Proprieta'Meccaniche

Proprietà meccaniche dei materiali

Obiettivi

Imparare definizioni e terminologie relative alle proprietà meccaniche dei materiali

1.  Capire il comportamento meccanico dei materiali sottoposti a sollecitazioni semplici

2.  E, ovviamente, capire le relazioni tra microstruttura e proprietà meccaniche

1.  Metalli

2.  Ceramici

3.  Polimeri

4.  Compositi

Proprietà meccaniche dei materiali

Le proprietà meccaniche dei materiali ne determinano il comportamento quando siano applicate forze e carichi. La risposta dei materiali alle forze applicate dipende dal tipo di legami, dall’organizzazione strutturale di atomi e molecole e dal tipo e numero di difetti.

Per tale motivo, le proprietà meccaniche sono molto sensibili al tipo di processo a cui è sottoposto un materiale. Si noti, inoltre, che il tipo di sforzo ed il modo in cui viene applicato possono influenzare il comportamento di un materiale in misura superiore di quanto facciano la composizione chimica, il trattamento termico o la temperatura.

Tutti i materiali, dal punto di vista della capacità di sostenere carichi, possono essere suddivisi in 3 grandi categorie:

•  Materiali elastoplastici (metalli strutturali)

•  Materiali viscoelastici (materie plastiche, gomme, vetro, cemento ed altri materiali amorfi)

•  Materiali elastici (cristalli ionici e covalenti)

Tale suddivisione rispecchia i meccanismi coinvolti nella loro deformazione sotto carico.

In buona sostanza sono 3 le tipologie fondamentali di deformazione coinvolti nella risposta di tutti i materiali ingegneristici a forze applicate:

•  Elastica

•  Plastica

•  Viscosa

Sforzo e deformazione

Lo sforzo rappresenta l’intensità della forza di reazione in ogni punto di un corpo in seguito all’imposizione dei carichi di servizio, delle condizioni di fabbricazione e di cambiamenti termici. Lo sforzo viene misurato come la forza agente per unità di area di un piano.

AF

A δδ

σδ 0lim→

=

σ = sforzo

F = forza

A = area

Sforzo

Ogni forza o carico applicato ad un materiale si traduce in sforzi, ogni spostamento indotto si traduce in deformazioni del materiale.

Le forze possono essere statiche o dinamiche. Lo stato degli sforzi statici è di fondamentale importanza nell’ingegneria strutturale.

Ogni stato tensionale statico in un corpo può essere descritto completamente in termini di 3 sforzi definiti su tre piani passanti per il punto e mutuamente ortogonali.

I 3 casi più importanti sono:

1.  Trazione o compressione assiale (gli sforzi agiscono in un’unica direzione)

2.  Trazione o compressione biassiale

3.  Trazione o compressione triassiale

Qualunque sia lo stato tensionale, è sempre possibile individuare 3 direzioni principali in cui gli sforzi sono normali (di compressione o trazione).

In generale, comunque, considerato un qualunque punto di un corpo, gli sforzi che agiscono sui piani passanti per tali punti non sono normali a tali piani, ma hanno componenti normali e tangenziali (o di “taglio”)

Gli sforzi sono compressivi se tendono a portare le varie parti del materiale a maggior contatto, sono di trazione se tendono a separare le varie parti del materiale, sono chiamati di taglio quando sono paralleli ad un piano immaginario passante per un punto.

L’alterazione della forma o dimensione di un corpo in seguito alla presenza di uno sforzo è chiamato deformazione

In analogia agli sforzi, esistono 3 tipi principali di deformazione: a trazione, a compressione e a taglio.

Le deformazioni si esprimono in termini adimensionali come millimetri/millimetri o in percentuale

Deformazione a trazione: εT = ΔL/L0 dove ΔL = L – L0

Deformazione a compressione:εC = ΔL/L0 dove ΔL = L0 – L

Come si può notare, lo sforzo di trazione determina una contrazione perpendicolare alla sua direzione, mentre quello di compressione causa un allungamento

Deformazione

La deformazione a taglio rappresenta l’ampiezza dell’angolo determinato dalla variazione di inclinazione di un certo piano soggetto ad uno sforzo τ di taglio puro rispetto ad una linea ad esso perpendicolare:

L’angolo γ può essere assunto uguale al rapporto aa’/ad Si può dimostrare che lo sforzo di taglio è equivalente ad uno stato tensionale prodotto da una trazione in una direzione (bd) ed una compressione di uguale valore nella direzione perpendicolare (ac)

Una deformazione di taglio puro si verifica in seguito ad una torsione

(per piccole deformazioni)

AC = L

AB = θ · r

ACAB

≈γ

Lr⋅

≈⇒θ

γ

Elasticità

Un materiale si definisce elastico quando la deformazione prodotta in un corpo viene totalmente recuperata all’atto della rimozione della forza che l’ha indotta

La relazione, in campo elastico lineare, tra sforzo e deformazione è definita dalla legge di Hooke, la quale stabilisce che lo sforzo è proporzionale alla deformazione (elasticità lineare) e indipendente dal tempo

Tale legge trova applicazione nei materiali a comportamento elastico, nel limite di deformazioni estremamente piccole

Legge di Hooke generalizzata

Se consideriamo un volumetto infinitesimo di un materiale soggetto ad uno stato tensionale, lo stato di sforzo in quel punto del materiale può essere individuato con 9 componenti, 3 per ciascuno degli assi di riferimento del cubetto elementare

Si possono individuare 3 sforzi perpendicolari alle facce del cubo e 6 componenti tangenziali:

zyzxzz

yzyxyy

xzxyxx

ττσ

ττσ

ττσ Componenti dello sforzo agenti sul piano di normale x

Componenti dello sforzo agenti sul piano di normale y Componenti dello sforzo agenti sul piano di normale z

Da considerazioni di equilibrio, discende che:

zxxzzyyzxyyx ττττττ === ;;

Quindi lo stato tensionale in un punto può essere specificato in modo completo attraverso 6 componenti indipendenti:

•  3 componenti normali (σxx, σyy, σzz)

•  3 componenti tangenziali (τxy, τyz, τxz, )

Per convenzione, gli sforzi normali si considerano positivi se di trazione e negativi se di compressione

Per ogni componente dello sforzo vi è una componente della deformazione Lo stato di deformazione in un punto è, in analogia, definito attraverso 6 componenti:

•  3 componenti normali (εxx, εyy, εzz)

•  3 componenti di taglio (γxy, γyz, γxz, )

In un materiale anisotropo uno sforzo di compressione pura (ad es. σxx) non determina necessariamente una deformazione pura di compressione (εxx), ma può anche determinare ogni altro tipo di deformazione

Nel caso di materiali isotropi ogni sforzo determina la corrispondente deformazione

In un materiale anisotropo una singola componente dello sforzo può determinare più di un tipo di deformazione

Quindi, in generale, le relazioni lineari elastiche tra componenti dello sforzo e della deformazione sono dati dalla seguente forma generalizzata della legge di Hooke:

yzxzxyzzyyxxxy

yzxzxyzzyyxxxz

yzxzxyzzyyxxyz

yzxzxyzzyyxxzz

yzxzxyzzyyxxyy

yzxzxyzzyyxxxx

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

γγγεεετ

γγγεεετ

γγγεεετ

γγγεεεσ

γγγεεεσ

γγγεεεσ

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

Se ne deduce che vi sono 36 possibili costanti elastiche

Si può, comunque, dimostrare che:

C12 = C21 ; C13 = C31 ; C32 = C23 e così via

⇒  Vi sono solo 21 costanti elastiche necessarie a definire il comportamento elastico-lineare di un materiale anisotropo privo di qualunque simmetria (cristalli triclini)

Il numero di costanti elastiche si riduce all’aumentare della simmetria.

simmetria ORTOROMBICA → 9 costanti indipendenti

simmetria TETRAGONALE → 6 costanti indipendenti

simmetria ESAGONALE → 5 costanti indipendenti

simmetria CUBICA → 3 costanti indipendenti

materiale ISOTROPO → 2 costanti indipendenti

Queste costanti sono anche denominate MODULI ELASTICI

Moduli elastici (o di elasticità)

1) Modulo di elasticità a trazione “E”

E = σT/εT

2) Modulo di compressibilità (bulk modulus) “K”

È definito come il rapporto tra pressione idrostatica e cambiamento relativo di volume risultante. V0 = volume iniziale

0/VVavolumetricnedeformaziosforzoK

Δ==

σ

3) Modulo di rigidezza o “di taglio” “G”

4) Un’altra costante elastica importante è il modulo di Poisson “ν”

Esso è definito come il rapporto tra la deformazione di contrazione laterale e l’allungamento quando un corpo è soggetto a trazione uniassiale

Nel caso di un materiale isotropo a comportamento elastico lineare, solo due di questi moduli sono sufficienti a descriverne il comportamento; gli altri due possono essere calcolati noti che siano i primi due

γτ

=G τ = sforzo di taglio

γ = deformazione a taglio

alelongitudinnedeformaziolateralenedeformazio

−=ν

Relazione tra modulo K e modulo E

Si cosideri un cubetto sottoposto ad uno sforzo di trazione (σT). Il cubo si allunga nella direzione CD e la deformazione longitudinale è pari a εT = σT/E (legge di Hooke).

Allo stesso tempo si avrà una contrazione nelle direzioni AB e CB determinando delle deformazioni di contrazione trasversale pari a –νεT nella direzione AB e –νεT nella direzione CB

B A

C

D

σT

σT

Se consideriamo un volume unitario iniziale, il volume del cubo dopo la deformazione sarà pari a:

Che, per εT piccoli, diviene:

( )( )( ) 32222221111 TTTTTTTT ενεννενεενενεε ++−−+=−−+

( )νενεε 21121 −+=−+ TTT

( ) ( )νενε 211211 −=−−+=Δ⇒ TTV

Se applichiamo ora degli sforzi di trazione di uguale intensità anche nelle altre due direzioni mutuamente ortogonali, vista l’isotropicità del materiale, si ricava che la variazione totale di

volume è pari a:

Poiché, per definizione, K = sforzo/(ΔV/V) e poiché V è unitario:

( )νε 213 −⋅=Δ TV

( ) ( )ννεσ

213213 −=⇒

−⋅=

EKKT

Per i materiali isotropi

Se il volume di un materiale non cambia in seguito a compressione (materiale incomprimibile), allora :

Cioè, per un materiale incomprimibile, il modulo K è infinitamente grande

⇒=−⇒=Δ 0210 νV 21

=ν ⇒ ∞=K

Con procedimenti analoghi si ottiene che:

( )ν+=12EG

GKE 31

911+= Per i materiali

isotropi

Per i materiali incomprimibili (es. gomme) → E=3G

Nel caso di liquidi puramente viscosi, l’unico modulo elastico che può definirsi è K

Relazione tra modulo G e modulo E

Esemplificazioni

Caso generale:

C

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

CC

CC

γ

γ

γ

ε

ε

ε

τ

τ

τ

σ

σ

σ

6661

1611

............................

....

Per un cristallo singolo CUBICO => 3 costanti indipendenti

⇒

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= •

••

44

44

44

111212

121112

121211

000000000000000

000000000

CC

C

CCCCCCCCC

C

yzxy

xzxz

xyyz

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx

CCC

CCCCCCCCC

γτ

γτ

γτ

εεεσ

εεεσ

εεεσ

44

44

44

111212

121112

121211

=

=

=

++=

++=

++=

Per un materiale ISOTROPO, 2 costanti indipendenti

( )( )

( )

yzyz

xzxz

xyxy

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx

GGG

GG

G

γτ

γτ

γτ

εεεσ

εεεσ

εεεσ

=

=

=

+Γ+Γ+Γ=

Γ++Γ+Γ=

Γ+Γ++Γ=

2

2

2

con: ( )( )

( )ν

ννν

+=

−+=Γ

12

211EG

E

Per un carico uniassiale in direzione x:

xxxx Eεσ = poiché xxzzyy νεεε −==

0===== xyxzyzzzyy τττσσ

Il valore dei moduli elastici dipende dall’entità delle forze interatomiche ed intermolecolari: i moduli di elasticità di composti covalenti sono molto elevati. Solidi amorfi molecolari (gomme e alcune materie plastiche) e cristalli molecolari hanno valori dei moduli relativamente bassi

Inoltre, in genere, i moduli tendono a diminuire all’aumentare della temperatura

Un’eccezione a tale comportamento è quello delle gomme e di alcuni polimeri che presentano un incremento del modulo con la temperatura: ciò è legato alla natura prevalentemente entropica (piuttosto che energetica) dell’elasticità

Nel caso di materiali anisotropi occorrono più di due costanti elastiche per caratterizzare il comportamento meccanico.

Ad es., nel caso del legno, occorrono 9 costanti elastiche: 3 moduli di elasticità (longitudinale, EL, radiale ER, tangenziale ET) 3 moduli di Poisson e 3 moduli di rigidezza G

Nel legno EL >> ER ed ET

Deviazioni dal comportamento elastico lineare

Il comportamento elastico lineare è di solito osservato solo per deformazioni molto piccole. Infatti, in molti casi l’andamento è curvilineo ed il modulo può ottenersi dalla tangente o dalla secante alla curva sforzo-deformazione e, ovviamente, cambia con la deformazione.

In figura è riportato il caso di tre tipologie di cemento, a titolo di esempio.

Le gomme sono anch’esse caratterizzate da comportamento elastico non lineare che si estende per range di deformazioni che sono 1’000-10’000 volte più grandi rispetto agli altri materiali

Effetto termoelastico

Quando un campione metallico viene stirato rapidamente, il suo volume aumenta e la sua temperatura diminuisce. Se il campione rimane sottoposto al carico costante per un tempo sufficiente, si riscalda sino a raggiungere la T ambiente e si espande (linea AB)

Se poi si scarica il materiale alla stessa velocità di carico, esso si contrae adiabaticamente (linea BC); la sua temperatura aumenta ed il volume diminuisce. Se lo si mantiene per un tempo sufficiente in tale stato, esso si raffredda sino a T ambiente contraendosi ulteriormente (linea CO)

Se invece un campione viene deformato a trazione ad una velocità tale che la sua temperatura si mantiene costante, il modulo di elasticità isotermo sarà rappresentato dall’andamento OB come può notarsi dalla figura (a), il modulo adiabatico (linea OA) è più elevato di quello isotermo (linea OB)

Nella pratica, le deformazioni non sono mai adiabatiche poiché c’è sempre uno scambio termico con l’ambiente circostante ed il diagramma sforzo-deformazione assume la forma riportata in (b).

Questo comportamento isteretico è legato all’energia dissipata come calore durante il carico e scarico del materiale. Tale riscaldamento o raffreddamento del materiale associato alla deformazione è denominato EFFETTO TERMOELASTICO e può essere rappresentato dalla relazione:

( )νρα

ε 21−−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂

VS CTET

Dove: = cambiamento di T con la deformazione, ε, ad entropia, S,costante (trazione o compressione adiabatica)

ν = modulo di Poisson

ρ = densità

α = coefficiente di espansione termica

E = modulo di Young

CV = Capacità molare a volume costante

( )S

Tε∂

∂

Quasi tutti i materiali si espandono per riscaldamento, pertanto

α > 0 e , indicando che all’aumentare della deformazione la T decresce.

Per le gomme α è negativo ed, in contrasto con i metalli, le gomme si riscaldano in trazione e l’orientazione delle macromolecole è accompagnata dall’evoluzione di calore. Quando il carico viene rimosso le molecole tendono a riportarsi nella condizione iniziale assorbendo energia e questo comporta il raffreddamento

( ) 0<∂∂

ST

ε

Anelasticità

Tale comportamento può derivare a causa di diffusione di atomi interstiziali o di atomi sostituzionali o a causa di difetti al bordo dei grani cristallini o a causa delle dislocazioni

Questo effetto di elasticità ritardata è detto EFFETTO ANELASTICO

Come illustrato in figura, quando un materiale è caricato, presenterà una certa deformazione elastica costante, ε1, seguita da una deformazione elastica differita o ritardata, ε2, nel corso del tempo t, che tende asintoticamente ad un valore finale

Se si rimuove il carico, vi è un recupero elastico istanteneo della deformazione, ε1, seguito da un recupero ritardato, ε2

carico scarico

tempo

defo

rmaz

ione

effetto anelastico

Giochiamo a fare gli ingegneri Progettazione in campo elastico

Flessione elastica di travi

F F

x

u δ

La teoria della trave elastica fornisce l’andamento dello sforzo indotto dal momento flettente M =F x come

I è il momento di inerzia della sezione, definito come

La massima freccia, calcolata integrando la (i), vale

σ =MIy = E d

2udx2

I = y2 dAsezione A∫

δ =FL3

C1EI

(i)

Progettazione di una trave leggera e rigida, soggetta a flessione

Hp: imponiamo la forma della sezione della trave, per semplicità, ad esempio, quadrata di sezione A=b x b

La funzione obiettivo sulla massa è

La rigidezza è

Il momento di inerzia è

Per una data lunghezza L, la rigidezza S viene ottenuta modificando la geometria. Eliminando b nella funzione obiettivo

m = ALρ = b2Lρ

S = Fδ=C1EIL3

I = b4

12

m =12SL3

C1

!

"#

$

%&

1/2

L ρE1/2!

"#

$

%&

Le grandezze S, L e C1 sono tutte definite. I migliori materiali per una trave leggera e rigida sono quelli che presentano il

valore più basso di

Se vogliamo lavorare massimizzando l’obiettivo, invertiamo

ρ / E1/2

Obmax =E1/2

ρ

Obmax =E1/2

ρ

Obmax =E1/2

ρCm

Plasticità e flusso

Molti materiali, quando sollecitati oltre un certo limite, mostrano una deformazione permanente non recuperabile

Essa è chiamata DEFORMAZIONE PLASTICA ed è il risultato di uno spostamento permanente di atomi o molecole o gruppi di atomi e molecole dalle loro posizioni reticolari originali

Gli atomi e le molecole che si sono spostati non fanno ritorno nelle posizioni originarie, una volta rimosso il carico

Se un materiale, sottoposto ad un carico costante di entità sufficiente, mostra una deformazione che aumenta in modo continuo, tale fenomeno viene denominato FLUSSO. Il flusso è un fenomeno tipico di sostanze liquide e gassose sottoposte ad uno sforzo di taglio. Tuttavia, anche molte sostanze solide possono mostrare flusso, se sottoposte per un tempo sufficiente a carichi elevati

Nella maggior parte dei casi, i materiali allo stato solido mostrano un comportamento elastico, a basse deformazioni, che precede lo scorrimento plastico. Tale comportamento è riportato, in termini del tutto schematici, in figura, dove è rappresentato un comportamento elastico ideale seguito da uno plastico ideale

Il meccanismo di deformazione plastica è sostanzialmente diverso nel caso di un solido cristallino rispetto ad un solido amorfo

I materiali cristallini subiscono deformazione plastica in seguito allo scorrimento relativo dei piani cristallini in direzioni definite

Nei materiali amorfi la deformazione plastica si verifica quando singole molecole o gruppi di molecole scorrono le une rispetto alle altre

Nella maggior parte dei casi lo scorrimento plastico in cristalli singoli si verifica per slittamento relativo dei piani cristallini, in seguito all’azione di sforzi di taglio

Deformazione plastica di un cristallo singolo

Lo slittamento (slip) rappresenta uno spostamento rilevante di una parte del cristallo rispetto ad un’altra ed avviene lungo particolari piani cristallografici ed in particolari direzioni cristallografiche (piani e direzioni di scorrimento)

Piano di slip

Direzione di slip

Direzione del carico

Come abbiamo già discusso i piani di slip sono di solito quelli a maggiore densità di impaccamento. Ad es. ricordiamo che metalli fcc hanno 4 piani indipendenti di slip (1 1 1), ognuno contenente 3 direzioni di slip => 12 sistemi di scorrimento

I sistemi di slip più frequenti per 3 strutture tipiche sono riportati in tabella

Struttura Piano di slip

Direzione di slip

fcc (1 1 1) <1 1 0>

bcc (1 1 0) <1 1 1>

hcp (0 0 0 1) <1 1 2 0>

Riprendiamo un altro concetto già introdotto: un cristallo soggetto ad un carico di trazione che agisca in una certa direzione è sottoposto ad una forza di trazione che può essere scomposta in una componente normale al piano discorrimento ed una componente di taglio che giace su di esso

Sforzo critico di taglio

Se con α indichiamo l’angolo tra il piano di slip e la direzione del carico, l’area di tale sezione è pari a A/sinα (dove A è l’area della sezione retta). Lo sforzo che agisce sul piano di slip è, pertanto, (F/A)sinα. La sua componente tangenziale è τ=(F/A)sinαcosα

⇒  τ = (F/A)sinαcosα = σTsinαcosα

Lo sforzo di taglio sul piano di scorrimento è massimo quando α = 45°

⇒  τmax = σT/2

Piano di slip Direzione di slip

Direzione del carico

Normale al piano

di slip

Definizione della componente di sforzo di taglio risultante, τ, che direttamente produce la deformazione plastica (con azione di taglio) come risultato dell’applicazione di uno sforzo di trazione, σ.

ϕλσϕλϕλ

τ coscoscoscoscos/cos

===AF

AF

ϕλστ coscosc <

ϕcos' AA =

λcosF

Sforzo critico di taglio

Si può, a questo punto, valutare la componente dello sforzo τ su una delle direzioni di slip lungo la linea “mn”. Tale componente nella direzione di scorrimento (τDS) determina lo scorrimento se supera un valore critico denominato sforzo di taglio critico

Condizione di scorrimento

⇒> criticoDS ττ criticoT τθαασ >coscossin

θττ cos=DS

Ci sono condizioni di flusso plastico possibile per un cristallo quando τDS < τcritico

Questo fenomeno, che introdurrremo più avanti, è denominato CREEP ed avviene in corrispondenza di velocità di deformazione molto basse e di temperature piuttosto elevate

Com’è ovvio attendersi da quanto illustrato in precedenza, benchè τcritico sia una caratteristica del materiale e della specifica direzione di slip, l’entità dello sforzo di trazione (F/A) necessario ad indurre scorrimento nel cristallo, dipende dall’orientazione del piano di slip e della direzione di slip rispetto a quella del carico

In altre parole, valori diversi dello sforzo di trazione sono richiesti, in dipendenza del valore di λ e φ, per causare uno sforzo di taglio che, quando “risolto” lungo la direzione di slip, ha un valore > τcritico

Se consideriamo materiali policristallini, poiché ci sono molti cristalli, orientati a caso, si verificherà sempre la circostanza che un grosso numero di piani di scorrimento siano orientati in modo tale da favorire lo scorrimento, indipendentemente dalla direzione del carico

È anche importante notare che lo scorrimento determina sia un moto traslatorio lungo i piani di scorrimento, che una rotazione del campione rispetto all’asse del carico. Pertanto l’angolo tra asse del carico e piano di slip cambia nel corso della trazione

Lo scorrimento non è l’unico tipo di deformazione che può avvenire in un cristallo. Alcuni cristalli possono deformarsi per twinning (dall’inglese twin, gemello => creazione di zone gemelle) In pratica, quello che accade è che gli atomi di una parte di un cristallo soggetto ad uno sforzo si riorganizzano così che una parte del reticolo diviene immagine speculare di un’altra parte. Ogni piano atomico trasla nella stessa direzione per un ammontare proporzionale alla sua distanza dal piano di twinning

TWINNING

In genere, il twinning richiede sforzi di taglio più elevati dello slip; in genere è relativamente poco importante nei fenomeni di deformazione plastica. Diviene importante laddove, come nei metalli a struttura esagonale (Mg) i sistemi di scorrimento sono in numero limitato. Il twinning può essere causato da impatto, trattamento termico e da deformazione plastica. È frequente in hcp e bcc

Ci proponiamo di valutare τcritico per un singolo cristallo. Consideriamo un cristallo idealmente perfetto di un metallo ed individuiamo due file di atomi dello stesso

Resistenza ideale a taglio di un cristallo

Lo sforzo necessario a produrre uno slittamento di entità x è una funzione di x ed aumenta sino al raggiungimento del valore massimo (τcritico)

L’ulteriore slittamento si verifica in corrispondenza di uno sforzo decrescente

La curva sforzo-deformazione può approssimarsi con una curva sinusoidale di lunghezza d’onda pari alla distanza interatomica (d)

dx

criticoπ

ττ2sin⋅=

Per piccoli valori di x (piccole deformazioni) è possibile applicare la legge di Hooke:

, avendo posto

Se consideriamo x piccoli, si può inoltre assumere

Calcoli più precisi indicano che, in realtà, la resistenza teorica di un metallo è compresa tra G/30 e Gd/(2πa), valori che sono di molte volte più grandi del valore effettivamente riscontrato sperimentalmente

⇒  Si è introdotto il concetto di deformazione plastica per moto delle dislocazioni, per spiegare tale incongruenza

axG

=τax

=γ

⇒⋅≅=⇒≅dx

axG

dx

dx

CRπ

ττππ 222sin

adG

CR πτ

2≅

Le forze richieste per far muovere una dislocazione sono molte volte più basse di quelle occorrenti a superare il limite elastico di un cristallo perfetto

Si può, infatti, dimostrare che lo sforzo necessario a determinare il moto di una dislocazione e, quindi, lo scorrimento plastico, è paria a:

Dislocazioni e deformazione plastica

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=− b

wGbaGNP

πνπ

τ2exp

12exp

Sforzo di

“PEIERLS – NABARRO”

≡−

=ν1awcon ampiezza della dislocazione

b

a

Le dislocazioni possiedono una certa energia deformazionale, associata al lavoro di deformazione elastica fatta sul cristallo

Nell’intorno della linea di dislocazione, sono dunque presenti degli sforzi. C’è, dunque, nel materiale, uno stato tensionale associato alla presenza delle dislocazioni, che si somma allo stato tensionale determinato dalle forze esterne

Energia delle dislocazioni

La facilità con la quale si muovono le dislocazioni per effetto di uno sforzo applicato determinano la duttilità del materiale

Generalmente i materiali metallici sono resistenti a scorrimento plastico o quando la densità delle dislocazioni è bassa o quando il moto delle dislocazioni è impedito

Infatti il τcritico aumenta se sono presenti degli ostacoli. Tali ostacoli possono essere: particelle di precipitati, atomi in soluzione solida, confini dei grani cristallini, altre dislocazioni (vedi, ad es., il caso della lavorazione a freddo che determina un aumento della resistenza allo scorrimento plastico tramite la creazione di una “foresta di dislocazioni”)

Dislocazioni e resistenza allo scorrimento