Proposition de stage Formulation ´ El´ ements finis pour les Param´ etrisations Globales P´ eriodiques Nicolas Ray et Laurent Alonso — Titre : Formulation ´ El´ ements finis pour les Param´ etrisations Globales P´ eriodiques — Th´ ematique : G´ eom´ etrie num´ erique, remaillage — Laboratoire, institution et universit´ e: LORIA, Inria, Universit´ e de Lorraine — Ville et pays : Nancy, France. — Equipe ou projet dans le labo : Equipe PIXEL (http://pixel.inria.fr/) — Directeur de stage : Nicolas Ray ([email protected]) et Laurent Alonso ([email protected]) — Directeur du laboratoire : Jean-Yves Marion ([email protected]) — Pr´ esentation g´ en´ erale du domaine (5 ` a 10 lignes) : En informatique, les surfaces sont g´ en´ eralement repr´ esent´ ees par des maillages triangul´ es car ces derniers sont faciles ` a g´ en´ erer, ` a´ editer et ` a afficher. Cependant, pour ´ evaluer des propri´ et´ e diff´ erentielles (d´ eri- v´ ees, courbure, etc.) ou repr´ esenter des champs (scalaires vectoriels, etc.) sur la surface, il est pr´ ef´ erable d’utiliser une repr´ esentation param´ etrique (e.g. splines) dans laquelle la surface est une partie de l’image d’une fonction continue de f : R 2 → R 3 . On peut b´ en´ eficier des avantages des deux repr´ esentations en munissant une surface triangul´ ee d’un domaine param´ etrique. Pour ce faire, un algorithme dit de param´ etrisation va d´ efinir pour chaque triangle sa pr´ e-image dans R 2 . Classiquement, ces algorithmes pr´ eservent les adjacences des triangles dans le domaine param´ etrique, ce qui limite leur utilisation ` a une petite classe de surfaces (disque topologique avec faible courbure Gaussienne). Afin de traiter d’avantage de surfaces, nous acceptons que la fonction inverse poss` ede un certain type de discontinuit´ e (conservation de grille), qui n’impacteront pas certaines applications telles que le remaillage en quadrangles [3] ou le stockage de couleur sans coutures apparentes [4]. Figure 1 – La premi` ere ´ etape d´ efinit un champ de vecteur (` a gauche), puis la seconde int` egre ce champs (au milieu). On remarque sur les zooms du pouce que la discr´ etisation ne permet pas de capturer correctement les singularit´ es. En pratique, quatre champs de vecteurs inter-connect´ es sont int´ egr´ es simultan´ ement pour obtenir la param´ etrisation globale (` a droite). — Objectifs du stage (10 ` a 20 lignes) La g´ en´ eration de param´ etrisation globale (avec discontinuit´ e) fonctionne en deux ´ etapes (voir [2] et la Figure 1) : la g´ en´ eration d’un champ de direction, puis l’int´ egration de ce champ de direction. Pour la premi` ere ´ etape, le probl` eme est ´ equivalent ` a minimiser le carr´ e de la variation d’angle d’un champ de vecteur unitaire tangent ` a la surface. Il s’agirait d’un simple probl` eme de Dirichlet s’il n’y avait pas la 1