar em dois estados, identificados com os dígitos 0 e 1. Usando
uma seqüência de bits, podem ser criados códigos capazes de
representar números, caracteres, figuras, etc. O chamado
código ASCII, por exemplo, utiliza uma seqüência de 7 bits para
armazenar símbolos usados na escrita (letras, sinais de
pontuação, algarismos, etc). Com estes 7 bits, quantos
símbolos diferentes o código ASCII pode representar?
(A) 7!
(B) 7
(C) 14
(D) 49
(E) 128
15
Um enfeite, feito de arame, tem a forma da figura acima.
São 7 quadrados igualmente espaçados, o interno com lado
igual a 1 cm, e o externo, com lado igual a 3 cm.
O comprimento total de arame usado nesse enfeite é de:
(A) 42 cm
(B) 56 cm
(C) 77 cm
(D) 84 cm
(E) 90 cm
16Considere as afirmativas a respeito da equação
2 3 1 03 2
x x x− + − = :
I - tem − 2 como raiz;
II - tem pelo menos uma raiz racional;
III - tem pelo menos uma raiz real entre 1 e 2.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) III, apenas.
(D) I e II, apenas.
(E) II e III, apenas.
17O conjunto das soluções da inequação (1/2)x < 5 é:
(A)
(B) { }ln2ln5x x −<∈
(C) { }ln2ln5x x >∈
(D) { }ln2ln5x x −>∈
(E) { }ln3 x x −>∈
6MATEMÁTICAPROVA AMARELA
18
Qual das matrizes abaixo pode representar, em relação à base
canônica do , uma transformação linear que leva a figura
V na figura W ?
(A) 1
21
2
00
(B) 1 11
21
2−
(C) 2 21 1−
(D) 2 20 2
(E) 2 41 0
19
A figura acima mostra o gráfico de uma função ƒ: → .Sobre os sinais de sua derivada ƒ' e de sua derivada segundaƒ'' pode-se afirmar que:(A) ƒ ' < 0 e ƒ '' < 0
(B) ƒ ' < 0 e ƒ '' > 0
(C) ƒ ' = 0 e ƒ '' > 0
(D) ƒ ' > 0 e ƒ '' < 0
(E) ƒ ' > 0 e ƒ '' > 0
20Dado o número complexo z = 1 − i, o complexo z13 é igual a:
(A) 213(1 − i)
(B) 32 2 1 ( )− − i
(C) 1 2 13 ( )− i
(D) 32 (1 + i)
(E) 64 (−1 + i)
21
Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola
y = x2 e pela reta x = b, b > 0. O valor de b para que essa área
seja igual a 72 é:
(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) 3
22
O número de soluções da equação 4x + 7y = 83, onde x e y
são inteiros positivos, é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) infinito
23
Seja T: → uma transformação linear cujo núcleo tem
dimensão 1. Então, pode-se afirmar que:
(A) T é injetora.
(B) T é sobrejetora.
(C) a imagem de T tem dimensão 1.
(D) a imagem de T tem dimensão 2.
(E) o vetor nulo é o único vetor cuja imagem por T é nula.
24
Considere as seguintes afirmativas sobre seqüências de
números reais:
I - uma seqüência de irracionais pode convergir a um racional;
II - uma seqüência de números positivos pode convergir a um
número negativo;
III - se todos os termos de uma seqüência convergente são
menores que 1, então seu limite também é menor que 1.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) III, apenas.
(D) I e II, apenas.
(E) I, II e III.
7MATEMÁTICA PROVA AMARELA
25
O algoritmo abaixo calcula 1
1 20
10
+=∑ nn . A variável p
representa o valor de 2n a cada iteração, enquanto s
representa a soma das parcelas já consideradas.
p ← 1
s ← 0
Execute 11 vezes as instruções abaixo.
Escreva s
Para que o algoritmo funcione corretamente, o espaçoassinalado deve ser preenchido com:
(A) 1/p (B) p+1 (C) p2 (D) 2p (E) 2p
26Num cubo de aresta a, inscreve-se uma pirâmide regular debase quadrada, de modo que a sua base coincida com uma dasfaces do cubo, e o vértice da pirâmide, com o centro da faceoposta. Então, a aresta lateral da pirâmide mede:
(A) a
(B) a 23
(C) a 32
(D) a 2
(E) a 3
27Ao entrar em casa de amigos, cinco pesoas deixam seus
guarda-chuvas com a dona da casa. Quando as pessoas
resolvem pedi-los de volta para sair, a dona da casa constata que
todos eles são aparentemente iguais, e resolve distribuí-los ao
acaso. Qual a probabilidade de que exatamente três pessoas
recebam cada uma o seu próprio guarda-chuva?
(A) 12
1 (B) 6
1 (C) 4
1 (D) 3
1(E)
12
5
28Considerando duas funções não nulas tais que cada uma delas
é igual à sua derivada, pode-se afirmar que:
(A) o quociente entre elas é uma constante.
(B) a soma delas é uma constante.
(C) ambas assumem o valor 1 no ponto 0.
(D) elas diferem por uma constante.
(E) em funções não nulas tal não ocorre.
s sp
p
← ++
←
11
29Em um grupo G com operação * e elemento neutro (ou identidade)
e, o símbolo xn representa x* x* ... *x (n fatores). A ordem de um
elemento é o menor natural k (se existir), tal que xk = e. A esse
respeito, considere as afirmativas abaixo.
I - Em qualquer grupo, só existe um elemento com ordem 1.II - Existe um grupo com n elementos, onde nenhum elemento
tem ordem n.III - Em qualquer grupo com n elementos, no máximo um
elemento tem ordem n.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):(A) I, apenas.(B) II, apenas.(C) III, apenas.(D) I e II apenas.(E) I, II e III.
30Considere as condições abaixo relativas a uma funçãof : →
I - Existe um ε > 0 tal que f ( x ) < ε para todo x ;
II - f x x( ) /≤ 1 para todo x > 0;
III - f é positiva e estritamente decrescente para todo x > 0.
Destas condições, é(são) suficiente(s) para garantir que
lim
x
f x
=
→ ∞( ) :0
(A) I, somente.(B) II, somente.(C) I e II, somente.(D) II e III, somente.(E) I, II e III.
8MATEMÁTICAPROVA AMARELA
QUESTÕES DISCURSIVAS
PARTE B
QUESTÕES ABERTAS COMUNS AOS FORMANDOS DE BACHARELADO E DE LICENCIATURA
1
Sendo o pentágono ABCDE regular, resolva os itens abaixo.
a) Determine os ângulos GBA ˆ e HBG ˆ . (valor: 5,0 pontos)
b) Mostre que o triângulo ABH é isósceles, e que os triângulos ABC e BHC são semelhantes. (valor: 5,0 pontos)
c) Mostre que a razão entre os comprimentos de uma diagonal e de um lado do pentágono é o número áureo 2
5+1 .(valor: 10,0 pontos)
2Uma loja adota a seguinte promoção:"Nas compras acima de R$ 100,00, ganhe um desconto de 20% sobre o valor que exceder R$ 100,00".
a) Duas amigas fazem compras no valor de R$ 70,00 e R$ 50,00, respectivamente. Que economia elas fariam se reunissem suascompras em uma única conta? (valor: 5,0 pontos)
b) Esboce o gráfico da função f que associa a cada valor de compras x ≥ 0 o valor f (x) efetivamente pago pelo cliente. (valor: 5,0 pontos)
c) Para x > 100, f (x) é da forma f (x) = ax + b. Calcule os valores de a e b. (valor: 10,0 pontos)
3Sejam p
1=2, p
2=3, p
3=5,..., p
n os n primeiros primos naturais.
a) Deduza que p1
p2
p3.....p
n+1 é divisível por um primo diferente de p
1 , p
2 , p
3 ,..., p
n, mencionando os resultados necessários na sua
dedução. (valor: 10,0 pontos)
b) Conclua, a partir de (a), que existem infinitos primos. (valor: 10,0 pontos)
4Existe uma única reflexão (ou simetria ortogonal) S do plano que transforma o ponto (5, 0) no ponto (3, 4).
a) Estabeleça uma equação para o eixo da reflexão S. (valor: 5,0 pontos)
b) Verifique que o eixo de S passa pela origem (portanto, S é uma transformação linear). (valor: 5,0 pontos)
c) Calcule a matriz (em relação à base canônica de ) da reflexão S. (valor: 10,0 pontos)
5O valor médio de uma função contínua e positiva f em um intervalo [a,b] pode ser definido geometricamente como a altura de um retângulocom base [a,b] e com área equivalente à área sob a curva y = f(x) nesse intervalo.
a) Esboce o gráfico de f(x) = sen x, para x ∈ [0,π], indicando seus valores máximo e mínimo. (valor: 10,0 pontos)
b) Calcule o valor médio de f(x) = sen x no intervalo [0,π]. (valor: 10,0 pontos)
9MATEMÁTICA PROVA AMARELA
PARTE C
QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE BACHARELADO
6
Um modelo clássico para o crescimento de uma população de determinada espécie está descrito a seguir. Indicando por
y = y(t) o número de indivíduos desta espécie, o modelo admite que a taxa de crescimento relativo da população seja proporcional
à diferença M − y(t), onde M > 0 é uma constante. Isto conduz à equação diferencial y'y
k ( M y)= − , onde k > 0 é uma constante que
depende da espécie.
Com base no exposto:
a) resolva a equação diferencial acima; (valor: 10,0 pontos)
b) considere o modelo apresentado para o caso particular em que M = 1000, k = 1 e y (0) = 250 e explique qualitativamente comose dá o crescimento da população correspondente, indicando os valores de t para os quais y(t) é crescente, e o valor limitede y(t) quando t → ∞ . (valor: 10,0 pontos)
7
Seja Z3 = { }0 , 1 , 1− o corpo de inteiros módulo 3 e Z
3 [x] o anel de polinômios em x com coeficientes em Z
3 .
a) Mostre que x2 + x − 1 é irredutível em Z3 [x]. (valor: 10,0 pontos)
b) Mostre que o anel quociente
( )1
][2
3
−+ xx
xZ é um corpo e que tem 9 elementos. (valor: 10,0 pontos)
8
Considere o subconjunto Γ do dado pela equação 2(x2 + y2)2 = 25 (x2 − y2).
a) Para que valores de x existem vx , vizinhança de x, e função diferenciável y = y(x) definida em vx , satisfazendo
b) Obtenha a reta tangente a Γ no ponto (3, 1). (valor: 10,0 pontos)
9
Prove que se uma função f: → é contínua, então a imagem inversa f −1(V) de todo subconjunto aberto V ⊂ é um subconjunto
aberto de . (valor: 20,0 pontos)
Definição: Uma função f: → é contínua num ponto a ∈ quando, para todo ∈ > 0 existe δ > 0 tal que
x a − < ⇒ − < ∈δ f x f a( ) ( ) .
10MATEMÁTICAPROVA AMARELA
10
Sejam : D ⊂ → um campo conservativo, ϕ: D ⊂ → uma função potencial de e γ :[a, b] → D uma curva regular
de classe C1.
a) Mostre que o trabalho realizado por sobre γ é dado por ϕ γ ϕ γ (b) (a)( ) ( )− . (valor: 10,0 pontos)
b) Calcule o trabalho realizado pelo campo
++=
2222 , ),(
yx
y
yx
xyx sobre a curva esboçada abaixo. (valor: 10,0 pontos)
Definições: Um campo vetorial : D ⊂ → diz-se conservativo (ou gradiente) se existe ϕ : D → , de classe C1, tal
que ϕ = em todo ponto de D. Uma tal ϕ chama-se função potencial. O trabalho realizado por um campo de vetores sobre
uma curva γ :[a, b] → D é dado por ( )∫ •
b
adttt . )( )(γ
11MATEMÁTICA PROVA AMARELA
PARTE C
QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE LICENCIATURA
11Temos abaixo uma seqüência de triângulos construídos com palitos.
Foi proposto a uma turma o desafio de escrever uma expressão algébrica que representasse o número P de palitos necessários paraformar um número n de triângulos.Os alunos usaram palitos para construir alguns triângulos e registraram os seguintes valores na tabela.
Depois disso,
- o aluno A disse:
"Observei a tabela e concluí que o número de palitos é o dobro do número de triângulos mais 1".e escreveu: P = 2n + 1;
- o aluno B disse:
"Ao formar os triângulos, percebi que para o primeiro foram usados 3 palitos; a partir do segundo triângulo, foram sempre usados2 palitos para cada um",e escreveu: P = 3 + 2⋅ (n − 1).
Analisando as conclusões dos dois alunos, responda às perguntas abaixo.
a) Quem observou padrões de regularidade na situação: A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)
b) Quem justificou satisfatoriamente as suas conclusões: A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)
12
O gráfico da função f(x) é dado acima. Sabe-se que f é contínua, mas só se conhecem, exatamente, os seus valores nos pontos indicados.Assim sendo, perguntou-se a dois alunos o valor de f (110).
A respondeu: 100 − f (100) → 100
(100) 110=
fy
x
110 − y
B respondeu: 120 − f (120) → 120
(120) 110=
fy
x
110 − y
Os alunos se surpreenderam ao encontrar resultados diferentes.
Com base em todo o exposto, atenda às solicitações abaixo.
a) Algum dos dois alunos determinou o valor correto de f (110) ? Por quê ? (valor: 10,0 pontos)
b) Dê o gráfico de uma função f para a qual o método usado pelo aluno A estaria correto. (valor: 10,0 pontos)
N° Triângulos (n) 1 2 3 4
N° Palitos (P) 3 5 7 9
12MATEMÁTICAPROVA AMARELA
13A um aluno foi pedido um esboço da demonstração do seguinte teorema:
"Se uma reta r contém a interseção das diagonais de um paralelogramo, então r divide esse paralelogramo em duas regiões demesma área".
Observe a sua resposta.
"Considera-se o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD, cuja interseção é o ponto P, e uma reta r, paralela a AB, contendo P,que corta os lados AD e BC do paralelogramo nos pontos M e N, respectivamente.Prova-se que cada um dos três triângulos que compõem o quadrilátero ABNM é congruente a um dos três triângulos que compõem oquadrilátero DMNC.Como figuras congruentes têm áreas iguais, segue-se que a área de ABNM é igual à de DMNC."
Se tivesse de corrigir esta tarefa, você a consideraria correta (sem levar em conta o seu nível de detalhamento)? Justifique. (valor: 20,0 pontos)
14"Estudos e experiências evidenciam que a calculadora é um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática.A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratóriase de investigação."
In. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática
Dê dois exemplos concretos de situações em que, de acordo com o trecho acima, a calculadora pode ser usada como recurso didáticono Ensino Fundamental ou Médio da Matemática. (valor: 20,0 pontos)
15
A demonstração do Teorema de Tales usualmente encontrada nos textos para o ensino fundamental segue duas etapas.
I - Prova-se que, se AB = BC, então DE = EF.
II - Supondo que AB ≠ BC, considera-se um segmento de comprimento u tal que:
AB = p.u e BC = q.u, sendo p,q ∈ N, p ≠ q.
Utiliza-se, então, o resultado da etapa I para concluir que as paralelas pelos pontos de subdivisão de AB e BC dividirão também
DE e EF em partes iguais (de comprimento u' ). Daí, conclui-se que: ABBC
pq
DEEF
= = .
a) Este tipo de demonstração abrange os casos nos quais ABBC
é natural? racional? real qualquer? Justifique. (valor: 10,0 pontos)
b) Cite dois exemplos de conteúdos da geometria elementar cujo ensino utilize o Teorema de Tales. (valor: 10,0 pontos)
Teorema de Tales
"Se três retas paralelas r , s e t cortam duas transversais m e n nos pontos
A, B, C e D, E, F, respectivamente, então as razões ABBC
DEEF
e são iguais."
(ver figura).
13MATEMÁTICA PROVA AMARELA
As questões abaixo visam a levantar sua opinião sobre aqualidade e a adequação da prova que você acabou de realizar.Assinale as alternativas correspondentes à sua opinião nosespaços próprios (parte inferior) do Cartão-Resposta.Agradecemos sua colaboração em respondê-las.
31Segundo a sua visão, e levando em conta o que você vivencioudurante o seu curso, qual o grau de dificuldade desta prova?(A) Muito fácil.(B) Fácil.(C) Médio.(D) Difícil.(E) Muito difícil.
32Quanto à sua extensão, como você considera a prova?(A) Muito longa.(B) Longa.(C) Adequada.(D) Curta.(E) Muito curta.
33Para você, como foi o tempo destinado à resolução da prova?(A) Excessivo.(B) Pouco mais que suficiente.(C) Suficiente.(D) Quase suficiente.(E) Insuficiente.
34Você considera que, na sua elaboração, os enunciados da provaapresentam clareza e objetividade?(A) Sim, todos os enunciados apresentam.(B) Sim, a maioria dos enunciados apresenta.(C) Sim, mas apenas cerca da metade dos enunciados apresenta.(D) Não, muito poucos enunciados apresentam.(E) Não, nenhum dos enunciados apresenta.
35Como você considera as informações fornecidas em cadaquestão para a sua resolução?(A) Sempre excessivas.(B) Sempre suficientes.(C) Suficientes na maioria das vezes.(D) Suficientes somente em alguns casos.(E) Sempre insuficientes.
36Em que medida os conteúdos abordados nesta prova foramtrabalhados no seu curso?(A) A grande maioria, com profundidade.(B) Muitos, com razoável profundidade e alguns, de forma superficial.(C) Muitos, de forma superficial e alguns, com razoável profundidade.(D) A grande maioria, de forma superficial.(E) A maioria sequer foi trabalhada no meu curso.
37Como você avalia a adequação da prova aos conteúdos defini-dos para o Provão/99 desse curso?(A) Com abrangência ampla e abordagem adequada.(B) Com abrangência ampla, mas com abordagem inadequada.(C) Com abrangência parcial, mas com abordagem adequada.(D) Totalmente inadequada.(E) Desconheço os conteúdos definidos para o Provão/99.
38Como você avalia a adequação da prova para verificar as habi-lidades que deveriam ter sido desenvolvidas durante o curso,conforme definido para o Provão/99?(A) Plenamente adequada.(B) Medianamente adequada.(C) Pouco adequada.(D) Totalmente inadequada.(E) Desconheço as habilidades definidas para o Provão/99.
39Como você considera a coerência entre a prova e o perfil dograduando tomado como referência para o Provão/99?(A) A prova guarda total coerência com o perfil esperado do
graduando.(B) A prova guarda razoável coerência com o perfil esperado do
graduando.(C) A prova demonstra pouca coerência com o perfil esperado do
graduando.(D) A prova não demonstra coerência com o perfil esperado do
graduando.(E) Desconheço o perfil esperado do graduando, tomado como
referência para o Provão/99.
40Com que tipo de problema você se deparou mais freqüentementeao responder a esta prova?(A) Desconhecimento de conteúdo: temas não abordados em
meu curso.(B) Desconhecimento de conteúdo: temas abordados no curso,
mas não estudados por mim.(C) Dificuldade de trazer a resposta à tona da memória, porque
o conteúdo foi estudado há muito tempo.(D) Espaço insuficiente para responder às questões.(E) Não tive qualquer tipo de dificuldade para responder à prova.
IMPRESSÕES SOBRE A PROVA
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99MATEMATICA
MATEMATICA
PADROES DE RESPOSTA
QUESTOES ABERTAS
PARTE B (Questoes comuns aos Formandos de Bacharelado e de Licenciatura)
Questao 1
G
D
B
I
J
F
A
C
H
E
Sendo o pentagono ABCDE regular, resolva os itens abaixo.
a) Determine os angulos A bBG e G bBH. (valor: 5,0 pontos)
b) Mostre que o triangulo ABH e isosceles, e que os triangulos ABC e BHC sao semelhantes. (valor:
5,0 pontos)
c) Mostre que a razao entre os comprimentos de uma diagonal e de um lado do pentagono e o numero
aureo 1+p5
2.(valor: 10,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a) A bBC = 108± (angulo interno do pentagono regular).
PADROES DE RESPOSTA 1
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99MATEMATICA
¢ABC isosceles ) B bAC = A bCB = 36± . Logo, A bBG = 36
±
:
Analogamente, A bBE = D bBC = 36±
:
Portanto, G bBH = 108±¡ 72
±= 36
±.
b) B bHC = 180±
¡ 72±
= 108±
) B bHA = 72±
:
Assim, no triangulo ABH, B = H = 72± , o que mostra que o triangulo ABH e isosceles. (1)
Tambem, pelo caso AAA de semelhanca de triangulos, tem-se a semelhanca dos triangulos ABC e
BHC, ja que os angulos de ambos medem 36±, 36± e 108±.
c) Da semelhanca entre ABC e BHC:
AB
HC=AC
BC(2)
Representando por ` o lado e por d a diagonal do pentagono, temos:
AC = d
AB = BC = `
HC = d¡AH = d¡ ` (por (1), AH = `)
Substituindo em (2), vem:
`
d¡ `=d
`) d
2 ¡ d`¡ `2= 0
µd
`
¶2
¡ d
`¡ 1 = 0
d
`=
1§p52
Comop5 > 1, a unica solucao positiva e
d
`=
1+p5
2
PADROES DE RESPOSTA 2
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99 MATEMATICA
Questao 2
Uma loja adota a seguinte promocao:
”Nas compras acima de R$ 100,00, ganhe um desconto de 20% sobre o valor que exceder R$ 100,00”.
a) Duas amigas fazem compras no valor de R$ 70,00 e R$ 50,00, respectivamente. Que economia elas
fariam se reunissem suas compras em uma unica conta? (valor: 5,0 pontos)
b) Esboce o grafico da funcao f que associa a cada valor de compras x ¸ 0 o valor f(x) efetivamente
pago pelo cliente. (valor: 5,0 pontos)
c) Para x > 100, f(x) e da forma f(x) = ax+ b. Calcule os valores de a e b. (valor: 10,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a) Se elas reunem suas compras, tem um desconto de 20% sobre os R$ 20,00 que excedem R$ 100,00.
Logo, a economia e de R$ 4,00.
b)
100
100
c) Para x > 100,
f(x) = x¡ 0; 2(x¡ 100) = 0; 8x+ 20
Logo, a = 0; 8 e b = 20.
PADROES DE RESPOSTA 3
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99 MATEMATICA
Questao 3
Sejam p1; p2; p3; : : : ; pn, os n primeiros primos naturais.
a) Deduza que p1p2p3 : : : pn+1 e divisivel por um primo diferente de p1; p2; p3; : : : ; pn, mencionando os
resultados necessarios na sua deducao. (valor: 10,0 pontos)
b) Conclua, a partir de (a), que existem infinitos primos. (valor: 10,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a) p1p2p3 : : : pn + 1 e divisivel por algum primo p, pois se fatora como produto de primos. Se p = pi,
entao p divide 1, o que e impossivel.
Pode-se, tambem, argumentar que p1p2 : : : pn + 1 deixa resto 1 quando dividido por pi.
Os resultados utilizados sao:
- Todo natural > 1 e primo ou produto de primos.
- Se um natural divide dois outros, entao divide sua diferenca.
b) O procedimento de (a) fornece um primo p > pn. Logo, o conjunto dos primos e ilimitado. Como
todo subconjunto ilimitado dos naturais e infinito, conclui-se que ha infinitos primos.
PADROES DE RESPOSTA 4
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99 MATEMATICA
Questao 4
Existe uma unica reflexao (ou simetria ortogonal) S do plano que transforma o ponto (5; 0) no ponto (3; 4).
a) Estabeleca uma equacao para o eixo da reflexao S. (valor: 5,0 pontos)
b) Verifique que o eixo de S passa pela origem (portanto, S e uma transformacao linear). (valor: 5,0
pontos)
c) Calcule a matriz (em relacao a base canonica de R2 ) da reflexao S. (valor: 10,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a) O eixo de S e a mediatriz do segmento de extremos A(5; 0) e B(3; 4). Esta reta passa pelo ponto
medio de AB, que e o ponto (4; 2), e e perpendicular ao vetor ~AB = (¡2; 4). Logo, sua equacao e:
¡2(x¡ 4) + 4(y ¡ 2) = 0) x¡ 2y = 0
b) A origem O = (0; 0) satisfaz a equacao acima. Logo, o eixo de S passa pela origem. Alternativamente,
poderiamos verificar que O e equidistante de A e B.
c) Basta encontrar os transformados de (1; 0) e (0; 1) por S. Como S(5; 0) = (3; 4), temos S(1; 0) =¡35 ;
45
¢. Para achar S(0; 1), primeiro encontramos sua projecao sobre o eixo:
8><>:
x¡ 2y = 0
2(x ¡ 0) + y ¡ 1 = 0
)x = 2
5
y = 15
Logo, o simetrico de (0; 1) e¡45 ;¡3
5
¢.
Portanto, a matriz de S e µ 35
45
45¡
35
¶
Solucao alternativa:
S e da forma:
S(x; y) =
µa b
c d
¶µx
y
¶=
µax+ by
cx+ dy
¶
Temos
S(5; 0) = (5a; 5c) = (3; 4) ) a =3
5e c =
4
5
O ponto medio e fixo. Logo, S(4; 2) = (4; 2).
PADROES DE RESPOSTA 5
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99 MATEMATICA
Assim µ3
5:4 + 2b;
4
5:4 + 2d
¶= (4; 2) ) b =
4
5e d = ¡4
5
PADROES DE RESPOSTA 6
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99 MATEMATICA
Questao 5
O valor medio de uma funcao continua e positiva f em um intervalo [a; b] pode ser definido geometricamente
como a altura de um retangulo com base [a; b] e com area equivalente a area sob a curva y = f(x) nesse
intervalo.
a) Esboce o grafico de f(x) = sen x, para x 2 [0; ¼], indicando seus valores maximo e minimo. (valor:
10,0 pontos)
b) Calcule o valor medio de f(x) =sen x no intervalo [0; ¼]. (valor: 10,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a)
π/2
1
π
f(x)
x
O valor maximo e 1 e o valor minimo e 0.
b) O valor medio e¼R0
senx
¼=¡ cosx]¼0
¼=¡(cos¼ ¡ cos 0)
¼=
2
¼
PADROES DE RESPOSTA 7
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99 MATEMATICA
PARTE C (Questoes especificas para os Formandos de Bacharelado)
Questao 6
Um modelo classico para o crescimento de uma populacao de determinada especie esta descrito a seguir.
Indicando por y = y(t) o numero de individuos desta especie, o modelo admite que a taxa de crescimento
relativo da populacao seja proporcional a diferenca M ¡ y(t), onde M > 0 e uma constante. Isto conduz
a equacao diferencial y0
y= k(M ¡ y), onde k > 0 e uma constante que depende da especie. Com base no
exposto:
a) resolva a equacao diferencial acima; (valor: 10,0 pontos)
b) considere o modelo apresentado para o caso particular em que M = 1000, k = 1 e y(0) = 250 e
explique qualitativamente como se da o crescimento da populacao correspondente, indicando os valores
de t para os quais y(t) e crescente, e o valor limite de y(t) quando t!1. (valor: 10,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a) A equacao pode ser escrita comoy0
y2= ¡k +
kM
y:
Mudando a variavel para v(t) = 1y(t) , obtem-se
v0(t) = ¡ 1
y(t)2:y0(t):
Portanto, v0(t) = k ¡ kMv, que e linear de grau 1. Logo
v(t) =1
M+
ce¡kMT
M
e, dai,
y(t) =M
1 + ce¡kMt
b) Para os valores dados, tem-se:
250 =1000
1 + c:1
Logo, c = 3. A funcao e, portanto,
y(t) =1000
1 + 3e¡1000t
Como f(t) = e¡1000t e decrescente e positiva para todo t ¸ 0, y(t) e crescente para todo t ¸ 0. Por
b) Obtenha a reta tangente a ¡ no ponto (3; 1). (valor: 10,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a) Tome-se F (x; y) = 2(x2 + y2)2 ¡ 25(x2 ¡ y2) . Como @F@y
(x; y) = 8(x2 + y2):y + 50y segue que
@F
@y(x; y) = 0, y = 0:
Para y = 0 tem-se 2x4 = 25x2 e portanto x = 0 ou x = §5p2
2 .
Alem disso, ¡5p2
2 · x · 5p2
2
Isto pode ser obtido de varias formas:
- escrevendo-se ¡ em coordenadas polares;
(Fazendo x = r cos µ e y = sen µ, a equacao transforma-se em 2r4 ¡ 25r2 cos 2µ = 0, que e equivalente
a r2 = 25
2cos2µ, cujo grafico e dado abaixo.)
- resolvendo-se a equacao (incompleta) do 4± grau em x;
- analisando-se as intersecoes de ¡ com os eixos, seu grafico no 1± quadrante, etc...
0 3210-1-2-30
1
0
-1
Assim ¡5p2
2 < x < 5p2
2 e x6= 0.
b) Diferenciando implicitamente em relacao a x obtemos:
4(x2 + y2)2µ2x+ 2y
dy
dx
¶= 25
µ2x¡ 2y
dy
dx
¶
No ponto (3; 1) temos x = 3 , y(3) = 1. Ou seja:
4(32 + 12)
µ6 + 2
dy
dx
¶= 25
µ6¡ 2
dy
dx
¶;
que fornece dydx(3) = ¡ 9
13 .
Logo, a reta procurada e:y ¡ 1
x¡ 3= ¡ 9
13
PADROES DE RESPOSTA 11
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99 MATEMATICA
Questao 9
Prove que se uma funcao f : Rn ! Rn e continua, entao a imagem inversa f¡1(V ) de todo subconjunto
aberto V ½ Rn e um subconjunto aberto de Rn. (valor: 20,0 pontos)
Definicao: Uma funcao f : Rn ! Rn e continua num ponto a 2 Rn quando, para todo ² > 0 existe ± > 0
tal que jx¡ aj < ± ) jf(x)¡ f(a)j < ².
Padrao de Resposta Esperado Suponhamos f continua e tomemos V ½ Rn um aberto. Vamos mostrar
que f¡1(V ) e aberto em Rn. Para cada a 2 f¡1(V ) temos f(a) 2 V . Sendo V aberto, existe uma bola
aberta B(f(a); ²), de centro f(a) e raio ² > 0, tal que B(f(a); ²) ½ V . Como f e continua em a, ao ² > 0
corresponde um ± > 0 tal que jx¡ aj < ± ) jf(x) ¡ f(a)j < ². Considere, agora, x 2 B(a; ±). Segue que
jx¡ aj < ± e, dai, jf(x)¡ f(a)j < ². Logo, f(x) 2 B(f(a); ²). Concluimos que f(x) 2 V e, portanto, que
x 2 f¡1(V ). Mostramos, assim, que existe uma bola aberta B(a; ±) tal que B(a; ±) ½ f¡1(V ) e, portanto,
que f¡1(V ) e aberto.
PADROES DE RESPOSTA 12
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99 MATEMATICA
Questao 10
Sejam ~F : D ½ R2 ! R
2 um campo conservativo, Á : D ½ R2 ! R uma funcao potencial de ~F e
° : [a; b]! D uma curva regular de classe C1.
a) Mostre que o trabalho realizado por ~F sobre ° e dado por Á (°(b))¡ Á (°(a)). (valor: 10,0 pontos)
b) Calcule o trabalho realizado pelo campo ~F(x; y) =³
xx2+y2 ;
yx2+y2
´sobre a curva esbocada abaixo.
(valor: 10,0 pontos)
1 e
Definicoes: Um campo vetorial ~F : D ½ R2 ! R2 diz-se conservativo (ou gradiente) se existe Á : D ! R,
de classe C1, tal que ~rÁ = ~F em todo ponto de D. Uma tal Á chama-se funcao potencial. O trabalho
realizado por um campo de vetores sobre uma curva ° : [a; b]! D e dado porbRa
~F (°(t)) :~°0(t)dt.
Padrao de Resposta Esperado
a ) Basta aplicar a Regra da Cadeia e o Teorema Fundamental do Calculo
bZa
~F(°(t)):~°0(t)dt =
bZa
~rÁ(°(t)):~°0(t)dt =
bZa
d
dt(Á ± °)dt = Á ± °]ba = Á(°(b))¡ Á(°(a)):
b) O campo ~F e conservativo (em R2 ¡ f(0; 0)g) e Á(x; y) = 1
2 ln(x2 + y2) e uma funcao potencial. De
fato, temos ~rÁ(x; y) = ~F (x; y), ja que:
@Á
@x(x; y) =
x
x2 + y2
@Á
@y(x; y) =
y
x2 + y2:
Em vista do item (a):
bZa
~F(°(t)):~°0(t)dt = Á(°(b))¡ Á(°(a))
PADROES DE RESPOSTA 13
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99 MATEMATICA
=1
2ln(12 + 02)¡ 1
2ln(e2 + 02)
=1
2ln 1¡ 1
2ln e2
= ¡ ln e
= ¡1:
Outras solucoes possiveis:
1. Como o campo e conservativo, a integral pedida e igual a integral calculada ao longo do segmento
¾ : [1; e] ! R2
¾(t) = (e + 1¡ t; 0)
Assim
eZ1
~F (°(t)):~°0(t)dt =
Z°
~F(¾(t)):~¾0(t)dt =
eZ1
e+ 1¡ t
(e+ 1¡ t)2(¡1)dt =
eZ1
¡ 1
e+ 1¡ tdt
= ln(e+ 1¡ t)]e1 = ¡ ln e = ¡1
2.
12γ
1γ
γD
e
Em consequencia do Teorema de Green, temos:I°1[°
~F:d~r +
I°2
~F :d~r =
Z ZD
µ@F2
@x¡ @F1
@y
¶dxdy
Dai, segue que
eZ1
~F(°(t)):~°0(t)dt+
1Ze
~F (°1(t)): ~°10(t)dt¡
I°2
~F :dr = 0
pois@F2
@x=
@F1
@y= ¡ 2xy
(x2 + y2)2
Sendo
°2(t) =
µ1
2cost;
1
2sent
¶; 0 · t · 2¼
PADROES DE RESPOSTA 14
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99 MATEMATICA
e
°1(t) = (e+ 1¡ t; 0); 1 · t · e;
temos I°2
~F:d~r =
Z 2¼
0
Ã12 cos t
14
;12sent
14
!:
µ¡1
2sent;
1
2cost
¶dt = 0
e I°1
~F :d~r =
Z e
1
e+ 1¡ t
(e + 1¡ t)2dt =
Z e
1¡ 1
e+ 1¡ tdt = ¡1:
PortantoeR1
~F(°(t)):~°0(t)dt = ¡1.
PADROES DE RESPOSTA 15
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99 MATEMATICA
PARTE C (Questoes Especificas para os Formandos de Licenciatura)
Questao 11
Temos abaixo uma sequencia de triangulos construidos com palitos.
........
Foi proposto a uma turma o desafio de escrever uma expressao algebrica que representasse o numero P de
palitos necessarios para formar um numero n de triangulos. Os alunos usaram palitos para construir alguns
triangulos e registraram os seguintes valores na tabela.
N0 Triangulos (n) 1 2 3 4
N0 Palitos (P) 3 5 7 9
Depois disso,
- o aluno A disse:
”Observei a tabela e conclui que o numero de palitos e o dobro do numero de triangulos mais 1”,
e escreveu: P = 2n+ 1;
- o aluno B disse:
”Ao formar os triangulos, percebi que para o primeiro foram usados 3 palitos; a partir do segundo triangulo,
foram sempre usados 2 palitos para cada um”,
e escreveu: P = 3 + 2:(n¡ 1):
Analisando as conclusoes dos dois alunos, responda as perguntas abaixo.
a) Quem observou padroes de regularidade na situacao: A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)
b) Quem justificou satisfatoriamente as suas conclusoes: A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a) Ambos os alunos observaram a regularidade envolvida na situacao. O aluno A observou uma regulari-
dade numerica no conjunto dos numeros da tabela, enquanto B observou uma regularidade a partir do
processo de formacao dos triangulos, sem olhar tais numeros.
b) Em relacao as justificativas:
² A nao justificou a generalizacao feita, porque sua conclusao se apoiou apenas em um numero finito de
casos da tabela.
² B de fato justificou a generalizacao que fez, pois sua conclusao se apoiou em uma caracteristica geral
do processo, e nao em um ou alguns casos particulares.
PADROES DE RESPOSTA 16
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99 MATEMATICA
Questao 12
x
f (x)
100 120
O grafico da funcao f(x) e dado acima. Sabe-se que f e continua, mas so se conhecem, exatamente, os seus
valores nos pontos indicados. Assim sendo, perguntou-se a dois alunos o valor de f(110).
A respondeu 100 - f(100) ! y =110£f(100)
100
110 - y
B respondeu 120 - f(120) ! y =110£f(120)
120
110 - y
Os alunos se surpreenderam ao encontrar resultados diferentes.
Com base em todo o exposto, atenda as solicitacoes abaixo.
a) Algum dos dois alunos determinou o valor correto de f(110) ? Por que ? (valor: 10,0 pontos)
b) De o grafico de uma funcao f para a qual o metodo usado pelo aluno A estaria correto. (valor: 10,0
pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a) Nao, porque ambos, ao resolverem o problema usando uma regra de tres, consideraramy e x propor-
cionais, o que nao e o caso, uma vez que a funcao y(x) nao e linear. Isto pode ser afirmado porque os
pontos (100; f(100)) e (120; f(120)) nao estao sobre uma reta contendo a origem.
b) Qualquer grafico de uma funcao tal que os pontos (100; f(100)) e (110; f(110)) estejam sobre uma
reta contendo a origem.
PADROES DE RESPOSTA 17
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99 MATEMATICA
Questao 13
A um aluno foi pedido um esboco da demonstracao do seguinte teorema:
”Se uma reta r contem a intersecao das diagonais de um paralelogramo, entao r divide esse paralelogramo
em duas regioes de mesma area.”
Observe a sua resposta.
”Considera-se o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD, cuja intersecao e o ponto P , e uma
reta r, paralela a AB, contendo P , que corta os lados AD e BC do paralelogramo nos pontos M e
N , respectivamente. Prova-se que cada um dos tres triangulos que compoem o quadrilatero ABNM e
congruente a um dos tres triangulos que compoem o quadrilatero DMNC. Como figuras congruentes tem
areas iguais, segue-se que a area de ABNM e igual a de DMNC.”
Se tivesse de corrigir esta tarefa, voce a consideraria correta (sem levar em conta o seu ni vel de detalhamento)?
Justifique. (valor: 20,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
A resposta nao esta correta, pois, de inicio, o aluno considerou um caso muito particular: a reta r paralela
a um dos lados do paralelogramo, e nao uma reta qualquer, contendo o ponto P . Mesmo estando correto o
resto do raciocinio, ele so prova a afirmacao para este caso e nao no caso geral, como afirma o teorema.
PADROES DE RESPOSTA 18
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99 MATEMATICA
Questao 14
Estudos e experiencias evidenciam que a calculadora e um instrumento que pode contribuir para a melhoria do
ensino da Matematica. A justificativa para essa visao e o fato de que ela pode ser usada como um instrumento
motivador na realizacao de tarefas exploratorias e de investigacao.
In. Parametros Curriculares Nacionais: Matematica
De dois exemplos concretos de situacoes em que, de acordo com o trecho acima, a calculadora pode ser usada
como recurso didatico no Ensino Fundamental ou Medio da Matematica. (valor: 20,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
Exemplos positivos: resolucao de problemas com dados reais, representacao decimal das fracoes, uso da
calculadora para verificar resultados e fazer auto-avaliacao, na notacao cientifica, no estudo do comportamento
de sequencias, na matematica financeira, no estudo da trigonometria, da estatistica, e nas aproximacoes no
calculo de areas, resolucao numerica de equacoes.
PADROES DE RESPOSTA 19
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99 MATEMATICA
Questao 15
Teorema de Tales
Se tres retas paralelas r, s e t cortam duas transversais m e n nos pontos
A;B;C e D;E;F , respectivamente, entao as razoes ABAC e DE
EF sao iguais
(ver figura).
A D
B
F
E
C
A demonstracao do Teorema de Tales usualmente encontrada nos textos para o ensino fundamental segue
duas etapas.
I - Prova-se que, se AB = BC, entao DE = EF .
II - Supondo que AB6= BC, considera-se um segmento de comprimento u tal que:
AB = p:u e BC = q:u, sendo p; q 2 N, p6= q.
Utiliza-se, entao, o resultado da etapa I para concluir que as paralelas pelos pontos de subdivisao de
AB e BC dividirao tambem DE e EF em partes iguais (de comprimento u0). Dai , conclui-se que
ABBC
= pq= DE
EF.
a) Este tipo de demonstracao abrange os casos nos quais e natural? racional? real qualquer? Justifique.
(valor: 10,0 pontos)
b) Cite dois exemplos de conteudos da geometria elementar cujo ensino utilize o Teorema de Tales. (valor:
10,0 pontos)
Padrao de Resposta Esperado
a) Abrange o caso em que a razao ABBC
e racional que e, exatamente, o caso tratado na segunda parte da
demonstracao apresentada. Os casos em que ABBC
e inteiro sao casos particulares dos racionais, quando
p e multiplo inteiro de q. No entanto, se ABBC
nao e racional, nao existira nenhum segmento que esteja
contido um numero inteiro p de vezes em AB e um numero inteiro q de vezes em BC (AB e BC sao
incomensuraveis). Assim, a demonstracao dada nao se aplica.
b) Exemplos:
- Estudo de semelhanca de figuras: demonstracao dos casos de semelhanca de triangulos, teorema
da base media do triangulo, etc.
- Construcoes com regua e compasso: divisao de segmentos em partes iguais ou numa razao dada,
obtencao de quarta proporcional, etc.
- Demonstracoes dos teoremas das bissetrizes interna e externa de um triangulo, etc.
PADROES DE RESPOSTA 20
Questão AMARELA BRANCA ROSA VERDE 001 E C B A 002 C E D A 003 C D E B 004 B C C D 005 C A C E 006 D B A E 007 A B D C 008 E A E A 009 C E B D 010 D C B A 011 A D E C 012 B C D D 013 D E C B 014 E E A A 015 B D D B 016 C A E C 017 D E B C 018 B E A D 019 B D A C 020 E A C B 021 B D B D 022 D B A E 023 D C B E 024 A A C E 025 E C D A 026 C B E A 027 A E B D 028 A B D E 029 D B E B 030 B D A D