-
Universitatea din Bucureşti
Facultatea de Fizică
Şcoala Doctorală de Fizică
Bogdan Ostahie
Proprietăţi spectrale şi de transport ı̂n
structuri cuantice bidimensionale
Rezumat teză de doctorat
Conducători ştiinţifici
CS.I dr. Alexandru Aldea,
Prof. dr. Virgil Baran
Bucureşti, 2017
-
Capitolul 1: Introducere
Studiile realizate in lucrarea de fata s-au bazat pe analiza
structurilor bidimen-
sionale si cuasi-bidimensinale (materiale alcatuite dintr-un
singur plan de atomi)
supuse diverselor campuri externe atat din perspectiva
spectrului energetic cat si
prin simulari de masuratori de transport cuantic in diverse
montaje Hall. Tema
abordata se incadreaza in problematica globala de ultim moment,
dovada o face si
faptul ca in anul 2010 A. Geim si K. Novoselov au primit premiul
Nobel pentru
izolarea si caracterizarea unui singur strat de atomi de carbon
care poarta numele
de grafena (retea cu geometrie hexagonala) [1]. Izolarea
grafenei a deschis calea
numeroaselor aplicatii experimentale, dar mai ales a incurajat
studiile teoretice cu
privire la proprietatile specifice ale diverselor retele
bidimensionale. Drept dovada,
in anul 2005, la un an dupa izolarea grafenei, C.L. Kane si E.J.
Mele pun in evidenta
aparitia starilor de margine elicoidale in grafena datorita
interactiei spin-orbita de
tip intrinsic care nu rupe simetria temporala [2]. Modelul
propus de C.L. Kane si
E.J. Mele are la baza modelul Haldane, precursor al izolatorilor
topologici. In mod-
elul Haldane, pentru a pune in evidenta efectul Hall cuantic
este rupta simetria la
inversia temporala cu ajutorul unor fluxuri locale, care sumate
pe toata suprafata
sitemului genereaza un camp magnetic total egal cu zero [3] .
Rezultatul modelului
Haldane a condus la descoperirea efectul Hall cuantic anomal,
adica la cuantificarea
rezistentei Hall in absenta campului magnetic. Rezultatul
studiului realizat de C.L.
Kane si E.J. Mele, a constat in descoperirea efectului Hall
cuantic de spin, care se
manifesta prin cuantificarea rezistentei Hall de spin si
anularea rezistetei Hall de
sarcina si a unui nou tip de material denumit izolator topologic
bidimensional. Con-
firmarea experimentala a rezultatului teoretic a venit in anul
2007, cand M. Koenig
et. al. au pus in evidenta efectul Hall cuantic de spin pentru o
heterostructura de
HgTe/(Hg,Cd)Te [4]. Desi efectul a fost descoperit teoretic in
reteaua hexagonala,
1
-
grafena nu este un bun candidat din punct de vedere experimental
deoarece interac-
tia spin orbita este foarte mica, dar cu toate astea grafena
ramane un bun prototip
de studiat. Descoperirile teoretice legate de tranzitiile de
faza topologice au fost
premiate in anul 2016 cu premiul Nobel [5].
Interesul general pentru studiul materialelor bidimesionale vine
din nevoia de
miniaturizare a dispozitivelor electronice si din constrangerea
de a creste perfor-
mantele din punct de vedere al conductivitatii electrice si
termice[6]. In ceea ce
priveste problemele fundamentale legate de proprietatile fizice,
cum ar fi: struc-
tura de benzi, comoprtamentul electronic in campuri externe si
transport cuantic
in regim Hall majoritatea studiilor sunt realizate in sisteme cu
conditii periodice,
neglijandu-se astfel comportamentul electronic la margine. In
cazul transportului
cuantic, in sisteme cu conditii periodice, conductanta Hall este
direct proportionala
cu un invariant topologic (numar Chern) reprezentat de o
integrala pe toata zona
Brilloin, iar rezultatul integralei este un numar intreg
[7].
In cazul structurilor bidimensionale si cuasi-bidimensionale
abordate in lucrare
am scos in evidenta proprietatile spectrale si de transport
cuantic generate de
prezenta marginilor. Am ales acest tip de geometrie deoarece
retelele abordate prez-
inta in mod natural margini, mai ales in conditiile in care le
tratam ca pe sisteme
mesoscopice (meso-intre, intermediar si skopia-observatie,
examinare). Avantajul
abordarii unei astfel de geometrii consta in posibilitatea
simularii diverselor dispoz-
itive Hall prin atasarea de fire. In astfel de sisteme rolul
invariantului topologic
(numar Chern) fiind preluat de catre starile de margine. In
toate sistemele abor-
date prezenta marginilor genereaza stari specifice in functie de
campurile externe
aplicate.
Lucrarea de fata este redactata pe baza rezultatelor publicate
de autor impreuna
cu colectivul de fizica teoretica in perioada 2012-2017 [8, 9,
10, 11, 12], in cadrul
Intitutului National de Cercetare Dezvoltare pentru Fizica
Materialelor si este struc-
turata pe doua mari ramuri. Prima ramura scoate in evidenta
proprietatile spectrale
ale sistemelor bidimensionale de grafena, fosforena si retea
Lieb in prezenta cam-
purilor externe, iar a doua ramura evidentiaza proprietatile de
transport cuantic in
camp magnetic si simularea dispozitivelor experimentale de tip
Hall.
2
-
Capitolul 2: Structura de benzi
Acest capitol prezinta structura de benzi a retelelor de
grafena, fosforena si Lieb
(figura 2.1) cu conditii periodice si conditii la margine de
anulare a functiei de
unda, introducand pentru fiecare retea in parte termeni
specifici in ceea ce priveste
comportamentul si localizarea electronilor. In cazul grafenei si
retelei Lieb in jurul
energiilor de zero se cunoaste ca spectrul este liniar in k⃗,
adica electronii au un
comportament relativist fiind descrisi de ecuatia Dirac. Reteaua
Lieb prezinta si
o banda suplimentara, plata, la energia E = 0 puternic
degenerata. Atat grafena
cat si reteaua Lieb au simetrie electron-gol si nu prezinta gap.
In cazul retelei de
fosforena se cunoaste ca spectrul energetic prezinta gap, are o
puternica anisotropie
si simetria electron-gol este rupta.
(a) (b) (c)
Figura 2.1: Reprezentarile schematice ale retelelor de: (a)
grafena, (b) fosforena si
(c)retea Lieb. In partea de jos sunt reprezentate legile de
dispersie corespunzatoare
celor trei retele.
3
-
Unul din rezultatele originale este prezentat in cadrul retelei
de fosforena, unde
demonstram analitic ca elementul de hopping t4, care conecteaza
atomi din aceeasi
subretea este responsabil de ruperea simetriei electron-gol si
de asemenea este sin-
gurul element de hopping care violeaza bipatitismul retelei.
In ceea ce priveste reteaua Lieb am calculat functiile de unda
corespunzatoare
celor trei benzi si am demontrat ca intr-o geometrie periodica
orbitali atomici care
compun banda plata sunt de tipul B si C, in timp ce benzile
dispersive sunt compuse
din toti cei trei orbitali. In nanoribbon-ul de retea Lieb
punctul de intersectie a celor
trei benzi va depinde de tipul orbitalilor care se afla la
margine.
In partea a doua a capitolului am studiat aparitia starilor de
margine in aceste
tipuri de retele impunand diverse conditii de anulare a functiei
de unda la margine.
In reteaua de grafena intr-o geometrie zig-zag se cunoaste ca in
spectrul energetic
intre punctele K si K ′ apare o banda plata formata din stari de
margine care se
localizeaza in lungul laturilor zig-zag. Urmand aceeasi
procedura in cazul fosforenei
demonstram ca starile de margine zig-zag apar la orice
cuasi-moment k in zona
Brillouin. De asemeni am demostrat analitic ca degenerarea
starilor zig-zag este
valabila in limita latimii infinite a sistemului.
4
-
Capitolul 3: Actiunea campurilor externe
asupra structurilor bidimensionale
In capitolul de fata am raspuns la cateva intrebari legate de
efectul campurilor
externe aplicate in retelele bidimensionale si
cuasi-bidimensionale studiate. In ceea
ce priveste studiul actiunii campurilor asupra diverselor
retele, majoritatea s-au
axat pe punerea in evidenta a efectelor specifice in geometrie
de tipul periodic. Am
inceput acest capitol cu studiul retelei de fosforena, deoarece
putem trata reteaua
de grafena in camp magnetic ca un caz particular al acestui tip
de retea.
Cercetarile legate de reteaua de fosforena in camp magnetic
perpendicular in ge-
ometrie periodica n-au reusit sa elucideze variatia nivelelor
Landau cu campul mag-
netic, cunoscandu-se doua tipuri de dependente B2/3[13] si B[14,
15]. De asemenea
in geometria de tip ribbon zig-zag, desi s-a observat numeric
ridicarea de degenerare
in camp magnetic a benzii cuasi-plate[14], nimeni nu a abordat
aceasta problema din
punct de vedere analitic. In lucrarea de fata demonstram
analitic ridicarea de de-
generare a benzii cuasi-plate in geometria de tip ribbon zig-zag
in prezenta campului
magnetic, iar suprapunerea dintre curbele analitice si cele
numerice fiind destul de
buna (figura 3.1). Calculand in geometrie de tipul placheta
variatia valorilor proprii
in functie de fluxul magnetic am obtinut un spectru Hofstader,
care spre deosebire
de spectrul Hofstader calculat cu conditii periodice prezinta o
banda suplimentara
in centrul gap-ului, alcatuita din stari cu localizare pe
marginile zig-zag si care este
robusta la variatia campului magnetic.
In cazul retelei de grafena in camp magnetic perpendicular se
cunoaste ca benzile
Landau din zona relativista a spectrului au o dependenta fata de
campul magnetic
cu√B, exceptie facand nivelul Landau de n = 0 care nu variaza,
el ramanand con-
stant la valoarea zero a energie. Introducand un camp electric
in-plan proprietatile
5
-
Figura 3.1: Spectrul energetic al nanoribbonului de fosforena in
camp magntic. Se
observa ridicarea de degenerare a benzii cuasi-plate in camp
magnetic pentru un
flux de ϕ = 0.01ϕ0. Curbele rosii reprezinta rezultatele
numerice, iar cele negre
reprezinta rezultatele analitice [11].
spectrale sunt conditionate de raportul dintre campul electric
si cel magnetic (E/B),
cunoscandu-se ca in momentul cand E/B → 1 nivelele Landau
colapseaza[16], spec-
trul modificandu-se drastic. Problemele abordate in lucrare se
incadreaza in reginul
E/B
-
In reteaua Lieb in camp magnetic interesul este captat de
evolutia starilor din
banda plata. In cazul sistemului periodic banda plata este
robusta la variatia cam-
pului magnetic[17]. In ce priveste nivelele Landau acestea au o
dependeta in camp
magnetic asemanatoare celor de la grafena, adica cu√B, dar in
cazul retelei Lieb
nivelul de n = 0 nu mai este robust la variatia campului, iar
asa zisa degenerare de
vale lipseste. In cazul nostru, cand introducem conditiile la
margine pe toate directi-
ile, apar efecte suplimentare, cum ar fi ridicarea de degenerare
a benzii plate in camp
magnetic, aparitia starilor de margine neconventionale cu
chiralitate alternanta in
vecinatatea nivelului Landau n = 0 si apritia starilor care fac
trecerea dintre starile
de margine conventionale si starile de banda pe care le vom numi
stari de margine
de tipul II (figura 3.3). Aplicand un camp electric suplimentar
demonstram numeric
ridicarea de degenerare a benzii plate si gruparea acesteia in
mini-benzi, formand
un asa zis spectru Wannier-Stark.
Valo
ri P
roprii
Flux Magnetic
Figura 3.3: Figura prezinta fereastra de energii in care se
gasesc cele trei tipuri de
stari in functie de campul magnetic[8].
Toate aceste rezultate sunt de asemenea utilizate pentru o mai
buna intelegere
a proprietatilor legate de transportul cuantic in diverse
montaje Hall.
7
-
Capitolul 4: Izolator topologic in sisteme
bidimensionale finite
Unul din precursorii izolatorului topologic a fost studiat de
Haldane intr-o retea
hexagonala, asemanatoare grafenei, avand in plus vecinii de
ordinul II [3]. Acest
model este important deoarece ofera o descriere a efectelor
topologice, pe care le
prezentam pe scurt in paragraful urmator.
Legea de dispersie a electronilor in grafena este liniara in
jurul anumitor puncteK
si K ′, iar Hamiltonianul H(k⃗) pastreaza simetria la paritate
si la inversie temporala,
daca energiile atomice ϵa si ϵb sunt nule. Combinatia celor doua
simetrii protejeaza
degenerarea de la energia E = 0 a celor doua punctele K si K ′.
Rupand una din
aceste simetrii ale Hamiltonianului, de exemplu simetria la
paritate, energile atomice
a celor doi atomi din celula unitate nu mai sunt identice, iar
in spectrul energetic
va aparea un gap, sistemul devenind unul izolator. In modelul
Haldane ridicarea de
degenerare se face prin ruperea simetriei la inversie temporala,
aplicand un camp
magnetic care pastreaza simetriile spatiale ale retelei
hexagonale, dar suma fazelor
magnetice pe toata reteaua este nula.
In acest capitolul am studiat proprietatile spectrale in
prezenta spinului elec-
tronului pentru modelul de izolator topologic al retelei
hexagonale finite, cunoscut
ca modelul Kane si Mele. In cazul acesta gap-ul descris mai sus
va aparea in sistem
datorita interactiei spin orbita de tip intrinsic. Acest gap
este populat cu stari care
au polarizare de spin si se localizeaza la margine pe tot
perimetrul plachetei. Star-
ile de spin up si cele de spin down au viteze opuse, adica au
directii de propagare
opuse. Acestea se numesc stari de margine elicoidale si sunt
robuste la impuritati
nemagnetice.
Modul in care starile elicoidale sunt afectate de prezenta
campului magnetic a
8
-
fost studiate in literatura de specialitate in geometrii de
tipul periodic si ribbon
[18, 19].
In cazul nostru am studiat efectele campului magnetic intr-o
geometrie finita,
pentru a pune in evidenta ridicarea de degenerare de spin a
starilor de margine si
pentru a intelege modificarile induse asupara gap-ului
topologic. Cum simetria la
inversia temporala este rupta de catre campul magnetic starile
din gap-ul topologic
ar trebuii sa-si piarda polarizarea de spin, dar din calculele
numerice reiese faptul
ca starile elicoidale sunt robuste pana la o anumita valoare a
campului magnetic
(figura 4.1).
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Val
ori P
ropr
ii
Magnetic Flux
Figura 4.1: Partea relativistica din spectrul Hofstadter in
prezenta interactiei de
tip intinsec. In zona centrala se poate observa gap-ul topologic
invecinat de gap-
urile relativiste. Valorile proprii de spin-Up sunt reprezentate
cu rosu , iar cele de
spin-Down cu albastru, energiile proprii sunt masurate in
unitati de hopping, fluxul
magnetic in cuante de flux [9].
De asemeni am pus in evidenta si ridicarea degenerarii de spin a
nivelelor Landau
ceea ce conduce la aparitia unor gap-uri suplimentare intre
aceste nivele. Acest tip
de gap-uri sunt caracterizate de numare de stari de margine de
spin up si down
inegal spre deosebire de gap-urile conventionale unde numarul de
stari de spin up
este egal cu numarul de stari de spin down.
Rezultatele puse in evidenta vor fi folosite pentru a facilita
analiza proprietatilor
de transport cuantic de sarcina si de spin.
9
-
Capitolul 5: Transport cuantic in
structuri bidimensionale
Acest capitol prezinta rezultate referitoare la proprietatile de
transport cuantic
ale structurilor bidimensionale studiate in capitolele
anterioare (cu diverse condi-
tii la margine) din punct de vedere spectral in prezenta
diverselor campuri externe
(magnetic si electric). Transportul cuantic de sarcina si de
spin ofera raspunsuri
la anumite probleme legate de dezvoltarea unor noi dispozitive
tehnologice. Ma-
joritatea studiilor de transportul cuantic in literatura de
specialitate se bazeaza pe
calculul numarului Chern care este valabil doar in cazul
geometriei periodice. In
cazul nostru formalismul utilizat pentru a simula dispozitive
electronice de trans-
port cuantic in diverse configuratii de pozitionare a
contactelor la marginea probelor
este Landauer-Büttiker, iar rolul principal in transport il
joaca prezenta starilor de
margine.
In toate sectiunile acestui capitol ne-am axat pe evidentierea
proprietatilor speci-
fice transportului pe stari de margine produse de campul
magnetic perpendicular
sau generate de proprietatile topologice ale sistemelor
studiate, punand in evi-
denta cuantificarea rezistentei transversale (RH) si anularea
sau nu a celei longi-
tudinale (RL). De asemeni am pus in evidenta proprietatile
transmisiei electronice
intre anumite contacte scotiand in evidenta relatia de simetrie
intre contacte vecine
Tα,α+1 = Tα+1,α. Aceasta relatie de simetrie, in cazurile
studiate de noi, produce un
efect Hall nul RH = 0 in grafena retea Lieb si fosforena, dar in
ce priveste rezistenta
longitudinala aceasta are un caracter disipativ.
Bazandu-ne pe studiile spectrale realizate in capitolele
anterioare am reusit, in
cazul transportului cuantic, sa reliefam diverse efecte cum ar
fi: aparitia palierelor
intermediare in grafena, efectul superradiativ in cazul retelei
de fosforena, com-
10
-
portamentul starilor neconventionale in cazul retelei Lieb si
aparitia platourilor in
masuratori de conductie de spin si sarcina in izolatorul
topologic in camp magnetic.
11
-
Capitolul 6: Concluzii
6.1 Concluzii Capitolul 2
In capitolul 2 am comparat spectrele energetice ale retelelor de
fosforena si Lieb
cu reteaua de grafena in geometrie periodica, deoarece reteaua
de grafena a fost
intens studiata in literatura de specialitate.
Am demonstrat analitic in cazul retelei de fosforena ca
elementul de hopping
t4, care leaga atomi din aceeasi subretea si rupe bipartitismul
retelei, este direct
responsabil pentru violarea simetrei electron-gaura. In ceea ce
priveste reteaua Lieb
aceasta este descrisa de 3 atomi pe celula unitate, iar
structura de benzi prezinta
con Dirac, asemanator grafenei, dar suplimentar in spectru apare
si o banda plata
la energie zero. Am calculat analitic vectorii proprii ai celor
trei benzi pentru a
demonstra ca degenerarea benzii plate este egala cu numarul de
celule si am aratat
ca banda plata este alcatuita doar din orbitali de tipul B si C
in timp ce in cazul
benzilor dispersive iau parte toti cei trei orbitali.
In partea a doua a capitolului am pus in evidenta aparitia
starilor de margine
datorita geometriei de tip ”ribbon” (periodic pe o directie si
finit pe cealalta) a
sistemului. In cazul ribbon-ului zig-zag de fosforena am
demonstrat analitic ca banda
cuasi-plata de stari zig-zag din centrul spectrului apare la
orice cuasi-moment k atat
timp cat t1/t2 < 1, contrar starilor zig-zag din grafena care
pot exista doar intre
punctele Dirac K si K ′. Tot analitic am demonstrat ca
degenerarea starilor zig-zag
localizate pe margini opuse apare doar in limita cand latimea
sistemului tinde la
infinit. Pentru ribbon-ul Lieb am demonstrat numeric ca
degenerarea din punctul
Γ (unde cele trei benzi se ating) este influentata de conditiile
puse pe nodurile de
la margine. In cazul conditiilor de anulare pe noduri de tip B
si A degenerarea se
pastreaza in timp ce pe nodurile de tip C degenerarea se
ridica.
12
-
6.2 Concluzii Capitolul 3
In capitolul 3 am pus in evidenta o parte din proprietatile
spectrale ale struc-
turilor bidimensionale studiate in prezenta campurilor
externe.
In reteaua de fosforena cu geometrie de ribbon zig-zag, in camp
magnetic perpen-
dicular, am demonstrat analitic ridicarea de degenerare a benzii
cuasi-plate formata
din stari de margine zig-zag. Impunand conditii de anulare la
margine a functiei de
unda pe toate directiile am calculat numeric spectrul Hofstadter
(variatia valorilor
proprii in functie de campul magnetic) si am aratat ca starile
care formeaza banda
cuasi-plata sunt robuste la variatia campului, nu au chiralitate
si raman localizate
pe marginile zig-zag chiar si in cap magnetic puternic.
In ribbon-ul zig-zag de grafena in camp magnetic perpendicular
aplicand un
camp electric in-plan perpendicular pe marginile zig-zag, am
aratat ca nivelele Lan-
dau se inclina, iar o parte din canalele de conductie localizate
in lungul marginilor
zig-zag sunt practic impinse spre centrul ribbon-ului. Pentru
ribbon-ul de grafena
am demonstrat ca legea de scalare a nivelelor Landau in jurul
energiilor de zero de-
pinde de parametrii externi ca: BLy si EL3/2y . In cazul
plachetei de grafena, in camp
electric si magnetic, am descoperit formarea a doua tipuri de
stari de margine scurt-
circuitate localizate diferit in spectrul de energii Hofstader.
O prima categorie de
astfel de stari se amesteca cu starile din benzile Landau, iar a
doua categorie apare
in centrul spectrului datorita ridicarii de degenerarii
nivelului Landau de n = 0.
In ceea ce priveste chiralitatea starile de tipul unu, acestea
au aceeasi chiralitate
ca starile de margine conventionale, in timp ce starile din
centrul spectrului au
chiralitate alternanta.
Campul magnetic perpendicular in placheta Lieb deschide un gap
in centrul
spectrului, iar in acest gap isi fac aparitia un nou tip de
stari de margine care
au chiralitate alternanta si pe care le-am numit stari de
margine neconventionale.
Am demonstrat analitic cu ajutorul unui model simplificat compus
din doua celule
unitate comportamentul in camp magnetic perpendicular al benzii
plate. Calculul
perturbativ in camp magnetic arata ca, indiferent de dimensiunea
retelei, din banda
plata se separa doua stari care fac parte din clasa starilor de
margine neconven-
tionale. Valorile proprii ale starilor neconventionale depind
intr-un mod oscilant de
13
-
campul magnetic si nu sunt protejate de ruperea simetrei de
inversie temporala ceea
ce le face sa se localizeze chiar si in prezenta unei densitatii
mici de impuritati, cand
starile conventionale raman robuste. Desi banda plata este
robusta la variatia cam-
pul magnetic daca adaugam un camp electric in plan aceasta isi
ridica degenerarea.
Campul electric aplicat da nastere unui spectru de tipul
Wannier-Stark compus din
mini-benzi degenerate, numarul de minibenzi fiind egal cu
numarul de celule unitate
in lungul carora este aplicat campul.
6.3 Concluzii Capitolul 4
In capitolul 4 am studiat efectele campului magnetic asupra
retelei hexagonale
topologice finite. In gap-ul topologic din centrul spectrului
energetic degenerarea
starilor elicoidale este ridicata de campul magnetic. Starile
evolueaza in functie de
campul magnetic si se transforma din stari de margine elicoidale
in stari de bulk
pierzandu-si caracterul de margine. La o anumita valoare a
campului magnetic am
aratat ca gap-ul topologic va fi populat cu stari de margine de
origine chirala care
provin din gap-urile dintre nivelele Landau aflate in
vecinatatea gap-ului topologic.
Am aratat ca pentru o valoare mica a interctiei spin-orbita (λSO
≪ t) in spectrul
energetic vor aparea gap-uri cu asimetrie de spin (numarul de
stari de margine
de spin up diferit de numarul de stari de spin down la un flux
magnetic dat) in
zona relativista. De asemeni am demonstrat ca aparitia
gap-urilor asimetrice este
datorata ridicarii de degenerare a nivelelor Landau in prezenta
interactiei spin orbita.
6.4 Concluzii Capitolul 5
In capitolul 5 am pus in evidenta proprietatile de transport
cuantic in retelele
bidimensionale studiate. In toate cazurile studiate am simulat
dispozitive Hall prin
atasarea a patru terminale la fiecare retea finita si am pus in
evidenta proprietatile
coeficientilor de transport.
In cazul retelei de grafena in camp magnetic si electric am
aratat ca datorita
prezentei in spectrul relativist a starilor de margine
scurtcircuitate in masuratorile
de rezistenta Hall apar platouri neconventionale. Starile de
margine scurtcircuitate
14
-
modifica matricea conductantelor si astfel dau nastere unor
platouri noi in masur-
atori de efect Hall cuantic. Utilizand calculul numeric am
demonstrat ca primul
tip de stari de margine scurtcircuitate genereaza platouri
intermediare la valori ale
rezistentei Hall RH = ±12(1
2n+1+ 1
2n+3) in unitati de h/e2, iar n = 0, 1, 2 . . ..
In partea centrala a spectrului al doilea tip de stari de
margine scurtcircui-
tate apar in perechi de chiralitati opuse. Aceasta proprietate
specifica pe care am
studiat-o in capitolul trei genereaza o rezistenta Hall nula,
dar in calculul rezis-
tentei longitudinale s-a observat un efect disipativ sau
nondisipativ in functie de
configuratia firelor.
Rezultatele prezentate ajuta la o mai buna intelegere a
proprietatilor de transport
si ofera un mecanism de manipulare a starilor de margine in
regim de efect Hall cu
ajutorul unui camp electric in-plan.
In ceea ce priveste placheta de fosforena am utilizat un montaj
Hall in care toate
firele au fost atasate de aceeasi margine pentru a pune in
evidenta mai bine propri-
etatile de transport a starilor de margine din banda
cuasi-plata. Specific fosforenei,
conductanta Hall prezinta un platou nul pe toata largimea
energetica a gap-ului,
indicand un comportament nonchiral al benzii cuasi-plate, dar
conductanta longitu-
dinala indica un comportament disipativ al acesteia. Am
calculat, pentru regiunea
din spectru ocupata de banda cuasi-plata, transmisia intre doua
contacte vecine,
desitatea de stari in prezenta contactelor si spectrul complex
al Hamiltonianului
ne-Hermitic efectiv. Cu ajutorul tuturor elementelor prezentate
mai sus, care sunt
influentate de cuplajul dintre sistem si fire τc, am pus in
evidenta aparitia efectului
superradiant in fosforena. De asemeni am observat ca transmisia
electronica intre
contactele adiacente in fereastra de energii a benzii
cuasi-plate manifesta maxime
egale cu e2/h. Deoarece starile din banda cuasi-plata sunt
lipsite de chiralitate
maximele din transmisie nu sunt protejate impotriva
impuritatilor.
In reteaua finita Lieb rezistenta Hall cuantica are acelasi
comportament ca in
cazul grafenei, dar cuantificarea este in pasi de h/e2 deoarece
in cazul acesteia de-
generearea de vale este absenta. In zona din spectru energetic
in care se manifesta
starile de margine neconventionale proprietatile de transport
devin specifice: rezis-
tenta Hall cuantica are valoare nula, iar rezistenta
longitudinala oscileaza. Oscilati-
ile rezistentei longitudinale sunt corelate cu oscilatiile
densitatii de stari calculata in
15
-
prezenta firelor. Am demonstrat ca acest comportament specific
provine din sime-
tria coeficientilor de transmisie Tα,α+1 = Tα+1,α si ca in ciuda
prezentei impuritatilor
aceasta simetrie se mentine.
In cazul izolatorului topologic bidimensional rezultatul
principal consta in prezenta
unor platouri in conductanta Hall de spin GSH = −2e/4π in
masuratori de efect Hall
cuantic de spin in afara gap-ului topologic. De asemeni in
masuratori de efect
Hall cuatic intreg in aceeasi zona din spectru apar platouri
intermediare GQH =
±(4e2/h)(n + 1) in masuratori de conductanta Hall de sarcina.
Aceste doua tipuri
de platouri apar in masuratori de transport la aceleasi energii
la care apar si gap-
urile necompensate de spin. Gap-ul topologic este populat cu
doua tipuri de stari de
margine elicoidale si chirale in functie de valoarea campului
magnetic. Cum starile
chirale apar tot in perechi de spin opus efectul Hall cuantic de
spin se pastreaza
chiar si la campuri magnetice puternice, atata timp cat gap-ul
ramane dechis.
16
-
Bibliografie
[1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y.
Zhang, S. V.
Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov, Electric field effect
in atomically thin
carbon films Science 306, 666669 (2004)
[2] C. L. Kane and E. J. Mele, Quantum Spin Hall Effect in
Graphene Phys. Rev.
Lett. 95, 226801 (2005)
[3] F. M. D. Haldane, Model for a Quantum Hall Effect without
Landau Levels:
Condensed-Matter Realization of the ”Parity Anomaly” Phys. Rev.
Lett. 61,
2015 (1988)
[4] Markus Konig, Steffen Wiedmann, Christoph Brune, Andreas
Roth, Hart-
mut Buhmann, Laurens W. Molenkamp, Xiao-Liang Qi, Shou-Cheng
Zhang,
Quantum spin Hall insulator state in HgTe quantum wells Science
318, 766770
(2007)
[5] Class for Physics of the Royal Swedish Academy of Sciences,
Topological phase
transition and topological phases of matter
”https://www.nobelprize.org/
nobel_prizes/physics/laureates/2016/advanced-physicsprize2016.pdf”
(2016)
[6] Michael J. Bojdys 2D or not 2D-Layered Functional (C, N)
Materials Beyond
Silicon and Graphene Macromol. Chem. Phys. 2016, 217, 232241
(2015)
[7] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, M. Nijs,
Quantized Hall
Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential Phys. Rev.
Lett. 49,
405408 (1982)
17
-
[8] M. Nita, B. Ostahie, A. Aldea Spectral and transport
properties of two-dimensional
Lieb lattice Phys. Rev. B 82, 226801 (2013)
[9] B. Ostahie, M. Nita, A. Aldea Topological properties of the
mesoscopic graphene
plaquette: Quantum spin Hall effect due to spin imbalance Phys.
Rev. B 89,
165412 (2014)
[10] B. Ostahie, M. Nita, A. Aldea Electrical manipulation of
edge states in graphene
and the effect on quantum Hall transport Phys. Rev. B 91, 155409
(2015)
[11] B. Ostahie, A. Aldea, Phosphorene confined systems in
magnetic field, quan-
tum transport, and superradiance in the quasiflat band Phys.
Rev. B 93,
075408 (2016)
[12] B. Ostahie, M. Nita, A. Aldea Non-Hermitian approach of
edge states and
quantum transport in a magnetic field Phys. Rev. B 94, 195431
(2016)
[13] M. Ezawa, Highly anisotropic physics in phosphorene J.
Phys: Conf. Ser. 603,
0122006 (2015)
[14] X. Y. Zhou, R. Zhang, J. P. Sun, Y. L. Zou, D. Zhang, W. K.
Lou, F. Cheng,
G. H. Zhou, F. Zhai and Kai Chang, Landau levels and
magneto-transport
property of monolayer phosphorene Sci. Rep. 5, 12295 (2015)
[15] J. M. Pereira, Jr. and M. I. Katsnelson, Landau levels of
single-layer and
bilayer phosphorene Phys. Rev. B 92, 075437 (2015)
[16] Vinu Lukose, R. Shankar, and G. Baskaran, Novel Electric
Field Effects on
Landau Levels in Graphene Phys. Rev. Lett. 98, 116802 (2007)
[17] N. Goldman, D. F. Urban si D. Bercioux, Topological phases
for fermionic cold
atoms on the Lieb lattice Phys. Rev. A 83, 063601 (2011)
[18] W. Beugeling, N. Goldman, and C. Morais Smith, Topological
phases in a
two-dimensional lattice: Magnetic field versus spin-orbit
coupling Phys. Rev.
B 86, 075118 (2012)
18
-
[19] N. Goldman, W. Beugeling and C. Morais Smith, Topological
phase transitions
between chiral and helical spin textures in a lattice with
spin-orbit coupling and
a magnetic field EPL 97, 23003 (2012)
19